Zakład Podstaw Geometrii : Historia

Badania w zakresie podstaw geometrii w Instytucie Matematyki w Filli UW w Białymstoku, a następnie na UwB początkowo tematycznie wyraźnie nawiązywały do badań prowadzonych w IM UW, głównie przez W. Szmielew, M. Kordosa i L. W. Szczerbę. Były to przede wszystkim zagadnienia doboru (optymalnych – z pewnego punktu widzenia) pojęć do opisu rozmaitych geometrii, zagadnienia aksjomatyzacji ważniejszych/ciekawszych klas przestrzeni i zagadnienia charakteryzacji/reprezentacji dla tworzonych teorii formalizujących naturalne intuicje geometryczne. Dała się zauważyć już pewna specyfika (z początku może dotycząca tylko rozłożenia akcentów) odróżniająca te badania od badań prowadzonych na UW. Badania w Białymstoku dotyczyły szerszych klas struktur, prowadzone były w ogólniejszym kontekście: na przykład w miejsce uniwersum przestrzeni rzutowej wprowadzono jako theatrum geometrii przestrzenie pęków (czy też ogólnie częściowe przestrzenie prostych). Skonstruowano dla geometrii metrycznych (takich, jak afiniczno metryczna czy też rzutowo metryczna) rozmaite sytemy pojęć pierwotnych pozwalające formalizować je jako geometrie incydencyjne (K. Prażmowski). Systematycznie rozwijając teorię zgodnej równoległości (jako narzędzie opisu różnych uporządkowanych geometrii, badania M. Prażmowskiej) odkryto i scharakteryzowano aksjomatycznie (uogólnioną) klasę płaszczyzn Strambacha (K. Prażmowski). Wyróżniono nowe klasy płaszczyzn afiniczno metrycznych (słabych płaszczyzn euklidesowych) poprzez analizę ich dopuszczalnych klas symetrii bądź obrotów (tzw. jednorodne płaszczyzny afiniczno metryczne, K. Prażmowski, i regularne relacje trapezu, H. Oryszczyszyn).

Rozważania dotyczące geometrii przestrzeni pęków i jej fragmentów doprowadziły do wyodrębnienia interesującej klasy tzw. przestrzeni jeżowych, uogólniających w szczególności slit-space’y i struktury liniowych uzupełnień. W serii prac (K. Prażmowski, M. Żynel) dokładnie zbadano podstawowe zagadnienia geometrii tych przestrzeni. Zagadnienie doboru optymalnego układu pojęć pierwotnych dla geometrii określonych na fragmentach Grassmannianu rzutowego w tradycji geometrycznej obejmuje jako szczególne pytanie problem, czy takim adekwatnym pojęciem może być relacja adjacencji (Chow-like Theorems). W serii prac (K. Prażmowski, M. Żynel, M. Prażmowska) rozstrzygnięto ten problem w stosunku do przestrzeni jeżowych, a także w stosunku do szeregu geometrii pochodnych od geometrii rzutowo metrycznych (grassmanniany przestrzeni biegunowych, afinicznych przestrzeni biegunowych, przestrzeni hiperbolicznych, struktury podprzestrzeni regularnych itp.). Ten krąg badań i wyników ukształtował obraz specyficznej już specjalności IM w obrębie podstaw geometrii.

Z „warszawskiej” tradycji wyrosło też zainteresowanie aksjomatami konfiguracyjnymi w geometrii. Szereg prac poświęconych było zależnościom między rozmaitymi formami specjalnymi takich aksjomatów (E. Kusak, J. Zabilski, K. Prażmowski). Z tych zainteresowań wyrosła problematyka – znowu: specyficzna dla IM na UwB – badania konfiguracji abstrakcyjnych, definiowanych w terminach elementarnej kombinatoryki a będących „mnogościowymi” odpowiednikami obiektów rozważanych oryginalnie w terminach krat rzutowych. Uzyskano tu kilka interesujących wyników (M. Prażmowska, K. Petelczyc), w szczególności nowe reprezentacje znanych klas konfiguracji oraz nowe klasy „częściowo rzutowych (Veblenowskich)” konfiguracji, reprezentowalnych i niereprezentowalnych w Desarguesowskich przestrzeniach rzutowych.