Metody probabilistyczne i statytyka - laboratorium (realizacja)

¹ Zakład Bioinformatyki, Instytut Informatyki, Uniwersytet w Białymstoku

^✉ Correspondence: Jarosław Kotowicz <j.kotowicz@uwb.edu.pl>

rm(list = ls())

1 Przedział ufności dla średniej

1.1 Poziom istotności i kwantyle rozkładu normalnego

alpha <- .05
qnorm(1 - alpha/2)

[1] 1.959964

alpha <- .01
qnorm(1 - alpha/2)

[1] 2.575829

1.2 Próbka (liczby pseudolosowe z rozkładu normalnego).

set.seed(16042020)
x <- rnorm(100, mean = 2, sd = 1)

summary(x)

   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
-0.3604  1.4289  2.0532  2.0568  2.5542  4.3378 

1.3 Funkcje wyznaczające przedział ufności dla średniej

1.3.1 Dla rozkładu normalnego ze znanym odchyleniem standardowym

Wykorzystujemy rozkład normalny.

CI_mean_N_sigma <- function(dane, odchylenie = 1, alpha = .05) {
  blad <- odchylenie *qnorm(1-alpha/2)/ sqrt(length(dane))
  konieclewy <- mean(x) - blad
  koniecprawy <- mean(x) + blad
  cat(paste("Przedział ufności dla średniej wynosi:\n [", konieclewy, ",", koniecprawy, "]\n"))
}

1.3.1.1 Różne sposoby wywołania

CI_mean_N_sigma(x)

Przedział ufności dla średniej wynosi:
 [ 1.86084336617044 , 2.25283616307845 ]

Ostrzeżenie: Jeżeli nie podajemy nazw argumentów funkcji, to kolejność wypiswyania argumentów jest istotna!

CI_mean_N_sigma(x, .7, .01)

Przedział ufności dla średniej wynosi:
 [ 1.87653171337603 , 2.23714781587287 ]

CI_mean_N_sigma(x, .01, .7)

Przedział ufności dla średniej wynosi:
 [ 2.05645444415804 , 2.05722508509086 ]

c.d. ostrzeżenia: Jeżeli podajemy nazw argumentów funkcji, to kolejność wypiswyania argumentów jest nieistotna!

CI_mean_N_sigma(x, alpha = .01, odchylenie = .7)

Przedział ufności dla średniej wynosi:
 [ 1.87653171337603 , 2.23714781587287 ]

1.3.2 Dla rozkładu normalnego z nieznanym odchyleniem standardowym (mała próbka)

Wykorzystujemy rozkład t-Studenta

CI_mean_T <- function(dane, alpha = .05) {
  blad <- sd(dane)*qt(1-alpha/2, df = length(dane) -1)/ sqrt(length(dane))
  konieclewy <- mean(x) - blad
  koniecprawy <- mean(x) + blad
  cat(paste("Przedział ufności dla średniej wynosi:\n [", konieclewy, ",", koniecprawy, "]\n"))
}

CI_mean_T(x)

Przedział ufności dla średniej wynosi:
 [ 1.88422260943793 , 2.22945691981097 ]

1.3.3 Dla rozkładu normalnego z nieznanym odchyleniem standardowym (wersja przybliżona - aproksymacja rozkładem normalnym)

Ten sposób wyznaczania przedziału ufności dla średniej wykorzystywany był w dobie bezkompterowej.

Wykorzystujemy rozkład normalny (rozkład graniczny rozkładów t-Studenta, gdy liczba stopni swobody zbiega do nieskończoności).

CI_mean_N <- function(dane, alpha = .05) {
  blad <- sd(dane)*qnorm(1-alpha/2)/ sqrt(length(dane))
  konieclewy <- mean(x) - blad
  koniecprawy <- mean(x) + blad
  cat(paste("Przedział ufności dla średniej wynosi:\n [", konieclewy, ",", koniecprawy, "]\n"))
}

CI_mean_N(x)

Przedział ufności dla średniej wynosi:
 [ 1.88633249876885 , 2.22734703048005 ]

1.3.4 Przedziały ufności dla różnych wartości poziomu istotności (różne sposoby wywołania).

CI_mean_N(x, .01)

Przedział ufności dla średniej wynosi:
 [ 1.83275523280489 , 2.28092429644401 ]

CI_mean_N(x, alpha = .01)

Przedział ufności dla średniej wynosi:
 [ 1.83275523280489 , 2.28092429644401 ]

1.4 Przedziały ufności dla średniej w bibliotekach R

1.4.1 t.test i przedział unfości dla średniej

t.test(x)

    One Sample t-test

data:  x
t = 23.643, df = 99, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 1.884223 2.229457
sample estimates:
mean of x 
  2.05684 

1.4.1.1 Jak liczony jest przedział unfości w t.test

CI_mean_N(x)

Przedział ufności dla średniej wynosi:
 [ 1.88633249876885 , 2.22734703048005 ]

CI_mean_T(x)

Przedział ufności dla średniej wynosi:
 [ 1.88422260943793 , 2.22945691981097 ]

2 Przedział ufości dla wariancji

2.1 Kwantyle rozkładu chi-kwadrat

qchisq(1 - alpha/2, df = 99)

[1] 138.9868

qchisq(alpha/2, df = 99)

[1] 66.51011

Przedział ufności dla wariancji liczymy tylko dla rozkładu normalnego!

CI_var_N <- function(dane, alpha = .05) {
  konieclewy <- (length(dane) -1) * var(dane) / qchisq(1- alpha/2, df = length(dane) - 1)
  koniecprawy <- (length(dane) -1) * var(dane) / qchisq(alpha/2, df = length(dane) - 1)
  cat(paste("Przedział ufności dla wariancji wynosi:\n [", konieclewy, ",", koniecprawy, "]\n"))
}

CI_var_N(x)

Przedział ufności dla wariancji wynosi:
 [ 0.583425493925659 , 1.02131350792665 ]

3 Pytanie / Praca domowa

W jakich innych biblitekach są funkcje wyznaczające przedział ufności?