\documentclass[windows,dyplom,final]{imuwbth} 
\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage{polski}

%\usepackage{times}
\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
\usepackage{MnSymbol,wasysym}
\DeclareMathOperator{\clsp}{\overline{span}}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\JJ}{\mathcal J}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\T}{\mathbb T}
\newcommand{\HH}{\mathbb{H}}
\newcommand{\LL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\KK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\OO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\BB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\MM}{\mathcal{M}}
\renewcommand{\Re}{\text{Re}}
 \newcommand{\str}{{\footnotesize \APLstar}}

%\DeclareMathOperator{\supp}{supp}

\numberwithin{equation}{section}

%\newtheorem{tw}{Twierdzenie}[section]
%\newtheorem{lem}[tw]{Lemat}
%\newtheorem{stw}[tw]{Stwierdzenie}
%\newtheorem{cor}[tw]{Wniosek}
%\theoremstyle{definition}
%\newtheorem{dfn}[tw]{Definicja}
%\newtheorem{exm}[tw]{Przykład}
%\newtheorem{rem}[tw]{Uwaga}


\author{Krzysztof Bardadyn}
\title[Działania $C^*$-korespondencji na $C^*$-algebrach]{Działania $C^*$-korespondencji \\ na $C^*$-algebrach}
\supervisor{dr hab. Bartosza K. Kwaśniewskiego}

\begin{document}

\frontmatter % strona tytułowa, spis treści, itp.

\maketitle % strona tytułowa

\begin{thanks}
  Składam serdeczne podziękowania\\
  dr. hab. Bartoszowi K. Kwaśniewskiemu\\
  za  cierpliwość i wyrozumiałość\\
  okazaną podczas pisania tej pracy.
\end{thanks}


\tableofcontents % spis treści (generowany automatycznie!)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\mainmatter 

\chapter*{Wstęp}
Przez korespondencję między dwoma zbiorami w matematyce, a szczególnie w matematyce stosowanej, rozumie się po prostu relację.  W kontekście $W^*$-algebr pojęcie korespondencji zostało wprowadzone
przez Alaina Connes'a w latach sześćdziesiątych ubiegłego wieku.  Korespondencje Connes'a   można interpretować jako nieprzemienne relacje między dwoma algebrami operatorowymi. 
W ujęciu $C^*$-algebraicznym pojęcie korespondencji długo funkcjonowało pod nazwą bimodułu Hilberta. Formalnie $C^*$-korespondencję z $C^*$-algebry $A$ do $C^*$-algebry $B$ definiujemy 
jako prawy $B$-moduł Hilberta wraz z lewym $A$-działaniem przez operatory sprzęgalne. Natomiast obecnie nazwa bimoduł Hilberta jest zarezerwowana dla bardziej  symetrycznej struktury, gdzie załada się również istnienie lewego iloczynu wewnętrzenego. 
Termin $C^*$-korespondencja został rozpropagowany, za Schweizerem \cite{Schweizer}, przez Katsurę \cite{Katsura1}, \cite{katsura}.  Już począwszy od prac Rieffel'a \cite{Rie73}, \cite{Rie74} $C^*$-korespondencje pełniły kluczową rolę w teorii reprezentacji indukowanych, są też podstawowymi obiektami w konstrukcji $KK$-teorii w ujęciu Kasparowa \cite{Kas}, \cite{Jensen-Thomsen}. 
Po ukazaniu się w 1997 przełomowej pracy  M. Pimsner'a \cite{Pim},  $C^*$-korespondencje stały się jednym z najważniejszych narzędzi  w teorii $C^*$-algebr  zadanych przez relacje typu dynamicznego lub kombinatorycznego.   W szczególności o $C^*$-korespondencjach można myśleć jako o bardzo ogólnych morfizmach (nieprzemiennych grafach) między $C^*$-algebrami.  

Niniejszą pracę można traktować jako wprowadzenie do teorii $C^*$-ko\-res\-pondencji z wyżej wspomnianego punktu widzenia, gdzie na $C^*$-korespondencje patrzy się jak na obiekty działające na $C^*$-algebrach.
Prowadzi to między innymi do naturalnej interpretacji systemów produktowych jako działania półgrupy $C^*$-korespondencji oraz wiązek Fella jako działania grupowego $C^*$-korespondencji.
Układ i sposób prezentacji materiału jest oparty na cyklu wykładów  "`Invitation to actions of $C^*$-correspondences"' wygłoszonych przez dr. hab. Bartosza Kwaśniewskiego, podczas szkoły 
VI School on Geometry and Physics,	26-30.06.2017, Białowieża\footnote{http://wgmp.uwb.edu.pl/wgmp36/abs/Kwasniewski.pdf}. Materiał jednak został znacznie rozszerzony i uzupełniony o szereg szczegółów i  przykładów, a co najważniejsze zawiera pełne dowody. Niniejszą pracę można czytać, po wstępnym kursie z $C^*$-algebr, bez znajomości teorii modułów Hilberta.

Wyniki prezentowane w pracy  są najprawdopodobniej znane ekspertom. Jednakże wiele z nich nie zostało szczegółowo opisane w literaturze, a i sposób ich prezentacji często jest całkiem nowy. 
W szczególności, dużą wagę w niniejszej pracy przyłożono by prezentowane definicje były efektywne (zawierały tylko niezbędne aksjomaty). 
Dla przykładu moduły Hilberta definiujemy bez użycia struktury liniowej, która jak wykażemy zawsze istnieje i jest jednoznacznie wyznaczona przez strukturę modułu i iloczyn wewnętrzny. 
Prezentujemy szczegółowo charakteryzację modułów nad algebrami przemiennymi jako przestrzenie cięć wiązek przestrzeni Hilberta w sensie Fella, co nigdzie do tej pory nie zostało opisane  (patrz, podrozdział \ref{sec:commutative_Hilbert_modules}).  Jako wniosek  otrzymujemy charakteryzację modułów Hilberta nad przemienną algebrą z widmem dyskretnym (Wniosek \ref{cor:pregraph}). To z kolei prowadzi do nowego dowodu charakteryzacji $C^*$-korespondencji grafowych (Twierdzenie \ref{thm:kaliszewski_patani_quigg}), otrzymanej pierwotnie w \cite{KPQ}.
Bimoduły Hilberta definiujemy za \cite{BMS} jako struktury będące jednocześnie prawymi i lewymi modułami Hilberta, w których iloczyny wewnętrzne spełniają warunek łączności. Następnie skrupulatnie dowodzimy wszystkich własności,
które niektórzy autorzy dołączają do definicji. Przedstawiamy  szczegółowy dowód charakteryzacji bimodułów równoważności jako $C^*$-korespondencji odwracalnych, faktu co do którego również brak
stosownej referencji w literaturze.  

Struktura pracy przedstawia się następująco.

Rozdział pierwszy (preliminaria) poświęcony jest pojęciom i faktom związanym z teorią $C^*$-algebr. Zakładamy przy tym, że czytelnik spotkał się już z tymi terminami, na przykład przeszedł podstawowy kurs z teorii $C^*$-algebr i zna materiał, który można znaleźć w pierwszych rozdziałach \cite{Murphy}. W preliminariach jedynie przypominamy najważniejsze fakty i ustalamy konwencje.

Rozdział drugi można traktować osobnie jako  wprowadzenie do teorii $C^*$-modułów Hilberta. Omawiamy tu szczegółowo wszystkie definicje i dowodzimy podstawowe twierdzenia pełniące kluczową rolę w teorii.  Przedstawiamy szereg przykładów modułów Hilberta oraz  metod konstrukcji takich struktur, które okażą się użyteczne w dalszych częściach pracy. W tym samym rozdziale omówione są również pewne klasy odwzorowań między $C^*$-modułami Hilberta. Zrozumienie pojęć takich jak operator sprzęgalny czy operator zwarty jest niezbędne do zrozumienia dalszej części pracy. Ważnym punktem rozdziału drugiego jest charakteryzacja $C^*$-modułów Hilberta nad algebrami przemiennymi jako $C^*$-modułów cięć pewnej wiązki przestrzeni Hilberta. 
	
	Rozdział trzeci poświęcony jest tytułowemu pojęciu, mianowicie $C^*$-kores\-pon\-dencjom. Na szeregu przykładów pokazujemy,  że $C^*$-korespondencje stanowią naturalne wspólne uogólnienie dla wielu ważnych obiektów, takich jak:  reprezentacje, homomorfizmy, homomorfizmy w algebry mnożników, czy stabilizacje, a także grafy skierowane.  Omawiamy szczegółowo konstrukcję iloczynu tensorowego $C^*$-korespondencji oraz jego interpretację jako złożenia $C^*$-korespondencji traktowanych jako bardzo ogólne "`morfizmy"' między $C^*$-algebrami. Prowadzi to do kategorii $C^*$-algebr, w której morfizmami są klasy równoważności izomorficznych $C^*$-korespondencji. Jak pokazujemy morfizmy odwracalane w tej kateogorii są niczym innym jak bimodułami równoważności w sensie Mority-Rieffel'a. Na koniec omawiamy systemy produktowe i  wiązki Fella jako odpowiednio półgrupowe i grupowe działania $C^*$-korespondencji na $C^*$-algebrach. 


\chapter{Preliminaria}

W tym podrozdziale przypomnimy pokrótce podstawowe pojęcia, głównie z teorii $C^*$-algebr, patrz \cite{Murphy}. Przy okazji  ustalimy konwencje i notację. 
Wszystkie przestrzenie liniowe będą rozważane nad ciałem liczb zespolonych $\C$.
Iloczyn skalarny w przestrzeniach Hilberta jest liniowy ze względu na drugą współrzędną:
\begin{dfn}
 Przestrzenią \emph{unitarną} nazywamy przestrzeń wektorową $X$ z zadanym na niej działaniem dwuargumentowym
 $\langle \cdot, \cdot \rangle: X\times X \to \C$ spełniającym dla dowolnych $x,y,z \in X$, $\lambda, \mu \in \C$ następujące warunki: 
\begin{itemize}
\item[(1)] $\langle x, \lambda y  + \mu z \rangle =\lambda  \langle x, y \rangle\,  + \mu \langle x, z\rangle \,$ ;
\item[(2)] $\overline{\langle x, y \rangle}  = \langle y, x \rangle$; 
%\item[(3)] $\langle x, y a \rangle_A  = \langle y, x \rangle_A a $ for any $x\in X$ and $a\in A$;
\item[(3)]   $\langle x, x \rangle \geq 0$;
 \item[(4)]  $\langle x, x \rangle = 0\,\, \Longrightarrow \,\, x=0$.
 \end{itemize} 
Odwzorowanie $\langle \cdot, \cdot \rangle: X\times X \to \C$ nazywane jest \emph{iloczynem wewnętrznym}. Z definicji iloczynu wewnętrznego wynika, że funkcja
$
\| x\|:= \sqrt{|\langle x, x\rangle|}
$ 
jest normną na $X$. Powiemy, że $X$ jest \emph{przestrzenią Hilberta} jeżeli $X$ jest zupełna ze wzgledu na wyżej zdefiniowaną normę.
\end{dfn}
\begin{dfn}
\emph{Algebrą Banacha} nazywamy algebrę $A$, która jest jednocześnie przestrzenią Banacha ze względu na normę, która jest submultiplikatywna, tzn. dla dowolnych $a,b\in A$ zachodzi $
\|ab\|\leq\|a\|\|b\|.
$
Powiemy, że  $A$ jest \emph{przemienna}, jeżeli $ab=ba$ dla dowolnych $a,b\in A$.
\end{dfn}

\begin{dfn} \emph{$C^*$-algebrą} nazywamy algebrę Banacha $A$ wyposażoną w działanie $^*:A\to A$, które dla dowolnych
$a,b\in A$, $\lambda\in\C$ spełnia następujące warunki
$$
(\lambda a+b)^*=\overline{\lambda}a^*+b^*,
\quad
(ab)^*=b^*a^*,\quad
(a^*)^*=a,
$$
oraz zachodzi tzw. \emph{$C^*$-równość} $\|a a^*\|=\|a\|^2$.
\end{dfn}

 \begin{exm}[Przemienna $C^*$-algebra] 
Niech $M$ będzie lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa. Powiemy, że funkcja $a:M\to \C$ \emph{znika w nieskończoności} jeśli dla każdego $\varepsilon >0$ zbiór 
$\{t\in M: |a(t)|\geq \varepsilon\}$ jest zwarty w $M$. Przestrzeń 
$$C_0(M) =\{
a:M\to \C | \,\, a \text{ jest ciągła i znika w nieskończoności} \}
$$
jest przemienną $C^*$-algebrą ze względu na normę
$\|a\| = \sup_{t\in M} |a(t)|$, przy czym mnożenie jest zdefiniowane punktowo zaś $*$ jest braniem funkcji sprzężonej:
$$
a^*(t):=\overline{a(t)}.
$$ 
Dzięki twierdzeniu Gelfanda-Naimarka wiemy, że wszysstkie przemienne $C^*$-algebry są (z dokładnością do izomorfizmu) tej postaci. Zauważmy, że  $C_0(M)$ ma jedynkę wtedy i tylko wtedy gdy funkcja stała równa $1$ należy do $C_0(M)$, co zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy $M$ jest zwarta. Jeśli $M$ jest zwarta to  
$$
C_0(M)=C(M)=\{
a:M\to \C |\,\, a \text{ jest funkcją ciągłą}\}.
$$
\end{exm}
\begin{exm}[$C^*$-algebra operatorów ograniczonych]\label{ex:concrete_algebras}
 Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta. Wówczas
$B(H )=\{T:H\to H \text{ liniowy i ograniczony}\}$ 
jest $C^*$-algebrą z jedynką, gdzie norma jest standardową normą operatorową zaś $^*$ jest braniem operatora sprzężonego. Każda podalgebra $B(H)$ zamknięta ze względu na branie operatora sprzężonego, również jest $C^*$-algebrą. Twierdzenie Gelfanda-Naimarka-Segala
mówi, że każda $C^*$-algebra jest (z dokładnością do izomorfizmu) pewną podalgebrą $B(H)$.
W ogólności $*$-homomorfizm z $C^*$-algebry $A$ w $B(H)$, dla pewnej przestrzeni Hilberta $H$ jest nazywany \emph{reprezentacją} $C^*$-algebry $A$.
\end{exm}
\begin{dfn}
Niech $A$ będzie $C^*$ algebrą z jedynką. Widmem elementu $a\in A$ nazywamy zbiór
$$
\sigma(a):=\lbrace \lambda\in\C : a-\lambda 1 \text{ jest elementem nieodwracalnym w }A\}.
$$
\end{dfn}
\begin{rem}
Można pokazać, że dla dowolnego $a\in A$, $\sigma(a)$ jest niepustym zbiorem zwartym.
\end{rem}
\begin{dfn}
Powiemy, że element $a$ $C^*$-algebry $A$ jest hermitowski, jeżeli $a^*=a$. Ponadto powiemy, że element hermitowski $a\in A$ jest dodatni, jeżeli $\sigma(a)\subseteq [0,\infty)$. Zbiór elementów dodatnich $A$ będziemy oznaczać $A^+$.
\end{dfn}

Elementy dodatnie $A^+$ tworzą stożek w $A$. To znaczy zbiór $A^+$ jest zamknięty ze względu na dodawanie i mnożenie przez nieujemne skalary.
Stożek ten wprowadza na $A$ częściowy porządek; dla $a,b\in A$ piszemy:
$$
a\leq b \,\,\, \stackrel{def}{\Longleftrightarrow} \,\,\, b- a \in A^+.
$$
W szczególności, $a\geq 0$ oznacza, że $a\in A^+$.
 \begin{dfn}
Niech $A$ będzie $C^*$ algebrą. Funkcjonał $\rho\in A^*$ nazywamy dodatnim jeżeli dla dowolnego $a\in A^+$, $\rho(a)\geq 0$. Ponadto funkcjonał dodatni $\rho$  nazywamy stanem na $A$ o ile $\|\rho\|=1$. 
\end{dfn}
\begin{thm} 
Niech $a\in A$ będzie elementem $C^*$-algebry $A$. Następujące warunki są równoważne
\begin{itemize}
\item[1) ] $a\in A^+$,
\item[2) ] $\exists_{b\in A^+} \quad a=b^2$,
\item[3) ] $\exists_{b\in A} \quad a=b^*b$,
\item[4) ]  dla dowolnego stanu $\rho$ na $A$ zachodzi $\rho(a)\geq 0$.
\end{itemize}
\end{thm}
Mówiąc o \emph{homomorfizmach} między $C^*$-algebrami mamy na myśli odwzorowania liniowe, multiplikatywne i zachowujące inwolucję. 
Przypomnijmy, że każdy homomorfizm $\alpha:A\to B$  z $C^*$-algebry $A$ do $C^*$-algebry $B$ jest automatycznie kontrakcją i ma domknięty obraz - $\alpha(A)$ jest $C^*$-podalgebrą algebry $B$. Co więcej, $\alpha:A\to B$ jest injekcją wtedy i tylko wtedy, gdy jest izometrią; wtedy mówimy, że $\alpha$ jest włożeniem, lub \emph{zanurzeniem} $A$ w $B$.


Istnieją różne sposoby, na które można $C^*$-algebrę  $A$ zanurzyć w $C^*$-algebrze z jedynką. $C^*$-algebra mnożników $\MM(A)$ algebry $A$ jest w pewnym sensie największym ujedynkowieniem $C^*$-algebry $A$. Algebrę $\MM(A)$ można skonstruować na wiele różnych, równoważnych sposobów, jako: algebrę centralizatorów, w sposób konkretny, lub za pomocą modułów Hilberta, patrz Przykłady \ref{ex:C*-algebras as compacts},
\ref{ex:concrete_compacts}. Tutaj przypomnimy uniwersalną charakteryzację $\MM(A)$ jako maksymalnego istotnego ujedynkowienia $A$.


\begin{dfn} \emph{Ideałem} w $C^*$-algebrze $A$ nazywamy ideał dwustronny, domknięty w $A$. Taki ideał $I$ jest  automatycznie samosprzężony, a więc jest $C^*$-podalgebrą $A$. Ideał $I$ nazywamy \emph{istotnym} jeżeli dla dowolnego  niezerowego ideału $J$ w $A$ mamy $J\cap I\neq\lbrace 0\rbrace$.
\end{dfn}

\begin{thm}Dla każdej $C^*$-algebry $A$ istnieje $C^*$-algebra z jedynką $\MM(A)$ taka, że 
\begin{itemize}
\item[1)]  $A$ siedzi w $\MM(A)$ jako ideał istotny, tzn. mamy włożenie $A\hookrightarrow \MM(A)$,
\item[2)]  jeżeli $B$ jest $C^*$-algebrą z jedynką oraz $A\hookrightarrow B$ siedzi w $B$ jako ideał istotny, to istnieje 
włożenie $B\hookrightarrow \MM(A)$ takie, że złożenie włożeń $A\hookrightarrow B\hookrightarrow \MM(A)$ pokrywa się z włożeniem
z punktu 1).
\end{itemize}
Ponadto, jeśli $C$ jest $C^*$-algebrą z jedynką posiadającą powyższe własności 1) i 2), to $C\cong \MM(A)$.
\end{thm}
Algebrę $\MM(A)$ z powyższymi własnościami nazywamy \emph{algebrą mnożników} $C^*$-algebry $A$ (jest ona wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do naturalnego izomorfizmu).
\begin{exm}[Uzwarcenie Cecha-Stone'a] Jeśli $A$ jest przemienną $C^*$-algebrą, to $A\cong C_0(M)$, gdzie $M$ jest lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa. Ideały $I$ w $A$ są we wzajemnej jednoznaczności ze zbiorami otwartymi $U$ w $M$: $I\cong C_0(U)$. Oznaczając przez $\beta M$ uzwarcenie Cecha-Stone'a przestrzeni $M$, możemy utożsamić $M$ z otwartym i gęstym podzbiorem $\beta M$. Wtedy $A=C_0(M)$ jest ideałem istotnym w $C(\beta M)$. Z uniwersalnej charakteryzacji uzwarcenia Cecha-Stone'a nietrudno teraz zauważyć, że 
$$
\MM(A)=\MM(C_0(M))\cong C(\beta M).
$$
Dlatego czasem algebrę mnożników nazywa się nieprzemiennym uzwarceniem Cecha-Stone'a.
\end{exm}

\chapter{Moduły Hilberta}
\section{$C^{*}$-moduły Hilberta}
Przestrzeń Hilberta, lub ogólniej przestrzeń unitarna, jest to przestrzeń liniowa nad ciałem $\C$ wraz z iloczynem wewnętrznym przyjmującym  wartości w  $\C$. Zauważmy, że ciało liczb zespolonych $\C$ jest jednowymiarową $C^*$-algebrą. Idea leżąca u podstaw pojęcia $C^{*}$-modułu Hilberta polega na uogólnieniu przestrzeni Hilberta poprzez zastąpienie $\C$  dowolną $C^*$-algebrą $A$. Jako że $C^*$-algebra  $A$ jest pierścieniem, a nie ciałem\footnote{$A$ jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy $A=\C$}, takie uogólnienie prowadzi w sposób nieunikniony do pojęcia modułu.

Zatem podstawową strukturą w tym rodziale będzie  prawostronny moduł $X$  nad $C^{*}$-algebrą $A$. To znaczy $X$ jest grupą abelową, z działaniem $+:X\times X \longrightarrow X$, wraz z określonym odwzorowaniem ``prawego mnożenia przez elementy $A$'' $\cdot: X\times A\longrightarrow X$ spełniającego standardowe prawa rozdzielności i łączności:
$$ (x+y)\cdot a=x\cdot a+y\cdot a,
\qquad x\cdot(a+b)=x\cdot a+ x\cdot b, 
\qquad  x\cdot (ab)=(x\cdot a)\cdot b,$$
dla $a,b \in A$, $x,y\in X$. W dalszej części będziemy pomijać znak ``$\cdot$''. Konwencja by rozpatrywać prawe moduły ma swoje uzasadnienie.
 Po pierwsze, pozwala ona w sposób wyraźny odróżnić sytuację modułów od sytuacji przestrzeni liniowych, gdzie mnożenie przez
skalar zapisujemy z lewej strony. Po drugie prawostronny zapis mnożenia w modułach lepiej współgra z iloczynami wewnętrznymi (które są liniowe ze względu na drugą współrzędną). 

Podkreślmy tu, iż w literaturze \cite{Pas73}, \cite{lance},  \cite{RaeWill}, \cite{Jensen-Thomsen}, w definicji modułu hilbertowskiego zakłada się de facto, że prawy $A$-moduł $X$ jest dodatkowo przestrzenią liniową nad $\C$ oraz, że struktura liniowa $X$ jest kompatybilna ze strukturą liniową $C^*$-algebry $A$. W tym rozdziale pokażemy jednak, że istnienie takiej struktury liniowej na $X$ wynika z istnienia iloczynu wewnętrznego. Dzięki temu wynikowi nasza ``nowa'' definicja modułu hilbertowskiego się upraszcza i jest dokładnym odzwierciedleniem wspomnianej wyżej idei by ``$\C$ zastąpić przez $A$''.
\begin{dfn}\label{def:inner_product}
Niech $X$ będzie prawym $A$-modułem nad $C^{*}$-algebrą $A$ (nie zakładamy tu struktury liniowej na $X$).
%\emph{$A$-wartościowym pre-iloczynem wewnętrznym} %, lub też  
\emph{Nieujemną $A$-formą hermitowską}
na $X$ nazywamy odwzorowanie $\langle \cdot|\cdot\rangle _{A} : X\times X \to A$ o następujących własnościach
\begin{enumerate}
\item[1)]
$\langle  z|xa+yb\rangle _{A}=\langle  z|x\rangle _{A}a+\langle  z|y\rangle_{A}b$ \quad (\emph{liniowość  na drugiej współrzędnej})
\item[2)]
$\langle  x|y\rangle _{A}=\langle  y|x\rangle _{A}^{*}$,   \qquad \qquad\qquad \qquad\qquad \qquad(\emph{antysymetria})
\item[3)]
$\langle x|x\rangle _{A}\ge 0$,  \qquad \qquad  \qquad  \qquad \qquad \qquad (\emph{dodatnio-określoność})
\end{enumerate}
 gdzie $x,y,z \in X$, $a,b\in A$. 
Przy czym warunek   3)  oznacza, że $\langle x|x\rangle_{A}$ jest elementem dodatnim w $C^*$-algebrze $A$. 
Jeśli dodatkowo spełniony jest warunek 
\begin{enumerate}
\item[4)] $\langle x|x\rangle_A =0\,\,\Rightarrow\,\, x=0$ \qquad \qquad\qquad \qquad\quad  (\emph{niezdegenerowaność})
\end{enumerate}
dla każdego $x\in X$, to  $\langle \cdot|\cdot\rangle _{A}$ nazywamy \emph{$A$-iloczynem wewnętrznym}.
\end{dfn}
\begin{rem}\label{rem:conjugated module} Podobnie jak powyżej definiuje się $A$-formę hermitowską na lewych $A$-modułach: jedyna różnica polega na tym, że dla $A$-formy ${_A\langle \cdot ,\cdot \rangle}$ na lewym $A$-module zakłada się $A$-liniowość w pierwszym argumencie. Każdemu prawemu  $A$-modułowi $X$  z  $A$-formą $\langle \cdot ,\cdot \rangle_A$ odpowiada \emph{sprzężony lewy $A$-moduł}   $X^\str:=\{x^{\str}:x\in X\}$, gdzie
$$
  x^{\str}+y^{\str}:= (x+y)^\str,  \qquad a\cdot x^\str:= (x \cdot a^*) \qquad
{_A\langle} x^\str, y^\str\rangle :=\langle x,y\rangle_A,
$$
dla $x,y\in X, a\in A.
$
Definiując podobnie sprzężenie do lewego $A$-modułu, otrzymujemy $(X^\str)^\str=X$.
\end{rem}
\begin{lem} Każda
$A$-forma hermitowska na prawym $A$-module jest ``anty $A$-liniowa'' na pierwszej współrzędnej, tzn.
$$\text{$
\langle xa\pm yb|z\rangle_{A}=a^*\langle  x|z\rangle _{A}\pm b^*\langle  z|y\rangle_{A}
$ \qquad dla $x,y,z \in X$, $a,b\in A$.}
$$
\end{lem}
\begin{proof}
Korzystając z $A$-liniowości na drugiej współrzędnej mamy
$
\langle x|z\rangle_{A} + \langle x|-z\rangle_{A}=\langle x|z-z\rangle_{A}= \langle x|0\rangle_{A}=\langle x|0\rangle_{A}0=0.
$
Zatem $$\langle x|-z\rangle_{A}=-\langle x|z\rangle_{A}.
$$ Stąd i z antysymetrii 
 $
\langle xa\pm yb|z\rangle_{A}=\langle z|xa\pm yb\rangle_{A}^*
=\left(\langle  z|x\rangle _{A}a \pm\langle  z|y\rangle_{A}b\right)^*=a^*\langle  x|z\rangle _{A}\pm b^*\langle  z|y\rangle_{A}.
$
\end{proof}
Oczywistym przykładem $\C$-modułu z określonym $\C$-iloczynem wewnętrznym jest przestrzeń unitarna. Kluczową rolę w badaniu tej struktury pełni nierówność Schwarza. Okazuje się, że nierówność ta ma swój analog również w naszym ogólnym przypadku:

\begin{prop}%[Uogólniona nierówność Schwarza]
Niech $X$ będzie $A$-modułem nad $C^{*}$-algebrą $A$ i niech $\langle \cdot|\cdot\rangle_A$ będzie nieujemną  $A$-formą hermitowską na $X$. Dla dowolnych $x,y\in X$ mamy
\begin{equation}\label{eq:schwartz_inequality}
\langle x|y\rangle_A \langle y|x\rangle_A \le \|\langle y,y\rangle_A \|\langle x|x\rangle_A
\end{equation}
(nierówność ta zachodzi względem częściowego porządku określonego w  $A$).
\end{prop}
\begin{proof}
Przypomnijmy, że element $a\in A$ jest dodatni wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego stanu $\varrho$ na $A$ zachodzi $\varrho (a)\ge 0$. Niech więc $\varrho$ będzie stanem na $A$. Wówczas dla dowolnych $x,y\in X$, $a\in A$,  zachodzi
$$
0\le \varrho (\langle x-ya|x-ya\rangle_A )=\varrho (\langle x|x\rangle_A )-2 \Re \varrho (\langle x|y\rangle_A a ) +\varrho (a^* \langle y|y\rangle_A a).
$$
Kładąc $a=\langle y|x\rangle_A t$ dla dowolnego  $t\in\R$ otrzymujemy
$$ 
0\le\varrho (\langle x|x\rangle_A )-2t\varrho (\langle x|y\rangle_A \langle y|x\rangle_A ) +t^2\varrho (\langle x|y\rangle_A \langle y|y\rangle_A \langle y|x\rangle_A ).
$$
Zauważmy, że prawa strona powyższego wyrażenia jest funkcją kwadratową od $t$. Zatem jej wyróżnik   musi być nieujemny, a stąd
\begin{align*}
\varrho (\langle x|y\rangle_A \langle y|x\rangle_A )^2 &\le \varrho (\langle x|x\rangle_A )\varrho (\langle x|y\rangle_A \langle y|y\rangle_A \langle y|x\rangle_A )
\\
&\le \|\langle y|y\rangle_A \|\varrho (\langle x|x\rangle_A )\varrho (\langle x|y\rangle_A \langle y|x\rangle_A ).
\end{align*}
Dzieląc obustronnie przez $\varrho (\langle x|y\rangle_A \langle y|x\rangle_A )$ (jeżeli $\varrho (\langle x|y\rangle_A \langle y|x\rangle_A )=0$ nierówność jest oczywiście spełniona) otrzymujemy szukaną nierówność.
\end{proof}
\begin{cor}
Niech $\langle \cdot|\cdot\rangle_A$ będzie nieujemną  $A$-formą hermitowską na  $A$-module $X$. Połóżmy 
\begin{equation}\label{eq:norm_definition_Hilbert}
\|x\|:=\sqrt{\|\langle x|x\rangle_A\|},\qquad\text{dla } x\in X.
\end{equation}
Dla dowolnych $x,y\in X$ zachodzą nierówności 
\begin{itemize}
\item[1)] $\|\langle x|y\rangle_A \|\leq \|x\|  \|y\|$ \quad (nierówność Schwartza),

\item[2)]   $\|x+y\|\leq \|x\| + \|y\|$ \quad (nierówność trójkąta).
\end{itemize}
W szczególności odwzorowanie $d: X\times X\longrightarrow [0,\infty)$ dane wzorem
\begin{equation}\label{eq:metryka}
d(x,y):=\|x-y\|=\sqrt{\|\langle x-y|x-y\rangle_A \|}
\end{equation}
jest półmetryką na $X$ i jeśli $\langle \cdot|\cdot\rangle_A$ jest iloczynem wewnętrznym, to $d$ jest metryką.
\end{cor}
\begin{proof}
Przypomnijmy, iż nierówność $a\leq b$ w $C^*$-algebrze $A$ pociąga za sobą, że $\|a\|\leq \|b\|$. Zatem stosując $C^*$-równość oraz nierówność \eqref{eq:schwartz_inequality} dostajemy 
$$
\|\langle x|y\rangle_A \|^2=\|\langle x|y\rangle_A\, \langle y|x\rangle_A\|\leq \|x\|^2 \|y\|^2,
$$
co dowodzi punktu 1). 
Korzystając z właśnie udowodnionej nierówności oraz  z nierówności trójkąta normy w $A$ otrzymujemy
\begin{align*}
\|x +y\|^2&=\|\langle x+y|x+y\rangle_A \|\leq ||\langle x|x\rangle_A\|  +2 \|\langle x|y\rangle_A\| +\|\langle y|y\rangle_A\|
\\
&\leq \|x\|^2 +2\|x\|\|y\| +\|y\|^2 = (\|x\|+\|y\|)^2.
\end{align*}
To dowodzi punktu 2). Ostatnia część tezy wynika łatwo z 2).
\end{proof}
Od tej pory każdy $A$-moduł wraz z określoną na  nim nieujemną $A$-formą hermitowską będziemy rozważać jako \emph{przestrzeń topologiczną}, z topologią zadaną przez półmetrykę \eqref{eq:metryka}.

\begin{lem}\label{lem:continuity_of_operations}
Niech $X$ będzie prawym $A$-modułem  z  $A$-iloczynem wewnętrznym. 
Wówczas zarówno dodawanie $+: X\times X\longrightarrow X$, prawostronne mnożenie  $\cdot: X\times A\longrightarrow X$ jak i $A$-forma
$\langle \cdot|\cdot\rangle _{A} : X\times X \longrightarrow A$ są funkcjami ciągłymi.
\end{lem}
\begin{proof} Ciągłość dodawania wynika wprost z niezmienniczości półmetryki ze względu na przesunięcia. 
Dalej zauważmy, że dla $x\in X$ i $a\in A$ mamy
$$
\|xa\|^2=\|\langle xa|xa\rangle_A \|=\|a^*\langle x|x\rangle_A a\| \leq \|a\|^2 \|\langle x|x\rangle_A \|=\|a\|^2 \|x\|^2.
$$
Zatem korzystając z nierówności trójkąta mamy 
$$
\|xa-yb\|\leq \|x-y\| \|a\| + \|y\| \|a-b\|,
$$
 co implikuje ciągłość odwzorowania $\cdot: X\times A\longrightarrow X$. 
Dalej korzystając z nierówności Schwarza i nierówności trójkąta, dla $x,y,x',y'\in X$ mamy
\begin{equation}\label{eq:continouity_of_inner_product}
\|\langle x|y\rangle-\langle x'|y'\rangle_A\|=\|\langle x|y-y'\rangle-\langle x'-x|y'\rangle_A\|\leq \|x\| \|y-y'\| +  \|y\| \|x'-x\|. 
\end{equation}
Nierówność ta implikuje ciągłość odwzorowania $\langle \cdot|\cdot\rangle _{A} : X\times X \longrightarrow A$.
\end{proof}
\begin{dfn}(Prawym)
\emph{$C^*$-modułem Hilberta nad $A$} lub 
(prawym) \emph{$A$-mo\-du\-łem Hilberta} nazywamy prawy  $A$-moduł $X$  z $A$-iloczynem wewnętrznym $\langle \cdot|\cdot\rangle_A $ takim, że wraz z metryką daną wzorem \eqref{eq:metryka} przestrzeń  $X$ jest zupełna. 
\end{dfn}

Następujące stwierdzenie mówi, że każdy moduł z iloczynem wewnętrznym jest  \emph{topologicznie niezdegenerowany}, tzn.  elementy postaci $xa$, $x\in X$, $a\in A$ tworzą zbiór gęsty w $X$. Co więcej, jeśli $A$ ma jedynkę,  to moduł taki jest w rzeczywistości \emph{algebraicznie niezdegenerowany}, tzn. $X=\{xa:x\in X, a\in A\}$.  To samo zachodzi, gdy  $X$ jest przestrzenią zupełną, patrz Wniosek \ref{cor:non-degeneracy_Hilbert_module} 
\begin{prop}\label{prop:non-degeneracy_Hilbert_module}
Jeśli $X$ jest prawym $A$-modułem z $A$-iloczynem wewnętrznym, to   
$X=\overline{\{xa:x\in X, a\in A\}}$. W szczególności, jeśli $A$ ma jedynkę $1$, to $x1=x$ dla $x\in X$.
\end{prop}
\begin{proof}
Niech $\{u_i\}_{i\in I}$ będzie jedynką aproksymatywną w $A$. Dla każdego $x\in X$ mamy
$$
\langle x-xu_i, x-xu_i\rangle_A=\langle x, x\rangle_A -\langle x, x\rangle_A u_i - u_i\langle x, x\rangle_A
  +u_i\langle x, x\rangle_A u_i \longrightarrow 0 .
$$
 Zatem elementy postaci  $xu_i$, $x\in X$, $i\in I$, tworzą zbiór gęsty w $X$. To implikuje pierwszą część tezy. Druga część wynika z ciągłości mnożenia, patrz Lemat \ref{lem:continuity_of_operations}, oraz faktu, że $1$ działa (z prawej strony) na gęstym podzbiorze jak identyczność. Alternatywnie, w pierwszej części dowodu wystarczy wziąć $\{1\}$ w miejsce $\{u_i\}_{i\in I}$
\end{proof}


Załóżmy teraz, że  $X$ jest prawym $A$-modułem  gdzie $A$ jest algebrą z jedynką $1\in A$. Wtedy 
na $X$ możemy określić mnożenie przez skalar wzorem
$$
(\lambda x):= x (\lambda 1), \quad x\in X, \quad \lambda \in \C.
$$
W ten sposób $X$ staje się przestrzenią liniową, w której mnożenie przez skalar jest kompatybilne z mnożeniem modułów,
 tzn. 
\begin{equation}\label{eq:compatible_linear}
\lambda(xa)=(\lambda x)a=x(\lambda a) \qquad \text{ dla  } x\in X,\, \lambda \in\C, a\in A.
\end{equation}
Zauważmy, że jeżeli $\langle \cdot|\cdot\rangle _{A}$ jest $A$-formą hermitowską na $X$, to \eqref{eq:compatible_linear}
implikuje, że  $\langle \cdot|\cdot\rangle _{A}:X\times X\to X$ jest formą liniową ze względu na drugą i anty-liniową ze względu na pierwszą współrzędną (takie formy będziemy nazywać \emph{półtoraliniowymi}). Co więcej, w świetle  Stwierdzenia \ref{prop:non-degeneracy_Hilbert_module},
jeśli $X$ jest wyposażony w $A$-wartościowy iloczyn wewnętrzny, to  relacje \eqref{eq:compatible_linear} determinują jednoznacznie rozważane mnożenie przez skalar. Dla $C^*$-modułów Hilberta nad dowolną, niekoniecznie jedynkową, $C^*$-algebrą $A$ mamy:
\begin{thm}\label{thm:Hilbert_modules_are_Banach_spaces}
Każdy   $A$-moduł Hilberta  $X$ można wyposażyć w mnożenie przez skalar spełniające \eqref{eq:compatible_linear}.
Mnożenie to jest wyznaczone jednoznacznie.

Z tym mnożeniem $X$ staje się przestrzenią Banacha, \eqref{eq:norm_definition_Hilbert} jest normą, a $\langle \cdot|\cdot\rangle _{A}:X\times X\to X$ jest formą półtoraliniową.
\end{thm}
\begin{proof} Jednoznaczność mnożenia skalarnego spełniającego \eqref{eq:compatible_linear} wynika ze Stwierdzenia  \ref{prop:non-degeneracy_Hilbert_module} i ciągłości mnożenia modułowego, patrz Lemat \ref{lem:continuity_of_operations}. 
Aby wykazać istnienie żądanego mnożenia ustalmy jedynkę aproksymatywną  $\{u_i\}_{i\in I}$  w $A$. 
Niech $x\in X$ oraz $\lambda\in\C$. Zauważmy, że sieć $\lbrace x(\lambda u_{i})\rbrace_{i\in I}$ spełnia warunek Cauchy. Rzeczywiście,
\begin{align*}
\|x(\lambda u_{i})- x(\lambda u_{j})\|^2 &=\|\langle x(\lambda u_{i})-x(\lambda u_{j})|x(\lambda u_{i})-x(\lambda u_j)\rangle_A \|
%\\
%&=|\lambda|^2 \| u_{\lambda}\langle x|x\rangle_A u_{\lambda^\prime}-u_{\lambda}\langle x|x\rangle_A u_{\lambda^\prime}+u_{\lambda^\prime}\langle x|x\rangle_A u_{\lambda^\prime}-u_{\lambda\prime}\langle x|x\rangle_A u_{\lambda} ||\le
\\
&\le 2|\lambda|^2\|\langle x|x\rangle_A u_{i}-\langle x|x\rangle_A u_{j}\|\stackrel{i,j\to \infty}{\longrightarrow} 0.
\end{align*}
Zatem na mocy zupełności $X$ istnieje granica
\begin{equation}\label{eq:defn_of_scalar}
\lambda x:=\lim_{i\in I}x(\lambda u_{i}).
\end{equation}
Jasne jest, że skonstruowane w ten sposób odwzorowanie 
$\C\times X\ni (\lambda ,x)\mapsto \lambda x\in X$ spełnia 
\eqref{eq:compatible_linear}. Korzystając ze wzoru \eqref{eq:defn_of_scalar} łatwo sprawdzić 
 rozdzielność dodawania względem mnożenia, półtoraliniowość formy i jednorodność normy.  
 \end{proof}
Przypomnijmy, iż (prawym) \emph{modułem Banacha} nad algebrą Banacha $A$ nazywa się przestrzeń Banacha $X$ wraz z ciągłą funkcją dwuliniową $\cdot :X\times A\to X$ zadającą na   $X$ strukturę (prawego) modułu  nad $A$.
\begin{cor}\label{cor:Hilbert_implies_Banach}
Każdy $A$-moduł Hilberta jest modułem Banacha. 
\end{cor}
Twierdzenie  Hewitta-Cohena o Faktoryzacji zachodzi dla modułów Banacha nad algebrami Banacha z jedynką aproksymatywną, 
patrz np. \cite{Kisi}. My sformułujemy je, gdy $A$ jest $C^*$-algebrą (co ciekawe twierdzenie to można wtedy dowieść korzystając z teorii modułów Hilberta, patrz \cite[Proposition 2.33]{RaeWill}). 
\begin{thm}[Twierdzenie Cohena-Hewitta o Faktoryzacji]\label{thm:H-C-Factorisation}
Niech $X$ będzie prawym modułem Banacha nad $C^*$-algebrą $A$. Jeżeli $X$ jest topologicznie niezdegenerowany, to jest on niezdegenerowany algebraicznie, tzn. $X=\overline{\{xa:x\in X, a\in A\}}$ implikuje, że $X=\{xa:x\in X, a\in A\}$.
\end{thm}

\begin{cor}\label{cor:non-degeneracy_Hilbert_module}
Jeśli $X$ jest  $A$-modułem Hilberta, to $X=\{xa:x\in X, a\in A\}$.
\end{cor}
\begin{proof} Na mocy Wniosku \ref{cor:Hilbert_implies_Banach} i Stwierdzenia \ref{prop:non-degeneracy_Hilbert_module} możemy zastosować Twierdzenie  \ref{thm:H-C-Factorisation}.
\end{proof}
\section{Konstrukcje modułów Hilberta}
Każdy $A$-moduł z $A$-warto\-ściowym iloczynem wewnętrznym uzupełnia się do $A$-modułu Hilberta. 
\begin{prop}[Uzupełnienie]\label{prop:completion_of_pre-Hilbert}
Niech   $X_0$ będzie $A$-modułem z $A$-ilo\-czy\-nem wewnętrznym. Niech  $X$ będzie uzupełnieniem $X_0$ w metryce \eqref{eq:metryka}.
Wtedy  $X$ jest  $A$-modułem Hilberta   zawierjącym $X_0\subseteq X$ jako gęsty $A$-podmoduł. 
Mianowicie, operacje w $X$, dla $x,y\in X$ i $a\in A$, dane są wzorami
\begin{equation}\label{eq:operations in the completion}
 x+y:=\lim_{n\to \infty} x_n +y_n,
\qquad  x a = \lim_{n\to \infty} x_n a,\qquad \langle x,y\rangle_A=\lim_{n\to \infty}\langle x_n,y_n\rangle_A,
\end{equation}
gdzie $\{x_n\}$, $\{y_n\}\subseteq X_0$ są dowolnymi ciągami takimi, że $x_n\to x$ i $y_n\to y$.
\end{prop}
\begin{proof} Niech $\{x_n\}$, $\{y_n\} \subseteq X_0$ takie, że $x_n\to x$ i $y_n\to y$ w $X$.
Nietrudno zauważyć, że ciągi $\{x_n+y_n\}$, $\{x_na\}$ oraz $\{\langle x_n,y_n\rangle_A\}$ są ciągami Cauchy; na przykład korzystając z \eqref{eq:continouity_of_inner_product} mamy
$$
\|\langle x_n|y_n\rangle-\langle x_m|y_m\rangle_A\|
\leq \|x_n\| \|y_n-y_m\| +  \|x_m-x_n\|  \|y_m\|\stackrel{n,m\to \infty}{\longrightarrow} 0,
$$
gdyż ciągi $\{\|x_n\|\}$, $\{\|y_n\|\}$ jako zbieżne są ograniczone. Zatem granice w \eqref{eq:operations in the completion}
istnieją (i nie zalężą od wyboru ciągów $x_n\to x$ i $y_n\to y$). Rozdzielność $A$-mnożenia względem dodawania, $A$-liniowość na drugiej współrzędnej oraz antysymetria odwzorowania $\langle \cdot|\cdot\rangle _{A} : X\times X \to A$ wynikają wprost z \eqref{eq:operations in the completion} oraz faktu, że operacje te zachodzą w $X_0$. Aby pokazać dodatnio określoność zauważmy, że 
$
\langle x|x\rangle=\lim_{n\to\infty}\langle x_n|x_n\rangle \geq 0,
$ jest elementem dodatnim, gdyż zbiór elementów dodatnich jest domknięty  w $A$. Jeśli założymy, że $\langle x|x\rangle=0$,  to $
\lim_{n\to\infty}\langle x_n|x_n\rangle=0,
$
czyli $\lim_{n\to\infty}x_n=0$, więc $x=0$. Tym samym udowodniliśmy tezę.
\end{proof}
Następujący  lemat wykorzystamy by wywnioskować dwie rzeczy. 
Po pierwsze, każdy  $A$-moduł  z nieujemną $A$-formą hermitowską faktoryzuje się 
do $A$-modułu z $A$-iloczynem wewnętrznym. 
Po drugie, moduły Hilberta  posiadają naturalne ilorazy nad $C^*$-algebrami ilorazowymi. 
\begin{lem}\label{lem:quotients_semi-inner_products}
Niech $I$ będzie ideałem w $C^*$-algebrze  $A$ i niech
 $X$ będzie  prawym $A$-modułem z nieujemną $A$-formą hermitowską $\langle \cdot|\cdot\rangle_A$.
Wtedy
\begin{equation}\label{eq:null_space_for_inner}
N:=\lbrace x\in X : \langle x|x\rangle_A \in I \rbrace= \lbrace x\in X : \langle x|y\rangle_A \in I \text{ dla każdego }y\in X \rbrace
\end{equation}
jest domkniętym $A$-podmodułem  $X$. Przestrzeń $X/N$  jest  $A/I$-modułem z $A/I$-iloczynem wewnętrznym, gdzie
$$
(x+N)(a+I):=xa +N,\qquad \langle x+N|y+N\rangle_{A/I}:=\langle x|y\rangle_A +I, \qquad x,y\in X.
$$
Odległość ilorazowa na $X/N$ pokrywa się z  metryką zadaną przez $\langle \cdot |\cdot\rangle_{A/I}$.
\end{lem}
\begin{proof}
Niech $N:=\lbrace x\in X : \langle x|x\rangle_A \in I \rbrace$. Inkluzja $\lbrace x\in X : \langle x|y\rangle_A \in I \text{ dla wszystkich }y\in X\rbrace \subseteq N$ jest jasna. By wykazać inkluzję przeciwną weźmy $x\in N$ i $y\in X$.  Na mocy \eqref{eq:schwartz_inequality} mamy
$\langle x|y\rangle_A  (\langle x|y\rangle_A)^* \le \|\langle y,y\rangle_A \|\,\langle x|x\rangle_A \in I$. 
Zatem  $\langle x|y\rangle_A\in I$, patrz np. 
\cite[Proposition 1.4.5]{Pedersen}.  Czyli zachodzi równość w \eqref{eq:null_space_for_inner}. 
Stąd otrzymujemy natychmiast
$N+N\subseteq N$. Jasne jest także, że  $N\cdot A \subseteq N$. Zbiór $N$ jest  domknięty na mocy ciągłości $A$-formy. 
Zatem  $N$ jest domkniętym $A$-podmodułem modułu $X$. 
Skoro $\{x\cdot i:x\in X, i\in I\}\subseteq N$, to prawe działanie $A/I$ na $X/N$ jest poprawnie określone. 
Korzystając z \eqref{eq:null_space_for_inner} otrzymujemy, że   produkt wewnętrzny na  $X/N$ jest poprawnie określony (niezdegenerowaność wynika wprost z konstrukcji). 

By wykazać ostatnią część tezy, niech $\|x+N\|$ oznacza ``normę" indukowaną przez $A/I$-iloczyn wewnętrzny  i niech $\|x+N\|_{X/N}$ będzie ``normą ilorazową''.
To znaczy,  
$$
\|x+N\|^2=\inf_{i\in I}\|\langle x, x\rangle_A - i\| \quad\text{oraz}\quad \|x+N\|_{X/N}^2=\inf_{y\in N}\|\langle x-y, x-y\rangle_{A}\|.
$$ 
Jako że $\langle x- y, x-y\rangle_{A}= \langle x, x\rangle_{A} - i$ dla $i:=\langle y, y\rangle_{A} - \langle x, y\rangle_{A} - \langle y, x\rangle_{A} \in I$, to  
$\|x+N\|\leq  \|x+N\|_{X/N}$. By wykazać nierówność przeciwną przypomnijmy, iż dla dowolnej jedynki aproksymatywnej 
$\{u_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ w $I$,  dla każdego $a\in A$ mamy 
$\inf_{i\in I}\|a - i\|=\lim_{\lambda \in \Lambda} \|a-  au_\lambda\|$, patrz np. \cite[1.5.4]{Pedersen}.
Zauważmy też, że $\|u_\lambda a- u_\lambda a u_\lambda\|\leq \|\mu_\lambda\| \|a-  a u_\lambda\| \to 0$. 
Zatem
\begin{align*}
\|x+N\|^2&=\lim_{\lambda \in \Lambda}\|\langle x, x\rangle_{A} - \langle x, x\rangle_{A} u_{\lambda}\Big)\|
\\
&=\lim_{\lambda \in \Lambda}\|\langle x, x\rangle_{A} - \langle x, x\rangle_{A} u_{\lambda}  - \Big(u_{\lambda}\langle x, x\rangle_{A} + 
u_{\lambda}\langle x, x\rangle_{A} u_\lambda\Big)\|
\\
&=\lim_{\lambda \in \Lambda}\|\langle x- xu_{\lambda}, x- x u_{\lambda}\rangle_{A}\|\leq  \|x+N\|_{X/N}^2,
\end{align*}
gdzie nierówność zachodzi, gdyż $\{x\cdot i:x\in X, i\in I\}\subseteq N$. 
\end{proof}
\begin{cor}[Eliminacja wektorów izotropowych]\label{cor:elimination}
Każda nieujemna  $A$-formą  hermitowska $\langle \cdot|\cdot\rangle_A$ na $X$
faktoryzuje się do $A$-iloczynu wewnętrznego na $X/N$ gdzie $N:=\lbrace x\in X : \langle x|x\rangle_A =0 \rbrace$. To znaczy 
$X/N$ jest modułem ilorazowym z prawym działaniem $(x+N)a:=xa +N$  i $A$-iloczynem wewnętrznym
 $$
\langle x+N|y+N\rangle_A:=\langle x|y\rangle_A, \qquad x,y\in X.
$$
\end{cor}
\begin{proof}
Wystarczy zastosować Lemat \ref{lem:quotients_semi-inner_products} dla ideału  $I=\{0\}$.
\end{proof}
\begin{cor}[Ilorazowe moduły Hilberta]\label{cor:quotients_of_Hilbert_modules}
Niech  $X$ będzie prawym  $A$-modułem z $A$-iloczynem wewnętrznym. Dla każdego ideału $I$  w   $A$ mamy 
\begin{align*}%\begin{equation}\label{eq:null_space_for_inner}
XI:&=\overline{\{x\cdot i:x\in X, i\in I\}}=\lbrace x\in X : \langle x|x\rangle_A \in I \rbrace
\\
&= \lbrace x\in X : \langle x|y\rangle_A \in I \text{  dla każdego  }y\in X \rbrace
\end{align*}%\end{equation}
Jeśli $X$ jest $A$-modułem Hilberta, to $XI=\{x\cdot i:x\in X, i\in I\}$ 
i moduł ilorazowy  $X/XI$  jest modułem Hilberta nad $A/I$. 
\end{cor}
\begin{proof}
Z Lematu \ref{lem:quotients_semi-inner_products} wiemy, że $N=\lbrace x\in X : \langle x|x\rangle_A \in I \rbrace
= \lbrace x\in X : \langle x|y\rangle_A \in I \text{ dla każdego }y\in X \rbrace$ i jest to zbiór domknięty w $X$. Możemy go traktować jako $I$-moduł z $I$-iloczynem wewnętrznym. Zatem $N=XI=\overline{\{x\cdot i:x\in X, i\in I\}}$ na mocy Stwierdzenia  \ref{prop:non-degeneracy_Hilbert_module}. Jeśli dodatkowo $X$ jest zupełny,  to  $N=XI$ jest $I$-modułem  Hilberta, a zatem  $XI=\{x\cdot i:x\in X, i\in I\}$ 
w świetle Wniosku  \ref{cor:non-degeneracy_Hilbert_module}. Przypomnijmy, patrz Twierdzenie \ref{thm:Hilbert_modules_are_Banach_spaces}, że 
$X$ jest przestrzenią Banacha. Wtedy $XI$ jest domkniętą podprzestrzenią liniową $X$. Skoro norma na $X/XI$ jest standardową normą ilorazową dla przestrzeni Banacha, patrz ostatnia część Lematu \ref{lem:quotients_semi-inner_products}, to zupełność $X/XI$ wynika, ze znanego faktu, że przestrzeń ilorazowa przestrzeni Banacha przez podprzestrzeń Banacha jest  przestrzenią Banacha.
\end{proof}
Oczywiście każdy domknięty $A$-podmoduł $A$-modułu Hilberta $X$ jest również  w naturalny sposób $A$-modułem Hilberta - \emph{podmodułem Hilberta} modułu $X$. Zauważmy, że podmoduł $XI$ we Wniosku \ref{cor:quotients_of_Hilbert_modules} możemy traktować zarówno jako $A$-moduł za $A$-iloczynem wewnętrznym  jak i  $I$-moduł z $I$-iloczynem wewnętrznym. Aby wyjaśnić ogólnie możliwość obcięcia i rozszerzenia algebry współczynników wprowadźmy następującą:
\begin{dfn}
Powiemy, że $A$-moduł Hilberta $X$, lub też, że określony na nim   $A$-iloczyn wewnętrzny $\langle \cdot |\cdot\rangle_A$,  jest  \emph{pełny} jeżeli  $\langle X|X\rangle_A=A$, gdzie
$$
\langle X|X\rangle_A:=\clsp\{ \langle x|y\rangle_A:  x,y\in X\}.
$$
 \end{dfn}
\begin{lem}[Obcięcie algebry współczynników]\label{lem:restriction of codomain}
Dla każdego $A$-modułu Hilberta $X$, przestrzeń $\langle X|X\rangle_A$ jest ideałem w $C^*$-algebrze $A$.
Dla każdej $C^*$-algebry $B$ takiej, że $\langle X|X\rangle_A \subseteq B \subseteq A$, możemy $X$ traktować 
jako $B$-moduł Hilberta. 
W szczególności, $X$ jest  pełny, gdy traktować go jako   $\langle X|X\rangle_A$-moduł.
\end{lem}   
\begin{proof}
To że $\langle X|X\rangle_A$ jest ideałem w $A$ wynika natychmiast stąd, że 
$a\langle x|y\rangle_A b=\langle xa^*|yb\rangle_A$ dla  $x,y\in X$, $a,b\in A$. Pozostała część tezy jest oczywista.
\end{proof}

\begin{lem}[Rozszerzenie algebry współczynników]\label{lem:extension of codomain} 
Załóżmy, że $X$ jest $A$-modułem Hilberta, gdzie $A$ jest ideałem w $C^*$-algebrze $B$. $A$-mnożenie  na $X$ przedłuża się w jednoznaczny sposób do $B$-mnożenia tak, że $X$ jest $B$-modułem Hilberta z  iloczynem wewnętrznym $ \langle x|y\rangle_B:=\langle x|y\rangle_A \in A \subseteq B$ dla $x,y \in X$. 
\end{lem}   
\begin{proof}
Niech $\{\mu_\lambda\}_{\lambda\in \Lambda}$ będzie jedynką aproksymatywną w $A$. W świetle Wniosku \ref{cor:non-degeneracy_Hilbert_module}.
Jeśli prawe $A$-mnożenie się przedłuża do $B$-mnożenia to musi być zadane wzorem $x b:=\lim_{\lambda} x (\mu_\lambda b)$ dla $x\in X$, $b\in B$.  Aby wykazać, że granica $\lim_{\lambda} x (\mu_\lambda b)$ zawsze istnieje wystarczy pokazać, że $\{x (\mu_\lambda b)\}_{\lambda\in \Lambda}$ jest siecią Cauchy, co sprawdza się analogicznie jak w dowodzie Twierdzenie \ref{thm:Hilbert_modules_are_Banach_spaces}. 
Proste rachunki pokazują, że z tak określonym $B$-mnożeniem, $X$ jest $B$-modułem.  Również $B$-liniowość iloczynu wewnętrznego jest łatwa do sprawdzenia: 
$
\langle x|yb\rangle_B=\langle x|\lim_{\lambda} y (\mu_\lambda b)\rangle_A= \lim_{\lambda} \langle x |y\rangle_A  (\mu_\lambda b)= 
\lim_{\lambda} (\langle x |y\rangle_A  \mu_\lambda) b= \langle x| y\rangle_A b.
$
\end{proof}
Mamy również naturalne pojęcie sumy prostej modułów Hilberta. Przyjmujemy tu następującą konwencję dotyczącą
zbieżności szeregu. Dla dowolnej rodziny  $\{a_{i}\}_{i\in I}$  elementów w przestrzeni Banacha $E$,
 oznaczamy przez $F(I)$ rodzinę skończonych podzbiorów zbioru $I$. Rodzina $F(I)$ jest naturalnie skierowna ze względu na inkluzję. 
Jeżeli sieć $\{\sum_{i \in F} a_i\}_{F\in F(I)}$ jest zbieżna, to   jej granicę oznaczamy przez $\sum_{i\in I} a_i$ i mówimy, że  \emph{szereg $\sum_{i\in I} a_i$ jest zbieżny} w $E$. 
W szczególności szereg $\sum_{i\in I} a_i$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego $\varepsilon >0$ istnieje $U\in F(I)$ taki, że dla dowolnego skończonego podzbioru $F\subseteq I\setminus U$  mamy $\|\sum_{i\in F} a_i\|<\varepsilon$.
\begin{prop}(Suma prosta)\label{prop:direct_sum_Hilbert_modules}
Niech $\{X_i\}_{i\in I}$ będzie rodziną $A$-modułów Hilberta. Zbiór
$$
\bigoplus_{i\in I} X_i:=\{(x_i)\in \prod_{i\in I} X_i: \text{szereg }\sum_{i\in I} \langle x_i, x_i\rangle_A \text{ jest zbieżny w } A\}
$$
wraz z działaniami 
$$
(x_i) +(y_i):=(x_i+y_i), \quad (x_i)a:=(x_i a),\quad  \langle (x_i), (y_i)\rangle_A=\sum_{i\in I}\langle x_i, y_i\rangle_A 
$$
gdzie $(x_i), (y_i)\in \bigoplus_{i\in I} X_i$, $a\in A$, jest $A$-modułem Hilberta. 
\end{prop}
\begin{proof}
Niech $F\in F(I)$. Jasne jest, że skończona suma prosta  $\bigoplus_{i\in F} X_i$ wraz z powyżej określonymi
działanimi jest prawym $A$-modułem z $A$-iloczynem wewnętrznym. Zatem  dla ``normy'' w tej sumie zachodzi nierówność trójkąta. 
Zatem dla dowolnych $(x_i), (y_i)\in \bigoplus_{i\in I} X_i$ mamy
$$
\| \sum_{i\in F}\langle x_i+y_i, x_i+ y_i\rangle_A\| \leq  \| \sum_{i\in F}\langle x_i, x_i\rangle_A\| +
 \| \sum_{i\in F}\langle y_i, y_i\rangle_A\|.
$$
Dla $F$ leżącego poza dostatecznie dużym zbiorem z $F(I)$ prawe strony powyższej nierówności będą dowolnie małe. Czyli szereg $\sum_{i\in F}\langle x_i+y_i, x_i+ y_i\rangle_A$ jest zbieżny, tzn. 
$(x_i) +(y_i)\in \bigoplus_{i\in I} X_i$. Analogicznie z nierówności Schwartza w $\bigoplus_{i\in F} X_i$:
$$
\| \sum_{i\in F}\langle x_i, y_i\rangle_A\| \leq  \| \sum_{i\in F}\langle x_i, x_i\rangle_A\| \cdot
 \| \sum_{i\in F}\langle y_i, y_i\rangle_A\|
$$
wynika, że szereg $\sum_{i\in I}\langle x_i, y_i\rangle_A$ jest zbieżny, tzn. $A$-forma jest poprawnie określona. Podobnie, dla 
$a\in A$, nierówność
 $$
\| \sum_{i\in F}\langle x_ia, x_ia\rangle_A\| =\|a^* \sum_{i\in F}\langle x_i, x_i\rangle_A a\|  \leq \|a\|^2\| \sum_{i\in F}\langle x_i, x_i\rangle_A\|
$$
implikuje, iż prawe $A$-mnożenie jest poprawnie określone. Sprawdzenie, że $\bigoplus_{i\in I} X_i$ jest prawym $A$-modułem z $A$-iloczynem wewnętrznym nie nastręcza trudnośći. Potrzebujemy jeszcze tylko  wykazać zupełność. 

Niech $x^n= (x_i^n)\in \bigoplus_{i\in I} X_i$ dla $n\in \N$ będzie ciągiem Cauchy w $\bigoplus_{i\in I} X_i$.
Dla każdego  $(x_i)\in \bigoplus_{i\in I} X_i$ oraz $i_0\in I$ mamy $\|x_{i_0}\|\leq \|(x_i)\|$.  Stąd  wynika natychmiast,
że dla każdego $i\in I$ ciąg $\{x_{i}^n\}_{n\in \N}$ jest ciągiem Cauchy w $X_i$, a zatem jest zbieżny do pewnego elementu $x_i^0\in X_i$. Potrzebujemy pokazać, że $x^0:=(x_i^0)$ należy do $\bigoplus_{i\in I} X_i$ oraz że ciąg $\{x^n\}_{n\in \N}$ zbiega do $x^0$ w 
 $\bigoplus_{i\in I} X_i$. 

Weźmy dowolny $\varepsilon >0$. Niech $N$ będzie takie, że $\|x^M-x^N\|<\varepsilon/3$ dla każdego $M \geq N$. 
Niech zbiór $U\in F(I)$ będzie taki, że dla każdego $F\in F(I)$ zawartego w $I\setminus U$ mamy 
$
\| \sum_{i\in F}\langle x_i^N, x_i^N\rangle_A\|\leq \varepsilon/3 
$.
Niech $F\in F(I)$ będzie zawarty w $I\setminus U$. Wprowadźmy oznacznie $\|(x_i)\|_F:=\sqrt{\|\sum_{i\in F}\langle x_i, x_i\rangle_A\|}$ - jest to ``norma rzutu'' elementu $(x_i)\in \bigoplus_{i\in I} X_i$ na podmoduł $\bigoplus_{i\in F} X_i$. 
Zauważmy, że $\|(x_i)\|_F^2\leq\sum_{i\in F}\|x_i\|^2$. Stąd i z konstrukcji $x^0$, dla dostatecznie dużego $M\geq N$
mamy $\| x^0 - x^M\|_F<\varepsilon /3$. Reasumując dostajemy
\begin{align*}
\|x^0\|_F\leq \|x^0-x^M\|_F+ \|x^M-x^N\|_F+\|x^N\|_F<\varepsilon/3 +\varepsilon/3+\varepsilon/3=\varepsilon.
\end{align*}
To dowodzi zbieżności szeregu $\sum_{i\in I} \langle x_i^0, x_i^0\rangle_A$. Zatem $x^0\in \bigoplus_{i\in I} X_i$. 

Aby wykazać, że $x^n$ zbiega do $x^0$ wystarczy pokazać, że dla dowolnego $\varepsilon >0$ istnieje $N$ takie, że dla dowolnego 
$F\in F(I)$ zachodzi $\|x^N-x^0\|<\varepsilon$. Dla dowolnego $\varepsilon >0$ istnieje $N$ takie, że 
$\|x^N-x^M\|<\varepsilon/2$ dla każdego $M\geq N$. Tym bardziej  
$\|x^N-X^M\|_F<\varepsilon/2$ dla każdego $M\geq N$ oraz $F\in F(I)$. Dla każdego $F\in F(I)$ istnieje $M$ takie, że  $\| x^0 - x^M\|_F<\varepsilon /2$.  Stąd
$$
\|x^N-x^0\|_F\leq \|x^N-x^M\|_F+\|x^M-x^0\|_F< \varepsilon,
$$
co kończy dowód stwierdzenia.
\end{proof}
\section{Przykłady modułów Hilberta}

\begin{exm}[Przestrzeń Hilberta]
Przestrzenie Hilberta są niczym innym jak modułami Hilberta nad $\C$, czyli  $C^*$-algebrą wymiaru jeden.
\end{exm}
\begin{exm}[$C^*$-algebry]\label{ex:trivial_module}
Każdą $C^*$-algebrę $A$ możemy w naturalny sposób traktować jako $A$-moduł Hilberta wraz z operacjami odziedziczonymi z $A$. Mianowicie, na przestrzeni liniowej $A_A:=A$ wyposażamy prawe mnożenie odziedziczone z $A$
oraz $A$-wartościowy iloczyn wewnętrzny dany wzorem
$$
\langle x, y \rangle_A:= x^*y, \qquad x, y \in A_A.
$$
Zauważmy, że $\|x\|^2_{A_A}=\|\langle x, x \rangle_A\|_A=\|x^*x\|_A=\|x\|^2_A$, tzn.  norma w module $A_A$  pokrywa się z normą w $C^*$-algebrze  $A$. W szczególności, pokazuje  to zupełność  $A_A$. Moduł $A_A$ nazywamy \emph{trywialnym modułem Hilberta nad $A$}. Zauważmy, że jeżeli  $J$ jest  domkniętym prawym ideałem  w  $A$, to przestrzeń  $J_A:=J$  jest podmodułem Hilberta modułu $A_A$. %The Hilbert $A$-module $J_A$ is full if and only if $J=A$. 
Każdy podmoduł Hilberta modułu  $A_A$ jest postaci $J_A$ dla pewnego domkniętego prawego ideału w $A$. 
\end{exm}
\begin{exm}[Standardowy $A$-moduł Hilberta]\label{ex:standard_module}
Sumę prostą przeliczalnej ilości kopii modułu trywialnego $A_A$ oznacza się $\HH_A:=\bigoplus_{k=1}^\infty A_A$ i nazywa się \emph{standardowym $A$-modułem}. To znaczy, por. Stwierdzenie   \ref{prop:direct_sum_Hilbert_modules},
 $\HH_A$ jest $A$-modułem Hilberta, gdzie
$$
 \HH_A=\{(x_k)\in \prod_{k=1}^\infty A: \text{szereg } \sum_{k=1}^\infty x_k^*x_k \text{ zbiega } A\},
$$
 $(x_k) +(y_k)=(x_k+y_k)$, $(x_k)a=(x_ka)$ oraz $\langle (x_k), (y_k)\rangle_A=\sum_{k=1}^\infty x_k^*x_k$.
Znaczenie standardowowego $A$-modułu $\HH_A$ w teorii obrazuje słynne twierdzenie Kasparova, które mówi, że moduł $\HH_A$ pochłania każdy przeliczalnie generowany $A$-moduł Hilberta.  Dokładniej, mówimy, że $A$-moduł Banacha $X$ jest \emph{przeliczalnie generowany}, jeżeli istnieje ciąg elementów $\{x_n\}_{n=1}^\infty\subseteq X$ takich, że $X=\clsp\{ x_n a: a \in A, n\in \N\} $. Twierdzenie Kasparova mówi, że
jeżeli $X$ jest przeliczalnie generowanym $A$-modułem Hilberta to suma prosta $X\oplus \HH_A$ jest izomorficzna z $\HH_A$:
$$
X \text{ jest przeliczalnie generowany }\Longrightarrow \,\,\, X\oplus \HH_A \cong \HH_A.
$$
Przy czym mamy tu na myśli \emph{izomorfizm $A$-modułów Hilberta}: dla $A$-modułów Hilberta piszemy 
$X\cong Y$ jeżeli istnieje bijekcja $\Phi:X\to Y$ zachowująca $A$-formy - wtedy $\Phi$ automatycznie zachowuje całą strukturę, w szczególności jest $A$-liniową izometrią, patrz \cite[Theorem 1.1.24]{Jensen-Thomsen}.  Jako wniosek otrzymujemy stwierdzenie 
\begin{quote}
\emph{Każdy przeliczalnie generowany $A$-moduł Hilberta jest izomorficzny z podmodułem $\HH_A$.}
\end{quote}
\end{exm}
\begin{exm}[Konkretne  $A$-moduły Hilberta]\label{ex:concrete_Hilbert_modules}
Załóżmy, że $A$ jest \emph{konkretną} $C^*$-algebrą, tzn. że $A\subseteq \BB(H)$ jest $C^*$-algebrą operatorów działających w pewnej
przestrzeni  Hilberta $H$. Załóżmy, że  $X\subseteq \BB(H)$ jest domkniętą podprzestrzenią taką, że 
$$
XA \subseteq X, \qquad X^* X\subseteq A.
$$
Wtedy $X$ z dodawaniem i prawym $A$-mnożeniem odziedziczonym z algebry $\BB(H)$  oraz iloczynem $A$-wewnętrznym zdefiniowanym, jak w Przykładzie \ref{ex:trivial_module}, wzorem  $\langle x, y \rangle_A:= x^*y$,  $ x, y\in X$,  jest $A$-modułem Hilberta. Moduły tej postaci będziemy nazywać
\emph{konkretnymi $A$-modułami Hilberta}. 
Twierdzenie Gelfanda-Naimarka-Segala, por. Przykład \ref{ex:concrete_algebras}, uogólnia się na moduły Hilberta. To znaczy 
każdy $A$-moduł Hilberta $X$ jest izomorficzny z pewnym konkretnym $A$-modułem Hilberta, patrz np. \cite{Mur}.
\end{exm}

\begin{exm}[Konkretne $\C$-moduły  Hilberta  i algebry Cuntza]
Rozpatrzmy bardziej dokładnie przypadek konkretnych $A$-modułów Hilberta, gdy $A=\C$. 
Niech $d\in \N\cup \{\infty\}$. Na (nieskończenie wymiarowej) przestrzeni Hilberta $H$ można skonstruować rodzinę 
 $\{S_i\}_{i=1}^d \subseteq \BB(H)$ izometri o wzajemnie ortogonalnych obrazach. Algebraicznie jest to równoważne następującym relacjom:  
\begin{equation}\label{eq:Cuntz-Relations}
 S^*_iS_j = 1 \delta_{i,j},\qquad \text{ for all } i,j=1,\dots,
\end{equation}
gdzie $\delta_{i,j}$ jest deltą Kroneckera, a $1\in \BB(H)$ jest operatorem identycznościowym. 
Kładąc
$$
X=\clsp\{S_i\}_{i=1}^d\qquad  \text{ oraz }\qquad A=\C 1\subseteq \BB(H),
$$ 
otrzymujemy konkretny $\C$-moduł Hilberta ($d$-wymiarową przestrzeń Hilberta - operacjami odziedziczonymi z $\BB(H)$).
W szczególności, jeśli $x=\sum_{i=1}^d \lambda_i S_i$ i $y=\sum_{i=1}^d \gamma_i S_i$ należą do $X$ dla pewnych $\lambda_i$, $\gamma_i\in \C$, to
korzystając z \eqref{eq:Cuntz-Relations} otrzymujemy
$$
x^*y= (\sum_{i=1}^d \lambda_i S_i)^*  \sum_{j=1}^d \gamma_j S_j=\sum_{i,j=1}^d  \overline{\lambda_i} \gamma_j  S^*_iS_j
=(\sum_{i=1}^d \overline{\lambda_i} \gamma_i) 1 \in A.
$$
Patrząc na powyższy rachunek nietrudno jest sytaucję odwrócić. To znaczy, jeżeli $X\subseteq \BB(H)$ jest dowolnym konkretnym ośrodkowym (przeliczalnie generowanym) modułem Hilberta nad $A=\C1$, to jest on powyższej postaci (wtedy $X$ jest ośrodkową przestrzenią Hilberta, więc posiada ortonormalną bazę przeliczalną $\{S_i\}_{i=1}^d$). 
Co więcej, z dokładnością do izomorfizmu, każdy (ośrodkowy) $\C$-moduł Hilberta jest powyższej postaci, gdzie dodatkowo 
możemy wybrać izometrie $\{S_i\}_{i=1}^d$ tak, aby sum ich obrazów dawała całą przestrzeń $H$, tj.
$$
\sum_{i=1}^d S_i S_i^*=1.
$$ 
Wtedy $C^*$-algebra $
C^*(X)=C^*(\{S_i\}_{i=1}^d)$ generowana przez $X$  jest niczym innym jak algebrą Cuntza $\OO_d$, patrz \cite{Cuntz}.  
\end{exm}



\begin{exm}[Lokalnie trywialne wiązki wektorowe]\label{ex:locally_trivial_bundle}
Niech $M$ będzie zwartą przestrzenią Hausdorffa. Niech $(E,\pi, M)$ będzie \emph{lokalnie trywialną wiązką
wektorową} and $M$, tzn. 
\begin{enumerate}
\item $E$ jest przestrzenią topologiczną;
\item $\pi:E\to M$ jest ciągłą surjekcją, taką, że 
włókno $E_t:=\pi^{-1}(t)$, $t\in M$ ma strukturę przestrzeni liniowej nad $\C$;
\item  każdy punkt $t_0\in M$ posiada  otwarte otoczenie $U\subseteq M$, dla którego istnieje  $n\in \N$ oraz 
	homeomorfizm $\phi:U\times \C^n\to \pi^{-1}(U)$ taki, że 
	\begin{itemize}
	\item $(\pi\circ \phi)(t,v)=t$ dla każdego $(t,v)\in U\times \C^n$
	\item dla każdego $t\in M$, odwzorowanie $\C^n\ni v\mapsto \phi)(t,v)\in E_t$ jest izomorfizmem liniowym
	odpowiednich przestrzeni.
	\end{itemize}
\end{enumerate}
Przestrzeń ciągłych cięć wiązki $E$, czyli zbiór
$$
\Gamma(\pi)=\{x : M\rightarrow E \text{ odwzorowanie ciągłe i } x(t)\in E_t \text{ dla każdego }t\in M\}
$$
wraz z następującymi działaniami, określonymi punktowo: 
$$
(x +y):=x(t)+y(t), \qquad  \qquad (x a)(t)=a(t)x(t)
$$
gdzie $x,y\in \Gamma(\pi)$,  $a\in C(M)$,  jest $C(M)$-modułem. Oczywiście jest to również przestrzeń liniowa z określonym punktowo  mnożeniem przez skalary z $\C$. Twierdzimy, że $\Gamma(\pi)$ można wyposażyć w naturalny $C(M)$-iloczyn wewnętrzny. Rzeczywiście, niech $\{U_i\}_{i=1^n}$ będzie otwartym pokryciem $M$ takim, że dla każdego $i=1,...,n$ mamy homeomorfizm 
$\phi_i:U\times \C^{n_i}\to \pi^{-1}(U)$ spełniający warunki opisane w punkcie 3 powyżej. Niech
$\{f_i\}_{i=1}^n$ będzie rozkładem jedynki względem pokrycia $\{U_i\}_{i=1}^n$, tzn. $f_1,...,f_n\in C(M)$ są takie, że $0\le f_{i}\le 1 $,  $\text{supp} f_i:=\overline{\{t\in M: f(t)\neq 0\}}\subset U$,  dla każdego $i=1,...n$ oraz 
$
\sum_{i=1}^{n} f_i=1$, por. \cite[Twierdzenie 2.13]{Rudin}.
Dla każdego $i$ niech $\langle \cdot, \cdot\rangle_i$ oznacza standardowy iloczyn skalarny w przestrzeni Hilberta $\C^{n_i}$.
W każdym włóknie $E_t$, $t\in M$, określamy iloczyn skalarny wzorem
$
\langle v,w\rangle_t:=\sum_{i: t\in U_i} f_i(t)\langle\phi_i^{-1}(v),\phi_i^{-1}(w)\rangle_i$, $v,w \in E_t.
$
Wtedy wzór
$$
v(t):= \langle x(t), y(t)\rangle_t,
 \qquad x,y \in \Gamma(\pi),\,\, t \in M
$$
zadaje poprawnie określony $C(M)$-iloczyn wewnętrzny na $\Gamma(\pi)$. Istotnie jedynie poprawność definicji wymaga tu komentarza.
Jednak wprost z konstrukcji widzimy, iż funkcja $M\ni t \mapsto \langle x, y\rangle_{C_0(M)}(t)= \sum_{i=1}^n f_i(t)\langle\phi_i^{-1}(x(t)),\phi_i^{-1}(y(t))\rangle_i$ jest ciągła, a więc należy do 
$C(M)$. Nietrudno również wykazać, że przestrzeń $\Gamma(\pi)$ w normie zadanej przez $C(M)$-iloczyn wewnętrzny jest zupełna. Zatem 
\begin{quote}
	\emph{każdej lokalnie trywialnej wiązce wektorowej nad $M$ odpowiada $C(M)$-moduł Hilberta.}
\end{quote}
W podrozdziale \ref{sec:commutative_Hilbert_modules} wykażemy ogólne twierdzenie charakteryzujące dowolne moduły Hilberta nad przemiennymi $C^*$-algebrami za pomocą (niekoniecznie trywialnych) ciągłych wiązek przestrzeni Hilberta.
\end{exm}
\begin{exm}[Odwzorowania dyskretne]\label{ex:discrete_maps}
Niech $s:E\to V$ będzie odwzorowaniem ze zbioru $E$ w zbiór $V$.  Możemy traktować  $E$ oraz $V$ jako przestrzenie topologiczne z topologią dyskretną. Wtedy $C_0(V)$ jest algebrą funkcji  znikających w nieskończoności, a $C(E)$ jest po prostu algebrą funcji z $E$ w $\C$.  
Z odwzorowaniem $s:E\to V$ wiążemy $C_0(V)$-moduł Hilberta $X_s$, gdzie
$$
 X_s:=\{x\in C(E):  V \ni v \longmapsto \sum_{e\in s^{-1}(v)} |x(e)|^2 \in \C \text{ jest klasy } C_0(V)\}, 
$$
jest wyposażony w strukturę liniową z $C(E)$, a struktura modułu Hilberta zadana jest wzorami
\begin{gather*}
 (x \cdot a)(e) := x(e) a(s(e)),\qquad 
\langle x,y\rangle_A (v) := \sum_{e\in s^{-1}(v)}\overline{x(e)}y(e),
\end{gather*}
gdzie $a\in C_0(V)$, $x,y\in X$, $e\in E$, $v\in V$. 
Poprawność powyższej definicji i zupełność przestrzeni $X_s$ pozostawiamy czytelnikowi (patrz \cite[Proposition 1.10]{katsura2}, gdzie rozważa się ogólniejszą sytuację, gdzie $s:E\to V$ jest lokalnym homeomorfizmem pomiędzy dwoma przestrzeniami lokalnie zwartymi).
W podrozdziale \ref{sec:commutative_Hilbert_modules}, patrz Wniosek \ref{cor:pregraph}, pokażemy, że każdy
moduł Hilberta nad  $C_0(V)$, gdzie $V$  jest przestrzenią dyskretną, jest związany jak wyżej z pewnym odwzorowaniem dyskretnym.
\end{exm}



\section{Odwzorowania między $C^*$-modułami Hilberta}
W całym niniejszym podrodziale  $X$ oraz $Y$ są $A$-modułami Hilberta.
\begin{dfn}\label{def:Hilbert modules}  Odwzorowanie $T: X \rightarrow Y$ nazywamy\emph{ operatorem sprzęgalnym} jeżeli istnieje odwzorowanie $T^*: Y\rightarrow X$ takie, że 
\begin{equation}\label{eq:adjointable_relation}
\langle Tx, y\rangle_A=\langle x, T^*y\rangle_A, \quad\text{ dla wszystkich } x\in X,\,\, y\in Y.
\end{equation}
Zbiór operatorów sprzęgalnych działających z $X$ w $Y$  oznaczamy przez $\LL(X,Y)$. Przyjmujemy też oznaczenie $\LL(X):=\LL(X,X)$.
\end{dfn}
\begin{rem}\label{rem:stupid_but_useful_remark}
Zauważmy, że każdy element $x\in X$ jest jednoznacznie wyznaczony przez wartości $\{\langle x, z\rangle_A\}_{z\in X}$. Rzeczywiście, jeśli 
$\langle x, z\rangle_A=\langle y, z\rangle_A$ dla każdego $z\in X$, to kładąc $z=x-y$ otrzymujemy
$0=\langle x, z\rangle_A -\langle y, z\rangle_A = \langle x-y, z\rangle_A=\langle x-y, x-y\rangle_A$, czyli $x=y$. 
W szczególności z uwagi tej wynika, że jeżeli $T$ i $T^*$ spełniają \eqref{eq:adjointable_relation}, to $T$ wyznacza $T^*$ jednoznacznie, i vice versa.
\end{rem}
\begin{lem}\label{lem:adjointable maps}
Niech $T$ i $T^*$ spełniają \eqref{eq:adjointable_relation}. Wtedy oba odwzorowania $T$ oraz $T^*$ są automatycznie ograniczonymi operatorami liniowymi komutującymi z prawym $A$-działaniem. Ponadto w normie operatorowej zachodzi  $C^*$-równość: $
\|T^*T\|=\|T\|^2
$. W szczególności $\|T^*\|=\|T\|$.
\end{lem}
\begin{proof}
 Dla dowolnych $x_1,x_2\in X$, $y\in Y$ oraz $a\in A$ mamy
\begin{align*}
\langle T(x_1a+x_2)|y\rangle_A&=\langle x_1a+x_2|T^*y\rangle_A=a^*\langle x_1|T^*y\rangle_A+\langle x_{2}|T^*y\rangle_A 
\\
&=a^*\langle Tx_1|y\rangle+\langle Tx_2|y\rangle_A=\langle(Tx_1)a+Tx_2|y\rangle_A.
\end{align*}
W świetle Uwagi \ref{rem:stupid_but_useful_remark}, dowodzi to, że  $T(x_1a+x_2)=(Tx_1)a+Tx_2$. Czyli $T$ jest $A$-liniowy. 
W konsekwencji $T$ jest również $\C$-liniowy, patrz \eqref{eq:defn_of_scalar}.
By wykazać, że $T$ jest ograniczony wystarczy pokazać, że wykres  $T$ jest domknięty i przywołać Twierdzenie o Wykresie Domkniętym. Załóżmy więc, że  $x_n \to x_0$ w $X$ oraz $Tx_n\to y_0$ w $Y$,
wtedy dla dowolnego $y\in Y$, otrzymujemy
\begin{align*}
\langle y_0|y\rangle_A&=\lim_{n\to \infty} \langle Tx_n|y\rangle_A=\lim_{n\to \infty} \langle x_n|T^*y\rangle_A 
=\langle x_0|T^*y\rangle_A =\langle Tx_0|y\rangle_A,
\end{align*}
co implikuje  $Tx_0 =y_0$, patrz Uwaga \ref{rem:stupid_but_useful_remark}. Zatem $T$ ograniczony. Analogicznie można wykazać  ograniczoność $T^*$.

%Nierówność $\|T^* T\|\leq \|T\| \|T^*\|$ zachodzi dla dowolnych operatorów ograniczonych. 
 Korzystając z nierównośći Schwartz'a otrzymujemy 
\begin{align*}
\|T\|^2&=\sup_{\|x\|=1} \|\langle Tx|Tx\rangle_A\|=\sup_{\|x\|=1} \|\langle x|T^*Tx\rangle_A\| 
\\
&\leq \sup_{\|x\|=1} \| x\| \|T^*Tx\| =\|T^*T\|\leq \|T^*\| \|T\| .
\end{align*}
Skąd $\|T\|\leq \|T^*\|$. Skoro $(T^*)^*=T$, to przez symetrię  również  
$\|T^*\|\leq \|T\|$, czyli $\|T\|=\|T^*\|$.  Stąd dostajemy, że $\|T\|^2\leq \|T^*T\| \leq \|T^*\| \|T\|=\|T\|^2$, co implikuje, że $
\|T^*T\|=\|T\|^2
$.
\end{proof}
\begin{prop}
$\LL(X,Y)$  jest podprzestrzenią Banacha przestrzeni $\BB(X,Y)$,  a  $\LL(X)$ jest podalgebrą Banacha algebry $\BB(X)$. 
De facto $\LL(X)$ wraz z inwolucją $^*$ zadaną przez \eqref{eq:adjointable_relation} jest $C^*$-algebrą z jedynką.
\end{prop}
\begin{proof}
Korzystając z własności iloczynów wewnętrznych łatwo zobaczyć, dla $T_1, T_2 \in \LL(X,Y)$ oraz $\lambda\in \C$, że
 odwzorowanie $\lambda T_1+T_2$ jest sprzęgalne oraz 
$( \lambda T_1+T_2)^*=\overline{\lambda} T_1^*+ T_2^*.$
 W szczególności,
 $\LL(X,Y)$ jest podprzestrzenią liniową $\BB(X,Y)$. Aby wykazać, że jest ona domknięta zauważmy, że odwzorowanie $^*:\LL(X,Y)\to \LL(Y,X)$ jest izometrycznym anty-liniowym izomorfizmem, por. Lemat \ref{lem:adjointable maps}.
Zatem jeśli $\{T_n\}_{n=1}^\infty \subseteq \LL(X,Y)$ jest zbieżny w $\BB(X,Y)$, to $\{T_n^*\}_{n=1}^\infty\subseteq  \LL(Y,X)$ jest zbieżny w $\BB(Y,X)$.
Oznaczając odpowiednie granice  $T$ oraz $T^*$ mamy
$$
\langle T x|y\rangle_A=\lim_{n\to \infty} \langle T_nx|y\rangle_A=\lim_{n\to \infty} \langle x|T_n^*y\rangle_A 
=\langle x|T^*y\rangle_A.
$$
Zatem $T\in \LL(X,Y)$. To kończy dowód pierwszej części tezy. By wykazać pozostałą część, wystarczy zauważyć, że 
$(T S)^*=S^*T^*\in \LL(X)$ dla dowolnych $T,S\in \LL(X)$, gdyż antyliniowść $^*$ pokazaliśmy powyżej, a  $C^*$-równość zachodzi na mocy Lematu \ref{lem:adjointable maps}.
\end{proof}
\begin{exm}[Nie każdy ograniczony operator $A$-liniowy jest sprzęgalny]
Niech $A=C(M)$ gdzie $M$ jest dowolną nieskończoną zwartą przestrzenią Hausdorffa.  Wtedy istnieje $t_0\in M$ który nie jest punktem izolowanym. Niech $J=\lbrace a\in A: a(t_0)=0\rbrace$ będzie ideałem maksymalnym  w $A$ odpowiadającym punktowi $t_0$.
Rozważmy podmoduł $J=J_A$ modułu trywialnego $A=A_A$, patrz Przykład \ref{ex:trivial_module}. 
Włożenie $T: J\to A$ (tzn. $T(a)=a$ dla $a\in J\subseteq A$) jest w oczywisty sposób $A$-liniową izometrią. Jednak nie jest to operator sprzęgalny. Rzeczywiście, załóżmy ad absurdum, że istnieje operator sprzężony $T^*: A\to J$. 
 Wtedy $T^*(1)\in J$, czyli $T^*(1)$ jest funkcją ciągłą na $M$ taką, że  $T^*(1)(t_0)=0$. Z drugiej strony,  dla dowolnego $a\in J$ zachodzi
$$
a^* =a^*1 = (Ta)^* 1=\langle Ta|1\rangle_A=\langle a|T^*(1)\rangle_A=a^*T^*(1).	
$$
Skąd wnioskujemy, że  $T^*(1)(t)=1$ dla $t$ różnych od $t_0$. Zatem $T^*(1)$ jest funkcją charakterystyczną zbioru $M\setminus{t_0}$.  Jednakże,  taka funkcja nie jest ciągła, gdy $t_0$ nie jest punktem izolowanym. 
\end{exm}

\begin{prop}[Izomorfizmy modułów Hilberta]\label{prop:unitary_operators_modules} Niech $T:X\to Y$ będzie odwzorowaniem. Następujące warunki są równoważne:
\begin{enumerate}
\item[1)] $T$ jest surjekcją zachowującą $A$-iloczyny wewnętrznw, tzn. $\langle Tx|Ty\rangle_A= \langle x|y\rangle_A$ dla $x,y\in X$. 
\item[2)] $T\in 
\BB(X,Y)$ jest odwracalną $A$-liniową izometrią  zachowującą  $A$-iloczyny wewnętrzne.
\item[3)] $T\in \LL(X,Y)$ oraz $T^*T=1\in \LL(X)$ i $TT^*=1\in \LL(Y)$.
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}
Załóżmy 1). Wtedy $\|Tx\|^2=\|\langle Tx|Tx\rangle_A\|=\| \langle x|x\rangle_A\|=\|x\|^2$, czyli $T$ jest izometrią. W szczególności $T:X\to Y$ jest bijekcją. Dla odwzorowania odwrotnego $T^{-1}:Y\to X$ oraz dowolnych $x\in X,\,\, y\in Y$ mamy
$$
\langle Tx, y\rangle_A=\langle Tx, TT^{-1}y\rangle_A = \langle x, T^{-1}y\rangle_A.
$$
Zatem $T$ jest sprzęgalny i $T^*=T^{-1}$. Stąd otrzymujemy 3), ale też i 2) na mocy Lematu \ref{lem:adjointable maps}.

Implikacja z 2) do 1) jest trywialna. Potrzeba więc tylko pokazać, że 3) pociąga 1). Załóżmy 3). Wtedy $T$ jest
operatorem odwracalnym, a więc i surjekcją. Ponadto, dla $x,y\in X$ mamy
$$
\langle Tx, Ty\rangle_A=\langle x,  T^*Ty\rangle_A = \langle x, y\rangle_A,
$$
czyli $T$ zachowuje iloczyny wewnętrzne. 
\end{proof}
\begin{dfn} \emph{$A$-moduły Hilberta $X$ i $Y$ są izomorficzne}, gdy istnieje odwzorowanie $T:X\to Y$ spełniające równoważne warunki w Stwierdzeniu
\ref{prop:unitary_operators_modules}. Wtedy $T$ nazywamy izomorfizmem albo \emph{operatorem unitarnym}  z $X$ na $Y$.
\end{dfn}
\begin{cor}
Operator $T\in \LL(X)$ jest operatorem unitarnym na $X$ wtedy i tylko wtedy, gdy $T$ jest unitarnym elementem $C^*$-algebry $\LL(X)$.
\end{cor}

Stosując nierówność Schwartza możemy dla operatorów sprzęgalnych ulepszyć nierówność ograniczoności w następujący sposób.
\begin{prop}\label{prop:Schwartz-adjointable-operators} Jeśli $T\in \LL(X, Y)$ to dla każdego $x\in X$ zachodzi
$$
\langle Tx, Tx\rangle_A \leq \|T\|^2 \langle x, x\rangle_A.
$$
\end{prop}
\begin{proof}
Niech $\varrho$ będzie stanem na $A$. Zauważmy, że $\varrho(\langle x|y\rangle_A )$ jest nieujemnie określoną formą półtoraliniową na $X$. Stosując indukcyjnie nierówność Schwartza dla tej formy otrzymujemy
\begin{align*}
\varrho(\langle Tx|Tx\rangle_A ) &= \varrho(\langle T^*Tx|x\rangle_A )\leq  \varrho(\langle T^*Tx|  T^*Tx\rangle_A )^{1/2} \varrho(\langle x|  x\rangle_A )^{1/2} 
\\
&=  \varrho(\langle (T^*T)^{2}x| x\rangle_A )^{1/2} \varrho(\langle x|  x\rangle_A )^{1/2} 
\\
& \leq  \varrho(\langle (T^*T)^{2}x| (T^*T)^{2}x\rangle_A )^{1/4} \varrho(\langle x|  x\rangle_A )^{1/2+1/4}
\\
&\vdots 
\\
& \leq  \varrho(\langle (T^*T)^{2^n}x|x\rangle_A )^{1/2^n} \varrho(\langle x|  x\rangle_A )^{1/2+1/4+ ... + 1/2^n}
\\
&\leq  \| T^*T\| \|x\|^{1/2^{n-1}} \varrho(\langle x|  x\rangle_A )^{1- 1/2^n}.
\end{align*}
Przechodząc z $n$ do nieskończoności otrzymujemy $\varrho(\langle Tx|Tx\rangle_A )\leq \| T\|^2 \varrho(\langle x|  x\rangle_A )$. Z dowolności
$\varrho$ otrzymujemy $\langle Tx, Tx\rangle_A \leq \|T\|^2 \langle x, x\rangle_A$.
\end{proof}

Niech $x\in X$, $y\in Y$, rozważmy operator $\Theta_{x,y} : Y\rightarrow X$ dany wzorem
\begin{equation}\label{odj}
\Theta_{x,y}(z)=x\langle y|z\rangle_{A}.
\end{equation}
Zauważmy, że dla $z\in Y$,$w\in X$ mamy
$$
\langle\Theta_{x,y}(z)|w\rangle_{A}=\langle x\langle y|z\rangle_{A}|w\rangle_{A}=\langle z|y\rangle_{A}\langle x|w\rangle_{A}=\langle z|y\langle x|w\rangle_{A}\rangle_{A}=\langle z|\Theta_{y,x}w\rangle_{A}.
$$
Zatem  $\Theta_{x,y}\in \LL(Y,X)$ jest operatorem sprzęgalnym i $\Theta_{x,y}^*=\Theta_{y,x}$. 
\begin{dfn} Elementy  domkniętej podprzestrzeni $\LL(X,Y)\subseteq \BB(Y,X)$ generowanej przez operatory postaci \eqref{odj}:
$$
\KK(Y,X):=\overline{\text{span}}\lbrace \Theta_{x,y} : x\in X,y\in Y\rbrace
$$ nazywamy \emph{operatorymi zwartymi} z $X$ w $Y$. Kładziemy też $\KK(X):=\KK(X,X)$.
\end{dfn}
\begin{rem} Elementy $\KK(Y,X)$, tj. operatory zwarte w powyższym sensie, na ogół nie są zwarte jako operatory liniowe między przestrzeniami Banacha $Y$ i $X$.
Dlatego też czasem nazywa się je uogólnionymi operatorami zwartymi.   
\end{rem}
\begin{lem}\label{lem:compact_ideal} Jeśli $X, Y, Z$ są $A$-modułami Hilberta, to 
$$
\KK(Y,X)\LL(Z,Y)\subseteq \KK(Z,X), \qquad \LL(Y,X)\KK(Z,Y)\subseteq \KK(Z,X).
$$
W szczególności, $\KK(X)$ jest ideałem w $C^*$-algebrze $\LL(X)$.
\end{lem}
\begin{proof} Dla $x\in X$, $y\in Y$, $z\in Z$ oraz $T\in \LL(Z,Y)$ i $S\in \LL(Y,X)$ mamy 
$\Theta_{x,y} T=\Theta_{x,T^*y}$ oraz $S\Theta_{y,z}=\Theta_{Sy,z}$, co dowodzi pierwszej części tezy.
Wprost z definicji wynika, że $\KK(X)$ jest domkniętą podprzestrzenią $\LL(X)$. Zatem $\KK(X)$  jest ideałem (dwustronnym) w $C^*$-algebrze  $\KK(X)$.
\end{proof}

\begin{lem}\label{lem:compact_nondegeneracy} Jedynka aproksymatywna w $\KK(X)$ zbiega punktowo do jedynki w $\LL(X)$. W szczególności,
$\KK(X)$ działa na $X$ w sposób niezdegenerowany, tzn. $\KK(X)X=X$. 
\end{lem}
\begin{proof} Na mocy Wniosku \ref{cor:non-degeneracy_Hilbert_module}, patrz też Lemat \ref{lem:restriction of codomain},
 wektory postaci $x=u\langle v, w\rangle_B$ rozpinają gęstą podprzestrzeń  w $X$.
Jeśli $\{\mu_\lambda\}$ jest jedynką aproksymatywną w $\KK(X)$
to
$$
\mu_\lambda x= \mu_\lambda u\langle v, w\rangle_B=\mu_\lambda\Theta_{u,v} w\longrightarrow \Theta_{u,v} w=x.
$$
Stąd wynika pierwsza część tezy. W szczególności, $\overline{\{Tx: T\in \KK(X), x\in X\}}=X$. Zatem 
$\{Tx: T\in \KK(X), x\in X\}=X$ na mocy Twierdzenia Hewitta-Cohena. 
 \end{proof}
\begin{lem}\label{lem:norm_of_rank_one operator}
Dla dowolnego $x\in X$ mamy $\|\Theta_{x,x}\|=\|\langle x, x\rangle_A\|$.
\end{lem}
\begin{proof}
Zauważmy najpierw, że 
$
\|x\|^2=\sup\{\|\langle x, y\rangle_A\| : y\in X, \|y\|\leq 1\}
$. Stąd 
\begin{align*}
\|\Theta_{x,x}\|^2&=\sup\{\|x\langle x, y\rangle_A\|^2 : y\in X, \|y\|\leq 1\}
\\
&=\sup\{\|\langle y, x\rangle_A\langle x, x\rangle_A \langle x, y\rangle_A\| : y\in X, \|y\|\leq 1\}
\\
&=\sup\{\|\langle y, x \langle x, x\rangle_A^{1/2}\rangle_A \langle x\langle x, x\rangle_A^{1/2}, y\rangle_A\| : y\in X, \|y\|\leq 1\}
\\
&=\sup\{\|\langle x \langle x, x\rangle_A^{1/2}, y\rangle_A\|^2 : y\in X, \|y\|\leq 1\}
\\
&=\|x \langle x, x\rangle_A^{1/2}\|=\| \langle x, x\rangle_A^{1/2} \langle x, x\rangle_A \langle x, x\rangle_A^{1/2}\|=
\|\langle x, x\rangle_A^2\|=\|x\|^4.
\end{align*}
\end{proof}
Następujące twierdzenie zostało wykazane przez Kasparova. Szczegółowy dowód można znaleźć np. w \cite{lance}.
\begin{thm}[Kasparov]\label{thm:adjointable_are_multipliers}
$\LL(X)$ jest maksymalnym, istotnym ujedynkowieniem $C^*$-algebry $\KK(X)$, tzn. 
$$
\LL(X)\cong \MM(\KK(X)),
$$
$C^*$-algebra $\LL(X)$ jest
izomorficzna z algebrą mnożników $C^*$-algebry  $\KK(X)$.
\end{thm}
\begin{exm}[Przestrzenie Hilberta]
Jeśli $A=\C$,  to $X=H$ jest przestrzenią Hilberta i wtedy 
$$
\KK(X)=K(H), \qquad \LL(X)=B(H).
$$
To znaczy $\KK(X)$ jest algebrą operatorów zwartych w zwykłym sensie. Natomiast $\LL(X)$ jest $C^*$-algebrą wszystkich operatorów ograniczonych na $H$.
\end{exm}
\begin{exm}[$C^*$-algebry]\label{ex:C*-algebras as compacts}
Niech $A$ będzie dowolną  $C^*$-algebrą. Możemy ją traktować jako $A=A_A$ trywialny $A$-moduł Hilberta. Wtedy
$$\KK(A)\cong A, \qquad  \LL(A)\cong \MM(A).
$$
Pierwszy izomorfizm jest zdeterminowany przez przyporządkowanie 
$\KK(A)\ni\Theta_{x,y} \mapsto xy^*\in A$. W świetle Twierdzenia \ref{thm:adjointable_are_multipliers},
 drugi izomorfizm wynika z pierwszego. Warto tu jednak podkreślić, że przy standardowej konstrukcji algebry $\MM(A)$ za pomocą podwójnych centralizatorów, patrz np. \cite{Murphy}, ten drugi izomorfizm jest niemal równoważny defincji $\MM(A)$. Mianowicie, nietrudno spostrzec, iż
para $(L,R)$ jest podwójnym centralizatorem algebry $A$ wtedy i tylko wtedy, gdy $T=L\in \LL(A)$ jest operatorem sprzęgalnym i wtedy 
$R(a)=(T^*(a))^*$ dla $a\in A$, oraz norma centralizatora pokrywa się z normą $T$ w $\LL(A)$.
\end{exm} 

\begin{exm}[Standardowy $A$-moduł Hilberta]\label{ex:stabilization_C*-algebra as compacts}
Rozważmy standardowy $A$-moduł Hilberta $\HH_A:=\bigoplus_{k=1}^\infty A_A$, patrz Przykład \ref{ex:standard_module}.
Wtedy, patrz np. \cite[Lemat 1.2.7]{Jensen-Thomsen} zachodzą izomorfizmy 
$$ 
\KK(\HH_A)\cong A\otimes \mathbb{K}, \qquad \LL(\HH_A)\cong \MM(A\otimes \mathbb{K}),
$$
 gdzie $\mathbb{K}$ jest algebrą operatorów zwartych działających na nieskończenie wymiarowej ośrodkowej przestrzeni Hilberta (taka algebra z dokładnością do izomorfizmu jest dokładnie jedna - można wziąć np. $\mathbb{K}=K(\ell^2)$).  Przypomnijmy, iż algebra  $\mathbb{K}$ jest
nuklearna, patrz np. \cite[Przykład 6.3.2]{Murphy}, zatem iloczyn tensorowy $A\otimes \mathbb{K}$ jest jednoznacznie zdefiniowany.
Algebrę $A\otimes \mathbb{K}$ nazywa się \emph{stabilizacją $C^*$-algebry} $A$. 
\end{exm}
\begin{exm}[Konkretne moduły Hilberta]\label{ex:concrete_compacts}
Niech $X\subseteq B(H)$ będzie konkretnym modułem Hilberta  nad $A\subseteq B(H)$, patrz Przykład \ref{ex:concrete_Hilbert_modules}.
Wtedy przyporządkowanie $\Theta_{x,y}\mapsto xy^*\in B(H)$ przedłuża się do izomorfizmu 
$$
\KK(X)\cong \overline{XX^*}=\clsp\{ xy^*: x\in X, y \in Y\} \subseteq B(H),
$$
patrz np. \cite[Lemma 3.2]{Pim}. Powyższy izomorfizm przedłuża się do izomorfizmu
$$
\LL(X)\cong  \{T\in B(H): T|_{(XH)^\bot}\equiv 0 \text{ oraz } TX\subseteq X,\,\, T^{*}X\subseteq X\}. 
$$
por. \cite[Proposition 1.6]{Fow-Rae} lub \cite[Proposition 2.1]{dpz}. W szczególności, jeśli wziąć $X=A$ i założyć, że $AH=H$, to powyższy izomorfizm daje $\MM(A)\cong  \{T\in B(H):  TA\subseteq A,\,\, AT\subseteq A\}$, co jest kolejnym opisem algebry mnożników.
\end{exm}




\section{Moduły Hilberta nad algebrami przemiennymi}\label{sec:commutative_Hilbert_modules}
	Rozpatrzymy teraz przypadek $A$-modułu Hilberta w sytuacji, gdy $C^*$-algebra $A$ jest przemienna. Wiadomo, że w takim przypadku możemy utożsamić $A$ z algebrą funkcji znikających w nieskończoności $C_0(M)$ gdzie $M$ jest lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa. 
	W niniejszym podrozdziale sformułujemy
	i udowodnimy twierdzenie w pełni charakteryzujące $C^*$-moduły 
	Hilberta nad algebrami przemiennymi, które można traktować jako rozszerzenie wspomnianej charakteryzacji przemiennych $C^*$-algebr. 
	Należy tu podkreślić, że twierdzenie to (w różnych formach, patrz np. \cite{Tak}) jest znane ekspertom, lecz w pełnej ogólności i w formie przedstawionej poniżej
	nie zostało nigdzie opublikowane.  Dlatego też dołożymy starań, aby przedstawić szczegółowy dowód.
%	Zanim jednak przystąpimy do zasadniczego twierdzenia, poczynimy pewne przygotowania. 
	
	Zaczniemy od omówienia podstawowych faktów dotyczących  wiązek przestrzeni  Hilberta (Banacha) w sensie Fella.
\begin{dfn}[\cite{Fell_Doran} Definicje 13.4, 13.5]\label{def:Banach_bundles} 
\emph{Wiązką przestrzeni Banacha} nad $M$ nazywamy przestrzeń Hausdorffa $E$ wraz z ciągłą i otwartą surjekcją $\pi :E\to M$ taką, że  włókno $E_t:=\pi^{-1}(t)$ posiada strukturę przestrzeni Banacha dla każdego $t\in M$. Ponadto mają być spełnione następujące warunki:
\begin{enumerate}
\item[1)]  Przekształcenie $E\ni e\mapsto \|e\|\in\R$ jest ciągłe,
\item[2)]  Przekształcenie $E^{(2)}:=\lbrace (e_1,e_2)\in E\times E:\pi(e_1)=\pi(e_2)\rbrace\ni (e_1,e_2)\mapsto e_1+e_2\in E$ jest ciągłe,
\item[3)]  Dla dowolnego $\lambda\in\C$ przekształcenie $E\ni e\mapsto\lambda e\in E$ jest ciągłe,
\item[4) ] Dla każdej sieci $\lbrace e_i\rbrace_{i\in I}\subset E$ takiej, że $\lim_{i\to\infty}\|e_i\|=0$ oraz $\lim_{i\to\infty}\pi(e_i)=t$, mamy $\lim_{i\to\infty}e_i=0_t\in E_t$.
\end{enumerate}
Jeśli dodatkowo każde włókno $E_t$, $t\in M$, jest przestrzenią Hilberta to $(E,\pi, M)$ nazywamy \emph{wiązką przestrzeni Hilberta}.
\end{dfn}
\begin{rem}\label{rem:Banach_bundle}
Warunek czwarty w istocie oznacza, że topologie we włóknach zadawane przez strukturę przestrzeni Banacha oraz przez topologię z $E$ są ze sobą zgodne, patrz \cite[Proposition 13.11]{Fell_Doran}. Warunek ten, wraz z 2) i 3)  implikuje, że odwzorowanie dwóch zmiennych $\C\times E\ni (\lambda, e)\to \lambda e\in E$ jest ciągłe, co jest wzmocnieniem 3), patrz \cite[Proposition 13.10]{Fell_Doran}. W szczególności, w  wiązce Hilberta ciągłości odwzorowania $E^{(2)}\ni (x,y)\mapsto\langle x|y\rangle$ nie trzeba zakładać, gdyż wynika z formuły polaryzacyjnej $\langle x|y\rangle=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3} i^k\|x+i^ky\|^2$.
\end{rem}
\begin{exm}
Niech  $(E,\pi, M)$ będzie lokalnie trywialną wiązką
wektorową  nad $M$, taką jak w Przykładzie \ref{ex:locally_trivial_bundle}. Z lokalnej trywialności wynika od razu, że $E$ jest przestrzenią Hausdorffa, odwzorowanie $\pi:E\to M$ jest otwarte oraz spełnione są warunki 2), 3), 4) w Definicji \ref{def:Banach_bundles}. Jak pokazaliśmy w Przykładzie \ref{ex:locally_trivial_bundle} można na włóknach tej wiązki zadać strukturę przestrzeni Hilberta tak, aby był również spełniony warunek 1). Zatem każdą lokalnie trywialną wiązkę można traktować jako wiązkę Banacha, a nawet jako wiązkę Hilberta.
\end{exm}
Na ogół wiązkę $(E,\pi, M)$ będziemy oznaczać przez samo $E$ lub $\pi$. Iloczyn skalarny w źdźble $E_t=\pi^{-1}(t)$ oznaczamy przez 
$\langle \cdot|\cdot\rangle_t$, a odpowiadającą mu normę przez $\|\cdot \|_t$. Na mocy \cite[Proposition 13.14]{Fell_Doran} 
zbiór ciągłych cięć wiązki  $\pi$:
$$
\Gamma(\pi)=\{x: M\rightarrow E: x \text{ jest ciągły oraz }\pi\circ x=id_M\}
$$
jest przestrzenią liniową, a nawet $C(M)$-modułem, to znaczy dla każdego $a\in C(M)$ oraz $x\in \Gamma(\pi)$  cięcie  $M\ni t \mapsto (x a) ( t) \to  a(t)x(t)$ jest ciągłe. Przypomnijmy też, że na mocy Twierdzenia Douady, dal Soglio-Herault, patrz \cite[Appendix C]{Fell_Doran},
wiązka $E$ ma \emph{dostatecznie dużo ciągłych cięć}, tzn. dla każdego $e\in E_t$, $t\in M$, istnieje $x\in \Gamma(\pi)$
takie, że  $x(t)=e$.
Kluczowym dla naszych rozważań jest następujące \emph{Twierdzenie Fella o Rekonstrukcji}:
\begin{thm}[Fell]\label{thm:Fell}
Niech $\{E_t\}_{t\in M}$ będzie rodziną przestrzeni Banacha i niech  $\Gamma$ będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni wszystkich cięć $\prod_{t\in M} E_t=\{x:M\to E: x(t)\in E_t \text{ dla }t\in M\}$ taką, że
\begin{itemize}
\item[1)] dla każdego $x\in \Gamma$ funkcja $t\to \|x(t)\|$ jest ciągła;
\item[2)] dla każdego $t\in M$, zbiór  $x(t)$, dla $x\in \Gamma$ jest gęsty w $E_t$.
\end{itemize} 
Wtedy na $E:=\bigsqcup_{t\in M}E_t$ istnieje dokładnie jedna topologia, przy której $E$ wraz z naturalną surjekcją $\pi:E\to M$ staje się wiązką Banacha  taką, że $\Gamma \subseteq \Gamma(\pi)$.
Ponadto, 
\begin{itemize}
\item[i)] Baza topologii na $E$ jest dana przez zbiory 
$$
U_{x,\varepsilon, V}:=\lbrace e\in E:\pi(e) \in V, \,\, \|e-x(\pi(e))\|<\varepsilon\rbrace 
 %\qquad \text{ for all }x\in \Gamma(\pi), \varepsilon > 0\text{ and  open }V\subseteq M;
$$
gdzie  $x\in \Gamma$, $\varepsilon > 0$ oraz $V\subseteq M$ jest otwarty;
\item[ii)] $\Gamma(\pi)=\{ x\in \prod_{t\in M} E_t: $ dla każdego $t_0\in M$ oraz
$\varepsilon >0$, istnieje  $x'\in \Gamma$ taki, że  
 $\|x(t)-x'(t)\|<\varepsilon$  na pewnym otwartym otoczeniu $t_0\}$.
%}
%\end{equation}

\end{itemize} 
\end{thm} 
\begin{proof} Pierwsza część tezy wynika wprost z \cite[Theorem 13.18]{Fell_Doran}, gdzie m.in. opisana jest topologia na $E$ w języku sieci
jak następuje:
\begin{equation}\label{eq:topology_description} 
\begin{array}{l} \text{$\{e_i\}$ zbiega do $e$ w $E$
  wtedy i tylko wtedy, gdy $\pi(e_i)\to \pi(e)$} \\
\text{oraz dla każego $x\in \Gamma$ mamy $\|x(\pi(e_i))-e_i\| \to \|x(\pi(e))-e\|$.} 
\end{array} \end{equation}
Baza w i) jest opisana w  \cite[Proposition 13.12]{Fell_Doran}, jej postać też można wywnioskować z \eqref{eq:topology_description}.
Zatem potrzebujemy jedynie wykazać ii). W tym celu oznaczmy przez $\overline{\Gamma}$ zbiór opisany w ii).

Niech $x\in \prod_{t\in M} E_t$. Załóżmy najpierw, że  \(x\in \Gamma(\pi)\), tj. $x$ jest ciągłym cięciem.  Niech $t_0\in M$. 
Na mocy założenia 2), dla każdego $\varepsilon >0$ istnieje $x'\in \Gamma$ taki, że $\|x(t_0)-x'(t_0)\|<\varepsilon$.
Skoro $x-x'$ oraz $\|\cdot\|$ są ciągłe, to zbiór $V:=\{t\in M:\|x(t)-x'(t)\|<\varepsilon\}$ jest otwartym otoczeniem  $t_0$.
Zatem $x\in \overline{\Gamma}$. 
Na odwrót, załóżmy że  \(x\in \overline{\Gamma}\). Niech  $t_0\in M$ dowolny i niech  $\{t_i\}\subseteq M$ będzie siecią zbieżną do $t_0$. Weźmy dowolne $y\in \Gamma$ oraz $\varepsilon> 0$. Skoro  \(x\in \overline{\Gamma}\), to 
możemy znaleźć $x'\in \Gamma$ takie, że
$\|x(t)-x'(t)\|<\varepsilon $ na pewnym otoczeniu $t_0$. Zatem $\|x(t_i)-x'(t_i)\|<\varepsilon$ 
dla dostateczenie dużych $i$. Jako że $y-x'\in \Gamma$ oraz $\|\cdot\|$ są ciągłe,  to korzystając z
 \eqref{eq:topology_description} otrzymujemy, że $\big|\|y(t_i)-x'(t_i)\|-  \|y(t_0)-x'(t_0)\|\big |< \varepsilon$  dla dostatecznie dużych 
 $i$. Zatem dla dostatecznie dużych $i$ dostajemy
%Then for every $y\in \Gamma$  and sufficiently large $i$ we have
$$\big|\|y(t_i)-x(t_i)\|-  \|y(t_0)-x(t_0)\|\big |\leq 2\varepsilon + \big|\|y(t_i)-x'(t_i)\|-  \|y(t_0)-x'(t_0)\|\big |
< 3\varepsilon.
$$
W świetle \eqref{eq:topology_description} oznacza to, że
$x(t_i)\to x(t_0)$, czyli $x$ jest ciągły w $t_0$.
\end{proof}


Dla naszych celów lepiej jest  pracować
z przestrzenią cięć ciągłych znikających w nieskończoności:
$$
\Gamma^0(\pi)=\{x \in \Gamma(\pi):
\{t\in M: \|\sigma(t)\|\ge\varepsilon\} \text{ jest zwarty dla każdego }\varepsilon> 0 \}.
$$
\begin{lem}\label{lem:sections_vanishing_at_infinity} $\Gamma_0(\pi)$ z działaniami punktowymi i normą
$\|x\|:=\sup_{t\in M}\|x(t)\|$ jest przestrzenią Banacha.
\end{lem}
\begin{proof}
Dowód przebiega przez standardowe sprawdzenie.
\end{proof}


\begin{prop}\label{prop:Hilbert_bundles_to_Hilbert_modules}
Niech  $\pi:E \to M$ będzie wiązką przestrzeni Hilberta. Wtedy $\Gamma_0(\pi)$ stanowi $C_0(M)$-moduł Hilberta z działaniami danymi przez
$$
(x a)(t):=a(t)x(t),\qquad \langle x, y\rangle_{C_0(M)} (t):= \langle x(t), y(t)\rangle,
 $$
 $x,y \in \Gamma_0(\pi), \,\, a\in C_0(M),\,\, t \in M.
$
\end{prop}
\begin{proof}
Oczywiście struktura $C(M)$-modułu na $\Gamma(\pi)$ daje się obciąć do struktury $C_0(M)$-modułu na $\Gamma_0(\pi)$.
Dla dowolnych $x,y\in\Gamma_0(\pi)$ funkcja $M\ni t\mapsto\langle x,y\rangle_{C_0(M)}(t)\in\C$ jest ciągła jako złożenie funkcji ciągłych: 
$M\stackrel{(x,y)}{\longrightarrow} E^{(2)} \stackrel{\langle\cdot  , \cdot \rangle }{\longrightarrow} \C$.%, cf. Remark \ref{rem:Banach_bundle}. Stosując nierówność Schwarza można pokazać, że funkcja ta znika w nieskończoności. 
Stąd $\langle x, y\rangle_{C_0(M)}\in C_0(M)$. Sprawdzenie, że  $\langle \cdot , \cdot\rangle_{C_0(M)}$
 spełnia aksjomaty iloczynu wewnętrznego przebiega przez standardowe rozumowanie. 
Teza wynika z Lematu \ref{lem:sections_vanishing_at_infinity}. 
 \end{proof}

Teraz jesteśmy gotowi do przeprowadzenia dowodu, że każdy $C_0(M)$-moduł Hilberta $X$ jest izomorficzny z $C_0(M)$-modułem Hilberta $\Gamma_0(\pi)$ związanym z wiązką przestrzeni Hilberta $\pi :E\to M$, opisaną w Stwierdzeniu \ref{prop:Hilbert_bundles_to_Hilbert_modules}. 
% This is a converse to Proposition \ref{prop:Hilbert_bundles_to_Hilbert_modules}, where we associated  

\begin{thm}\label{thm:Hilbert_modules_over_commutative} 
Jeżeli $X$ jest $C_0(M)$-modułem Hilberta to istnieje wiązka przestrzeni Hilberta $\pi:E \to M$ oraz bijektywne odwzorowanie $C_0(M)$-liniowe $X\ni x\mapsto \widehat{x}\in \Gamma_0(\pi)$ które zachowuje iloczyn wewnętrzny.
\end{thm}
\begin{proof}
Dla każdego $t\in M$, przyjmiemy oznaczenie $I_t:=\{ f\in C_0(M):f(t)=0\}$. Z Wniosku \ref{cor:quotients_of_Hilbert_modules}, mamy, że $H_t:=X/XI_t$ jest modułem Hilberta nad $C_0(M)/I_t\cong\C$. Stąd $H_t$ możemy traktować jako przestrzeń Hilberta.
Rozważmy następującą sumę rozłączną 
$$
E:=\bigsqcup_{t\in M} H_t
$$ 
oraz naturalną surjekcję $\pi : E\to M$ daną przez $\pi (x+ XI_t)=t$. Z każdym $x\in X$ możemy utożsamić cięcie $\widehat{x}\in \prod_{t\in M} E_t$, gdzie
$$
\widehat{x} (t):=x+X I_t, \qquad t\in M. 
$$
Dla dowolnego $x\in X$  mamy
\begin{equation}\label{eq:isometric_gelfand_module}
\|\widehat{x} (t)\|^2=\|\langle x|x\rangle + I_t\|=|\langle x|x\rangle (t) |,
\end{equation}
a ponieważ $\langle x|x\rangle\in C_0(M)$, widzimy, że funkcja $M\to \|\widehat{x}(t)\|$ jest ciągła oraz znikająca w nieskończoności.
Zauważmy też, że z definicji $H_t=X/XI_t=\{\widehat{x} (t): x\in X\}$. Z Twierdzenia \ref{thm:Fell} wynika, że istnieje jedyna topologia na $E$ taka, że $\pi : E\to M$ jest modułem Hilberta oraz $\{\widehat{x} : x\in X\} \subseteq \Gamma_0(\pi)$.

Z konstrukcji wynika, że odwzorowanie $X\ni x\mapsto \widehat{x}\in \Gamma_0(\pi)$ jest $C_0(M)$-liniowe. Z \eqref{eq:isometric_gelfand_module} wynika, że jest to również izometria. Ponieważ $X$ jest przestrzenią Banacha, więc jej obraz jest domknięty. Stąd wystarczy pokazać, że $\{\widehat{x} : x\in X\}$ jest gęsty w $\Gamma_0(\pi)$.
Weźmy więc dowolne $\sigma\in\Gamma_{0} (\pi)$ oraz $\varepsilon >0$. Rozważmy zbiór zwarty
$$
K:=\{t\in M:|\langle\sigma(t)|\sigma(t)\rangle|\ge\varepsilon\}.
$$ 
Dla dowolnego $t\in M$, niech  $x_{t}\in X$ będzie takie, że $\widehat{x}_{t}(t)=\sigma (t)$. Wtedy rodzina zbiorów
$$
V_{t}:=\lbrace s\in M : \|\sigma (s)-\widehat{x_{t}}(s)\|<\varepsilon\rbrace, \qquad t\in K,
$$
stanowi otwarte pokrycie $K$. Ponieważ $K$ jest zwarty wiec możemy znaleźć $t_1,t_2,...,t_n\in K$ takie, że  $K\subseteq V_{t_1}\cup V_{t_2}\cup...V_{t_{n}}$. 
Niech $\{f_i\}_{i=1}^n$ będzie rozkładem jedynki odpowiadającym $\{V_{t_i}\}_{i=1}^n$ (jego istnienie zapewnia \cite[Theorem 2.13]{Rudin}). Oznacza to, że istnieją funkcje $f_1,...,f_n\in C_0(M)$ takie, że $0\le f_{i}\le 1 $,  $\text{supp} f_i\subset V_{t_i}$, dla  $i=1,...n$, oraz 
$
\sum_{i=1}^{n} f_i=1.
$
Połóżmy $x:=\sum_{i=1}^{n} x_{t_{i}}f_{i}$. Dla każdego $t\in M$ mamy
\begin{align*}
\|\sigma (t)-\widehat{x}(t)\|&\leq \|\sigma(t)- \sum_{i=1}^{n}f_{i}(t) \sigma(t) \|+ \| \sum_{i=1}^{n}f_{i}(t) \sigma(t)-\widehat{x}(t)\|
\\
&<\varepsilon + \| \sum_{i=1}^{n}f_{i}(t) \sigma(t)- \sum_{i=1}^{n}\widehat{x_{t_{i}}}(t)f_{i}(t)\|
\\
&= \varepsilon + \|\sum_{i=1}^{n}f_{i}(t)\bigl( \sigma(t)- \widehat{x_{t_{i}}}(t)\bigr)||<\varepsilon + \varepsilon \sum_{i=1}^{n} f_{i}(t)=2\varepsilon.
\end{align*}
\end{proof}

Jako zastosowanie powyższej charakteryzacji pokażemy, że każdy moduł Hilberta nad przemienną algebrą z widmem dyskretnym 
jest izomorficzny z modułem Hilberta $X_s$ związanym z pewnym odwzorowaniem dyskretnym $s:E\to V$,  patrz Przykład \ref{ex:discrete_maps}.
W ten sposób otrzymamy jeszcze jedną charakteryzację modułu Hilberta, w przypadku gdy $C^*$-algebra modelująca jest algebrą funkcji na przestrzeni dyskretnej.

\begin{cor}\label{cor:pregraph} 
Jeśli $X$ jest $C_0(V)$-modułem Hilberta, gdzie $V$ jest przestrzenią dyskretną, to istnieje odwzorowanie $s:E \to V$ oraz  izomorfizm 
 $\Phi:X \to X_s$ modułów Hilberta.
\end{cor}
\begin{proof}
Na mocy Twierdzenia \ref{thm:Hilbert_modules_over_commutative} możemy utożsamić $X$ z  $C_0(V)$-modułem $\Gamma_0(\bigsqcup_{v\in V}H_v)$ ciągłych cięć wiązki Hilberta $\bigsqcup_{v\in V}H_v$. Jako że $V$ jest przestrzenią dyskretną, mamy 
$$
\Gamma_0(\bigsqcup_{v\in V}H_v)=\{x\in \prod_{v\in V} H_v: V \ni v \mapsto \|x(v)\|\in \C 
\text{ jest elementem }C_0(V)\}.
$$
Szukany izomorfizm skonstruujemy przyporządkowując cięciu $x\in \Gamma_0(\bigsqcup_{v\in V}H_v)$ funkcję zadaną przez współczynnyki Fouriera $x(v)$ we wszystkich źdźbłach $H_v$, $v\in V$.
Mianowicie, dla każdego $v\in V$ ustalmy bazę ortogonalną $\lbrace e_i(v)\rbrace_{i\in I(v)}$ w $H_v$. 
Wtedy dla każdego $x\in \Gamma_0(\bigsqcup_{v\in V}H_v)$ mamy
$$
x(v)=\sum_{i\in I(v)}x_i(v)e_i(v)
$$
gdzie $x_i(v)\in \C$, $i\in I(v)$, $v\in V$,  są współczynnikami jednoznacznie wyznaczonymi przez $x$.
Połóżmy $E:=\bigsqcup_{v\in V} \lbrace e_i(v)\rbrace_{i\in I(v)}$ i zdefiniujmy $s:E\to V$ wzorem 
$s( e_i(v))=v$, tak aby $s^{-1}(v)=\lbrace e_i(v)\rbrace_{i\in I(v)}$. Niech $X_s=\lbrace f\in C(E) : v\mapsto\sum_{i\in I(v)} |f(e_i(v))|^2\in C_0(V)\rbrace$ będzie $C_0(V)$-modułem odpowiadającym odwzorowaniu $s:E\to V$.  
 Dla  $x\in \Gamma_0(\bigsqcup_{v\in V}H_v)$ definiujemy 
$\Phi(x): E\to\C$ wzorem
$$
\Phi(x)(e_i(v)):=x_i(v).
$$
Skoro funkcja $V \ni v \mapsto \|x(v)\|^2=\sum_{i\in I(v)} |x_i(v)|^2 \in \C$ znika w nieskończoności, widzimy, że $\Phi(x)\in X_s$.
Liniowość i injektywność odwzorowania 
$\Phi:X \mapsto X_s$ są jasne. Jest ono surjektywne, gdyż dla każdego $f\in X_s$ funkcja $x: V\to \bigsqcup_{v\in V}H_v$ dana wzorem
$x(v):=\sum_{i\in I(v)}f(e_i(v))e_i(v)
$
należy do $\Gamma_0(\bigsqcup_{v\in V}H_v)$ oraz $f=\tilde{x}$. Co więcej, dla każdego $x,y 
\in X$, mamy
$$
\langle \Phi(x),\Phi(y)\rangle_{C_0(V)} (v) = \sum_{i\in I(v)}\overline{x_i(v)}y_i(v)=\langle x(v) , y(v) \rangle=\langle x, y\rangle_{C_0(V)} (v).
$$
Czyli $\Phi$ zachowuje iloczyny wewnętrzne. Zatem jest to izomorfizm modułów Hilberta.
\end{proof}



\chapter{$C^*$-korespondencje}


\section{$C^*$-korespondencje}
\begin{dfn}
Niech $A,B$ bedą $C^*$-algebrami. \emph{$C^*$-korespondencją z $A$ do $B$} nazywamy prawy $B$-moduł Hilberta  $X$  wyposażony dodatkowo w  homomorfizm $\phi_X:A\to\LL(X)$. Piszemy wtedy $a\cdot x := \phi_X(a)x$. 
\end{dfn}
\begin{rem}
Przypomnijmy, iż operatory z $\LL(X)$ są $B$-liniowe, patrz Lemat \ref{lem:adjointable maps}. Zatem jeśli $X$ jest $C^*$-korespondencją z $A$ do $B$ to $X$ jest lewym $A$-modułem oraz
$$
(ax)b= a(xb) \qquad \text{ dla wszystkich }a\in A, b\in B, x\in X.
$$
Czyli $X$ jest  $A$-$B$-bimodułem w sensie algebraicznym.
\end{rem}

O $C^*$-korespondencjach można myśleć jako o uogólnionych reprezentacjach (gdzie $A$ jest reprezentowana na module zamiast na przestrzeni Hilberta), lub jako o uogólnionych morfizmach między $C^*$-algebrami $A$ i $B$. Mając na uwadze ten drugi punkt widzenia, będziemy pisać
$$
A \stackrel{X}{\longrightarrow} B
$$
chcąc powiedzieć, że $X$ jest $C^*$-korespondencją z $A$ do $B$.
\begin{dfn}
Powiemy, że $C^*$-korespondencja $A \stackrel{X}{\longrightarrow} B$ jest 
\begin{itemize}
\item \emph{niezdegenerowana}, jeżeli homomorfizm $\phi_X:A\to\LL(X)$ jest niezdegenerowany, tzn. %zachodzi równość 
$\phi_X(A)X=X$.
\item \emph{injektywna}, jeżeli homomorfizm $\phi_X:A\to\LL(X)$ jest injektywny; 
\item \emph{właściwa}, jeżeli $\phi_X(A)\subseteq \KK(X)$, tzn. $A$ działa na $X$ przez operatory zwarte.
\end{itemize}
\end{dfn}
\begin{rem}\label{rem:degenreate_correspondence}  Warunek niezdegenerowaności jest ważny i niektórzy autorzy włączają go 
do definicji $C^*$-korespondencji. Zauważmy, że każdą  $C^*$-ko\-res\-pondencję można w naturalny sposób sprowadzić do $C^*$-korespondencji  niezdegenerowanej. 
Mianowicie, 	dla każdej $C^*$-korespondencji $A \stackrel{X}{\longrightarrow} B$,
$$
\text{ $C^*$-korespondencja 
$A \stackrel{\phi_X(A)X}{\longrightarrow} B$ jest niezdegenerowana.}
$$
Dokładniej,
zbiór $\phi_X(A)X$  jest domkniętą przestrzenią liniową $X$ na mocy Twierdzenia Hewitta-Cohena. 
Jasne jest, że przestrzeń $\phi(A)X$ jest niezmiennicza ze względu na mnożenie przez elementy z $A$ i $B$. Zatem $\phi(A)X$ jest  $B$-podmodułem Hilberta modułu $X$  oraz $\phi_X:A\to\LL(X)$ możemy traktować jako homomorfizm $\phi_{\phi(A)X}:A\to\LL(\phi(A)X)$. 

\end{rem}
\begin{rem}\label{rem:important_ideals}  
%Jeśli $C\subseteq A$ jest $C^*$-podalgebrą to dla każdej $C^*$-korespondencji $A \stackrel{X}{\longrightarrow} B$ przez $C \stackrel{X}{\longrightarrow} B$ będziemy rozumieć $C^*$-korespondencję z $C$ do $B$ powstałą z poprzedniej poprzez obcięcie homomorfizmu $\phi_X:A\to\LL(X)$ do podalgebry $C$. Procedurę taką można nazwać obcięciem dziedziny $C^*$-korespondencji. 


Obcinając dziedzinę   $C^*$-korespondencji $A \stackrel{X}{\longrightarrow} B$ możemy otrzymać odpowiednio injektywną oraz właściwą  $C^*$-korespondencję. Przez \emph{obcięcie dziedziny $C^*$-korespondencji} rozumiemy tu obcięcie homomorfizmu $\phi_X:A\to\LL(X)$ zadającego lewe działanie.  W szczególności,
$$
J(X):=\phi_X^{-1}(\KK(X))
$$
jest największym ideałem w $A$ takim, że $C^*$-korespondencja $J(X) \stackrel{X}{\longrightarrow} B$ jest właściwa. Analogicznie, 
$$
(\ker\phi_{X})^{\bot}=\{a\in A: a  \ker\phi_{X} =\{0\}\}
$$
jest największym ideałem w $A$ takim, że  $C^*$-korespondencja $(\ker\phi_{X})^{\bot}\stackrel{X}{\longrightarrow} B$ jest injektywna. 
Ideał 
$$J_X:=\phi_X^{-1}(\KK(X))\cap (\ker\phi_{X})^{\bot}
$$ jest nazywany \emph{ideałem Katsury}. Jest to największy ideał w $A$,
dla którego $J_X\stackrel{X}{\longrightarrow} B$ jest właściwa i injektywna.
Zauważmy, że 
Lematy \ref{lem:extension of codomain}, \ref{lem:restriction of codomain} pozwalają na odpowiednie obcięcie lub rozszerzenie przeciwdziedziny $C^*$-korespondencji $A \stackrel{X}{\longrightarrow} B$.
\end{rem}
\begin{exm}[Reprezentacje]
 $C^*$-korespondencje z $A$ do $\C$ są niczym innym jak reprezentacjami $C^*$-algebry $A$. Rzeczywiście,  
jeśli 
$A \stackrel{X}{\longrightarrow} \C$, to $X=H$ jest przestrzenią Hilberta oraz $\LL(X)=B(H)$. Zatem $C^*$-korespondencja $X$ jest wyznaczona przez lewe działanie, które jest po prostu reprezentacją $\pi:A\to B(H)$. 
Niezdegenerowane $C^*$-korespondencje odpowiadają reprezentacjom niezdegenerowanym, a injektywne reprezentacjom wiernym. 
\end{exm}
\begin{exm}[Homomorfizmy $C^*$-algebr]\label{homcor}
Niech $X=B_B$ będzie trywialnym $B$-modułem Hilberta. 
 Wtedy możemy przyjąć utożsamienia: $\KK(X)=A$ i $\LL(X)=\MM(A)$, patrz Przykład  \ref{ex:C*-algebras as compacts}. Zatem  $C^*$-korespondencje $A \stackrel{B_B}{\longrightarrow} B$ 
są niczym innym, niż  homomorfizmami  $\alpha:A\to \MM(B)$, 
natomiast właściwe $C^*$-korespondencje $A \stackrel{B_B}{\longrightarrow} B$ 
są po prostu homomorfizmami  $\alpha:A\to B$ z $A$ do $B$.
 Należy tu podkreślić, że korespondencja $A \stackrel{B_B}{\longrightarrow} B$ jest niezdegenerowana 
wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadający jej  homomorfizm $\alpha : A\to \MM(B)$ 
jest niezdegenerowany, tzn. $\alpha(A)B=B$ (takie homomorfizmy nazywa się czasem \emph{morfizmami} z  $A$ do $B$).
Niemniej jednak, zgodnie z Uwagą \ref{rem:degenreate_correspondence}, z każdym homomorfizmem $\alpha:A\to \MM(B)$ możemy 
związać niezdegenerowaną $C^*$-korespondencję $X_\alpha$ gdzie $X_\alpha:=\alpha(A)B$ jako przestrzeń liniowa oraz
$$
 \langle x, y \rangle_B:= x^*y,\quad  a\cdot x:=\alpha(a)x,\quad x\cdot  b=xb, \qquad \text{ $x, y \in X_{\alpha}$, $a\in A$, $b\in B$}.
$$
\end{exm}
\begin{exm}[Homomorfizmy w stabilizację $C^*$-algebr]\label{homcorstab}
Niech $X=\HH_B$ będzie standardowym $B$-modułem Hilberta. 
Wtedy  $\KK(X)$ możemy utożsamić ze stabilizacją $B\otimes \mathbb{K}$ algebry $B$, 
 a $\LL(X)$ z  $\MM(B\otimes \mathbb{K})$, patrz Przykład  \ref{ex:stabilization_C*-algebra as compacts}. Zatem 
homomorfizmy $\alpha:A \to \MM(B\otimes \mathbb{K})$  możemy utożsamić z $C^*$-korespondencjami $A \stackrel{\HH_B}{\longrightarrow} B$,
a $\alpha:A \to B\otimes \mathbb{K}$ z właściwymi $C^*$-korespondencjami $A \stackrel{\HH_B}{\longrightarrow} B$. 

\end{exm}
\begin{exm}[Grafy skierowane]\label{graph} $G=(E,s,r)$ będzie \emph{grafem skierowanym z $V$ do $W$}. To znaczy 
 $W,V$ są zbiorami wierchołków, $E$ jest zbiorem krawędzi,  a $s:E\to V$ i  $r:E\to W$ są odwzorowaniami wyznaczającymi odpowiednio początek (source) i koniec (range) krawędzi. Z grafem $G$ zwiążemy  tzw. \emph{$C^*$-korespondencję grafową} 
 $C_0(W) \stackrel{X_G}{\longrightarrow}C_0(V)$, gdzie   zbiory $V$ i $W$ traktujemy tu jako przestrzenie dyskretne.
Jako $C_0(V)$-moduł Hilberta $X_G$ można utożsamić z modułem związanym z odwzorowaniem  $s:E\to V$, patrz Przykład 
\ref{ex:discrete_maps}. To znaczy, kładziemy
$$
X_G:=\lbrace x\in C(E): V\ni v\longmapsto \sum_{e\in s^{-1}(v)}|x(e)|^2\in C_0(V)\rbrace
$$
\begin{gather*}
 (x \cdot b)(e) :=  x(e)b(s(e)) ,\qquad 
\langle x,y\rangle_{C_0(V)} (v) := \sum_{e\in s^{-1}(v)}\overline{x(e)}y(e),
\end{gather*}
gdzie $x,y\in X_G$ oraz $b\in C_0(V)$. Odwzorowanie $r:E\to W$ pozwala nam zdefiniować homomorfizm
$\phi_{X_G}: C_0(W)\to\LL(X_G)$, czyli lewe mnożenie, wzorem
$$
(a \cdot x)(e):=a(r(e))x(e), \qquad x\in X_G, a\in C_0(W).
$$
Otrzymana w ten sposób $C^*$-korespondencja $C_0(W) \stackrel{X_G}{\longrightarrow}C_0(V)$ jest niezdegenerowana
(co wiąże się z faktem, iż odwzorowanie $r:E\to V$ jest wszędzie określone). Ideały z poprzedniej uwagi mają tu naturalne interpretacje
kombinatoryczne. Mianowice, zauważmy, że $C^*$-algebra $C_0(W)$ jest domkniętą otoczką liniową funkcji $\delta_w$, $w\in W$, gdzie $\delta_w(v)=\delta_{w,v}$ delta Kroneckera. Nietrudno wykazać, że
$$
J(X_G)=\clsp\{\delta_w: r^{-1}(w) \text{ zbiór skończony}\}, \quad 
$$
$$
(\ker\phi_{X_G})^{\bot}=\clsp\{\delta_w: r^{-1}(w)\neq \emptyset\}.
$$
W szczególności, $C^*$-korespondencja  $C_0(W) \stackrel{X_G}{\longrightarrow}C_0(V)$ jest właściwa wtedy i tylko wtedy, gdy do każdego wierzchołka prowadzi conajwyżej skończona ilość krawędzi. Natomiast jest ona injektywna  wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wierzchołek jest końcem jakiejś krawędzi.
\end{exm}
We Wniosku \ref{cor:pregraph} wykazaliśmy, że każdy $C_0(V)$-moduł Hilberta, gdzie $V$ jest przestrzenią dyskretną, jest izomorficzny
z modułem z powyższego przykładu. Modyfikując jego dowód, pokażemy, że dla $W$ i $V$ dyskretnych każda niezdegenerowana $C^*$-korespondencja z $C_0(W)$ do $C_0(V)$ jest $C^*$-ko\-respondencją grafową. Twierdzenie to wykazano  w \cite{KPQ},  bez wykorzystania  Twierdzenia \ref{thm:Hilbert_modules_over_commutative}. 
\begin{thm}\label{thm:kaliszewski_patani_quigg}
Każda niezdegenerowana $C^*$-korespondencja z $C_0(W)$ do $C_0(V)$, gdzie  $W,V$ są przestrzeniami dyskretnymi,  jest izomorficzna z $C^*$-korespondencją grafową $X_G$ dla pewnego grafu $G$ z $V$ do $W$.
\end{thm} 
\begin{proof}
W dowodzie Wniosku  \ref{cor:pregraph} zauważyliśmy, że $C_0(V)$-moduł Hilberta $X$ można utożsamić z przestrzenią funkcji 
$$X=\{x\in \prod_{v\in V} H_v: V \ni v \mapsto \|x(v)\|\in \C
\text{ jest elementem }C_0(V)\}
$$  o wartościach w przestrzeniach Hilberta $\{H_v\}_{ v\in V}$. Izomorfizm z $X$ na   $X_s$  skonstruowaliśmy tam wybierając bazy w przestrzeniach $H_v$ w arbitralny sposób. Aby skonstruować odpowiedni graf skierowany, przy wyborze tej bazy uwzględnimy również lewe działanie. Przypomnijmy, iż $C_0(W)=\clsp\{\delta_w: w\in W\}$, 
gdzie $\delta_w$ jest funkcją charakterystyczną $\{w\}$. Zatem $\{\delta_w\}_{w\in W}$ działają na każdej przestrzeni $H_v$ jako wzajemnie prostopadłe rzuty ortogonalne.  Połóżmy  
$$
{_w}H_v:= \phi_X(\delta_w)H_v \quad  \text{ dla każdego $w\in W$ oraz $v\in V$}.
$$ 
Skoro rozważana $C^*$-korespondencja jest niezdegenerowana, to $H_v=\oplus_{w\in W} {_w}H_v$ dla każdego $v\in V$.
Dla każdej pary $(w,v)\in W\times V$ ustalmy bazę ortogonalną $\lbrace e_i(w,v)\rbrace_{i\in I(w,v)}$ w ${_w}H_v$.
Zdefiniujmy graf $G=(V,W,E,s,r)$, gdzie
$$
E:=\bigsqcup_{(w,v)\in W\times V} \lbrace e_i(w, v)\rbrace_{i\in I(w,v)}, \quad s( e_i(w,v))=v, \quad r( e_i(w,v)):=w.
$$ 
Niech $X_G$ będzie $C^*$-korespondencją grafu $G$. W dowodzie Wniosku  \ref{cor:pregraph} pokazliśmy, że 
$$
X_G\in x\mapsto \Phi(x)\in X,\qquad  \Phi(x)(v):=\sum_{e\in s^{-1}(v)}x(e)e 
$$
jest izomorfizmem modułów Hilberta. 
 Dla każdego $a\in C_0(V)$ oraz  $e=e_i(w, v)\in  {_w}H_v$ mamy
$$
\phi_X(a) e =  \phi_X(a) \phi_X(\delta_w) e=\phi_X(a(w)\delta_w)e =a(w)e= a(r(e))e.
$$
Skąd $\Phi_{X_G}(a)\Phi(x)=\Phi( \Phi_{X}(a)x)$ dla $x\in X_G$. 
Czyli $\Phi$ jest izomorfizmem $C*$-korespondencji. 
\end{proof}


\section{Iloczyn tensorowy $C^*$-kores\-pondencji}
W poprzednim podrozdziale widzieliśmy na wielu przykładach, że $C^*$-ko\-respon\-dencje modelują różne bardzo ogólnie rozumiane ``morfizmy'' między $C^*$-alge\-brami. Często niejasne jest jak takie ``morfizmy'' składać. W tym podrozdziale pokażemy, że składanie  ``morfizmów'' jest w efektywny i naturalny sposób opisane przez iloczyn tensorowy $C^*$-korespondencji.

Sama definicja iloczynu tensorowego jest dość naturalna, jednakże sprawdzenie, że jest ona poprawna wymaga nieco pracy, którą wykonamy poniżej.
\begin{dfn}\label{tensor}
\emph{Iloczynem tensorowym} lub też \emph{złożeniem $C^*$-korespondencji} $A \stackrel{X}{\longrightarrow} B$ i $B \stackrel{Y}{\longrightarrow} C$ nazywamy  $C^*$-korespondencję $A \stackrel{X\otimes_B Y}{\longrightarrow} C$ zdefiniowaną w następujący sposób. 
Niech $X\otimes_B^{alg} Y$ będzie algebraicznym iloczynem tensorowym bimodułów zbalansowanym względem algebry $B$.  
%$X\odot Y$ %=\{\sum_{k=1}^n \lambda k x_k\otimes y_k: \}$  przestrzeni liniowych $X$ i $Y$. 
To znaczy  $X\otimes_B^{alg} Y$ składa się  z   sum formalnych elementów $ x\otimes y$
 $x\in X$, $y\in Y$, gdzie oprócz standardowych relacji rozłączności mnożenia względem dodawania:
% przyjmujemy utożsamienia 
\begin{equation}\label{eq:tensor_distributivity}
x\otimes  (y_1 +  y_2)= (x\otimes y_1) + (x \otimes y_2),\quad
(x_1+x_2)\otimes  y = (x_1\otimes y) + (x_2 \otimes y),
\end{equation}
przyjmujemy również relacje \emph{zbalansowania względem $B$}:
\begin{equation}\label{eq:balanced_product}
xb\otimes y=x\otimes by
\end{equation}
gdzie $x,x_1,x_2\in X$, $y, y_1,y_2 \in Y$  oraz $b\in B$.  Elementy $x\otimes y$  nazywamy tensorami prostymi.
Przestrzeń $X\otimes_B^{alg}Y$ jest w naturalny sposób $A$-$C$-bimodułem, z lewym $A$-mnożeniem i prawym $C$-mnożeniem danymi wzorami
$$
a (x\otimes y)=ax\otimes y, \qquad  (x\otimes y) c=x\otimes yc
$$
dla $x\in X$, $y\in Y$, $a\in A$ oraz $c\in C$. Na $X\otimes_B^{alg}Y$ określamy $C$-iloczyn wewnętrzny, który  na tensorach prostych jest dany wzorem
\begin{equation}\label{eq:inner_product_on_tensor_product0}
\langle x_1\otimes y_1 |x_2\otimes y_2\rangle_C:=\langle y_1|\langle x_1|x_2\rangle_{_B} y_2\rangle_{_C}, \qquad x_1, x_2\in X, y_1,  y_2\in Y,
\end{equation}
patrz Wniosek \ref{cor:tensor_product_nondegeneracy}. Uzupełniając $X\otimes_B^{alg} Y$ w metryce pochodzącej od powyżej zdefiniowanego $C$-iloczynu 
wewnętrznego, por. Stwierdzenie \ref{prop:completion_of_pre-Hilbert}, otrzymujemy prawy $C^*$-moduł Hilberta: 
$$
X\otimes_B Y:=\overline{X\otimes_B^{alg} Y}.
$$
Lewe $A$-działanie na $X\otimes_B^{alg} Y$ przedłuża się do lewego $A$-działania przez operatory sprzęgalne na $X\otimes_B Y$,
patrz Wniosek \ref{cor:correspondence_left_action}. Zatem $X\otimes_B Y$ jest $C^*$-korespondencją z $A$ do $C$. 
\end{dfn}

\begin{rem} Przy składaniu $C^*$-korespondencji $A \stackrel{X}{\longrightarrow} B$ i $B \stackrel{Y}{\longrightarrow} C$
możemy zawsze założyć, że $C^*$-korespondencja $B \stackrel{Y}{\longrightarrow} C$ jest niezdegenerowana. Rzeczywiście, moduł Hilberta $X$ jest zawsze niezdegenerowany z prawej strony, patrz Wniosek \ref{cor:non-degeneracy_Hilbert_module}. Zatem relacja zbalansowania 
\eqref{eq:balanced_product} implikuje, że 
\begin{equation}\label{eq:tensor_product_implies_nondegeneracy}
X\otimes_B Y =  XB\otimes_B  Y
= X\otimes_B  BY,
\end{equation}
gdzie $B \stackrel{BY}{\longrightarrow} C$ jest $C^*$-korespondencją niezdegenerowaną. 
\end{rem}
\begin{rem} Przypomnijmy, iż $X\otimes_B Y$ jest przestrzenią liniową z mnożeniem przez skalar spełniającym \eqref{eq:compatible_linear}.
Z tych relacji oraz z \eqref{eq:tensor_product_implies_nondegeneracy} wynika, że dla $x\in X$, $y\in Y$ oraz $\lambda \in \C$ mamy
\begin{equation}\label{eq:scalar_multiplication_associativity}
\lambda(x\otimes y)=(\lambda x)\otimes y= x\otimes (\lambda y).
\end{equation}
Zatem, struktura $X\otimes_B Y$ jest zgodna ze strukturą iloczynu tensorowego przestrzeni liniowych.
W rzeczywistości,  $X\otimes_B Y$ można skonstruować  zaczynając 
od iloczynu tensorowego przestrzeni liniowych $X$ i $Y$. Iloczyn taki, oznaczmy go przez $X\odot Y$, jest przestrzenią liniową
składającą się z  sum formalnych elementów $x\odot y$, $x\in X$, $y\in Y$ spełniających relacje typu \eqref{eq:tensor_distributivity}, \eqref{eq:scalar_multiplication_associativity}. Przestrzeń $X\odot Y$ jest w naturalny sposób $A$-$C$-bimodułem i na $X\odot Y$ mamy $C$-formę hermitowską zadaną wzorem
\begin{equation}\label{eq:inner_product_on_tensor_product}
\langle x_1\odot y_1 |x_2\odot y_2\rangle_C:=\langle y_1|\langle x_1|x_2\rangle_{_B} y_2\rangle_{_C}, \qquad x_1, x_2\in X, y_1,  y_2\in Y,
\end{equation}
 Zatem eliminując w $X\odot Y$ wektory izotropowe, tzn. przechodząc do przestrzeni ilorazowej
$(X\odot Y)/ N$ gdzie $N=\{z\in X\odot Y: \langle z, z\rangle_C=0\}$, $C$-forma $\langle \cdot |\cdot\rangle_{_C}$ faktoryzuje się do $C$-iloczynu wewnętrznego, por. Wniosek \ref{cor:elimination}. Jednakże, na mocy Twierdzenia  \ref{thm:tensor_product_nondegeneracy}
$$
N=\text{span}\{ xb\odot y - x\odot by: x\in X, y\in Y, b\in B\}.
$$
Zatem mamy naturalny izomorfizm zachowujący $C$-iloczyny wewnętrzne
$$
(X\odot Y)/N\cong  X\otimes_B^{alg} Y \qquad \text{gdzie } x\odot y +N \longmapsto  x\otimes_B y.
$$
W konsekwencji izomorfizm ten przedłuża się do izomorfizmu $C^*$-korespondencji  
$$
X\otimes_B Y\cong\overline{(X\odot Y)/N}, 
$$
gdzie $\overline{(X\odot Y)/N}$ jest  uzupełnieniem  $(X\odot Y)/ N$ do $C$-modułu Hilberta.
\end{rem}
\begin{rem} Oczywiście, aby zdefiniować $C$-moduł Hilberta $X\otimes_B Y$ wystarczy, aby $X$ był $B$-modułem Hilberta. Jednakże, moduł Hilberta $X$ możemy traktować jako $C^*$-korespondencję $\C \stackrel{X}{\longrightarrow} B$. Wtedy złożenie z  $C^*$-korespondencją  $B \stackrel{Y}{\longrightarrow} C$ daje nam moduł $C$-Hilberta $\C\stackrel{X\otimes_B Y}{\longrightarrow} C$.
\end{rem}

Ustalmy $C^*$-korespondencje $A \stackrel{X}{\longrightarrow} B$ i $B \stackrel{Y}{\longrightarrow} C$.
\begin{thm}\label{thm:tensor_product_nondegeneracy}
 Wzór 
\eqref{eq:inner_product_on_tensor_product} zadaje na iloczynie tensorowym przestrzeni liniowych $X\odot Y$ nieujemną $C$-formę
hermitowską. 
Przestrzeń wektorów izotropowych tej formy jest rozpięta przez elementy postaci $ xb\odot y - x\odot by$, gdzie $x\in X$, $y\in Y$, 
$b\in B$. 
\end{thm}
\begin{proof} Jasne jest, że odwzorowanie dane na tensorach prostych wzorem \eqref{eq:inner_product_on_tensor_product} przedłuża się do
antysymetrycznej formy półtoraliniowej na $X\odot Y$. Aby wykazać, dodatniość formy ustalmy $z=\sum_{i=1}^n x_{i}\odot y_i\in X\odot Y$. 
Niech $y=(y_1,...,y_n)$ będzie elementem modułu Hilberta $Y^n$ będącego sumą prostą $n$-kopii modułu $Y$. 
Zauważmy, że lewe mnożenie $\phi_Y: B \to \LL(Y)$  na $Y$ indukuje homomorfizm $\phi_Y^{n}:M_n(B)\to \LL(Y^n)$,
gdzie $\phi_Y^{n}(\{b_{i,j}\}_{i,j=1}^n)y=(\sum_{j=1}^n b_{1,jy_j},...,\sum_{j=1}^n b_{n,jy_j})$.  W szczególności kładąc  $M=\{\langle x_i, x_j\rangle_B\}_{i,j=1}^n$ otrzymujemy 
$$
\langle z | z \rangle_C=  \sum_{i,j=1}^{n} \langle y_i  |\langle x_i, x_j\rangle_B y_j \rangle_C =\langle y  |\phi_Y^{n}(M) y \rangle_C.
$$ 
Jednakże macierz $M=\{\langle x_i, x_j\rangle_B\}_{i,j=1}^n$ jest elementem dodatnim w $M_n(B)$, gdyż 
dla dowolnych $b_1,..,b_n$ w $B$ mamy 
$$
 \sum_{i,j=1}^{n}  b_i ^* \langle x_i, x_j\rangle_B b_j=\langle \sum_{i=1}^n x_i b_i,  \sum_{j=1}^n x_j b_j \rangle_B \geq 0 ,
$$
patrz \cite[Lemma 3.2]{takesaki}. Stąd 
\begin{equation}\label{eq:langle_z_z}
\langle z | z \rangle_C=  \langle y  |\phi_Y^{n}(M) y \rangle_C=\langle \phi_Y^{n}(M^{\frac{1}{2}}) y  |\phi_Y^{n}(M^{\frac{1}{2}}) y \rangle_C
\geq 0.
\end{equation}
Rozważmy teraz przestrzeń  $N=\{z\in X\odot Y: \langle z, z\rangle_C=0\}$. Jeśli  $z= xb\odot y - x\odot by$, gdzie $x\in X$, $y\in Y$, to
%$z\in N$, gdyż $$
%\langle y|\langle xb, xb\rangle_B y \rangle_C =\langle y|\langle xb,x\rangle_B by \rangle_C =\langle by|\langle x,xb\rangle_B y \rangle_C=\langle by|\langle x, x\rangle_B by \rangle_C
%$$
$$
\langle z | z \rangle_C=\langle y|\langle xb, xb\rangle_B y \rangle_C - \langle y|\langle xb,x\rangle_B by \rangle_C - \langle by|\langle x,xb\rangle_B y \rangle_C +\langle by|\langle x, x\rangle_B by \rangle_C=0.
$$
Na odwrót, niech $z=\sum_{i=1}^n x_{i}\odot y_i\in X\odot Y$ będzie dowolnym elementem $N$. Przy powyższych oznaczeniach,
na mocy \eqref{eq:langle_z_z}, mamy $\phi_Y^{n}(M^{\frac{1}{2}}) y=0$. Implikuje to również, że   $\phi_Y^{n}(M^{\frac{1}{4}}) y=0$,
gdyż
$$
\langle \phi_Y^{n}(M^{\frac{1}{4}}) y, \phi_Y^{n}(M^{\frac{1}{4}}) y\rangle_C =\langle  y, \phi_Y^{n}(M^{\frac{1}{2}}) y\rangle_C =0.
$$
Traktując $X^n$ jako $M_n(B)$-moduł Hilberta dla elementu $x:=(x_1,...,x_n)$ mamy $\langle x| x\rangle_{M_n(B)}= M$.
Na mocy \cite[Lemma 4.4]{lance}, dla każdego $0<\alpha<1/2$ istnieje $w\in X^{n}$ takie, że $x=w M^{\alpha}$. Niech $w=(w_1,...,w_n)$ będzie takim elementem
dla $\alpha=1/4$. Wtedy jeśli $\{c_{i,j}\}_{i,j=1}^n$ są współczynnikami macierzy $M^{1/4}$, to 
$$
x_j=\sum_{i=1}^n w_i c_{i,j} \quad\text{oraz}\quad \sum_{j=1}^n  c_{i,j} y_j=0.
$$
Stąd otrzymujemy, że
$$
z=\sum_{i=1}^n x_{i}\odot y_i =\sum_{i,j=1}^n \left(w_i c_{i,j}\odot y_i -  x_i\odot c_{i,j} y_j\right).
$$
czyli $z$ jest elementem przestrzeni $\text{span}\{ xb\odot y - x\odot by: x\in X, y\in Y, b\in B\}$. 
\end{proof}


\begin{cor}\label{cor:tensor_product_nondegeneracy}
 Wzór 
\eqref{eq:inner_product_on_tensor_product0} zadaje na  prawym $C$-module  $X\otimes_B^{alg} Y$  $C$-iloczyn wewnętrzny.
\end{cor}
\begin{proof} Jedynym nietrywialnym elementem dowodu jest, że rozważana $C$-forma jest nieujemnie określona. To zaś wynika z
Twierdzenia \ref{thm:tensor_product_nondegeneracy}.
\end{proof}

\begin{prop}\label{prop:right_tensoring_correspondence}
 Niech $A \stackrel{X_1}{\longrightarrow} B$ i $A \stackrel{X_2}{\longrightarrow} B$ będą $C^*$-korespondencjami i
Niech $X_1\otimes_B Y:=\overline{X_1\otimes_B^{alg} Y}$ oraz $X_2\otimes_B Y:=\overline{X_2\otimes_B^{alg} Y}$ odpowiednimi  $C$-modułami Hilberta, patrz Wniosek \ref{cor:tensor_product_nondegeneracy}. 
Mamy liniową kontrakcję
$$
 \LL(X_1,X_2)\ni T \stackrel{\otimes 1}{\longmapsto} T\otimes 1 \in \LL(X_1\otimes_B Y, X_1\otimes_B Y)
$$
zdeterminowaną wzorem $(T\otimes 1) (x\otimes y):= Tx\otimes y$. Jeśli $X=X_1=X_2$ to
$$
\LL(X)\ni T \stackrel{\otimes 1}{\longmapsto} T\otimes 1 \in \LL(X\otimes_B Y)
$$
jest zachowującym jedynkę homomorfizmem $C^*$-algebr.
\end{prop}
\begin{proof}
Odwzorowanie $x\otimes y\mapsto  Tx\otimes y$ przez liniowość przedłuża się do odwzorowania $T\otimes 1: X_1\otimes_B^{alg} Y \to X_2\otimes_B^{alg} Y$. Aby wykazać, że operator $T\otimes 1 $ jest ograniczony ustalmy element $\sum_{i=1}^n  x_i\otimes y_i \in X_1\otimes_B^{alg} Y$
Połóżmy,  
$$
M=\{\langle x_i, x_j\rangle_B\}_{i,j=1}^n\qquad \text{ oraz }\qquad W=\{\langle Tx_i, Tx_j\rangle_B\}_{i,j=1}^n.
$$
Korzystając ze Stwierdzenia \ref{prop:Schwartz-adjointable-operators}, dla dowolnych $b_1,..,b_n$ w $B$ mamy
\begin{align*}
\sum_{i,j=1}^n  b_i^*\langle Tx_i, Tx_j\rangle_B b_j&=\langle \sum_{i=1}^n  Tx_i b_i, \sum_{i=1}^n  Tx_i b_i\rangle_B
\\
&\leq \|T\|^2 \langle \sum_{i=1}^n  x_i b_i, \sum_{i=1}^n  x_i b_i\rangle_B= \|T\|^2 \sum_{i,j=1}^n  b_i^*\langle x_i, x_j\rangle_B b_j.
\end{align*}
Zatem $W\leq \|T\|^2 M$ na mocy \cite[Lemma 3.2]{takesaki}.
Niech $\phi_Y^{n}:M_n(B)\to \LL(Y^n)$ i $y=(y_1,...,y_n)$ będą jak w dowodzie Twierdzenia \ref{thm:tensor_product_nondegeneracy}. 
Wtedy
\begin{align*}
0 &\leq  \langle  \phi_Y^{n}\Big((\|T\|^2 M- W)^{1/2}\Big)y| \phi_Y^{n}\Big((\|T\|^2 M- W)^{1/2}\Big) y \rangle_C 
\\
&=\langle  y| \phi_Y^{n}(\|T\|^2 M- W) y \rangle_C= \langle  y| \phi_Y^{n}(\|T\|^2 M)y \rangle_C -  \langle  y| \phi_Y^{n}(W) y \rangle_C.
\end{align*}
Korzystając z powyższej nierówności dostajemy
\begin{align*}
\left\| \sum_{i=1}^n  Tx_i\otimes y_i\right \|^2& =\left\| \sum_{i,j=1}^n  \langle  y_i|\langle Tx_i| Tx_j\rangle_B y_j\rangle_C\right \|=\left\|  \langle  y|  \phi_Y^{n}(W) y \rangle_C\right \| 
\\
&\leq \|T\|^2 \|\langle  y| \phi_Y^{n}( M)y \rangle_C \| = \|T\|^2 \left\| \sum_{i,j=1}^n  \langle  y_i|\langle x_i| x_j\rangle_B y_j\rangle_C\right \|
\\
&= \|T\|^2 \left\| \sum_{i=1}^n  x_i\otimes y_i\right \|^2.
\end{align*}
Zatem $T\otimes 1$  przedłuża się jednoznacznie do operatora ograniczonego $T\otimes 1\in B(X_1\otimes_B Y, X_1\otimes_B Y)$ i 
 $\|T\otimes 1\|\leq \|T\|$. Prosty rachunek pokazuje, że $T\otimes 1$ jest sprzęgalny, gdzie $T^*\otimes 1$ jest operatorem do niego sprzężonym. Kończy to dowód pierwszej części tezy. Pozostała część tezy jest teraz oczywista.
\end{proof}
\begin{cor}\label{cor:correspondence_left_action} $C$-moduł Hilberta 
$X\otimes_B Y:=\overline{X\otimes_B^{alg} Y}$ jest w naturalny sposób $C^*$-korespondencją z $A$ do $C$. To znaczy, określony jest homomorfizm $\varphi_{X\otimes_B Y}:A\to \LL(X\otimes_B Y)$, gdzie
$$
\phi_{X\otimes_B Y}(a)(x\otimes y):=(ax)\otimes y, \qquad  x\in X, y\in Y, a\in A.
$$
\end{cor}
\begin{proof}
Odwzorowanie $\phi_{X\otimes_B Y}$ jest złożeniem homomorfizmów 
$\phi_X:A\to \LL(X)$ oraz $\otimes 1:\LL(X)\to \LL(X\otimes_B Y)$.
\end{proof}



Rozważmy teraz właściwości złożenia korespondencji. W tym celu, przydatne będzie następujące stwierdzenie.
\begin{lem}\label{lem:tensor_operators} Dla każdego $x\in X$ mamy operator $\Theta_x\in \LL(Y, X\otimes_B Y)$, gdzie
$$
\Theta_x y= x\otimes y, \qquad \Theta_x^* x'\otimes y = \langle x, x'\rangle_B y
$$
Odwzorowanie 
$
X\ni x \mapsto \Theta_x \in   \LL(Y, X\otimes_B Y)$  jest liniową kontrakcją,  a dokładniej
$\|\Theta_x\|^2=\|\phi_Y(\langle x| x\rangle_B)\|\leq \|x\|^2$.
\end{lem}
\begin{proof} Łatwy dowód zostawiamy czytelnikowi. W szczególności zauważmy, że $ \Theta_x^*\Theta_x=\phi_Y(\langle x| x\rangle_B)$.
\end{proof}
\begin{prop}\label{prop:right_tensoring_properties}
Rozważmy homomorfizm $\otimes 1: \LL(X) \to \LL(X\otimes_B Y)$.
\begin{enumerate}
\item[1)] jeśli  $B \stackrel{Y}{\longrightarrow} C$ jest injektywna, to homomorfizm $\otimes 1:\LL(X)\rightarrow \LL(X\otimes_B Y)$ jest injektywny oraz $\otimes 1^{-1}( \KK(X\otimes_B Y))\subseteq \KK(X)$, tzn. jeśli $T\otimes 1 \in  \KK(X\otimes_B Y)$ to $T\in \KK(X)$;
\item[2)] jeśli  $B \stackrel{Y}{\longrightarrow} C$ jest właściwa, to $\KK(X)\otimes 1\subseteq  \KK(X\otimes_B Y)$; 
%Co więcej,  $\KK(X)\otimes 1 =\KK(X\otimes_B Y)$ jeśli $\phi_Y(B)=\KK(Y)$.
\item[3)] jeśli $\KK(Y)\subseteq \phi_Y(B)$, to $\KK(X\otimes_B Y) \subseteq \KK(X)\otimes 1$.
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}


1) Załóżmy, że odwzorowanie  $\phi_Y:B\to \LL(Y)$ jest injektywne. Jeśli $T\otimes 1=0$, to dla dowolnych $x\in X$ i  $y_1,y_2\in Y$ mamy
$\langle y_1|\phi_Y(\langle T x|T x \rangle_{_B}) y_2\rangle_{_C}=0$. Stąd i z injektywności $\phi_Y$,  $\langle Tx|Tx\rangle_{_B}=0$ dla każdego $x\in X$. Czyli $T=0$. Zatem   $\otimes 1:\LL(X)\rightarrow \LL(X\otimes_B Y)$ jest izometrią. 
Niech $\{\mu_\lambda\}$ będzie jedynką aproksymatywną w $\KK(X)$. Niech $x_1,x_2\in X$ i $y_1,y_2\in Y$. Na mocy Lematu \ref{lem:compact_nondegeneracy} istnieje $K\in \KK(X)$ i $x\in X$ takie, że $x_1=Kx$.  Stąd
$$
(\mu_\lambda \otimes 1) \Theta_{x_1\otimes y_1, x_2\otimes y_2}=\mu_\lambda K\Theta_{x\otimes y_1, x_2\otimes y_2}\to K\Theta_{x\otimes y_1, x_2\otimes y_2}=  \Theta_{x_1\otimes y_1, x_2\otimes y_2}.
$$
Stąd wynika, że $\mu_\lambda \otimes 1 S \to S$ dla każdego $S\in \KK(X\otimes_B Y)$. Zatem jeśli $T\in \LL(X)$ jest taki, że $T\otimes 1 \in \KK(X\otimes_B Y)$, to
$$
0=\lim_\lambda \|  T\otimes 1  - (\mu_\lambda \otimes 1) (T\otimes 1)\|= \lim_\lambda \|T- \mu_\lambda T\|.
$$
Czyli $T\in \KK(X)$.

2) Załóżmy, że $\phi_Y(B)\subseteq \KK(Y)$. Żeby wykazać, że $\KK(X)\otimes 1\subseteq  \KK(X\otimes_B Y)$ wystarczy pokazać, że $\Theta_{x_1,x_2}\otimes 1\in  \KK(X\otimes_B Y)$ dla każdych $x_1$, $x_2\in X$. Na mocy Wniosku $x_1=xb$ dla pewnego $x\in X$ i $b$. Zauważmy, że przywołując oznaczenia Lematu \ref{lem:tensor_operators} mamy
$$
\Theta_{x_1, x_2}\otimes 1=\Theta_x \phi_Y(b)\Theta_{x_2}^*,
$$
gdyż, dla $x'\in X$ i $y\in Y$ zachodzi
$$
\left(\Theta_x \phi_Y(b)\Theta_{x_2}^*\right) x'\otimes y =x \otimes \phi_Y(b\langle x_2| x'\rangle_B) y= xb\langle x_2| x'\rangle_B \otimes y
=\left(\Theta_{xb, x_2}\otimes 1\right) x'\otimes y. 
$$
Stąd $\Theta_{x_1, x_2}\otimes 1 \in \KK(X\otimes_B Y)$, bo $\phi_Y(b)\in \KK(Y)$, patrz Lemat \ref{lem:compact_ideal}. 

3) Niech $x,x'\in X$ i $y,y'\in Y$. Skoro $\phi_Y(B)\supseteq \KK(Y)$, to istnieje $b\in B$ takie, że $\phi_Y(b)=\Theta_{y,y'}$.
Wtedy 
$$
\Theta_{x\otimes y, x'\otimes y'}= \Theta_{xb,x'}\otimes 1.
$$
Rzeczywiście dla dowolnych $x''\in X$ i $y''\in Y$, mamy
\begin{align*}
\Theta_{x\otimes y, x'\otimes y'} x''\otimes y''&= x\otimes y \langle y', \langle x',x''\rangle_B y''\rangle_C=
 x\otimes \Theta_{y,y'}   \langle x',x''\rangle_B y''
\\
&=x\otimes b \langle x',x''\rangle_B y''=x b \langle x',x''\rangle_B \otimes y''= \left(\Theta_{xb,x'}\otimes 1\right) x''\otimes y''.
\end{align*}
Zatem $\Theta_{x\otimes y, x'\otimes y'}\in \KK(X)\otimes 1$, co implikuje tezę, gdyż przestrzeń $\KK(X\otimes_B Y)$
jest rozpięta przez operatory $\Theta_{x\otimes y, x'\otimes y'}$, a $\KK(X)\otimes 1$ jest  domkniętą podprzestrzenią $\LL(X\otimes_B Y )$.
\end{proof}
\begin{cor}
Złożenie $C^*$-korespondencji injektywnych jest $C^*$-kores\-pon\-dencją injektywną. Złożenie $C^*$-korespondencji właściwych jest $C^*$-kores\-pon\-dencją właściwą.
\end{cor}
\begin{exm}(Złożenie homomorfizmów)\label{ex:composition_of_endomorphisms} Niech $\alpha:A\to B$  i $\beta:B\to C$ będą homomorfizmami $C^*$-algebr. Złożenie $\beta\circ \alpha:A\to C$ oczywiście jest również 
homomorfizmem. Rozważmy niezdegenerowane $C^*$-korespondencje $A \stackrel{X_\alpha}{\longrightarrow} B$, $B \stackrel{X_{\beta}}{\longrightarrow} C$ oraz $A \stackrel{X_{\beta\circ\alpha}}{\longrightarrow} C$ odpowiadające tym homomorfizmom, patrz Przykład \ref{homcor}.
Wtedy mamy naturalny izomorfizm $C^*$-korespondencji
$$
X_\alpha\otimes_B X_{\beta}\cong X_{\beta\circ\alpha}.
$$
Rzeczywiście, rozważmy addytywne odwzorowanie  $T: X_{\alpha}\otimes_{B}^{\text{alg}}X_{\beta}\to X_{\beta\circ\alpha}$ gdzie
$$
T(x\otimes y):=\beta(x)y, \qquad x\in X_\alpha=\alpha(A)B,\,\,  y\in X_\beta=\beta(B)C.
$$
Zauważmy, że $T$ jest poprawnie określone i surjektywne, gdyż dla dowolnego $c\in X_{\beta\circ\alpha}=\beta(\alpha(A))C$ istnieją $a\in A$, $c^{\prime}\in C$ takie, że $c=\beta(\alpha(a))c^{\prime}=T(\alpha(a)\otimes c^{\prime})$. Ponadto, $T$ zachowuje $C$-iloczyny wewnętrzne, gdyż dla dowolnych $x_1,x_2\in X_\alpha=\alpha(A)B$ i $y_1,y_2\in X_\beta=\beta(B)C$ mamy
\begin{align*}
\langle T(x_1\otimes y_1)|T(x_2\otimes y_2)\rangle_{C}&=(\beta(x_1)y_1)^*\beta(x_2)y_2=y_1^*\beta (x_1^*x_2)y_2
\\
&=\langle y_1|\beta(\langle x_1|x_2\rangle_{_B})y_2\rangle_{C}=\langle x_1\otimes y_1|x_2\otimes y_2\rangle.
\end{align*}
Zatem $T: X_{\alpha}\otimes_{B}^{alg}X_{\beta}\to X_{\beta\circ\alpha}$ jest odwracalną izometrią. Stąd $X_{\alpha}\otimes_{B}^{alg}X_{\beta}=X_{\alpha}\otimes_{B}X_{\beta}$ jest przestrzenią zupełną i w szczególności $T: X_{\alpha}\otimes_{B}X_{\beta}\to X_{\beta\circ\alpha}$ jest izomorfizmem $C$-modułów Hilberta. Prosty rachunek, dla $a\in A$,  $x\in X_\alpha$ i $y\in X_\beta$, 
$$
T(a(x\otimes y))=T(\alpha(a)x\otimes y)=\beta(\alpha(a)x)y=\beta(\alpha(a))\beta(x)y=(\beta\circ\alpha)(a)T(x\otimes Y),
$$
pokazuje, że  $T$ jest też $A$-liniowy.  Czyli $T$ izomorfizmem $C^*$-korespondencji.

\end{exm}


\begin{exm}(Złożenie grafów)
Niech $G=(E,s,r)$ będzie grafem   z  $V$ do $W$ i niech  $H=(F,s,r)$ będzie grafem z  $U$ do $V$, patrz Przykład \ref{graph}. Złożenie grafów  $G$ i $H$ definiujemy jako graf $G\circ H:= (E\circ F,s,r)$ z $U$ do $W$, gdzie: 
$$
E\circ F:= \{(e,f)\in E\times F: s(e)=r(f)\}, 
\quad  s(e,f):=s(f),\,\, r(e,f)=r(e). 
$$
Niech $C_0(W) \stackrel{X_G}{\longrightarrow}C_0(V)$, $C_0(V) \stackrel{X_H}{\longrightarrow}C_0(U)$ i  $C_0(W) \stackrel{X_{G\circ H}}{\longrightarrow}C_0(U)$ będą $C^*$-korespondencjami odpowiadającymi odpowiednim grafom, jak w  Przykładzie \ref{graph}.
Wtedy  mamy naturalny izomorfizm
$$
X_G\otimes_{C_0(V)} X_H\cong X_{G\circ H}.
$$
Aby to wykazać, zauważmy, że przestrzeń Banacha $X_G$ jest domkniętą otoczką liniową funkcji $\delta_e$, $e\in E$, gdzie $\delta_e(e')=\delta_{e,e'}$. Niech $e\in E$ i $f\in F$. Jeśli $(e,f)\not\in E\circ F$, to $\delta_{e}\otimes \delta_{f}=0$ w $X_G\otimes_{C_0(V)} X_H$, gdyż
$\delta_{s(e)}\delta_{r(f)}=0$ i stąd
$$
\delta_{e}\otimes \delta_{f}=\delta_{e}\delta_{s(e)}\otimes \delta_{r(f)} \delta_{f}
=\delta_{e}\otimes \delta_{s(e)}\delta_{r(e)} \delta_{f}=\delta_{e}\otimes 0 =0.
$$
Zatem wzór
$$
T(\delta_{e}\otimes \delta_{f}) = \delta_{(e,f)} \qquad \text{dla } (e,f)\in E\circ F,
$$
przedłuża się przez liniowość do odwzorowania zdefiniowanego na gęstym podbiorze 
iloczynu tensorowego
$X_G\otimes_{C_0(V)} X_H$, którego obraz jest gęsty w $X_{G\circ H}$. Dla dowolnych $(e_i,f_i)\in E\circ F$, $i=1,2$, mamy
\begin{align*}
\langle \delta_{e_1}\otimes \delta_{f_1}|\delta_{e_2}\otimes \delta_{f_2}\rangle_{C_0(U)}&=
\langle  \delta_{f_1}| \langle \delta_{e_1}|\delta_{e_2}\rangle_{C_0(V)} \delta_{f_2}\rangle_{C_0(U)}
\\
&=\begin{cases}
\langle  \delta_{f_1}|  \delta_{s(e_2)} \delta_{f_2}\rangle_{C_0(U)} & e_1=e_2
\\
0 & e_1\neq e_2
\end{cases}
=\begin{cases}
\delta_{s(f_2)} & e_1=e_2, f_1=f_2
\\
0 & \text{w p.w.}
\end{cases}
\\
&=\begin{cases}
\delta_{s(e_2,f_2)} & (e_1,f_1)=(e_2,f_2)
\\
0 & (e_1,f_1)\neq(e_2,f_2)
\end{cases} = \langle \delta_{(e_1,f_1)}|\delta_{(e_2,f_2)} \rangle_{C_0(U)}
\\
&=\langle T(\delta_{e_1}\otimes \delta_{f_1})| T (\delta_{e_2}\otimes \delta_{f_2})\rangle_{C_0(U)}.
\end{align*}
Stąd wynika, że $T$ zachowuje $C_0(U)$-iloczyn wewnętrzny. Zatem przedłuża się do operatora unitarnego 
$T:X_G\otimes_{C_0(V)} X_H\cong X_{G\circ H}$. Aby wykazać, że jest to izomorfizm $C^*$-korespondencji wystaczy
zauważyć, że $T$ komutuje z lewym mnożeniem przez elementy z $C_0(W)$. Ale dla $a\in C_0(W)$ i $(e,f)\in E\circ F$ mamy $a\delta_e=a(r(e))\delta_e$ oraz $a \delta_{(e,f)}=a(r(e)) \delta_{(e,f)}$ i stąd $aT (\delta_e\otimes \delta_f)=T a (\delta_e\otimes \delta_f)$. Jako że elementy $\delta_e\otimes \delta_f$ generują $X_G\otimes_{C_0(V)} X_H$ widzimy, że $T$ jest $C_0(W)$-liniowy. 
\end{exm}
\begin{exm}[Iloczyny tensorowe konkretnych $C^*$-korespondencji]\label{ex:concrete_composition}
Niech  $A,B, C\subseteq B(H)$ będą $C^*$-algberami i niech  $X,Y\subseteq B(H)$ będą konkretnymi $C^*$-korepospondencjami 
$A\stackrel{X}{\longrightarrow} B$  oraz $B \stackrel{Y}{\longrightarrow} C$, tzn.  
$$
 XB\subseteq X, \quad X^*X\subseteq B, \quad AX\subseteq X\quad \text{ and }\quad 
YC\subseteq Y, \quad Y^*Y\subseteq C, \quad BY\subseteq Y.
$$
Wtedy $\overline{XY}=\clsp\{xy: x\in X, y\in Y\}\subseteq B(H)$ jest konkretną $C^*$-korespondencją 
$A\stackrel{\overline{XY}}{\longrightarrow} C$. Rzeczywiście, korzystając z powyższych relacji otrzymujemy
$$
\overline{XY} C\subseteq \overline{XY}, \quad (\overline{XY})^*\overline{XY}\subseteq C, \quad A\overline{XY}\subseteq \overline{XY}.
$$
Co więcej  odwzorowanie $x\otimes y\longmapsto xy$ przedłuża się do izomorfizmu
$$
X\otimes_B Y \cong \overline{XY}.
$$
W szczególności, $\langle x_1\otimes y_1|x_2\otimes y_2\rangle_{C}=y_1^* (x_1^*x_2) y_2=(x_1y_1)^* (x_2 y_2)$.
\end{exm}
\section{$C^*$-ko\-res\-pon\-den\-cje jako morfizmy ka\-te\-gorii $C^*$-algebr}
$C^*$-algebry wraz z homomorfizmami tworzą w naturalny sposób kategorię. Czasem rozważa się kategorię 
$C^*$-algebr gdzie morfizmem między $A$ i $B$ jest niezdegenerowany homomorfizm $A\to \MM(B)$. 
Z tak zdefiniowanymi morfizmami,  podkategoria algebr przemiennych jest kategorią dualną do standardowej kategorii przestrzeni topologicznych
z odwzorowaniami ciągłymi jako morfizmami. W teorii $C^*$-algebr pojawia się jednak często potrzeba rozpatrywania jeszcze bardziej ogólnych ``morfizmów'' między $C^*$-algebrami. W wielu przypadkach, nie jest nawet do końca jasne jak zdefiniować składanie - działanie takich ``morfizmów'' na $C^*$-algebrach.  Jak pokazaliśmy w poprzednich podrodziałach, $C^*$-korespondencje stanowią naturalne uogólenie
wielu bardzo ogólnych relacji między $C^*$-algebrami. Co więcej iloczyn tensorowy jest naturalną konstrukcją uogólniającą składanie
homomorfizmów.

Celem tego podrozdziału  jest opis ``kategorii'' $C^*$-algebr, w której morfizmami są niezdegenerowane $C^*$-korespondencje. Piszemy tu kategoria w cudzysłowie, gdyż formalnie struktura taka nie tworzy kategorii, lecz bikategorię. Mówiąc obrazowo bikategoria różni się od kategorii tym, że własności algebraicznie składania morfizmów takie jak łączność zachodzą z dokładnością do naturalnego izomorfizmu. W szczególności, utożsamiając ``izomorficzne'' morfizmy  można z  bikategorii zawsze zrobić kategorię. Takie  podejście do $C^*$-korespondencji proponował już Schweizer \cite{Schweizer}. Podejście bikategoryjne było eksplorowane w \cite{BMZ}. Jako że formalna definicja bikategorii jset skomplikowana przedstawimy tu konstrukcję kategorii utożsamiając $C^*$-korespendcje z dokładnością do izomorfizmu. 

Trywialne $C^*$-korespondencje są naturalnymi kandydatami na ``morfizmy identycznościowe''. Przy czym, istotne tu okazuje się założenie o niezdegenerowaniu.
\begin{prop}\label{prop:identity morphisms}
Niech  $A \stackrel{X}{\longrightarrow} B$ będzie niezdegenerowaną $C^*$-korespon\-dencją z $A$ do $B$. Traktując  $A$ i $B$ jako trywialne $C^*$-korespondencje mamy naturalne izomorfizmy zadane przez odpowiednio prawe i lewe mnożenie:
$$
X\otimes_B B\cong X, \qquad A\otimes_A X\cong X.
$$
Jeśli $A\stackrel{Y}{\longrightarrow} A$ jest $C^*$-korespondencją taką, że dla każdej niezdegenerowanej $C^*$-korespondencji 
$A \stackrel{Z}{\longrightarrow} B$ zachodzi $Y\otimes_A Z\cong Z$, to $Y\cong A$.
\end{prop}
\begin{proof}
Jasne jest, że przyporządkowanie $X\otimes_B^{alg} B \ni x\otimes b \mapsto xb \in X$ przedłuża się do odwzorowanie $A$-$B$-liniowego. Jako że każady moduł Hilberta jest niezdegenerowany jako prawy moduł, patrz Wniosek \ref{cor:non-degeneracy_Hilbert_module}, to odwzorowanie to jest surjekcją.
Prosty rachunek
$$
\langle x_1\otimes b_1|x_2\otimes b_2\rangle_{B}=b_1^* \langle x_1|x_2\rangle_{B} b_2=  \langle x_1b_1|x_2b_2\rangle_{B}, 
$$
pokazuje, że odwzorowanie to jest izometrią zachowującą iloczyny wewnętrzne. Stąd  $X\otimes_B B=X\otimes_B^{alg} B\cong X$.

Analogicznie,  mamy $A$-$B$-liniowe odwzorowanie z $A \otimes_A^{alg}X$  w $X$, gdzie $a\otimes x \mapsto ax$. Odwzorowanie to jest surjektywne, gdyż założyliśmy, że $X$ jest $C^*$-korespondencją niezdegenerowaną. Odwzorowanie to zachowuje iloczyny wewnętrzne
$$
\langle a_1\otimes x_1|a_2\otimes x_2\rangle_{B}= \langle x_1|a_1^*a_2 x_2\rangle_{B} =  \langle a_1x_1|a_2x_2\rangle_{B}. 
$$
Zatem  $A \otimes_A X=A \otimes_A^{alg}X\cong X$.

Niech teraz $A\stackrel{Y}{\longrightarrow} A$ będzie jak w ostatniej części tezy. Wtedy biorąc za $Z=A$ dostajemy $Y\otimes A\cong A$. 
Z drugiej strony, na mocy pierwszej części tezy $Y\otimes_A A\cong Y$. Stąd $Y\cong A$.
\end{proof}
\begin{rem}
Jak widać z powyższego dowodu dla dowolnej (niekoniecznie niezdegenerowanej) $C^*$-korespondencji $A \stackrel{X}{\longrightarrow} B$
zachodzi $X\otimes_B B\cong X$. Natomiast drugi izomorfizm na ogół przyjmuje postać $A\otimes_A X\cong AX$, gdzie $AX=X$ tylko wtedy, gdy $X$ jest $C^*$-korespondencją niezdegenerowaną. 
\end{rem}
Łączność nie nastręcza trudności.
\begin{prop}\label{prop:associativity_tensor}
Niech  $A \stackrel{X}{\longrightarrow} B$, $B \stackrel{Y}{\longrightarrow} C$ i $C \stackrel{Z}{\longrightarrow} D$ będą  $C^*$-ko\-res\-pon\-dencjami. Przyporządkowanie
$(x\otimes y)\otimes z\longmapsto x\otimes (y\otimes z)$ determinuje izomorfizm
$$
(X\otimes_B Y)\otimes_C Z\cong X\otimes_B (Y\otimes_C Z).
$$
\end{prop}
\begin{proof}
Teza wynika z następującego rachunku
\begin{align*}
\langle (x_1\otimes y_1)\otimes z_1|(x_2\otimes y_2) z_2\rangle_{D}&=
\langle  z_1| \langle x_1\otimes y_1 |x_2\otimes y_2\rangle_Cz_2\rangle_{D}
\\
&=
\langle  z_1| \langle  y_1 |\langle x_1|x_2\rangle_B y_2\rangle_C z_2\rangle_{D}
\\
&=
\langle y_1\otimes z_1 | \langle x_1|x_2\rangle_B y_2 \otimes z_2\rangle_{D}
\\
&=\langle x_1\otimes (y_1\otimes z_1)|x_2\otimes (y_2 \otimes z_2)\rangle_{D}.
\end{align*}
\end{proof}
Powyższe stwierdzenie uzasadnia standardowy zwyczaj w literaturze, że przy pisaniu iloczynów 
tensorowych więcej, niż dwóch czynników pomija się  nawiasy. % - utożsamia się obiekty izomorficzne.
Zauważmy, że ogólnie iloczyn tensorowy faktoryzuje się do operacji na klasach abstrakcji $C^*$-korespondencji
izomorficznych. 
  
Rzeczywiście,  jeśli $A \stackrel{X_1}{\longrightarrow} B$ i $A \stackrel{X_2}{\longrightarrow} B$ są izomorficznymi $C^*$-ko\-res\-pon\-dencjami z izomorfizmem $T:X_1\to X_2$, to dla dowolnej $C^*$-korespondencji $B \stackrel{Y}{\longrightarrow} C$ odwzorowanie  $T\otimes 1:X_1\otimes_B  Y\to X_2\otimes_B Y$, patrz  Stwierdzenie \ref{prop:right_tensoring_correspondence}, jest izomorfizmem $C^*$-korespondencji:  $X_1\otimes_B  Y\cong X_2\otimes_B Y$. Analogicznie, niezależność iloczynu tensorowego od wyboru reprezentanta na drugim czynniku iloczynu tensorowego 
otrzymamy stosując następujący odpowiednik Stwierdzenia \ref{prop:right_tensoring_correspondence}:
\begin{prop}\label{prop:left_tensoring_correspondence}
 Niech $A \stackrel{X}{\longrightarrow} B$ oraz  $B \stackrel{Y_1}{\longrightarrow} C$ i $B \stackrel{Y_2}{\longrightarrow} C$ będą $C^*$-korespondencjami.  Mamy liniową kontrakcję
$$
 \LL(Y_1,Y_2)\ni T \stackrel{1\otimes }{\longmapsto} 1\otimes T \in \LL(X\otimes_B Y_1, X\otimes_B Y_2)
$$
zdeterminowaną wzorem $(1\otimes T) (x\otimes y):= x\otimes Ty$. Jeśli $Y=Y_1=Y_2$ to
$$
\LL(Y)\ni T \stackrel{1\otimes }{\longmapsto} 1\otimes T \in \LL(X\otimes_B Y)
$$
jest zachowującym jedynkę homomorfizmem $C^*$-algebr.
\end{prop}
\begin{proof} Tak jak w dowodzie Stwierdzenia \ref{prop:right_tensoring_correspondence} jedynym nietrywialnym krokiem jest dowód faktu, 
że wzór $(1\otimes T) (x\otimes y):= x\otimes Ty$ determinuje odwzorowanie o normie nie większej niż $\|T\|$.
W tym celu  ustalmy element $\sum_{i=1}^n  x_i\otimes y_i \in X\otimes_B^{alg} Y_1$. Jak zauważyliśmy w dowodzie Twierdzenia \ref{thm:tensor_product_nondegeneracy} macierz $M:=\{\langle x_i, x_j\rangle_B\}_{i,j=1}^n$
jest elementem dodatnim w $M_n(B)$. 
Niech $\phi_Y^{n}:M_n(B)\to \LL(Y^n)$ i $y=(y_1,...,y_n)\in Y^n)$ będą jak w dowodach Twierdzenia \ref{thm:tensor_product_nondegeneracy}
i Stwierdzenia \ref{prop:right_tensoring_correspondence}. Zdefiniujmy $\widetilde{T}\in \LL(Y^n)$ wzorem $\widetilde{T}z=(Tz_1,...,Tz_n)$ dla każdego $z=(z_1,...,z_n)\in Y^n$.  
Korzystając z ograniczoności dla operatora $\widetilde{T}$ dostajemy
\begin{align*}
\left\| \sum_{i=1}^n  x_i\otimes Ty_i\right \|^2& =\left\| \sum_{i,j=1}^n  \langle  Ty_i| \langle x_i| x_j\rangle_B Ty_j\rangle_C\right \|=\left\|  \langle   \widetilde{T}y|  \widetilde{T}\phi_Y^{n}(M) y \rangle_C\right \| 
\\
&=\left\|  \langle   \widetilde{T} \phi_Y^{n}(M^{1/2})y|  \widetilde{T} \phi_Y^{n}(M^{1/2})y \rangle_C\right \| 
\\
&\leq \|\widetilde{T}\|^2 \left\|  \langle    \phi_Y^{n}(M^{1/2})y|   \phi_Y^{n}(M^{1/2})y \rangle_C\right \|  = \|T\|^2 \left\| \sum_{i,j=1}^n  \langle  y_i|\langle x_i| x_j\rangle_B y_j\rangle_C\right \|
\\
&= \|T\|^2 \left\| \sum_{i=1}^n  x_i\otimes y_i\right \|^2.
\end{align*}
Zatem $\|1\otimes T\|\leq \|T\|$.
\end{proof}
\begin{cor}\label{cor:tensoring_on_two_coordinates}
Niech $A \stackrel{X_1}{\longrightarrow} B$ i $A \stackrel{X_2}{\longrightarrow} B$ oraz  $B \stackrel{Y_1}{\longrightarrow} C$ i $B \stackrel{Y_2}{\longrightarrow} C$ będą $C^*$-korespondencjami. Dla dowolnych $S\in \LL(X_1,X_2)$ i $T\in \LL(Y_1,Y_2)$ wzór 
$$
(S\otimes T)x\otimes y =Sx\otimes T y
$$
determinuje operator $S\otimes T\in \LL(X_1\otimes_B Y_1, X_2\otimes_B Y_2)$ oraz $\|S\otimes T\|\leq \|S\| \cdot \|T\|$.
Ponadto, jeśli $S$ i $T$ są izomorfizmami $C^*$-korespondencji to $S\otimes T$ również
\end{cor}
\begin{proof}
W świetle Stwierdzeń \ref{prop:right_tensoring_correspondence} i \ref{prop:left_tensoring_correspondence} wystarczy zauważyć, że $S\otimes T=(S\otimes 1)(1\otimes T)$ oraz jeśli $S$ i $T$ są izomorfizmami $C^*$-korespondencji, to $S\otimes 1$ oraz $1\otimes T$ również. 
\end{proof}
Niech $[X]$ oznacza klasę równoważności wszystkich $C^*$-korespondencji izomorficznych
 z $C^*$-korespondencją $A \stackrel{X}{\longrightarrow} B$.
\begin{thm} $C^*$-algebry można rozpatrywać jako obiekty kategorii $\mathfrak{Corr}$ gdzie morfizmy z $C^*$-algebry $A$ do $C^*$-algebry $B$ definiujemy jako  
$$
Mor(A,B):=\{[X]: A \stackrel{X}{\longrightarrow} B\text{ niezdegenerowana $C^*$-korespondencja}\},
$$
natomiast składanie morfizmów $[X]\in Mor(A,B)$ i $[Y]\in Mor(B,C)$ określamy wzorem
$$
[X]\circ [Y]=[X\otimes_B Y].
$$ 
\end{thm}
\begin{proof} 
Złożenie $\circ$ jest poprawnie określone na mocy  Wniosku \ref{cor:tensoring_on_two_coordinates}. Łączność składania morfizmów i istnienie
morfizmów identycznościowych wynika ze Stwierdzeń \ref{prop:associativity_tensor} oraz  \ref{prop:identity morphisms} odpowiednio.
\end{proof}
Ważnym zagadnieniem jest opis morfizmów $[X]$ odwracalnych w kategorii $\mathfrak{Corr}$. Jak wykażemy w kolejnym podrozdziale, $C^*$-korespondencja jest odwracalana wtedy i tylko wtedy gdy jest bimodułem równoważności w sensie Rieffela.


\section{Bimoduły Hilberta}
Niech $A$, $B$ będą $C^*$-algebrami. W tym podrodziale pokażemy, że bimoduły Hilberta są szczególnymi przypadkami $C^*$-ko\-res\-pondencji prezentującymi pewien rodzaj odwracalności. 
\begin{dfn}
 Przez \emph{$A$-$B$-bimoduł Hilberta} rozumiemy zbiór $X$, który jest wyposażony zarówno w strukturę prawego $B$-modułu Hilberta jak i  lewego $A$-modułu Hilberta, gdzie odpowiednie iloczyny wewnętrzne spełniają warunek
\begin{equation}\label{eq:associativity of inner products}
x\langle y|z\rangle_B={_A}\langle x|y\rangle z \qquad\quad \text{ dla   $x,y,z\in X$}.
\end{equation}
 Dokładniej  $X$ jest prawym $B$-modułem Hilberta $X$, w którym dodatkowo określone jest lewe mnożenie przez elementy $A$ oraz lewy $A$-iloczyn wewnętrzny tzn. funkcja ${_A}\langle \cdot|\cdot\rangle :  X\times X \to A$ spełniającą warunki:
\begin{itemize}
%\item[ 1) ] $\forall_{a\in A,b\in B}\forall_{x\in X} \quad (ax)b=a(xb)$
\item[ 1) ] $\forall_{a\in A}\forall_{x,y\in X} \quad {_A}\langle ax|y\rangle=a {_A}\langle x|y\rangle$,
\item[ 2) ] $\forall_{x,y\in X}  \quad {_A}\langle y|x\rangle={_A}\langle x|y\rangle^*$,
\item[ 3) ] $\forall_{x,y\in X} \quad {_A}\langle x|y\rangle=0\iff x=0$.
\end{itemize}
Ponadto zakładamy warunek \eqref{eq:associativity of inner products}. Jeżeli dodatkowo $A$-$B$-bimoduł $X$ jest pełny jako lewy i prawy moduł Hilberta, tzn. 
\begin{align*}
\langle X|X\rangle_B&=\clsp\{ \langle x|y\rangle_B:  x,y\in X\}=B,
\\
 {_A}\langle X|X\rangle&=\clsp\{ {_A}\langle x|y\rangle:  x,y\in X\}=A,
\end{align*}
to $X$  nazywamy \emph{bimodułem równoważności} i mówimy, że $C^*$-algebry $A$ i $B$ są \emph{równoważne w sensie Mority-Rieffela}.
\end{dfn}
\begin{rem}
Jak wykażemy poniżej, patrz Wniosek \ref{cor:bimodul_is_correspondence}, jeżeli $X$ jest $A$-$B$-bimodułem Hilberta, to $A$ działa na $X$ przez operatory sprzęgalne w  $B$-iloczynie
wewnętrznym. Jako że  operatory takie są $B$-liniowe, patrz Lemat \ref{lem:adjointable maps}, to 
$$
\forall_{a\in A,b\in B}\forall_{x\in X} \quad (ax)b=a(xb),
$$
tzn. $A$-$B$-bimoduł Hilberta jest $A$-$B$-bimodułem w sensie algebraicznym. 
\end{rem}
\begin{rem}
Jak wykażemy poniżej, patrz Wniosek \ref{cor:bimodul_has_one_norm},  jeżeli $X$ jest $A$-$B$-bimodułem Hilberta, to normy pochodzące od ${_A}\langle \cdot|\cdot\rangle$ oraz od 
$\langle \cdot|\cdot\rangle_B$ pokrywają się. Czyli zupełność prawego $B$-modułu Hilberta pociąga za sobą zupełność lewego $A$-modułu. 
\end{rem}
\begin{lem}\label{lem:compacts in bimodule}
Jeśli $X$ jest $A$-$B$-bimodułem Hilberta, to lewe mnożenie zadaje izomorfizm $C^*$-algebr
$$
{_A}\langle X|X\rangle\cong \KK(X),
$$
gdzie $\KK(X)$ to operatory zwarte na prawym $B$-module Hilberta $X$.
\end{lem}
\begin{proof} 
Wprowadźmy, oznaczenie $\lambda(a)(x):=ax$, dla 
$a\in A$, $x\in X$. Potrzebujemy pokazać, że $\lambda: {_A}\langle X|X\rangle \to \KK(X)$ jest izomorfizmem.
Zauważmy, że dla $x,y,z\in X$ mamy $\Theta_{x,y}z=x\langle y|z\rangle_B={_A}\langle x|y\rangle z$ (na mocy \eqref{eq:associativity of inner products}). Zatem  $\lambda({_A}\langle x|y\rangle)=\Theta_{x,y}$. 
 Stąd 
\begin{align*}
\|\lambda(\sum_{i=1}^n {_A}\langle x_i|y_i\rangle)\|
&
=\|\sum_{i=1}^n\Theta_{x_i,y_i}\|=\sup_{\|z\|=1} \|\sum_{i=1}^n x_i\langle y_i|z\rangle_B\|=\sup_{\|z\|=1} \|\sum_{i=1}^n {_A}\langle x_i|y_i\rangle z\|
\\
&\leq  \|\sum_{i=1}^n {_A}\langle x_i|y_i\rangle\|.
\end{align*}
Czyli $\lambda: {_A}\langle X|X\rangle \to \KK(X)$ jest operatorem ograniczonym o gęstym obrazie. Co więcej nietrudno zauważyć, że $\lambda$ jest homomorfizmem $C^*$-algebr. Zatem $\lambda$ jest epimorfizmem i wystarczy pokazać, że jądro $\lambda$ jest trywialne.

Załóżmy, że $a\in {_A}\langle X|X\rangle$ jest takie, że $\lambda(a)=0$. Wtedy dla dowolnych $x,y\in X$ mamy
$$
a {_A}\langle x, y\rangle= {_A}\langle ax, y\rangle=  {_A}\langle \lambda(a)x, y\rangle=0.
$$
Stąd $a  \cdot {_A}\langle X|X\rangle = \{0\}$, czyli $a=0$. 
\end{proof}
\begin{cor}\label{cor:bimodul_is_correspondence}
Każdy $A$-$B$-bimoduł Hilberta $X$ jest $C^*$-korespondencją z $A$ do $B$, tzn.  lewe działanie $A$ na $X$
zadaje homomorfizm $\phi_X:A\to \LL(X)$ z $A$ w $C^*$-algebrę operatorów sprzęgalnych na $B$-module Hilberta $X$.
\end{cor}
\begin{proof}
Niech $a \in A$ oraz $x,y\in X$. Z Lematu \ref{lem:compact_nondegeneracy} zastosowanego do lewego ${_A}\langle X|X\rangle$-modułu Hilberta wynika, że 
$x=bx'$ gdzie $b\in {_A}\langle X|X\rangle$ oraz $x'\in X$. Z Lematu \ref{lem:compacts in bimodule}, mnożenie przez $ab$  oraz przez $b$ zadaje operatory sprzęgalne (a nawet zwarte). Zatem
$$
\langle ax, y\rangle_B= \langle abx', y\rangle_B=\langle x', (ab)^*y\rangle_B=\langle x', b^*a^*y\rangle_B=\langle bx', a^*y\rangle_B
=\langle x, a^*y\rangle_B.
$$
Czyli mnożenie przez $a$ jest operatorem sprzęgalnym i operator sprzężony jest mnożeniem przez $a^*$. Stąd lewe mnożenie zadaje 
homomorfizm $C^*$-algebr $\phi_X:A\to \LL(X)$.
\end{proof}
\begin{cor}\label{cor:bimodul_has_one_norm} 
Jeśli $X$ jest $A$-$B$-bimodułem Hilberta, to $\|{_A}\langle x,x\rangle\|=\|\langle x,x\rangle_B\|$ dla każdego $x\in X$, tzn. normy zadane przez iloczyny wewnętrzne się pokrywają.
\end{cor}
\begin{proof} Na mocy Lematu $\|{_A}\langle x,x\rangle\|=\|\Theta_{x,x}\|$. Natomiast z Lematu \ref{lem:norm_of_rank_one operator},
mamy $\|\Theta_{x,x}\|=\|\langle x,x\rangle_B\|$.
\end{proof}
Przedstawimy teraz charakteryzację bimodułów Hilberta jako $C^*$-kores\-pon\-den\-cji, dla których lewe działanie obcina się do izomorfizmu na operatory zwarte.
\begin{prop}\label{prop:bimodule_characterisation_as_correspondence}
 $C^*$-korespondencja $A \stackrel{X}{\longrightarrow} B$ jest bimodułem Hilberta, tzn. istnieje lewy iloczyn wewnętrzny ${_A}\langle \cdot|\cdot\rangle$ taki, że $X$ jest $A$-$B$-bimodułem Hilberta wtedy i tylko wtedy, gdy 
$\phi_X$ obcina się do izomorfizmu $\phi_X|_{J_X}: J_X\to \KK(X)$, gdzie $J_X:=\phi_X^{-1}(\KK(X))\cap (\ker\phi_{X})^{\bot}$ jest ideałem Katsury, 
i wtedy
\begin{equation}\label{eq:A_inner product_bimodule}
{_A}\langle x|y\rangle=\phi_X|_{J_X}^{-1}(\Theta_{x,y})\qquad \text{ dla }x,y\in X.
\end{equation}
\end{prop}
\begin{proof} Jeśli $X$ jest $A$-$B$-bimodułem Hilberta to na mocy  Lematu \ref{lem:compacts in bimodule}, 
$\phi_X:{_A}\langle X|X\rangle \to \KK(X)$ jest izomorfizmem $C^*$-algebr.
 W szczególności, ${_A}\langle X|X\rangle \subseteq J_X$.  Z definicji ideału $J_X$ homomorfizm $\phi_X:J_X\to \KK(X)$ jest injektywny, a 
skoro  ${_A}\langle X|X\rangle \subseteq J_X$, to jest on również surjektywny. Stąd $\phi_X:J_X\to \KK(X)$ jest izomorfizmem oraz
$J_X={_A}\langle X|X\rangle$. Wzór \eqref{eq:A_inner product_bimodule} jest jasny, gdyż $\Theta_{x,y}z=x\langle y|z\rangle_B={_A}\langle x|y\rangle z$ dla $x,y,z\in X$.

W drugą stronę,  jeżeli $A \stackrel{X}{\longrightarrow} B$  jest $C^*$-korespondencją  taką, że 
$\phi_X|_{J_X}: J_X\to \KK(X)$ jest izomorfizmem, to wykazanie, że wzór \eqref{eq:A_inner product_bimodule}
zadaje na lewym $A$-module $X$   $A$-iloczyn wewnętrzny spełniający \eqref{eq:associativity of inner products}  nie przysparza problemów.
\end{proof}
\begin{cor}\label{cor:characteristaion_equivalence_bimodule}
 $C^*$-korespondencja $A \stackrel{X}{\longrightarrow} B$ jest bimodułem równoważności, gdy $X$ jako prawy $B$-moduł Hilberta jest pełny oraz 
$\phi_X:A \to \KK(X)$ jest izomorfizmem.
\end{cor}
\begin{exm}[Izomorfizmy]\label{ex:trivial_correspondence}
Niech $X=B_B$ będzie trywialnym prawym $B$-modułem Hilberta. Wówczas, porównaj Przykład \ref{homcor}, zadanie na $B_B$ struktury $A$-$B$ bimodułu równoważności jest tożsame z wybraniem izomorfizmu $C^*$-algebr $\alpha:A\to B$. Wtedy lewy iloczyn wewnętrzny jest dany wzorem  ${_A}\langle x|y\rangle:= \alpha^{-1}(xy^*)$. W szczególności, izomorficzne $C^*$-algebry są równoważne w sensie Mority-Rieffela.
\end{exm}
\begin{exm}[Częściowe izomorfizmy]\label{ex:trivial_correspondence2}
Opuszczenie w powyższym przykładzie założenia o pełności bimodułów prowadzi do pojęcia częściowego izomorfizmu. Niech $\alpha:I\to J$ będzie izomorfizmem, gdzie $I$ jest ideałem w $C^*$-algebrze $A$, a $J$ ideałem
w $C^*$-algebrze $B$. Mówimy wtedy, że $\alpha$ jest \emph{częściowym izomorifzmem} z $A$ do $B$. Z częściowym izomorfizmem wiążemy 
$A$-$B$-bimoduł Hilberta, gdzie $X_\alpha:=J_B$ jest podmodułem trywialnego $B$-modułu Hilberta $B_B$, natomiast lewa struktura jest dana wzorami
$$
a\cdot x= \alpha(a\alpha^{-1}(x)),\qquad {_A}\langle x|y\rangle:= \alpha^{-1}(xy^*), \qquad a\in A, x,y\in J.
$$ 
Bimoduł $X_\alpha$ jest bimodułem równoważności wtedy i tylko wtedy, gdy częściowy izomorfizm $\alpha$ jest izomorfizmem, tzn. $I=A$ oraz $J=B$.
\end{exm}
\begin{exm}[Moduły Hilberta]\label{ex:Hilbert_modul_as_bimodule}
Każdy prawy $B$-moduł Hilberta $X$ można traktować jako $\KK(X)$-$B$-bimoduł Hilberta z lewy $\KK(X)$-iloczynem wewnętrznym danym wzorem
$$
{_{\KK(X)}}\langle x|y\rangle=\Theta_{x,y}\qquad \text{ dla }x,y\in X.
$$
Stwierdzenie \ref{prop:bimodule_characterisation_as_correspondence} mówi, że każdy $A$-$B$ bimoduł powstaje z takiego $\KK(X)$-$B$-bimodułu poprzez zakręcenie lewego działania izomorfizmem $\alpha:I\to \KK(X)$, gdzie $I$ jest ideałem w $A$. Izomorfizm taki przedłuża się jednoznacznie do homomorfizmu $\phi_X:A\to \LL(X)=\MM(\KK(X))$.
W szczególności, $C^*$-algebry $A$ i $B$ są równoważne w sensie Mority-Rieffela wtedy i tylko wtedy, gdy 
$A$ jest izomorficzna z $\KK(X)$ dla pewnego pełnego $B$-modułu Hilberta $X$.  
\end{exm}
Biorąc w powyższym przykładzie za $X$ przestrzeń Hilberta $H$ widzimy, że algebra operatorów zwartych $K(H)$ jest równoważna w sensie Mority-Rieffela z jednowymiarową $C^*$-algebrą $\C$. Jest to w pewnym sensie protopowy przykład takiej równoważności. W szczególności, obrazuje to następujące twierdzenie, którego  dowód (a w zasadzie dwa różne dowody) można znaleźć  w \cite{lance} oraz w  \cite{BGR}.
\begin{thm}[Brown, Green, Rieffel] Niech $A$ i $B$ bedą $\sigma$-jedynkowymi $C^*$-algebrami. Wtedy $A$ i $B$ są równoważne w sensie Mority-Rieffela wtedy i tylko wtedy, gdy $A$ i $B$ są stabilnie izomorficzne, tzn.
$$
A\otimes \mathbb{K}\cong B\otimes \mathbb{K}.
$$
\end{thm}
Teraz jesteśmy gotowi, aby wykazać zapowiedziane twierdzenie, że $C^*$-korespondencja odwracalne w kategorii $\mathfrak{Corr}$ są niczym innym jak bimodułami równoważności. W szczególności twierdzenie to implikuje, iż równoważność w sensie Mority-Rieffela jest w istocie relacją równoważności.  
Pisząc o iloczynie tensorowym bimodułów Hilberta będziemy mieli na myśli iloczyn tensorowy bimodułów traktowanych jako $C^*$-korespondencje.
\begin{prop}\label{prop:reversible_correspondence}
Niech $X$ będzie $A$-$B$-bimodułem Hilberta zaś $X^{\str}$ niech będzie sprzężonym $B$-$A$-bimodułem powstałym z $X$ przez zamiane działań stronami, patrz Uwaga \ref{rem:conjugated module}. Mamy naturalne izomorfizmy $C^*$-korespondencji
$$
X\otimes_B X^{\str}\cong {_A}\langle X| X\rangle, \quad\text{ oraz }\quad  X^{\str}\otimes_A X\cong \langle X| X\rangle{_B}.
$$
\end{prop}
\begin{proof} Wystarczy wykazać jedynie pierwszy izomorfizm, gdyż sytuacja jest symetryczna. 
Zdefiniujmy odwzorowanie $\Phi:X\otimes_B^{alg} X^{\str} \to {_A}\langle X| X\rangle$  w następujący sposób
$$
\Phi(\sum_{i=1}^n x_i\otimes y_i^{\str}):=\sum_{i=1}^n {_A}\langle x_i| y_i\rangle.
$$
Jest to poprawnie określona izometria, gdyż $\Phi$ zachowuje $A$-iloczyny wewnętrzne.
Istotnie dla dowolnych $x,y,u,v\in X$  mamy
\begin{align*}
\langle \Phi(x\otimes y^{\str})|\Phi(u\otimes v^{\str})\rangle_A&={_A}\langle x|y\rangle^* {_A}\langle u|v\rangle
={_A}\langle y|x\rangle {_A}\langle u|v\rangle={_A}\langle y|{_A}\langle v|u\rangle x\rangle
\\
&={_A}\langle y^{\str}|v\langle u|x\rangle_B\rangle={_A}\langle y^{\str}|\langle u|x\rangle_B v^{\str} \rangle_A
\\
&=\langle x\otimes y^{\str}|u\otimes v^{\str}\rangle.
\end{align*} 
Zatem $\Phi$ przedłuża się do operatora $\Phi:X\otimes_B X^{\str} \to {_A}\langle X| X\rangle$ unitarnego między dwoma $A$-modułami Hilberta. 
Ponadto,  $\Phi$ zachowuje lewe $A$-mnożenie, gdyż  dla dowolnych $x,y\in X$, i $a\in A$ mamy
$$
\Phi(a(x\otimes y^{\str}))=\Phi (ax\otimes y^{\str})={_A}\langle ax|y\rangle=a {_A}\langle x|y\rangle=a\Phi(x\otimes y^{\str}).
$$
Zatem $\Phi$ jest izomorfizmem $C^*$-korespondencji.
\end{proof}
\begin{thm}\label{thm:characterisation_Morita_bimodules}
$C^*$-korespondencja $A \stackrel{X}{\longrightarrow} B$ jest odwracalna w sensie, że istnieje $C^*$-korespondencja 
$B \stackrel{Y}{\longrightarrow} A$ taka, że
$$
X\otimes_B Y\cong A \quad \text{ oraz }\quad Y\otimes_A X\cong B
$$
wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest $A$-$B$-bimodułem równoważności i wtedy $Y\cong X^\str$.
\end{thm}
\begin{proof} Jeśli $A \stackrel{X}{\longrightarrow} B$ jest $A$-$B$-bimodułem równoważności to jest to $C^*$-korespondencja odwracalna na mocy
Stwierdzenia \ref{prop:reversible_correspondence}. Załóżmy więc, że $C^*$-korespondencja $A \stackrel{X}{\longrightarrow} B$ jest odwracalna.
W świetle Wniosku \ref{cor:characteristaion_equivalence_bimodule} wystarczy pokazać, że $X$ jako $B$-moduł Hilberta jest pełny oraz, że lewe działanie 
$\phi_X:A\to \LL(X)$ jest w rzeczywistości izomorfizmem z $A$ na $\KK(X)$. Pełność $X$ wynika natychmiast z izomorfizmu $Y\otimes_A X\cong B$ i faktu że moduł trywialny $B$ jest pełny.  Pokażemy, że homomorfizm $\phi_X$ jest injektywny i na kompakty. Zauważmy, że skoro $X\otimes_B Y\cong A$ 
oraz lewe mnożenie na $A$ zadaje izomorfizm $A\cong \KK(A)$,  to lewe mnożenie na  $X\otimes_B Y$ zadaje izomorfizm $\phi_{X\otimes_B Y}:A\to \KK(X\otimes_B Y)$. %Analogicznie, korzystając z relacji $Y\otimes_A X\cong B$, otrzymujemy, że  $\phi_{Y\otimes_A X}:B\to \KK(Y\otimes_A X)$ jest izomorfizmem.  
Zauważmy również, że  
$$
\phi_{X\otimes_B Y}(a)=\phi_X(a)\otimes 1 \qquad \text{ dla $a\in A$.}
$$ 
W szczególności, $\phi_X$ jest injekcją. Analogicznie, przez symetrię, można pokazać, że $\phi_Y$ jest injekcją. Wtedy
stosując Stwierdzenie \ref{prop:right_tensoring_properties} 1) do iloczynu $X\otimes_B Y$ otrzymujemy, że $\phi_X(A)\subseteq \KK(X)$, tzn. $C^*$-korespondencja $A \stackrel{X}{\longrightarrow} B$ jest właściwa. Przez symetrię, również $B \stackrel{Y}{\longrightarrow} A$ jest właściwa. 
Stąd, dla dowolnego  $T\in \KK(X)$, stosując
 Stwierdzenie \ref{prop:right_tensoring_properties} 2) otrzymujemy, że $T\otimes 1\in \KK(X\otimes_B Y)$. Czyli istnieje 
element $a\in A$ taki, że $\phi_{X\otimes_B Y}(a)=\phi_X(a)\otimes 1=T\otimes 1$. Na mocy Stwierdzenia \ref{prop:right_tensoring_properties} 1)
wiemy, że homomorfizm $\otimes 1$ jest injektywny wobec czego $\phi_X(a)=T$. Zatem $\phi_X(A)=\KK(X)$ i $A \stackrel{X}{\longrightarrow} B$ jest $A$-$B$-bimodułem równoważności.  Co więcej korzystając ze Stwierdzeń \ref{prop:identity morphisms}, \ref{prop:associativity_tensor} oraz \ref{prop:reversible_correspondence} mamy
$$
Y\cong Y\otimes_A A\cong  Y\otimes_A X\otimes_B X^{\str}\cong B\otimes_B X^{\str}\cong X^{\str}.
$$
\end{proof}
\section{Systemy produktowe i wiązki Fella} 
 W poprzednich podrozdziałach widzieliśmy, że $C^*$-korespondencje można traktować jako bardzo ogólne, ale wciąż naturalne morfizmy między 
$C^*$-algebrami. W szczególności działanie takich morfizmów na  jednej ustalonej   $C^*$-algebrze $A$ można traktować jako 
bardzo ogólny układ dynamiczny. W tym podrodziale omówimy takie działania. Jak się okazuje półgrupowe działania $C^*$-korespondencji funkcjonują w literaturze  pod nazwą systemu produktowego. Natomiast działania grupowe $C^*$-korespondencji można utożsamić z wiązkami Fella, a więc obiektami badanymi już od lat 60-tych ubiegłego wieku. 

Niech $A$ będzie  $C^*$-algebrą i niech $P$  będzie  półgrupą z jedynką $e$.
Systemy produktowe w kontekście $W^*$-algebr badane były przez Arvesona, natomiast w ujęciu $C^*$-algebraicznym pojawiły się po raz pierwszy w pracy Fowlera \cite{F99}. Z punktu widzenia niniejszej pracy, systemy produktowe należy traktować jako półgrupowe działania $C^*$-korespondencji. 
\begin{dfn}
\emph{Działaniem półgrupy $P$} na $C^*$-algebrze $A$ przez $C^*$-kores\-pon\-dencje, czy też \emph{systemem produktowym} nad półgrupą  $P$ ze współczynnikami w algebrze $A$, 
nazywamy półgrupę  $X= \bigsqcup_{p\in P}X_{p}$, gdzie 
\begin{enumerate}\renewcommand{\theenumi}{P\arabic{enumi})}
\item $X_p$ jest  $C^*$-korespondencją nad  $A$ dla każdego $p\in P$.
\item $X_e$ jest trywialną $C^*$-korespondencją  $A$.
\item Mnożenie  na $X$ zadaje izomorfizm $X_p \otimes_A X_q \cong X_{pq}$, $x_p\otimes x_q\mapsto x_p x_q$, 
dla $p,q \in P \setminus \{e\}$ oraz pokrywa się z lewym i prawym mnożeniem elementów algebry $X_e = A$ na każdym $X_p$.
\end{enumerate}
Dla każdego $p\in P$,  $\langle\cdot,\cdot\rangle_p$ oznacza  $A$-wartościowy 
iloczyn wewnętrzny na  $X_p$, a $\phi_p$ homomorfizm z $A$ w $\LL(X_p)$,
który zadaje lewe działanie $A$ na $X_p$.
\end{dfn}
\begin{exm}[Działanie $\N$]\label{ex:iteration_correspondence}
Niech $X$ będzie $C^*$-korespondencją z $A$ do $A$. Niech $X_0=A$ będzie trywialną $C^*$-korespondencją. Dla $n=1,2,3,...$, połóżmy 
$$
X_{n}:=\underbrace{X\otimes_A X \otimes_A ... \otimes_A X}_{n \text{ razy}}.
$$
Wtedy $\bigsqcup_{n=1}^\infty X_{n}$ jest systemem produktowym nad $\N=\{0,1,2,...\}$, gdzie mnożenie jest zdefiniowane następująco
$$
x_n \cdot x_m := x_n\otimes x_m, \qquad x_n\in X_n,\, x_m\in X_m,\, n,\, m=1,2,...\,.
$$
\end{exm}
\begin{exm}[Półgrupa endomorfizmów]\label{ex:semigroup_endomorphism_action_product_system}
Niech $\alpha:P \to \text{End}(A)$ będzie działaniem półgrupy $P$ na $C^*$-algebrze przez endomorfizmy. To znaczy
dla każdego $p\in P$,  $\alpha_p:A\to A$ jest endomorfizmem $C^*$-algebry $A$, $\alpha_e=id$ oraz 
$$ 
\alpha_p\circ \alpha_q = \alpha_{pq} \qquad \text{ dla $p,q\in P$}.
$$
Z działaniem $\alpha$ zwiążemy system produktowy  nad półgrupą $P^{opp}$ przeciwną do $P$
($P^{opp}$ jako zbiór pokrywa się z  $P$ natomiast działanie półgrupowe jest odwrócone).
W tym celu, dla $p\in P$, niech $X_p:=\alpha_p(A)A$  będzie  niezdegenerowaną  $C^*$-korespondencją związaną 
z endomorifzmem $\alpha_p$:
$$
 \langle x, y\rangle_p :=x^*y, \qquad
a\cdot x\cdot b:=\alpha_p(a)xb, \quad x,y \in X_p,\,\, a,b \in A.
$$
Mnożenie na  $X_\alpha=\bigsqcup_{p \in P^{opp}}^\infty X_{p}$  zdefiniujemy w następujący sposób
\begin{equation}\label{multiplication-Ealpha}
X_p\times X_q\ni(x,y)\longrightarrow \alpha_q(x)y\in X_{qp}.
\end{equation}
Jak wykazaliśmy w Przykładzie \ref{ex:composition_of_endomorphisms}, powyższe odwzorowanie indukuje izomorfizm $X_p\otimes X_q\cong X_{qp}$. Zatem  $X_\alpha$ jest systemem produktowym.
\end{exm}
Przejdźmy teraz do omówienia wiązek Fella na grupą dyskretną $G$. Następującą definicję można znaleźć w
\cite[16.2]{Fell_Doran}  albo \cite{exel-book}.
\begin{dfn}
Wiązką Fella nad (dyskretną) grupą $G$ nazywamy zbiór
$$
\mathcal{B}=\bigsqcup_{g\in G} B_g,
$$
gdzie każde źdźbło $B_g$ jest przestrzenią Banacha, wraz z określonymi na 
$\BB$ dwoma działaniami 
$$
\cdot: \BB\times\BB \to \BB,\qquad    *:\BB  \to \BB,
$$
spełniającymi następujące warunki, dla wszystkich $g,h\in G$, oraz  $b, c\in  \BB$:
\begin{enumerate}
\item[(a)] $B_g B_h \subseteq B_{gh}$,
\item[(b)] mnożenie jest biliniowym odwzorowaniem z $B_g\times B_h\to  B_{gh}$,
\item[(c)] mnożenie jest łączne na $\BB$,
\item[(d)] $\|bc\|\leq \|b\| \|c\|$,
\item[(e)] $B_g\subseteq B_{g^{-1}}$,
\item[(f)] inwolucja jest odwzorowaniem antyliniowym z $B_g$ do $B_{g^{-1}}$,
\item[(g)] $(bc)^*=c^*b^*$,
\item[(h)] $(b^*)^*=b$,
\item[(i)] $\|b^*\|= \|b\|$,
\item[(j)] $\|b^*b\|=\|b\|^2$,
\item[(k)] $b^*b\geq 0$ w  $B_e$.
\end{enumerate}
Co więcej, jeśli inkluzję w  podpunkcie (a) zastąpimy równością $\overline{B_g B_h}=B_{gh}$, dla $g,h\in G$, to mówimy, że wiązka 
$\BB$ jest \emph{wysycona}.
\end{dfn}
Zauważamy, że jeżeli $
\mathcal{B}=\bigsqcup_{g\in G} B_g,
$ jest wiązką Fella, to źdźbło $A:=B_e$ odpowiadające elementowi neutralnemu jest $C^*$-algebrą, wraz z operacjami odziedziczonymi z $\BB$.
Ponadto, każde źdzbło $B_g$ jest w naturalny sposób $A$-$A$-bimodułem Hilberta z operacjami
$$
 \langle x, y\rangle_A:=x^*y, \qquad  {_A}\langle x, y\rangle:=x y^* \qquad
a\cdot x\cdot b:=axb, \quad x,y \in B_g,\,\, a,b \in A=B_e.
$$
Prowadzi to do następującej charakteryzacji wiązek Fella, jako częściowych działań grupowy na $C^*$-algebrach przez $C^*$-korespondencje.
\begin{thm}\label{thm:characterisation of Fell bundle}
Niech $A$ będzie $C^*$-algebrą i niech $
\mathcal{B}=\bigsqcup_{g\in G} B_g$ będzie zbiorem, gdzie $A=B_e$.  Jeśli  $
\mathcal{B}
$ jest wiązką Fella,  to
\begin{itemize}
\item[1)] każde źdzbło $B_g$, $g\in G$, jest $A$-$A$-bimodułem;
\item[2)] $\mathcal{B}$ jest półgrupą, gdzie działanie półgrupowe indukuje
\begin{itemize}
\item[a)] $B_g\otimes _A B_h\hookrightarrow B_{gh}$, tzn. $B_g\otimes _A B_h\ni b_g\otimes b_h \mapsto b_g\cdot b_h \in  B_{gh}$ przedłuża się do izometrii zachowującej $A$-iloczyny wewnętrzne.
\item[b)]  $B_g\otimes_A B_{q^{-1}}\otimes_A B_g \cong B_{g}$, tzn. $B_g\otimes_A B_{q^{-1}}\otimes_A B_g \ni b_g\otimes b_{g^{-1}}\otimes b_g \mapsto b_g\cdot b_{g^{-1}} b_g' \in  B_{g}$ przedłuża się do izomorfizmu $C^*$-korespondencji.
\end{itemize}
 \end{itemize}
Na odwrót, jeśli na $\BB$ jest określona struktura spełniąjąca 1) i 2) powyżej, to  na $\BB$ istnieje i jest wyznaczona jednoznacznie inwolucja, 
wraz z którą $\BB$ jest wiązką Fella.
\end{thm}
\begin{proof} Niech 
$
\mathcal{B}=\bigsqcup_{g\in G} B_g$ będzie wiązką Fella. Jak już zauważyliśmy, każde źdzbło $B_g$, $g\in G$, jest $A$-$A$-bimodułem z operacjami odziedziczonymi z $\BB$. Sprawdzenie, że $B_g\otimes _A B_h\ni b_g\otimes b_h \mapsto b_g\cdot b_h \in  B_{gh}$ przedłuża się do odwzorowania zachowującego $A$-iloczyny wewnętrzne nie nastręcza trudności, por. Przykład \ref{ex:concrete_composition}. 
Aby wykazać podpunkt 2b)  zauważmy, że $B_g$ jest $\overline{B_gB_{g^{-1}}}$-$\overline{B_{g^{-1}}B_g}$-bimodułem równoważności oraz inwoulcja na $\BB$ zadaje izomorfizm $B_{g^{-1}}\cong B_{g}^\str$. Zatem
$$
B_g\otimes_A B_{g^{-1}}\otimes_A B_g \cong B_{g} \cong \overline{B_gB_{g^{-1}}}\otimes_A B_g =\overline{B_gB_{g^{-1}}}\otimes_{\overline{B_gB_{g^{-1}}}} B_g \cong B_g. 
$$
Na odwrót załóżmy, że  $\BB$ spełnia  1) i 2). Z warunku 2b),  na mocy \cite[Proposition 3.9]{BM}, dla każdego $g\in G$ istnieje dokładnie jeden izomorfizm 
$C^*$-korespondencji $J_g:B_g^\str \to B_{g^{-1}}$ taki, że złożenie izomorfizmów
$$
B_g\cong B_g\otimes_A B_{g}^{\str}\otimes_A B_g\stackrel{1\otimes J_g\otimes 1}{\longrightarrow}
B_g\otimes_A B_{g^{-1}}\otimes_A B_g
$$ 
jest identycznością. Definiując $B_g \ni b_g \longmapsto J_g(b_g^\str) \in B_{g^{-1}}$ otrzymujemy, żądaną inwolucję.
\end{proof}
Korzystając z powyższego twierdzenia otrzymujemy, że działanie grupy $G$ na $C^*$-algebrze, jest równoważne wysyconej wiązce Fella.
\begin{thm}
Systemy produktowe nad grupą $G$ są równoważne wysyconym wiązkom Fella nad $G$. 
\end{thm} 
\begin{proof}  Jeśli $
\mathcal{B}=\bigsqcup_{g\in G} B_g$ jest wysyconą wiązką Fella oraz $A=B_e$, to działanie półgrupowe  na $\BB$ indukuje
izomorfizm $B_g\otimes _A B_h\cong B_{gh}$. Zatem $\BB$ jest systemem produktowym.
Na odwrót, niech 
$X= \bigsqcup_{g\in G}X_{g}$ będzie systemem produktowym. Dla każdego $g\in G$ mamy  $X_{g}\otimes X_{g^{-1}}\cong X_e=A$ oraz 
$X_{g^{-1}}\otimes X_{g}\cong X_e=A$. Zatem na mocy Twierdzenia \ref{thm:characterisation_Morita_bimodules}, $X_g$ jest bimodułem równoważności nad $A$.  Czyli zachodzi warunek 1) w Twierdzeniu \ref{thm:characterisation of Fell bundle}. Warunek 2) jest oczywisty.
W szczególności $X= \bigsqcup_{g\in G}X_{g}$ jest wiązką Fella. Ponadto $\overline{X_g X_h}=X_{gh}$, dla $g,h\in G$,
z definicji systemu produktowego, czyli wiązka ta jest wysycona.
\end{proof}
\backmatter
\begin{thebibliography}{00}
\bibitem{BGR} L. G. Brown, P. Green, M. A. Rieffel \emph{Stable isomorphism and strong Morita equivalence of $C^*$-algebras},
 Pacific J. Math  71 (1977), 349-363.

\bibitem{BMS}
L. G. Brown, J. A. Mingo, N.-T. Shen, \emph{Quasi-multipliers and embeddings of Hilbert $C^*$-bimodules}, Canad. J. Math. \textbf{46}(1994), 1150-1174.


\bibitem{BM} A. Buss, R. Meyer, \emph{Inverse semigroup actions on groupoids}, Rocky Mountain J.
Math. 47 (2017), no. 1, 53-159.

\bibitem{BMZ} A. Buss, R. Meyer, C. Zhu \emph{A higher category approach to twisted actions on $C^*$-algebras}, Proc. Edinb. Math. Soc.  56 (2013), 387-426. 


\bibitem{Cuntz} J. Cuntz, 
{\em Simple $C^*$-algebras generated by isometries}, 
Commun. Math. Phys. {\bf 57}  (1977), 173--185.  

\bibitem{dpz} S. Doplicher, C. Pinzari, R. Zuccante,  \emph{The $C^*$-algebra of a Hilbert bimodule}. Boll Unione Mat. Ital. Sez. B Artc. Ric. Mat. \textbf{1} (1998), 263-281.

%\bibitem{ell_kaw}  G. A. Elliott, K. Kawamura,  \emph{A Hilbert bundle characterization of Hilbert $C^*$-modules}, Trans. Amer. Math. Soc. 360 (2008), 4841-4862.



\bibitem{exel-book} R. Exel, Partial dynamical systems, Fell bundles and applications, book available at: mtm.ufsc.br/~exel/papers/pdynsysfellbun.pdf


\bibitem{Fell_Doran} 
J. M. G. Fell, R. S. Doran, Representations of $*$-algebras, locally compact
groups, and Banach $*$-algebraic bundles, Vol. I \& II, Academic Press, New York, 1988.

\bibitem{F99} N.~J.~Fowler,
\emph{Discrete product systems of Hilbert bimodules},
Pacific J. Math.  {\bf 204} (2002), 335--375.


\bibitem{Fow-Rae} N.~J.~Fowler and I.~Raeburn, \emph{The Toeplitz algebra of a Hilbert bimodule}, Indiana Univ. Math. J. {\bf 48} (1999), 155--181.






%\bibitem{HR} E. Hewitt and K. A. Ross, \emph{Abstract Harmonic Analysis, Volume II, Structure and Analysis on Compact Groups, Analysis on Locally Compact Abelian Groups}, 3rd printing, Springer, 1997

\bibitem{Jensen-Thomsen} K. K. Jensen, K. Thomsen, Elements of KK-theory, Birkhauser, 
1991. 


\bibitem{KPQ} S. Kaliszewski, N. Patani,  J. Quigg,, \emph{Characterizing graph $C^*$-correspondences}, Houston J. Math. \textbf{38} (2012), 751-759.


%\bibitem{Kap} I. Kaplansky, \emph{Modules Over Operator Algebras}, Amer. J. of Math. 75 (1953),  839-858.

\bibitem{Kas} G. G. Kasparov \emph{The operator $K$-functor and extensions of $C^*$-algebras} 
Math. USSR Izv.,  16 (1981), 513-572. 



\bibitem{Katsura1} 
T. Katsura, \emph{A construction of $C^*$-algebras from $C^*$-correspondences}, 
Contemp. Math. Amer. Math. Soc. \textbf{217} (2003),  173-182.


\bibitem{katsura}
T. Katsura, \emph{On $C^*$-algebras associated with $C^*$-correspondences},
J. Funct. Anal. \textbf{217} (2004), 366-401.

\bibitem{katsura2} 
 T. Katsura, \emph{A class of $C^*$-algebras generalizing both graph algebras and homeomorphism $C^*$-algebras. I. Fundamental results}, 
Trans. Amer. Math. Soc. \textbf{35}6 (2004), no. 11, 4287-4322.

\bibitem{Kisi} J. Kisy\'nski,  \emph{On Cohen's proof of the factorization theorem}. Ann. Polon. Math. 75 (2000), no. 2, 177–192.

\bibitem{lance}
 E. C. Lance : Hilbert $C^*$-Modules: A Toolkit for Operator Algebraists.   Cambridge University Press, Cambridge (1995)

\bibitem{Murphy} 
G. J. Murphy, $C^*$-algebras and Operator theory, Academic Press, London 1990.

\bibitem{Mur}  G. J. Murphy
\emph{Positive definite kernels and Hilbert $C^*$-modules}
Proc. Edinburgh Math. Soc., 40 (1997),  367-374.

\bibitem{Pas73} W. L. Paschke, \emph{Inner product modules over $B^*$-algebras}, Trans. Amer. Math. Soc. 182 (1973),
443-468.

\bibitem{Pedersen} G. K. Pedersen, \emph{C*-algebras and their automorphism groups}, London Math. Soc. Monographs, Boston, (1979)

\bibitem{Pim} M. V. Pimsner, \emph{A class of {$C\sp*$}-algebras generalizing both {C}untz-{K}rieger algebras and crossed products by {${\bf Z}$}}, in Free probability theory (Waterloo, ON, 1995), Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997, 189-212.



\bibitem{RaeWill} I. Raeburn and D. P. Williams,
\emph{Morita equivalence and continuous-trace $C^*$-algebras},
Math. Surveys and Monographs, vol. 60, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998.


\bibitem{Rie73} M. A. Rieffel, \emph{Induced representations of $C^*$-algebras}, Adv. in Math. 13 (1973), 176-257.
\bibitem{Rie74} M. A. Rieffel,  \emph{Morita equivalence for $C^*$-algebras and $W^*$-algebras}, J. Pure Appl. Algebra 5
(1974), 51-96.

\bibitem{Rudin} W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, New York, 1987.

\bibitem{Schweizer} J. Schweizer, \emph{Crossed products by $C^*$-correspondences and Cuntz-Pimsner algebras},
 $C^*$-Algebras: Proceedings of the SFB-Workshop on $C^*$-Algebras, Münster, 1999 (Springer-Verlag, Berlin, 2000), pages 203--226.

\bibitem{Tak} A. Takahashi, \emph{A duality between Hilbert modules and fields of Hilbert spaces}. Rev.
Colombiana Mat., 13 (1979), 93–120.

\bibitem{takesaki}  M. Takesaki, Theory of operator algebras I, Springer-Verlag Berlin 2002.

%\bibitem{Wor} S. L Woronowicz, \emph{Unbounded elements affiliated with $C^*$-algebras and noncompact quantum groups}  Comm. Math. Phys. 136 (1991), no. 2, 399-432.
\end{thebibliography}

\end{document}