%
% Ten tekst napisano w standardzie UTF8. 
%
% Uwagi, pytania i komentarze: mariusz@math.uwb.edu.pl
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
% Nagłówek pracy magisterskiej
%
%\documentclass[windows]{imuwbth} % pod MS Windows
%\documentclass[windows,abstract]{imuwbth} % pod MS Windows, bez dowodów
%\documentclass[windows,final]{imuwbth} % pod MS Windows, wersja finalna
%
%\documentclass{imuwbth} % kodowanie ISO-8859-2
%\documentclass[abstract]{imuwbth} % kodowanie ISO-8859-2, bez dowodów
%\documentclass[final]{imuwbth} % kodowanie ISO-8859-2, wersja finalna
%
%\documentclass[utf8]{imuwbth} % kodowanie UTF-8
%\documentclass[utf8,abstract]{imuwbth} % kodowanie UTF-8, bez dowodów
\documentclass[utf8,final]{imuwbth} % kodowanie UTF-8, wersja finalna
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
% Nagłówek pracy dyplomowej
%
%\documentclass[windows,dyplom]{imuwbth} % pod MS Windows
%\documentclass[windows,dyplom,abstract]{imuwbth} % pod MS Windows, bez dowodów
%\documentclass[windows,dyplom,final]{imuwbth} % pod MS Windows, wersja finalna
%
%\documentclass[dyplom]{imuwbth} % kodowanie ISO-8859-2
%\documentclass[dyplom,abstract]{imuwbth} % kodowanie ISO-8859-2, bez dowodów
%\documentclass[dyplom,final]{imuwbth} % kodowanie ISO-8859-2, wersja finalna
%
%\documentclass[utf8,dyplom]{imuwbth} % kodowanie UTF-8
%\documentclass[utf8,dyplom,abstract]{imuwbth} % kodowanie UTF-8, bez dowodów
%\documentclass[utf8,dyplom,final]{imuwbth} % kodowanie UTF-8, wersja finalna
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
% Poniższe pola MUSZĄ być wypełnione:

\author{Kordian Czyżewski}
\title[Częściowe izometrie]{Częściowe izometrie\\ w przestrzeniach $L_{p}$}
\supervisor{dr. hab. Bartosza Kwaśniewskiego}

% Data utworzenia dokumentu
\created{2020.11.07}

% Data ostatniej modyfikacji dokumentu
\modified{2020.10.08}

% Informacja opcjonalna
\info{Informacja opcjonalna}


% Opcjonalny pakiet symboli
\usepackage{mat}
\usepackage[shortlabels]{enumitem}
\usepackage[arrow, matrix, curve]{xy}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{dsfont}
\usepackage[title]{appendix}

% Prywatne makra
\DeclareMathOperator{\re}{\mathrm{Re}}
\DeclareMathOperator{\im}{\mathrm{Im}}
\DeclareMathOperator{\spo}{s}
\def\LineOn(#1,#2){\overline{#1\rule{0pt}{1.66ex}#2}}

% Początek tekstu
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\newcommand{\F}{\mathbb F}
\newcommand{\B}{\mathcal B}
\newcommand{\FF}{\mathcal F}
\newcommand{\EE}{\mathbb E}
\newcommand{\MM}{\mathcal M}
\newcommand{\NN}{\mathcal N}
\newcommand{\RR}{\mathcal R}
\renewcommand{\H}{\mathcal H}
\newcommand{\K}{\mathcal K}
\renewcommand{\Re}{\text{Re}}
\renewcommand{\Im}{\text{Im}}
\renewcommand{\qedsymbol}{$\blacksquare$}




\begin{document}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{uwg}[thm]{Uwaga}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frontmatter % strona tytułowa, spis treści, itp.

\maketitle % strona tytułowa

%\begin{thanks}
%  Składam serdeczne podziękowania\\
%  dr. hab. Bartosza Kwaśniewskiemu\
%  za...
%\end{thanks}

\tableofcontents % spis treści (generowany automatycznie!)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\mainmatter % część zasadnicza pracy

\chapter*{Wstęp}
Pojęcie izometrii częściowej w przestrzeni Hilberta jest dobrze ugruntowane.  Od blisko już stu lat izometrie częściowe pełnią podstawową rolę w teorii operatorów i teorii algebr von Neumanna,  oraz od wielu dekad w teorii $C^*$-algebr zadanych przez generatory i relacje (patrz np. \cite{conway_func, lawson, mbekhta, mlak, Murphy, paterson, takesaki}). W 2004  roku Mbektha \cite{mbekhta} zaproponował definicję \emph{izometrii częściowych na przestrzeni Banacha}    jako kontraktywnych operatorów posiadających kontraktywne  odwrotności uogólnione; operatory  $S,T$ są \emph{sprzeżonymi ze sobą izometriami częściowymi} %w sensie \cite{mbekhta}  
jeśli
\begin{equation}\label{eq:partial_isometries_conjugate}
\|T\|, \|S\|\leq 1, \qquad TST=T,\quad  STS=S. 
\end{equation}
Operatory spełniające \eqref{eq:partial_isometries_conjugate}
 pełnią  kluczową rolę m.in. w rozprawie doktorskiej promotora  niniejszej pracy magisterskiej (patrz  \cite{kwa-phd}). 
Na ogół powyżej zdefiniowane izometrie częściowe nie posiadają dobrych własności.  
Na przykład na wielu przestrzeniach Banacha istnieją izometrie niebędące izometriami częściowymi,   a sprzężenie izometrii częściowej nie jest wyznaczone jednoznacznie.
Z drugiej strony przestrzenie $L_p$  wydają się wystarczająco bliskie przestrzeniom Hilberta, aby na tych przestrzeniach warunki \eqref{eq:partial_isometries_conjugate} dawały dobre uogólnienie klasycznego pojęcia. W szczególności w przestrzeniach $L_p$ znane są strukturalne opisy izometrii oraz kontraktywnych rzutów, które są podstawowymi przykładami i składnikami konstrukcyjnymi   izometrii częściowych. 

Dodatkową motywacją do powstania tej pracy są  badania zapoczątkowane przez Phillipsa w 2012 roku \cite{cortinas_rodriguez,  gardella_thiel, gardella, phillips0, phillips}, które są próbą przeniesienia pewnych konstrukcji i wyników dotyczących algebr operatorowych, działających w przestrzeniach Hilberta na  algebry działające w przestrzeniach $L_p$.
Kluczowym pojęciem są tu  \emph{przestrzenne izometrie częściowe} działające w przestrzeniach $L_p$, które Phillips zdefiniował jako  operatory dane konkretnymi wzorami.
Phillips nie znał pracy Mbekhty \cite{mbekhta}, a obu panów przedstawił sobie  w  2015 roku (podczas konferencji Banach Algebras and Applications w Toronto) promotor niniejszej pracy magisterskiej.


 Celem obecnej pracy jest szczegółowa analiza  i  jawny opis  cześciowych izometrii w sensie Mbekhty, działających w przestrzeniach $L_p(\mu)$, $1\leq p<\infty$, związnych z miarą skończoną $\mu$, oraz 
wyjaśnienie związków tak zdefiniowanego pojęcia z  przestrzennymi izometriami częściowymi Phillipsa. Wymaga to m.in. opracowania  i połączenia dwóch nietrywialnych, ale znanych kroków:
\begin{itemize}
\item[1)] scharakteryzowania kontraktywnych rzutów na przestrzeniach $L_p$ (Twierdzenie Ando) jako ważonych warunkowych wartości oczekiwanych \cite{ando, douglas, randrianantoanina}.

\item[2)] scharakteryzowania izometrii w przestrzeniach $L_p$ (Twierdzenie Banacha-Lam\-pertiego) jako uogólnionych ważonych operatorów kompozycji \cite{lamperti, gardella, gardella_thiel}.

\end{itemize}
 Praca w wyczerpujący sposób, z pełnymi dowodami, omawia powyższe wyniki. Wprowadzenie to jest obszerne, ale ma ten walor, że zaczynamy analizę od dobrze znanych pojęć takich
jak warunkowa wartość oczekiwana, a następnie przechodzimy do ich bardziej abstrakcyjnych uogolnień (np. zespolona warunkowa wartość oczekiwana, obcięta wartość oczekiwana oraz ważona warunkowa wartość oczekiwana). W szczególności,  rozważania nad Twierdzeniem Ando 
zostały poprzedzone analizą przypadku rzutów kontraktywnych w przestrzeni $L_1$   opierającą się na pracy Douglasa \cite{douglas}.
Zakładamy tu dodatkowo, że  rozpatrywane  rzuty zachowują funkcje stałe. Założenie to nie tylko upraszcza wiele dowodów,  ale jest naturalne chociażby z punktu widzenia probabilistyki. %, toteż zostało ono uwzględnione. 
Ponadto wydaje się, że  bardzo efektywny opis z pracy Douglasa dowolnych  kontraktywnych rzutów na $L_1$, można przenieść na przypadek przestrzeni $L_p$. Pozwoliłoby to uczynić otrzymany przez nas opis izometrii częściowych jeszcze bardziej eleganckim i stanowi jeden z możliwych kierunków kontynuacji niniejszej pracy.

Kolejny krok -- opis izometrii w przestrzeniach $L_p$ w oparciu o pracę Lampertiego \cite{lamperti} również natrafił na szereg trudności. Choć opis izometrii jako ważonych operatorów kompozycji jest prawdziwy, to konieczne było uzupełnienie w dowodzie luki obejmującej postać operatora kompozycji -- wymagało szczegółowego rozpisania warunku jaki musiała spełniać funkcja wagowa, 
stanowiąca u  Lampertiego po prostu pochodną Radona-Nikod\'yma dwóch miar.




Nietrywialnym zadaniem było połączenie kroków 1), 2)  w całość.  Co ciekawe szczególną trudność sprawiły, co jest już widoczne  przy analizowaniu pojęcia rzutów kontraktywnych w przestrzeniach $L_p$, przypadki $p=1$ i $p=2$, wymagające osobnego potraktowania. Problemy te mają  swoją przyczynę w specjalnym charakterze obydwu przestrzeni. W dowodach występują liczne odwołania do nierówności Jensena, a szczególnie jej ostrego przypadku dla funkcji ściśle wypukłych. Warunek ten spełniany jest przez normy przestrzeni $L_p$, dla $p>1$, natomiast jego brak  rodzi problem dla przestrzeni $L_1$. 
Przypadek $p=2$ jest szczególny ze względu na mnogość obecnych tam symetrii. Bogata struktura przestrzeni $L_2$, będącej de facto przestrzenią Hilberta, wymaga dodatkowo założenia o dodatniości rzutów. 
Do analizy związków z przestrzennymi izometriami częściowymi użyliśmy dobrze ugruntowanego pojęcia \emph{$L_p$-rzutu} badanego w różnych przestrzeniach Banacha przez wielu autorów (patrz np. \cite{L_p-structure, sullivan}).  
W ten sposób otrzymaliśmy szereg nowych rezultatów. Między innymi udowodniliśmy, że 
\begin{enumerate}[(a)]
\item Każda izometria w przestrzeniach $L_p$ jest izometrią częściową i posiadamy pełen opis ko-izometrii  (Twierdzenie \ref{thm:isometry_and_its_adjoint_in_Lp}, Wniosek \ref{cor:L_1_coisometry}).
\item Izometrie częściowe  w przestrzeniach $L_p$ posiadają jednoznacznie wyznaczone sprzężenie wtedy i tylko wtedy, gdy $p>1$. (Twierdzenie \ref{thm:uniqueness_of_conjugation_in_Lp}, Przykład \ref{exm:mbekhta_example_extended}).


\item
Każda  izometria częściowa w przestrzeniach $L_p$, $p \in (1,\infty)\setminus\{2\}$,  jest złożeniem ważonego operatora kompozycji oraz ważonej warunkowej wartości oczekiwanej. Dla $p=1$ 
mogą się pojawić dodatkowe składniki w postaci pewnych operatorów nilpotentnych. Dla $p=2$ powyższe zdanie jest prawdziwe jeśli ograniczymy się operatorów dodatnich.


\item Dla $p \in (1,\infty)\setminus\{2\}$,  izometrie częściowe $T:L_p(\nu) \rightarrow L_p(\mu)$  są sparametryzowane trójkami $(h_\mu,\Phi,h_{\nu})$, gdzie
$h_{\mu}\in L_p(\mu), h_\nu\in L_p(\nu)$ i $\Phi:  \MM \rightarrow \Phi(\MM)$ jest  izomorfizmem $\sigma$-ciał,  
 $\MM$ i  $\Phi(\MM)$ są $\sigma$-pociałami z elementami maksymalnymi odpowiednio $\supp(h_{\nu})$ i $\supp(h_{\mu})$ spełniającymi warunek
$$%\begin{equation}\label{eq:parital_isomorphism_condition}
 \frac{d\mu\circ \Phi}{d\nu|_{\MM}}=\frac{\EE^{\MM}(|h_\nu|^p )}{T_{\Phi^{-1}}(|h_\mu|^p )},
$$%\end{equation}
gdzie $\EE^{\MM}$ jest warunkową wartością oczekiwaną względem $\MM$, a $T_{\Phi}$ to opertor kompozycji z $\Phi$.
Dla $p>1$, dodatnie izometrie częściowe sparametryzowane są trójkami $(h_\mu,\Phi,h_{\nu})$ jak wyżej, gdzie wagi
$h_{\mu}\geq 0, h_\nu \geq 0$  są nieujemne (Twierdzenie \ref{thm:partial_isomtries_on_Lp}).

\item Przestrzene izometrie częściowe Phillipsa na przestrzeniach $L_p$, $p\neq 2$,
to izometrie częściowe w sensie Mbekhty, których rzuty na przestrzeń inicjalną i finalną są $L_p$-ortogonalne (są $L_p$-rzutami).

Równoważność ta zachodzi dla każdego $p\geq 1$ jeśli ograniczymy się do operatorów dodatnich (Twierdzenie \ref{thm:Phillips_vs_Mbekhta}).
\end{enumerate}


Jeżeli chodzi o ogólność pracy to  rozważamy tu jedynie  przypadek  miar skończonych. Takie założenie jest  naturalne ze względu szereg pojęć probabilistycznych jakimi operuje ta praca, ale również w wielu miejscach upraszcza prezentację i dowody.  Uogólnienie powyższych wyników na przypadek miar $\sigma$-skończonych nie powinno nastręczać większych trudności. 
De facto wydaje się, że większość otrzymanych rezultatów można uogólnić na przypadek \emph{miar lokalizowalnych}  \cite{gardella_thiel, gardella}  lub nawet \emph{miar dowolnych} \cite{Bernau_Lacey, stepkowski}. Jest to kolejny potencjalny krok  do dalszych badań. Ze względu  chociażby na możliwe dalsze rozwinięcie w kierunku teorii spektralnej (patrz  \cite{kwa-phd}), 
rozważamy  przestrzenie $L_p$ nie tylko nad ciałem liczb rzeczywistych $\R$, ale też i zespolonych $\C$. Jak pokazujemy w pracy, problem kompleksyfikacji i ostatecznie charakteryzacja jest słuszna zarówno dla przestrzeni nad ciałami liczb rzeczywistych jak i zespolonych


 %Kluczowe byłoby tu warunki zachodzenia Twierdzenia Radona-Nikod\'yma szeroko omówione w pracy \cite{stepkowski}. Kolejnym naturalnym założeniem jest wzmiankowane wcześniej  ograniczenie się  do  przypadku przestrzeni $L_p$ dla $p>1$. Również dość naturalne ze względu na ich dobre właściwości. Ponownie, ze względu na probabilistyczne intuicje początkowa część poświęcona warunkowym wartościom oczekiwanym dowodzona jest z założeniem rzeczywistego charakteru operatorów. Ze względu jednak chociażby na możliwe dalsze rozwinięcie w kierunku teorii spektralnej, rozważony został problem kompleksyfikacji i ostatecznie charakteryzacja jest słuszna zarówno dla przestrzeni nad ciałami liczb rzeczywistych jak i zespolonych



Struktura pracy przedstawia się następująco:



Rozdział \ref{chapter1} w  całości poświęcony jest podstawowym pojęciom dotyczących przestrzeni Banacha,  przestrzeni $L_p$ z wyszczególnieniem przypadku przestrzeni Hilberta. Przypomniane zostają również elementarne pojęcia z teorii krat, do których będziemy się odwoływać  w Rozdziale 3.

Rozdział 2 podsumowuje podstawowe informacje na temat izometrii częściowych -- począwszy od dobrze znanego przypadku hilbertowskiego. W przypadku banachowskim  prezentujemy kontrprzykłady ilustrujące pewne patologiczne sytuacje jakie występują w tak ogólnym podejściu.

Rozdział 3 poświęcony jest pojęciu warunkowej wartości oczekiwanej i jej charakteryzacji jako kontraktywnego rzutu na przestrzeni $L_1$. Dodatkowo przedstawiona została kompleksyfikacja operatora warunkowej wartości oczekiwanej i zespolona wersja Twierdzenia Douglasa.

W Rozdziale 4 rozważamy warunkowe wartości oczekiwane na przestrzeniach $L_p$ i przedstawiamy ogólną charakteryzację rzutów kontrkaktywnych na przestrzeniach $L_p$ -- Twierdzenie Ando.

Rozdział 5 podzielony jest na dwie części. Pierwsza poświęcona jest dowodowi Twierdzeń Lampertiego i  Banacha-Lampertiego, charakteryzujących odpowiednio izometrie i odwracalne izometrie w przestrzeniach $L_p$. Szczególną rolę w dowodach odgrywają użyteczne nierówności Clarksona, których obszerny rachunkowo dowód zamieszczony został w Dodatku A. Druga część Rozdziału 5 zawiera nasze najważniejsze wyniki dotyczące izometrii częściowych w przestrzeniach $L_p$ opisane w punktach (a)--(e) powyżej.



\chapter{Wprowadzenie do przestrzeni Banacha i przestrzeni $L_{p}$}\label{chapter1}

W poniższym rozdziale  przypomnimy podstawowe pojęcia dotyczące przestrzeni Banacha,  ze szczególnym uwzględneniem tytułowych przestrzeni $L_{p}$ oraz struktury kraty jaka jest zadana na tych przestrzeniach. Osobno również omówimy fakty i twierdzenia dotyczące teorii przestrzeni Hilberta, które można traktować jako szczególny przypadek przestrzeni $L_{p}$, dla  $p=2$. Jako że pojęcia omawiane w tym rozdziale są szeroko znane, wszelkie dowody będą pomijane lub będą miały szkicowy charakter. 
W zakresie analizy funkcjonalnej odsyłamy np. do \cite{conway_func, rudin_funk}, w zakresie  teorii miary do \cite{biling, halmos1, rao},  
a ogólną charakterystykę krat zawiera np. monografia \cite{traczyk}. 


W niniejszej pracy przyjmiemy następującą konwencję oznaczeń -- elementy `abstrakcyjnych' przestrzeni Banacha i Hilberta będziemy oznaczać małymi literami łacińskimi, elementy przestrzeni $L_{p}$ będziemy oznaczać małymi literami greckimi, operatory na przestrzeniach $L_{p}$ z kolei oznaczamy wielkimi literami łacińskimi.

\section{Operatory  w przestrzeniach Banacha}
Wszystkie przestrzenie wektorowe w niniejszej pracy będą rozpatrywane nad ciałem liczb rzeczywistych $\R$ lub liczb zespolonych $\C$.
Przypomnijmy, że \emph{przestrzenią unormowaną}  nazywamy
przestrzeń wektorową $V$ nad ciałem $\F=\R,\C$ wyposażoną w normę, tzn. odwzorowanie
$\| \cdot \| : V \to [0,\infty)$ spełniające następujące warunki
\begin{enumerate}[(N1)]
\item\label{it:normed_space1} 
$
\| x\| =  0$  $\iff$ $x = 0$, 
\hfill
(\emph{niezdegenerowanie})
\item \label{it:normed_space2}
 $
\| \lambda x\| =|\lambda|\cdot \| x\|,
$\hfill
(\emph{dodatnia jednorodność})

\item \label{it:normed_space3}$
\| x + y \|\leq \|x\| + \|y\|,
$ \hfill
(\emph{nierówność trójkąta})
\end{enumerate}
gdzie $x$, $y \in V$ i $\lambda\in \F$. Liczbę $\|x\|$ nazywamy  \emph{normą (długością) wektora}  $x\in V$. 
Norma zadaje metrykę  wzorem
$
d(x,y):=\|x-y\|$, $x,y \in V$.
W szczególności,
ciąg $\{x_n\}_{n=1}^\infty\subseteq L$ jest zbieżny do $x\in V$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\lim_{n\to \infty}\|x_n-x\|= 0$. Piszemy wtedy $x_n\stackrel{\|\cdot\|}{\longrightarrow} x$.

\emph{Przestrzenią Banacha} nazywamy przestrzeń unormowaną zupełną, tzn. przestrzeń $V$, w której każdy ciąg Cauchy $\{x_n\}_{n=1}^\infty \subseteq V$, to jest taki dla którego $\lim_{n,m\to \infty} \|x_n- x_m\|=0$, jest zbieżny, czyli istnieje $x\in V$ taki, że  $\lim_{n\to \infty} \|x_n- x_0\|=0$.

\emph{Operatorem} będziemy nazywać odwzorowanie liniowe $T:V\rightarrow W$ między dwoma przestrzeniami unormowanymi $V$ i $W$. Normę operatora defniujemy wzorem
\begin{align*}
\|T\|=\sup_{\|x\|=1}\|Tx\|.
\end{align*}
Mówimy, że operator $T$ jest \emph{ograniczony}, jeżeli jego norma jest skończona. Operator $T$ jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest odwzorowaniem ciągłym. 

Zbiór $\mathcal{B}(V,W)$ operatorów ograniczonych między przestrzeniami Banacha $V$ i $W$ sam tworzy przestrzeń Banacha z normą operatorową oraz ze strukturą liniową zdefiniowaną punktowo.
Jeśli $V=W$ to będziemy pisać $\mathcal{B}(V)$ w miejsce $\mathcal{B}(V,V)$. Składanie operatorów zadaje na $\mathcal{B}(V)$ mnożenie, wraz z którym przestrzeń $\mathcal{B}(V)$ tworzy algebrę Banacha.
Operator  identycznościowy %$1\in \mathcal{B}(V)$ 
jest jedynką tej algebry. 
%W  przypadku, gdy $W=\F$ jest ciałem skalarów, to 
Przestrzeń $V^*:=\mathcal{B}(V,\F)$ nazywamy \emph{przestrzenią dualną} do $V$, a jej elementy $f:V\to \F$ nazywamy funkcjonałami (ograniczonymi).
Twierdzenie Hahna-Banacha implikuje, że mamy naturalne izometryczne zanurzenie $V$ w przestrzeń do niego podwójnie sprzężoną:
\begin{align*}
i:L \hookrightarrow V^{**}:=(V^*)^*, \qquad i(x)(f):=f(x).
\end{align*}
 Przestrzeń $V$ utożsamiamy z podprzestrzenią $V^{**}$ za pomocą odwzorowania $i$ zatem $V\subseteq V^{**}$. Powiemy, że $V$ jest \emph{przestrzenią refleksywną} jeśli $V=V^{**}$. 


Zasadniczą motywacją do rozważania przestrzeni dualnej $V^*$ jest fakt, że pozwala ona  zdefiniować 
następującą formę  dwuliniową (zwanej parowaniem)
\begin{align*}
V\times V^* \ni (x,f)\longmapsto \langle f, x\rangle:=f(x)\in \F, 
\end{align*}
która imituje iloczyn skalarny na $V$. 
Dla dowolnego operatora $T\in \mathcal{B}(V, W)$, między przestrzeniami Banacha $V$, $W$, istnieje dokładnie operator  $T^*\in \mathcal{B}(W^*,V^*)$
na przestrzenach dualnych taki, że 
\begin{align*}
\forall_{f\in W^*, x\in V}\qquad \langle Tx, f\rangle= \langle x, T^*f\rangle.
\end{align*}
Operator ten jest dany wzorem $T^*f=f\circ T$ i nazywamy go \emph{operatorem sprzężonym} do $T$. 
\begin{prop}
Jeśli $T\in \mathcal{B}(V)$, to $T^*\in \mathcal{B}(V^*)$ oraz $\|T\|=\|T^*\|$.
\end{prop}
\begin{proof} Dla dowolnego $f\in V^*$ mamy
$
\|T^*(f)\|=\sup_{\|x\|=1} \|f(T(x))\|\leq  \sup_{\|x\|=1} \|f\| \cdot \|T(x)\|=\|f\|\cdot  \|T\|,
$
skąd $\|T^*\|\leq \|T\|$. 
Stosując tę nierówność do $T^*$ w miejsce $T$ otrzymujemy $\|T^{**}\|\leq \|T^*\|$, gdzie $T^{**}:=(T^*)^*$.
Obcięcie $T^{**}$ do $V\subseteq V^{**}$ pokrywa się z $T$. Zatem
$\|T\|=\|T^{**}|_{V}\|\leq \|T^{**}\|\leq \|T^*\|$. 
\end{proof}
Dla operatora $T\in \mathcal{B}(V)$ oznaczamy jego \emph{obraz} i \emph{jądro} jak następuje
\begin{align*}
\RR(T):=\{Tx:x\in V\}, \qquad \NN(T):=\{x\in V: Tx=0\}.
\end{align*}
Są to podprzestrzenie wektorowe $V$. Przy czym jądro $\NN(T)$ jest zawsze domkniętą podprzestrzenią. Natomiast obraz na ogół domknięty być nie musi.
 
\begin{dfn}\label{def:projection}
Operator $P\in \mathcal{B}(V)$ jest \emph{rzutem} lub \emph{idempotentem}, jeśli $P^2:=P P=P$. $P$ jest rzutem jeżeli na swoim obrazie jest identycznością.
\end{dfn}
\begin{prop}\label{lem:projection_Banach}
Niech $P\in \mathcal{B}(V)$ będzie rzutem. Wtedy obraz $\RR(T)$ jest domknięty oraz $V$ rozkłada się na sumę prostą domkniętych podprzestrzeni
\begin{equation}\label{eq:Banach_space_decomposition}
V=\RR(P) \oplus \NN(P).
\end{equation}
Ponadto, $1-P$ też jest rzutem oraz $\NN(1-P)=\RR(P)$ i $\RR(1-P)=\NN(P)$.
\end{prop}  
\begin{proof}
Dla każdego $x\in V$ mamy
\begin{align*}
x\in \RR(P) \, \Leftrightarrow\,  Px=x \, \Leftrightarrow\, x-Px=0 \, \Leftrightarrow\,(1-P)x=0  \, \Leftrightarrow\, x\in \NN(1-P).  
\end{align*}
Czyli $\RR(P)=\NN(1-P)$ i w szczególności obraz $P$ jest domknięty.  Ponadto
$(1-P)^2=1-2P+P^2=1-P$, zatem $1-P$ jest rzutem. Zastępując miejscami $P$ z $(1-P)$ w poprzedniej relacji
dostajemy $\RR(1-P)=\NN(P)$. Dla każdego $x\in V$ mamy $x=Px+(1-P)x$, gdzie $Px\in \RR(P)$ i $(1-P)x\in \NN(P)$.  
Rozkład ten jest jednoznaczny, bo $\NN(P)\cap \RR(P)=\{0\}$   (jeżeli $x=y+z$, gdzie $y\in  \RR(P)$ i $z\in \NN(P)$, to 
$Px=y$ i $(1-P)x=z$).
\end{proof}
\begin{rem} Rozkład \eqref{eq:Banach_space_decomposition}  wyznacza rzut $P$ jednoznacznie, gdyż jeśli $x=y+z$, gdzie $y\in \RR(P)$ i $z\in \NN(P)$, to $Px=y$.
Dlatego też mówi się, że $P$ jest \emph{rzutem na podprzestrzeń  $\RR(P)$ względem podprzestrzeni} $\NN(P)$.  
\end{rem}
Jeżeli $P$ jest niezerowym rzutem, to $\|P\|\geq 1$, bo $1=\|\id_{\RR(P)}\|=\| P|_{\RR(P)}\|\leq \|P\|$. De facto dowolna liczba z przedziału $[1,+\infty)$ może być normą rzutu.
\begin{exm}[Rzuty na płaszczyźnie]
Niech $H=\R^2$ będzie płaszczyzną euklidesową. Wtedy wszystkie rzuty na oś $x$-sów $M=\{(x,0):x\in \R\}$ są dane przez macierze postaci
\begin{align*}
P_a=\left(\begin{array}{cc}
1 & a \\
0 & 0
\end{array}\right), \qquad a\in \R.
\end{align*}
Dla $a=0$, $P_0$ jest rzutem na prostą $y=0$ względem prostej $x=0$ ($P_0$ jest rzutem ortogonalnym na $M$). Jeśli $a\neq 0$, to $P_a$ jest rzutem na prostą $y=0$ względem prostej $y=-x/a$ (tzn. rzutem na  $M$ względem podprzestrzeni $N=\{(x,-x/a):x\in \R\}$). Żeby policzyć normę operatora $P_a$  trzeba 
zmaksymalizować funkcję $f(x,y)=x+ay$  pod warunkiem $x^2+y^2=1$.
Stosując metodę mnożników Lagrange'a otrzymujemy, że funkcja $f$ osiąga maksimum
w punkcie $(x,y)=(\frac{1}{\sqrt{1+a^2}},  \frac{a}{\sqrt{1+a^2}})$ i  jej maksimum wynosi $\sqrt{1+a^2}$.
Stąd %Dla dowolnego $a\in \R$ mamy
\begin{align*}
\|P_a\|=\sqrt{1+a^2}, \qquad a\in \R.
\end{align*}
W szczególności $\|P_a\|\to \infty$, gdy $a\to \infty$. Zatem norma rzutu może być dowolnie duża. 
\end{exm}
\begin{prop}
Operator $P\in \mathcal{B}(V)$ jest rzutem wtedy i tylko wtedy, gdy operator sprzężony $P^*\in \mathcal{B}(V^*)$ jest rzutem.
\end{prop}
\begin{proof}
Jeśli $P^2=P$, to dla dowolnego $f\in V^*$ mamy
\begin{align*}
P^{*2}f= (P^*f) \circ P= f \circ P^2=f\circ P= P^* f.
\end{align*}
Stąd $P^{*2}=P^*$ jest rzutem. Na odwrót, jeśli $P^*$ jest rzutem, 
to $P^{**}$ jest rzutem na mocy poprzedniej części dowodu. 
Jako, że $P= P^{**}|_V$ jest obcięciem $P^{**}$ do podprzestrzeni niezmienniczej $V \subseteq V^{**}$,
to $P^2=  P^{**}|_V P^{**}|_V =  P^{** 2}|_V=P^{**} |_V=P$ i $P$ jest rzutem.
\end{proof}
\section{Przestrzenie $L_{p}$}

Niech $(\Omega,\FF, \mu)$  będzie ustaloną \emph{przestrzenią z miarą}. Oznaczmy $\FF$ $\sigma$-algebrę podzbiorów zbioru $\Omega$. $\mu:\FF\to [0,+\infty]$ jest miarą (czyli $\sigma$-addytywną funkcją zbioru taką, że $\mu(\emptyset)=0$). Zakładamy, że czytelnik jest zaznajomiony z teorią całki Lebesgue'a (patrz \cite{biling, halmos1, sztencel}). 
%Przypomnijmy, że funkcja zespolona $x:\Omega\to \C$ jest  całkowalna (względem $\mu$) wtedy i tylko wtedy gdy całkowalne są jej część rzeczywista i część urojona $\Re x, \Im x:\Omega \to \R$
Ustalmy ciało skalarów  $\F=\R,\C$. Przypomnijmy, że  funkcja $x:\Omega\to \F$  jest \emph{mierzalna} jeżeli $\xi^{-1}(B)\in \FF$ 
 dla każdego zbioru borelowskiego $B\in \mathfrak{B}(\F)$.  
Będziemy tu przyjmować standardową konwencję i będziemy utożsamiać funkcje mierzalne równe  $\mu$-prawie wszędzie. Zatem formalnie elementami zbioru  $M(\mu)$ funkcji mierzalnych są klasy abstrakcji takich funkcji modulo relacja równoważności $\stackrel{\mu\textit{-p.w.}}{=}$,
gdzie
\begin{align*}
\xi\stackrel{\mu\textit{-p.w.}}{=} y \, \, \stackrel{def }{\Longleftrightarrow} \, \,  \mu(\{\omega \in \Omega: \xi(\omega)\neq \eta(\omega)\})=0.
\end{align*}
Ani całkowalność, ani całka z funkcji mierzalnej nie zależy od wyboru reprezentanta w $M(\mu)$. Kombinacje liniowe funkcji mierzalnych są funkcjami mierzalnymi 
i ta naturalna struktura liniowa faktoryzuje się przez relację $\stackrel{\mu\textit{-p.w.}}{=}$.
Zatem $M(\mu)$ jest przestrzenią wektorową ze strukturą liniową, gdzie operacje liniowo  zdefiniowane są dla reprezentatów punktowo.
%\begin{lem}\label{lem:distributions_vs_functions}
%Każda funkcja mierzalna $x:\Omega\to \F$ indukuje miarę borelowską wzorem 
%$$
%\mu_{x}(B):=\mu(x^{-1}(B)), \qquad B\in \B(\F).
%$$
%Jeśli $x\stackrel{\mu\text{-pw}}{=} \nu$ to $\mu_x=\mu_y$. 
%\end{lem}
%\begin{proof}
%Pierwsza część tezy wynika wprost z faktu, że przeciwobraz funkcji zachowuje sumy, rozłączność zbiorów oraz przeciwobraz zbioru pustego jest zbiorem pustym. 
%Jasne jest też, że jeżeli $x\stackrel{\mu\text{-pw}}{=} \nu$, to $\mu_x=\mu_y$, bo wtedy dla każdego $B\in \B(\F)$ mamy
%\begin{align*}
%\mu_{x}(B)&=\mu(x^{-1}(B))=\mu(x^{-1}(B)\cap \{t\in \Omega: x(t)=y(t)\})
%\\
%&=\mu(y^{-1}(B)\cap \{t\in \Omega: x(t)=y(t)\})=\mu(y^{-1}(B))=\mu_{y}(B).
%\end{align*}
%\end{proof}
%\begin{rem}
%Jeśli $\mu$ jest \emph{miarą probablistyczną}, tzn. $\mu(\Omega)=1$, to $x$ można traktować jako \emph{zmienną losową} i wtedy miara $\mu_{x}$ jest niczym innym jak rozkładem zmiennej losowej $x$. 
%W ogólnym przypadku  miarę $\mu_{x}$ będziemy nazywać \emph{rozkładem funkcji mierzalnej}. Na mocy Lematu \ref{lem:distributions_vs_functions}
%\end{rem} 
\begin{dfn}
Niech $p> 0$ będzie dowolną liczbą rzeczywistą. 
Powiemy, że funkcja mierzalna $\xi:\Omega\to \F$ jest \emph{całkowalna w $p$-tej potędze}, gdy funkcja $|\xi|^p$ jest całkowalna.
Zbiór takich funkcji oznaczamy $L_{p}(\mu)$ lub $L_{p}(\Omega,\FF, \mu)$.
\end{dfn} 
Nietrudno pokazać, dla dowolnego $p>0$, że funkcje całkowalne w $p$-tej potędze $L_p(\mu)$ tworzą podprzestrzeń wektorową $M(\mu)$. 
Natomiast tylko dla $p\geq 1$, przestrzenie $L_{p}(\mu)$ wyposażone są w naturalną normę (\cite{conway_func}, \cite{sztencel}).
\begin{thm} 
Dla każdego $p\geq 1$ przestrzeń 
$L_{p}(\mu)$ jest przestrzenią Banacha z normą 
\begin{equation*}\label{eq:p_norm}
\|\xi\|_p:= \left(\int_{\Omega} |\xi|^p \, d\mu \right)^{\frac{1}{p}}
\end{equation*}
\end{thm}
W niniejszej pracy skupimy się wyłącznie na przypadku, gdy $p\geq 1$. 
Nierówność trójkąta dla  normy \eqref{eq:p_norm} nazywana jest \emph{nierównością Minkowskiego} \cite{conway_func, rudin_funk}.
W dowodzie nierówności Minkowskiego,  jak i w opisie przestrzeni dualnej  do $L_{p}(\mu)$ kluczową rolę odgrywa nierówność H\"oldera (patrz \cite{conway_func, rudin_funk}).
\begin{thm}[Nierówność H\"oldera]\label{thm:Holder's_inequality}
Dla dowolnych $1<p,q <\infty$ takich, że $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ oraz dowolnych funkcji $\xi \in L_p(\mu)$ i $\eta\in L_q(\mu)$  zachodzi
\begin{equation*}\label{eq:Holders_inequality}
\|\xi\cdot \eta\|_1 \leq \|\xi\|_{p} \cdot \|\eta\|_q,
\end{equation*}
 w szczególności, $\xi \cdot \eta \in L_1(\mu)$. W nierówności  \eqref{eq:Holders_inequality} równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy   $|\xi|^p$ i $|\eta|^q$ są liniowo zależne (jako elementy $L_1(\mu)$)
\end{thm}
O liczbach spełniających równanie $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ mówimy, że są one \emph{sprzężone h\"olderowsko}. 
\begin{thm}[Przestrzeń dualna do $L_p$] \label{thm:dual_to_L_p}
Niech  $1<p,q < \infty$ będą sprzężone h\"olderowsko. Dla dowolnej przestrzeni z miarą $(\Omega, \FF, \mu)$ mamy naturalny izomorfizm
\begin{align*}
L_p(\mu)^*\cong  L_q(\mu).
\end{align*}
 Dokładniej,  
$f\in  L_p(\mu)^*$  $\Longleftrightarrow$ istnieje $\xi \in L_q(\mu)$ takie, że 
\begin{align*}
f(\eta)=\int_{\Omega} \eta \cdot  \xi \, d\mu,\qquad \eta\in L_p(\mu).
\end{align*}
Ponadto wtedy $\xi$ jest jednoznacznie wyznaczone przez $f$ oraz $\|f\|=\|\xi\|_q$. 
\end{thm}

Przestrzeń $L_p(\mu)$ jest wyposażona w częściowy porządek zadany przez stożek \emph{funkcji dodatnich} (nieujemnych)
$$
L_p(\mu)_+:=\{\xi\in L_p(\mu): \xi\geq 0\,\,\mu\text{-prawie wszędzie}\}.
$$
Mianowicie przyjmujemy oznaczenie 
$$
\xi\leq \eta  \, \, \stackrel{def }{\Longleftrightarrow} \, \,   \eta -\xi \in  L_p(\mu)_+  \, \, \Longleftrightarrow \, \,   \eta -\xi\geq 0\,\,\mu\text{-prawie wszędzie}.
$$
Rozważmy najpierw przypadek rzeczywisty, tzn. załóżmy chwilowo, że $\F=\R$. Wtedy częściowy porządek na $L_p(\mu)$ 
jest po prostu nierównością $\mu$-prawie wszędzie. %, tzn. \begin{align*} \xi \leq \eta \,\, \iff\,\,  \xi \leq \eta \,\,\mu\text{-prawie wszędzie}\, \, \iff\,\,  \mu(\{\omega: \xi(\omega)>\eta(\omega)\}=0. \end{align*}
Ponadto para $(L_p(\mu), \leq)$ jest kratą. Przypomnijmy, że zbiór częściowo uporządkowany $(L,\leq)$ jest \emph{kratą}, jeżeli każda para elementów $u, v \in L$  posiada kres dolny $\inf\{u,v\}=u\wedge v\in L$ i górny $\sup\{u,v\}=u\vee v\in L$.  
W dalszej części pracy będziemy się odwoływać do pojęcia kraty. W przypadku przestrzeni $L_p(\mu)$, dla $\xi, \eta\in  L_p(\mu)$ mamy
$$
\xi \vee \eta = \max\{\xi, \eta\}, \quad \xi \wedge \eta= \min\{\xi, \eta\}.
$$
Są to elementy przestrzeni $L_p(\mu)$ ponieważ
$
|\max\{\xi, \eta\}|^p,  |\min\{\xi, \eta\}|^p\leq |\xi|^p +|\eta|^p
$ oraz $|\xi|^p +|\eta|^p\in L_1(\mu)$. W szczególności 
$$
|\xi|=\xi \vee (-\xi)
$$
i rzeczywista przestrzeń $L_p(\mu)$ z porządkiem $\leq$ jest kratą Banacha. %, tzn.
%\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
%\item   $\xi\leq \eta$ $\Longrightarrow$   $\xi+\zeta\leq \eta+\zeta$,
%\item  $\xi\geq 0$, $\alpha \geq 0$  $\Longrightarrow$   $\alpha \xi \geq 0$,
%\item $|\xi|\leq |\eta|$ $\Longrightarrow$ $\|\xi\|_p\leq \|\eta\|_p$,
%\end{enumerate}
%dla dowolnych $\xi, \eta, \zeta \in L_p(\mu)$ i $\alpha\in \R$.
 %, bo spełnione są
\begin{dfn}
\emph{Rzeczywistą kratą Banacha} nazywamy rzeczywistą przestrzeń Banacha $V$, która jednocześnie jest kratą z częściowym porządkiem $\leq$ oraz 
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
\item %$\forall_{x,y,z\in V}$\quad  
$x\leq y$ $\Longrightarrow$   $x+z\leq y+z$,
\item %$\forall_{x\in V, \alpha \in \R }$\quad  
$x\geq 0$, $\alpha\geq 0$ $\Longrightarrow$   $\alpha x \geq 0$,
\item $|x|\leq |y|$ $\Longrightarrow$ $\|x\|\leq \|y\|$,
\end{enumerate}
dla dowolnych $x, y, z \in V$ i $\alpha\in \R$, gdzie $|x|:=x \vee (-x)$.
\end{dfn}

Zespolone kraty Banacha definiuje się jako kompleksyfikacje rzeczywistych krat Banacha. % Niech $V$ będzie rzeczywistą przestrzenią liniową.
 Przypomnijmy, że
\emph{kompleksyfikacja  rzeczywistej przestrzeni liniowej }$V$ to zespolona przestrzeń $V_\C:=V\oplus V$, której elementy zapisujemy jako $x+iy$, $x,y\in V$, 
a strukturę liniową definiujemy wzorami
$$
(x+iy)+ (u+iv):= (x+u)+ i(y+v), \quad (a+ib)(x+iy)=(ax-by)+i(bx+ay),
$$  
gdzie $x,y,u,v\in V$, $a,b\in \R$. Jeśli $V$ jest rzeczywistą przestrzenią Banacha, to istnieje wiele różnych normy na $V_\C$ zgodnych z normą na $V$, przy których $V_\C$ jest zespoloną przestrzenią Banacha i  nie ma tu jednego uniwersalnego sposóbu. Na przykład, dla dowolnego $p\geq 1$ można zawsze położyć $\|x+iy\|:=(\|x\|^p+\|y\|^p)^{1/p}$.  Jednakże jeżeli $V$ jest rzeczywistą kratą  Banacha to istnieje naturalny wzór na normę w $V_\C$ wykorzystujący częściowy porządek.
\begin{thm}
Dla dowolnej kraty Banacha $V$ wzór
\begin{equation}\label{eq:lattice_complex_norm}
\|x+iy\|_\C:=\|\sup_{\theta\in[0,2\pi)} x\cos\theta +  y\sin\theta\|
\end{equation}
gdzie supremum jest wzięte w sensie częściowego porządku na $V$, jest poprawnie określoną normą na $V_\C$, przy której $V_\C$ jest przestrzenią Banacha.
\end{thm}
\begin{dfn}
\emph{Zespoloną kratą Banacha} nazywamy kompleksyfikację $V_\C$ rzeczywistej kraty Banacha $V$ wraz z normą zadaną wzorem \eqref{eq:lattice_complex_norm}.
\end{dfn}
\begin{exm}\label{exm:kompleksyfikacja_zespolonej_Lp}%[Zespolona przestrzeń $L_p$ jako kompleksyfikacja rzeczywistej przestrzeni $L_p$]
Zespolona przestrzeń $L_p^\C(\mu)$ jest zespoloną kratą Banacha, a dokładniej kompleksyfikacją rzeczywistej przestrzeni $L_p^\R(\mu)$,
której norma spełnia odpowiednik \eqref{eq:lattice_complex_norm}. 
Rzeczywiście jeśli $\zeta \in L_p^\C(\mu)$, to kładąc $\xi:=\Re \zeta$ oraz $\eta:=\Im \zeta$ mamy
$$
\zeta=\xi + i \eta, \qquad \text{gdzie}\qquad \xi, \eta \in  L_p^\R(\mu),
$$
bo $|\xi|^p, |\eta|^p\leq |\zeta|^p\in L_1(\mu)$. Z drugiej strony dla dowolnych $\xi, \eta \in  L_p^\R(\mu)$ kładąc 
$\zeta:=\xi + i \eta$ mamy $\zeta \in L_p^\C(\mu)$, bo $|\zeta|^p\leq 2^p\max\{|\xi|^p,|\eta|^p\}\in L_1(\mu)$. Zatem
$$
L_p^\C(\mu) =(L_p^\R(\mu))_{\C}.
$$
Ponadto zauważmy, że w każdym punkcie mamy $|\xi+ i\eta|=\sqrt{\xi^2+\eta^2}$ i kładąc $\alpha:=\frac{\xi}{\sqrt{\xi^2+\eta^2} }$ oraz $\beta:=\frac{\eta}{\sqrt{\xi^2+\eta^2} }$ mamy
$\alpha^2+\beta^2=1$. Zatem istnieje $\theta_0\in[0,2\pi)$ takie, że $\alpha=\cos\theta_0$ oraz $\beta=\sin\theta_0$. 
Stąd i z wzorów trygonometrycznych
\begin{align*}
\sup_{\theta\in[0,2\pi)} 
(\xi\cos\theta +  \eta\sin\theta)&=\sqrt{\xi^2+\eta^2}\sup_{\theta\in[0,2\pi)} 
(\frac{\xi}{\sqrt{\xi^2+\eta^2}}\cos\theta + \frac{\eta}{\sqrt{\xi^2+\eta^2}} \sin\theta)
\\
&=|x+iy|\sup_{\theta\in[0,2\pi)} 
(\alpha \cos\theta + \beta \sin\theta)
\\
&=|x+iy|\sup_{\theta\in[0,2\pi)} 
(\cos\theta_0 \cos\theta + \sin\theta_0 \sin\theta)
\\
&=|x+iy|\sup_{\theta\in[0,2\pi)} 
\cos(\theta-\theta_0)
=|x+iy|.
\end{align*}
Stąd 
$$
\|\xi+i \eta\|_{\C}=\||\xi+i\eta|\|_p= \left(\int_{\Omega} |\xi+i\eta|^p \, d\mu \right)^{\frac{1}{p}}=\|\xi+i\eta\|_p.
$$
\end{exm}

\section{Przestrzenie Hilberta i rzuty ortogonalne}

%\begin{dfn}\label{dfn:spo}
 \emph{Przestrzenią Hilberta} $\H$ nazywamy przestrzeń wektorową, nad ciałem $\F$ liczb rzeczywistych $\R$ lub zespolonych $\C$, wyposażoną w odwzorowanie (\emph{iloczyn skalarny}) $\langle\cdot ,\cdot\rangle: \H\times \H \to \F$ o następujących własnościach.  Dla dowolnych wektorów $x, y, z$ należących do przestrzeni $\H$ i dla dowolnych stałych $\alpha$, $\beta$ z ciała skalarów:
\begin{enumerate}[(P1)]
\item  $\langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle^{*}$ \hfill (\emph{sprzężona symetria}),
\item $\langle \alpha x + \beta y, z\rangle = \alpha \langle x,z\rangle + \beta \langle y,z\rangle$ \hfill (\emph{liniowość w pierwszym argumencie}),
\item $\langle x,x\rangle \geq 0$ \hfill (\emph{dodatnio-określoność}),
\item $\langle x,x\rangle=0 \iff x=0$ \hfill (\emph{niezdegenerowanie}).
\end{enumerate}
 Ponadto zakładamy, że przestrzeń ta jest przestrzenią zupełną  w normie, zadanej przez iloczyn skalarny wzorem
\begin{equation}\label{eq:Hilbert_space_norm}
\| x \| := \sqrt{\langle x,x\rangle}. 
\end{equation}
W szczególności każda przestrzeń Hilberta jest przestrzenią Banacha.
%\end{dfn}
\begin{rem}
Sprzężona symetria i liniowość w pierwszym argumencie implikują, że iloczyn skalarny jest \emph{antyliniowy w drugim argumencie}, tzn.  
$\langle z,   \alpha  x + \beta y\rangle = \alpha^*  \langle z, x\rangle + \beta^* \langle z, y\rangle$. Czyli iloczyn skalarny jest formą półtoraliniową. 
\end{rem}
%Dowód tego, że wzór zadaje \eqref{eq:Hilbert_space_norm} zadaje normę sprowadza się do wykazania nierówności trójkąta .
W  przestrzeni z  iloczynem skalarnym zachodzi \emph{nierówność Schwartza}
\begin{align}\label{eq:Schwartz_inequality}
|\langle x,y\rangle| \leq \| x \| \cdot \| y \|.
\end{align}
W szczególności nierówność trójkąta dla normy \eqref{eq:Hilbert_space_norm} łatwo wynika z nierówności \eqref{eq:Schwartz_inequality}.  Pozostałe własności normy wynikają łatwo z własności iloczynu skalarnego. Geometryczną tożsamością wyróżniającą przestrzenie Hilberta pośród przestrzeni Banacha, jest reguła równoległoboku
\begin{thm}[Tożsamość równoległoboku] Przestrzeń Banacha $\H$ jest przestrzenią Hilberta, tzn. istnieje iloczyn skalarny taki, że norma w $\H$ zadana jest wzorem \eqref{eq:Hilbert_space_norm}
wtedy i  tylko wtedy, gdy 
\begin{align}\label{rownoleglobok}
\| x+y \|^{2}+\| x-y \|^{2}=2 \| x\|^{2}+2 \| y \|^{2}.
\end{align}
dla dowolnych $x, y\in \H$
\end{thm}
\begin{rem}
Tożsamość równoległoboku mówi, że  \emph{suma kwadratów długości boków w równoległoboku jest równa} 
\emph{sumie kwadratów długości przekątnych}.
\end{rem}
\begin{exm} Przestrzeń $L_p(\mu)$, $p\geq 1$,  jest przestrzenią Hilberta  wtedy i tylko wtedy, gdy $p=2$ lub  $\dim (L_p(\mu))\leq 1$.
Rzeczywiście, łatwo jest zauważyć, że przestrzeń $L_2(\mu)$ jest przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym 
$$
\langle x , y \rangle =\int_{\Omega} x(t)\overline{y(t)}\, d\mu(t).
$$ 
Jeśli $\dim (L_p(\mu))\leq 1$, to $L_p(\mu)=L_2(\mu)$. Załóżmy zatem, że  $L_p(\mu)$  jest przestrzenią Hilberta oraz  $\dim (L_p(\mu))\> 1$.  Wtedy istnieją dwa zbiory rozłączne $A,B\in \FF$ takie, że $0<\mu(A),\mu(B)<\infty$.
Podstawiając $x:=\chi_{A}$ i $y=\chi_{B}$ do obu stron tożsamości równoległoboku dostajemy 
\begin{align*}
\text{L}&=\|x+y\|_p^2+\|x-y\|_p^2=\mu(A\cup B)^{\frac{2}{p}}+\mu(A\cup B)^{\frac{2}{p}}=2\mu(A\cup B)^{\frac{2}{p}},
\\
\text{P}&=2\left(\|x\|_p^2+\|y\|_p^2\right)= 2\left(\mu(A)^{\frac{2}{p}}+ \mu(B)^{\frac{2}{p}}\right).
\end{align*}
Dzieląc prawą stronę przez lewą otrzymujemy, $1=\left(\frac{\mu(A)}{\mu(A\cup B)}\right)^{\frac{2}{p}}+ \left(\frac{\mu(B)}{\mu(A\cup B) }\right)^{\frac{2}{p}}$. Czyli kładąc $\lambda_1:=\frac{\mu(A)}{\mu(A\cup B)}$ oraz $\lambda_2:=\frac{\mu(B)}{\mu(A\cup B)}$ dostajemy dwie liczby takie, że 
$
0< \lambda_1,\lambda_2 <1$ oraz $\lambda_1+\lambda_2=1=(\lambda_1)^{\frac{2}{p}}+(\lambda_2)^{\frac{2}{p}}.
$
Powyższe relacje mogą zachodzić tylko wtedy, gdy $p=2$, gdyż jeśli $p>2$ to  $\lambda_i > (\lambda_i)^{\frac{2}{p}}$, a
jeśli $p<2$ to $\lambda_i <(\lambda_i)^{\frac{2}{p}}$ dla $i=1,2$.
\end{exm}
\begin{rem}
Można pokazać, że każda przestrzeń Hilberta jest izometrycznie izomorficzna z pewną przestrzenią $L_2(\mu)$ (gdzie za $\mu$ można wziąć miarę liczącą).
Dlatego też przestrzenie $L_p(\mu)$ można traktować jako `przechylone' przestrzenie Hilberta i takie myślenie o tych przestrzeniach jest jedną z głównych idei przyświęcających niniejszej pracy. 
\end{rem}
Ustalmy teraz przestrzeń Hilberta $\H$. Dwa elementy $x,y \in \H$ nazywamy \emph{ortogonalnymi}, gdy $\langle x,y \rangle=0$, co oznaczać będziemy $x \perp y$. 
\begin{lem}[Twierdzenie Pitagorasa]\label{lem:pythagoras} 
Jeśli 
 $x\perp y$, to   $\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2$. Implikacja przeciwna zachodzi
jeżeli iloczyn skalarny $\langle x , y \rangle$ jest rzeczywisty.
\end{lem}
\begin{proof} Dla dowolnych wektorów z półtoraliniowości iloczynu skalarnego mamy
$\|x+y\|^2=\|x\|^2+2\re\langle x , y \rangle+\|y\|^2$ zatem tożsamość Pitagorasa zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy  $\re\langle x , y \rangle =0$.
\end{proof} 



Element $x \in \H$ jest \emph{ortogonalny do podprzestrzeni} $M$, gdy jest ortogonalny do każdego z jej elementów, co oznaczać będziemy $x \perp M$. Zbiór  elementów ortogonalnych do $M$ nazywamy \emph{dopełnieniem ortogonalnym $M$} i oznaczamy 
\begin{align*}
M^{\perp} =\{ x \in \H :   \langle x,y \rangle=0  \textrm{ dla każdego } y \in M\}.
\end{align*}
Z ciągłości i półtoraliniowości iloczynu skalarnego wynika,  że $M^{\perp} \subseteq \H$ jest domkniętą podprzestrzenią liniową. 
Dwie podprzestrzenie $M, N$ są do siebie ortogonalne, gdy dla każdej pary elementów $x \in M$, $y \in N$ zachodzi $\langle x,y\rangle=0$, piszemy wtedy $M \perp N$.
Oczywiście $M\perp M^{\perp}$.

\emph{Rzutem ortogonalnym} wektora $x\in H$ na podprzestrzeń $M\subseteq H$ nazywamy wektor $y\in M$ taki, że 
$x-y\perp M$. Piszemy wtedy $P_Mx=y$. Czyli 
$$ 
P_Mx=y  \quad\stackrel{def}{\Longleftrightarrow}\quad
\forall_{z\in M}\,\,\, \langle x-y,z \rangle=0.
$$
Rzut ortogonalny $P_Mx$  jeśli istnieje jest wyznaczony jednoznacznie! 
Rzeczywiście, jeśli $y,y'\in M$ takie, że  $\langle x-y,z \rangle=0$ oraz $\langle x-y',z \rangle=0$ dla każdego $z\in M$,
 to biorąc za $z=y-y'\in M$ oraz odejmując stronami poprzednie równości otrzymujemy $\langle y-y',y-y' \rangle=0$, skąd $y=y'$. 
Istnienie już jest faktem nietrywialnym:
\begin{thm}[O istnieniu rzutu ortogonalnego]\label{thm:existence_orthogonal_projection} \label{najlepsza_aprox}
 Dla dowolnej domkniętej podprzestrzeni  $M\subseteq \H$ przestrzeni Hilberta $\H$  oraz punktu $x\in \H$  istnieje rzut ortogonalny $y=P_Mx$.
Co więcej,  
\begin{equation}\label{eq:minimal_distance}
\|x-y\|=\inf_{z \in M} \|x-z\|
\end{equation}
i rzut ortogonalny $y$ wektora $x$ na $M$ jest przez równość \eqref{eq:minimal_distance}  wyznaczony jednoznacznie.
\end{thm}
\begin{proof} Najpierw wykażemy istnienie wektora $y\in M$ spełniającego \eqref{eq:minimal_distance}. Dowód ten wykorzystuje tylko wypukłość i domkniętość $M$. Oznaczmy 
$
\delta:=\inf_{z \in M} \|x-z\|.
$
Skonstruujmy ciąg $ \{z_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ taki, że $\| x  - z_{n} \|\ \xrightarrow{n \rightarrow \infty} \delta$. Z wypukłości $M$ wynika z kolei, 
że $\frac{1}{2}(z_{n}+z_{m}) \in M$, dla dowolnych $n,m \geq 1$. Wynika stąd następująca nierówność
\begin{align}\label{infimum_aprox}
\delta \leq \inf_{z \in M} \| x -\frac{1}{2}( z_{n}+z_{m})\|, \qquad n,m \geq 1.
\end{align}
Używając reguły równoległoboku dla $(x-z_{n})$ i  $(x-z_{m})$ otrzymujemy
\begin{align*}
\| z_{n}-z_{m} \|^{2}=2 \| x-z_{n}\|^{2}+2 \| x-z_{m} \|^{2}-4\| x-\frac{1}{2}(z_{n}+z_{m}) \|^{2}.
\end{align*}
Korzystając ze wzoru \eqref{infimum_aprox} możemy zatem zastąpić to wyrażenie nierównością
\begin{align*}
\| z_{n}-z_{m} \|^{2} \leq 2 \| x-z_{n}\|^{2}+2 \| x-z_{m} \|^{2}-4\delta^{2}.
\end{align*}
Z założenia  $\| x  - z_{n} \|$ i $\| x  - z_{m} \|$ zmierzają do  $\delta$. Stąd $\| z_{n} - z_{m} \| \xrightarrow{n,m \rightarrow \infty} 0$.
 Zatem ciąg $ \{z_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ jest fundamentalny, co ze względu na zupełność $\H$ i domkniętość $M$ gwarantuje nam istnienie $y \in M$ 
spełniającego \eqref{eq:minimal_distance}.

Niech $y \in M$ będzie dowolnym elementem spełniającym \eqref{eq:minimal_distance}.
Żeby zakończyć dowód wystarczy pokazać, że $x-y\perp M$, czyli $y=P_Mx$. Niech $z\in M$. Dla każdego $t\in \F$, 
$y+tz\in M$, bo $M$ jest przestrzenią liniową. Zatem 
$$
\|x-y\|^2\stackrel{\eqref{eq:minimal_distance}}{\leq} \|x-(y+tz)\|^2=\|(x-y)+tz\|^2
\stackrel{}{=}\|x-y\|^2-2 \re\left\langle x-y,tz \right\rangle 
+   |t|^2\| z \|^2.
$$
Stąd, po skróceniu przez $\|x-y\|^2$, dostajemy, że $|t|^2\| z \|^2-2 \re\left\langle x-y,tz \right\rangle \geq 0$ dla każdego $t\in \F$.
Kładąc $t=se^{i\varphi}$, gdzie $\varphi:=\arg \langle x-y,z \rangle$ i $s\in \R$ %\footnote{W przypadku rzeczywistym, tzn. gdy $\F=\R$, to $e^{i\varphi}=-1,1$} 
nierówność ta przyjmuje postać
$$
0\leq s^2|e^{i\varphi}|^2\| z \|^2-2 s \re(e^{-i\varphi}\left\langle x-y,z \right\rangle)=s^2\| z \|^2-2 s|\left\langle x-y,z \right\rangle|.
%\footnote{Jeśli $\F=\R$, to $e^{i\varphi}=\text{sign}\langle x-y,z \rangle\in \{ -1,1\}$ jest liczbą rzeczywistą, zatem powyższe obliczenia mają sens} 
$$
Czyli rzeczywista funkcja kwadratowa $f(s)=s^2\| z \|^2-2 s|\left\langle x-y,z \right\rangle|$ jest nieujemna i posiada miejsce zerowe dla $s=0$. 
Stąd jej wyróżnik $\Delta =4 |\langle x-y,z \rangle|^2$ musi być równy zero, 
czyli $\langle x-y,z \rangle=0$, tzn. $x-y\perp z$. 
\end{proof}

\begin{dfn} Dla dowolnej domkniętej podprzestrzeni liniowej $M\subseteq \H$ odwzorowanie  $P_M : \H \rightarrow M\subseteq \H$ nazywać będziemy \emph{rzutem ortogonalnym} na podprzestrzeń $M$.
\end{dfn}
\begin{cor}[Rozkład ortogonalny]\label{rozklad_ortogonalny}
Jeżeli $M$ jest domkniętą podprzestrzenią $\H$, to $1=P_M+P_{M^\bot}$, gdzie $1$ jest operatorem identycznościowym na $\H$. Innymi słowy
mamy
$$
\H=M\oplus M^\bot,
$$
czyli $\forall_{x\in H}\,\, {\exists!}_{y\in M} {\exists!}_{z\in M^\bot} \,\, x=y+z$.
\end{cor}
\begin{proof}
Niech $x\in \H$. Połóżmy $y:=P_Mx$ i $z:=x-y$. Wtedy $x=y+z$ oraz z definicji rzutu ortogonalnego $x-y \perp M$, tzn. $z\in M^\bot$. 
Skoro $x-z=y\in M$, to $x-y \perp M^\bot$ i stąd $z:=P_Mx$. 
Aby pokazać jednoznaczność tego rozkładu załóżmy, że  $x=y'+z'$ dla pewnego $y'\in M$ i $z'\in M^\bot$. Wtedy 
$y-y'\in M$, $z-z'\in M^\bot$ oraz $y-y'=z-z'$, ale $M\cap M^{\bot}=\{0\}$ (bo  jedynym wektorem ortogonalnym do samego siebie jest wektor zerowy).
Zatem $y=y'$ i $z=z'$.  
\end{proof}
\begin{prop}\label{prop:orthogonal_projetion_op}
Rzut ortogonalny $\H\ni x\to P_M x\in M\subseteq \H$ na domkniętą podprzestrzeń przestrzeni Hilberta jest kontraktywnym rzutem  liniowym (idempotentem). % o minimalnej normie, tzn.  $\|P_M\|=1$, chyba, że
% $P_M\equiv 0$ (równoważnie $M=\{0\}$) i wtedy $\|P_M\|=0$.
\end{prop}
\begin{proof}
Niech $x, y\in \H$ oraz $\alpha, \beta \in \F$. Chcemy wykazać, że  $P_M(\alpha x+\beta y)=\alpha P_M x+ \beta P_M y$. Z definicji rzutu ortogonalnego $P_M(\alpha x+\beta y)$ to jedyny element w $M$ taki, że $(\alpha x+\beta y) - P_M(\alpha x+\beta y)\perp M$.
Wystarczy zatem pokazać, że wektor $\alpha P_M x+ \beta P_M y$   ma te same własności. Jasne, że $\alpha P_M x+ \beta P_M y \in M$ bo $M$ przestrzeń liniowa.  
Korzystając z (półtora)liniowości iloczynu skalarnego, dla $z\in M$ mamy 
$$
\langle (\alpha x+\beta y) - (\alpha P_M x+ \beta P_M y), z\rangle 
=\alpha \langle x- P_M x,z\rangle +  
\beta \langle y - P_M y,z\rangle =0,
$$
 bo $x- P_M x$ oraz $y - P_M y$ są ortogonalne do $M$ z definicji rzutu.
Zatem  $(\alpha x+\beta y) - (\alpha P_M x+ \beta P_M y)\perp M$ 
i stąd  $P_M(\alpha x+\beta y)=\alpha P_M x+ \beta P_M y$.
%Z definicji rzutu orotogonalnego,

Aby wykazać ograniczoność operatora $P_M$ weźmy dowolny $x\in H$. Korzystając z  twierdzenia Pitagorasa 
oraz równości
$1=P_M+P_{M^\bot}$ otrzymujemy
$$
\|P_Mx\|^2\leq \|P_Mx\|^2 + \|P_{M^\bot}x\|^2\stackrel{\ref{lem:pythagoras}}{=}\|P_Mx+P_{M^\bot}x\|^2=\|x\|^2.
$$
Stąd $\|P_M\|\leq 1$. Jeżeli $P_M\neq 0$ to $M\neq \{0\}$ i istnieje $x\in M$ o normie $1$. 
Skoro $P_Mx=x$ to $\|P_M x\|=\|x\|=1$, czyli $\|P_M\|\geq 1$. Zatem $\|P_M\|=1$.
\end{proof}
Okazuje się, że kontraktywność i idempotentność charakteryzują rzuty ortogonalne. De facto istnieje wiele warunków charakteryzujących je, w tym warunki wykorzystujące sprzężenie operatorowe.
Przypomnijmy, że na mocy Twierdzenia Riesza przestrzeń dualną do przestrzeni Hilberta możemy utożsamić z wyjściową przestrzenią. 
Dokładniej,  dla dowolnej przestrzeni Hilberta $\H$
odwzorowanie 
$$
\H\ni y \longmapsto \langle \cdot, y\rangle \in H^*
$$
jest izometrycznym  izomorfizmem antyliniowym: $H\stackrel{anty}{\cong} H^*$.
W szczególności jeśli $\H$ i $\K$ są przestrzeniami Hilberta, to operator sprzężony do  $T\in \mathcal{B}(\H, \K)$
możemy utożsamić z  operatorem $T^*\in \mathcal{B}(\K,\H)$, który jest jednoznacznie wyznaczony przez warunek
\begin{align*}
\forall_{y\in \K, x\in \H}\qquad \langle Tx, y\rangle= \langle x, T^*y\rangle.
\end{align*}
Tak zdefiniowane sprzężenie operatorowe jest antyliniową i antymultiplikatywną inwolucją, tzn. zachodzą następujące własności algebraiczne
$$
(\alpha T+\beta S)^{*}=\overline{\alpha} T^{*}+\overline{\beta}S^{*},\quad (ST)^{*}=T^{*}S^{*}, \quad T^{**}=T.
$$
Natomiast ważnym związkiem geometrycznym między operatorem i jego sprzężeniem jest następujący fakt.
\begin{lem}[Twierdzenie o rozkładzie jądro-obraz]\label{wazny_lemat}
Dla każdego operatora ograniczonego $T\in \B(\H,\K)$, zachodzi 
\begin{align}\label{wlasnosc operatora} 
\mathcal{N}T^{*}=(\mathcal{R}T)^{\perp}.
\end{align}
\end{lem}
\begin{proof}
Niech $y \in \H$ spełnia $T^{*}y=0$. Wówczas  $y \in \mathcal{N}T^{*}$. Wtedy dla każdego elementu $x$ przestrzeni Hilberta mamy $\langle x, T^{*}y\rangle=0=\langle Tx, y  \rangle $. Ponieważ $Tx \in \mathcal{R}T$, zatem z własności iloczynu skalarnego $y \in (\mathcal{R}T)^{\perp}$. Dowód inkluzji przeciwnej jest natychmiastowy.
\end{proof}


Operator $T\in \B(\H)$ nazywamy 
\begin{enumerate}[(1)]
\item \emph{normalnym} jeżeli komutuje ze swoim sprzężeniem, czyli $T^*T=TT^*$,
\item \emph{samosprzężonym} jeżeli równa się swojemu sprzężeniu, czyli $T=T^*$,
\item \emph{dodatnim} jeżeli $T=S^*S$ dla pewnego $S\in B(\H)$.
\end{enumerate}
Z definicji tych wprost wynika, że każdy operator dodatni jest samosprzężony, a każdy samosprzężony jest normalny. Co więcej dla idempotentów
samosprzężoność i dodatniość są równoważne. W tym kontekście ważne jest następujące twierdzenie.
\begin{thm}[Pierwiastki dodatnie z operatorów dodatnich]\label{thm:positive_square}
Dla operatora  $T\in \B(\H)$ następujące warunki są równoważne
\begin{enumerate}[(1)]
\item $T$ jest dodatni
\item $\langle Tx, x\rangle \geq 0$ dla dowolnego $x\in \H$,
\item $T=S^2$ dla pewnego dodatniego operatora $S\in \B(\H)$ .
\end{enumerate}
Ponadto, jeśli powyższe równoważne warunki zachodzą, to operator $S$ jest wyznaczony jednoznacznie przez $T$. Oznaczamy go $T^{1/2}$ i nazywamy pierwiastkiem dodatnim z operatora $T$.
\end{thm}

Teraz jesteśmy gotowi przedstawić charakteryzacje rzutów ortogonalnych.
\begin{thm}[Charakteryzacje operatora rzutu ortogonalnego]\label{thm:orthogonal_projection_operator}
Niech $P:\H\to \H$  liniowy idempotent, tzn. $P^2=P$, na przestrzeni Hilberta $\H$. Następujące warunki są równoważne:
\begin{enumerate}[(1)]
\item\label{enu:orthogonal_projection_operator1} $P$ jest rzutem ortogonalnym (na swój obraz), 

\item\label{enu:orthogonal_projection_operator1.5}  $\mathcal{N}P=(\mathcal{R}P)^{\perp}$,
\item\label{enu:orthogonal_projection_operator2}  $\NN P \perp \RR P$,
\item\label{enu:orthogonal_projection_operator2.5} $\langle Px, x\rangle=\| Px \|^{2}$, dla dowolnego $x\in \H$, 

\item\label{enu:orthogonal_projection_operator3} $P$ jest samosprzężony, czyli $P=P^*$,

\item\label{enu:orthogonal_projection_operator3.5} $P$ jest normalny, czyli $PP^*=P^*P$,
\item\label{enu:orthogonal_projection_operator4} $P$ jest kontrakcją, czyli $\|P\|\leq 1$ (dokładniej $\|P\|=1$ jeśli $P\neq 0$).

\end{enumerate}
\end{thm} 
\begin{proof}
Implikacje 
\ref{enu:orthogonal_projection_operator1}$\Leftrightarrow$\ref{enu:orthogonal_projection_operator1.5}$\Rightarrow$\ref{enu:orthogonal_projection_operator2} są jasne.

\ref{enu:orthogonal_projection_operator2}$\Rightarrow$\ref{enu:orthogonal_projection_operator2.5}. Przypomnijmy, iż $\NN( P)=\RR (1-P)$ dla każdego rzutu, patrz Stwierdzenie \ref{lem:projection_Banach}. Zatem z założenia dostajemy, że $PM\perp (1-P)M$.
Stąd dla każdego  $x\in \H$  mamy
\begin{align*}
\langle Px, x\rangle=\langle Px, x+Px-Px\rangle=  \| Px\|^{2}+\langle Px, x-Px\rangle=\| Px \|^{2}.
\end{align*}

\ref{enu:orthogonal_projection_operator2.5}$\Rightarrow$\ref{enu:orthogonal_projection_operator3}. Z założenia operator $P$ jest dodatni, a więc samosprzężony.


\ref{enu:orthogonal_projection_operator3}$\Rightarrow$\ref{enu:orthogonal_projection_operator3.5}. Każdy operator samosprzężony jest normalny.

\ref{enu:orthogonal_projection_operator3.5}$\Rightarrow$\ref{enu:orthogonal_projection_operator1.5}. 
Każdy operator samosprzężony jest normalny. 


Załóżmy $P$ jest normalny. Wtedy \begin{align*}
\| Px \|^{2}=\langle Px, Px\rangle =\langle P^{*}Px, x\rangle=\langle PP^{*}x, x\rangle=\langle P^*x, P^*x\rangle = \| P^{*}x \|^{2}.
\end{align*}
Stąd $ \| Px \| = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\| P^{*}x \|=0$. Czyli  $\mathcal{N}P=\mathcal{N}P^{*}$.
Zatem z Lematu \ref{wazny_lemat} otrzymujemy  \ref{enu:orthogonal_projection_operator1.5}.


Wykazaliśmy, że warunki \ref{enu:orthogonal_projection_operator1}--\ref{enu:orthogonal_projection_operator3.5} są równoważne. 
Implikacja \ref{enu:orthogonal_projection_operator1}$\Rightarrow$\ref{enu:orthogonal_projection_operator4} wynika ze Stwierdzenia \ref{prop:orthogonal_projetion_op}.
 Zatem wystarczy wykazać implikację \ref{enu:orthogonal_projection_operator4}$\Rightarrow$\ref{enu:orthogonal_projection_operator1}. 

\ref{enu:orthogonal_projection_operator4}$\Rightarrow$\ref{enu:orthogonal_projection_operator1}. 
Pokażemy, że $P$ jest rzutem ortogonalnym na  $M:=\RR P=P\H$.
Z definicji trzeba pokazać, 
że $x-Px \perp M$ dla każdego $x\in \H$. Jest to równoważne inkluzji $\NN P \subseteq M^\bot$, bo $\NN P=(1-P)\H$. 
Weźmy zatem dowolne $x\in \NN P$ oraz $y\in M=\RR P$. Wtedy $Px=0$ oraz $Py=y$. Stąd dla każdego $t\in \F$ dostajemy
\begin{align*}
\|y\|^2&=\|Py+tPx\|^2=\|P(y+tx)\|^2
\\
&\stackrel{\|P\|\leq 1}{\leq} \|y+tx\|^2\stackrel{}{=} 
\|y\|^2+ 2\re t\langle x, y\rangle + |t|^2\|x\|^2.
\end{align*}
Podobnie jak w dowodzie Twierdzenia \ref{thm:existence_orthogonal_projection} implikuje to, że $\langle x, y\rangle=0$. 
Rzeczywiście, kładąc $t=se^{-\mathrm{i}\varphi}$, gdzie $\varphi:=\arg \langle x, y\rangle$ i $s\in \R$, powyższa nierówność
oznacza, że rzeczywista funkcja kwadratowa 
$f(s)=2 s|\langle x, y\rangle| + s^2\|x\|^2\geq 0$ jest nieujemna. Stąd $\langle x, y\rangle=0$, co należało dowieść.
\end{proof}

\begin{rem}
Przedstawiona wyżej charakteryzacja rzutu ortogonalnego \ref{enu:orthogonal_projection_operator1}$\Leftrightarrow$\ref{enu:orthogonal_projection_operator4} odwołuje się wyłącznie do własności idempotentności i normy operatorowej. Oba te pojęcia mają sens w ogólnych przestrzeniach Banacha. W szczególności, o rzutach kontraktywnych w przestrzeniach Banacha można myśleć jako o uogólnieniach  rzutów ortogonalnych. Takie myślenie jest osią niniejszej pracy.
\end{rem}



\chapter{Izometrie częściowe w przestrzeniach Banacha}

Zanim przejdziemy do właściwiej części pracy polegającej na charakteryzacji izometrii częściowych w przestrzeniach $L_{p}$, przedstawimy podstawowe definicje i charakteryzacje izometrii częściowych  w ogólnych  przestrzeniach Banacha. Rozdział ten ma również na celu stworzenie pewnych intuicji związanych z tym pojęciem, pozwalających na umotywowanie dla dalszych kroków, które zostaną podjęte. W pierwszej części rozdziału rozpatrzymy klasyczny przypadek izometrii częściowych w przestrzeniach Hilberta, szeroko opisany w podręcznikach analizy funkcjonalnej \cite{conway_func, mlak, rudin_funk}

\section{Izometrie częściowe w przestrzeniach Hilberta}
Rozważmy operator $T\in B(\H,\K)$ między dwiema przestrzeniami Hilberta. 
Przypomnijmy, że $T$ jest \emph{izometrią} jeżeli zachowujące normę elementów, czyli $\|Tx\|=\|x\|$. W oczywisty sposób każda liniowa izometria jest operatorem ograniczonym o normie równej 1.
Mamy następujące charakteryzacje izometrii.
\begin{prop}[Charakteryzacje izometrii]\label{prop:isometry_characterisation}
Dla dowolnego operatora $T\in B(\H,\K)$ w przestrzeniach Hilberta, następujące warunki są równoważne:
\begin{enumerate}[(1)]
\item\label{prop:isometry_characterisation1} $T$ jest izometrią,
\item\label{prop:isometry_characterisation2} $T$ zachowuje iloczyn skalarny,
\item\label{prop:isometry_characterisation3} $T^*T=1$.
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}
\ref{prop:isometry_characterisation1}$\Rightarrow$\ref{prop:isometry_characterisation2}. Niech $T$ będzie izometrią. Wówczas dla $x,y \in \H$ i $\alpha \in \F$ 
mamy
$
\| x + \alpha y \|^{2}=\| Tx + \alpha Ty \|^{2}.
$
Z definicji iloczynu skalarnego mamy
\begin{align*}
\| x \|^{2} + 2\re \alpha^{*} \langle x,y\rangle + \abs{\alpha}^{2}\| y \|^{2}=\| Tx \|^{2} + 2\re \alpha^{*} \langle Tx,Ty\rangle + \abs{\alpha}^{2}\| Ty \|^{2}.
\end{align*}
Korzystając z izometryczności $T$ mamy stąd  $\re \alpha^{*} \langle x,y\rangle= \re \alpha^{*} \langle Tx,Ty\rangle$ dla dowolnego $\alpha\in \F$. Kładąc $\alpha=1$ lub $\alpha=\mathrm{i}$ dostajemy   $\langle x,y\rangle=\langle Tx,Ty\rangle$.

\ref{prop:isometry_characterisation2}$\Rightarrow$\ref{prop:isometry_characterisation3}. Dla dowolnego $x,y\in \H$ mamy $\langle T^*Tx,y\rangle=\langle Tx,Ty\rangle= \langle x,y\rangle$, skąd
$$
\|x-T^*Tx\|^2=\langle x,x\rangle - \langle T^*Tx,x\rangle - \langle x,T^*Tx\rangle + \langle T^*Tx,T^*Tx\rangle=0,
$$
czyli $T^*T=1$.


\ref{prop:isometry_characterisation3}$\Rightarrow$\ref{prop:isometry_characterisation1}.
$\|Tx\|^2=\langle T x,Tx\rangle=\langle T^*T x,x\rangle=\langle  x,x\rangle=\|x\|^2$
\end{proof}

Zauważmy, że operator $T^*$ sprzężony do izometrii jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy operator $T$ jest unitarny, tzn.
$$
1=T^*T=TT^*,
$$
czyli  gdy $T$ jest odwracalną izometrią (wtedy $T^*$ jest izometrią do niej odwrotną). W przestrzeniach Hilberta nieskończonego wymiaru istnieją nieodwracalne izometrie, co oznacza, że pojęcie izometrii jest w pewnym sensie `niesymetryczne'. Ogólniejsze izometrie częściowe nie mają tej wady.
\begin{dfn} Operator $T\in B(\H,\K)$ nazwiemy \emph{izometrią częściową} jeżeli dla każdego elementu $x\in \NN(T)^\perp$  należącego do dopełnienia ortogonalnego jądra operatora $T$ zachodzi 
\begin{align*}
\| Tx \| = \| x \|.
\end{align*}
Podprzestrzeń $\mathcal{N}(T)^{\perp}\subseteq \H$ nazywamy \emph{przestrzenią inicjalną} $T$, a podprzestrzeń $\mathcal{R}T\subseteq \K$ \emph{przestrzenią finalną}  izometrii częściowej $T$.
\end{dfn}
\begin{thm}[Charakteryzacja izometrii częściowych]\label{charak_part_izom}
Dla dowolnego operatora $T\in B(\H,\K)$ w przestrzeniach Hilberta, następujące warunki są równoważne
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
\item $T$ jest izometrią częściową,
\item $T^{*}$ jest izometrią częściową,
\item $T^{*}T$ jest rzutem,
\item $TT^{*}$ jest rzutem,
\item  $TT^{*}T=T$,
\item $T^{*}TT^{*}=T^{*}$.
\end{enumerate}
Ponadto jeśli te równoważne warunki zachodzą, to  $T^{*}T$ jest rzutem na przestrzeń inicjalną $T$, a $TT^{*}$ rzutem na przestrzeń finalną $T$.
\end{thm}
\begin{proof}
Dowód przeprowadzimy w trzech krokach. W kroku pierwszym wykażemy równoważność punktów \emph{(3)--(6)}. W kroku drugimy wykażemy równoważność dwóch pierwszych punktów z pozostałymi.
A w trzecim kroku omówimy pozostałą część tezy 

\textbf{I}. $(\mathit{3}) \Rightarrow (\mathit{5})$ Niech $T^{*}T$ będzie rzutem (operatorem idempotetnym). Rozważmy następujące wyrażenie
\begin{align*}
(TT^{*}T-T)^{*}(TT^{*}T-T)=&(T^{*}TT^{*}-T^{*})(TT^{*}T-T) \\=& T^{*}TT^{*}TT^{*}T-T^{*}TT^{*}T-T^{*}TT^{*}T+T^{*}T \\=& T^{*}T-T^{*}T-T^{*}T+T^{*}T=0.
\end{align*}
Stąd $TT^{*}T=T$. 

$(\mathit{5}) \Rightarrow (\mathit{6})$ Załóżmy, że zachodzi  $TT^{*}T=T$.  Stosując sprzężenie hermitowskie na tym wyrażeniu  otrzymujemy $T^{*}TT^{*}=T^{*}$.  

$(\mathit{6}) \Rightarrow (\mathit{4})$ Załóżmy, że $T^{*}TT^{*}=T^{*}$. Mnożąc lewostronnie przez $T$ otrzymujemy $TT^{*}TT^{*}=TT^{*}$.  Następnie zauważmy, że $(TT^{*})^{*}=TT^{*}$. Zatem $TT^{*}$ jest operatorem samosprzężonym. Korzystając z Twierdzenia \ref{thm:orthogonal_projection_operator} otrzymujemy wniosek, że $TT^{*}$ jest rzutem. 

$(\mathit{4}) \Rightarrow (\mathit{3})$ Załóżmy, że $TT^{*}$ jest rzutem i rozważmy wyrażenie 
\begin{align*}
(T^{*}TT^{*}-T^{*})^{*} (T^{*}TT^{*}-T^{*})=& (TT^{*}T-T)(T^{*}TT^{*}-T^{*}) \\=&  TT^{*}TT^{*}TT^{*}-TT^{*}TT^{*}-TT^{*}TT^{*}+TT^{*}
\end{align*}
Ponieważ $TT^{*}$ jest rzutem oznacza to, że $T^{*}TT^{*}=T^{*}$. Prawostronne pomnożenie przez $T$ dowodzi, że $T^{*}T$ jest idempotentem. Z drugiej strony $(T^{*}T)^{*}=T^{*}T$. Zatem $T^{*}T$ jest również rzutem, co kończy pierwszą część dowodu. 

\textbf{II}. $(\mathit{1}) \Rightarrow (\mathit{5})$ Niech $T$ będzie izometrią częściową, $x \in \H$ i $y \in \mathcal{N}T$. Wówczas zachodzi
\begin{align*}
\langle T^{*}TT^{*}x,y\rangle=\langle TT^{*}x,Ty\rangle=0=\langle x,Ty \rangle=\langle T^{*}x,y \rangle.
\end{align*}
Korzystając z \eqref{wlasnosc operatora} i własności dopełnienia ortogonalnego otrzymujemy, że 
 $(\mathcal{N}T)^{\perp}=\overline{\mathcal{R}T^{*}}$.
Zatem dla  $y \in (\mathcal{N}T)^{\perp}= \overline{\mathcal{R}T^{*}}$ mamy 
\begin{align*}
\langle T^{*}TT^{*}x,y\rangle=\langle TT^{*}x,Ty\rangle=\langle T^{*}x,y\rangle,
\end{align*}
z faktu, że $T^{*}x \in \overline{\mathcal{R}T^{*}}$ oraz z izometryczności $T$ na dopełnieniu ortogonalnym jądra. Ponieważ przestrzeń Hilberta da się przedstawić w postaci sumy prostej podprzestrzeni i jej dopełnienia ortogonalnego zatem zachodzi $T^{*}TT^{*}=T^{*}$.

$(\mathit{2}) \Rightarrow (\mathit{6})$ Dowód dla implikacji, że jeżeli $T^{*}$ jest izometrią częściową to zachodzi  $TT^{*}T=T$ otrzymujemy analogicznie jak powyżej.

$(\mathit{4}) \Rightarrow (\mathit{1})$ Załóżmy, że $TT^{*}$ jest rzutem i $x \in  (\mathcal{N}T)^{\perp}= \overline{\mathcal{R}T^{*}}$. Weźmy ciąg elementów $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ należących do $\H$, taki, że
\begin{align*}
\lim_{n \rightarrow \infty}T^{*}x_{n}=x
\end{align*}
Wówczas
\begin{align*}
\| Tx \|^{2} = \lim_{n \rightarrow \infty}\| TT^{*}x_{n} \|^{2} =  \lim_{n \rightarrow \infty}\langle  TT^{*}x_{n}, TT^{*}x_{n}\rangle 
= \lim_{n \rightarrow \infty}\langle  (TT^{*})^{2}x_{n},x_{n} \rangle  & \\ 
= \lim_{n \rightarrow \infty}\langle  TT^{*}x_{n},x_{n}\rangle =  \lim_{n \rightarrow \infty}\langle  T^{*}x_{n},T^{*}x_{n}\rangle
 =  \lim_{n \rightarrow \infty}\| T^{*}x_{n} \|^{2}=\| x \|^{2}.
\end{align*}
Zatem $T$ jest izometrią częściową. 

$(\mathit{3}) \Rightarrow (\mathit{2})$ Zakładając, że $T^{*}T$ jest rzutem, dowodzimy w analogiczny sposób, że $T^{*}$ jest izometrią częściową, co ostatecznie dowodzi równoważności wszystkich punktów.

\textbf{III}. Założmy, że $T$ jest izometrią częściową. Czyli zachodzą równoważne warunki \emph{(1)--(6)}.
Zacznijmy od wykazania, że obraz $\RR(T)$ jest domknięty. Weźmy element $x_{0} \in \overline{\mathcal{R}T}$ i ciąg $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ taki, że $Tx_{n} \xrightarrow{n \rightarrow \infty} x_{0}$. Korzystając z udowodnionych własności mamy
\begin{align*}
T(T^{*}x_{0})=\lim_{n \rightarrow \infty}TT^{*}(Tx_{n})=\lim_{n \rightarrow \infty}Tx_{n} =x_{0}
\end{align*}
co dowodzi domkniętości obrazu izometrii częściowej. Weźmy $x \in \mathcal{R}T$ wtedy $x=Ty$ dla pewnego $y \in \H$. Stąd
$
TT^{*}x=TT^{*}Ty=Ty=x.
$ Czyli obraz rzutu $TT^{*}$ zawiera  $\RR(T)$.
Z kolei jeżeli $x \in (\mathcal{R}T)^{\perp} = \mathcal{N}T^{*}$ to wtedy $TT^{*}x=0$. Stąd $TT^{*}$ jest rzutem na $\mathcal{R}T$. 
Przez symetrię $T^*T$ jest rzutem na $\mathcal{R}(T^*)$. 
Ale  $\mathcal{R}(T^*)=\NN(T)$ na mocy Lematu \ref{wazny_lemat} i domkniętości $\mathcal{R}(T^*)$.
\end{proof}


Udowodnione powyżej własności izometrii częściowych pozwalają traktować je jako przekształcenia unitarne pomiędzy dowolnymi podprzestrzeniami domkniętymi przestrzeni Hilberta (odpowiednio przestrzenią inicjalną i finalną), co w poglądowy sposób przestawia Rysunek \ref{fig}. To z kolei umożliwia przedstawienie operatora izometrii częściowej jako złożenia dwóch operatorów rzutu $P_{S_{i}}: \H \rightarrow S_{i}$ na przestrzeń inicjalną i operatora unitarnego pomiędzy przestrzeniami inicjalną i finalną $U: S_{i} \rightarrow S_{f}$. Prowadzi to do obserwacji, że szczególnymi przypadkami izometrii częściowych są izometrie i rzuty. Co ważniejsze takie podejście pozwala na uogólnienie pojęcia izometrii częściowej na przestrzenie Banacha.

\begin{figure}[h]
\centerline{\includegraphics[scale=0.3]{rysunek1.png}}
\caption{Schemat działania operatorów izometrii częściowej}
\label{fig}
\end{figure}

\section{Izometrie częściowe w przestrzeniach Banacha}

Definicję izometrii częściowej w dowolnej przestrzeni Banacha zaproponował Mbekhta w pracy \cite{mbekhta}.
Punktem wyjścia dla jego definicji jest następująca charakterystyka \cite[3.1, 3.3]{mbekhta} izometrii częściowych w przestrzeni Hilberta $\H$, która wykorzystuje jedynie
strukturę przestrzeni Banacha i bazuje na pojęciu odwrotności uogólnionej. 
\begin{dfn}
\emph{Odwrotnością uogólnioną} operatora $T \in \B(V,W)$  między przestrzeniami Bancha $V$, $W$ nazywamy taki operator $S \in \B(W,V)$, dla którego zachodzą związki
\begin{equation}\label{partial isometry general inverse}
TST=T,\qquad STS=S.
\end{equation}
\end{dfn}



\begin{thm}\label{thm:partial_iso_contraction_characterisation} Operator $T\in \B(\H,\mathcal{K})$ na przestrzeniach Hilberta $\H$, $\mathcal{K}$  jest izometrią częściową wtedy i tylko wtedy, gdy 
 $T$ jest kontrakcją oraz istnieje kontrakcja $S\in \B(\mathcal{K},\H)$ będąca odwrotnością uogólnioną $T$.

Ponadto, jeśli te równoważne warunki zachodzą, to $S=T^*$. 
\end{thm}
\begin{proof} "Konieczność". Jeśli $T$ jest izometrią częściową to na mocy Twierdzenia \ref{charak_part_izom} operator $S:=T^*$ jest również izometrią częściową i zachodzą relacje  \eqref{partial isometry general inverse}.

"Dostateczność". Załóżmy, że $T,S$ są kontrakcjami spełniającymi \eqref{partial isometry general inverse}.
Zauważmy najpierw, że $\|T\|=\|S\|=1$. Rzeczywiście, $\|T\|= \|TST\| \leq \| T\| \|S\|$  implikuje, że  $\|S\| \geq 1$,
a zatem $\|S\|=1$. Ten sam argument pokazuje, że $\|T\|=1$. 
Niech teraz  $x\in\mathcal{K}$. Wtedy $\|Sx\| =\|STSx\|\leq \|TSx\|\leq \|Sx\|$, a  zatem $\|TSx\| = \|Sx\|$. 
Stąd 
\begin{equation}\label{eq:partial_isometry_positiv_op}
\langle (I - T^*T)Sx,Sx \rangle = \|Sx\|^2 -\|TSx\|^2=0.
\end{equation}
Ponieważ $T$ jest kontrakcją, to operator  $I - T^*T$ jest dodatni (patrz Twierdzenie \ref{thm:positive_square}).  Niech $(I-T^*T)^{\frac{1}{2}}$ będzie jego pierwiastkiem dodatnim.
Na mocy  \eqref{eq:partial_isometry_positiv_op}  dla każdego $x\in \H$ dostajemy
$
\|(I-T^*T)^{\frac{1}{2}} Sx\|^2=\langle (I - T^*T)Sx,Sx \rangle = 0,
$ czyli  $(I-T^*T)^{\frac{1}{2}} S=0$. Stąd 
$(I-T^*T) S=0$. Równoważnie $S = T^*TS$. 
Stąd i \eqref{partial isometry general inverse} z otrzymujemy, że 
\begin{align*}
T = TST = T (T^*T S)T = T T^*(T ST) = TT^*T,
\end{align*}
co na mocy Twierdzenia \ref{charak_part_izom} dowodzi, że $T$ jest izometrią częściową. 

Żeby wykazać, że $S=T^*$, zauważmy że przez symetrię naszych założeń $S$ jest izometrią częściową oraz $T= S^*ST$ (w powyższym rozumowaniu możemy zamienić rolami $S$ i $T$).
Poza tym wykazana powyżej relacja $\|TSx\| = \|Sx\|$ dla $x\in \H$, oznacza, że przestrzeń finalna $S$ jest zawarta w przestrzeni inicjalnej $T$. 
Zatem $T=TSS^*$. Stąd
\begin{align*}
T= S^*STSS^*=S^*SS^*=S^*, 
\end{align*}
co dowodzi, że $S=T^*$.
\end{proof}
\begin{dfn}\label{defn:partial_isometry_Banach}
Powiemy, że operator $T \in \B(V)$ na przestrzeni Banacha $V$ jest \emph{izometrią cześciową}  jeżeli $T$ jest kontrakcją oraz posiada uogólnioną odwrotność $S\in\B(V)$, również będącą kontrakcją. 
Kontrakcje $T$ i $S$ spełniające \eqref{partial isometry general inverse} będziemy  nazywać wzajemnie \emph{sprzężonymi  izometriami częściowymi}.
Izometrie częściowe sprzężone z izometriami będziemy nazywać\emph{ ko--izometriami}.
\end{dfn}
\begin{rem}
Na mocy Twierdzenia \ref{thm:partial_iso_contraction_characterisation}, jeśli $V=\H$ jest przestrzenią Hilberta, to wprowadzone powyżej pojęcia izometrii częściowej oraz sprzężenia pokrywają się z klasycznymi terminami hilbertowskimi. Izometria częściowa na przestrzeni Banacha może być sprzężona z dwoma różnymi izometriami częściowymi (patrz  Przykład  \ref{operator przesuniecia na l_p}).
Nie każda izometria na przestrzeni Banacha jest izometrią częściową (patrz Przykład \ref{ex:Ditor}).
Istnieją przestrzenie Banacha, nie będące przestrzeniami Hilberta, dla których każda izometria jest izometrią częściową. Jak pokażemy w dalszej części pracy, do takich przestrzeni należą  przestrzenie typu $L^p$, $1\leq p < \infty$. 
\end{rem}
W przestrzeniach Banacha interpretacja geometryczna izometrii częściowych, analogiczna do tej w przestrzeni Hilberta (patrz strona \pageref{fig}) jest możliwa. 
W szczególności, wyjaśnia ona niejednoznaczność sprzężenia tychże operatorów. Aby to unaocznić  przytoczymy tu nieco rozszerzoną wersję  \cite[Proposition 4.2]{mbekhta}, a następnie zobrazujemy to twierdzenie na przykładzie.  




%\begin{prop}\label{Stw_izo_czesc}
%Niech $T \in \mathcal{B}(X)$ będzie izometrią częściową, wówczas istnieje podprzestrzeń $M$ taka, że $X=M \oplus \mathcal{N}T$ oraz $T$ działa jak izometria na $M$.
%\end{prop}




\begin{thm}\label{thm:partial_isometries_structure}
Niech $T\in \mathcal{B}(V,W)$ będzie operatorem działającym w przestrzeniach Banacha $V$, $W$. Następujące warunki są równoważne

\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
\item T jest izometrią częściową,

\item  istnieją rzuty $P$ i $Q$ o normie $1$  odpowiednio na obraz i dopełnienie jądra operatora $T$ oraz 
$T$ jest izometrią na obrazie $Q$, 

\item jądro $\NN(T)$ ma dopełnienie, na którym $T$ jest izometrią oraz istnieje rzut o normie 1 na obraz $\RR(T)$ operatora T.
\end{enumerate}
Ponadto, jeśli $T$ jest  izometrią częściową, to relacje 
$
\RR(ST)=M$, $TS=P
$
ustalają bijektywną odpowiedniość między izometriami częściowymi $S$ sprzężonymi z $T$ oraz parami $(M,P)$, gdzie $M$ jest dopełnieniem jądra $\NN(T)$, a $P$ jest kontraktywnym rzutem na obraz $\RR(T)$ operatora $T$. 

\end{thm}

\begin{proof}
$\mathit{(1)}\Rightarrow\mathit{(2)}$.  Niech $S\in \B(W,V)$ będzie izometrią częściową sprzężoną z $T$. Połóżmy $Q:=ST$ oraz $P:=TS$. Zauważmy, że są to kontrakcje.
Korzystając wyłącznie z definicji odwrotności uogólnionej  
(tzn. relacji \eqref{partial isometry general inverse}) otrzymujemy, że 
\begin{align*}
Q=ST=(STS)(TST)=S(TST)ST=(ST)(ST),
\end{align*}
stąd $Q$ jest rzutem. Analogicznie rzutem jest również $P$. Zatem $Q$ i $P$ są rzutami o normie $1$. 
Jasnym jest, że $\RR(P)=\RR(TS)\subseteq \RR(T)$. Z drugiej strony jeśli $x \in \RR(T)$, to $x=Ty$ dla pewnego $y\in V$ i stąd $x=Ty=(TS)Ty \in \RR(TS)=\RR(P)$.
Zatem $P$ jest rzutem na obraz $\RR(T)$ operatora $T$. 

Podobnie jasne jest, że $\NN(T)\subseteq \NN(Q)=\NN(ST)$. Natomiast jeśli $x \in \NN(Q)$, to  $Tx=T(ST)x=0$. Zatem $\mathcal{N}(Q)=\NN(T)$. 
Czyli $Q$ jest rzutem na pewne dopełnienie jądra operatora $T$. 
Ponadto dla $x\in \RR(Q)$ mamy 
\begin{align*}
\|x\|=\|Qx\|=\|STx\| \leq \|Tx\| \leq \|x\|,
\end{align*}
skąd $\|Tx\|=\|x\|$. Zatem $T$ jest izometrią na obrazie rzutu $Q$. 

$\mathit{(2)}\Rightarrow\mathit{(3)}$. Implikacja ta jest oczywista, gdyż $M:=\RR(Q)$ jest dopełnieniem jądra $\NN(T)$.


$\mathit{(3)}\Rightarrow\mathit{(1)}$. 
Niech $M$ oznacza  dopełnienie jądra $\NN(T)$, na którym $T$ jest izometrią. Zauważmy, że istnienie takiego dopełnienia implikuje, że $T$ jest kontrakcją.
Niech $P$ będzie kontraktywnym rzutem na obraz $\RR(T)$. Skoro $T:M\to \RR(T)=\RR(P)$ jest odwracalną izometrią, to możemy zdefiniować operator $S\in \B(W,V)$ wzorem
\begin{align*}
Sy:=T|_{M}^{-1} (Py), \qquad y\in W. 
\end{align*}
Jest to kontrakcja (jako złożenie dwóch kontrakcji), której obraz to $M$. Ponadto 
$TS=TT|_{M}^{-1} P = P$ i stąd 
\begin{align*}
TST= PT=T  \text{ oraz }  STS= SP=S. 
\end{align*}
Zatem $T$ i $S$ są sprzężonymi izometriami częściowymi. Ponadto
\begin{align*}
Q:=ST=T|_{M}^{-1} P T= T|_{M}^{-1}T
\end{align*}
jest kontraktywnym rzutem na $M$. 
\end{proof}

\begin{rem}  Bijektywna odpowiedniość między częściowymi operatorami $S$ sprzężonymi z izometrią częściową $T$, a parami $(M,T)$ opisana w Twierdzeniu \ref{thm:partial_isometries_structure}, na ogół nie przenosi się na pary kontraktywnych rzutów $(Q,P)$, gdzie 
$\NN(Q)=\NN(T)$ i $\RR(P)=\RR(T)$. To znaczy dla każdej izometrii częściowej $S$ sprzężonej z $T$, operatory
\begin{align*}
Q=ST,\qquad P=TS,
\end{align*}
są rzutami o tych własnościach, ale na ogół nie każda para kontraktywnych rzutów $(Q,P)$ takich, że 
$\NN(Q)=\NN(T)$ i $\RR(P)=\RR(T)$, jest powyższej postaci (patrz  Przykład \ref{rxm:operator przesuniecia na l_p again}).
\end{rem}

\begin{cor}\label{cor:invertible_isometries}
Każda odwracalna izometria $T \in \B(V,W)$ jest izometrią częściową oraz jedyną izometrią częściową sprzężoną z $T$ jest izometria $T^{-1}\in \B(W,V)$.
\end{cor}

\begin{exm}[Izometrie nie będące izometriami częściowymi]\label{ex:Ditor}
Niech $V=C(\Omega)$ będzie przestrzenią funkcji ciągłych na zwartej przestrzeni metrycznej $\Omega$ z normą maksimum. Dla ustalonego odwzorowania ciągłego $\varphi:\Omega\to \Omega$ operator kompozycji 
\begin{align*}
Tf:= f\circ \varphi, \qquad f\in C(\Omega)
\end{align*}
jest poprawnie określoną kontrakcją $T\in \B(V)$. Operator $T$  jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy $\varphi$ jest surjekcją. 
Załóżmy, że $T$ jest izometrią. Na mocy Twierdzenia Ditora kontraktywny rzut na obraz $\RR(T)$ operatora $T$ istnieje 
wtedy i tylko wtedy, gdy $\varphi$ posiada \emph{cięcie}, tzn. odwzorowanie $\Phi:\Omega\to  \{\text{niepuste i domknięte podzbiory }\Omega\}$ spełniające
\begin{align*}
\Phi(t)\subseteq \varphi^{-1}(t) \text{   dla każdego }t\in \Omega,
\end{align*}
które dodatkowo jest \emph{półciągłe z dołu} to znaczy, że dla każdego otwartego podzbioru $A\subseteq \Omega$ zbiór 
$\{t\in \Omega: A\cap \Phi(t)\neq \emptyset\}$ jest otwarty w $\Omega$. 
\begin{figure}[h] 
\centerline{\includegraphics[scale=0.4]{stairs.png}}
\caption{Diabelskie schody Cantora}
\label{fig2}
\end{figure}\\
Biorąc $\Omega:=[0,1]$ oraz dowolną ciągłą surjekcję $\varphi:[0,1]\to [0,1]$, która jest stała na jakimś  przedziale $[a,b]\subseteq [0,1]$  i kładąc $A=(a,b)$ widzimy, że
żadne cięcie $\varphi$ nie może być półciągłe z dołu. Zatem dla takich odwzorowań operator $T$ jest izometrią, która nie jest cześciową izometrią.
Skrajnym przypadkiem takiego odwzorowania $\varphi$ są tak zwane \emph{diabelskie schody Cantora} -- wykres jest przedstawiony na Rysunku  \ref{fig2}.
\end{exm}

\begin{exm}[Niejednoznaczność sprzężenia izometrii częściowej]\label{operator przesuniecia na l_p} Rozpatrzmy klasyczny, jednostronny  operator przesunięcia $T_{\N}$ działający w przestrzeni $V=\ell_p(\N)$, $ p\in [1, \infty]$:
\begin{align*}
T(x(1),x(2),x(3)...)=(x(2),x(3),...).
\end{align*}
Oczywiście $T$ jest izometrią częściową w sensie Definicji \ref{defn:partial_isometry_Banach}. Jedynym rzutem takim, że $T(V)=V$ jest operator identycznościowy oraz gdy $p<\infty$ jedynym dopełnieniem podprzestrzeni $\NN T$, na którym operator $T$ jest izometrią jest podprzestrzeń
%\begin{equation}\label{podprzestrzeń M}
\begin{align*}
M=\{x\in V: x(1)=0\}.
\end{align*}
%\end{equation}
Zatem, gdy $V=\ell_p(\N)$ dla $p < \infty$ jedyną izometrią częściową sprzężoną z $T$ jest  operator prawostronnego przesunięcia
\begin{align*}
S(x(1),x(2),...)=(0,x(1),x(2),...).
\end{align*}
W przypadku, gdy $V=\ell_\infty(\N)$, sytuacja się zmienia i dopełnienia jądra $T$, na których $T$ jest izometrią można poindeksować  elementami kuli jednostkowej przestrzeni dualnej $V^*$: 
\begin{align*}
M_f=\{x\in \ell_\infty(\N): x(1)=f(x(2),x(3),...)\},\qquad f \in V^*, \,\, \|f\|\leq 1.
\end{align*}
Zatem wszystkie izometrie częściowe sprzężone z $T:V \to V$ są postaci
\begin{align*}
S_f x = (f(x),x(1),x(2),...),\qquad f \in V^*, \,\, \|f\|\leq 1.  
\end{align*}
Zatem jest ich tyle ile unormowanych miar Radona na uzwarceniu $\check{\textrm{C}}$echa-Stone'a $\beta(\N)$\label{cecha stone'a przestrzen} przestrzeni dyskretnej $\N$, czyli tyle co unormowanych miar skończenie addytywnych na $\N$.
\end{exm}

\begin{exm}[Rzut kontraktywny na dopełnienie jądra nie pochodzący od sprzężonej izometrii częściowej]\label{rxm:operator przesuniecia na l_p again}
Wracając do oznaczeń z Przykładu \ref{operator przesuniecia na l_p} zauważmy, że w przypadku, gdy $V=\ell_1(\N)$ to dla każdego elementu $f:\F\to \ell_1(\N)$, $\|f\|_1\leq 1$, wzór 
\begin{align*}
Q_fx=  STx + x(1) S f=   (0, x(2),x(3),...) + x(1)(0, f(1),f(2),f(3),...)
\end{align*} 
definiuje kontraktywny rzut na $M$ (de facto wszystkie kontraktywne rzuty na $M$ są tej postaci). 
Ale izometria $S$ jest jedyną izometrią częściową sprzężoną z $T$ oraz $TS=Q_0$. 
Natomiast każdy operator $T_f:=TQ_{f}$ jest ko-izometrią sprzężoną z $S$ (wszystkie izometrie częściowe sprzężone z $S$ są tej postaci) oraz $T_fS=Q_f$.   
\end{exm}

\chapter{Operator warunkowej wartości oczekiwanej}

Z przytoczonych do tej pory ogólnych opisów izometrii częściowych w przestrzeniach Banacha,  jasno wynika, że chcąc otrzymać charakteryzację takich operatorów w przestrzeniach $L_{p}$, potrzeba najpierw zrozumieć strukturę rzutów kontraktywnych oraz izometrii w przestrzeniach $L_{p}$. W dowodach twierdzeń opisujących rzuty kontraktywne w przestrzeniach $L_{p}$, szczególnie użyteczne jest sięgnięcie po operatorową charakteryzację   warunkowej wartości oczekiwanej. Ze względu na istotną rolę tego pojęcia w zastosowaniach matematyki-- szeroko omówionego m. in \cite{biling, sztencel}, w poniższym rozdziale skupimy się wyłącznie na tym zadaniu. To znaczy omówimy podstawowe własności  warunkowej wartości oczekiwanej działającej na rzeczywistej przestrzeni $L_{1}(\mu)$ z miarą skończoną i przedstawimy jej charakteryzację jako rzutu kontraktywnego zachowującego funkcję stałą.  Dowód tego ostatniego twierdzenia oprzemy na pracy Douglasa \cite{douglas}.  Następnie poprzez kompleksyfikację pokażemy, że charakteryzacja ta przenosi się również na przypadek zespolony.

\section{Warunkowa wartość oczekiwana}
Zazwyczaj warunkową wartość oczekiwaną definiuje się dla zmiennych losowych na przestrzeni probabilistycznej (patrz \cite{biling, sztencel}), czyli dla funkcji mierzalnych na przestrzeni z miarą unormowaną do jedynki.
Zarówno definicja jak i własności warunkowej wartości oczekiwanej przenoszoną się bez żadnych zmian na dowolne 
przestrzenie z miarą skończoną i takie będziemy tu rozpatrywać  (patrz \cite{rao}).
\begin{dfn}\label{WWOdef}
Niech $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ będzie przestrzenią z miarą skończoną i niech $\mathcal{M}$ będzie $\sigma$-podalgebrą $\mathcal{F}$.  \emph{Warunkową wartością oczekiwaną} %(w skrócie \emph{WWO}) 
całkowalnej funkcji $\xi:\Omega\to \R$ względem $\sigma$-algebry $\mathcal{M}$  nazywamy całkowalną funkcję $\EE^{\mathcal{M}}(\xi) : \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ taką, że
\\

 (WWO1)  $\EE^{\mathcal{M}}(\xi)$ jest  $\mathcal{M}$-mierzalna
\\

(WWO2) Dla każdego zbioru $A$ należącego do $\sigma$-algebry $\mathcal{M}$ zachodzi
\begin{align*}
\int_{A}\EE^{\mathcal{M}}(\xi)d\mu=\int_{A}\xi d\mu.
\end{align*}
\end{dfn}
\begin{exm}
Jeśli $\sigma$-algebra $\mathcal{M}$ jest generowana przez przeliczalne  rozbicie $\{A_n\}_{n=1}^N$, $N\in \N\cup\{\infty\}$, przestrzeni $\Omega$ na zbiory o mierze niezerowej, 
tzn. $\Omega=\bigsqcup_{n=1}^N A_n$ oraz $\mu(A_n)>0$ dla dowolnego $n$, to dla każdego $\xi \in L_{1}(\mu)$ wzór
\begin{align*}
\EE^\MM(\xi)= \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{\mu(A_n)}    \int_{A_n} \xi\, d\mu \cdot \chi_{A_n}
\end{align*}
definiuje warunkową wartość oczekiwaną $\xi$ względem $\MM$. 
Rzeczywiście, ponieważ $\{A_n\}_{n=1}^N\subseteq \MM$, to $\EE^\MM$ jest funkcją $\MM$-mierzalną wprost z definicji. 
Jako że $\MM$ jest generowana przez przeliczalne rozbicie $\{A_n\}_{n=1}^N$, to każdy zbiór $A\in \MM$ jest przeliczalną sumą $A=\bigsqcup_{i\in I}A_{n_i}$ pewnych elementów  tego rozbicia i wtedy 
\begin{align*}
 \int_{A}\EE^{\mathcal{M}}(\xi)d\mu=\sum_{i\in I} \int_{A_{n_i}}\EE^{\mathcal{M}}(\xi)d\mu=\sum_{i\in I} \int_{A_{n_i}}\xi\, d\mu=   \int_{A}\xi d\mu.
\end{align*}
Zatem $\EE^{\mathcal{M}}(\xi)$ spełnia (WWO1) i (WWO2). W szczególności wynika stąd, że $\EE^{\MM}(\xi) \in L_{1}(\mu)$ jest funkcją całkowalną, gdyż
\begin{align*}
 \int_{\Omega}\EE^{\MM}(\xi)^{\pm} d\mu=\int_{\{ \pm \EE^{\MM}(\xi)>0\}}\EE^{\mathcal{M}}(\xi) d\mu =\int_{\{\pm \EE^{\mathcal{M}}(\xi)>0 \}}\xi d\mu \leq   \int_{\Omega}|\xi| d\mu<\infty.
\end{align*}
W drugiej równości zastosowaliśmy (WWO2)  do $A=\{\omega: \pm \EE^{\MM}(\xi)(\omega)>0\}$, które należy do $\MM$ na mocy (WWO1).
\end{exm}
Na ogół nie da się wypisać jawnego wzoru na warunkową wartość oczekiwaną i dlatego definiujemy ją za pomocą własności (WWO1), (WWO2).
\begin{thm}\label{thm:WWO_existance}
Warunkowa wartość oczekiwana $\EE^{\MM}(\xi)$ istnieje i jest wyzna\-czona jednoznacznie $\mu$-prawie wszędzie,
 dla każdej rzeczywistej funkcji całkowalnej   $\xi$ na przestrzeni z miarą skończoną $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ i  każdej $\sigma$-algebry $\MM \subseteq \FF$. 
\end{thm}

\begin{proof}"Istnienie". Istnienie warunkowej wartości oczekiwanej wynika z Twierdzenia  Radona-Nikod\'yma. Mianowicie, 
 funkcja $\nu: \MM \rightarrow \R$ dana wzorem
\begin{align*}
\nu(A) = \int_{A}\xi\, d\mu, \qquad A\in \MM, 
\end{align*}
jest miarą znakową (ładunkiem), czyli funkcją $\sigma$-addytywną 
\begin{align*}
\nu(\bigsqcup_{n=1}^\infty A_n)=\int_{\bigsqcup_{n=1}^\infty A_n}\xi\, d\mu=\sum_{n=1}^\infty \int_{A_n}\xi \,d\mu =\sum_{n=1}^\infty\nu( A_n).
\end{align*}
Ponadto, jeśli $\mu(A)=0$  dla $A\in \MM$, to  $\nu(A)=0$. Stąd miara znakowa $\nu$ jest absolutnie ciągła względem miary $\mu|_{\MM}$ obciętej do $\sigma$-algebry $\MM$. 
Zatem stosując  twierdzenie Radona-Nikod\'yma \cite{biling} do miar $\nu$ i $\mu|_{\MM}$ na $(\Omega,\MM)$ dostajemy wniosek, że istnieje  $\MM$-mierzalna (de facto $\mu|_{\MM}$-całkowalna) funkcja 
$\frac{d\nu}{d{\mu|_{\MM}}}:\Omega \to \R$, zwana \emph{pochodną Radona-Nikod\'yma}, taka, że
\begin{align*}
\nu(A) = \int_{A}\frac{d\nu}{d{\mu|_{\MM}}}\, d\mu|_{\MM}\quad  \text{ dla każdego }A\in \MM.
\end{align*}
Jednakże, każda funkcja $\eta$ która jest $\mu|_{\MM}$-całkowalna, jest $\mu$-całkowalna oraz $\int_{\Omega}\eta\, d\mu|_{\MM}=\int_{\Omega}\eta\, d\mu$.
Stąd pochodna $\frac{d\nu}{d{\mu|_{\MM}}}$ jest $\mu$-całkowalna oraz dla $A\in \MM$
\begin{align*}
\int_{A}\frac{d\nu}{d{\mu|_{\MM}}}\, d\mu=\int_{A}\frac{d\nu}{d{\mu|_{\MM}}}\, d\mu|_{\MM}=\nu(A)=\int_{A}\xi\, d\mu.
\end{align*}
Zatem pochodna Radona-Nikod\'yma $\EE^{\mathcal{M}}(\xi):=\frac{d\nu}{d{\mu|_{\MM}}}$ spełnia warunki (WWO1) i (WWO2) w  Definicji \ref{WWOdef} i jest warunkową wartością oczekiwaną. Alternatywny dowód istnienia bazujący na metodach przestrzeni Hilberta przedstawiony jest w podręczniku \cite{sztencel}.

"Jednoznaczność". Aby wykazać jednoznaczność warunkowej wartości oczekiwanej załóżmy, że  $\eta$, $\tilde{\eta}$ są dwoma wariantami warunkowej wartości oczekiwanej $\xi$ pod warunkiem $\mathcal{M}$.
Wtedy zbiór $A:=\{t: \eta(t) < \tilde{\eta}(t) \}$ należy do $\mathcal{M}$, bo obie funkcje $\eta$, $\tilde{\eta}$ są $\MM$-mierzalne na mocy (WWO1). 
Zatem korzystając z (WWO2) otrzymujemy
\begin{align*}
\int_{A}\eta d\mu=\int_{A}\xi d\mu=\int_{A}\tilde{\eta}d\mu.
\end{align*}
Stąd $
\int_{A}(\tilde{\eta}-\eta)d\mu=0$.  Ale $\tilde{\eta}-\eta > 0$ na $A=\{t: \eta(t) < \tilde{\eta}(t) \}$ i całka za funkcji nieujemnej wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy ta funkcja jest równa zero $\mu$-prawie wszędzie.  Stąd $\mu(A)=0$, czyli $\eta\geq \tilde{\eta}$ $\mu$-prawie wszędzie.
Sytuacja jest symetryczna. Zatem zamieniając $\eta$ i $\tilde{\eta}$ miejscami, otrzymujemy $\eta\geq \tilde{\eta}$ $\mu$-prawie wszędzie, skąd 
ostatecznie $\eta= \tilde{\eta}$ $\mu$-prawie wszędzie.
\end{proof}
\begin{rem} Definicja warunkowej wartości oczekiwanej ma sens dla dowolnych miar. Jednakże dla dowolnych miar nieskończonych $\EE^{\mathcal{M}}(\xi)$ może nie istnieć. Istnienie warunkowej wartości oczekiwanej jest ściśle związane z zachodzeniem dla miar twierdzenia Radona-Nikodyma (patrz również \cite{samuels})
%Z dowodu Twierdzenia \ref{thm:WWO_existance} widzimy, że warunkowa wartość oczekiwana będzie istnieć zawsze dla miar, dla których zachodzi Twierdzenie 
%Radona-Nikod\'yma.
\end{rem}
Niech  $L_{1}(\mu)$ będzie rzeczywistą przestrzenią funkcji całkowalnych na pewnej przestrzeni z miarą $(\Omega, \FF, \mu)$. 
Dla każdej  $\sigma$-algebry $\MM\subseteq \FF$ mamy
\begin{align*}
L_{1}(\mu|_{\MM})=\{\xi\in L_{1}(\mu): \, \xi \text{ jest }\MM\text{ mierzalna}\}.
\end{align*}
Zatem $L_{1}(\mu|_{\MM})$ związana z przestrzenią  $(\Omega, \MM, \mu|_{\MM})$ jest podprzestrzenią przestrzeni $L_{1}(\mu)$. 
 Twierdzenie \ref{thm:WWO_existance} mówi, że jeżeli $\mu$ jest skończona, to warunkowa wartość oczekiwana poprawnie zadaje 
odwzorowanie 
\begin{align*}
 L_{1}(\mu )\ni \xi \stackrel{}{\longmapsto} \EE^{\mathcal{M}}(\xi)\in L_{1}(\mu|_{\MM})\subseteq  L_{1}(\mu ).
\end{align*}
%Odwzorowanie $\EE^{\mathcal{M}}: L_{1}(\mu )\to  L_{1}(\mu )$ będziemy nazywać warunkową wartością względem $\MM$.
Warunkowa wartość oczekiwana posiada wiele dobrych własności
\begin{thm}%[Własności warunkowej wartości oczekiwanej]
\label{thm:properties_of_WWO}
Niech $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ będzie przestrzenią z miarą skończoną i niech $\MM \subseteq \FF$ $\sigma$-algebra. 
Warunkowa wartość oczekiwana $\EE^{\mathcal{M}} : L_{1}(\mu) \rightarrow L_{1}(\mu)$ jest liniowym rzutem na podprzestrzeń $L_{1}(\mu|_{\MM})$. 
Ponadto
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]

\item\label{enu:properties_of_WWO1} $\EE^{\mathcal{M}}$ jest \emph{dodatni}, czyli $\xi \geq 0$ $\implies$ $\EE^{\mathcal{M}}(\xi) \geq 0$.
Zatem $\EE^{\mathcal{M}}$ jest \emph{monotoniczny}, to jest $\xi \leq \eta$ $\implies$ $\EE^{\mathcal{M}}(\xi) \leq \EE^{\mathcal{M}}(\eta) $,
 oraz $|\EE^{\mathcal{M}}(\xi)| \leq \EE^{\mathcal{M}}(|\xi|)$.

\item\label{enu:properties_of_WWO2} $\EE^{\mathcal{M}}$ jest \emph{kontraktywny}, co więcej $\|\EE^{\mathcal{M}}\|=1$. 
\item\label{enu:properties_of_WWO3} $\EE^{\mathcal{M}}$ jest \emph{wierny}, czyli $\xi \geq 0$ i $\EE^{\mathcal{M}}(\xi) = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\xi=0$.

\item\label{enu:properties_of_WWO4} $\EE^{\mathcal{M}}$ jest odwzorowaniem $L_{\infty}(\mu|_{\MM})$-\emph{modułowym}\footnote{$L_{\infty}(\mu|_{\MM})$, wraz z mnożeniem zadanym  punktowo jest pierścieniem (de facto algebrą) i  mnożenie przez elementy $L_{\infty}(\mu|_{\MM})$ zadaje strukturę modułu na $L_1(\mu)$ i na $L_{1}(\mu|_{\MM})$}  tzn. dla dowolnej $\MM$-mierzalnej funkcji istotnie ograniczonej  $\eta$ mamy
\begin{align*}
\EE^{\mathcal{M}}(\xi\cdot \eta )= \EE^{\mathcal{M}}(\xi)\cdot \eta.  
\end{align*}

\item\label{enu:properties_of_WWO5} $\EE^\MM$ zachowuje funkcję stałą (jedynkę), tzn. $\EE^{\MM}(1)=1$, gdzie $1=\chi_{\Omega}  $ jest funkcją tożsamościowo równą jeden.
\end{enumerate}
\end{thm}
\begin{proof}
"Liniowość". Niech $\xi, \eta \in  L_{1}(\mu)$ i $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$. Zauważmy, że $\alpha \EE^\MM(\xi) +\beta \EE^\MM(\eta)$ jest funkcją $\MM$-mierzalną  jako kombinacja
liniowa funkcji $\MM$-mierzalnych. Czyli $\alpha \EE^\MM(\xi) +\beta \EE^\MM(\eta)$ spełnia (WWO1). Ponadto, dla dowolnego $A\in \MM$ mamy
\begin{align*}
\int_{A}\alpha \EE^\MM(\xi) +\beta \EE^\MM(\eta)\, d\mu&=\alpha \int_{A}\EE^\MM(\xi)\, d\mu +\beta \int_{A}\EE^\MM(\eta)\, d\mu
\\
&=\alpha \int_{A}\xi\, d\mu +\beta \int_{A}\eta\, d\mu
\\
&=\int_{A}\alpha  \xi +\beta \eta\, d\mu.
\end{align*}
Zatem $\alpha \EE^\MM(\xi) +\beta \EE^\MM(\eta)$ spełnia (WWO2) dla $\alpha  \xi +\beta \eta$. 
Stąd $\alpha \EE^\MM(\xi) +\beta \EE^\MM(\eta)=\EE^\MM(\alpha  \xi +\beta \eta)$. To dowodzi liniowości $\EE^\MM$. 

"Rzut". Jeśli $\xi\in L_1(\mu|_{\MM})$, to $\xi$ jest $\MM$-mierzalna, czyli spełnia (WWO1) i wtedy $\EE^\MM(\xi)=\xi$, bo w oczywisty sposób każda funkcja spełnia (WWO2) dla siebie samej. Zatem $\EE^\MM$ jest identycznością na swoim obrazie $L_1(\mu|_{\MM})$. Zatem na mocy Definicji \ref{def:projection} jest rzutem na $L_1(\mu|_{\MM})$.

\ref{enu:properties_of_WWO1}  Jeśli $\xi \geq 0$, to dla każdego $A\in \MM$ całka $\int_{A} \EE^\MM(\xi)\, d\mu= \int_{A} \xi\, d\mu\geq 0$ jest nieujemna. 
$\EE^\MM(\xi)$ jest $\MM$-mierzalna, więc wynika stąd, że $ \EE^\MM(\xi)$ jest nieujemna $\mu$-prawie wszędzie i $ \EE^\MM(\xi)\geq 0$ w $L_1(\mu)$. 
Zatem $\EE^\MM$ jest dodatni.  
Z dodatniości wynika monotoniczność $\EE^\MM$. Rzeczywiście, $\xi \leq \eta$ oznacza, że $ \eta-\xi\geq 0$, a stąd $\EE^\MM(\eta-\xi)\geq 0$, co modulo liniowość
oznacza, że $\EE^\MM(\xi) \leq \EE^\MM(\eta)$.  
Z monotoniczności $\EE^\MM$ oraz relacji
$-|\xi| \leq \xi \leq |\xi|$ otrzymujemy $-\EE^\MM(|\xi|) \leq \EE^\MM(\xi) \leq \EE^\MM(|\xi|)$, co oznacza, że 
$|\EE^\MM(\xi)|\leq \EE^\MM(|\xi|)$.
 
\ref{enu:properties_of_WWO2}   
Korzystając nierówności $|\EE^\MM(\xi)|\leq \EE^\MM(|\xi|)$, monotoniczności całki oraz stąd, że $\Omega \in \MM$  mamy
\begin{align*}
\| \EE^{\mathcal{M}}\xi \|_{1}=\int_{\Omega}\left|\EE^\MM\xi \right| d\mu \leq \int_{\Omega}\EE^\MM|\xi| d\mu \stackrel{(WWO2)}{=}\int_{\Omega}|\xi| d\mu=\|\xi\|_{1}.
\end{align*}
Zatem $\EE^\MM$ jest kontrakcją, czyli $\|\EE^\MM\|\leq 1$. Jako, że $\EE^\MM$ jest niezerowym rzutem, to $\|\EE^\MM\|\geq 1$. Ostatecznie $\|\EE^\MM\|=1$.

\ref{enu:properties_of_WWO3} "Dostateczność". Niech $\xi=0$. Zauważmy, że funkcja tożsamościowo równa 0, spełnia warunki (WWO1) i (WWO2).

 "Konieczność". Niech $\xi \geq 0$ i $\EE^\MM\xi=0$. 
Wtedy $\int_\Omega \xi d\mu= \int_\Omega \EE^\MM(\xi) d\mu=0$, skąd  $\xi = 0$.

\ref{enu:properties_of_WWO4}  Zauważmy, że obie strony równości $\EE^\MM(\xi\eta)= \eta \EE^\MM(\xi)$ spełniają (WWO1) -- ponieważ $\eta$ jest $\MM$-mierzalna. Następnie wykażemy spełnianie warunku (WWO2). Niech $\eta = \chi_{A}$ i $B \in \MM$. Wówczas 
\begin{align*}
\int_{B}\chi_{A}\EE^\MM\xi d\mu = \int_{B\cap A}\EE^\MM\xi d\mu = \int_{B \cap A} \xi d\mu = \int_{B}\chi_{A} \xi d\mu.
\end{align*}
Jeżeli $\eta$ jest funkcją prostą to równość jest spełniona, ze względu na liniowość warunkowej wartości oczekiwanej. Następnie, niech $\eta$ będzie nieujemną zmienną losową, wówczas będzie istniał niemalejący ciąg $\{\zeta_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ zbieżny do $\eta$ prawie na pewno. Rozbijmy $\xi = \xi^{+}-\xi^{-}$ i zastosujmy poprzedni wynik do $\zeta_{n}$ i $\xi^{+}$ mamy $$\EE^\MM(\zeta_{n}\xi^{+})=\zeta_{n}\EE^{\MM}\xi^{+}.$$ Zatem korzystając z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej \cite{halmos1} mamy $\EE^\MM(\eta\xi^{+})=\eta \EE^{\MM}\xi^{+}.$ Analogiczne rozumowanie możemy przeprowadzić dla $\xi^{-}$, co z liniowości warunkowej wartości oczekiwanej dowodzi własności dla funkcji nieujemnej. Stosując metodę standardowej komplikacji możemy pokazać, że własność jest spełniona dla $\eta = \eta^{+}-\eta^{-}$ co kończy dowód.

\ref{enu:properties_of_WWO5} Funkcja stała $1=\chi_{\Omega}$ jest mierzalna względem każdej $\sigma$-algebry i jako że rozpatrywana miara jest skończona, to funkcja ta jest też całkowalna. Zatem $1\in L_1(\mu|_{\MM})$ należy do obrazu $\EE^\MM$. Stąd $\EE^{\MM}(1)=1$.
\end{proof}

\section{Warunkowa wartość oczekiwana jako rzut kontraktywny.}

Celem niniejszego  podrozdziału jest dowód następującej charakteryzacji 
warunkowych wartości oczekiwanych pochodzącej z pracy Douglasa \cite{douglas}.
\begin{thm}[Douglas, 1965]\label{thm:Douglas}
Niech $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ będzie przestrzenią z miarą skończoną. Operator 
 $E : L_{1}(\mu) \rightarrow L_{1}(\mu)$  jest operatorem warunkowej wartości oczekiwanej pod warunkiem pewnej $\sigma$-algebry $\mathcal{M}\subseteq \FF$ wtedy i tylko wtedy, gdy $E$ kontraktywnym rzutem zachowującym $1$.
\end{thm}

Na mocy Twierdzenia \ref{thm:properties_of_WWO} każda warunkowa wartość oczekiwana jest kontraktywnym rzutem zachowującym $1$. Trudność polega na pokazaniu implikacji przeciwnej. W tym celu ustalmy przestrzeń $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ z miarą skończoną. Wykażemy najpierw trzy niezależne Lematy eksploatujące strukturę kraty  Banacha  na rzeczywistej przestrzeni  $L_{1}(\mu)$. %ma Struktura kraty będzie pełnić kluczową rolę w naszych rozumowaniach.
% a zatem dla każdej $\sigma$-algebry $\MM\subseteq \FF$ przestrzeń $L_1(\mu|_{\MM})$  jest nie tylko domkniętą podprzestrzenią $L_1(\mu)$, ale też jest podkratą.  
 
\begin{lem}\label{LEM23} 
Dla dowolnej $\sigma$-algebry $\mathcal{M} \subseteq \mathcal{F}$ przestrzeń $
\mathfrak{M}= L_{1}(\mu|_{\mathcal{M}})
$ jest  podkratą Banacha przestrzeni $L_{1}(\mu)$ zawierającą funkcję stałą. Ponadto, każda podkrata Banacha  $\mathfrak{M}\subseteq L_1(\mu)$
zawierająca $1$ jest tej postaci. % dla pewnej $\sigma$-algebry $\mathcal{M} \subseteq \mathcal{F}$.
\end{lem}
\begin{proof}
Pierwsza część tezy jest jasna -- struktura kraty Banacha na przestrzeni $L_{1}(\mu|_{\mathcal{M}})$ pokrywa się z tą odziedziczoną z $L_1(\mu)$. 
W szczególności funkcja tożsamościowo równa $1$ jest $\MM$-mierzalna i całkowalna, więc $1\in L_{1}(\mu|_{\mathcal{M}})$.

Załóżmy zatem, że $\mathfrak{M}\subseteq L_{1}(\mu)$ jest dowolną domkniętą podkratą 
zawierającą $1$.  Wykażemy,  że  odpowiednią $\sigma$-algebrę można zdefiniować wzorem 
\begin{align*}
\MM := \{A \in \FF : \chi_{A} \in \mathfrak{M}\}.
\end{align*}
Z założenia, że  $1=\chi_{\Omega} \in \mathfrak{M}$ mamy $\Omega\in \MM$. Jeśli $A \in \MM$, czyli $\chi_{A} \in \mathfrak{M}$, to 
$
\chi_{A'}=\chi_{\Omega\setminus A}=\chi_{\Omega} - \chi_{A} \in \mathfrak{M},
$
bo $\mathfrak{M}$ jest przestrzenią wektorową, a stąd $A'\in \MM$. Jeśli $A, B \in \MM$, czyli $\chi_{A}, \chi_{B} \in \mathfrak{M}$, to $\chi_{A\cap B}=\chi_{A}\wedge \chi_{B} \in \mathfrak{M}$, bo $\mathfrak{M}$ jest podkratą (czyli jest zamknięta na operacje $\wedge$, $\vee$). Zatem pokazaliśmy, że $\MM$ jest algebrą zbiorów. 
W szczególności, $\MM$ jest zamknięta na różnice i skończone sumy zbiorów (bo $A\setminus B= A\cap B'$ oraz $A\cup B=(A' \cap B')'$).
Żeby pokazać, że  $\MM$ jest $\sigma$-algebra weźmy dowolny ciąg zbiorów $\{A_{k}\}_{k=1}^{\infty} \subseteq \MM$. 
Jako że $\MM$ jest algebrą zbiorów, to dla każdego $n\in \N$ mamy $\bigcup_{k=1}^{n} A_{k}\in \MM$,  skąd
$\chi_{\bigcup_{k=1}^{n} A_k}\in \mathfrak{M}$. 
Ciąg funkcji $
\chi_{\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}}$ zbiega monotonicznie do  $\chi_{\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k}$.
Zatem z twierdzenia o zbieżności monotonicznej $\lim_{n\to \infty}\chi_{\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}} = \chi_{\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k}$ w $L_1(\mu)$.
 Stąd i z założenia o domkniętości $\mathfrak{M}$ mamy $\chi_{\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k} \in \mathfrak{M}$, czyli $\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k \in \MM$.
Zatem $\MM= \{A \in \FF : \chi_{A} \in \mathfrak{M}\}$  jest $\sigma$-algebrą.

Zauważmy, że przestrzeń 
$L_1(\mu|_{\MM})$ jest generowana (jako domknięta poprzestrzeń $L_1(\mu)$)  przez funkcje proste $\chi_{A}$, $A\in \MM$. 
Stąd  $L_1(\mu|_{\MM})\subseteq \mathfrak{M}$. Aby udowodnić inkluzję  przeciwną  należy pokazać, że każda funkcja $\xi \in \mathfrak{M}$ jest $\mathcal{M}$-mierzalna. Wystarczy w tym celu wykazać, że $\MM$-mierzalne są funkcje nieujemne, 
gdyż dla $\xi \in \mathfrak{M}$ mamy $\xi = \xi^{+}-\xi^{-}$ oraz $\xi^{+}=\xi \vee 0 \in \mathfrak{M}$ i $\xi^{-}=\xi \wedge 0 \in \mathfrak{M}$.
 Weźmy nieujemną funkcję $\xi \in \mathfrak{M}$. Funkcja $\xi$ jest $\mathcal{M}$-mierzalna wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnej stałej rzeczywistej $\lambda$ zbiór $\{t \in \Omega : \xi(t)>\lambda\}$ należy do $\sigma$-algebry $\MM$. By to wykazać rozważmy następujący  ciąg  funkcji
\begin{align*}
\eta_{n} := [n(\xi-\lambda 1)^{+}]\wedge 1, \qquad n\in \N.
\end{align*}
Zauważmy, że $\{\eta_{n}\}_{n=1}^{\infty} \subseteq \mathfrak{M}$ -- ciąg ten jest ograniczony przez $1$ oraz  punktowo zbiega do $ \chi_{\{t \in \Omega : \xi > \lambda\}}$. Zatem z twierdzenia o zbieżności zmajoryzowanej i z założenia o domkniętości $\mathfrak{M}$, mamy
\begin{align*}
\eta_{n} \xrightarrow{L_{1}}\chi_{\{t \in \Omega : \xi > \lambda\}} \in \mathfrak{M}.
\end{align*}
Stąd  $\xi \in \mathfrak{M}$ jest $\mathcal{M}$-mierzalna. Zatem $ \mathfrak{M}=L_1(\mu|_{\MM}) $.
\end{proof}

\begin{lem}\label{LEM24}
Jeżeli $E: L_{1}(\mu)\to L_{1}(\mu)$ jest dodatnim rzutem kontraktywnym, to jego obraz $\mathfrak{M}=\mathcal{R}(E)$ jest podkratą Banacha przestrzeni $L_1(\mu)$.
\end{lem}
\begin{proof} 
Obraz każdego rzutu jest domkniętą podprzestrzenią wektorową (patrz Lemat \ref{lem:projection_Banach}). 
Zatem musimy pokazać, że $\mathfrak{M}$ jest podkratą $L_1(\mu)$ -- zamkniętą ze względu na operacje $\vee$ i $\wedge$. Zauważmy, że operacje te można zapisać za pomocą kombinacji liniowych oraz modułu funkcji jak następuje 
\begin{align*}
\xi \vee \eta = \frac{\xi +\eta + |\xi - \eta|}{2}, \qquad \xi \wedge \eta = \frac{\xi +\eta - |\xi - \eta|}{2}.
\end{align*}
Ponadto moduł wyraża się przez kombinacje liniowe oraz operację brania części nieujemnej funkcji $|\xi|=\xi^{+}+\xi^{-}=\xi^{+}+(-\xi)^{+}$.  
Zatem żeby wykazać, że przestrzeń wektorowa $\mathfrak{M}$ jest podkratą wystarczy  udowodnić implikację 
$\xi \in \mathfrak{M} \Longrightarrow \xi^{+} \in \mathfrak{M}$. Niech $\xi  \in \mathfrak{M}$. Korzystając z dodatniości  
rzutu $E$ mamy $E(\xi^{+}) \geq 0$ oraz  $E(\xi^{+}) \geq E(\xi)=\xi$ (bo $\xi^+\geq \xi$). Stąd $E(\xi^{+}) \geq \xi \vee 0 =\xi^+$.
Korzystając z tej nierówności oraz kontraktywności $E$ dostajemy 
\begin{align*}
\|E(\xi^{+})-\xi^{+} \|_1&=\int_{\Omega}E(\xi^{+})-\xi^{+}d\mu=\int_{\Omega}E(\xi^{+})d\mu-\int_{\Omega} \xi^{+}d\mu 
\\
&= \|E(\xi^{+})\|_{1}-\|\xi^{+} \|_{1} \leq \|\xi^{+}\|_{1}-\|\xi^{+} \|_{1}=0.
\end{align*}
Stąd $\xi^{+}=\EE(\xi^{+})$ i $\xi^{+} \in \mathfrak{M}$.
\end{proof}

\begin{lem}\label{LEM25}
Każdy kontraktywny operator $E:  L_1(\mu) \rightarrow  L_1(\mu)$  zachowujący 1, jest operatorem dodatnim, tzn. dla dowolnego $\xi \geq 0$ zachodzi $E(\xi) \geq 0$.
\end{lem}
\begin{proof}
Niech $\xi$ będzie funkcją całkowalną, taką że $0 \leq \xi \leq 1$. Wtedy korzystając z własności normy i założeń o $E$ mamy
\begin{align*}
\|1\|_{1}-\|\xi\|_{1}& =\|1-\xi\|_{1} \geq \|E(1)-E(\xi)\|_{1}=\|1-E(\xi)\|_{1}
\\
 & \geq  \|1\|_1 - \|E(\xi)\|_1  \geq \|1\|_1 -\|\xi\|_1.
\end{align*}
Zatem powyżej zachodzą równości -- w szczególności $\|1\|_{1}-\|E(\xi)\|_{1}=\|1-E(\xi)\|_{1}$. Stąd wynika, że $0 \leq E(\xi) \leq 1$.
Rzeczywiście, równanie liczbowe $1-|x|=|1-x|$ ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy $0\leq x\leq 1$, i fakt ten przenosi się na funkcje.
 
Jeśli  $\xi$ jest istotnie ograniczoną funkcją nieujemną, to stosując  pierwszy krok do $0\leq \xi/\|\xi\|_{\infty}\leq 1$ dostajemy, że $ E(\xi) \geq 0$.
Dla  dowolnej całkowalnej funkcji nieujemnej $\xi$  konstruujemy ciąg $\{\xi_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ nieujemnych funkcji ograniczonych, postaci $\xi_{n} = \xi \wedge n = \min\{\xi,n\}$. W szczególności $\xi_{n} \uparrow \xi$. Zatem korzystając z  twierdzenia o zbieżności monotonicznej  mamy
\begin{align*}
E(\xi) = E (\lim_{n \rightarrow \infty} \xi_{n}) = \lim_{n \rightarrow \infty}E(\xi_{n}) \geq 0.
\end{align*}
Czyli $E$ jest operatorem dodatnim.
\end{proof}

\begin{proof}[Dowód Twierdzenia \ref{thm:Douglas}]  
W świetle Twierdzenia \ref{thm:properties_of_WWO} do wykazania pozostało, że kontraktywny rzut $E : L_{1}(\mu) \rightarrow L_{1}(\mu)$  jest operatorem warunkowej wartości oczekiwanej pod warunkiem pewnej $\sigma$-algebry $\mathcal{M}\subseteq \FF$. 

Ponieważ operator warunkowej wartości oczekiwanej jest kontraktywny i zachowuje 1, zatem zgodnie z Lematu \ref{LEM25} jest operatorem dodatnim, a ponieważ jest również idempotenty, więc na mocy Lematu (\ref{LEM24}), jego obraz jest domkniętą podprzestrzenią $L_{1}(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ i posiada strukturę kraty. Stąd spełnione zostają założenia Lematu \ref{LEM23} i $\mathcal{R}(\EE^{\mathcal{M}})=\mathfrak{M}=L_{1}(\Omega,\mathcal{M},\mu|_{\mathcal{M}})$. Następnie wykażemy, że $\EE^{\mathcal{M}}$ jest warunkową wartością oczekiwaną względem $\sigma$-ciała $\mathcal{M}$.

(1) Zauważmy, że ponieważ z Lematu \ref{LEM24} $\mathfrak{M}$ jest rodziną funkcji $\mathcal{M}$-mierzalnych i $\EE^{\mathcal{M}}\xi \in \mathfrak{M}$, zatem $\mathbb{E}^{\mathcal{M}}\xi$ jest $\mathcal{M}$-mierzalne.

(2) W kolejny kroku należy wykazać, że dla każdego zbioru $A \in \mathcal{M}$ zachodzi
$$%\begin{align*}
\int_{A} \mathbb{E}^{\mathcal{M}}\xi d\mu = \int_{A} \xi d\mu.
$$%\end{align*}
Operator $\mathbb{E}^{\mathcal{M}}$ jest ciągły i liniowy, zatem wystarczy wykazać, że
\begin{align*}
\int_{A} \mathbb{E}^{\mathcal{M}}\chi_{B} d\mu = \int_{A} \chi_{B} d\mu = \mu(A \cap B) = \int_{\Omega} \chi_{A \cap B}d\mu,
\end{align*}
gdzie $B$ jest dowolnym zbiorem z $\sigma$-ciała $\mathcal{F}$. Ponieważ $\mathbb{E}^{\mathcal{M}}$ jest idempotenty i dodatni, zatem $\chi_{A} = \mathbb{E}^{\mathcal{M}}\chi_{A} \geq  \mathbb{E}^{\mathcal{M}}\chi_{A \cap B}$ oraz $\chi_{A'} = \mathbb{E}^{\mathcal{M}}\chi_{A'} \geq  \mathbb{E}^{\mathcal{M}}\chi_{A' \cap B}$. Stąd
\begin{align*}
\int_{A}\mathbb{E}^{\mathcal{M}}\chi_{B}d\mu=\int_{A}\mathbb{E}^{\mathcal{M}}\chi_{A \cap B}d\mu+\int_{A}\mathbb{E}^{\mathcal{M}}\chi_{A' \cap B}d\mu=\int_{A}\mathbb{E}^{\mathcal{M}}\chi_{A \cap B}d\mu.
\end{align*}
Ponieważ $\mathbb{E}^{\mathcal{M}}$ jest kontrakcją zatem
\begin{align*}
\int_{A}\mathbb{E}^{\mathcal{M}}\chi_{A \cap B}d\mu \leq \|\mathbb{E}^{\mathcal{M}}\chi_{A \cap B}\|_{1} \leq \|\chi_{A \cap B}\|_{1}=\int_{\Omega}\chi_{A \cap B}d\mu=\int_{A}\chi_{B}d\mu,
\end{align*}
co możemy zapisać zwięźle
\begin{align}\label{NEQ1}
\int_{A} \mathbb{E}^{\mathcal{M}}\chi_{B} d\mu \leq \int_{A}\chi_{B}d\mu.
\end{align}
Z drugiej strony korzystając dwukrotnie z nierówności \ref{NEQ1} mamy
\begin{align*}
\int_{A}1 d\mu=\int_{A}\chi_{B}d\mu+\int_{A}\chi_{B'}d\mu \geq \int_{A}\mathbb{E}^{\mathcal{M}}\chi_{B}d\mu+\int_{A}\mathbb{E}^{\mathcal{M}}\chi_{B'}d\mu.  
\end{align*}
Korzystając z liniowości operatora i założenia o zachowywaniu przezeń funkcji charakterystycznej $\Omega$ mamy
\begin{align*}
\int_{A}\mathbb{E}^{\mathcal{M}}(\chi_{B}+\chi_{B'})d\mu = \int_{A}\mathbb{E}^{\mathcal{M}}(1 )d\mu=\int_{A}1 d\mu
\end{align*}
Stąd wynika, że dla każdego $B \in \mathcal{F}$ i każdego $A \in \mathcal{M}$ zachodzi
\begin{align*}
\int_{A}\chi_{B}d\mu=\int_{A}\mathbb{E}^{\mathcal{M}}\chi_{B}d\mu.
\end{align*}
Co kończy dowód z uwagi na fakt, że funkcje proste stanowią gęstą podprzestrzeń przestrzeni $L_{1}(\mu)$.
\end{proof}

\section{Przypadek zespolony - kompleksyfikacja}

Powyżej scharakteryzowaliśmy rzeczywistą warunkową wartość oczekiwaną jako rzut kontraktywny zachowujący 1. Z punktu widzenia potencjalnych zastosowań, na przykład w teorii spektralnej, istotne jest by rozważyć zespolony odpowiednik tego wyniku. W tym podrozdziale sformuujemy i udowodnimy zespolone twierdzenie Douglasa. Jego dowód bazować będzie na kompleksyfikacji przypadku rzeczywistego. 

Ustalmy przestrzeń z miarą skończoną $(\Omega, \FF, \mu)$ i przypomnijmy, że zespolona przestrzeń $L_p^\C(\mu)$ jest kompleksyfikacją rzeczywistej przestrzeni $L_p^\R(\mu)$ (patrz Przykład \ref{exm:kompleksyfikacja_zespolonej_Lp}). W szczególności $\zeta \in L_p^\C(\mu)$ wtedy i tylko wtedy, gdy 
$
\zeta=\xi + i \eta$,  gdzie $\xi, \eta \in  L_p^\R(\mu)$. 
Zauważmy najpierw, że $\R$-liniowe operatory na $L_p^\R(\mu)$ kompleksyfikują się do $\C$-liniowych operatorów na $L_p^\C(\mu)$.



\begin{prop}\label{szacowanie_normy}
Jeżeli operator $T: L^{\R}_{p}(\mu) \rightarrow L^{\R}_{p}(\mu)$ jest $\R$-liniowy to jego kompleksyfikacja $T_{\C}(\xi + \mathrm{i}\eta) = T\xi + \mathrm{i}T\eta$, gdzie $\xi$, $\eta$ dowolne funkcje z $L^{\R}_{p}(\mu)$, jest operatorem $\C$-liniowym $T_{\C}: L^{\C}_{p}(\mu) \rightarrow L^{\C}_{p}(\mu)$. Ponadto $\|T_{\C}\|\leq2\|T\|$.
\end{prop}

\begin{proof} Sprawdzenie $\C$-liniowości operatora  $T_{\C}: L^{\C}_{p}(\mu) \rightarrow L^{\C}_{p}(\mu)$ jest prostym ćwiczeniem i dlatego je tu pomijamy.
Co do szacowania normy, niech $\xi, \eta \in L_{p}^{\R}(\mu)$. Wtedy 
\begin{align*}
\|T_{\C}(\xi+\mathrm{i}\eta)\|_{p}&=\|T\xi +\mathrm{i}T\eta\|_{p} \leq \|T\xi\|_{p}+\|T\eta\|_{p} \leq \|T\|\|\xi\|_{p}+\|T\|\|\eta\|_{p}  
\\  & \leq \|T\|\|\xi+\mathrm{i}\eta\|_{p}+\|T\|\|\xi+\mathrm{i}\eta\|_{p}=2\|T\|\|\xi+\mathrm{i}\eta\|_{p}.
\end{align*}
Czyli $\|T_{\C}\|\leq2\|T\|$.
\end{proof}
\begin{uwg}\label{norm_equality}
Powyższe oszacowanie na normę  zostało tutaj podane ze względu prostotę dowodu. Można jednak pokazać, że zawsze mamy równość $\|T_{\C}\|=\|T\|$, patrz \cite[Theorem 3.1]{holtz_complex}.
W szczególności mamy naturalne izometryczne zanurzenie
$$
B(L^{\R}_{p}(\mu))   \hookrightarrow  B(L^{\C}_{p}(\mu)).
$$
Pokażemy, że obraz tego zanurzenia składa się z operatorów zdefiniowanych następująco.
\end{uwg}
\begin{dfn}
Operator $T: L^{\C}_{p}(\mu) \rightarrow L^{\C}_{p}(\mu)$ nazywamy \emph{rzeczywistym} jeżeli $T(L^{\R}_{p}(\mu)) \subseteq L^{\R}_{p}(\mu)$, to jest gdy $T$ przekształca funkcje rzeczywiste na funkcje rzeczywiste. Powiemy, że $T$ jest \emph{dodatni}, jeżeli zachowuje stożek funkcji nieujemnych $L^{\R}_{p}(\mu)_+$, czyli $T$ przekształca funkcje nieujemne na nieujemne.
\end{dfn}
\begin{prop}\label{prop:real_operator}
Dla  operatora $T: L^{\C}_{p}(\mu) \rightarrow L^{\C}_{p}(\mu)$ następujące warunki są równoważne
\begin{enumerate}[(1)]
\item\label{prop:real_operator1} $T$ jest rzeczywisty,

\item\label{prop:real_operator2} $T$ zachowuje sprzężenie, tzn. $T\overline{\zeta}=\overline{T\zeta}$ dla dowolnej funkcji $\zeta \in L_{p}^{\C}(\mu)$,

\item\label{prop:real_operator3} $T$ jest kompleksyfikacją $\R$-liniowego operatora $T_{\R}: L^{\R}_{p}(\mu) \rightarrow L^{\R}_{p}(\mu)$.

\end{enumerate}
Operator $T_{\R}$ w \ref{prop:real_operator3} jest obcięciem operatora $T$ do przestrzeni $L^{\R}_{p}(\mu)\subseteq L^{\C}_{p}(\mu)$. 
\end{prop}

\begin{proof} \ref{prop:real_operator1}$\Rightarrow$\ref{prop:real_operator2}. Niech $
\zeta=\xi + i \eta$,  gdzie $\xi, \eta \in  L_p^\R(\mu)$. Wtedy, $T(\xi), T(\eta)  \in  L_p^\R(\mu)$, skąd 
$$
T(\overline{\zeta})=T(\xi - i \eta)= T(\xi) - i T(\eta) = \overline{T(\xi) + i T(\eta)}=\overline{T(\zeta)}.
$$
\ref{prop:real_operator2}$\Rightarrow$\ref{prop:real_operator1}. Dla $\xi \in  L_p^\R(\mu)$  mamy $\overline{\xi}=\xi$. Zatem 
na mocy założenia $
T(\xi)=T(\overline{\xi})=\overline{T(\xi)}
$, co jest możliwe jedynie, gdy $T(\xi) \in  L_p^\R(\mu)$. 

Implikacja \ref{prop:real_operator3}$\Rightarrow$\ref{prop:real_operator1} jest oczywista. Na odwrót, zakładając \ref{prop:real_operator1} otrzymujemy, 
że obcięcie $T_\R:= T|_{L_{p}^{\R}(\mu)}$ operatora $T$ do $L_{p}^{\R}(\mu)\subseteq L_{p}^{\C}(\mu)$ jest $\R$-liniowym operatorem na $L_{p}^{\R}(\mu)$.
Dla $\xi, \eta \in  L_p^\R(\mu)$ mamy
$$
T(\xi +i \eta)= T(\xi) +i T(\eta)= T_{\R}(\xi) +i T_{\R}(\eta)= T_{\C}(\xi +i \eta),
$$
czyli $T$ jest kompleksyfikacją $T_{\R}$.
\end{proof}



\begin{lem}\label{lem:postive_implies_real}
Każdy operator dodatni jest rzeczywisty.
\end{lem}
\begin{proof}
Jeśli $T: L^{\C}_{p}(\mu) \rightarrow L^{\C}_{p}(\mu)$ jest dodatni oraz  $\xi\in L^{\R}_{p}(\mu)\subseteq L^{\C}_{p}(\mu)$, to
$\xi=\xi^+ -\xi^-$, gdzie $\xi^+, \xi^- \in L^{\R}_{p}(\mu)_+$, i w szczególności $T(\xi^+), T(\xi^-) \in L^{\R}_{p}(\mu)_+ \subseteq L^{\R}_{p}(\mu)$. 
Stąd  $T(\xi)=T(\xi^+) -T(\xi^-)\in L^{\R}_{p}(\mu)$.
\end{proof}
\begin{dfn}
\emph{Zespoloną warunkową wartość oczekiwaną} dla funkcji $\zeta \in L^{\C}_{1}(\mu)$ definiujemy jako funkcję $\EE^{\mathcal{M}}_{\C}\zeta \in L^{\C}_{1}(\mu)$, która jest $\mathcal{M}$-mierzalna i 
spełnia warunek 
$$
\int_{A}\EE^{\mathcal{M}}_{\C}\zeta d\mu= \int_{A}\zeta d\mu
$$
 dla dowolnego zbioru $A \in \mathcal{M}$.
\end{dfn}

\begin{prop}\label{wwo_kompleks}
Zespolona warunkowa wartość oczekiwana względem $\sigma$-ciała $\MM$ zawsze istnieje i jest  kompleksyfikacją rzeczywistej warunkowej wartości oczekiwanej względem $\MM$ (w szczególności jest wyznaczona jednoznacznie).
\end{prop}

\begin{proof}
Funkcję $\zeta \in L^{\C}_{1}(\mu)$ można przedstawić w postaci $\xi+\mathrm{i}\eta$ gdzie $\xi, \eta \in L^{\R}_{1}(\mu)$. Weźmy rzeczywistą warunkową wartość oczekiwaną względem $\MM$ i zdefiniujmy  $E(\zeta):=\EE^{\MM}_{\R}\xi+\mathrm{i}\EE^{\MM}_{\R}\eta$. Funkcja $E(\zeta)$  jest  $\MM$-mierzalna  jako liniowa kombinacja funkcji $\MM$-mierzalnych. Ponadto, dla dowolnego $A \in \MM$
$$
\int_{A}E(\zeta)d\mu=\int_{A}\EE^{\MM}_{\R}(\xi)+\mathrm{i}\EE^{\MM}_{\R}(\eta) d\mu=\int_{A}\xi+\mathrm{i}\eta \, d\mu=\int_{A}\zeta d\mu.
$$
Zatem $E(\zeta)$ jest  warunkową wartością oczekiwaną i $E=(\EE^{\MM}_{\R})_{\C}$ jest kompleksyfikacją $\EE^{\MM}_{\R}$.
Zauważmy, że z definicji zespolonej warunkowej wartości oczekiwanej wynika, że musi ona być operatorem dodatnim, a w szczególności musi być 
kompleksyfikacją pewnego rzeczywistego operatora $E|_{L_{p}^\R(\mu)}:L_{p}^\R(\mu)\to L_{p}^\R(\mu)$. Jak łatwo zauważyć  $E|_{L_{p}^\R(\mu)}=\EE^{\MM}_{\R}$ musi być rzeczywistą warunkową wartością oczekiwaną. Stąd jednoznaczność $E$.
\end{proof}

\begin{thm}[Zespolone twierdzenie Douglasa]
Operator $E:L_{p}^{\C}(\mu) \rightarrow L_{p}^{\C}(\mu)$ jest operatorem warunkowej wartości oczekiwanej wtedy i tylko wtedy gdy, $E$ jest zachowującym 1 operatorem idempotentnym oraz $\|E\|=1$.
\end{thm}

\begin{proof}
"Konieczność". Niech $E$ będzie zespolonym operatorem warunkowej wartości oczekiwanej. Na mocy Stwierdzenia \ref{wwo_kompleks}, $E$ jest kompleksyfikacją rzeczywistej warunkowej wartości oczekiwanej $\EE^{\MM}_{\R}$.  W szczególności, $E$ zachowuje jedynkę: $E(1)=\EE^{\MM}_{\R}(1)=1$. Korzystając z faktu, że $\EE^{\MM}_{\R}$ jest idempotentem mamy
\begin{align*}
E^{2}\zeta=E(\EE^{\MM}_{\R}\xi+\mathrm{i}\EE^{\MM}_{\R}\eta)=\EE^{\MM}_{\R}\EE^{\MM}_{\R}\xi+\mathrm{i}\EE^{\MM}_{\R}\EE^{\MM}_{\R}\eta=\EE^{\MM}_{\R}\xi+\mathrm{i}\EE^{\MM}_{\R}\eta=E\zeta.
\end{align*}
W świetle Uwagi \ref{norm_equality} mamy $\|E\|=\|\EE^{\MM}_{\R}\|=1$.  
%Pozostaje wykazać, że norma $E$ jest równa 1. Na mocy Stwierdzenia \ref{szacowanie_normy}, wiemy że z pewnością zachodzi $\|E\|\geq\|\EE^{\R}\|$. Następnie wykażemy nierówność w stronę przeciwną. Niech $\xi, \eta \in L^{\C}_{p}(\mu)$ mają normę 1. Następnie załóżmy, że istnieje takie $\alpha \in [0,2\pi)$, że $\|\Re( e^{\mathrm{i}\alpha})\xi\| \leq \|\Re (e^{\mathrm{i}\alpha})\eta\|$. Jeżeli taka stała istnieje to wówczas możemy zapisać następującą nierówność
%\begin{align*}
%\left\lVert\Re\left(e^{\mathrm{i}\alpha}\frac{\xi}{\|\xi\|}\right)\right\rVert \leq \left\lVert\Re\left(e^{\mathrm{i}\alpha}\frac{E\xi}{\|E\xi\|}\right)\right\rVert
%\end{align*}
%Oznaczmy $\tilde{\xi}=\Re (e^{\mathrm{i}\alpha}\xi)\in L^{\R}_{p}(\mu)$. Ponieważ obraz operatora $E(L^{\R}_{p}(\mu)) \subseteq  L^{\R}_{p}(\mu)$ to z powyższej nierówności mamy
%\begin{align*}
%\frac{\|E\xi\|}{\|\xi\|} \leq \frac{\|E\tilde{\xi\|}}{\tilde{\|\xi\|}}.
%\end{align*}
%Stąd $\|E\| \leq \|E^{\R}\|$. Pozostaje wykazać, że takie $\alpha$ istnieje. Rozważmy następujące odwzorowanie dla $\alpha \in \R$, $\alpha \mapsto \|\Re (e^{\mathrm{i}\alpha})\xi\|$. Ponieważ następujące nierówności są słuszne dla dowolnych $\alpha, \tilde{\alpha} \in \R$
%\begin{align*}
%| \|\Re (e^{\mathrm{i}\alpha})\xi\|_{p} |- | \|\Re( e^{\mathrm{i}\tilde{\alpha}})\xi\|_{p} | &\leq \|\Re(e^{\mathrm{i}\alpha}-e^{\mathrm{i}\tilde{\alpha}})\xi\|
%\\
%& \leq \|(e^{\mathrm{i}\alpha}-e^{\mathrm{i}\tilde{\alpha}})\xi\|=|e^{\mathrm{i}\alpha}-e^{\mathrm{i}\tilde{\alpha}}|\cdot\|\xi\|
%\end{align*}
%to takie odwzorowanie jest ciągłe. Korzystając z ciągłości takiego odwzorowania oraz dodatkowo, z faktu, że zachodzi równość
%\begin{align*}
%\int_{0}^{2\pi}\|\Re (e^{\mathrm{i}\alpha})\xi\|_{p}^{p}d\alpha=\int_{0}^{2\pi}|\cos t|^{p}d\alpha
%\end{align*}
%otrzymujemy następującą nierówność
%\begin{align*}
%\int_{0}^{2\pi}\|\Re (e^{\mathrm{i}\alpha})\xi\|_{p}^{p}-\|\Re( e^{\mathrm{i}\alpha})\eta\|_{p}^{p}d\alpha \geq 0
%\end{align*}
%Co dowodzi, że istnieje co najmniej jedno $\alpha$ dla którego warunek jest spełniony co kończy tę część dowodu.

"Dostateczność". Niech $E:L_{p}^{\C}(\mu) \rightarrow L_{p}^{\C}(\mu)$ będzie  kontraktywnym rzutem zachowującym 1. Dowód Lematu \ref{LEM25} jest poprawny dla operatorów na przestrzeniach zespolonych. 
Zatem z tego lematu wynika, że $E$ jest dodatni, a więc jest kompleksyfikacją swojego obcięcia $E_{\R}:=E|_{L_{p}^{\C}(\mu)}$ do przestrzeni rzeczywistej $L_{p}^{\R}(\mu)$,
patrz Lemat \ref{lem:postive_implies_real} oraz Stwierdzenie \ref{prop:real_operator}. 
Rzeczywisty operator $E_{\R}$ w oczywisty spowsób dziedziczy własności $E$, tzn. jest kontraktywnym rzutem zachowującym 1. 
Stosując rzeczywiste Twierdzenie Douglasa  (Twierdzenie \ref{thm:Douglas}) do  $E_{\R}$ wyciągamy wniosek, że $E_{\R}$ jest rzeczywistą warunkową wartością oczekiwaną. Stąd na mocy Stwierdzenia \ref{wwo_kompleks} $E$ jest zespoloną warunkową wartością oczekiwaną.
\end{proof}

%Wykazaliśmy zatem, że rzuty kontraktywne w przestrzeni $L_{1}(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ są równoważne obcięciom przestrzeni mierzalnej $(\Omega, \mathcal{F})$ do funkcji $\mathcal{M}$-mierzalnych. Ze względu na twierdzenie o istnieniu warunkowej wartości oczekiwanej takie obcięcie istnieje dla dowolnego $\sigma$-podciała $\mathcal{M} \subseteq \mathcal{F}$. Istotnym założeniem, które tu poczyniliśmy, było przyjęcie zachowywania przez warunkową wartość oczekiwaną funkcji stałej. Założenie takie nie jest konieczne i możliwe jest udowodnienie takiej charakteryzacji bez niego co zostało zaprezentowane w pracy Douglasa \cite{douglas}, jednak przyjęcie go upraszcza wiele rachunków oraz pozwala zachować probabilistyczną intuicję przy jego interpretacji. Będzie ono również istotnym ułatwieniem w rozważaniu przypadku rzutów kontraktywnych w przestrzeniach $L_p$ dla $p>1$, w rozdziale kolejnym.

\chapter{Rzuty kontraktywne w przestrzeniach $L_{p}$}

W niniejszym rozdziale uogólnimy charakteryzacje rzutów kontraktywnych z rodziału poprzedniego i przedstawimy charakteryzację rzutów kontraktywnych w przestrzeniach $L_{p}$ dla $p \geq 1$. Taka charakteryzacja przedstawiona została w pracy \cite{ando}. Do przeprowadzenia dowodu potrzebne będzie użycie nierówności Jensena, pozwalającej ograniczyć od dołu warunkową wartość oczekiwaną funkcji, poddanej odwzorowaniu wypukłemu.


\section{Warunkowe wartości oczekiwane w przestrzeniach $L_p$}
W tym podrozdziale $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ będzie ustaloną przestrzenią z miarą skończoną.
W szczególności, dla każdego $p\geq 1$ przestrzeń $L_p(\mu)\subseteq L_1(\mu)$ jest podprzestrzenią wektorową $L_1(\mu)$,
de facto podprzestrzenią gęstą w topologii na $L_1(\mu)$. 
Pokażemy tutaj, że każda warunkowa wartość oczekiwana na $L_1(\mu)$ zachowuje każdą podprzestrzeń $L_p(\mu)$, a ponadto
obcięcie warunkowej wartości oczekiwanej do przestrzeni $L_p(\mu)$ pozostaje  operatorem kontraktywnym w $p$-tej normie.

W tym celu najpierw wykażemy kluczową tutaj nierówność Jensena. 
\begin{dfn}
Odwzorowanie $\varphi : \F \rightarrow \R$ nazywamy \emph{wypukłym}, gdy dla dowolnej stałej $\lambda \in (0,1)$ oraz dla dowolnej pary argumentów $x_{1}, x_{2} \in \F$ zachodzi nierówność 
$$
\varphi\left[\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2}\right] \leq \lambda \varphi(x_{1})+(1-\lambda)\varphi(x_{2}).
$$ 
Powiemy, że $\varphi$ jest \emph{ściśle wypukła}, jeżeli powyższa nierówność jest ostra, dla różnych $x_1$,  $x_2$.
\end{dfn}
\begin{lem}\label{lem:affine_characterisation}
Niech $\varphi : \F \rightarrow \R$ będzie funkcją wypukłą. Wówczas istnieje ciąg $\{f_{n}\}_{n \in \N}$ funkcji afinicznych taki, że dla każdego $x\in \F$ zachodzi $\varphi(x)=\sup_{n \in \N}f_{n}(x)$.
\end{lem}

\begin{proof}[Szkic Dowodu]
Wypukłość funkcji oznacza, że styczna w każdym punkcie jej wykresu znajduje się pod wykresem. Zatem dla każdej pary $(\alpha, \varphi(\alpha))$ istnieje  funkcja afiniczna $f_{\alpha}(x)=a_{\alpha}x+b_{\alpha}$ taka, że 
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item $\varphi(\alpha)=f_{\alpha}(\alpha)$
\item $\varphi(x) \geq f_{\alpha}(x)$, dla każdego $x \in \F$.
\end{enumerate}
Z warunków (i), (ii) otrzymujemy, że 
$
\sup_{\alpha \in \F}\{f_{\alpha}(x)\}= \varphi(x).
$
Z faktu gęstości zbioru liczb wymiernych w $\R$, możemy wybrać ciąg $\{\alpha_{n}\}_{n\in \N}$ taki, że 
$
\sup_{n \in \N}\{f_{\alpha_n}(x)\} = \varphi(x)
$ 
dla każego $x \in \F$.
\end{proof}

\begin{thm}[Nierówność Jensena]\label{thm:Yensen_inequality}
Niech $\varphi : \F \rightarrow \R$ będzie odwzorowaniem wypukłym, a $\xi$ i $\varphi(\xi)$ należą do $L_{1}(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ i niech $\mathcal{M} \subseteq \mathcal{F}$ będzie $\sigma$-ciałem. Wówczas zachodzi następująca nierówność
\begin{align*}
\varphi(\mathbb{E}^{\mathcal{M}}(\xi)) \leq \mathbb{E}^{\mathcal{M}}(\varphi(\xi)).
\end{align*}
Ponadto, jeśli $\varphi$ jest  ściśle wypukła, to  w powyższej nierówności  równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy  $\xi=\mathbb{E}^{\mathcal{M}}(\xi)$ jest  funkcją $\MM$-mierzalną, przy czym równości zachodzą z dokładnością $\mu$-prawie wszędzie.
\end{thm}

\begin{proof}

Niech $\{f_{n}\}_{n \in \N}$ będzie ciągiem funkcji afinicznych takich jak w Lemacie \ref{lem:affine_characterisation}, tzn.  $\varphi(x)=\sup_{n \in \N}f_{n}(x)$, dla $x\in \F$.
Korzystając z montoniczności i liniowości warunkowej wartości oczekiwanej, dla każdego $n\in \N$ mamy
\begin{align*}
\mathbb{E}^{\mathcal{M}}(\varphi(\xi))  \geq \mathbb{E}^{\mathcal{M}}(f_{n}(\xi))=f_{n}(\mathbb{E}^{\mathcal{M}}\xi).
\end{align*}
Nierówność ta formalnie zachodzi $\mu$-prawie wszędzie. Biorąc supremum po przeliczalnym zbiorze
otrzymujemy nierówność
\begin{align*}
\mathbb{E}^{\mathcal{M}}\varphi(\xi) \geq \sup_{n \in \N}\{f_{n}(\mathbb{E}^{\mathcal{M}}\xi)\}=\varphi(\mathbb{E}^{\mathcal{M}}\xi),
\end{align*}
która również zachodzi $\mu$-prawie wszędzie.

Jasnym jest, że jeżeli $\xi=\mathbb{E}^{\mathcal{M}}(\xi)$, to $\varphi(\mathbb{E}^{\mathcal{M}}(\xi))=\varphi(\xi)=\mathbb{E}^{\mathcal{M}}(\varphi(\xi))$, bo wtedy $\varphi(\xi)$
jest $\MM$-mierzalne. 
Załóżmy, że $\varphi$ jest ściśle wypukła oraz że nierówność Jensena nie jest równością prawie wszędzie. Niech $\varphi'(x)$ będzie prawstronną pochodną $\varphi$ w punkcie $x$. Ścisła wypukłość
oznacza, że  $\varphi(x) >\varphi'(x)(x-y) +\varphi(y)$ dla każdego $y\neq x$. Zatem
\begin{align*}
\varphi(\xi) > \varphi'(\EE^\MM(\xi))(\xi-\EE^\MM(\xi)) +   \varphi(\EE^\MM(\xi))
\end{align*}
 na zbiorze $A:=\{\xi\neq \EE^\MM(\xi)\}$, a poza tym zbiorem mamy równość. Innymi słowy, funkcja
\begin{align*}
\eta:=\varphi(\xi)- \varphi(\EE^\MM(\xi)) -  \varphi'(\EE^\MM(\xi))(\xi-\EE^\MM(\xi))
\end{align*}
jest nieujemna i zeruje się poza zbiorem $A$.  Zbiór $B:=\{\EE^\MM(\varphi(\xi))\neq \varphi(\EE^\MM(\xi))\}=\{\EE^\MM(\varphi(\xi))> \varphi(\EE^\MM(\xi))\}$ jest 
$\MM$-mierzalny. Zatem  jeśli założymy, że $B$ nie jest miary zero
\begin{align*}
\int_{B}\eta \, d\mu =\int_{B}\EE^\MM(\eta) \, d\mu =\int_B \EE^\MM(\varphi(\xi))- \varphi(\EE^\MM(\xi))d\mu >0,
\end{align*}
a stąd 
\begin{align*}
\int_{A} \eta \, d\mu= \int_{\Omega} \eta \, d\mu \geq \int_{B}\eta \, d\mu >0.
\end{align*}
Zatem zbiór $A$ nie jest miary zero co kończy dowód.
\end{proof}

%Niech  $\MM\subseteq \FF$ będzie $\sigma$-algebrą.
\begin{cor}\label{cor:WWO_na_Lp}
Każda warunkowa wartość oczekiwana  $\EE^\MM: L_1(\mu)\rightarrow L_1(\mu)$ zachowuje podprzestrzeń 
$L_p(\mu) \subseteq L_1(\mu)$ dla każdego $p \geq 1$. Ponadto obcięcie  operatora $\EE^\MM$ do podprzestrzeni $L_{p}(\mu)$ jest zachowującym jedynkę rzutem 
\begin{align*}
\EE^\MM: L_p(\mu)\rightarrow L_p(\mu|_{\MM})\subseteq L_p(\mu),
\end{align*}
o normie $1$ liczonej jako norma operatora na przestrzeni $L_p(\mu)$ wyposażonej w standardową $p$-tą normę.
\end{cor}

\begin{proof}
Niech $\xi \in L_{p}$. Na mocy nierówności Jensena $|\mathbb{E}^{\mathcal{M}}\xi|^{p} \leq \mathbb{E}^{\mathcal{M}}|\xi|^{p}$ oraz na mocy definicji warunkowej wartości oczekiwanej
\begin{align*}
\int_{\Omega}\mathbb{E}^{\mathcal{M}}|\xi|^{p}d\mu=\int_{\Omega}|\xi|^{p}d\mu < \infty.
\end{align*}
Zatem $\mathbb{E}^{\mathcal{M}}\xi \in L_{p}(\mu)$ i operator $\mathbb{E}^{\mathcal{M}} : L_{p}(\mu) \rightarrow L_{p}(\mu)$ jest dobrze określony. Zbadajmy normę operatora na obcięciu
\begin{align*}
\|\mathbb{E}^{\mathcal{M}}\xi\|_{p}^{p}=\int_{\Omega}|\mathbb{E}^{\mathcal{M}}\xi|^{p}d\mu \leq \int_{\Omega}\mathbb{E}^{\mathcal{M}}|\xi|^{p}d\mu \leq \int_{\Omega}|\xi|^{p}d\mu.
\end{align*}
Stąd operator jest kontrakcją na obcięciu, ponadto $\chi_{\Omega} \in L_{p}(\mu)$ zatem $\mathbb{E}^{\mathcal{M}}$ zachowuje funkcję stałą na obcięciu, a z faktu zachowywania podprzestrzeni wynika, że jest rzutem.
\end{proof}
\section{Przedłużanie  rzutów  z $L_p$ do $L_1$}
Łącząc  Wniosek \ref{cor:WWO_na_Lp} z Twierdzeniem Douglasa (Twierdzenie \ref{thm:Douglas}) otrzymujemy konkluzję, że każdy zachowujący jedynkę rzut
kontraktywny na $L_1(\mu)$ obcina się do kontraktywnego rzutu na $L_p(\mu)$, dla $p>1$. Ando w pracy \cite{ando} wykazał implikację odwrotną, o ile $p\neq 2$.

\begin{thm}[Ando, 1966]\label{thm:Ando_Lp_to_L1} 
Niech $\mu$ będzie miarą skończoną i niech $p \in (1,\infty)\setminus\{2\}$.
Każdy zachowujący jedynkę  rzut  kontraktywny $E: L_p(\mu) \rightarrow L_p(\mu)$,  jest również kontraktywny w normie $L_{1}(\mu)$, tzn. dla  $\xi \in L_p(\mu)$ mamy 
\begin{align*}
\int_{\Omega}|E(\xi)|d\mu \leq \int_{\Omega}|\xi|d\mu.
\end{align*}
W szczególności $E$ przedłuża się jednoznacznie do rzutu kontraktywnego $E: L_1(\mu) \rightarrow L_1(\mu)$.
Teza  prawdziwa jest  również dla $p=2$, o ile dodatkowo założymy, że $E$ jest operatorem dodatnim.
\end{thm}

Dowód tego twierdzenia nastręcza szereg trudności technicznych i zajmie nam resztę tego podrodziału.
Będziemy przyjmować następujące oznaczenia. Niech $\xi \in L_{p}(\mu)$, dla liczby rzeczywistej $r$ potęga $\xi^r$ będzie miała postać 
\begin{align*}
\xi^{r}=\mathrm{sgn}(\xi)|\xi|^{r},
\end{align*}
gdzie $\mathrm{sgn}(x)=e^{\mathrm{i} \arg x}$ dla $x\in \F=\R, \C$.
\begin{lem}\label{obraz_gwiazdka}
Niech $E: L_{p}(\mu) \rightarrow L_{p}(\mu)$ będzie rzutem kontraktywnym dla $p>1$. Wtedy $\xi \in \mathcal{R}E$ zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy $\xi^{r} \in \mathcal{R}E^{*}$, gdzie $r=p-1$, a $\alpha, \beta, \gamma$ będą pewnymi stałymi rzeczywistymi.
\end{lem}

\begin{proof}
"$\Rightarrow$". Niech $\xi \in \mathcal{R}(E)$, zatem $E\xi=\xi$. Stąd z własności rzutu
\begin{align*}
\|\xi\|^{p}_{p}=\int_{\Omega}|\xi|^{p}d\mu=\int_{\Omega}\xi \cdot \xi^{p-1}d\mu=\int_{\Omega}E\xi \cdot \xi^{p-1}d\mu=\int_{\Omega}\xi \cdot E^{*}\xi^{p-1}d\mu.
\end{align*}
Następnie na mocy nierówności H\"oldera
\begin{align*}
\int_{\Omega}\xi \cdot E^{*}\xi^{r}d\mu \leq \|\xi\|_{p}\|E^{*}\xi^{r}\|_{q} \leq \|\xi\|_{p}\|\xi^{r}\|_{q}= \int_{\Omega}\xi \cdot \xi^{r}d\mu.
\end{align*}
Przy czym druga nierówność wynika z faktu, że sprzężenie zachowuje kontraktywność operatora, a ostatnia równość jest konsekwencją liniowej zależności funkcji dla których zastosowaliśmy nierówność H\"oldera. Stąd ostatecznie 
 \begin{align*}
\int_{\Omega}\xi \cdot \xi^{r}d\mu=\int_{\Omega}|\xi|d\mu=\|\xi\|^{p}_{p},
\end{align*}
a równość $E^{*}\xi^{r}=\xi^{r}$ zachodzi, co dowodzi konieczności.

"$\Leftarrow$". Zastosujemy dowód konieczności do operatora $E^{*} : L_{q}(\mu) \rightarrow L_{q}(\mu)$ gdzie $q$ wykładnik h\"olderowsko sprzężony. Ponieważ dla $p>1$ przestrzenie $L_{p}$ są refleksywne, co oznacza że $E^{**}=E$ i 
\begin{align*}
E^{*}\xi^{r}=\xi^{r} \Rightarrow E^{**}\xi^{r(q-1)}=\xi^{r(q-1)}.
\end{align*}
Z równości $1/p+1/q=1$ wynika, że $
(p-1)(q-1)=1$.
Zatem równość $E^{*}\xi^{r}=\xi^{r}$ implikuje, że $E\xi=\xi$.
\end{proof}

\begin{lem}\label{najtrudniejsze}
Niech $p \in (1,2)$  i niech $E: L_p(\mu) \rightarrow L_p(\mu) $ będzie rzutem kontraktywnym zachowującym funkcję stałą. Dla każdego $\xi \in \mathcal{R}(E)$ mamy $\xi^{r} \in  \mathcal{R}(E)$, gdzie $r=p-1$.
\end{lem}

\begin{proof}
Na mocy Lematu \ref{obraz_gwiazdka} jeżeli $\xi \in \mathcal{R}(E)$ to $\xi^{r} \in \mathcal{R}(E^{*})$. Ponieważ z założenia $E$ zachowuje 1 i $1^{r}=1$, to $1 \in \RR(E^{*})$. Zatem funkcja $1+\xi^{r}/n \in \mathcal{R}(E^{*})$. Ponieważ z nierówności H\"oldera 
\begin{align*}
\frac{1}{r}=\frac{1}{p-1}=\frac{1}{\frac{q}{q-1}-1}=q-1,
\end{align*}
to $(1+\xi^{r}/n)^{1/r} \in \mathcal{R}(E)$. Rozpatrzmy następującą rodzinę funkcji 
\begin{align*}
\eta_{n}:=\frac{(1+\xi^{r}/n)^{1/r}-1}{1/n}, \quad n \in \N.
\end{align*}
Na mocy reguły d'Hospitala granica punktowa ciągu $\eta_{n} \xrightarrow{n\rightarrow \infty} \xi^{r}/r$. Korzystając z twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej \cite{halmos1} wykażemy, że ciąg ten jest zbieżny w normie $L_{1}$. W tym celu przekształcimy funkcję $\eta_{n}$ w następujący sposób
\begin{align*}
\frac{(1+\xi^{r}/n)^{1/r}-1}{1/n}=&\frac{(1+\xi^{r}/n)(1+\xi^{r}/n)^{1/r-1}-1}{1/n}\\ =& \xi^{r}(1+\xi^{r}/n)^{1/r-1}+\frac{(1+\xi^r/n)^{1/r-1}-1}{1/n}.
\end{align*}
Zatem
\begin{align*}
|\eta_{n}| \leq |\xi|^{r}(1+|\xi|^{r}/n)^{1/r-1}+\left| \frac{(1+\xi^r/n)^{1/r-1}-1}{1/n} \right|.
\end{align*}
Rozpatrzmy pierwszy ze składników. Zauważmy że, ponieważ $1/r -1=\frac{1-r}{r}$, to
\begin{align*}
|\xi|^{r}(1+|\xi|^{r}/n)^{\frac{1-r}{r}}=\alpha|\xi|,
\end{align*}
gdzie $\alpha \in \R^{+}$. Rzeczywiście
\newcommand\numberthis{\addtocounter{equation}{1}\tag{\theequation}}
\begin{align*}
\lim_{|\xi| \rightarrow \infty}\frac{|\xi|^{r}(1+|\xi|^{r}/n)^{\frac{1-r}{r}}}{|\xi|}=&\lim_{|\xi| \rightarrow \infty}|\xi|^{r-1}(1+|\xi|^{r}/n)^{\frac{1-r}{r}}=\lim_{|\xi| \rightarrow \infty}\frac{(1+|\xi|^{r}/n)^{\frac{1-r}{r}}}{|\xi|^{1-r}}\\=&\lim_{|\xi| \rightarrow \infty}\frac{(1+|\xi|^{r}/n)^{\frac{1-r}{r}}}{(|\xi|^{r})^{\frac{1-r}{r}}}=\lim_{|\xi| \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{|\xi|^{r}}+1/n\right) < \infty. \numberthis\label{trudna_granica}
\end{align*}
Rozważmy drugi ze składników
\begin{align*}
\frac{(1+\xi^r/n)^{1/r-1}-1}{1/n}=\xi^{r}\frac{(1+\xi^r/n)^{1/r-1}-1}{\xi^{r}/n}.
\end{align*}
Niech $|\xi|^{r}/n > 1$. Wtedy
\begin{align*}
\xi^{r}\frac{(1+\xi^r/n)^{1/r-1}-1}{\xi^{r}/n} \leq \xi^{r}(1+\xi^r/n)^{1/r-1}  \leq |\xi|^{r}(1+\xi^r/n)^{1/r-1} \leq \beta(1+|\xi), 
\end{align*}
$\beta \in \R^{+}$, na mocy obliczeń granicy (\ref{trudna_granica}). Następnie rozważmy przypadek $|\xi|^{r}/n \leq 1$
Zauważmy, że na mocy reguły d'Hospitala funkcja
\begin{align*}
\frac{(1+x)^{\frac{1-r}{r}}-1}{x} \xrightarrow{x \rightarrow \infty} \frac{1-r}{r}.
\end{align*}
Zatem jest funkcją ograniczoną na zbiorze zwartym stąd
\begin{align*}
\xi^{r}\frac{(1+\xi^r/n)^{1/r-1}-1}{\xi^{r}/n} < \gamma.
\end{align*}
Stąd funkcję $\eta_{n}$ możemy zmajoryzować wyrażeniem $\beta(1+|\xi|+|\xi|^{r})$. Oczywiście $\xi \in L_{p}(\mu) \Rightarrow \beta(1+|\xi|) \in L_{p}(\mu) $, ale zauważmy, że dla $p \in (1,2)$ 
 na mocy Stwierdzenia \ref{obraz_gwiazdka}, $|\xi| \in \mathcal{R}(E^{*}) \subseteq L_{q}(\mu) $ oraz z nierówności H\"oldera $q >2$ i $p<q$, zatem $L_{q}(\mu)  \subseteq L_{p}(\mu) $ i ostatecznie dla $p \in (1,2)$ mamy $\xi \in \mathcal{R}(E) \Rightarrow \xi^{p-1} \in L_{p}(\mu) $.
\end{proof}


\begin{lem}
Jeżeli $\xi \in \mathcal{R}(E)$, $r \in (0,1)$ to dla każdego $n \in \N$ zachodzi $\xi^{r^{n}} \in \mathcal{R}(E^{*})$.
\end{lem}
\begin{proof}
 Załóżmy $\xi^{r^{n}} \in \mathcal{R}E^{*}$. Ponieważ $\xi^{r^{n+1}} = \xi^{r^{n^{r}}}$, to na mocy dowodu Lematu \ref{najtrudniejsze}, $\xi^{r} \in \mathcal{R}E^{*}$.
Zatem teza zachodzi na mocy indukcji  matematycznej.
\end{proof}

\begin{proof}[Dowód Twierdzenia \ref{thm:Ando_Lp_to_L1}]
Niech $p \in (1,2)$. Zauważmy, że zachodzi zbieżność punktowa $\xi^{r^{n}} \xrightarrow{n \rightarrow \infty} \mathrm{sgn}(\xi)$, z drugiej strony $\xi^{r^{n}}$ można zmajoryzować przez $1+|\xi|^{r} \in L_{p}(\mu)$. Połóżmy $\xi = E(\zeta)$. Mamy
\begin{align*}
\int_{\Omega}|E(\zeta)|d\mu=& \int_{\Omega}E(\zeta) \mathrm{sgn}(\xi) d\mu=\lim_{n \rightarrow \infty}\int_{\Omega}E(\zeta) \xi^{r^{n}}d\mu=\lim_{n \rightarrow \infty}\int_{\Omega}\zeta  E^{*} (\xi^{r^{n}})d\mu \\=& \lim_{n \rightarrow \infty}\int_{\Omega}\zeta   \xi^{r^{n}}d\mu=\int_{\Omega}\zeta   \mathrm{sgn}(\xi) d\mu \leq \int_{\Omega}\zeta d\mu \leq  \int_{\Omega}|\zeta| d\mu,
\end{align*}
co kończy dowód dla przypadku $p \in (1,2)$.

Niech $p \in (2,\infty)$. Jeżeli $E$ będzie zachowującym 1 rzutem kontraktywnym to na mocy Lematu \ref{obraz_gwiazdka} $E^{*}$ również będzie rzutem kontraktywnym zachowującym 1. Stąd dla $E: L_{p}(\mu) \rightarrow L_{p}(\mu)$, $p \in (2, \infty)$, na mocy dowodu poprzedniego przypadku operator $E^{*}$ jest kontraktywny w normie $L_{1}(\mu)$. Na mocy Twierdzenia Douglasa jest również dodatni. Stąd dla $\xi \in \mathcal{R}(E)$ mamy
\begin{align*}
\int_{\Omega} |E(\xi)| d\mu &=\int_{\Omega}E(\xi) \mathrm{sgn}(\xi) d\mu=\int_{\Omega}\xi E^{*} (\mathrm{sgn}\xi) d\mu
 \leq \int_{\Omega}|\xi|| E^{*} (\mathrm{sgn}\xi)| d\mu 
\\
&\leq \int_{\Omega}|\xi|E^{*}| \mathrm{sgn}(\xi)| d\mu \leq \int_{\Omega}|\xi|E^{*}(1) d\mu=\int_{\Omega}|\xi| d\mu,
\end{align*}
co dowodzi kontraktywności dla przypadku $p \in (2, \infty)$.

Niech $p=2$. Przy założeniu, że $E$ jest operatorem dodatnim, dowód przebiega w sposób analogiczny do przypadku powyższego.
\end{proof}

\section{Charakteryzacja rzutu kontraktywnego}

Stosując  Twierdzenie Ando (Twierdzenie \ref{thm:Ando_Lp_to_L1}) otrzymujemy następujące  uogólnienie  Twierdzeniem Douglasa (Twierdzenie \ref{thm:Douglas}) na przypadek przestrzeni $L_p(\mu)$, 
dla
$p\geq 1$.

\begin{thm}[Charakteryzacja rzutów zachowywujących funkcję stałą w przestrzeniach $L_p$]\label{thm:unital_projections}
 Operator $E: L_{p}(\mu) \rightarrow L_{p}(\mu)$ dla $p \geq 1, p \neq 2$, jest rzutem kontraktywnym zachowującym $1$ wtedy i tylko wtedy gdy
$E$ jest  operatorem warunkowej wartości oczekiwanej względem pewnego $\sigma$-ciała $\mathcal{M}\subseteq \FF$.


Teza  prawdziwa jest  również dla $p=2$, o ile dodatkowo założymy, że $E$ jest operatorem dodatnim.
\end{thm}

\begin{proof} Operator  warunkowej wartości oczekiwanej na $L_p(\mu)$ jest kontraktywnym rzutem na mocy Wniosku \ref{cor:WWO_na_Lp},
operator ten zachowuje $1$ i jest dodatni (patrz Twierdzenie \ref{thm:properties_of_WWO}).

Załóżmy że $E: L_{p}(\mu) \rightarrow L_{p}(\mu)$ jest dowolnym rzutem kontraktywnym zachowującym $1$, oraz że $E$ jest dodatni, o ile $p=2$. 
Na mocy Twierdzenia Ando (Twierdzenie \ref{thm:Ando_Lp_to_L1}), $E$ można przedłużyć do kontraktywnego operatora $E:L_{1}(\mu) \rightarrow L_{1}(\mu)$.
Przedłużony operator pozostaje rzutem zachowującym $1$.  Zatem na mocy Twierdzenia Douglasa (Twierdzenie \ref{thm:Douglas}) $E=\EE^{\MM}$ dla pewnego $\sigma$-podciała $\mathcal{M}\subseteq \FF$.
\end{proof}
\begin{exm} Założenie o dodatniości rzutu, gdy $p=2$ jest istotne (zarówno w Twierdzeniu \ref{thm:unital_projections} jak i w Twierdzeniu \ref{thm:Ando_Lp_to_L1}).
Rzeczywiście, rozważmy przestrzeń $L_2[-1,1]$ oraz rzut ortogonalny $P$ na przestrzeń funkcji afinicznych, tzn. rozpiętą przez funkcje $1$ oraz $t$.
Wtedy $P$ jest kontraktywnym rzutem danym wzorem 
\begin{align*}
P(\xi) = \frac{\langle 1, \xi\rangle}{\langle 1, 1\rangle}\cdot 1 + \frac{\langle t, \xi\rangle}{\langle t, t\rangle}\cdot t=\frac{1}{2}\int_{-1}^1 \xi(s)\, ds +  \frac{3}{2}\int_{-1}^1 s \xi(s)\, ds \cdot t.
\end{align*}
Oczywiście, $P(1)=1$ zachowuje jedynkę, ale nie jest operatorem dodatnim, np. $P\chi_{[0,1]}=1/2 +3/4\cdot t$ nie jest funkcją nieujemną na $[-1,1]$. 
W szczególności $P$ nie jest warunkową wartością oczekiwaną i nie jest operatorem kontraktywnym w normie $L_1$.   
\end{exm}


W powyższych rozważaniach, dla utrzymania klarowności dowodów, utrzymywaliśmy założenie o zachowywaniu przez rzut kontraktywny funkcji stałej. 
Założenie to jest dość naturalne, choćby z punktu widzenia probabilistyki. Niemniej jednak  w pracach \cite{ando, douglas} przedstawiono rozumowania prowadzące do opisu dowolnych rzutów kontraktywnych (niekonienicznie zachowujących funkcję stałą). %Aby otrzymać charakterystykę dowolnych rzutów (niekonienicznie zachowujących jedynkę) potrzebujemy nieco uogólnić pojęcie warunkowej wartości oczekiwanej. 
Co więcej pojęcie rzutu kontraktywnego jest istotne w budowaniu charakteryzacji izometrii częściowych, gdzie założenie o niezmienniczości funkcji stałej staje się nieco sztuczne i trywializuje problem. Ponieważ kolejnym naszym krokiem jest taka ogólna charakteryzacja, potrzebny staje się ogólny opis rzutu kontraktywnego. 

Zaczniemy od od ugólnienia pojęć $\sigma$-podciała oraz warunkowej wartości oczekiwanej. 
\begin{dfn}[$\sigma$-podciało z elementem maksymalnym]
Niech $B\in \FF$ będzie zbiorem mierzalnym. 
Każde $\sigma$-podciało $\MM$  $\sigma$-ciała  $\FF_{B}=\{A\in\FF:A \subseteq B\}$ podzbiorów $B$ będziemy nazywać  \emph{$\sigma$-podciałem $\FF$ z elementem maksymalnym $B$}.
\end{dfn}
%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{dfn}[Warunkowa wartość oczekiwana względem $\sigma$-ciała z elementem maksymalnym]
Niech $\MM \subseteq \FF$ będzie $\sigma$-podciałem z elementem maksymalnym $B$. \emph{Warunkową wartością oczekiwaną $\xi \in L_{p}(\mu)$ pod warunkiem $\MM$} będziemy nazywali funkcję $\EE^{\MM}(\xi) \in L_{p}(\mu)$ spełniającą następujące warunki
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
\item $\EE^{\MM}\xi=\EE^{\MM}(\xi\chi_{B})=\chi_{B}\EE^{\MM}\xi$,
\item  $\EE^{\MM}\xi$ jest $\MM$-mierzalna, to jest dla każdego zbioru borelowskiego $A$ jego przeciwobraz $(\EE^{\MM}\xi)^{-1}(A) \in \MM$,
\item Dla każdego zbioru $A \in \MM$ zachodzi warunek $\int_{A}\EE^{\MM}\xi d\mu = \int_{A}\xi d\mu$.
\end{enumerate}
\end{dfn}

\begin{rem} 
Warunki (2) i (3) są odpowiednikami warunków (WWO1) i (WWO2) ze standardowej definicji warunkowej wartości oczekiwanej.
Natomiast warunek (1) pozwala powyższą definicję sprowadzić do standardowej. Mianowicie, nietrudno spostrzec, że 
 $\overline{\MM}:=\MM \cup \{A \cup B': A\in \MM\}$ jest $\sigma$-podciałem $\FF$ oraz dla dowolnego $\xi \in L_{p}(\mu)$ 
funkcja  $\chi_{B}\EE^{\overline{\MM}}\xi =\EE^{\overline{\MM}}(\chi_{B}\xi)$ spełnia warunki (1)--(3). Zatem
\begin{align*}
\EE^{\MM}\xi= \chi_{B}\EE^{\overline{\MM}}\xi=\EE^{\overline{\MM}}(\chi_{B}\xi).
\end{align*} 
W szczególności warunkowa wartość oczekiwana $\EE^{\MM}(\xi)$ zawsze istnieje i ma własności (1), (2), (4) opisane w Twierdzeniu \ref{thm:properties_of_WWO}.
\end{rem}

Przypomnijmy, że przez nośnik elementu $\xi $ przestrzeni $ L_p(\mu)$ rozumiemy zbiór 
$\mathrm{supp}(\xi):=\{t\in \Omega:\xi(t)\neq 0\}$, który jest wyznaczony jednoznacznie z dokładnością do zbiorów miary zero.
W szczególności inkluzję $\mathrm{supp}(\eta )\subseteq \mathrm{supp}(\xi) $ będziemy również rozumieć z dokładnością do zbiorów miary zero.

\begin{dfn}[Ważona warunkowa wartość oczekiwana]
Dla każdego $h \in L_p(\mu)$ oraz $\sigma$-podciała $\MM$ z elementem maksymalnym $\mathrm{supp}(h)$,  \emph{ważoną wartością oczekiwaną pod warunkiem} $\MM$ \emph{z wagą} $h$ będziemy nazywać operator $E^\MM_{h}:L_p(\mu)\to L_p(\mu)$
dany wzorem
\begin{align*}
\EE^\MM_{h}(\xi)=\frac{h}{\EE^{\MM}(|h|^{p})}\cdot   \EE^{\MM}\left(\xi\overline{h}^{p-1}\right),
\end{align*} 
gdzie $\EE^{\MM}:L_1(\mu) \rightarrow L_{1}(\mu)$ jest warunkową wartością oczekiwaną względem $\MM$, a  wzór ma sens $\mu$-prawie wszędzie, gdyż $\EE^{\MM}|\xi|^{p}\neq 0$ $\mu$-prawie wszędzie.
\end{dfn}

\begin{prop}\label{prop:Weighted_WWO}
Dla każdego $p \in [1,\infty)$ operator $\EE^\MM_{h}: L_p(\mu) \rightarrow L_{p}(\mu)$ jest poprawnie określonym rzutem  kontraktywnym.
De facto operator ten jest izometrycznie równoważny  warunkowej wartości oczekiwanej bez wagi.
\end{prop}

\begin{proof}
Rozważmy przestrzeń  $L_p((|h|^p+\chi_{\supp(h)'})\mu)$ z miarą $\mu$ przemnożoną przez gęstość $|h|^p+\chi_{\supp(h)'}$.
Operator $U:L_p(\mu)\to L_p((|h|^p+\chi_{\supp(h)'})\mu)$ dany wzorem $U\xi= \frac{\xi}{h}\chi_{\supp(h)} +\xi \chi_{\supp(h)'}$ jest wtedy
odwracalną izometrią. Oznaczając przez $\EE^{\MM}$ warunkową wartość oczekiwaną pod warunkiem  $\MM$  na  $L_p((|h|^p+\chi_{\supp(h)'})\mu)$, można sprawdzić, że
\begin{align*}
\EE^\MM_{h}=U\EE^{\MM}U^{-1}
\end{align*} 
(szczegóły wystąpią w dowodzie Twierdzenia \ref{thm:Ando_thm}).

Jako, że $P$ jest kontraktywnym rzutem, otrzymujemy stąd, że $\EE^\MM_{h}$ również posiada te własności.
\end{proof}
\begin{rem}
Rzut $\EE^\MM_{h}$ jest warunkową wartością oczekiwaną $\EE^\MM$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\EE^\MM_{h}(1)=\chi_{\supp(h)}$. 
\end{rem}

\begin{exm}
Rozważmy przestrzeń $L_p[-1,1]$, funkcję znaku $h:=\text{sgn}$ oraz trywialne $\sigma$-ciało $\MM=\{\emptyset, [-1,1]\}$. Wtedy
\begin{align*}
\EE^\MM_{h}(\xi)=h \EE^{\MM}\left(\xi h\right)
\end{align*} 
jest kontraktywnym rzutem na jednowymiarową podprzestrzeń rozpiętą przez $h$. W szczególności, $\EE^\MM_{h}$ nie jest rzutem dodatnim oraz  $\EE^\MM_{h}(1)=0$ (nie zachowuje jedynki). 
Mimo to rzut $\EE^{\MM}_{h}$ jest izometrycznie równoważny z warunkową wartością oczekiwaną $\EE^\MM$, mamy  $\EE^\MM_{h}=U\EE^\MM U^{-1}$, gdzie $U:L_p[-1,1]\to L_p[-1,1]$ jest operatorem mnożenia przez $h$, oraz $\EE^\MM(\xi)=1 \EE\left(\xi \right)$.
\end{exm}

Teraz wykażemy, że dla $p \in [1,\infty)\setminus\{2\}$, każdy kontraktywny rzut na $L_p(\mu)$ jest ważoną warunkową wartością oczekiwaną. Kluczową rolę w dowodzie tego twierdzenia odgrywa poniższy lemat.
 
\begin{lem}\label{lem:element_maksymalny}
Każda domknięta podprzestrzeń liniowa $\mathfrak{M}\subseteq L_{p}(\mu)$ posiada element z maksymalnym nośnikiem, tzn. istnieje funkcja
$h\in \mathfrak{M}$ taka, że $\mathrm{supp}(\xi )\subseteq \mathrm{supp}(h) $ dla dowolnego $\xi\in \mathfrak{M}$.
\end{lem}
\begin{proof}
Zacznijmy od konstrukcji ciągu $\{ h_n\}_{n=1}^\infty \subseteq \mathfrak{M}$ takiego, że $\mathrm{supp}(\xi )\subseteq \bigcup_{n\in \N} \mathrm{supp}( h_n) $ dla każdego $\xi\in \mathfrak{M}$.
Konstrukcja jest indukcyjna. Wybierzmy $h_1\in \mathfrak{M}$ dowolnie. Jeżeli ciąg $\{ h_n\}_{n=1}^{N-1}\subseteq \mathfrak{M}$ został już wybrany, to wybierzmy $ h_N\in \mathfrak{M}$ takie, że 
\begin{align*}
\mu\left( \supp( h_N) -  \bigcup_{i=1}^{N-1} \mathrm{supp}( h_i)\right) >\frac{1}{N},
\end{align*} 
o ile jest to możliwe, lub w przeciwnym razie połóżmy $ h_N\equiv 0$. 
Załóżmy teraz nie wprost, że  istnieje $\eta\in \mathfrak{M}$ takie, że $\mathrm{supp}(\eta )\not\subseteq \bigcup_{n\in \N} \mathrm{supp}( h_n) $. 
Wtedy istnieje $M$ takie, że 
$
\mu\left( \supp(\eta) -  \bigcup_{n=1}^{\infty} \mathrm{supp}( h_n)\right) >\frac{1}{M}
 $. 
To implikuje, że $ h_N\neq 0$ dla $N\geq M$. Stąd
\begin{align*}
\mu(\bigcup_{n=1}^{\infty} \mathrm{supp}( h_n))&=\sum_{n=1}^\infty   \mu\left(\mathrm{supp}( h_n)- \bigcup_{i=1}^{n-1} \mathrm{supp}( h_i)\right)
\\
& \geq \sum_{N=M}^\infty   \mu\left(\mathrm{supp}( h_N)- \bigcup_{i=1}^{N-1} \mathrm{supp}( h_i)\right)>\sum_{N=M}^\infty \frac{1}{N}=\infty,
\end{align*} 
co jest sprzeczne z naszym założeniem, że miara $\mu$ jest skończona.
%%%%%%%%%%%%%%%%
Normalizując  ciąg $\{ h_n\}_{n=1}^\infty \subseteq \mathfrak{M}$ możemy założyć, że $\| h_n\|_p=1$ dla $n\in \N$. 
Zaczynając od $\alpha_1:=1$, $A_0=\emptyset$ i $\gamma_{0,k}=1$ dla $k\in \N$, skonstruujemy indukcyjnie ciągi 
$\{\alpha_j\}$, $\{\gamma_{j,k}\}$ oraz $\{A_j\}$, takie że kładąc $g_j:=\sum_{k=1}^j \alpha_k h_k$ spełnione są warunki 
\begin{enumerate}[(a)]
\item $2^{-k} \geq \gamma_{j-1,k} \geq \gamma_{j,k} >0$ dla $k\geq j+1$,

\item  $\supp(g_j)\supseteq A_j$  oraz $\mu(\supp(g_j)\setminus A_j) \leq 2^{-j+2}$ dla $j\geq 1$,


\item $\gamma_{j-1,j} \geq \alpha_j >0$ oraz  $\supp(g_j)=\bigcup_{k=1}^j\supp(h_k)$,

\item $|g_j| > \sum_{k=j+1}^\infty \gamma_{j,k} |h_k|$  na $A_j$ dla $j\geq 1$.

\end{enumerate}
Załóżmy, że wybraliśmy już $A_j$, $\gamma_{j,k}$ dla $j\leq n-1$ i $k\geq j+1$, oraz $\alpha_j$ dla $j\leq n$.
Wybierzmy $0<\varepsilon <1$, taki że 
\begin{align*}
\mu(\supp(g_{n})\setminus \{|g_n|>\varepsilon\}) \leq 2^{-n}.
\end{align*} 
Ponieważ
\begin{align*}
\mu(\{|h_k|> 2^{kn/p})\leq 2^{-nk}\int |h_k|^p\, d\mu =2^{-nk},
\end{align*} 
to kładąc 
\begin{align*}
A_n:=\bigcap_{k=n+1}^\infty \{|h_k|\leq  2^{kn/p}\} \cap \{|g_n|>\varepsilon\}
\end{align*} 
oraz 
\begin{align*}
\gamma_{n,k}:=\min\{\gamma_{n-1,k}, 2^{-k-(nk/p)}\varepsilon\},  \text{ dla }k\geq n+1,
\end{align*} 
otrzymujemy (a) i (b) dla $j=n$. W szczególności
\begin{align*}
\mu(\supp(g_n)\setminus A_n)\leq \mu(\supp(g_{n})\setminus \{|g_n|>\varepsilon\}) + \sum_{k=n+1}^\infty\mu(  \{|h_k|> 2^{kn/p}\})\leq 2^{-n+2}.
\end{align*} 
Dla różnych $0<\alpha<\gamma_{n,n+1}$ zbiory $\supp(h_{n+1}) \cap \{g_n+\alpha h_{n+1}=0\}$ są rozłączne. Dlatego co najwyżej przeliczalna ich ilość może mieć miarę dodatnią. 
Możemy zatem wybrać $0<\alpha_{n+1}<\gamma_{n,n+1}$, takie że
\begin{align*}
\mu(\supp(h_{n+1}) \cap \left\{g_n+\alpha_{n+1} h_{n+1}=0 \right\})=0.
\end{align*} 
Wtedy 
$
\supp(g_{n+1})=\supp(g_{n}+\alpha_{n+1} h_{n+1})=\supp(g_{n})\cup\supp(h_{n+1}),
$
czyli na mocy założenia indukcyjnego zachodzi (c) dla $j=n+1$.
% Ponadto, dla $j\geq n+1$  mamy
%$$
%\left\|\sum_{k=n+1}^j \gamma_{n,k}|h_k|\right\|_{p}\leq \sum_{k=n+1}^j 2^{-k}=2^{-n}.
%$$
%Zatem szereg $\sum_{k=n+1}^\infty \gamma_{n,k}|h_k|$ jest zbieżny (w sposób monotoniczny) do funkcji z $L_p(\mu)$. 
Na mocy definicji zbioru $A_n$ oraz liczb $\gamma_{n,k}$,
dla $t \in A_n$ mamy
\begin{align*}
|g_{n}(t)| - \sum_{k=n+1}^\infty \gamma_{n,k} |h_k|(t)> \varepsilon - \sum_{k=n+1}^\infty 2^{-k-(nk/p)}\varepsilon\cdot 2^{kn/p}=\varepsilon- 2^{n}\varepsilon>0,
\end{align*} 
co dowodzi (d) dla $j=n$. 

Posiadając obiekty spełniające (a)--(d) połóżmy
\begin{align*}
h:=\sum_{k=1}^\infty \alpha_k h_k
\end{align*} 
Na mocy (a) i (c)  szereg ten jest zbieżny w normie, stąd $h\in \mathfrak{M}$. Dodatkowo warunek (d) zapewnia, że 
\begin{align*}
h=g_n + \sum_{k=n+1}^\infty \alpha_k h_k \neq 0
\end{align*} 
na zbiorze  $A_n$.
Zatem biorąc pod uwagę warunki (b) i (c) otrzymujemy, że
\begin{align*}
\mu\big(\bigcup_{n\in \N} \mathrm{supp}( h_n)\setminus \supp(h)\big)&=\lim_{n\to \infty}\mu\big( \mathrm{supp}( g_n)\setminus \supp(h)\big)
\\
&\leq \lim_{n\to \infty}\mu\left( \mathrm{supp}( g_n)\setminus A_n\right) \leq  \lim_{n\to \infty} 2^{-n+2}=0.
\end{align*}
Czyli szukaną funkcją jest $h$.
\end{proof}

\begin{cor}\label{cor:positive_maximal_element}
Obraz  kontraktywnego rzutu dodatniego $E:L_p(\mu)\to L_p(\mu)$, $p \in [1,\infty)$, zawiera nieujemną funkcją o maksymalnym nośniku.  
\end{cor}

\begin{proof} Lemat \ref{lem:element_maksymalny} gwarantuje istnienie pewnego $h\in \mathfrak{M}:=E(L_p(\mu))$ o maksymalnym nośniku. 
Na mocy Lematu \ref{LEM24}, który możemy zastosować do $p\geq 1$ dzięki Twierdzeniu \ref{thm:Ando_Lp_to_L1}, mamy wtedy również $|h|\in \mathfrak{M}$. 
Możemy też ten ostatni fakt dowieść wprost (daje to również krótszy dowód Lematu \ref{LEM24}) jak następuje. Dla dowolnego $\xi \in \mathfrak{M}$, z dodatniości operatora $E$, mamy
\begin{align*}
|\xi|=|E(\xi)|=|E(\xi^+)- E(\xi^-)|\leq |E(\xi^+)|+|E(\xi^-)|=E(\xi^+ + \xi^-)=E(|\xi|).
\end{align*} 
W szczególności $|\xi|^p\leq E(|\xi|)^p$. Z drugiej strony, z kontraktywności $E$, mamy 
$\int E(|\xi|)^p\, d\mu =\|E(\xi)\|_p^p\leq \|\xi\|_p^p=\int |\xi|^p\, d\mu$. Stąd $E(|\xi|)=|\xi|$. Czyli $|\xi| \in \mathfrak{M}$.
\end{proof}
%Pierwsza część poniższego twierdzenia, to słynny wynik Ando \cite{ando}. Druga część jest wnioskiem z dowodu, który będzie istotny w naszym opisie częściowych izometrii.

\begin{thm}[Charakteryzacja rzutów kontraktywnych, Ando, 1966]\label{thm:Ando_thm}
 Operator $E: L_p(\mu) \rightarrow L_{p}(\mu)$, dla $p\in(1,\infty)\setminus\{2\}$, jest rzutem kontraktywnym wtedy i tylko wtedy, gdy $E=\EE^{\MM}_h$ jest ważoną warunkową wartością oczekiwaną 
z wagą $h \in L_p(\mu)$ oraz $\sigma$-podciałem $\MM$ z elementem maksymalnym $\mathrm{supp}(h)$.
(Za  $h$ można wziąć dowolną funkcję z obrazu $E$ o maksymalnym nośniku.)

Teza  prawdziwa jest dla wszystkich $p \in (1,\infty)$, o ile dodatkowo założymy, że $E$ jest operatorem dodatnim, a $h$ funkcją nieujemną.
\end{thm}

\begin{proof}
Każda ważona warunkowa wartość oczekiwana $\EE^{\MM}_h$ jest kontraktywnym rzutem na mocy Stwierdzenia \ref{prop:Weighted_WWO}. Jasnym jest, że $\EE^{\MM}_h$ jest operatorem dodatnim, jeżeli $h\neq 0$.
Zatem potrzebujemy jedynie pokazać, że (dodatni) kontraktywny rzut  $E: L_p(\mu) \rightarrow L_{p}(\mu)$  jest ważoną warunkową wartością oczekiwaną (z dodatnią wagą). Stosując Lemat \ref{lem:element_maksymalny} do obrazu operatora $E$ możemy wybrać 
$h\in E(L_p(\mu))$ o maksymalnym nośniku. Na mocy Wniosku \ref{cor:positive_maximal_element} możemy założyć, że $h\geq 0$, jeśli operator $E$ jest dodatni.  
 Rozważmy przestrzeń z miarą skończoną $(B, \FF_{B}, \mu_p)$, gdzie miarę $\mu_p:=|h|^p \mu$ rozumiemy następująco 
\begin{align*}
\int_{B}\xi d\mu_p= \int_{B} \xi|h|^{p}d\mu.
\end{align*}
Zdefiniujmy  operator ograniczony $P \in \mathcal{B}\left(L_{p}(B, \FF_{B}, \mu_{p})\right)$ wzorem
\begin{align*}
P\kappa:=\frac{E(\kappa h)}{h}.
\end{align*}
Operator ten jest dobrze określony ponieważ na $B$ funkcja $h \neq 0$. Zauważmy następnie, że taki operator jest kontraktywnym idempotentem zachowującym funkcję $\chi_{B}$.  Rzeczywiście, ponieważ $E$ na swoim obrazie działa jak identyczność to
\begin{align*}
P^{2}\kappa=P(P\kappa)=P\left(\frac{E(\kappa h)}{\kappa}\right)=\frac{E\left(\frac{E(\kappa h)}{ h} h\right)}{ h}=\frac{E(E\kappa h)}{ h}=\frac{E(\kappa h)}{ h}=P\kappa.
\end{align*}
Następnie rozważmy działanie operatora $P$ na funkcję $\chi_{B}$. Zauważmy, że $\chi_{B}$ jest funkcją charakterystyczną $ h$ zatem
\begin{align*}
P\chi_{B}=\frac{E(\chi_{B} h)}{ h}=\frac{E( h)}{ h}=\chi_{B}.
\end{align*}
Pozostaje zbadać normę operatora $P$. Korzystając ze sposobu w jaki zdefiniowaliśmy miarę $\mu_{p}$ mamy
\begin{align*}
\|P\kappa\|^{p}_{L(\mu_{p})}&=\int_{B}|P\kappa|^{p}d\mu_{p}=\int_{B}\left\lvert \frac{E(\kappa h)}{ h} \right\rvert^{p}d\mu_{p}=\int_{B}|E( h\kappa)|^{p}d\mu \\ &=\|E(\kappa h)\|^{p}_{p} \leq \|\kappa h\|^{p}_{p}=\|\kappa\|^{p}_{L(\mu_{p})}.
\end{align*}
Na mocy Twierdzenia \ref{thm:unital_projections} istnieje $\sigma$-podalgebra  $\MM \subseteq \FF_{B}$ (z elementem maksymalnym $B$),
 taka że $P$ jest warunkową wartością oczekiwaną względem $\MM$ w przestrzeni $L_{p}(B, \FF_{B}, \mu_{p})$.
Innymi słowy, dla każdej funkcji $\kappa \in L_{p}(B, \FF_{B}, \mu_{p})$   zachodzi następujący warunek
\begin{align*}\label{ando_wwo2}
\int_{A}(P\kappa) | h|^{p}d\mu=\int_{A}\kappa| h|^{p}d\mu
\end{align*}
dla każdego  $A \in \MM$.

Funkcje $(P\kappa) | h|^{p}$,  $\kappa| h|^{p}$ możemy traktować jako elementy przestrzeni $L_1(\Omega, \FF, \mu)$ (zerujące się poza $B$).
Wtedy, stosując  operator warunkowej wartości oczekiwanej $\EE^{\MM}:L_1(\mu) \rightarrow L_{1}(\mu)$,  powyższy warunek %\eqref{ando_wwo2} 
można równoważnie zapisać
\begin{align*}
\EE^{\MM}\left((P\kappa) | h|^{p}\right)=\EE^{\MM}\left(\kappa| h|^{p}\right).
\end{align*} 
Korzystając dodatkowo z $\MM$-mierzalności funkcji $P(\kappa)$  mamy  $(P\kappa)  \EE^{\MM}(| h|^{p})=\EE^{\MM}(\kappa| h^{p}|)$ lub równoważnie
\begin{align*}
P\kappa = \frac{\EE^{\MM}(\kappa| h^{p}|)}{ \EE^{\MM}(| h|^{p})}.
\end{align*}
Zauważmy, że jeśli $\xi \in L_{p}(\Omega, \FF, \mu)$, to $\kappa:= \frac{\xi}{ h} \in L_{p}(B, \FF_{B}, \mu_{p})$ i
stąd wyjściowy rzut $E$ dany jest wzorem
\begin{align*}
E\xi&=E(\xi\chi_{B})+E(\xi\chi_{B'})= h\frac{E\left(\frac{\xi}{ h}   h\right)}{ h}+E(\xi\chi_{B'})
\\&= h P\left(\frac{\xi}{ h}\right)+E(\xi\chi_{B'})= h\frac{\EE^{\MM}\left(\frac{\xi}{ h}| h|^{p}\right)}{\EE^{\MM}(| h|^{p})}+E(\xi\chi_{B'}).
\end{align*}
Pozostaje kwestia wykazania, że składnik $E(\xi\chi_{B'})$ znika. Wykorzystamy tu założenie, że $p>1$. By uprościć notację załóżmy, że $\supp(\xi) \subseteq B'$. 
 Niech $\varepsilon >0$. 
Z faktu, że $E$ jest odpowiednio liniowym idempotentem, kontrakcją oraz $\mathrm{supp}(E\xi)\cap\mathrm{supp}(\xi)=\emptyset$, mamy
\begin{align*}
(1+\varepsilon)^{p}\int_{\Omega}|E\xi|^{p}d\mu&=\int_{\Omega}|E\xi+\varepsilon E \xi|^{p}d\mu
=\int_{\Omega}|E(E\xi+\varepsilon\xi)|^{p}d\mu 
\\
&
\leq \int_{\Omega}|E\xi+\varepsilon\xi|^{p}d\mu=\int_{\Omega}|E\xi|^{p}d\mu+\varepsilon^{p}\int_{\Omega}|\xi|^{p}d\mu.
\end{align*}
Stąd
\begin{align*}
\frac{(1+\varepsilon)^{p}-1}{\varepsilon^{p}}\int_{\Omega}|E\xi|^{p}d\mu\leq\int_{\Omega}|\xi|^{p}d\mu.
\end{align*}
Jeżeli $p>1$, to wyrażenie $\frac{(1+\varepsilon)^{p}-1}{\varepsilon^{p}}$ dąży do nieskończoności, przy $\varepsilon$ dążącym do  zera. 
Wynika stąd, że $E\xi = 0$, co kończy dowód  twierdzenia.
\end{proof}

\begin{cor}\label{cor:ranges_of_contractive_projections}
Niech $p \in (1,\infty)\setminus\{2\}$. Każda podprzestrzeń przestrzeni $L_{p}(\mu)$, na którą istnieje rzut kontraktywny jest postaci 
\begin{align*}
h L_p(|h|^p\mu|_{\MM}):=\{h \xi  \in L_{p}(\mu): \xi \text{ jest $\MM$-mierzalna}\}  \subseteq L(\mu)
\end{align*} 
 i na każdą taką przestrzeń istnieje dokładnie jeden rzut kontraktywny.

\end{cor}
\begin{proof}
Łatwo jest sprawdzić, że obraz rzutu $\EE^{\MM}_h$, to przestrzeń $h L_p(|h|^p\mu|_{\MM})$.
Jeżeli $E$ jest jakimś kontraktywnym rzutem na tę podprzestrzeń, to na mocy dowodu Twierdzenia \ref{thm:Ando_thm} 
otrzymujemy, że $\widetilde{E}=\EE^{\widetilde{\MM}}_h$, gdyż $h$ jest elementem o maksymalnym nośniku w $h L_p(|h|^p\mu|_{\MM})$.
Natomiast $\widetilde{\MM}$ jest pewnym $\sigma$-podciałem z elementem maksymalnym $\supp(h)$ takim, że 
$h L_p(|h|^p\mu|_{\MM})=h L_p(|h|^p\mu|_{\widetilde{\MM}})$. Stąd z dokładnością do zbiorów 
miary zero rodziny $\MM$ i $\widetilde{\MM}$ muszą się pokrywać. Dokładniej 
dla każdego zbioru $A\in \MM$ istnieje $B\in \widetilde{\MM}$ taki, że $A\stackrel{\mu}{=}
B$ i na odwrót, dla każdego $B\in \widetilde{\MM}$ istnieje  $A\in \MM$ taki, że $A\stackrel{\mu}{=}
B$.
Stąd $\EE^{\MM}_h=\EE^{\widetilde{\MM}}_h$.
\end{proof}

\begin{cor}\label{cor:contractive_projections_conjugate_to_expectation}
Niech  $p \in (1,\infty)\setminus\{2\}$. Operator $E: L_p(\mu) \rightarrow L_{p}(\mu)$ jest rzutem kontraktywnym wtedy i tylko wtedy, gdy jest izometrycznie sprzężony z 
warunkową wartością oczekiwaną.
\end{cor}
\begin{proof} 
Wynika natychmiastowo z Twierdzenia \ref{thm:Ando_thm} i  Stwierdzenia \ref{prop:Weighted_WWO}.
\end{proof}

Na koniec, jako wniosek z dowodu Twierdzenia \ref{thm:Ando_thm} skomentujemy przypadek, gdy $p=1$. Wtedy, jak zauważył Douglas \cite{douglas}, opis kontraktywnych rzutów wymaga pewnej poprawki. 
\begin{thm}[Charakteryzacja rzutów kontraktywnych w $L_1$, Douglas, 1965]\label{thm:Douglas_thm_general}
 Operator $E: L_1(\mu) \rightarrow L_{1}(\mu)$ jest rzutem kontraktywnym wtedy i tylko wtedy, gdy 
\begin{align*}
E=\EE^{\MM}_h +V,
\end{align*} 
 gdzie $V$ jest kontrakcją taką, że 
$
V=V\chi_{\supp(h)'}, 
$
innymi słowy operator $V$ nie jest zerem na dopełnieniu nośnika $h$
oraz obraz $V$ jest zawarty w obrazie $\EE^{\MM}_h$  (równoważnie $V=\chi_{\supp(h)} V$ oraz $\frac{V\xi}{h}$ jest $\MM$-mierzalna dla każdego $\xi\in L_1(\mu)$).
\end{thm}

\begin{proof}
Jeśli $E=\EE^{\MM}_h +V$, gdzie $V$ jest kontrakcją z własnościami opisanymi w tezie, to łatwo sprawdzić, że $E$ jest rzutem kontraktywnym (w szczególności mamy $V^2=0$).
Na odwrót jeżeli  $E: L_1(\mu) \rightarrow L_{1}(\mu)$ jest dowolnym rzutem kontraktywnym, to z dowodu Twierdzenia \ref{thm:Ando_thm} wiemy, że 
\begin{align*}
E\xi=\EE^{\MM}_h(\xi)+ E(\xi\chi_{B'}),
\end{align*} 
gdzie człon $E(\xi\chi_{B'})$ znikał dla $p>1$. Dla $p=1$ definiując $V\xi:= E(\xi\chi_{B'})$ otrzymujemy tezę.
\end{proof}

\begin{cor}\label{cor:ranges_of_contractive_projections_p=1}
Każda podprzestrzeń przestrzeni $L_{1}(\mu)$, na którą istnieje rzut kontraktywny jest postaci 
\begin{align*}
h L_1(|h|\mu|_{\MM}):=\{h \xi  \in L_{1}(\mu): \xi \text{ jest $\MM$-mierzalna}\}  \subseteq L(\mu)
\end{align*} 
 i wszystkie rzuty kontraktywne na tę podprzestrzeń są postaci $\EE^{\MM}_h +V$, gdzie $
V=V\chi_{\supp(h)'}$
oraz obraz $V$ jest zawarty w obrazie $\EE^{\MM}_h$.
\end{cor}
\begin{exm}\label{exm:mbekhta_example_extended} 
Rozważmy  $\F^2\cong \ell_1(\{1,2\})$ z normą $\|(x,y)\|_1=|x|+|y|$. Dla każdego $\lambda \in \FF$, $|\lambda|\leq 1$. Operator $T:\F^2\to \F^2$ dany wzorem 
$T_\lambda(x,y)=(x+\lambda\cdot  y,0)$ jest kontraktywnym rzutem. Tutaj $T_0=\EE^\MM$ gdzie $\MM:=\{\emptyset, \{1\}\}$ oraz dla $V_\lambda(x,y):=(\lambda y, 0)$  mamy
\begin{align*}
T_\lambda= T_0 + V_\lambda= \EE^\MM + V_\lambda.
\end{align*} 
W szczególności, $T_\lambda$ jest ważoną warunkową wartością oczekiwaną wtedy i tylko wtedy, gdy $\lambda=0$.
\end{exm}

\chapter{Izometrie częściowe w przestrzeniach $L_{p}$}
W tym rozdziale zrealizujemy temat pracy i opiszemy izometrie częściowe w przestrzeniach $L_p$, $p\geq 1$. Elegancki, kompletny opis otrzymamy w przypadku, gdy $p \in (1,\infty)\setminus\{2\}$ oraz dla dodatnich izometrii , gdy $p>1$. Scharakteryzujemy również aksjomatycznie 
przestrzenne izometrie częściowe wprowadzone przez Phillipsa \cite{phillips0} i rozważane ostatnio przez wielu autorów (patrz \cite{cortinas_rodriguez, gardella}). 

W tym celu wykorzystamy strukturalne twierdzenia opisujące kontraktywne rzuty z poprzedniego rozdziału oraz Twierdzenie Banacha-Lampertiego opisujące izometrie pomiędzy przestrzeniami $L_p$.
Zaczniemy od szczegółowego omówienia tego ostatniego  twierdzenia wraz z pełnymi dowodami.
\section{Twierdzenie Banacha-Lampertiego}

W swojej klasycznej monografii \cite{banach}, Stefan Banach stwierdził, że odwracalne izometrie na przestrzeniach $L_p[0,1]$ dla $p\neq 2$, są ważonymi operatorami kompozycji z odwracalnymi odwzorowaniami mierzalnymi.  W tym podrozdziale przedstawimy pełen dowód charakteryzacji izometrii w przestrzeniach $L_p(\mu)$ z pracy Lampertiego \cite{lamperti}, jako pewnego uogólnienia ważonych operatorów kompozycji. 
W tym  rozdziale  $(\Omega_{\mu},\FF_{\mu}, \mu)$ oraz $(\Omega_{\nu},\FF_{\nu}, \nu)$ będą przestrzeniami z miarami skończonymi.
Jednym z zabiegów, które zastosował  Lamperti, było zastąpienie odwzorowania mierzalnego $\varphi: \Omega_{\mu} \rightarrow \Omega_{\nu}$, przez ogólniejsze pojęcie odwzorowania między 
$\sigma$-algebrami $\Phi:  \FF_{\nu} \rightarrow \FF_{\mu}$. Pojęcie to występujące w pracy Lampertiego pod nazwą \emph{regular set isomorphism} -- tu będziemy nazywać \emph{monomorfizmem}  przestrzeni z miarą.

\begin{rem}
W poniższym rozdziale równość zbiorów względem miary $\mu$ będziemy rozumieli w następujący sposób
$
A\stackrel{\mu}{=}B \iff \mu(A \triangle B)=0.
$
\end{rem}

\begin{dfn}[Morfizmy]\label{Morfizm_p_mierz}
\emph{Morfizmem} z  przestrzeni $(\Omega_{\mu},\FF_{\mu}, \mu)$ w przestrzeń  $(\Omega_{\nu},\FF_{\nu}, \nu)$ nazywać będziemy odwzorowanie $\Phi:  \FF_{\nu} \rightarrow \FF_{\mu}$ spełniające następujące warunki

\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
\item $A\cap B=\emptyset$ $\Longrightarrow$ $\Phi(A) \cap \Phi(B)\stackrel{\mu}{=}\emptyset$,
\item  $\{A_{n}\}_{n=1}^{\infty} \subseteq \FF_{\nu}$ i parami rozłączne  $\Longrightarrow$ $\Phi\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\right)\stackrel{\mu}{=}\bigcup_{n=1}^{\infty}\Phi(A_{n})$,
\item $\nu(A)=0 \implies \mu(\Phi(A))=0$,
\end{enumerate}
dla dowolnych zbiorów $A, B\in \FF_{\nu}$. Jeśli implikcję w warunku (3) zastąpimy  równoważnością, czyli dla każdego $A \in \FF_{\nu}$ zachodzi warunek
\begin{enumerate}
\item[(4)] $\nu(A)=0 \iff \mu(\Phi(A))=0$,
\end{enumerate}
to mówimy, że morfizm $\Phi$ jest \emph{monomorfizmem}. 
Jeżeli dodatkowo zachodzi warunek, że 
\begin{enumerate}
\item[(5)] dla każdego $B\in \FF_{\mu}$ istnieje  $A\in \FF_{\nu}$ taki, że $\Phi(A)\stackrel{\mu}{=} B$,
\end{enumerate}
to monomorfizm $\Phi$ będziemy nazywać \emph{izomorfizmem}. 
\end{dfn}

\begin{uwg}\label{uwg:warunki_morfizmu}
Przy założeniu  (2), warunek (1) jest równoważny warunkowi $
\Phi(\Omega)\setminus \Phi(A) \stackrel{\mu}{=} \Phi(\Omega \setminus A)$, który występuje w oryginalnej definicji z pracy \cite{lamperti}. 
Warunek (3) implikuje, że odwzorowanie $\Phi$ faktoryzuje się wzorem
\begin{align*}
[\Phi][A]:=[\Phi(A)], \qquad A \in \FF_{\nu}
\end{align*}
do  $\sigma$-addytywnego odwzorowania $[\Phi]:{\FF_{\nu}/}_{\stackrel{\nu}{=}} \to {\FF_{\mu}/}_{\stackrel{\mu}{=}}$ 
$\sigma$-zupełnych krat Boole'a. Odwzorowanie $[\Phi]$ jest injektywne wtedy i tylko wtedy, gdy $\Phi$ jest monomorfizmem. Morfizm $\Phi$ jest izomorfizmem  wtedy i tylko wtedy, gdy $[\Phi]$ jest izomorfizmem krat Boole'a.
\end{uwg}

%\begin{prop}\label{zlozenie_miar}
%\end{prop}

\begin{exm}\label{exm:measurable_map_vs_morphism}
Niech $\varphi: \Omega_{\mu} \rightarrow \Omega_{\nu}$ będzie odwzorowaniem mierzalnym. Wzór 
\begin{align*}
\Phi(A) := \varphi^{-1}(A), \qquad A\in \FF_{\nu},
\end{align*}
definiuje odwzorowanie  $\Phi:  \FF_{\nu} \rightarrow \FF_{\mu}$ spełniające warunki (1), (2) w Definicji \ref{Morfizm_p_mierz}. Natomiast warunek (3) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy odwzorowanie $\varphi$ jest \emph{nieosobliwe} co rozumiemy jako absolutną ciągłość miary $\nu$ względem miary $\mu \circ \varphi^{-1}$, gdzie 
 $\mu \circ \varphi^{-1}(A):=\mu(\varphi^{-1}(A))$ jest miarą na przestrzeni mierzalnej $(\Omega_{\nu},\FF_{\nu})$ nazywaną \emph{popchnięciem} lub też \emph{transportem} miary $\mu$ za pomocą odwzorowania $\varphi$. W szczególności $\Phi$ jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy   $\nu \sim \mu \circ \varphi^{-1}$.
Jeśli dodatkowo odwzorowanie $\varphi$ jest odwracalne i odwzorowanie odwrotne jest mierzalne, to $\Phi$ jest izomorfizmem.
Zauważmy na koniec, że dla nieosobliwego $\varphi$ \emph{operator kompozycji} 
\begin{align*}
T_\varphi \xi := \xi \circ \varphi
\end{align*}
jest poprawanie określonym  operatorem liniowym $T_{\varphi}:M(\nu)\to M(\mu)$ na przestrzeniach funkcji mierzalnych (gdzie utożsamiamy funkcje równe sobie prawie wszędzie).
\end{exm}

%\begin{dfn}
Chcąc zdefiniować \emph{operator kompozycji} dla dowolnego morfizmu  $\Phi :  \FF_{\nu} \rightarrow \FF_{\mu}$ będziemy postępować w następujący sposób. Po pierwsze wprost z warunków Definicji \ref{Morfizm_p_mierz} wynika, że wzór
\begin{align*}
T_{\Phi}\left(\sum_{n=1}^{N}a_{n}\chi_{A_{n}}\right):=\sum_{n=1}^{N}a_{n}\chi_{\Phi(A_{n})}
\end{align*}
poprawnie definiuje  dodatni operator liniowy $T_{\Phi} : S(\nu) \rightarrow S(\mu)$, na przestrzeniach funkcji prostych $S(\nu), S(\mu)$ (gdzie utożsamiamy funkcje równe sobie prawie wszędzie). Operator $T_{\Phi} : S(\nu) \rightarrow S(\mu)$
jest injektywny wtedy i tylko wtedy, gdy $\Phi$ jest monomorfizmem oraz odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy $\Phi$ jest izomorfizmem. 
Operator  $T_{\Phi} : S(\nu) \rightarrow S(\mu)$ przedłużamy na wszystkie funkcje mierzalne w następujący sposób.
Dla nieujemnej funkcji mierzalnej $\xi \in M(\nu)$ możemy wybrać niemalejący ciąg $\{\xi_{n}\}_{n=1}^\infty \subseteq S(\nu)$  zbieżny punktowo do $\xi$.
Wtedy ciąg $\{T\xi_{n}\}_{n=1}^\infty\subseteq S(\mu)$ jest również niemalejący, a zatem zbieżny do funkcji z $M(\mu)$. Kładziemy
\begin{align*}
T_{\Phi}\xi :=\lim_{n\to \infty} T\xi_{n}.
\end{align*}
Argument analogiczny do tego w Twierdzeniu Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej pokazuje, że definicja ta nie zależy od wyboru ciągu $\{\xi_{n}\}_{n=1}^\infty$. 
Dla dowolnej funkcji $\xi \in M(\nu)$ kładziemy $T_{\Phi}\xi:=T_{\Phi}\xi^+- T_{\Phi}\xi^-$. 
W ten sposób otrzymujemy poprawnie określony operator liniowy $T_{\varphi}:M(\nu)\to M(\mu)$. Szczegóły zostawiamy czytelnikowi (patrz też \cite[Proposition 5.6]{phillips0}).



\begin{exm}
Jeżeli  $\Phi(A)=\varphi^{-1}(A)$,  $A\in \FF_{\nu}$, dla pewnego odwzorowania $\varphi: \Omega_{\mu} \rightarrow \Omega_{\nu}$, jak w Przykładzie \ref{exm:measurable_map_vs_morphism},
 to $T_{\Phi}=T_{\varphi}$
jest operatorem kompozycji z odwzorowaniem $\varphi$  (wynika to z równości $\chi_{A} \circ \varphi = \chi_{\varphi^{-1}(A)}$).
\end{exm}

\emph{Ważonym operatorem kompozycji} będziemy nazywać operator $hT_\Phi:M(\nu)\rightarrow M(\mu)$ postaci
\begin{align*}
(hT_\Phi)  \xi:= h \cdot T_\Phi \xi,
\end{align*}
gdzie $h:\Omega_{\mu} \rightarrow \mathbb{F}$ jest pewną mierzalną funkcją liczbową.
Sformułujemy teraz warunek charakteryzujący kiedy takie operatory obcinają się do izometrii,
$hT_\Phi:L_p(\nu)\rightarrow L_p(\mu)$.  W tym celu  skorzystamy z pojęcia \emph{cofnięcia} $\nu\circ\Phi^{-1}$ \emph{miary} $\nu$ za pomocą morfizmu $\Phi$ opisanych w następującym lemacie. 
\begin{lem}\label{zlozenie_miary_i_morfizmu}
Dla dowolnego morfizmu  $\Phi : \FF_{\nu} \rightarrow \FF_{\mu}$ 
wzór 
\begin{align*}
\nu\circ\Phi^{-1}(B):=\nu(A), \text{ gdzie } B\stackrel{\mu}{=}\Phi(A),
\end{align*}
określa miarę na $\sigma$-ciele $\Phi(\FF_{\nu}):=\{B\in \FF_{\mu}: B\stackrel{\mu}{=}\Phi(A),\, A\in \FF_{\nu}\}$ z elementem maksymalnym $\Phi(\Omega_\nu)$.
Jeżeli $\Phi$ jest monomorfizmem, to miary $\nu\circ\Phi^{-1}$ oraz $\mu|_{\Phi_{(\FF_{\nu})}}$ są równoważne. 
\end{lem}

\begin{proof}
Rodzina $\Phi(\FF_{\nu})$ jest $\sigma$-ciałem, bo $\Phi$ zachowuje z dokładnością do zbiorów miary zero  różnice i  przeliczalne sumy (por. Uwaga \ref{uwg:warunki_morfizmu}).
Warunek (2) w Definicji \ref{Morfizm_p_mierz} implikuje $\sigma$-addytywność funkcji $\nu\circ\Phi^{-1}$.
Warunek (3) w Definicji \ref{Morfizm_p_mierz} gwarantuje, że $A\stackrel{\nu}{=}B$ implikuje $\Phi(A)\stackrel{\mu}{=}\Phi(B)$.
Czyli funkcja $\nu\circ\Phi^{-1}: \Phi(\FF_{\nu})\to [0,\infty)$ jest poprawnie określona, a zatem jest miarą. Jeśli zachodzi warunek (4), to 
 $A\stackrel{\nu}{=}B$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\Phi(A)\stackrel{\mu}{=}\Phi(B)$, co oznacza, że $\nu\circ\Phi^{-1}$ jest równoważną mierze $\mu|_{\Phi_{(\FF_{\nu})}}$. 
\end{proof}

\begin{prop}\label{prop:Lamperti_sufficient}
Niech $p \in [1,\infty)$. Dla dowolnego monomorfizmu  $\Phi : \FF_{\nu} \rightarrow \FF_{\mu}$ oraz funkcji mierzalnej $h:\Omega_{\mu} \rightarrow \mathbb{F}$ 
spełniających warunek 
\begin{equation}\label{eq:Lamperti_condition}
\EE^{\Phi(\FF_{\nu})}\big(|h|^{p}\big)=\frac{d\nu\circ\Phi^{-1}}{d\mu|_{\Phi(\FF_{\nu})}},
\end{equation}
ważony  operator kompozycji $hT_{\Phi}: L_p(\nu) \rightarrow L_p(\mu)$ jest poprawnie określoną izometrią.
\end{prop}
\begin{proof}
Niech $\xi:=\sum_{n=1}^{N}a_{n}\chi_{A_{n}}$, gdzie $\{A_n\}_{n=1}^N\subseteq \FF_{\nu}$ są parami rozłączne. 
Wtedy  $\{\Phi(A_n)\}_{n=1}^N\subseteq \FF_{\mu}$ są parami rozłączne z dokładnością do zbiorów miary zero. 
Stąd 
\begin{align*}
\|hT_{\Phi}\xi \|_{p}^p&=\int_{\Omega_\mu}   \left|\sum_{n=1}^{N}a_{n}h\chi_{\Phi(A_{n})}\right|^{p}d\mu
=\sum_{n=1}^{N}|a_{n}|^p \int_{\Phi(A_{n})}   \left|h\right|^{p}d\mu
\\
&\stackrel{\eqref{eq:Lamperti_condition}}{=}\sum_{n=1}^{N}|a_{n}|^p \int_{\Phi(A_{n})}  \frac{d\nu\circ\Phi^{-1}}{d\mu|_{\Phi_{(\FF_{\nu})}}} d\mu  
=\sum_{n=1}^{N}|a_{n}|^p (\nu\circ\Phi^{-1}) (\Phi(A_{n})))
\\
&=\sum_{n=1}^{N}|a_{n}|^p \nu(A_{n})= \sum_{n=1}^{N} \int_{\Omega_\nu}  |a_{n}|^p \chi_{A_{n}}d\mu=\int_{\Omega_\nu}   \sum_{n=1}^{N}|a_{n} \chi_{A_{n}}|^pd\mu
\\
&=\|\xi\|_p^p.
\end{align*}
Zatem  $hT_{\Phi}:S(\nu)\to L_p(\mu)$ jest izometrią, a więc jednoznacznie przedłuża się do izometrii 
$hT_{\Phi}: L_p(\nu) \rightarrow L_p(\mu)$. Jako że zbieżność monotoniczna pociąga za sobą zbieżność w $p$-tej normie, przedłużenie to musi się pokrywać 
z obcięciem operatora $hT_{\Phi}: M(\nu) \rightarrow M(\mu)$.
\end{proof}

\begin{rem}
W warunku \eqref{eq:Lamperti_condition} implicite zakładamy, że funkcja $h$ jest całkowalna w $p$-tej potędze. Możemy tu, bez straty ogólności założyć, że $h$ zeruje się poza zbiorem $\Phi(\Omega_\nu)$. Ponadto  $h\neq 0$ na zbiorze $\Phi(\Omega_\nu)$  $\mu$-prawie wszędzie, gdyż 
pochodna Radona-Nikodyma $\frac{d\nu\circ\Phi^{-1}}{d\mu|_{\Phi(\FF_{\nu})}}$ jest ściśle dodatnia $\mu$-prawie wszędzie, co wynika z faktu, że 
$\Phi:\FF_{\nu}\to \Phi(\FF_{\nu})$ jest izomorfizmem.
\end{rem}

Twierdzenie Lampertiego \cite{lamperti} mówi, że każda izometria między przestrzeniami $L_p$, dla $p\neq 2$, jest operatorem $hT_\Phi$ opisanym w powyższym stwierdzeniu.
Kluczowym krokiem w dowodzie tego twierdzenia jest fakt, że analogon tożsamości równoległoboku w przestrzeniach $L_p$, dla $p\neq 2$, zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy nośniki rozpatrywanych funkcji są rozłącznymi zbiorami. Ogólnie zachodzą tylko nierówności, zwane nierównościami Clarksona \cite{clarkson, hanner_convex}.


\begin{thm}[Nierówności Clarksona]\label{Clarkson}
Niech $(\Omega, \FF, \mu)$ będzie przestrzenią z miarą i niech $\xi,\eta \in L_{p}(\mu)$. Jeśli $p \in (2,\infty)$, to zachodzi nierówność 
$$
2 (\|\xi\|_{p}^{p}+\|\eta\|_{p}^{p}) \leq \|\xi+\eta\|_{p}^{p}+\|\xi-\eta\|_{p}^{p}.
$$
Przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $\xi \cdot \eta\stackrel{\mu}{=}0$.

Dla $p \in (1,2)$ zachodzi stwierdzenie analogicznie z tą różnicą, że nierówność  zachodzi w przeciwną stronę.
\end{thm}
Dla wygody czytelnika dowód  Twierdzenia \ref{Clarkson} zamieściliśmy w dodatku \ref{chapter:Clarkson}, gdzie rozważaliśmy ogólne miary (Clarkson w  \cite{clarkson} rozważał miarę Lebesgue'a).

Teraz jesteśmy gotowi udowodnić Twierdzenie Lampertiego.
\begin{thm}[Lamperti, 1958] \label{tw_lamperti} Niech $p\neq 2$. 
Operator $U: L_{p}(\nu) \rightarrow L_{p}(\mu)$ jest izometrią liniową wtedy i tylko wtedy, gdy $U=hT_\Phi$ jest ważonym  operatorem kompozycji, gdzie morfizm $\Phi : \FF_{\nu} \rightarrow \FF_{\mu}$ oraz funkcja mierzalna $h:\Omega_{\mu} \rightarrow \mathbb{F}$ spełniają \eqref{eq:Lamperti_condition}. 
\end{thm}

\begin{proof} W świetle Stwierdzenia \ref{prop:Lamperti_sufficient} potrzebujemy pokazać, 
że dla  dowolnej liniowej izometrii $U: L_{p}(\nu) \rightarrow L_{p}(\mu)$ istnieje morfizm $\Phi : \FF_{\nu} \rightarrow \FF_{\mu}$ oraz funkcja mierzalna $h:\Omega_{\mu} \rightarrow \mathbb{F}$ spełniające \eqref{eq:Lamperti_condition}, takie że
$$
U\chi_{A} =h \chi_{\Phi(A)}, \qquad  A \in \FF_\nu.
$$ 
Ustalmy izometrię $U$ i zdefiniujmy odwzorowanie $\Phi : \FF_{\nu} \rightarrow \FF_{\mu}$ następująco 
$$
\Phi(A) := \{x: U\chi_{A}(x) \neq 0\} , \qquad  A \in \FF_\nu.
$$ 
Formalnie rzecz biorąc $\Phi(A)$ zależy od wyboru reprezentanta klasy $U\chi_{A}$, ale nie prowadzi to do nieporozumień -- wszystkie poniższe równości dla zbiorów należy rozumieć jako równości z dokładnością do zbiorów miary zero. 
Pokażemy, że funkcja  $\Phi$ spełnia warunki Definicji \ref{Morfizm_p_mierz}:

 (1). Niech  $A, B \in \FF_\nu$ będą zbiorami rozłącznymi. Wtedy $\chi_{A}\cdot\chi_{B}=0$, co na  mocy twierdzenia Clarksona jest równoważne równości 
$$ 
\left\| \chi_{A} + \chi_{B} \right\|_{p}^p + \left\| \chi_{A} - \chi_{B} \right\|_{p}^p = 2 \left( \| \chi_{A} \|_{p}^p + \| \chi_{B} \|_{p}^p \right).
$$
 Ponieważ $U$ jest liniową izometrią, to powyższa równość zostanie zachowana po działaniu operatorem $U$, co prowadzi do równości
$$ 
\left\| U\chi_{A} + U\chi_{B} \right\|_{p}^p + \left\| U\chi_{A} - U\chi_{B} \right\|_{p}^p = 2 \left( \| U\chi_{A} \|_{p}^p + \| U\chi_{B} \|_{p}^p \right).
$$
 Stosując do tej równości twierdzenia Clarksona otrzymujemy, że $U\chi_{A}U\chi_{B}=0$, czyli $\Phi(A)\cap\Phi(B)\stackrel{\mu}{=}0$. 
To dowodzi warunku (1) z Definicji \ref{Morfizm_p_mierz}.


(2). Korzystając z (1) dla pary zbiorów rozłącznych $A$, $B$ otrzymujemy, że
\begin{align*} 
\Phi(A\cup B)=&\{x: U\chi_{A\cup B}(x) \neq 0\}=\{x: U(\chi_{A}+\chi_{B})(x) \neq 0\}
\\=& \{x: U\chi_{A}(x)+U\chi_{B}(x) \neq 0\}
\\
=&\{x: U\chi_{A}(x) \neq 0\}\cup\{x: U\chi_{B}(x) \neq 0\} 
= \Phi(A)\cup\Phi(B).
\end{align*}
Indukcyjnie można wykazać słuszność tej własności dla skończonej liczby zbiorów parami rozłącznych. W kolejnym kroku uogólnimy tę 
własność dla ciągu $\{A_n\}_{n=1}^\infty\subseteq \FF_{\nu}$ zbiorów   parami rozłącznych. 
Wtedy $\chi_{\bigsqcup_{n=1}^N{A_n}} \nearrow \chi_{\bigsqcup_{n=1}^\infty\chi_{A_n}}$, co wraz z Twierdzeniem Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej implikuje, że 
$\chi_{\bigsqcup_{n=1}^N{A_n}} \stackrel{L_p}{\longrightarrow} \chi_{\bigsqcup_{n=1}^\infty\chi_{A_n}}$. Stąd 
$U\chi_{\bigsqcup_{n=1}^N{A_n}} \stackrel{L_p}{\longrightarrow} U\chi_{\bigsqcup_{n=1}^\infty\chi_{A_n}}$.
Zatem na mocy Twierdzenia Riesz'a istnieje podciąg 
$\{U\chi_{\bigsqcup_{n=1}^{N_{k}}A_n}\}_{k=1}^\infty$ zbieżny prawie wszędzie do $U\chi_{\bigsqcup_{n=1}^\infty\chi_{A_n}}$.
Stąd 
\begin{align*}
\Phi\left(\bigsqcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\right)&=\{x: U\chi_{\bigsqcup_{n=1}^{\infty}A_{n}}(x)\neq0\}=\{x:\lim_{k\rightarrow\infty} U\chi_{\bigsqcup_{n=1}^{N_{k}}A_{n}}(x)\neq0\}
\\
&=\bigcup_{m=1}^{\infty}\bigcap_{k=m}^{\infty}\{x:U\chi_{\bigsqcup_{n=1}^{N_{k}}A_{n}}(x)\neq0\}
=\bigcup_{m=1}^{\infty}\bigcap_{k=m}^{\infty} \Phi(\bigsqcup_{n=1}^{N_{k}}A_{n})
\\
&=\bigcup_{m=1}^{\infty}\bigcap_{k=m}^{\infty}\bigcup_{n=1}^{N_{k}}\Phi(A_{n})
=\bigcup_{m=1}^{\infty}\bigcup_{n=1}^{N_{m}}\Phi(A_{n})=\bigcup_{n=1}^{\infty}\Phi(A_{n})
\end{align*}
i $\Phi$ spełnia warunki (1), (2) z Definicji \ref{Morfizm_p_mierz}. 

(3). Jeżeli $\nu(A)=0$, to $\|U\chi_{A}\|_{p}=\|\chi_{A}\|_{p}=0$ ze względu na założenie o izometryczności $U$, stąd $\Phi(A)=\{x:U\chi_{A}(x) \neq 0\}$ jest zbiorem miary $\mu$-zero. W drugą stronę,  jeżeli $\mu(\Phi(A))=0$, to  $0=\|U\chi_{A}\|=\|\chi_{A}\|$, czyli $\nu(A)=0$.


Wykazaliśmy, że $\Phi$ jest morfizmem. Zdefiniujmy funkcję $h$ wzorem 
\begin{align*}
h:=U\chi_{\Omega_{\nu}}.
\end{align*}
Dla każdego zbioru $A \in \FF_{\nu}$ zachodzi $h=U\chi_{A}+U\chi_{\Omega_{\nu}\setminus A}$, ze względu na rozłączność zbiorów $A$ i $\Omega_{\nu}\setminus A$. Ponadto $U\chi_{A}$ i $\chi_{\Phi(A)}$ są różne od zera na takich samych zbiorach.
Zatem
\begin{align*}
U\chi_{A}=U\chi_{A}\chi_{\Phi(A)}=(U\chi_{A}+U\chi_{\Omega_{\nu}\setminus A})\chi_{\Phi(A)}=h\chi_{\Phi(A)}=hT_{\Phi}\chi_{A}.
\end{align*}
Stąd $U=hT_{\Phi}$ na przestrzeni funkcji prostych $S(\nu)$ . Ponieważ funkcje proste stanowią podzbiór gęsty w przestrzeniach $L_{p}$, to $hT_{\Phi}$ przedłuża się jednoznacznie do operatora ograniczonego na $L_p(\nu)$ i wtedy $U=hT_{\Phi}$ na $L_p(\nu)$.

Pozostaje sprawdzić warunek \eqref{eq:Lamperti_condition}. Dla dowolnego  $A \in \FF_{\nu}$ mamy
\begin{align*}
\int_{\Phi(A)}|h|^{p}d\mu=\int_{\Omega_{\mu}}|h\chi_{\Phi(A)}|^{p}d\mu=\int_{\Omega_{\mu}}|U\chi_{A}|^{p}d\mu=\|U\chi_{A}\|^{p}_{p}=\|\chi_{A}\|^{p}_{p}=\nu(A).
\end{align*}
Przypomnijmy, że $\nu$-miara zbioru $A$ jest równa
$\nu(A)=\nu\circ\Phi^{-1}(\Phi(A))$.  Zatem korzystając z Twierdzenia Radona-Nikodyma mamy
\begin{align*}
\int_{\Phi(A)}|h|^{p}d\mu=\nu\circ\Phi^{-1}(\Phi(A))=\int_{\Phi(A)}d\nu\circ\Phi^{-1}=\int_{\Phi(A)}\frac{d\nu\circ\Phi^{-1}}{d\mu|_{\Phi(\FF_{\nu})}}d\mu.
\end{align*}
Dowodzi to warunku \eqref{eq:Lamperti_condition}.
\end{proof}

Jeśli ograniczymy się do dodatnich izometrii, to powyższe twierdzenie zachodzi również w przypadku $p=2$. 
Wydaje się, że w literaturze nie rozważa się tego przypadku (tak jak to zrobił Ando z rzutami kontraktywnymi).
Dla naszego wywodu jednak wydaje się to naturalne. W przypadku $p=2$ zamiast tożsamości równoległoboku można zastosować Twierdzenie Pitagorasa, które dla nieujemnych funkcji zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy nośniki funkcji są rozłączne.
\begin{lem}\label{lem:Pitagoras_thm_for_positive}
Jeśli $\xi,\eta \in L_{2}(\mu)$ są nieujemne, to $\|\xi+\eta\|_2^2=\|\xi\|_{2}^2+\|\eta\|_2^2$  wtedy i tylko wtedy, gdy $\xi \cdot \eta\stackrel{\mu}{=}0$.
\end{lem}

\begin{proof}
Dla nieujemnych funkcji, $\xi \cdot \eta\stackrel{\mu}{=}0$  wtedy i tylko wtedy, gdy $\xi \bot\eta$. Zatem teza wynika z Twierdzenia Pitagorasa.
\end{proof}

\begin{thm}\label{thm:positive_Lamperti}
Dla dowolnego $p \in [1,\infty)$. 
Operator $U: L_{p}(\nu) \rightarrow L_{p}(\mu)$ jest dodatnią izometrią  wtedy i tylko wtedy, gdy $U=hT_\Phi$ jest ważonym  operatorem kompozycji, gdzie waga $h$ jest nieujemna  i spełnia  \eqref{eq:Lamperti_condition}. 
\end{thm}

\begin{proof}
Jako że $T_\Phi$ jest dodatni, to jasne jest, że $hT_\Phi$ jest operatorem dodatnim wtedy i tylko wtedy, gdy $h\geq 0$ na $\Phi(\Omega_\nu)$
 (poza tym zbiorem wartości $h$ nie mają znaczenia).  Zatem dla $p\neq 2$ teza wynika z Twierdzenia \ref{tw_lamperti}. Dla $p=2$ teza wynika z dowodu Twierdzenia \ref{tw_lamperti}, gdzie w dowodzie własności (1) morfizmu $\Phi$ zamiast Twierdzenia Clarksona można zastosować Lemat
\ref{lem:Pitagoras_thm_for_positive}.
\end{proof}


Teraz zastosujemy powyższe twierdzenie do charakteryzacji izometrii odwracalnych, co doprowadzi nas do dowodu twierdzenia Banacha dla takich izometrii na przestrzeni $L_p[0,1]$.


%\begin{dfn}[Supremum mierzalne rodziny zbiorów]\label{supremum_mierz}
%Niech $(\Omega, \FF, \mu)$ będzie przestrzenią z miarą skończoną. \emph{Supremum mierzalnym} rodziny $\mathcal{G} \subseteq \FF$ będziemy nazywać element $G_{0}$ %spełniający następujące warunki
%\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
%\item Dla każdego $A \in \mathcal{G}$ zachodzi $\mu(A\setminus G_{0}) = 0$
%\item Dla każdego zbioru $B \in \mathcal{G}$ spełniającego warunek (1) to jest takiego, dla którego dla każdego $A \in \mathcal{G}$ $\mu(A\setminus B)=0$ zachodzi %$\mu(G_{0}\setminus B)=0$.
%\end{enumerate}
%Będziemy stosowali notację $G_{0}=\mu\text{--}\sup \mathcal{G}$.
%\end{dfn}

\begin{thm}[Banach--Lamperti]\label{thm:Banach-Lamperti}
Operator  $U: L_{p}(\nu) \rightarrow L_{p}(\mu)$, dla $p \in [1,\infty)$, jest dodatnią odwracalną izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy
\begin{align*}
U=U_{\Phi}:=\left(\frac{d\nu\circ\Phi^{-1}}{d\mu}\right)^{\frac{1}{p}}T_{\Phi},
\end{align*}
gdzie $\Phi : \FF_{\nu} \rightarrow \FF_{\mu}$ jest izomorfizmem przestrzeni z miarą. 
Jeżeli $p\neq 2$, to  $U$ jest odwracalną izometrią (niekoniecznie dodatnią) wtedy i tylko wtedy, gdy 
\begin{align*}
U=\omega U_{\Phi}=\omega\left(\frac{d\nu\circ\Phi^{-1}}{d\mu}\right)^{\frac{1}{p}}T_{\Phi},
\end{align*}
gdzie  $\omega:\Omega_{\mu} \rightarrow \{z\in\F:|z|=1\}$ jest odwzorowaniem mierzalnym.
\end{thm}

\begin{proof}
"$\Leftarrow$". Jeśli $\Phi : \FF_{\nu} \rightarrow \FF_{\mu}$ jest izomorfizmem, to $\Phi(\FF_{\nu})=\FF_{\mu}$ i wtedy funkcja mierzalna $h$ spełnia 
\eqref{eq:Lamperti_condition} wtedy i tylko wtedy, gdy $|h|^{p}=\frac{d\nu\circ\Phi^{-1}}{d\mu}$, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy 
\begin{align*}
h=\omega\left(\frac{d\nu\circ\Phi^{-1}}{d\mu}\right)^{\frac{1}{p}}
\end{align*}
dla pewnej funkcji mierzalnej $\omega:\Omega_{\mu} \rightarrow \{z\in\F:|z|=1\}$.
Zatem na mocy Twierdzenia \ref{tw_lamperti} (w zasadzie Stwierdzenia \ref{prop:Lamperti_sufficient}) wzór $U:=\omega\left(\frac{d\nu\circ\Phi^{-1}}{d\mu}\right)^{\frac{1}{p}}T_{\Phi}$ definiuje izometrię i izometria ta jest dodatnia wtedy i tylko wtedy, gdy $\omega\equiv 1$, czyli gdy $U=U_\Phi$. Jasnym jest, że mnożenie przez $\omega$ jest odwracalną izometrią (mnożenie przez $\overline{\omega}$ jest jej odwrotnością).
Zatem żeby wykazać, że izometria $U$ jest odwracalna wystarczy pokazać, to dla izometrii dodatniej
$
U_\Phi:=\left(\frac{d\nu\circ\Phi^{-1}}{d\mu}\right)^{\frac{1}{p}}T_{\Phi}.
$
Korzystając z założenia o surjektywności odwzorowania $\Phi$  możemy je odwrócić, tzn. istnieje izomorfizm $\Phi^{-1}: \FF_\mu \rightarrow \FF_\nu$, gdzie
$\Phi^{-1}(\Phi(A)):=A$, dla $A\in \FF_\nu$. Zarem możemy rozważyć izometrię 
\begin{align*}
U_{\Phi^{-1}}=\left(\frac{d\mu\circ\Phi}{d\nu}\right)^{\frac{1}{p}}T_{\Phi^{-1}}.
\end{align*}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Sprawdzimy, że $U_\Phi U_{\Phi^{-1}}=1$.  Najpierw zauważmy, że 
\begin{equation}\label{eq:composition_vs_RN_derivative}
T_{\Phi}\left(\frac{d\mu\circ\Phi}{d\nu}\right)= \frac{d\mu}{d\nu\circ\Phi^{-1}}.
\end{equation}
Rzeczywiście, z konstrukcji Samuelsa \cite{samuels} pochodnej Radona-Nikodyma (patrz też \cite{stepkowski}), wiemy że $\frac{d\mu\circ\Phi}{d\nu}$
jest granicą wstępującego ciągu funkcji prostych postaci $\xi_n=\sum_k \frac{\mu\circ\Phi(G_{nk})}{\nu(G_{nk})}\cdot \chi_{G_{nk}}$, gdzie 
na zbiorze $G_{nk}$ mamy $\frac{2^{n}}{k+1}\mu\circ\Phi < \nu < \frac{2^{n}}{k}\mu\circ\Phi$.
W szczególności na zbiorze $\Phi(G_{nk})$ mamy $\frac{2^{n}}{k+1}\mu < \nu\circ\Phi^{-1} < \frac{2^{n}}{k}\mu$.
Stąd
\begin{align*}
T_{\Phi}\left(\frac{d\mu\circ\Phi}{d\nu}\right)=\lim_{n\to \infty} T_{\Phi}\xi_n=\lim_{n\to \infty} \sum_k \frac{\mu\circ\Phi(G_{nk})}{\nu(G_{nk})}\cdot \chi_{\Phi(G_{nk)}}=\frac{d\mu}{d\nu\circ\Phi^{-1}}.  
\end{align*}
Zatem 
\begin{align*}
U_\Phi U_{\Phi^{-1}}&
=\left(\frac{d\nu\circ\Phi^{-1}}{d\mu}\right)^{\frac{1}{p}}T_{\Phi}\left(\frac{d\mu\circ\Phi}{d\nu}\right)^{\frac{1}{p}}T_{\Phi^{-1}}
\\
&=\left(\frac{d\nu\circ\Phi^{-1}}{d\mu}\right)^{\frac{1}{p}}\left(\frac{d\mu}{d\nu\circ\Phi^{-1}}\right)^{\frac{1}{p}}T_{\Phi} T_{\Phi^{-1}}
\\
&=1.
\end{align*}

"$\Rightarrow$". Niech $U$ będzie izometrią odwracalną oraz $p\neq 2$ (odpowiednio $U$ jest dodatnia). Na mocy Twierdzenia \ref{tw_lamperti}(odpowiednio Twierdzenia \ref{thm:positive_Lamperti})  mamy  $U=hT_\Phi$, 
gdzie morfizm $\Phi : \FF_{\nu} \rightarrow \FF_{\mu}$ oraz funkcja mierzalna $h:\Omega_{\mu} \rightarrow \mathbb{F}$ spełniają \eqref{eq:Lamperti_condition} (odpowiednio $h\geq 0$).
Żeby dowieść tezy wystarczy pokazać, że $\Phi : \FF_{\nu} \rightarrow \FF_{\mu}$ jest izomorfizmem (wtedy $h$ musi być odpowiedniej postaci). 
W tym celu wykorzystamy znany fakt, że dla miar skończonych istnieją suprema mierzalne dowolnej (niekoniecznie przeliczalnej) rodziny zbiorów (patrz  \cite{stepkowski}). 
Przez \emph{supremum mierzalne}   rodziny $\mathcal{A} \subseteq  \FF_{\nu}$ rozumiemy zbiór  $\sup \mathcal{A} \in \FF_{\nu}$ taki, że 
\begin{enumerate}[(1)]
		\item\label{enu:essential_sup1} $\nu(A\setminus \sup \mathcal{A})=0$ dla każdego $A\in \mathcal{A}$,
		\item\label{enu:essential_sup2} dla każdego $B\in \FF_{\nu}$ takiego, że $\nu(A\setminus B)=0$ dla każdego $A\in\mathcal{A}$,  zachodzi $\nu(\sup\mathcal{A}\setminus B)=0$.
	\end{enumerate}
Zbiór $\sup \mathcal{A}$ jest wyznaczony jednoznacznie z dokładnością do zbiorów $\nu$-miary zero.
Zauważmy, że 
\begin{align*}
\Phi(A) = \{x: U\chi_{A}(x) \neq 0\}=\{\supp(Uf):\supp(f)\subseteq A, f \in L_p(\nu)\}, \quad  A \in \FF_\nu.
\end{align*}
Zatem naturalnym kandydatem na odwzorowanie odwrotne jest odwzorowanie
 $\Psi:\FF_\mu \rightarrow \FF_\nu$ dane wzorem
\begin{align*}
\Psi(B):=\sup\{\supp(U^{-1}g):\supp(g)\subseteq B, g\in L_{p}(\mu)\},\quad  B \in \FF_\mu.
\end{align*}
Czyli $\Psi(B)$ jest supremum mierzalnym rodziny  nośników funkcji postaci $U^{-1}g$ gdzie $g\in L_{p}(\mu)$ ma nośnik zawarty w $B$. Dla dowolnego $B \in \FF_\mu$ mamy
\begin{align*}
\Phi(\Psi(B))%&=\Phi\left(\sup\{\supp(U^{-1}g):\supp(g)\subseteq B, g\in L_{p}(\mu)\}\right)
%\\
&= \sup\{\supp(Uf):\supp(f)\subseteq \Psi(B), f \in L_p(\nu) \}
\\
&=\sup\{\supp(Uf):\supp(f)\subseteq \supp(U^{-1}g), \supp(g) \in B\} 
\\&
=\sup\{\supp(UU^{-1}g:\supp(g)\subseteq B\}
\\
&=\sup\{\supp(g):\supp(g)\subseteq B\}=B.
\end{align*}
Pierwsza równość jest konsekwencją zdefiniownia $\Phi$ jako odwzorowania z $\FF_\nu$ w $\FF_{\mu}$, druga wynika z przyjętej definicji odwzorowania $\Psi$, a pozostałe są konsekwencją własności supremum mierzalnego. Istotne jest, że wszystkie równości zachodzą z dokładnością do zbiorów miary zero. Stąd i z dowolności wyboru zbioru $B$ otrzymujemy tezę, co kończy dowód twierdzenia.
\end{proof}
\begin{exm}\label{exm:isometries_on_two_dim} 
Rozważmy  $ \ell_p(\{1,2\})\cong \F^2$ z normą $\|(x,y)\|_p=\sqrt[p]{|x|^p+|y|^p}$.
Każda odwracalna izometria $U:\ell_p(\{1,2\})\to \ell_p(\{1,2\})$ dla $p\neq 2$ jest postaci 
$$
\left(\begin{array}{cc}
\lambda_1 & 0 
\\
0   & \lambda_2 
\end{array}
\right) \quad \text{ lub }\quad \left(\begin{array}{cc}
 0 & \lambda_1 
\\
 \lambda_2  & 0  
\end{array}
\right),
$$
gdzie $|\lambda_1|=|\lambda_2|=1$. Natomiast dla $p=2$ wszystkie odwracalne izometrie są postaci
$$
U=e^{i\varphi}\left(\begin{array}{cc}
a & b 
\\
-\overline{b} & \overline{a}
\end{array}
\right), \qquad |a|^2+|b|^2=1.
$$
Zatem jeżeli $U$ nie jest operatorem dodatnim, to $U$ nie jest postaci $\omega U_\Phi$.
\end{exm}




\section{Izometrie częściowe w przestrzeniach $L_{p}$}

W tym podrozdziale  omówimy izometrie częściowe $T:L_{p}(\nu) \rightarrow L_{p}(\mu)$ w rozumieniu Definicji \ref{defn:partial_isometry_Banach}, 
gdzie $(\Omega_{\mu},\FF_{\mu}, \mu)$ oraz $(\Omega_{\nu},\FF_{\nu}, \nu)$ są przestrzeniami z miarami skończonymi.
%działające na jednej przestrzeni $L_p$. %Wszystkie wyniki będą zachodziły dla częściowych izometrii między dwoma różnymi przestrzeniami $L_p$, ale formalnie nie będziemy tego rozważać, żeby nie zaciemniać notacji. 
Przypomnijmy, że jeżeli $T$ i $S$ są wzajemnie sprzężonymi izometriami częściowymi na przestrzeni Banacha, to na ogół $S$ nie jest jednoznacznie wyznaczone przez $T$ (patrz Przykład \ref{operator przesuniecia na l_p}), a  co gorsza izometrie nie muszą być izometriami częściowymi (patrz Przykład \ref{ex:Ditor}). Zaczniemy od wykazania, że patologie te nie mają miejsca w przestrzeniach $L_p$ dla $p \in (1, \infty)$.

\begin{thm}\label{thm:isometry_and_its_adjoint_in_Lp}
Niech $p \in [1,\infty)$. Każda liniowa izometria  $U:L_p(\nu) \rightarrow L_p(\mu) $ jest izometrią częściową.
Ponadto, jeżeli $p\neq 2$ lub $U$ jest operatorem dodatnim, to  każda izometria $U$ jest postaci $hT_{\Phi}$ gdzie $\Phi : \FF_{\nu} \rightarrow \FF_{\mu}$ jest morfizmem,  $h:\Phi(\Omega_{\nu}) \rightarrow \mathbb{F}\setminus \{0\}$ funkcją mierzalną spełniającą \eqref{eq:Lamperti_condition} (i nieujemną jeśli $U$ jest dodatni), a  wzór    
\begin{align*}
U^*\xi =T_{\Phi^{-1}} \left(\frac{\EE^{\Phi(\FF_{\nu})}_h\xi}{h}\right)=  \frac{d\mu\circ \Phi}{d\nu} T_{\Phi^{-1}}\EE^{\Phi(\FF_{\nu})}\left(\xi\overline{h}^{p-1}\right).
\end{align*}
definiuje izometrię częściową $U^*:L_p(\mu) \rightarrow L_p(\nu)$ sprzężona z $U$. Dla $p>1$, $U^*$ jest jedyną izometrią częściową sprzężoną z $U$. 
Dla $p=1$ każda ko-izometria sprzężona z $U$ jest postaci 
\begin{align*}
U^*_V := T_{\Phi^{-1}} \frac{\EE^{\Phi(\FF_{\nu})}_{h} +V}{h} ,
\end{align*}
 gdzie $
V=V\chi_{\supp(h)'}$ oraz
obraz $V$ jest zawarty w obrazie $\EE^{\Phi(\FF_{\nu})}_h$.
\end{thm}

\begin{proof}
Na mocy Twierdzeń \ref{tw_lamperti}, \ref{thm:positive_Lamperti} mamy $U=hT_\Phi$, gdzie $\Phi$ i $h$ spełniają \eqref{eq:Lamperti_condition} (oraz $h$ jest nieujemna o ile $U$ jest dodatni). Jako że $\Phi$ jest monomorfizmem, to $T_{\Phi}:M(\nu)\to M(\mu|_{\Phi(\FF_{\nu})})$ jest operatorem odwracalnym. Operatorem odwracalnym jest również $T_{\Phi^{-1}}: M(\mu|_{\Phi(\FF_{\nu})})\to M(\nu)$,
 gdzie  $\Phi^{-1}:\Phi(\FF_{\nu})\to \FF_{\nu}$.
W szczególności, obraz izometri $U$ to przestrzeń $hL_p(|h|^p\mu|_{\Phi(\FF_{\nu})})\subseteq L_{p}(\mu)$, która jest izometrycznie izomorficzna z
przestrzenią $L_p(|h|^p\mu|_{\Phi(\FF_{\nu})})$ (ten izomorfizm to   $f\mapsto f/h$). Na mocy  Twierdzenia \ref{thm:partial_isometries_structure} izometrie częściowe sprzężone z $U$ są w bijektywnej odpowiedniości z kontraktywnymi rzutami na tę przestrzeń. Jeśli $p>1$, to $\EE^{\Phi(\FF_{\nu})}_{h}$ jest jedynym rzutem kontraktywnym na obraz $U$
(patrz Wniosek \ref{cor:ranges_of_contractive_projections}). Stąd, istnieje dokładnie jedna izometria częściowa sprzężona z $U$  i musi ona być dana wzorem
\begin{align*}
U^*(\xi)&=T_{\Phi^{-1}} \frac{1}{h} \EE^{\Phi(\FF_{\nu})}_{h}(\xi)=T_{\Phi^{-1}}  \frac{1}{h} \frac{h}{\EE^{\Phi(\FF_{\nu})}(|h|^{p})}\cdot   \EE^{\Phi(\FF_{\nu})}\left(\xi\overline{h}^{p-1}\right)
\\
&\stackrel{\eqref{eq:Lamperti_condition}}{=}T_{\Phi^{-1}}  \frac{d\mu|_{\Phi(\FF_{\nu})}}{d\nu\circ\Phi^{-1}}\EE^{\Phi(\FF_{\nu})}\left(\xi\overline{h}^{p-1}\right)
\stackrel{\eqref{eq:composition_vs_RN_derivative}}{=}  \frac{d\mu\circ \Phi}{d\nu} T_{\Phi^{-1}}\EE^{\Phi(\FF_{\nu})}\left(\xi\overline{h}^{p-1}\right).
\end{align*}
Dla $p=1$, wszystkie rzuty kontraktywne na  obraz izometrii $U=hT_\Phi$ są postaci $\EE^{\Phi(\FF_{\nu})}_{h} +V$, gdzie $
V=V\chi_{\supp(h)'}$ oraz
obraz $\RR(V)\subseteq  \RR(\EE^{\Phi(\FF_{\nu})}_h)=hL_p(|h|^p\mu|_{\Phi(\FF_{\nu})})$ (patrz Wniosek \ref{cor:ranges_of_contractive_projections_p=1}).
 Zatem na mocy Twierdzenia \ref{thm:partial_isometries_structure} każda izometria częściowa sprzężona z $U$ jest postaci $U^*_V = T_{\Phi^{-1}} \frac{1}{h} (\EE^{\Phi(\FF_{\nu})}_{h} +V)$.
\end{proof}

\begin{rem}
Powyższe twierdzenie  daje dokładny opis wszystkich ko-izometrii w przestrzeniach $L_p(\mu)$ dla $p \in [1,\infty)\setminus\{2\}$, oraz wszystkich dodatnich koizometrii w przestrzeniach $L_p(\mu)$ dla $p \in [1,\infty)$.
\end{rem}

\begin{cor}\label{cor:L_1_coisometry}
 Izometria $U:L_1(\nu) \rightarrow L_1(\mu) $ posiada dokładnie jedną ko-izometrię sprzężoną wtedy i tylko wtedy, gdy $U$ jest operatorem odwracalnym.

% Każda ko-izometria $U:L_1(\nu) \rightarrow L_1(\mu) $ posiada dokładnie jedną sprzężoną z nią (częściową) izometrię.
\end{cor}
\begin{proof}
Jeśli $U$ jest operatorem odwracalnym, to zachodzi ogólny fakt (patrz Wniosek \ref{cor:invertible_isometries}). Jeśli $U$ nie jest odwracalana, to 
$U=hT_\Phi$, gdzie $\supp(h)'$ ma niezerową miarę. Zatem istnieje niezerowy operator $V$, taki że $U_V^*$ jest koizometrią sprzężoną z $U$.
\end{proof}

\begin{cor}[por. Twierdzenie 4  w \cite{ando}] Niech $p \in [1,\infty)$. Domknięta podprzestrzeń $\mathfrak{M}\subseteq L_p(\mu)$ jest obrazem kontraktywnego rzutu wtedy i tylko wtedy, gdy $\mathfrak{M}$ jest izometrycznie izomorficzna 
z pewną przestrzenią $L_p$. 

%Ponadto jeśli taki rzut istnieje to jest on dokładnie jeden wtedy i tylko wtedy, gdy $p>1$ lub  $\mathfrak{M}=L_p(\mu)$ jest całą przestrzenią.
\end{cor}
\begin{proof} Dowód jest dobrze znany, gdy  $p=2$.  Załóżmy więc, że $p \neq 2$. Jeśli istnieje kontraktywny rzut na $\mathfrak{M}$, to $\mathfrak{M}$  jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią $L_p$, na mocy Wniosków \ref{cor:ranges_of_contractive_projections} i \ref{cor:ranges_of_contractive_projections_p=1}. Ponadto, z wniosków tych wynika, że taki rzut jest dokładnie jeden wtedy i tylko wtedy, gdy $p>1$ lub  $\mathfrak{M}=L_1(\mu)$, gdy $p=1$. W drugą stronę jeżeli  $\mathfrak{M}$ jest obrazem pewnej izometrii 
$U:L_p(\nu) \rightarrow L_p(\mu) $, to na mocy Twierdzenia \ref{thm:isometry_and_its_adjoint_in_Lp}, $UU^*$ jest kontraktywnym rzutem na $\mathfrak{M}$.
\end{proof}
%\begin{rem} Jak wykazał Douglas \cite{douglas}, pierwsza część tezy zachodzi również, gdy $p=1$. 
%Nie mamy jednak wtedy jednoznaczności rzutu i
%częściowe izometrie na przestrzeni $L_1(\mu)$ mogą mieć na ogół wiele sprzężonych ze sobą częściowych izometrii.
%, patrz Przykład \ref{exm:mbekhta_example} poniżej.
%\end{rem}
%\begin{exm}[\cite{mbekhta}]\label{exm:mbekhta_example} 
%Rozważmy  $\F^2\cong \ell_1(\{1,2\})$ z normą $\|(x,y)\|_1=|x|+|y|$. Operator $T:\C^2\to \C^2$ dany wzorem 
%5$T(x,y)=(x-y,0)$ jest kontraktywnym rzutem. Zatem jest cześciową izometrią i $T$ jest sprzężony sam ze sobą (bo $TTT=T$). Inną częściową izometrią sprzężoną z $T$ jest rzut kontraktywny
%$S(x,y)=(x,0)$. W szczególności mamy dwa różne rzuty kontraktywne na podprzestrzeń $\MM=\{(x,0):x\in \F\}$ i rzut $T$ nie jest ważoną wartością oczekiwaną.
%\end{exm}
Każde dwa rzuty kontraktywne na tę samą podprzestrzeń są sprzężonymi do siebie izometriami częściowymi.  Dla każdej właściwej podprzestrzeni  przestrzeni $L_1$ takich rzutów istnieje nieskończenie wiele albo żaden (patrz Wniosek \ref{cor:ranges_of_contractive_projections_p=1}, por. Przykład \ref{exm:mbekhta_example_extended}).
Dla $p>1$ funkcja $|x|^p$ jest ściśle wypukła, co  wyklucza tę patologię, bo  dla funkcji ściśle wypukłych nierówność Jensena jest ostra dla  funkcji nie będących w obrazie warunkowej wartości oczekiwanej (patrz Twierdzenie \ref{thm:Yensen_inequality}).


\begin{thm}\label{thm:uniqueness_of_conjugation_in_Lp} Dla  $p \in (1,\infty)$, każda izometria częściowa $T:L_p(\nu) \rightarrow L_p(\mu)$ posiada dokładnie jedną sprzężoną izometrię częściową
$T^*:L_p(\mu) \rightarrow L_p(\nu) $.
\end{thm}
\begin{proof}
Załóżmy najpierw, że $T:L_p(\mu) \rightarrow L_p(\mu) $ jest kontraktwynym rzutem. 
Wtedy $T$ jest izometrycznie równoważny warunkowej wartości oczekiwanej (patrz Wniosek \ref{cor:contractive_projections_conjugate_to_expectation}).
Zatem bez straty ogólności możemy założyć, że $T=\EE^\MM$ dla pewnego $\sigma$-podciała $\MM$. Operator $\EE^\MM$ jest jedynym rzutem kontraktywnym na obraz $L_p(\mu|_\MM)$ (patrz Wniosek    \ref{cor:ranges_of_contractive_projections}). Zatem na mocy Twierdzenia \ref{thm:partial_isometries_structure} wystarczy pokazać, że podprzestrzeń $L_p(\mu|_\MM)$ jest jedynym 
 dopełnieniem jądra rzutu $\EE^\MM$, na którym $\EE^\MM$ jest izometrią. To  natomiast wynika z drugiej części Twierdzenia \ref{thm:Yensen_inequality}. 
Rzeczywiście jeśli $\xi \in L_p(\mu)\setminus L_p(\mu|_\MM)$, nie jest $\MM$-mierzalna, to nierówność Jensena $|\EE^\MM(\xi)|^p\leq \EE^\MM(|\xi|^p)$ jest ostra na pewnym zbiorze o mierze niezerowej. Stąd
\begin{align*}
\|\EE^\MM(\xi)\|_{p}^p=\int_{\Omega_{\mu}} |\EE^\MM(\xi)|^p\, d\mu <  \int_{\Omega_{\mu}} \EE^\MM(|\xi|^p)\, d\mu =\int_{\Omega_{\mu}} |\xi|^p\, d\mu=\|\xi\|^p_p.
\end{align*}
Zatem $\EE^\MM$ nie może być izometrią na takich elementach. Stąd $T^*=T$ jest jedyną cześciową izometrią sprzężoną z $T$. 

Rozważmy teraz ogólną sytuację i niech $S_1,S_2:L_p(\mu) \rightarrow L_p(\nu)$ będą dwiema izometriami częściowymi sprzężonymi z dowolną izometrią częściową $T:L_p(\nu) \rightarrow L_p(\mu) $.
Wtedy 
\begin{align*}
(TS_2) (TS_1)(TS_2)= TS_2 (TS_1T)S_2=TS_2 TS_2= TS_2
\end{align*}
i analogicznie $(TS_1) (TS_2)(TS_1)= TS_1$. Czyli  rzuty $TS_1$ i  $TS_2$ są wzajemnie sprzężonymi ze sobą izometriami częściowymi. Zatem na mocy pierwszej części dowodu mamy
$TS_1=TS_2$. Analogicznie $S_1T=S_2T$. Stąd
$
S_1=S_1TS_1=S_1T S_2=S_2T S_2=S_2.
$
\end{proof}
Teraz przejdziemy do jawnego opisu izometrii częściowych. W tym celu wprowadzimy następujące pojęcie.


\begin{dfn}[Częściowy izomorfizm]\label{dfn:partial_isomorphism_measure}
\emph{Podprzestrzenią przestrzeni z miarą} $(\Omega_{\mu},\FF_{\mu}, \mu)$ będziemy nazywać każdą przestrzeń z miarą 
$(M_{\mu},\MM_{\mu}, \mu|_{\MM_{\mu}})$, gdzie $\MM_{\mu}\subseteq \FF_{\mu}$ jest $\sigma$-podciałem z elementem maksymalnym $M_{\mu}$.
\emph{Częściowym izomorfizmem} nazywać będziemy 
izomorfizm $\Phi:  \MM_{\nu} \rightarrow \MM_{\mu}$ z podprzestrzeni $(M_{\nu},\MM_{\nu}, \mu|_{\MM_{\nu}})$ przestrzeni $(\Omega_{\nu},\FF_{\nu}, \nu)$ 
na podprzestrzeń  $(M_{\mu},\MM_{\mu}, \mu|_{\MM_{\mu}})$ przestrzeni $(\Omega_{\mu},\FF_{\mu}, \mu)$.

\end{dfn}



\begin{prop}\label{prop:L_p_partial_isometries_description} Niech  $p \in (1,\infty)$. każda izometria częściowa  $T:L_p(\nu) \rightarrow L_p(\mu) $, gdy $p\neq 2$ lub gdy $T$ jest operatorem dodatnim,   
jest dana wzorem
$$
T\xi= h_{\mu} T_{\Phi} \left(\frac{\EE^{\MM}_{h_{\nu}}(\xi)}{h_{\nu}}\right)=h_\mu T_{\Phi}\EE^{\MM}\left(\xi \cdot \frac{|h_{\nu}|^p}{h_{\nu} \cdot \EE^{\MM}(|h_{\nu}|^p)}\right),
$$
gdzie $h_{\nu}\in L_p(\nu), h_\mu\in L_p(\mu)$, a  $\Phi:  \MM \rightarrow \Phi(\MM)$ jest częściowym izomorfizmem z  $(\Omega_{\nu},\FF_{\nu}, \nu)$ 
w $(\Omega_{\mu},\FF_{\mu}, \mu)$,  elementami maksymalnymi w  $\MM$ i  $\Phi(\MM)$ są  odpowiednio $\supp(h_{\nu})$ i $\supp(h_{\mu})$   oraz zachodzi warunek
\begin{equation}\label{eq:parital_isomorphism_condition}
 \frac{d\mu\circ \Phi}{d\nu|_{\MM}}=\frac{\EE^{\MM}(|h_\nu|^p )}{T_{\Phi^{-1}}(|h_\mu|^p )}.
\end{equation}
Wtedy izometria częściowa $T^*:L_p(\mu) \rightarrow L_p(\nu) $ sprzężona z $T$ jest dana wzorem
$
T^*\xi= h_{\nu} T_{\Phi^{-1}}\left( \frac{\EE^{\Phi(\MM)}_{h_{\mu}}(\xi)}{h_{\mu}}\right)=h_\nu T_{\Phi^{-1}}\EE^{\Phi(\MM)}\left(\xi \cdot \frac{|h_{\mu}|^p}{h_{\mu} \cdot \EE^{\Phi(\MM)}(|h_{\mu}|^p)}\right).
$ Jeśli $T$ jest operatorem dodatnim, to jako $h_\mu$ i $h_\nu$ mogą być wybrane funkcje nieujemne.
\end{prop}
\begin{proof}
%Niech $T$ i $T^*$ będą wzajemnie sprzężonymi częściowymi izometriami. Niech $h_{\nu}$ i $h_{\mu}$ będą funkcjami o maksymalnym nośniku odpowiednio z obrazu rzutu $T^*T$ i $TT^*$.
%Wtedy istnieją $\sigma$-podciała   $\MM_\nu\subseteq \FF_\nu$ i $\MM_\mu\subseteq \FF_\mu$ z elementami maksymalnymi $M_{\nu}:=\supp(h_{\nu})$ i $M_{\mu}:=\supp(h_{\mu})$  takie, że
%następujący diagram komutuje
%$$
%\begin{xy}
%\xymatrix{
%   L_p(\nu) \ar[d]^{\EE^{\MM_\nu}_{h_{\nu}}\quad} \ar[r]^{T}&   L_p(\mu) 
%	\\
% h_{\nu}L_p(|h_{\nu}|^p\nu|_{\MM_{\nu}})  \ar[d]_{1/h_{\nu}}^{\cong}
% \ar[r]^{T}_{\cong}  &      h_{\mu}L_p(|h_{\mu}|^p\nu|_{\MM_{\mu}})  \ar[d]^{1/h_{\mu}}_{\cong}
% \ar[u]^{\qquad\subseteq}         
% \\
%     L_p(|h_{\mu}|^p\nu|_{\MM_{\mu}}) )  \ar[r]^{\cong}_{U}  &   L_p(|h_{\mu}|^p\nu|_{\MM_{\mu}}) 
%	}
%  \end{xy} 
%$$
%Jeśli $T$ jest częśiową izometrią, to istnieje dokładnie jedna przestrzeń $M$ dopełniająca $\NN(T)$, na której $T$ jest izometrią, patrz Twierdzenia \ref{thm:uniqueness_of_conjugation_in_Lp}, \ref{thm:partial_isometries_structure}. Wybierając w dowolny sposób funkcje
%$h_{\nu}\in M$ o maksymalnym nośniku  istnieje $\sigma$-podciało   $\MM_\nu\subseteq \FF_\nu$ o 


Na mocy Twierdzeń \ref{thm:uniqueness_of_conjugation_in_Lp}, \ref{thm:partial_isometries_structure}, \ref{thm:Ando_thm}, jeśli $T$ jest izometrią częściową to istnieje dokładnie jedna przestrzeń $M$ dopełniająca $\NN(T)$, na której $T$ jest izometrią, oraz wybierając w dowolny sposób funkcje
$h_{\nu}$ i $h_{\mu}$ o maksymalnym nośniku odpowiednio w $M$ i $\RR(T)$, istnieją $\sigma$-podciała   $\MM_\nu\subseteq \FF_\nu$ i $\MM_\mu\subseteq \FF_\mu$ z elementami maksymalnymi $M_{\nu}:=\supp(h_{\nu})$ i $M_{\mu}:=\supp(h_{\mu})$  takie, że następujący diagram komutuje
$$
\begin{xy}
\xymatrix{
  L_p(\nu) \ar[r]_{\EE^{\MM_\nu}_{h_{\nu}}\qquad} \ar@/^2pc/[rrr]^{T}
	& h_{\nu}L_p(|h_{\nu}|^p\nu|_{\MM_{\nu}})  \ar[d]_{1/h_{\nu}}^{\cong}
 \ar[r]^{T}_{\cong}  &      h_{\mu}L_p(|h_{\mu}|^p\mu|_{\MM_{\mu}})  \ar[d]^{1/h_{\mu}}_{\cong}
 \ar[r]_{\qquad\subseteq}  &  L_p(\mu)    
 \\
   &    L_p(|h_{\nu}|^p\nu|_{\MM_{\nu}}) )  \ar[r]^{\cong}_{U}  &   L_p(|h_{\mu}|^p\mu|_{\MM_{\mu}}) 
	}
  \end{xy} 
$$
gdzie $U:L_p(|h_{\mu}|^p\nu|_{\MM_{\mu}}) )  \to   L_p(|h_{\mu}|^p\nu|_{\MM_{\mu}})$ jest odwracalną izometrią.
z Twierdzenia Banacha-Lampertiego (Twierdzenie \ref{thm:Banach-Lamperti}) wynika, że odwracalna izometria przekształca element o pełnym nośniku, na element o 
pełnym nośniku.  W szczególności $T(h_\nu)$ jest elementem o maksymalnym nośniku w $\RR(T)$. Zatem możemy tu założyć, że 
\begin{align*}
h_\mu=T(h_\nu).
\end{align*}
Wtedy izometria $U$ zachowuje funkcję stałą. Na mocy Twierdzenia \ref{thm:Banach-Lamperti} jest to równoważne temu, że $U=T_\Phi$ dla pewnego izomorfizmu  $\Phi:  \MM_{\nu} \rightarrow \MM_{\mu}$ 
zachowującego odpowiednie miary, czyli spełniającego
\begin{align*}
\frac{d(|h_{\mu}|^p\nu)\circ\Phi^{-1}}{d|h_{\mu}|^p\mu|_{\MM_{\mu}}}=1
\end{align*}
Korzystając z definicji pochodnej Radona-Nikodyma można sprawdzić, że  
\begin{align*}
\frac{d(|h_{\nu}|^p\nu)\circ\Phi^{-1}}{d|h_{\mu}|^p\mu|_{\MM_{\mu}}}= \frac{T_\Phi(|h_{\nu}|^p)}{\EE^{\MM_{\mu}}(|h_{\mu}|^p)}   \cdot \frac{d\nu\circ\Phi^{-1}}{d\mu|_{\MM_{\mu}}}.
\end{align*}
Dwie ostatnie równości dają warunek
\begin{equation}\label{eq:parital_isomorphism_condition_0}
 \frac{d\nu\circ \Phi^{-1}}{d\mu|_{\MM_{\mu}}}=\frac{\EE^{\MM_{\mu}}(|h_\mu|^p )}{T_{\Phi}(|h_\nu|^p )}.
\end{equation}
%$  \frac{d\nu\circ \Phi^{-1}}{d\mu|_{\MM_{\mu}}}=\frac{\EE^{\MM_{\mu}}(|h_\mu|^p )}{T_{\Phi}(|h_\nu|^p )}. $
%co przez symetrię jest równoważne warunkowi  \eqref{eq:parital_isomorphism_condition}. 
Ponadto 
\begin{align*}
T\xi&= h_{\mu} T_{\Phi} \frac{1}{h_{\nu}}\EE^{\MM_\nu}_{h_{\nu}}(\xi)=h_\mu T_{\Phi}\left(\frac{\EE^{\MM_{\nu}}\left(\xi\overline{h_{\nu}}^{p-1}\right)}{\EE^{\MM_{\nu}}(|h_{\nu}|^p)}\right)
\\
&=h_\mu T_{\Phi}\EE^{\MM_{\nu}}\left(\xi  \frac{|h_{\nu}|^p}{h_{\nu}  \EE^{\MM_{\nu}}(|h_{\nu}|^p)}\right).
\end{align*}
Przez symetrię, dla $T^*$ zachodzą analogiczny wzór oraz warunek do \eqref{eq:parital_isomorphism_condition_0},
gdzie $\nu$ i $\mu$ zamienione sa rolami, a $\Phi$ zmienione jest na $\Phi^{-1}$. Zatem kładąc $\MM:=\MM_{\nu}$, otrzymujemy tezę.
\end{proof}

\begin{thm}[Opis izometrii częściowych]\label{thm:partial_isomtries_on_Lp} Niech  $p \in [1,\infty)$. Dla każdej  trójki $(h_\mu,\Phi,h_{\nu})$, gdzie
$h_{\mu}\in L_p(\mu), h_\nu\in L_p(\nu)$ i $\Phi:  \MM \rightarrow \Phi(\MM)$ jest częściowym izomorfizmem z  $(\Omega_{\nu},\FF_{\nu}, \nu)$ 
w $(\Omega_{\mu},\FF_{\mu}, \mu)$, a elementami maksymalnymi w  $\MM$ i  $\Phi(\MM)$ są  odpowiednio $\supp(h_{\nu})$ i $\supp(h_{\mu})$  i zachodzi \eqref{eq:parital_isomorphism_condition},
 wzór 
\begin{align*}
U_{(h_\mu,\Phi,h_{\nu})}\xi:= h_{\mu} T_{\Phi} \left(\frac{\EE^{\MM}_{h_{\nu}}(\xi)}{h_{\nu}}\right)=h_\mu T_{\Phi}\EE^{\MM}\left(\xi \cdot \frac{|h_{\nu}|^p}{h_{\nu} \cdot \EE^{\MM}(|h_{\nu}|^p)}\right),
\end{align*}
definiuje izometrię częściową $U_{(h_\mu,\Phi,h_{\nu})}:L_p(\nu) \rightarrow L_p(\mu) $, gdzie izometrią częściową do niej sprzężoną jest $U_{(h_\nu,\Phi^{-1},h_{\mu})})$.

Dla $p \in (1,\infty)\setminus\{2\}$ każda  izometria częściowa z $L_p(\nu)$ w $L_p(\mu) $ jest postaci $U_{(h_\mu,\Phi,h_{\nu})}$. Dla $p=2$ każda dodatnia izometria jest tej postaci.
\end{thm}

\begin{proof}
Druga część tezy wynika ze Stwierdzenia \ref{prop:L_p_partial_isometries_description}. Pierwszą część można sprawdzić wprost, lub odwrócić dowód Stwierdzenia \ref{prop:L_p_partial_isometries_description}
(i skorzystać ze Stwierdzeń \ref{prop:Lamperti_sufficient}, \ref{prop:Weighted_WWO}, by zobaczyć, że $U_{(h_\mu,\Phi,h_{\nu})}$ jest złożeniem kontraktywnego rzutu i odwracalnej izometrii na podprzestrzeń, na którą istnieje rzut kontraktywny)
\end{proof}

\begin{cor} Niech  $p \in (1,\infty)$.  Izometria  częściowa  $T:L_p(\nu) \rightarrow L_p(\mu) $ jest dodatnia wtedy i tylko wtedy, gdy izometria częściowa sprzężona 
$T^*:L_p(\nu) \rightarrow L_p(\mu) $ jest dodatnia. 
\end{cor}
\begin{proof}
Na mocy Twierdzenia \ref{thm:partial_isomtries_on_Lp} jeśli $T$ jest operatorem dodatnim, to $T=U_{(h_\mu,\Phi,h_{\nu})}$, gdzie $h_\mu\geq 0$ i $h_\nu\geq 0$, oraz  
 $
 T^*=U_{(h_\nu,\Phi^{-1},h_{\mu})}$. Zatem $T^*$ jest operatorem dodatnim.
\end{proof}

Powyższy opis izometrii częściowych ma potencjalnie wiele zastosowań. Jeżeli $T=U_{(h_\mu,\Phi,h_{\nu})}$ jest izometrią częściową, to mamy opis rzutów
 $T^* T=\EE^{\MM}_{h_{\nu}}$    $TT^*=\EE^{\Phi(\MM)}_{h_{\mu}}$ i sprzężonej izometrii częściowej$
 T^*=U_{(h_\nu,\Phi^{-1},h_{\mu})}$.
 Można również wykorzystać powyższy opis by sprawdzić, kiedy złożenie dwóch izometrii częściowej jest izometrią częściową. 
To i wiele innych ciekawych pytań pozostawiamy do dalszych badań.

Na koniec przedstawimy charakteryzację \emph{(pół)przestrzennych izometrii częściowych} w przestrzeniach $L_p$, pojęcia wprowadzonego przez Phillipsa w pracy 
\cite{phillips0}. Takie izometrie częściowe pełnią fundamentalną rolę m.in. w teorii $L_p$-algebr Cuntza \cite{phillips0} i $L_p$-algebr grafowych \cite{cortinas_rodriguez} (patrz też \cite{gardella}, \cite{phillips}).
W tym celu przypomnimy pojęcie  $L_p$-rzutu badane przez wielu autorów (patrz \cite{L_p-structure},  \cite{sullivan}). Przedstawimy tu krótki dowód bazujący na naszym opisie rzutów kontraktywnych i nierówności Jensena.
\begin{dfn} 
Niech $V$ będzie przestrzenią Banacha i $p \in [1,\infty)$. Powiemy, że elementy $x,y\in V$ są \emph{$p$-ortogonalne}, jeżeli $\|x+y\|^p=\|x\|^p+\|y\|^p$ (czyli zachodzi $p$-wersja Twierdznia Pitagorasa). Rzut $E\in \B(V)$ jest \emph{$L_p$-rzutem}, jeżeli $Ex$ jest ortogonalne do $(1-E)x$ dla każdego $x\in V$, czyli
\begin{align*}
\|x\|^p=\|Ex\|^p +\|(1-E)x\|^p, \qquad \text{ dla każdego }x\in V.
\end{align*}
W szczególności $L_p$-rzuty są kontraktywne.
\end{dfn}

Poniższy fakt jest dobrze znany i w  jego dowodzie zazwyczaj wykorzystuje się pewne nietrywialne aproksymacje funkcje funkcjami prostymi (patrz  \cite[Proposition 4.9]{L_p-structure}
lub \cite[Corollary 2]{sullivan}).
\begin{lem}\label{lem:L_p_projections}
 Niech  $p \in (1,\infty)$ i niech $E$ będzie rzutem na $L_p(\mu)$, gdzie $p\neq 2$ lub $E$ jest dodatni. 
Operator $E$ jest $L_p$-rzutem wtedy i tylko wtedy, gdy jest operatorem mnożenia przez funkcję charakterystyczną $\chi_M$, gdzie $M\in \FF_{\mu}$:
\begin{align*}
E\xi= \chi_M\xi, \qquad \xi\in L_p(\mu). 
\end{align*}
\end{lem}

\begin{proof} To że mnożenie przez funkcję charakterystyczną definiuje $L_p$-rzut jest jasne. Załóżmy, że $E$ jest $L_p$-rzutem.
Na mocy Wniosku \ref{cor:contractive_projections_conjugate_to_expectation}, jeśli $p>1$, to  możemy założyć, że $E=\EE^{\MM}$ jest warunkową wartością oczekiwaną względem 
$\sigma$-podciała $\MM\subseteq \FF_\mu$ z elementem maksymalnym $M$. Dla $p=1$, na mocy  Twierdzenia \ref{thm:Douglas_thm_general}, możemy założyć, że  $E=\EE^{\MM}+V$, gdzie $V$ anihiluje wszystkie funkcjez nośnikiem z $M$. Korzystając z tych założeń oraz nierówności Jensena, dla każdej funkcji $\xi\in L_p(\mu)$ znikającej poza $M$ 
mamy
\begin{align*}
\int_M |\xi|^p\, d\mu &
=\|\xi\|_p^p=\|E(\xi)\|_p^p+\|(1-E)\xi\|_p^p=\int_\Omega |\EE^{\MM}(\xi)|^p\, d\mu+\|(1-E)\xi\|_p^p
\\
&\leq \int_\Omega \EE^{\MM}(|\xi|^p)|\, d\mu+\|(1-E)\xi\|_p^p=\int_M |\xi|^p\, d\mu+\|(1-E)\xi\|_p^p,
\end{align*}
stąd $\|(1-E)\xi\|_p^p=0$. Czyli $1-E$ anihiluje wszystkie funkcje z nośnikiem z $M$. Stąd $E=\EE^\MM=\chi_M$ musi być funkcją charakterystyczną ($\MM$ składa się ze wszystkich zbiorów z $\FF_\nu$ zawartych w $M$ oraz $V=0$ o ile $p=1$).
\end{proof}

\begin{thm}[Charakteryzacja przestrzennych izometrii częściowych]\label{thm:Phillips_vs_Mbekhta}
Niech $T:L_p(\nu) \rightarrow L_p(\mu) $, $p \in [1,\infty)$ i $p\neq 2$ lub $T$ jest operatorem dodatnim.
Następujące warunki są równoważne: 
\begin{enumerate}[(1)]
\item $T$ jest izometrią częściową, dla której $T^*T$ i $TT^*$ są $L_p$-rzutami

\item $T$ jest przestrzenną izometrią częściową w sensie \cite{phillips0}, tzn. 
\begin{align*}
T\xi= \omega\left(\frac{d\nu\circ\Phi^{-1}}{d\mu}\right)^{\frac{1}{p}}T_{\Phi} (\chi_{M_{\nu}}\xi) ,
\end{align*}
gdzie $\Phi:\FF_{\nu}|_{M_\nu}\to \FF_{\nu}|_{M_\mu}$ jest izomorfizmem, dla pewnych zbiorów $M_{\nu}\in \FF_{\nu}$, $M_{\mu}\in \FF_{\mu}$, 
a 
$\omega:M_{\mu}\to \{z\in \F:|z|=1\}$ jest funkcją mierzalną.

\item $T=U_{(h_\mu,\Phi,h_{\nu})}$, gdzie $\MM=\FF_{\nu}|_{\supp(h_\nu)}$ oraz  $\Phi(\MM)=\FF_{\mu}|_{\supp(h_\mu)}$ są pełnymi
$\sigma$-podciałami wyznaczonymi przez nośniki $h_\mu$ i $h_{\nu}$.

\end{enumerate}
\end{thm}
\begin{proof}
(1)$\Rightarrow$(2). Z Lematu \ref{lem:L_p_projections} dostajemy, że $T^*T=\chi_{M_\nu}$ i $TT^*=\chi_{M_\mu}$, są operatorami mnożenia przez funkcje charakterystyczne
 pewnych zbiorów $M_{\nu}\in \FF_{\nu}$, $M_{\mu}\in \FF_{\mu}$. Zatem na mocy Twierdzenia  \ref{thm:Banach-Lamperti}  $T$ jest postaci opisanej w (2).

(2)$\Rightarrow$(3). Wystarczy wziąć $h_\nu:=\chi_{M_\nu}$ oraz $h_\mu:=\omega\left(\frac{d\nu\circ\Phi^{-1}}{d\mu}\right)^{\frac{1}{p}}$. 

(3)$\Rightarrow$(1). Założenia implikują, że $T^*T=\chi_{\supp(h_\nu)}$ i $TT^*=\chi_{\supp(h_\mu)}$, są operatorami mnożenia przez funkcje charakterystyczne,
a więc są $L_p$-rzutami.
\end{proof}
\begin{appendices}
\chapter{Dowód Twierdzenia Clarksona}\label{chapter:Clarkson}


Dowód Twierdzenia \ref{Clarkson} przeprowadzimy posługując się poniższymi lematami. Każdy lemat, jak i resztę dowodu rozpatrywać będziemy osobno dla przypadków $p \in (2,\infty)$ oraz $p \in (1,2)$.

\begin{lem}\label{lemat_clarkson_1}
Niech $p>2$ (odpowiednio $1<p<2$) oraz $a,b \geq 0$, wówczas zachodzi $a^{p}+b^{p} \leq (a^{2}+b^{2})^{p/2}$ (odpowiednio $a^{p}+b^{p} \geq (a^{2}+b^{2})^{p/2}$), przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy $ab=0$.
\end{lem}
\begin{proof}
"$p \in (2,\infty)$". Rozważmy funkcję $f(t)=(t^{2}+1)^{p/2}-t^{p}-1$. Zauważmy, że zachodzi $f(0)=0$ a jej pochodna
\begin{align*}
\frac{df}{dt}=\frac{d}{dt}(t^{2}+1)^{p/2}-t^{p}-1=pt(t^{2}+1)^{p/2-1}-pt^{p-1}
\end{align*}
Ponieważ, $p/2-1>0$ to zachodzi nierówność
\begin{align*}
pt(t^{2}+1)^{p/2-1} \geq pt^{p-1},
\end{align*}
zatem pochodna funkcji $f(t)$ jest nieujemna, stąd też dla $t \geq 0$ funkcja ta jest nieujemna. Następnie kładąc $t=\frac{a}{b}, (b \neq 0)$, możemy zapisać
\begin{align*}
\left(\left(\frac{a}{b}\right)^{2}+1\right)^{p/2} \geq \left(\frac{a}{b}\right)^{p}+1
\end{align*}
co z dowolności wyboru $a,b$ kończy dowód nierówności. 
Zauważmy, że dla przypadków $a=0 \vee b=0$ równość zachodzi w sposób oczywisty. Chcąc dowieść dostateczności warunku zauważmy, że funkcja $f(t)$, dla $t>0$ jest ściśle dodatnia  i zachodzi ostra nierówność. Stąd oraz z faktu, że $f(0)=0$ i dowolności wyboru $a$ i $b$ wynika, że równość zachodzi wyłącznie dla przypadku $ab=0$

"$p \in (1,2)$". Dowód przebiega analogicznie jak powyżej, jednak w tym przypadku $p/2-1<0$ zatem dla $t \geq 0$ funkcja $f(t)$ jest niedodatnia, stąd nierówność zachodzi w stronę przeciwną.
\end{proof}

%\begin{proof}
%Rozważmy funkcję $f(t)=(t^{2}+1)^{p/2}$, dla $t \geq 0$, jej pochodna jest równa 
%\begin{align*}
%\frac{df}{dt}=\frac{d}{dt}(t^{2}+1)^{p/2}=pt(t^{2}+1)^{p/2-1}.
%\end{align*}
%Ponieważ, $p/2-1>0$ to zachodzi nierówność
%\begin{align*}
%pt(t^{2}+1)^{p/2-1} \geq pt^{p-1},
%\end{align*}
%Którą możemy przekształcić do postaci
%\begin{align*}
%(t^{2}+1)^{p/2} \geq t^{p}(1+t^{-2})
%\end{align*}
%Kładąc $t=\frac{a}{b}$ możemy zapisać nierówność
%\begin{align*}
%\left(\frac{a}{b}^{2}+1\right)^{p/2} \leq \left(\frac{a}{b}\right)^{p}+1
%\end{align*}
%co kończy dowód.
%\end{proof}
\begin{lem}\label{lemat_clarkson_2}
Niech $p>2$. Dla $z_{1}, z_{2} \in \C$ zachodzi nierówność
\begin{align*}
|z_{1}|^{p}+|z_{2}|^{p} \leq \frac{1}{2}(|z_{1}+z_{2}|^{p}+|z_{1}-z_{2}|^{p}),
\end{align*}
Przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $z_{1}, z_{2} = 0$.

Dla $1<p<2$ zachodzi stwierdzenie analogicznie z tą różnicą, że nierówność  zachodzi w przeciwną stronę.
\end{lem}
\begin{proof}
"$p \in (2,\infty)$". Na mocy Lematu \ref{lemat_clarkson_1}  zachodzi następująca nierówność
\begin{align*}
|z_{1}|^{p}+|z_{2}|^{p} \leq (|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2})^{p/2},
\end{align*}
stosując do takiej nierówności tożsamość równoległoboku otrzymujemy
\begin{align*}
|z_{1}|^{p}+|z_{2}|^{p} \leq \left(\frac{1}{2}|z_{1}+z_{2}|^{2}+\frac{1}{2}|z_{1}-z_{2}|^{2}\right)^{p/2}.
\end{align*}
Korzystając z faktu, że funkcja $\varphi(t)=t^{p/2}$ jest ściśle wypukła zatem zachodzi nierówność
\begin{align*}
\left(\frac{1}{2}|z_{1}+z_{2}|^{2}+\frac{1}{2}|z_{1}-z_{2}|^{2}\right)^{p/2} < \frac{1}{2}|z_{1}+z_{2}|^{p}+ \frac{1}{2}|z_{1}-z_{2}|^{p}
\end{align*}
otrzymujemy wniosek, że
\begin{align*}
|z_{1}|^{p}+|z_{2}|^{p} \leq \frac{1}{2}(|z_{1}+z_{2}|^{p}+|z_{1}-z_{2}|^{p}).
\end{align*}
Zauważmy, że dla $z_{1}=0 \vee z_{2}=0$ w sposób oczywisty zachodzi równość. Następnie załóżmy, że zachodzi ostra nierówność:
\begin{align*}
|z_{1}|^{p}+|z_{2}|^{p} < \frac{1}{2}(|z_{1}+z_{2}|^{p}+|z_{1}-z_{2}|^{p}),
\end{align*}
z drugiej strony prawdziwe są następujące związki
\begin{align*}
|z_{1}|^{p}+|z_{2}|^{p} &\leq (|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2})^{p/2}=\left(\frac{1}{2}|z_{1}+z_{2}|^{2}+\frac{1}{2}|z_{1}-z_{2}|^{2}\right)^{p/2}\\&<\frac{1}{2}(|z_{1}+z_{2}|^{p}+|z_{1}-z_{2}|^{p}),
\end{align*}
stąd wynika wniosek, że
\begin{align*}
|z_{1}|^{p}+|z_{2}|^{p} < (|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2})^{p/2}.
\end{align*}
Na mocy Lematu \ref{lemat_clarkson_1} oznacza to, że nierówność ostra zachodzi dla $z_{1}, z_{2} \neq 0$, co jest równoważne równości przy $z_{1}, z_{2}$ równych zero.


%"$p \in (1,2)$". \textbf{dwa zdania} Korzystając analogicznie jak powyżej, z lematu \ref{lemat_clarkson_1} mamy nierówność
%\begin{align*}
%|z_{1}|^{p}+|z_{2}|^{p} \geq (|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2})^{p/2},
%\end{align*}
%następnie korzystamy z tożsamości równoległoboku i otrzymujemy
%\begin{align*}
%|z_{1}|^{p}+|z_{2}|^{p} \geq (|z_{1}+z_{2}|^{2}+|z_{1}-z_{2}|^{2})^{p/2}.
%\end{align*}
%Ponieważ, dla $1<p<2$ funkcja $\varphi(t)=t^{p/2}$ jest ściśle wklęsła to prawdziwa jest nierówność
%\begin{align*}
%(|z_{1}+z_{2}|^{2}+|z_{1}-z_{2}|^{2})^{p/2} < \frac{1}{2}|z_{1}+z_{2}|^{p}+ \frac{1}{2}|z_{1}-z_{2}|^{p}
%\end{align*}
%Stąd otrzymujemy szukaną tezę
%\begin{align*}
%|z_{1}|^{p}+|z_{2}|^{p} \geq \frac{1}{2}(|z_{1}+z_{2}|^{p}+|z_{1}-z_{2}|^{p}).
%\end{align*}
"$p \in (1,2)$". Dowód przebiega w sposób analogiczny do przypadku powyższego --  korzystając z nierówności z Lematu \ref{lemat_clarkson_1} oraz tożsamości równoległoboku. Następnie korzystamy z faktu, że dla $1<p<2$ funkcja $\varphi(t)=t^{p/2}$ jest ściśle wklęsła, stąd otrzymujemy tezę.
\end{proof}
\begin{proof}[Dowód Twierdzenia \ref{Clarkson}]
"$p \in (2,\infty)$". Korzystając z Lematu \ref{lemat_clarkson_2},  dla funkcji $\xi(\omega):=z_{1}$ i $\eta(\omega):=z_{2}$, otrzymujemy nierówność
\begin{align*}
|\xi|^{p}+|\eta|^{p} \leq \frac{1}{2}(|\xi+\eta|^{p}+|\xi-\eta|^{p}).
\end{align*}
Całkując tę nierówność obustronnie i korzystając z faktu, że całkowanie zachowuje częściowy porządek otrzymujemy tezę twierdzenia. Załóżmy następnie, że $\xi\cdot\eta=0$ $\mu$-prawie wszędzie. Korzystając z tego założenia możemy zapisać
\begin{align*}
\int_{\Omega}\left|\xi+\eta\right|^{p}+\left|\xi-\eta\right|^{p}d\mu=\int_{\Omega}2|\xi|^{p}+2|\eta|^{p}d\mu=2\|\xi\|_{p}^{p}+2\|\eta\|_{p}^{p}
\end{align*}
co dowodzi dostateczności warunku. W celu wykazania konieczności załóżmy, że zachodzi równość
\begin{align*}
\|\xi\|_{p}^{p}+\|\eta\|_{p}^{p} = \frac{1}{2}(\|\xi+\eta\|_{p}^{p}+\|\xi-\eta\|_{p}^{p})
\end{align*}
która wynika ze scałkowania równości z Lematu \ref{lemat_clarkson_2}. Stąd wniosek, że $\xi\cdot\eta=0$ z dokładnością do równości $\mu$-prawie wszędzie. 

Dla przypadku $1<p<2$ dowód przebiega w sposób analogiczny.
\end{proof}
\end{appendices}

\backmatter % suplementy, spis literatury, itp.





\begin{thebibliography}{99}
\bibitem%[And66]
{ando}
Ando T., \emph{Contractive projections in $L_{p}$ spaces}, Pacific J. Math. 17 (1966) 391.%--405

\bibitem%[And66]
{banach}
 Banach S., Theorie des operations lineaires, Warsaw, 1932.

\bibitem%[And66]
{L_p-structure}
Behrends E., Danckwerts R., Evans R., G\"obel S., Greim P., Meyfarth K., and
M\"uller W., $L_p$-structure in real Banach spaces,
Springer-Verlag, 1977.


\bibitem%[And66]
{Bernau_Lacey}
 Bernau S.,   Lacey H.
\emph{The range of a contractive projection on an $L_{p}$-space}, Pacific J. Math.   53 (1974), 21.%--41



\bibitem%[Bil87]
{biling}
Billingsley P., Prawdopodobieństwo i miara, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987.

\bibitem%
{clarkson}
Clarkson, J. A.
\emph{Uniformly convex spaces},
Trans. Amer. Math. Soc. 40 no. 3 (1936), 396.

\bibitem%[Con97]
{conway_func}
Conway J.B., A Course in Functional Analysis, Springer, 1997.

\bibitem
{cortinas_rodriguez}
Corti\~nas G., Rodriguez M. E., $L_p$-\emph{operator algebras associated with oriented graphs},
J. Operator Theory 81 (2019), 225.

%\bibitem
%{Cunningham}
% Cunningham F. Jr, $L_1$-structure in Banach Spaces, ProQuest LLC, Ann Arbor, MI,
%1953. Thesis (Ph.D.)–Harvard University


\bibitem%[Dou65]
{douglas}
Douglas R. G., \emph{Contractive projections on an $L_{1}$ space}, Pacific J. Math. 15 (1965) 443.

\bibitem%[GT18]
{gardella_thiel}
 Gardella E., Thiel H., 
\emph{Isomorphisms of Algebras of Convolution Operators} (2018), arXiv:1809.01585.

\bibitem%[Gar19]
{gardella}
 Gardella E., \emph{A modern look at algebras of operators on $L_p$-spaces} (2019), arXiv:1909.12096.

\bibitem%[Hal74]
{halmos1}
Halmos P. R., Measure Theory, Springer, 1974.

\bibitem%[Hol04]
{holtz_complex}
Holtz, O., Karow, M.
\emph{Real and Complex Operator Norms} (2005)
arXiv:0512608.

\bibitem
{kwa-phd}
 Kwa\'sniewski  B. K. "Analiza spektralna operatorów generujących nieodwracalne układy dynamiczne"  Rozprawa doktorska, IM PAN, 2009, Warsaw.


\bibitem
{lawson}
 Lawson M.  V. "Inverse semigroups: the theory of partial symmetries". World Scientific, 1998.


\bibitem%[JSz10]
{sztencel}
Jakubowski J., Sztencel R., Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Script, 2010.

\bibitem%[Lam58]
{lamperti}
Lamperti J.,  \emph{On the isometries of certain function-spaces.}
 Pacific J. Math. Volume 8, Number 3 (1958), 459.

\bibitem%[LT96]
{lindenstrauss}
Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces I, II, Springer, 1996.

\bibitem%[Mbe04]
{mbekhta}
Mbekhta M.,   \emph{Partial isometries and generalized inverses}, Acta Sci. Math., V. 70  (2004),  767.

\bibitem%[Mla70]
{mlak}
 Mlak W., Wstęp do teorii przestrzeni Hilberta, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1970.


\bibitem{Murphy} 
 Murphy G. J., $C^*$-algebras and Operator theory, Academic Press, London 1990.

\bibitem
{paterson}
Paterson A. L. T. "Groupoids, inverse semigroups, and their operator algebras",  Springer, 1999.


\bibitem%[Phi13]
{phillips0}
 Phillips N. C., \emph{Analogs of Cuntz algebras on $L_p$ spaces} (2012), arXiv:1201.4196.

\bibitem%[Phi13]
{phillips}
 Phillips N. C., \emph{Crossed products of $L_p$ operator algebras and the $K$-theory of Cuntz algebras on $L_p$ spaces} (2013), arXiv:309.6406.

\bibitem%[Ran01]
{randrianantoanina}
  Randrianantoanina B., \emph{Norm one projections in Banach spaces}, Taiwanese J. Math. 5 (2001), 35.

 \bibitem%[Rao04]
{rao}
Rao M. M., Measure Theory and Integration, CRC Press, 2004.

\bibitem%[Rud12]
{rudin_funk}
Rudin W., Analiza funkcjonalna, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2012.

\bibitem%[Sam98]
{samuels}
Samuels S. M., \emph{The Radon-Nikodym Theorem as a Theorem in Probability}, The American Mathematical Monthly, Vol. 85, No. 3 (1978), 155.


\bibitem%[Sam98]
{stepkowski}
Stępkowski Ł., Ogólne twierdzenie Radona-Nikodyma  i jego
zastosowania, Praca Magisterska, Wydział Matematyki UwB, 2021.



\bibitem%[Sam98]
{sullivan}
 Sullivan F. E., \emph{Structure of real $L_p$ spaces}, J. Math. Anal. Appl. 32 (1970), 621.


\bibitem{takesaki}  Takesaki M. , Theory of operator algebras I, Springer-Verlag Berlin 2002.

\bibitem%[Tra70]
{traczyk}
Traczyk T., Wstęp do teorii algebr Boole'a, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1970.










\end{thebibliography}


\end{document}
