Główne aktualne kierunki badań naukowych prowadzonych w Instytucie Matematyki grupują się w kilka tematów, których realizacja trwa już od kilku lat. W ostatnich latach tematyka ta wzbogaciła się o badania w zakresie analizy funkcjonalnej i metod grupowych w teorii równań różniczkowych.

Badania Zakładu Algebry koncentrują się wokół własności niezmienników grup, pierścieni łącznych oraz algebr niełącznych, głównie algebr Liego i ich uogólnień. Zakres tematyki jest szeroki i obejmuje następujące zagadnienia: rozszerzenia pierścieni, radykały, łańcuchy Kurosza, pierścienie osiągalne, struktura grup jedności algebr grupowych i problem izomorfizmu dla modularnych algebr grupowych, działania algebr Liego na pierścieniach łącznych, łączne i niełączne algebry z gradacją, kratowe wymiary pierścieni i modułów, automorfizmy grup skończonych, kratowe własności grup, struktura pierścieni łańcuchowych i pierścieni z rozdzielną kratą ideałów, analiza nieprzemienna.

Badania Zakładu Analizy Funkcjonalnej związane są z aspektami współczesnej analizy, które koncentrują się wokół teorii operatorów nielokalnych i singularnych oraz równań generowanych przez nie. Zakres tematyki jest szeroki i obejmuje następujące zagadnienia: struktury algebr operatorowych generowanych przez rachunek symboliczny operatorów pseudoróżniczkowych nielokalnych i problemy brzegowe, reprezentacje algebr operatorowych generowanych przez automorfizmy i endomorfizmy, teoria ergodyczna i entropijna operatorów nielokalnych, metody topologiczne i dynamiczne obliczania charakterystyk spektralnych, teoria perturbacji operatorów nielokalnych, teoria równań nielokalnych w przestrzeniach funkcyjnych, operatory różniczkowe z δ-potencjałem oraz problemy mnożenia dystrybucji, rozszerzenia operatorów symetrycznych do samosprzężonych. Metody i rezultaty teorii równań z operatorami nielokalnymi i singularnymi mogą mieć zastosowanie w analizie stochastycznej, teorii układów dynamicznych, teorii operatorów pseudoróżniczkowych i operatorów splotu ze współczynnikami oscylacyjnymi oraz działającymi w obszarze skomplikowanych teorii równań z małym parametrem i rezonansami, termodynamice, fizyce stochastycznej oraz w teorii punktowych wzajemnych oddziaływań cząsteczek.

Badania naukowe w Zakładzie Analizy Matematycznej są prowadzone w kilku kierunkach: analiza harmoniczna i jej zastosowania do teorii funkcji specjalnych i teorii operatorów różniczkowych oraz do problemów fizyki matematycznej, analiza falkowa - problemy regularności funkcji skalujących, geometryczne i topologiczne aspekty teorii rozmaitości różniczkowych, metody probablilistyczne w zastosowaniach do teorii fraktali.

Wiodącą tematyką Zakładu Fizyki Matemetycznej są geometryczne i algebraiczne metody w kwantyzacji układów fizycznych. Aktualnie badana jest klasa C* - algebr (prof. A. Odzijewicz). W Zakładzie Fizyki Matematycznej prowadzone są dodatkowo inne tematy badawcze:

• Zastosowanie wielomianów ortogonalnych w teorii kwantowych układów wielu ciał. Układy całkowalne w nieliniowej optyce kwantowej. (M. Horowski, A. Odzijewicz, A. Tereszkiewicz)
• Całkowalne równania funkcjonalne (w tym q-różnicowe) w problemach fizycznych (A. Dobrogowska, T. Goliński, A. Odzijewicz)
• Kwantowanie układów fizycznych - metody algebraiczne i geometryczne, w tym:
  • metoda stanów koherentnych,
  • produkt kwantyzacja,
  • C*-algebry.
  (A. Odzijewicz)
• Nieskończenie wymiarowe rozmaitości Poissona (A. Odzijewicz)

W Zakładzie Logiki Matematycznej prowadzone są badania dotyczące logiki matematycznej oraz zastosowań logiki w informatyce i sztucznej inteligencji. Badania dotyczą: teorii reprezentacji wiedzy, złożoności obliczeniowej, automatyzacji rozumowań matematycznych, formalnych systemów logicznych.

Główne badania Zakładu Podstaw Geometrii koncentrują się wokół geometrii rzutowej, jej uogólnień, i geometrii indukowanych przez kwadryki w przestrzeniach rzutowych. Rozpatrywanym przestrzeniom można nadawać strukturę częściowej przestrzeni prostych (przestrzenie pęków - przestrzenie Grassmanna, kwadryki wyższych rzędów, produkty Segre'a), bądź strukturę przestrzeni Benza (przestrzeni okręgów).

Zasadniczym nurtem rozważań są zagadnienia charakteryzacji i klasyfikacji, zarówno ważniejszych klas wprowadzanych przestrzeni, jak i standardowych konstruktów pochodnych (podprzestrzenie, automorfizmy, konfiguracje charakterystyczne itp.). W nurcie tym mieszczą się też zagadnienia charakteryzacji zanurzeń - reprezentacji przestrzeni jako "rozmaitości" zanurzonych. Jednym z wątków tych badań jest próba znalezienia naturalnych uogólnień klasycznych pojęć (np. równoległość, rzutowość) i wskazanie ich podstawowych własności. Inne nurty badań, to uogólnienia geometrii hiperbolicznej (geometria quasi hiperboliczna) i geometria ortogonalna oraz kombinatoryczne metody konstrukcji częściowych przestrzeni prostych.

Badania Zakładu Zastosowań Matematyki grupują się wokół następujących zagadnień: badania własności nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych za pomocą analizy grupowej i metod numerycznych, oraz badania pewnych klas funkcji użyteczności i ich własności.