%
% Ten tekst napisano w standardzie CP1250 (MS Windows PL). 
%
% Uwagi, pytania i komentarze: mariusz@math.uwb.edu.pl
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
% Nagłówek pracy magisterskiej
%
%\documentclass[windows]{imuwbth} % pod MS Windows
%\documentclass[windows,abstract]{imuwbth} % pod MS Windows, bez dowodów
\documentclass[utf8,final]{imuwbth} % pod MS Windows, wersja finalna
\usepackage{a4wide}%pomniejszone marginesy
\usepackage{enumitem} %<--advanced enumerate, which handles label and ref
\setlist[enumerate,1]{label=\textup{(\arabic*)}}% ensure enumerates in theorems are upright
\usepackage[T1]{fontenc} %polskie cudzysłowy

% := i =: wycentrowane
\usepackage{mathtools}
\newcommand{\defeq}{\vcentcolon=}
\newcommand{\eqdef}{=\vcentcolon}

%definicja nośników funkcji
\usepackage{amsmath}
\DeclareMathOperator\supp{supp}
%obrazki
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{width=5.2cm,compat=1.9}
%
%pogrubiona jedynka
\usepackage{bbm}
%
% pisanie pod kwantyfikatorami
\usepackage{amsmath}
%
%wielekolumn
\usepackage{multicol}
%
% link w bibliografii
\usepackage{url}
%
%\documentclass{imuwbth} % kodowanie ISO-8859-2
%\documentclass[abstract]{imuwbth} % kodowanie ISO-8859-2, bez dowodów
%\documentclass[final]{imuwbth} % kodowanie ISO-8859-2, wersja finalna
%
%\documentclass[utf8]{imuwbth} % kodowanie UTF-8
%\documentclass[utf8,abstract]{imuwbth} % kodowanie UTF-8, bez dowodów
%\documentclass[utf8,final]{imuwbth} % kodowanie UTF-8, wersja finalna
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
% Nagłówek pracy dyplomowej
%
%\documentclass[windows,dyplom]{imuwbth} % pod MS Windows
%\documentclass[windows,dyplom,abstract]{imuwbth} % pod MS Windows, bez dowodów
%\documentclass[windows,dyplom,final]{imuwbth} % pod MS Windows, wersja finalna
%
%\documentclass[dyplom]{imuwbth} % kodowanie ISO-8859-2
%\documentclass[dyplom,abstract]{imuwbth} % kodowanie ISO-8859-2, bez dowodów
%\documentclass[dyplom,final]{imuwbth} % kodowanie ISO-8859-2, wersja finalna
%
%\documentclass[utf8,dyplom]{imuwbth} % kodowanie UTF-8
%\documentclass[utf8,dyplom,abstract]{imuwbth} % kodowanie UTF-8, bez dowodów
%\documentclass[utf8,dyplom,final]{imuwbth} % kodowanie UTF-8, wersja finalna
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
% Poniższe pola MUSZĄ być wypełnione:

\author{Alina Kościukiewicz}
\title%[O pewnej geometrii]
{Twierdzenie Perrona-Frobeniusa dla operatorów na kratach Banacha}
\supervisor{dr. hab. Bartosz Kwaśniewski, prof. UwB}

% Nagłówek wydziału
\faculty{Wydzia{\l} Matematyki}
%\faculty{Instytut Informatyki}

% Data utworzenia dokumentu
\created{2002.03.10}

% Data ostatniej modyfikacji dokumentu
\modified{2008.10.08}

% Informacja opcjonalna
\info{Informacja opcjonalna}

% Opcjonalny pakiet symboli
\usepackage{mat}

% Prywatne makra
\DeclareMathOperator{\spo}{s}
\def\LineOn(#1,#2){\overline{#1\rule{0pt}{1.66ex}#2}}

% Początek tekstu

\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\frontmatter % strona tytułowa, spis treści, itp.

\maketitle % strona tytułowa

\begin{thanks}
  Składam serdeczne podziękowania\\
  dr. hab. Bartoszowi Kwaśniewskiemu,\\
  za okazaną życzliwość, motywujące uwagi,\\
  otwartość na dyskusję oraz wszechstronną pomoc \\
  w trakcie przygotowywania niniejszej pracy.
\end{thanks}


\tableofcontents % spis treści (generowany automatycznie!)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\mainmatter % część zasadnicza pracy


\chapter*{Wstęp}
Teoria krat Banacha została zapoczątkowana w drugiej połowie lat trzydziestych ubiegłego wieku przez trzech matematyków: F. Riesz (1929, 1936), L. V. Kantorowicz (1935),  i H. Freudenthal (1936), patrz  \cite{Wnuk}, \cite{Schaefer}, \cite{Aliprantis_Burkinshaw}, przez długi czas była uważana za podstawowy i ważny dział analizy funkcjonalnej. 
Wiele ważnych przestrzeni rozważanych w analizie, w tym większość przestrzeni funkcyjnych ma strukturę krat wektorowych.  Teoria krat Banacha jest ściśle związana z teorią miary, teorią funkcji rzeczywistych, analizą wypukłą i topologią ogólną, posiada również zastosowania w teorii spektralnej operatorów, w ekonomii matematycznej czy w fizyce matematycznej. Ważnymi standardowymi przykładami krat Banacha są przestrzenie funkcji ciągłych $C(M)$ na zwartej przestrzeni Hausdorffa $M$ oraz 
wiele różnych przestrzeni funkcji mierzalnych na pewnej przestrzeni z miarą $\mu$, w tym klasyczne przestrzenie   $L^p(\mu)$ funkcji całkowalnych w $p$-tej potędze, dla $p\in [1,\infty)$. W kontekście wyżej wymienionych przestrzeni język krat Banacha okazuje się bardzo naturalny i prowadzi do ich aksjomatycznej ogólnej teorii  -- tak zwanych \emph{abstrakcyjnych $M$-przestrzeni} oraz \emph{abstrakcyjnych $L^p$-przestrzeni}, zapoczątkowanej w pionierskich pracach S. Kakutaniego \cite{Kakutani}, \cite{Kakutani2}, rozwijanej m.in. przez H. Nakano, a która uzyskała piękny dojrzały kształt w pracy F. Bohnenblusta \cite{Bohnenblust}, patrz \cite{Lacey}.
Co więcej jak wynika z ostatnich artykułów,  współautorstwa promotora ninijeszej pracy magisterskiej, patrz \cite{Bardadyn-Kwasniewski-McKee}, język i narzędzia krat Banacha  są bardzo użyteczne w obecnie bardzo popularnej i silnie rozwiajnej teorii $L^p$-algebr operatorowych, patrz np. \cite{Gardella}.  Daje to duże nadzieje na dalsze zastosowania oraz kolejne ożywienie i rozwój tego klasycznego już działu analizy funkcjonalnej.


Jednym z pośrednich celów niniejszej pracy magisterskiej jest opracowanie pełnego wstępu do teorii krat Banacha oraz teorii spektralnej operatorów dodatnich. 
Wydaje się, że poza skryptowymi notatkami \cite{Kosiek}, które pomijają większość dowodów, nie istnieją w tym zakresie źródła w języku polskim. 
Natomiast liczne źródła w języku angielskim, np.  \cite{Schaefer}, \cite{Meyer-Nieberg}, \cite{Aliprantis_Burkinshaw}, \cite{Wnuk}, \cite{Abramovich_Aliprantis},  patrzą na wyżej wymienione zagadnienia w różny sposób, co z punktu widzenie współczesnego studenta, po jedynie podstawowym kursie analizy funkcjonalnej \cite{Kwasniewski}, również wymaga 
pewnej syntezy, doboru tematów oraz uzupełnień. Bardziej konkretnym celem i motywacją obecnej pracy jest  omówienie podstawowej wersji twierdzenia Perrona–Frobeniusa dla operatorów  dodatnich na kratach Banacha.
  

Klasyczne twierdzenie Perrona–Frobeniusa, sformułowane na początku XX wieku, jest jednym z fundamentalnych wyników dotyczących struktur spektralnych macierzy nieujemnych, które znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach nauki, patrz \cite{Wikipedia}. Na przykład w teorii prawdopodobieństwa twierdzenie Perrona - Frobeniusa umożliwia sprytne znalezienie macierzy przejścia Łańcuchu Markowa. Podobnie w demografii ułatwia modelowanie populacji metodą Leslie'go. Co więcej codziennie nieświadomie korzystamy z tego twierdzenia, wpisując zapytanie w wyszukiwarkę Google (algorytm PageRank).
W swojej klasycznej macierzowej postaci twierdzenie to gwarantuje dla macierzy dodatniej (o nieujemnych współczynnikach ), istnienie dominującej wartości własnej  oraz dodatniego wektora własnego z nią związanego.
Zatem aby wysłowić Twierdzenie Perrona-Frobeniusa, potrzebujemy teorii spektralnej, która jest sformułowana dla ogólnych zespolonych przestrzeni Banacha,  oraz pojęcia dodatniości i operatórów dodatnich, które formułuje się w języku krat wektorowych. 
W szczególności, twierdzenie to  w języku operatorów na zespolonych kratach Banacha mówi, że dla operatorów dodatnich na skończenie wymiarowych kratach Banacha promień spektralny należy do widma punktowego i  jako wartość własna posiada dodatni wektor własny. 


W niniejszej pracy przedstawimy pełną teorię prowadzącą do uogólnienia powyższego twierdzenia Perrona–Frobeniusa na przypadek nieskończenie wymiarowych krat Banacha.
Po raz pierwszy taką wersję udowodnili M. G. Krein i M. A. Rutman \cite{Krein-Rutman} i odtąd stała się ona jedną z wielu motywacji do rozwijania teorii operatorów dodatnich, \cite{Schaefer}, \cite{Banasiak}. Tak jak istnieje wiele nieco różniących się od siebie sformułowań twierdzenia Perrona–Frobeniusa, tak i istnieje wiele jego możliwych uogólnień. Tutaj skupimy się na  najbardziej ogólnej i podstawowej formie tego twierdzenia i udowownimy je dla  dodatnich operatórów zwartych na zespolonych kratach Banacha. Przy czym omówimy je na szeregu przykładów i podejmiemy próbę zastanowienia się, czy może ono mieć jakieś zastosowanie do operatorów niekoniecznie dodatnich, 
poprzez zbadanie związków widma operatora i jego modułu.


%Uogólnienia mogą tu iść
Celem pracy jest omówienie uogólnionej wersji twierdzenia Perrona–Frobeniusa dla operatorów liniowych dodatnich i zwartych na kratach Banacha, przedstawienie dowodu tego twierdzenia oraz zilustrowanie go przykładami. W pracy korzystamy z narzędzi analizy funkcjonalnej, teorii operatorów i porządków w przestrzeniach Banacha.
%, przedstawienie dowodu tego twierdzenia oraz zilustrowanie go przykładami. W pracy korzystamy z narzędzi analizy funkcjonalnej, teorii operatorów i porządków w przestrzeniach Banacha.

%Struktura pracy przedstawia się następująco. 

Zgodnie z klasyczną zasadą trójpodziału praca składa się z trzech rozdziałów. 

W pierwszym rozdziale  dość szczegółowo omawiamy kraty wektorowe, o których można myśleć jako spójnym połączeniu dwóch struktur -- przestrzeni wektorowej (czyli struktury liniowej) oraz kraty (czyli struktury porządkowej).
Przypominamy tu m.in. pojęcie częściowego porządku i kraty,  oraz dowodzimy szeregu podstawowych własności uporządkowanych przestrzeni wektorowych i krat wektorowych. Całość obrazujemy na szeregu przykładów.

W rodziale drugim,  do uprzednich  struktur dyskretnych, dołączamy normę. 
Przypominamy podstawowe fakty z teorii  przestrzeni Banacha, a następnie omawiamy stopniowo zawężane struktury, kratę Banacha oraz abstrakcyjne $L^p$-przestrzenie i 
abstrakcyjne $M$- przestrzenie. Ważną częścią tego rodziału jest również omówienie zespolonych krat Banacha, których już sama definicja, a w szczególności definicja modułu i normy, jest nietrywialna i odbywa się poporzez kompleksyfikację rzeczywistych krat Banacha. 

W ostatnim rozdziale przechodzimy do teorii operatorów. Przypominamy tu pojęcia dotyczące operatorów ograniczonych na przestrzeniach Banacha oraz elementy ich teorii spektralnej. Następnie  omawiamy operatory dodatnie na kratach Banacha i ostatecznie przedstawiamy główne twierdzenie pracy wraz z dowodem i przykładami zastosowania do operatorów niedodatnich. 

%Ważną klasą przestrzeni Banacha są kraty Banacha. Teorię krat Banacha zapoczątkowało trzech matematyków: L. V. Kantorowicz, F. Riesz i H. Freudenthal
%(zob. \cite{Wnuk}) w drugiej połowie lat trzydziestych ubiegłego wieku. W rozprawie zostaną
%przedstawione wyniki dotyczące pewnych własności geometrycznych w wybranych
%klasach krat Banacha (symetryczne przestrzenie Banacha i uogólnione przestrzenie
%Calderóna–Łozanowskiego).
%Bardzo ważną klasą krat Banacha są przestrzenie symetryczne nad przestrzenią
%z miarą Lebesgue’a  (zob. [3], [56], [58]). Również ich
%podklasy (przestrzenie Orlicza, Lorentza, Marcinkiewicza) cieszą się niesłabnącym
%zainteresowaniem. Taką podklasą są przestrznie Lorentza .... które pojawiły się
%w naturalny sposób w teorii interpolacji, jako efekt K–metody Lionsa–Peetre. Ściślej
%mówiąc, są to przestrzenie interpolacyjne między L
%1 a.... Powiązane są one również
%z klasycznymi przestrzeniami Lorentza. Mamy bowiem ..., a równość
%zbiorów zachodzi, gdy operator Hardy’ego zdefiniowany wzorem ... jest
%ograniczony jako ... , co jest równoważne spełnianiu przez funkcję wagową w tzw. warunku Bp. Kolejny związek między nimi ukazuje E. Sawyer w pracy
%[66] dowodząc, że odpowiednia przestrzeń ...
%,we jest przestrzenią dualną w sensie
%K\"othego dla przestrzeni... Własności przestrzeni Lorentza ....są ostatnimi laty
%szeroko badane (zob. [13], [14], [16], [43]). Przestrzenie .... są stosowane w rozwijaniu teorii aproksymacji, na przykład do poszukiwania rozszerzonych elementów
%najlepszego przybliżenia w przestrzeni (zob. [12]).




\chapter{Kraty wektorowe}

\section{Częściowy porządek i kraty}\label{Czesciowy porzadek i kraty}

W niniejszym podrozdziale przypomnimy podstawowe fakty z teorii krat. 
Istnieje wiele dobrych źródeł na ten temat. My opieraliśmy się głównie na \cite{Cameron},  \cite{Banasiak} i \cite{Gratzer}.
W całym podrodziale $X$ będzie ustalonym zbiorem.
\begin{dfn}\label{dfn:spo}
\emph{Częściowym porządkiem}, czy też krócej \emph{porządkiem} na zbiorze $X$ nazywamy relację $\leq$ spełniającą następujące: warunki
\begin{description}
    \item[(zwrotność)] $x \leq x$ dla każdego $x \in X$;
    \item[(przechodniość)] $x \leq y$ oraz $y \leq z$ implikuje $x \leq z$ dla każdych $x, y, z \in X$;
    \item[(antysymetria)] $x \leq y$ oraz $y \leq x$ implikuje $x = y$ dla każdych $x, y \in X$.
\end{description}
Mówimy, że zbiór $X$ jest (\emph{częściowo}) \emph{uporządkowany}, jeżeli $\leq$ jest cześciowym porządkiem na $X$, formalnie para $(X, \leq)$ jest (\emph{częściowo}) \emph{uporządkowana}. Gdy $x \leq y$ mówimy, że element $x$ jest \emph{mniejszy lub równy} $y$, lub krócej \emph{mniejszy} od $y$, oraz że element $y$ jest \emph{większy lub równy} $x$, lub krócej \emph{większy} od $x$. 
\end{dfn}
\begin{exm}
Rodzina $\mathcal{P}(A)$ wszystkich podzbiorów zbioru $A$ (czyli zbiór potęgowy) wraz z relacją zawierania $\subseteq$ jest zbiorem
uporządkowanym. W szczególności, każda podrodzina $X\subseteq \mathcal{P}(A)$ jest zbiorem uporządkowanym. Co więcej, z dokładnością 
do izomorfizmu (bijekcji zachowującej porządek) każdy zbiór częściowo uporządkowany jest tej postaci. 
\end{exm}
\begin{exm} \label{R}
Relacja większy równy $\leq$ zadana na zbiorze liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ jest porządkiem, a nawet \emph{porządkiem  liniowym},
czyli  każde dwa elementy są porównywalne: dla dowolnych $x,y$ mamy $x\leq y$ lub $y\leq x$ .
\end{exm}
\begin{exm}\label{Rn}
W przestrzeni $\mathbb{R}^n$ częściowy porządek można zadać ``po współrzędnych''. 
To znaczy dla wektorów   $x=(x(1),x(2),\dots, x(n))$,  $y=(y(1),y(2),\dots, y(n))\in \R^n$ piszemy
    $$
        x \leq y \,\,\stackrel{def}{\Longleftrightarrow} \,\,  x(k)\leq y(k) \text{ dla każdego }k=1,\dots, n.
    $$
Jeśli $n>1$, nie jest to porządek liniowy bo na przykład wektory $(1,0,...,0)$ oraz $(0,1,0,...,0)$ są nieporównywalne. 
%W szczególności porządkami są również zbiory ciągów $l^\infty$ - ograniczonych, $c_0(M)$ - znikające w nieskończoności, $L^p(\mu)$ - całkowalnych w $p$-tej potędze. ???
\end{exm}

\begin{exm} \label{F(M)}
Niech $F(M)$ będzie zbiorem funkcji rzeczywistych $x:M \rightarrow \mathbb{R}$. Naturalnym częściowym porządkiem na $F(M)$ jest relacja $\leq$ zdefiniowana punktowo
$$
x  \leq y \,\,  \stackrel{def}{\Longleftrightarrow}  \,\, x(t) \leq y(t)\text{ dla każdego }t\in M,
$$
dla dowolnych $x, y \in F(M)$. 
%W szczególności porządkami są zbiory funkcji $B(\Omega)$ - ograniczonych, $C(M)$ - ciągłych, $C_b(M)$ - ciągłych i ograniczonych, $c_0$ - znikających w nieskończoności, $l^p$ - różniczkowalnych w $p$-tej potędze, $L^\infty(\mu)$ - istotnie ograniczonych.
Zauważmy, że jeśli $M=\{1,\dots, n\}$, to $F(M)$ możemy utożsamić z $\R^n$ i wtedy otrzymujemy częściowy porządek z poprzedniego przykładu.
\end{exm}
\begin{exm} \label{mierzalne}
Jeżeli $(M,\Sigma,\mu)$ jest przestrzenią z miarą, to na zbiorze funkcji mierzalnych $\mathcal{M}(M)$ naturalną relacją jest \emph{nierówność $\mu$-prawie wszędzie}.
Mianowicie,  dla funkcji  mierzalnych $x,y:M\to \R$ piszemy
$$
x  \stackrel{\mu\text{-pw}}{\leq} y \,\,\stackrel{def}{\Longleftrightarrow} \,\, \mu(\{t\in M : x(t)>y(t)\})=0. %inna wersja\exists_{\substack{S\in\Sigma\\ \mu (S)=0}} \forall_{t\in M\setminus S} \,\, x(t)\leq y(t). 
$$
Ta relacja jest zwrotna i przechodnia. 
Rzeczywiście, $x  \stackrel{\mu\text{-pw}}{\leq} x$, gdyż  
$$
\mu(\{t\in M : x(t)>x(t)\})=\mu(\emptyset)=0.
$$
Natomiast jeśli 
$x\stackrel{\mu\text{-pw}}{\leq}y$ i $y\stackrel{\mu\text{-pw}}{\leq}z$, czyli $x(t)\leq y(t)$ i $y(t)\leq z(t)$  poza odpowiednio   zbiorami miary zero  $A, B\in \Sigma$, to
$x(t)\leq z(t)$  poza sumą $A\cup B$ tych zbiorów. Jako że suma zbiorów miary zero jest zbiorem miary zero, otrzymujemy więc że $x\stackrel{\mu\text{-pw}}{\leq}z$.

Natomiast formalnie rzecz biorąc relacja ta nie jest antysymetryczna. Mianowicie, 
obie relacje $x  \stackrel{\mu\text{-pw}}{\leq} y$ oraz  $y  \stackrel{\mu\text{-pw}}{\leq} x$ zachodzą wtedy i tylko wtedy, gdy
funkcje $x$ i $y$ są \emph{równe sobie $\mu$-prawie wszędzie}, tzn. gdy
$$
x  \stackrel{\mu\text{-pw}}{=} y \,\,\stackrel{def}{\Longleftrightarrow} \,\,  \mu(\{t\in M : x(t)\neq y(t)\})=0 .%inna wersja\exists_{\substack{S\in\Sigma\\ \mu (S)=0}} \forall_{t\in M\setminus S} \,\, x(t) = y(t). 
$$
Zatem aby mówić o  relacji $\stackrel{\mu\text{-pw}}{\leq} y $ jako o częściowym porządku  potrzebujemy utożsamić funkcje równe sobie $\mu$-prawie wszędzie.  
Dlatego, korzystając z tego, że $\stackrel{\mu\text{-pw}}{=}$ jest relacją równoważności, formalnie będziemy rozważać zbiór klas abstrakcji
$$
L_0(\mu):=\{[x]: x\in \mathcal{M}(M)\}, \qquad [x]=[y] \Leftrightarrow x\stackrel{\mu\text{-pw}}{=}y,
$$
na którym relacja
$$
[x]\leq [y]   \,\,\stackrel{def}{\Longleftrightarrow} \,\, x  \stackrel{\mu\text{-pw}}{\leq} y
$$
jest już porządkiem (antysymetria wynika wprost z konstrukcji). Z definicji elementami przestrzeni $L_0(\mu)$ są klasy abstrakcji $[x]$, a nie funkcje $x$. Jednak standardowo dla uproszczenia języka i notacji nazywa się je funkcjami i przy zapisie pomija się nawiasy, tzn. pisze się $x$ w miejsce $[x]$. Nie prowadzi to do nieporozumień, tak długo jak pamiętamy, że w przestrzeni $L_0(\mu)$ utożsamiamy funkcje równe sobie $\mu$-prawie wszędzie. Zgodnie z tą konwencją zbiór $L_0(\mu)$ nazywamy \emph{zbiorem funkcji mierzalnych}.
\end{exm}
\begin{dfn} 
Niech $Y \subseteq X$ będzie podzbiorem zbioru uporządkowanego. Mówimy, że $x \in Y$ jest elementem \emph{maksymalnym} (odpowiednio \emph{minimalnym}) zbioru $Y$ jeżeli dla każdego $y\in Y$ takiego, że $x\leq y$ (odpowiednio $y\leq x$) mamy  $x=y$. Powiemy, że $x \in Y$ jest elementem \emph{największym} (\emph{najmniejszym}) zbioru $Y$ jeżeli  $y \leq x$ ($x \leq y$)  dla każdego $y \in Y$.
\emph{Ograniczeniem górnym} (\emph{dolnym}) zbioru $Y$ nazywamy element $x \in X$ spełniający $y \leq x$ ($x \leq y$) dla wszystkich  $y \in Y$. Element najmniejszy, spośród ograniczeń górnych zbioru $Y$ nazywamy \emph{supremum} tego zbioru (lub \emph{kresem górnym}) i oznaczamy $\sup Y$. Natomiast element największy, spośród ograniczeń dolnych zbioru $Y$ nazywamy \emph{infimum} tego zbioru (lub \emph{kresem dolnym}) i oznaczamy $\inf Y$.
\end{dfn}
\begin{rem} Jeśli w pewnym zbiorze istnieje element największy, to jest on jedynym elementem maksymalnym tego zbioru a także jego kresem górnym. Na ogół zbiór może mieć wiele elementów maksymalnych, lub nie mieć ich wcale. 
Może też się  zdażyć, że zbiór ma dokładnie jeden element maksymalny, ale nie ma elementu największego. Jeżeli supremum zbioru może do niego nie należeć, a jeżeli należy to jest jego elementem największym. Podobne zależności zachodzą też między infimum, elementami najmniejszymi i elementem minimalnym.
\end{rem}
\begin{rem}[Zasada dualności]\label{zasada dualnosci}
    Dla każdego zbioru uporządkowanego $(X, \leq)$   można zdefiniować relację $x \geq y \stackrel{def}{\Longleftrightarrow} y \leq x $, dla dowolnych $x, y \in X$, która jak łatwo sprawdzić, jest również porządkiem. Parę $(X, \geq)$ nazywamy \emph{dualnym odpowiednikiem} pary $(X, \leq)$. Jeśli w zdaniu dotyczącym porządku zastąpimy wszystkie wystąpienia relacji $\leq$ (jawne lub niejawne) przez relację $\geq$ otrzymamy zdanie do niego \emph{dualne}. Na przykład pojęcia supremum oraz infimum są do siebie dualne (podobnie jak pojęcia elementu największego i najmniejszego, oraz maksymalnego i minimalnego). 
    W szczególności, 
\begin{quote}
    \emph{zdanie dualne do zdania prawdziwego dla wszystkich zbiorów częściowo uporządkowanych jest prawdziwe.}
\end{quote}
Powyższa zasada  pozwala formalnie pomijać dowody dualnych faktów, które w literaturze zbywa się często stwierdzeniem, że "dowód jest analogiczny".
 \end{rem}



Teraz pokażemy, że supremum sumy zbiorów to supremum supremów jej składników. Analogicznie zachodzi zdanie dualne z infimum. Jest to ogólna forma wyrażenia faktu, że 
 operacje $\sup$ oraz $\inf$ są łączne  (tam gdzie określone).

\begin{prop}[Łączność supremum i infimum]\label{supremum supremow}
Niech $\{E_i\}_{i\in I}$ będzie rodziną podzbiorów zbioru uporządkowanego $X$  oraz niech $E=\bigcup_{i \in I}E_i$. 
\begin{enumerate}
    \item Jeśli dla każdego $i \in I$ istnieje $\sup E_i$   oraz istnieje $\sup_{i \in I} \sup E_i$, to istnieje $\sup E$ oraz $\sup E=\sup_{i \in I} \sup E_i$.
    \item Jeśli dla każdego $i \in I$ istnieje $\inf E_i$ oraz istnieje $\inf_{i \in I} \inf E_i$, to istnieje $\inf E$ oraz $\inf E=\inf_{i \in I} \inf E_i$.
\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{proof}
1) Weźmy $y \in E=\bigcup_{i \in I} E_i$. Wtedy istnieje indeks $i \in I$, dla którego $y \in E_i$ oraz zachodzi $y\leq \sup E_i \leq \sup_{i \in I} \sup E_i $. Zatem $\sup_{i \in I} \sup E_i$ jest ograniczeniem górnym zbioru $E$. Pokażemy, że $\sup_{i \in I} \sup E_i$ jest elementem najmniejszym spośród ograniczeń górnych zbioru $E$. Niech $x \in X$ będzie innym ograniczeniem górnym zbioru $E=\bigcup_{i \in I} E_i$. Wtedy $x \geq e$ dla każdego $e \in E$, czyli w szczególności  $x \geq y$ dla dowolnego $y \in E_i$ i dla każdego $i \in I$, oraz z definicji supremum $x \geq \sup E_i$. Mamy więc, że $x \geq \sup E_i$ dla każdego $i \in I$. Więc $x$ jest ograniczeniem górnym zbioru $\{\sup E_i\}_{i \in I}$, a z definicji supremum $x \geq \sup_{i \in I} \sup E_i$. Więc supremum zbioru $E$ istnieje i wynosi $\sup E = \sup_{i \in I} \sup E_i$.

2) Jest to zdanie dualne do zdania 1), zachodzi więc z Uwagi \ref{zasada dualnosci}.
\end{proof}

\begin{dfn}\label{krata porzadkowa}
    \emph{Kratą} nazywamy uporządkowany zbiór $X$, w którym dla każdej pary elementów $x,y \in X$ istnieją $\sup\{x, y\}$ oraz $\inf\{x, y\}$.
\end{dfn}
\begin{rem}
    Jeśli wszystkie pary elementów $x,y \in X$ posiadają supremum, to stosując Stwierdzenie \ref{supremum supremow} oraz indukcję matematyczną, otrzymujemy, że każdy skończony ciąg $x_1,...,x_n\in X$ będzie miał supremum oraz
    $$
    \sup\{x_1,...,x_n\}=\sup\{\sup\{x_1,...,x_{n-1}\},x_{n}\}
    $$
Analogiczne (dualne) stwierdzenie zachodzi dla infimów. Zatem krata to uporządkowany zbiór, w którym wszystkie niepuste skończone podbiory posiadają suprema i infima.
\end{rem}
\begin{exm}
 Zbiór potęgowy $\mathcal{P}(A)$ dowolnego zbioru $A$, wraz z porządkiem zadanym przez zawieranie $\subseteq$ jest kratą. 
 Supremum podzbiorów  w tej kracie jest równe ich sumie, a infimum ich części wspólnej. To znaczy, dla $B, C \in \mathcal{P}(A)$ mamy 
 $$
 \sup\{B, C\} = B \cup C\quad \text{ oraz }\quad\inf\{B, C\} = B \cap C.
$$
\end{exm}
\begin{exm} Zbiór dodatnich dzielników $\mathcal{D}(n)$, dowolnej liczby naturalnej $n$, uporządkowany przez relację podzielności $|$ jest kratą. W tej kracie supremum dwóch dzielników $a, b \in \mathcal{D}(n)$ jest równe ich najmniejszej wspólnej wielokrotności $\sup\{a, b\} = \mathrm{NWW}(a, b)$, a infimum ich największemu wspólnemu dzielnikowi $\inf\{a, b\} = \mathrm{NWD}(a,b)$.
\end{exm}
\begin{exm} 
Podprzestrzenie skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej $V$, uporządkowane przez zawieranie $\subseteq$ również tworzą kratę. W tym przykładzie supremum dwóch podprzestrzeni $U, W \subseteq V$ jest równe ich sumie algebraicznej $\sup\{U, W\} = U + W$, a infimum ich 
części wspólnej $\inf\{U, W\} = U \cap W$.
\end{exm}

Definicja \ref{krata porzadkowa} przedstawia kratę w znaczeniu porządkowym. Jednak można tę strukturę zdefiniować również w sposób algebraiczny, jak w poniższej Definicji \ref{krata algebraicznie}.  W Stwierdzeniach \ref{krata porzadkowa jest algebraiczna}, \ref{krata algebraiczna jest porzadkowa} pokażemy, że definicje te są  równoważne.
\begin{dfn}\label{krata algebraicznie}
Niech $\lor$ i $\land$ będą działaniami dwuargumentowymi na zbiorze $X$. Trójkę $(X, \lor, \land)$ nazwiemy \emph{kratą algebraiczną} jeżeli  dla dowolnych $x, y, z \in X$ zachodzą
\begin{description}
    \item[(łączność)] $x \land (y \land z) = (x \land y) \land z$ \; oraz \; $x \lor (y \lor z) = (x \lor y) \lor z$;
    \item[(przemienność)] $x \land y = y \land x $ \; oraz \; $ x \lor y = y \lor x$;
    \item [(absorpcja)] $x \land (x \lor y) = x \lor (x \land y) = x$.
\end{description}
\end{dfn}
\begin{prop}\label{krata porzadkowa jest algebraiczna}
Jeżeli  $(X, \leq)$ jest kratą porządkową, to trójka $(X, \lor, \land)$ wraz z operacjami
$$x \lor y \defeq \sup\{x, y\}, \quad x \land y \defeq \inf\{x, y\}$$
tworzy kratę algebraiczną. 
Ponadto każda z operacji $\lor$ lub $\land$ determinuje porządek $\leq$, gdyż
$$\forall_{x, y \in X} \quad x \leq y \quad \Longleftrightarrow \quad x \lor y = y \quad \Longleftrightarrow \quad x \land y = x.$$ 
\end{prop}

\begin{proof}
Łączność operacji $\lor$ i $\land$ wynika ze Stwierdzenia \ref{supremum supremow} zastosowanego do zbioru $\{x,y,z\}=\{x\}\cup\{y\}\cup\{z\}$. Natomiast przemienność zachodzi, ponieważ argumentami operacji supremum i infimum są zbiory. Zatem aby udowodnić, że układ $(X, \lor, \land)$ jest kratą, pozostaje pokazać aksjomat absorpcji. Nierówności w jedną stronę zachodzą z definicji supremum i infimum:
$$
    x \land (x \lor y) = \inf\{x, (x \lor y)\} \leq x \leq \sup\{x, (x \land y)\}= x \lor(x \land y).
$$
W celu pokazania nierówności przeciwnej zauważmy, że $x$ jest ograniczeniem dolnym elementów $x$ i $x 
 \lor y$, czyli ich największe ograniczenie dolne $x \land (x \lor y) \geq x $. Analogicznie korzystając  otrzymujemy nierówność $x \geq x \lor(x \land y)$. Zatem trójka $(X, \lor, \land)$ jest kratą. 

 Zauważmy ponadto, że jeśli $x \leq y$, to najmniejszym ograniczeniem górnym elementów $x$ i $y$ jest $y$, a ich największym ograniczeniem dolnym $x$. Zatem $x \leq y$ jest równoważne, temu że $x \lor y = y $, jak i temu, że $x \land y = y $
\end{proof}

\begin{prop}\label{krata algebraiczna jest porzadkowa}
Jeżeli $(X, \lor, \land)$ jest kratą algebraiczną, to relacja
$$ x \leq y \stackrel{def}{\Longleftrightarrow} x \lor y = y$$
jest porządkiem kratowym takim, że
$$
\forall_{x, y \in X} \quad \sup\{x, y\}= x \lor y \quad \mathrm{oraz} \quad \inf\{x, y\}=x \land y .
$$
\end{prop}

\begin{proof}
Pokażemy, że relacja $\leq$ zdefiniowana przy pomocy operatora $\lor$ jest porządkiem. Niech $x,y, z \in X$. Zwrotność wynika z absorpcji $\; x \lor x = x \lor (x \lor (x \land y) )=( x \lor x) \lor (x \land y) =x \lor (x \land y) = x.$ 
Z założenia, że $x \leq y $ i $y \leq z$, tzn. $x \lor y = y$ i $y \lor z = z$, mamy $x \lor z = x \lor (y \lor z) = (x \lor y) \lor z = y \lor z = z,$ więc $x \leq z$, a zatem relacja $\leq$ jest przechodnia.  Antysymetryczność otrzymujemy automatycznie z definicji relacji $\leq$. Mianowicie, jeśli $x \leq y$ oraz $y \leq x$ mamy to $x = y \lor x = x \lor y = y.$ 

Pokażemy, że $x \lor y $ jest supremum elementów $x, y \in X$. Dowód, że $x \land y$ jest infimum jest dualny (analogiczny). 
Zauważmy, że 
$$
 x \land (x \lor y) = (x \land x) \lor y = x \land y \Longleftrightarrow x \leq x \lor y
$$
 oraz 
$$
 y \land (x \lor y) = (x \lor y) \land y = x \lor y \Longleftrightarrow y \leq x \lor y.
$$
Zatem $x \lor y$ jest ograniczeniem górnym elementów $x$ i $y$. Niech $z\in X$ będzie ograniczeniem górnym elementów $x$ i $y$. Wtedy $(x \lor y) \lor z = x \lor ( y \lor z)= x\lor z = z,$ czyli $x \lor y \leq z$. To oznacza, że $x \lor y$ jest najmniejszym ograniczeniem górnym.
\end{proof}
Skoro krata to zbiór z dwoma operacjami naturalne jest pytanie, czy te działania są rozdzielne względem siebie nawzajem. 
Łatwo dowieść, że każda krata jest \emph{poddystrybutywna} (\emph{podrozdzielna}), tzn. dla każdych $x,y, z\in X$ w kracie $X$ zachodzą nierówności
$$
 (x \land y) \lor z \leq (x \lor z)\land (y \lor z) \quad\text{oraz}\quad (x \lor y) \land z \leq (x \land z)\lor (y \land z).
$$
Na ogół jednak nierówności te nie są równościami. %, czyli krata nie musi być rodzielna w sensie następujacej definicji.
%Okazuje się, że w kracie wektorowej jest to prawda.
\begin{dfn}\label{dfn:krata_dystrybutywna}
Mówimy, że krata $X$ jest \emph{dystrybutywna} (\emph{rozdzielna}), jeżeli  dla 
dowolnych $x,y, z\in X$  zachodzą równości
$$
 (x \land y) \lor z = (x \lor z)\land (y \lor z) \quad\text{oraz}\quad (x \lor y) \land z = (x \land z)\lor (y \land z).
$$
Innymi słowy, $\land$ jest rozdzielne względem $\lor$ i vice versa.
\end{dfn}
\begin{rem}
Zgodnie z zasadą dualności można wykazać, że w każdej kracie rozdzielność $\land$  względem $\lor$ jest równoważna rozdzielności $\lor$  względem $\land$. 
Zatem w powyższej definicji wystarczy założyć zachodzenie jednej z równości.
\end{rem}%Natomiast nie każda krata jest dystrybutywna. 
\begin{exm}[Krata niedystrybutywna]\label{exm:krata_niedystrybutywna}
Rozważmy tak zwaną kratę $N_5$, składającą się z pięciu elementów $a, b, c, d, e$, spełniających warunki: $c\leq x\leq a$, dla każdego $x\in N_5$; $b\land d=e\land b=c$ oraz $b\land d=e\land b=c$.
Diagram Hassego tego porządku przedstawia się następująco:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\filldraw[black] (0,3) circle (2pt)node[anchor=south]{a};
\filldraw[black] (-1,1.5) circle (2pt)node[anchor=south east]{b};
\filldraw[black] (0,0) circle (2pt)node[anchor=north west]{c};
\filldraw[black] (1,1) circle (2pt)node[anchor=west]{d};
\filldraw[black] (1,2) circle (2pt)node[anchor=south west]{e};
\draw[gray, thick] (0,3) -- (-1,1.5);
\draw[gray, thick] (0,3) -- (1,2);
\draw[gray, thick] (1,2) -- (1,1);
\draw[gray, thick] (1,1) -- (0,0);
\draw[gray, thick] (0,0) -- (-1,1.5);
\end{tikzpicture}
\end{center}
W tej kracie  $d\lor(b\land e)=d\lor c=d$ oraz $(d\lor b)\land(d\lor e)=a\land e=e$. Czyli 
$$
d\lor(b\land e)\neq (d\lor b)\land(d\lor e).
$$
\end{exm}

W późniejszej części pracy zajmiemy się kratami wektorowymi oraz kratami Banacha, które jak wykażemy są zawsze dystrybutywne.


\section{Uporządkowane przestrzenie wektorowe}\label{Uporzadkowane przestrzenie wektorowe}
W całym tym podrozdziale $X$ będzie przestrzenią wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych $\R$. 
Zatem elementy zbioru $X$ są wektorami, które możemy dodawać oraz mnożyć przez skalar, tzn. określone są działania 
$X\times X\ni (x,y)\longmapsto x+y\in X$ oraz $\R\times X\ni (\alpha,x)\longmapsto \alpha x \in X$ spełniające standardowe aksjomaty rodzielności, łączności, czy przemienności.
%Rzeczywistą przestrzenią wektorową nazywamy zbiór $X$, wraz z dodawaniem $x+y$ i mnożeniem przez skalar wektorów $\alpha x$, gdzie $x, y \in X$ oraz $\alpha \in \mathbb{R}$. Jej elementy nazywamy wektorami.

\begin{dfn}\label{prz. wekt. up.}
\emph{Uporządkowaną przestrzenią wektorową} nazywamy przestrzeń wektorową $X$ wraz z  porządkiem $\leq$ zgodnym ze strukturą liniową w następującym sensie:  dla każdych $x, y, z \in X$ i $\alpha \geq 0$ 
mamy
\begin{description}
    \item [(zgodność z dodawaniem)]jeżeli $x\leq y$, to $x+z\leq y+z$ oraz
    \item [(zgodność z dodatnim skalowaniem)]jeżeli $x\leq y$, to $\alpha x \leq \alpha y$.
\end{description}
\end{dfn}

Podane wcześniej Przykłady \ref{R}, \ref{Rn} i \ref{F(M)} są podstawowymi modelami przestrzeni wektorowych uporządkowanych:
\begin{exm}[Przestrzenie funkcyjne]\label{przestrzenie funkcyjne}
Na zbiorze  $F(M)$  funkcji rzeczywistych $x:M \rightarrow \mathbb{R}$ strukturę liniową definiujemy punktowo, tzn.
$$
\quad(x + y)(t):=x(t) + y(t), \qquad (\alpha x)(t):=\alpha x(t) \qquad \text{  }t\in M,
$$
gdzie $x, y \in F(M)$ i $\alpha\in M$. 
Wraz z porządkiem zadanym punktowo,  jest to uporządkowana przestrzeń wektorowa. 
Oczywiście, każda podprzestrzeń liniowa przestrzeni $F(M)$ jest również przestrzenią tego typu. Na przykład, w zależności od strutkury zadanej na $M$,
możemy rozważać następujące podprzestrzenie:
\begin{enumerate}
\item \emph{Przestrzeń funkcji ograniczonych} $B(M)$ jest podprzestrzenią liniową w $F(M)$.
\item Jeżeli $M$ jest przestrzenią topologiczną, to \emph{przestrzeń funkcji ciągłych} $C(M)$   jest 
podprzestrzenią liniową w $F(M)$. 
\item Jeżeli $(M,\Sigma, \mu)$ jest przestrzenią z miarą, to \emph{przestrzeń funkcji mierzalncyh} $\mathcal{M}(M)$  jest podprzestrzenią $F(M)$
	\item Jeżeli $M=[a,b]$ jest przedziałem, to \emph{przestrzeń  funkcji różniczkowalnych w sposób ciągły} $C^{(1)}[a,b]$ jest podprzestrzenią $F(M)$.
\end{enumerate}
\end{exm}
\begin{exm}[Przestrzenie ciągów]\label{przestrzenie ciagow}
Jeżeli $M=\N$ to funkcje na $M$ utożsamimy z ciągami i wtedy mamy następujące ważne podprzestrzenie liniowe przestrzeni $F(M)$:
\\[2pt]

$
\ell^\infty:=\{x=(x(1),x(2), ...): \sup\limits_{k\in \N} |x(k)|<\infty\} \hfill (\text{przestrzeń ciągów ograniczonych})
$
\\[2pt]

$
c:=\{x=(x(1),x(2), ...): \exists_{x(\infty)\in \R} \lim\limits_{k\to \infty} x(k)=x(\infty)\}  \hfill (\text{przestrzeń ciągów zbieżnych})
$
\\[2pt]


$
c_0:=\{x=(x(1),x(2), ...): \lim\limits_{k\to \infty} x(k)=0\} \hfill  (\text{przestrzeń ciągów zbieżnych do zera})
$ 
\\[2pt]

$
c_{00}=\{ x=(x(1), ...,x(N),0,0,...):  N\in \N\} \hfill  (\text{przestrzeń ciągów skończonych}).
$ 
\\[2pt]

Wszystkie te przestrzenie ze struturą zadaną po współrzędnych są uporządkowanymi przestrzeniami wektorowymi.
\end{exm}
\begin{exm}[Przestrzenie funkcji mierzalnych]\label{mierzalne2}
Jeżeli $(M,\Sigma,\mu)$ jest przestrzenią z miarą, to omówiona w Przykładzie \ref{mierzalne} przestrzeń funkcji mierzalnych $L_0(\mu)$ z porządkiem $\stackrel{\mu\text{-pw}}{\leq}$ oraz z mnożeniem przez skalar i dodawaniem wektorów zdefiniowanymi punktowo jest uporządkowaną przestrzenią wektorową. Automatycznie również podprzestrzennie tej przestrzeni są uporządkowanymi przestrzeniami wektorowymi. Do najważniejszych należą
\begin{enumerate}
\item \emph{Przestrzenie funkcji całkowalnych w} $p$\emph{-tej potędze} 
$$
L^p(\mu)=\Big\{x\in L_0(\mu): \int_M |x|^p d\mu<\infty\Big\},\qquad \,\,p\in(0,\infty).
$$
\item \emph{Przestrzeń funkcji istotnie ograniczonych} 
$$
L^\infty(\mu)=\{x\in L_0(\mu): \inf_{\mu(A)=0} \sup_{t\in M\setminus A}|x(t)|<\infty\}.
$$
\end{enumerate}

\end{exm}
 Aby przestrzeń wektorowa była uporządkowana  wystarczy założyć dwa warunki zawarte w Definicji \ref{prz. wekt. up.}. Jednak można z nich wyprowadzić wiele innych przydatnych zależności opisujących tę strukturę.

\begin{lem}\label{wlasnosci upw}
W każdej uporządkowanej przestrzeni wektorowej $(X, \leq)$,  dla dowolnych $x, y, z, v \in X$ oraz $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ zachodzą poniższe własności
\begin{enumerate}
    \item Jeśli $x\leq y$ i $z\leq v$, to $x+z \leq y+v$;
    \item Jeśli $x\leq y$ i $\alpha < 0$, to $\alpha x \geq \alpha y$;
    \item Jeśli $x\geq 0$ i $\alpha \leq \beta$, to $\alpha x \leq \beta x$.
\end{enumerate}
\end{lem}
\begin{proof}
1) Z zachowania porządku, przy dodawaniu wektorów dostajemy
$$
    x \leq y \Longrightarrow x + z \leq y + z \quad \text{oraz} \quad  z \leq v \Longrightarrow z + y \leq v + y.
$$
Zatem $x+z \leq y+v$ z przechodniości relacji $\leq$.

2) Z zachowania porządku przy dodatnim skalowaniu mamy $-\alpha x \leq -\alpha y$. Dodając do tej nierówności obustronnie  wektor $\alpha x + \alpha y$, otrzymujemy  $\alpha x \geq \alpha y$.

3) Z zachowania porządku przy dodatnim skalowaniu, mamy $(\beta-\alpha) x \geq 0$, zatem $\beta x -\alpha x \geq 0$. Dodając do tej nierówności obustronnie $\alpha x$ otrzymujemy  $\beta x \geq \alpha x$.
\end{proof}

\begin{dfn}
\emph{Stożkiem} w przestrzeni wektorowej $X$ nazywamy zbiór $S\subseteq X$ spełniający warunki
\begin{description}
    \item [(zamkniętość na sumy)]$S+S\subseteq S;$
    \item [(zamkniętość na dodatnie skalowanie)]$\alpha S \subseteq S,$ dla każdego $\alpha \geq 0 ;$
    \item [(zerowy przekrój)]$S\cap(-S)=\{0\}.$
\end{description}
\end{dfn}

Okazuje się, że uporządkowane przestrzenie wektorowe są równoważne przestrzeniom wektorowym ze stożkiem. Wykażemy to  w poniższych Stwierdzeniach \ref{upw jest pw z stozkiem}, \ref{pw z stozkiem jest upw}.

\begin{prop}\label{upw jest pw z stozkiem} W uporządkowanej przestrzeni wektorowej $(X, \leq)$ zbiór
$$
X_+\defeq\{x \in X: x \geq 0\}
$$ jest stożkiem.  Ponadto determinuje on porządek, gdyż dla dowolnych $x, y \in X$ mamy
$$
x\leq y \Longleftrightarrow y - x \in X_+. 
$$
\end{prop}
\begin{proof}
%Niech $(X, \leq)$ będzie przestrzenią wektorową uporządkowaną. 
Weźmy $x, y \in X_+$, to znaczy elementy $x, y \in X$ takie, że 
$x\geq 0$ i $y \geq 0$. Dodając obustronnie do pierwszej nierówności element $y$, otrzymujemy $x+y \geq y \geq 0$. Zatem $x+y \in X_+$, z przechodniości $\leq$. Weźmy teraz dodatni skalar $\alpha \in \mathbb{R}_+$. Ponieważ porządek jest zgodny z dodatnim skalowaniem, to  $\alpha x \geq 0$, czyli $\alpha x \in X_+$. Następnie niech $x\in X_+ \cap (-X_+)$, czyli $x\geq 0$ i $ -x \geq 0$. Po dodaniu obustronnie do drugiej nierówności wektora $x$ dostajemy $x \leq 0$. Zatem  $x\geq 0$ i $x \leq 0$, skąd $x=0$. Pokazaliśmy, że $X_+$ jest stożkiem. 
Zauważmy dodatkowo, że $y-x\in X_+ \Longleftrightarrow 0\leq y-x \Longleftrightarrow x \leq y$, co dowodzi drugiej części stwierdzenia.
\end{proof}

\begin{dfn}
Stożek $X_+=\{x \in X: x \geq 0\}$  nazywamy \emph{stożkiem dodatnim}, a jego elementy \emph{wektorami dodatnimi} w kracie wektorowej $X$. 
\end{dfn}

\begin{prop}\label{pw z stozkiem jest upw}
Jeżeli $(X, S)$ jest przestrzenią wektorową, wraz z zadanym na niej stożkiem $S\subseteq X$, to $(X, \leq)$ jest uporządkowaną przestrzenią wektorową  przez relację $\leq$, zadaną formułą 
$$
x\leq y \stackrel{def}{\Longleftrightarrow} y - x \in S.
$$
Ponadto $S=X_+$ jest stożkiem wektorów dodatnich w przestrzeni $(X,\leq)$.
\end{prop}
\begin{proof}
W tym dowodzie $x, y, z \in X$ oraz $\alpha \in \mathbb{R}_+$. 
Najpierw pokażemy, że relacja $\leq$ zadaje porządek.  Jest ona zwrotna, ponieważ $x-x=0 \in S$. Niech $x \leq y$ i $y \leq z$, to znaczy $y-x, z-y \in S$, czyli $z-x=(z-y)+(y-x)\in S$ jako suma wektorów ze stożka $S$. Zatem relacja $\leq$ jest również przechodnia. Załóżmy, że $x\leq y$ i $y\leq x$, to znaczy że odpowiadające różnice są w stożku,  $y-x, x-y \in S$. Jest to równoważne z tym, że $y-x\in S$ i $y-x\in (-S)$. Zatem z własności zerowych przekrojów w stożku $y-x=0$, czyli $x=y$. Czyli relacja $\leq$ jest antysymetryczna.

Teraz pokażemy, że porządek $\leq$ jest zgodny ze strukturą wektorową przestrzeni $X$. Niech $x \leq y$, czyli $y-x \in S$. Stąd, skracając $z$, dostajemy $(y+z)-(x+z)\in S$. Zatem z definicji relacji $\leq$ otrzymujemy $x+z \leq y+z$. Czyli porządek jest zachowany przy dodawaniu wektorów. Niech teraz $x \leq y$, czyli $y-x \in S$. Korzystając z zamkniętości stożka na dodatnie skalowanie, dostajemy, że $\alpha(y-x) \in S$. Czyli innymi słowy $\alpha y - \alpha x \in S$, co z definicji porządku oznacza, że  $\alpha x \leq \alpha y$. Więc dodatnie skalowanie wektorów z przestrzeni $X$ zachowuje porządek.

Ponadto dowolny element $x \in S$ można przedstawić w postaci $x-0 \in S$, która jest równoważna z dodatniością badanego elementu $x \geq 0$. Zatem $S$ jest stożkiem wektorów dodatnich, czyli $S=X_+$.
\end{proof}
\begin{lem}\label{de Margan i przesuniecia}
W uporządkowanej przestrzeni wektorowej $(X, \leq)$, dla dowolnych $x, y, z \in X$, prawdziwe są następujące zdania:
\begin{enumerate}
    \item Jeśli istnieje $x\lor y$, to istnieją $(-x)\land(-y)$, $(x+z)\lor(y+z)$ oraz 
    $$
    -(x\lor y )=(-x)\land(-y), \quad \quad (x\lor y ) + z =(x+ z)\lor(y+z);
    $$
    \item Jeśli istnieje $x\land y$, to istnieją $(-x)\lor(-y)$, $(x+z)\land(y+z)$ oraz 
    $$
    -(x\land y )=(-x)\lor(-y), \quad \quad (x\land y ) + z =(x+ z)\land(y+z).
    $$
\end{enumerate}
\end{lem}
\begin{proof}
(1). Korzystając z 2) z Lematu \ref{wlasnosci upw} przekształcamy nierówności $x, y \leq x \lor y$ na $-x, -y \geq -(x \lor y)$. Otrzymane nierówności oznaczają, że element $ -(x \lor y)$ jest ograniczeniem dolnym $-x$ i $-y$. Niech $z\in X$ będzie ograniczeniem dolnym $-x$ i $-y$, czyli $(-x), (-y)\geq z$. Wtedy $x, y\leq -z$, więc ich supremum jest od niego mniejsze $x\lor y\leq -z$, czyli $-(x\lor y)\geq z$. Zatem $-(x\lor y)$ jest największym ograniczeniem dolnym elementów $-x$ i $-y$. Otrzymujemy więc, że $(-x)\land(-y)$ istnieje oraz $(-x)\land(-y)=-(x\lor y)$.

Z nierówności $x+z\leq x \lor y +z$ oraz $y+z \leq x \lor y +z$. A zatem elementy $x+z$ i $y+z$ są ograniczone z góry przez $x \lor y +z$. Niech $p\in X$ będzie ograniczniem górnym $x+z$ i $y+z$, czyli $(x+z), (y+z)\leq p$. Wtedy $x, y\leq p-z$, zatem $p-z$ jest ograniczeniem górnym elementów $x$ i $y$, więc ich supremum jest od niego mniejsze $x\lor y \leq p-z$. Otrzymaliśmy $(x\lor y)+z\leq p$, co oznacza, że $(x\lor y )+z$ jest najmniejszym ograniczeniem górnym elementów $x+z$ i $y+z$. Zatem $(x+z)\lor(y+z)$ istnieje i jest równe $(x+z)\lor(y+z)=(x\lor y)+z$.

(2). Dowód jest dualny (analogiczny), por. Uwaga \ref{zasada dualnosci}.
\end{proof}

\section{Kraty Wektorowe}
W tej sekcji zbadamy uporządkowane przestrzenie wektorowe, które dodatkowo są kratami. % aby w następnym rozdziale móc zająć się najwęższą struktórą, jaka nas interesuje, czyli kratami Banacha.
\begin{dfn}
\emph{Kratą wektorową} (lub też \emph{przestrzenią Riesza}) nazywamy uporządkowaną przestrzeń wektorową 
$(X, \leq)$, która jest  kratą, to znaczy istnieją w niej $x \land y$ i $x \lor y$ dla dowolnej pary elementów $x, y \in X$.
\end{dfn}
Przytoczone w poprzednich sekcjach Przykłady \ref{R} -\ref{mierzalne} oraz \ref{przestrzenie funkcyjne}-\ref{mierzalne2},  są kratami wektorowymi, z wyjątkiem przestrzeni funkcji różniczkowalnych w sposób ciągły $C^{(1)}[a,b]$.

\begin{exm}\label{exm:niekrata}
Przestrzeń funkcji różniczkowalnych w sposób ciągły $C^{(1)}[-1,1]$ nie jest kratą. Weźmy na przykład funkcje $x,y\in C^{(1)}[-1,1]$ określone wzorami $x(t)=t$, $y(t)=-t$. Wtedy ich supremum punktowe wynosi $(x\lor y)(t)=|t|$, ale  wartość bezwzględna nie jest funkcją różniczkowalną w $x=0$. Stąd wynika, że funkcje $x$ i $y$ nie posiadają supremum w przestrzeni $C^{(1)}[-1,1]$.
\end{exm}


Okazuje się, że aby sprawdzić, czy uporządkowana przestrzeń wektorowa jest kratą wektorową, nie trzeba sprawdzać istnienia supremum oraz infimum, dla dowolnych par jej elementów. Wystarczy dowieść, że istnieje jedna z tych operacji. A nawet można tylko pokazać, że istnieje infimum lub supremum dowolnego elementu z zerem.
\begin{lem}
W uporządkowanej przestrzeni wektorowej $(X, \leq)$ następujące warunki są równoważne
\begin{enumerate}
    \item $(X, \leq)$ jest kratą wektorową;
    \item dla każdych dwóch wektorów $x, y\in X$ istnieje ich supremum $x \lor y$;
    \item dla każdych dwóch wektorów $x, y\in X$ istnieje ich infimum $x \land y$;
    \item dla każdego wektora $x\in X$ istnieje jego supremum z zerem $x\lor0$;
    \item dla każdego wektora $x\in X$ istnieje jego infimum z zerem $x\land 0$.
\end{enumerate}
\end{lem}
\begin{proof}
(1)$\Rightarrow$(2). Wynika to wprost z definicji kraty wektorowej.

(2)$\Rightarrow$(3). Weźmy dowolne dwa wektory $x, y\in X$. Z założenia istnieje supremum $(-x)\lor(-y)$ wektorów przeciwnych $-x, -y\in X$. Zatem na mocy Lematu \ref{de Margan i przesuniecia} 
istnieje infimum $x \land y =(-(-x))\land(-(-y))=-((-x)\lor(-y))$.

(3)$\Rightarrow$(5). Zachodzi  kładąc $y=0$.

(5)$\Rightarrow$(4). Weźmy dowolny element $x\in X$. Stosując   Lematu \ref{de Margan i przesuniecia} do  wektora pzeciwnego $-x\in X$ otrzumyjemy, że  istnieje $x\lor 0=-((-x)\land 0)$. 

(4)$\Rightarrow$(1). Niech $x, y\in X$. Z Lematu \ref{de Margan i przesuniecia} otrzymujemy, że istnieje  $x\lor y=(x-y)\lor 0 + y$ oraz $ x\land y= (x-y)\lor 0 +y $.
\end{proof}

\begin{dfn}
Dla dowolnego elementu $x\in X$ kraty wektorowej $(X, \leq)$ przyjmujemy następujące oznaczenia:
$$
x_+:=x \lor 0,\qquad x_-=(-x) \lor 0, \qquad |x|:=x \lor (-x).
$$
Ponadto $x_+$ nazywamy \emph{częścią dodatnią}, $x_-$ \emph{częścią ujemną}, a $|x|$ \emph{wartością bezwzględną} (lub krócej \emph{modułem}) wektora $x$. Dodatkowo powiemy, że dwa elementy kraty wektorowej $x, y\in X$ są \emph{rozłączne} jeśli $|x|\land |y|=0$.  Piszemy wtedy $x \perp y$, czyli
$$
x \perp y \,\, \stackrel{def}{\Longleftrightarrow}\,\,  |x|\land |y|=0.
$$
\end{dfn}
\begin{exm}
W kracie wektorowej  funkcji rzeczywistych $F(M)$ określonych na zbiorze $M$ dla funkcji $x:M\rightarrow \mathbb{R}$ częścią dodatnią jest $x_+=\max\{x, 0\}$, częścią ujemną $x_-=\max\{-x, 0\}$, a wartością bezwzględną $|x|=\max\{x, -x\}$.
Dla przykładowej funkcji, wykresy odpowiednich funkcji otrzymanych za pomocą operacji kratowych  wyglądają jak następuje
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[axis lines = center, title={$x(t)$}, ymin=-1, ymax=7]
\addplot [domain=-5.3:3.3, samples=100, color=blue]{3 * sin(deg(x)) + 4 * cos(deg(x/2))};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[axis lines = center, title={$x_+(t)$}, ymin=-1, ymax=7]
\addplot [domain=-5.3:3.3, samples=100, color=blue]{max(3 * sin(deg(x)) + 4* cos(deg(x/2)),0)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[axis lines = center, title={$x_-(t)$}, ymin=-1, ymax=7]
\addplot [domain=-5.3:3.3, samples=100, color=blue]{-min(3 * sin(deg(x)) + 4* cos(deg(x/2)),0)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[axis lines = center, title={$|x|(t)$}, ymin=-1, ymax=7]
\addplot [domain=-5.3:3.3, samples=100, color=blue]{max(3 * sin(deg(x)) + 4* cos(deg(x/2)),0)-min(3 * sin(deg(x)) + 4* cos(deg(x/2)),0)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{center}
Zauważmy, że funkcja $|x|$ jest sumą nieujemnych funkcji $x_+$ i $x_-$, a $x$ jest ich różnicą. Dodatkowo warunek $x_+ \land x_- = 0$ jest równoważny temu, że $x_+$ i $ x_-$ mają rozłączne nośniki. 
W szczególności rozkład funkcji $x=x_+-x_-$
na różnicę części dodatniej i ujemnej jest kluczowym elementem konstrukcji całki Lebesgue'a.\end{exm}
\begin{lem}\label{zasada wl i wyl, podaddytywnosc i jednorodnosc}
W kracie wektorowej $(X, \leq)$ dla dowolnych elementów $x, y, z \in X$ i dodatniego skalara $\alpha \in \mathbb{R}_+$ zachodzą poniższe własności 
\begin{description}
    \item [(zasada włączeń i wyłączeń)] $x+y = x \lor y + x \land y$;
    \item[(podaddytywność)] dla \; $x, y, z\geq 0$ \; mamy \; $(x+y)\land z\leq x\land z + y\land z$;
    \item[(dodatnia rozdzielność)] $\alpha(x\lor y)=(\alpha x)\lor(\alpha y)$ \; oraz \; $\alpha(x\land y)=(\alpha x)\land(\alpha y)$.
\end{description}
\end{lem}
\begin{proof}
Pokażmy, że zachodzi odpowiednik zasady włączeń i wyłączeń. Do nierówności $x \land y\leq x$ oraz $x \land y\leq y$ dadajmy  odpowiednio wektory $y$ i $x$. Otrzymujemy w ten sposób $x \land y +x \leq y + x$ oraz $x \land y +y \leq x + y$. Po odpowiednim przekształceniu tych nierówności otrzymujemy ograniczenie górne elementów $x, y\leq x+y - x \land y$. Zatem supremum tych elementów jest od niego nie większe. Czyli $x \lor y \leq x+y - x \land y$. Odpowiednie przekształcenie daje nam nierówność w lewą stronę $x+y \geq x \lor y + x \land y$. Poprzez rozumowanie dualne  dostajemy nierówność w drugą stronę. 

Dla dowolnych wektorów dodatnich $x,y,z$ mamy  $(y+z)\land z = z$  oraz $z\leq z+x\land z$. Stąd oraz z łączności infimum (Stwierdzenie \ref{supremum supremow}) oraz wzoru na przesunięcie infimum (Lemat \ref{de Margan i przesuniecia}) otrzymujemy 
\begin{align*}
(x+y)\land z &= (x+y)\land((y+z)\land z)=((x+y)\land(y+z))\land z = (y+x\land z)\land z
\\
&\leq (y+ x\land z)\land(z+x\land z)=x\land z + y\land z.
\end{align*}

Niech teraz znowu $x,y\in X$ będą dowolne.
Nierówności $x, y \leq x \lor y $ przemnóżmy przez $\alpha\in \mathbb{R}_+$. Otrzymujemy w ten sposób $\alpha x, \alpha y \leq \alpha(x \lor y)$. Oznacza to, że element $\alpha(x \lor y)$ jest ograniczeniem górnym elementów $\alpha x$ i $\alpha y$, a zatem jest on większy od ich supremum $(\alpha x)\lor (\alpha y)\leq \alpha(x \lor y)$. Z drugiej strony gdy nierówności $\alpha x, \alpha y\leq (\alpha x) \lor (\alpha y)$ przemnożymy przez $\alpha^{-1}$ otrzymamy $x, y \leq \alpha^{-1}(\alpha x \lor \alpha y)$. Zatem element $\alpha^{-1}(\alpha x \lor \alpha y)$ jest ograniczeniem górnym $x$ i $y$. Czyli ich supremum jest od niego nie większe $x \lor y \leq \alpha^{-1}(\alpha x \lor \alpha y)$. Pozostaje przemnożyć powstałą nierówność przez $\alpha$, $\alpha(x \lor y)\leq \alpha x \lor \alpha y$. Drugie równanie otrzymujemy analogicznie  poprzez rozumowanie dualne. Pokazaliśmy więc rozdzielność dodatniego skalowania.
\end{proof}
\begin{prop}[Rozkład Jordana]\label{rozklad Jordana}
W kracie wektorowej $(X, \leq)$ dowolny element $x\in X$ i jego wartość bezwzględną można przedstawić formułami 
$$
x=x_+ - x_-, \qquad   |x|=x_+ + x_-,
$$
przy czym $x_+, x_-\geq 0$ oraz $x_+ \perp x_-$. Co więcej rozkład $x=x_+ - x_-$ jest jednoznaczny w następującym sensie: jeśli $x=u-v$ dla pewnych rozłącznych dodatnich wektorów $u, v \in X_+$, to $u=x_+$ i $v=x_-$.
\end{prop}
\begin{proof}
Z zasady włączeń i wyłączeń z Lematu \ref{zasada wl i wyl, podaddytywnosc i jednorodnosc} oraz z Lematu \ref{de Margan i przesuniecia} otrzymujemy $$
x=x+0=x \lor 0 + x \land 0 = x \lor 0 - ((-x )\lor 0)=x_+ - x_-.
$$
Wartość bezwzględną rozpisujemy z definicji, przesuwamy wydzielamy element $-x$ przed supremum  korzystając  z Lematu \ref{de Margan i przesuniecia} oraz wyłączamy $2$ z rozdzielności z Lematu \ref{zasada wl i wyl, podaddytywnosc i jednorodnosc}, i na koniec korzystamy z definicji części dodatniej elementu $x$ oraz wykazanej powyżej równości $x=x_+ - x_-$. W ten sposób mamy 
$$
|x|=x\lor(-x)=(2x\lor 0)-x=2(x\lor0)-x=2x_+-(x_+ - x_-)=x_+ + x_-.
$$
Jednoznaczność rozkładu wynika z Lematu \ref{de Margan i przesuniecia}, gdyż jeśli $x=u-v$ dla pewnych rozłącznych dodatnich wektorów $u, v \in X_+$, to   $$u=u-0=u-|u|\land |v|=u-u\land v=u+(-u)\lor(-v)=0\lor(u-v)=0 \lor x=x_+.
$$
Zatem $x=x_+ - v$ oraz $x=x_+ - x_-$, skąd także
$v=x_-$.
\end{proof}
Operacja brania wartości bezwzględnej z wektora zachowuje się podobnie do wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej, więc jest to trafne rozszerzenie na dowolną kratę wektorową:
\begin{lem}
W dowolnej kracie wektorowej, dla dowolnych wektorów $x, y \in X$  i  skalara $\alpha \in \R$, operacja brania wartości bezwzględnej $|\cdot|$ posiada własności
\begin{description}
    \item [(niezdegenerowanie)] $|x|=0 \;\Longleftrightarrow \; x=0$,
    \item [(dodatnia jednorodność)] $|\alpha x|=|\alpha|\cdot|x|$,
    \item [(nierówności trójkąta)]$|x+y|\leq |x| + |y|$ \quad oraz \quad $||x|-|y||\leq |x-y|$.
\end{description}
\end{lem}
\begin{proof}
%Weźmy dowolne elementy kraty wektorowej $x, y\in X$ i dowolny skalar $\alpha \in \mathbb{R}$. 
Niech $|x|=0$. Wtedy $x_+ +x_-=0$. Skoro  $x_+, x_-\geq 0$, to wynika stąd, że $x_+=x_-=0$, a  więc też $x=x_+ - x_-=0$. Otrzymaliśmy warunek niezdegenerowania wartości bezwzględnej.
Następnie pokażemy dodatnią jednorodność. Dla $\alpha \in \mathbb{R}_+$ mamy 
\begin{align*}
\alpha x&=(\alpha x)_+ +(\alpha x)_-=(\alpha x)\lor 0+(-\alpha x)\lor 0
\\
&=\left\{\begin{array}{lrr}
    \alpha(x\lor 0 + (-x)\lor 0), &\mathrm{dla}& \alpha \geq 0  \\
     -\alpha((-x)\lor 0+x\lor 0),&\mathrm{dla}& \alpha <0 
\end{array}\right.
=|\alpha|(x_+ + x_-)=|\alpha||x|.
\end{align*} 
Z definicji wartości bezwzględnej mamy $x, -x\leq |x|$ oraz $y, -y\leq |y|$. Zatem 
$$
x+y\leq|x|+|y|\quad \text{ oraz }\quad -(x+y)=(-x)+(-y)\leq |x|+|y|.
$$
Oznacza to, że $|x|+|y|$ jest ograniczeniem górnym elementów $x+y$ i $-(x+y)$, więc ich supremum jest od niego nie większe. Czyli 
$$
|x+y|=(x+y)\lor(-(x+y))\leq|x|+|y|.
$$
Z wykazanej nierówności trójkąt wynika również,  odwrócona nierówność trójkąta. Rzeczywiście, skoro  $|x-y|=(x-y)\lor(y-x)=|y-x|$, to stosując dwukrotnie nierówność trójkąta otrzymujemy
$$
|x|=|(x-y)+y|\leq|x-y|+|y|\quad \text{ oraz }\quad |y|=|(y-x)+x|\leq|y-x|+|x|.
$$
Po przekształceniu daje to $|x|-|y|\leq|x-y|$ oraz $|y|-|x|\leq |x-y|$. Czyli  $||x|-|y||\leq|x-y|$.
\end{proof}
\begin{rem}
Części dodatnie i ujemne wektorów są zgodne z porządkiem, to znaczy $x\leq y$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x_+\leq y_+$ oraz $y_-\leq x_-$. Zauważmy, że jeśli $x\leq y$, to $x\lor0 \leq y\lor0$, a to oznacza że $x_+\leq y_+$. Ady dowieść impikacji w drugą stronę zauważmy, że skoro $-x\geq -y$, to $x_- = (-x)\lor 0 \geq (-y)\lor 0=y_-$, a więc $-x_-\leq-y_-$. Korzystając z nierówności $x_+\leq y_+$ oraz $-x_-\leq-y_-$ otrzymujemy, że $x=x_+-x_-\leq y_+-y_-=y$.
\end{rem}
Można wyprowadzić szereg własności opisujący zależności między operacjami brania wartości bezwzględnej oraz supremum i infimum.
\begin{lem}\label{wlasnosci wartosci bezwzglednej i inf i sup}
W kracie wektorowej $(X, \leq)$ dla dowolnych elementów $x, y, u, v\in X$ zachodzą własności
\begin{enumerate}
    \item $|x-y|=x\lor y-x\land y$;
    \item $|x-y|=|x\lor u - u\lor y|+|x\land u - u \land y|$;
    \item $x\lor y = \frac{1}{2}(x+y+|x-y|)$ \; oraz \; $x\land y = \frac{1}{2}(x+y-|x-y|)$;
    \item $|x|\lor |y|=\frac{1}{2}(|x+y|+|x-y|)$;
    \item $ |x|\land |y|=\frac{1}{2}\big||x+y|-|x-y|\big|$;
    %\item $|x\lor y - u\lor v|, |x\land y - u\land v|\leq |x-u|+|y-v|$.
\end{enumerate}
\end{lem}
\begin{proof}
(1). Zauważmy, że z przesunięć i praw De Morgana z Lematu \ref{zasada wl i wyl, podaddytywnosc i jednorodnosc} mamy 
$$
y+(x-y)_+=y+(x-y)\lor0=x\lor y 
$$ oraz 
$$
-y + (x-y)_-=-y+(y-x)\land 0=(-x)\lor(-y)=-x\land y.
$$ 
Dodając obustronnie te równości otrzymujemy $(x-y)_+ + (x-y)_- = x\lor y -x\land y$, a więc ze wzoru na moduł ze Stwierdzenia \ref{rozklad Jordana}  mamy $|x-y|= x\lor y -x\land y$.

(2). Korzystając z (1) oraz dystrybutywności ze Stwierdzenia \ref{dystrybutywnosc} obliczamy 
\begin{align*}
|x-y|&=x\lor y -x\land y=(x\lor y+ z)-(x\land y +z)
\\
&=(x\lor y)\lor z - (x\lor y)\land z - (x\land y)\lor z + (x\land y)\land z 
\\
&= (x\lor z)\lor(y\lor z) - (x\land z)\lor(y\land z) - (x\lor z)\land(y\lor z) + (x \land z)\land(y \land z)
\\
&=|x\lor z - y\lor z|+|x\land z - y\land z|.
\end{align*}

(3). Ta własność wynika z dodania i odjęcia stronami równań
\begin{align*}
x+y+|x-y|&=2(x\lor y),
\\
x+y-|x-y|&=2(x\land y),
\end{align*}
które wynikają z zasady włączeń i wyłączeń z Lematu \ref{zasada wl i wyl, podaddytywnosc i jednorodnosc} oraz z równania (1). 

(4). Tę własność otrzymujemy z (3) i z Lematu \ref{de Margan i przesuniecia}, a mianowicie 
\begin{align*}
|x|\lor|y|&=x\lor(-x)\lor y\lor (-y)=\frac{x-y+|x+y|}{2}\lor\frac{y-x+|x+y|}{2}
\\
&=\frac{1}{2}|x+y|+\frac{1}{2}(x-y)\lor(y-x)
\\
&=\frac{1}{2}|x+y|+\frac{1}{2}(x-y)\lor(-(x-y))
\\
&=\frac{1}{2}(|x+y|+|x-y|).
\end{align*}

(5). Stosując zasadę włączeń i wyłączeń z Lematu \ref{zasada wl i wyl, podaddytywnosc i jednorodnosc} oraz z  (4) otrzymujemy 
$$
|x|\land|y|=|x|+|y|-|x|\lor|y|=|x|+|y|-\frac{1}{2}(|x+y|+|x-y|).
$$
Podstawiając w powyższej równości $x=u+v$ oraz $y=u-v$
mamy 
$$
|x|\land|y|=|u+v|+|u-v|-\frac{1}{2}(|2u|+|2v|)=|u+v|+|u-v|-|u|-|v|.
$$ 
Czyli z (4) oraz (3), 
\begin{align*}
|x|\land|y|&=2|u|\lor|v|-|u|-|v|=|u|+|v|+||u|-|v||-|u|-|v|=||u|-|v||
\\
&=\left||\frac{x+y}{2}|-|\frac{x-y}{2}|\right|=\frac{1}{2}\big||x+y|-|x-y|\big|. \qedhere
\end{align*}
\end{proof}
\begin{rem}\label{nierownosc Birkhofa}
Z własności (1), (2) z Lematu \ref{wlasnosci wartosci bezwzglednej i inf i sup} wynikają nierówności 
$$
|x\lor z - y\lor z|\leq|x-y| \quad\text{ oraz }\quad |x\land z - y\land z|\leq|x-y|.
$$
\end{rem}
Jeśli ograniczymy się do elementów rozłącznych kraty wektorowej część dowiedzionych wcześniej własności upraszcza się jeszcze bardziej.
\begin{cor}
W kracie wektorowej $(X, \leq)$ dla dowolnych elementów rozłącznych $x, y\in X$ zachodzą poniższe własności
\begin{enumerate}
    \item $|x+y|=|x-y|$,
    \item $|x|\lor|y|=|x|+|y|$,
    \item $(x + y)_\pm=x_\pm + y_\pm$,
    \item $|x + y| =|x|+|y|$.
\end{enumerate}
\end{cor}
\begin{proof}
(1) Ta równość wynika z definicji elementów rozłącznych $|x|\land|y|=0$ zastosowanej do (5) z Lematu \ref{wlasnosci wartosci bezwzglednej i inf i sup}.

(2) Tę równość otrzymujemy  po zastosowaniu własności (1) z Lematu \ref{zasada wl i wyl, podaddytywnosc i jednorodnosc}, 
$$
|x|\lor|y|=|x|+|y|-|x|\land|y|=|x|+|y|.
$$

(3). Zauważmy, że $x+y=x_+ - x_- + y_+ - y_-=(x_+ + y_+)-(x_- + y_-)$, czyli suma wektorów $x$ i $y$ jest równa różnicy elementów dodatnich $(x_+ + y_+), (x_- + y_-)\in X_+$. Pokażemy, że wektory $(x_+ + y_+)$ oraz $(x_- + y_-)$ są rozłączne. Wtedy z jednoznaczności rozkładu Jordana (Stwierdzenie \ref{rozklad Jordana}) otrzymamy $(x+y)_+=x_+ + y_+$ oraz $(x+y)_-=x_- + y_-$. Aby wykazać rzeczoną rozłączność zauważmy, że 
$$
0\leq y_+\land x_-\leq(y_+ + y_-)\land(x_+ + x_-)=|y|\land|x|=0
$$ oraz
$$
0\leq x_+\land y_-\leq(x_+ + x_-)\land(y_+ + y_-)=|x|\land|y|=0,
$$
a więc elementy $y_+\land x_-$  oraz $x_+\land y_-$ są zerowe. Z podaddytywności z Lematu \ref{zasada wl i wyl, podaddytywnosc i jednorodnosc} oraz z rozłączności części dodatniej i ujemnej dowolnego wektora mamy 
\begin{align*}
0&\leq |x_+ + y_+|\land|x_- + y_-|=(x_+ + y_+)\land(x_- + y_-)\leq(x_+ + y_+)\land x_- + (x_+ + y_+)\land y_-
\\
&\leq x_+\land x_- +y_+ \land x_- + x_+\land y_- + y_+\land y_- = 0.
    \end{align*}
Stąd $(x_+ + y_+)\perp(x_- + y_-)$, a zatem $(x+y)_+ = x_+ + y_+$ oraz $(x+y)_-=x_- + y_-$.

(4) Ta równość wynika bezpośrednio z (3), gdyż 
$$|x+y|=(x+y)_+ + (x+y)_- = x_+ + y_+ + x_- +y_-=(x_+ + x_-) + (y_+ + y_-)=|x|+|y|.\qedhere
$$
\end{proof}


Jak pokazaliśmy w Przykładzie \ref{exm:krata_niedystrybutywna} istnieją kraty niedystrybutywne, tzn. w których działania $\lor$ i $\land$ nie są  rozdzielne względem siebie, patrz 
Definicja \ref{dfn:krata_dystrybutywna}. Okazuje się, że  kraty wektorowe są zawsze dystrybutywne.
 Działania te są rodzielne nawet względem nieskończonych supremów i infimów, o ile one istnieją.
\begin{prop}[Dystrybutywność]\label{dystrybutywnosc}
W kracie wektorowej $(X, \leq)$ dla dowolnego podzbioru $S \subseteq X$ oraz elementu $ x\in X$ mamy 
\begin{enumerate}
    \item jeśli $\inf S$ istnieje, to istnieje $\inf_{s\in S}\{x\lor s\}$  oraz 
		$$x\lor \inf S=\inf_{s\in S}\{x\lor s\} ;$$
    \item jeśli $\sup S$ istnieje, to istnieje $\sup_{s\in S}\{x\land s\}$ oraz 
		$$
        x\land \sup S=\sup_{s\in S}\{x\land s\}.
        $$
\end{enumerate}
W szczególności, dla dwuelementowego zbioru $S=\{y,z\}$ mamy
$$
x \lor (y\land z) = (x\lor y)\land(x\lor z) \quad \text{oraz}\quad x \land(y\lor z) = (x\land y)\lor(x\land z).
$$
Czyli $(X, \leq)$ jest kratą dystrybutywną.
\end{prop}
\begin{proof}
Pokażemy (1). Dowód (2) jest analogiczny (dualny). Załóżmy, że $\inf S$ istnieje i weźmy dowolny $x\in X$. Dla każdego $s\in S$ mamy $x\lor  \inf S\leq x\lor s$. Ponieważ $x\lor \inf S$ jest ograniczeniem dolnym elementów $x\lor  s$ dla każdego $s\in S$, 
to 
$$
x\lor \inf S\leq\inf_{s\in S}\{x\lor s\},
$$
o ile infimum po prawej stronie istnieje. 
 Żeby wykazać istnienie tego infimum oraz nierówność przeciwną  potrzebujemy pokazać, że 
 jeżeli 
 $z \leq   x\lor s$  dla każdego $s\in S$, to $z\leq x\lor \inf S$.
 Niech zatem $z\in X$ będzie takie, że $z \leq   x\lor s$  dla każdego $s\in S$. Niech $s\in S$. Korzystając z tego, że 
$s+x=x\land s+ x\lor s$  (zasada włączeń i wyłączeń, Lemat \ref{zasada wl i wyl, podaddytywnosc i jednorodnosc}) otrzymujemy
$$
 s =s\land x + s\lor x - x \geq s\land x + z - x
 \geq \inf S\land x + z - x.
$$ 
Zatem biorąc infimum po $s\in S$ dostajemy 
$
\inf S\geq \inf S\land x + z - x$,
 czyli po przekształceniu
 $$
z \leq \inf S +x -  \inf S\land x
 $$
Zatem stosując zasadę włączeń i wyłączeń do $\inf S$ oraz $x$ mamy
$z\leq x\lor \inf S$, co należało dowieść.
\end{proof}

\begin{dfn}
\emph{Przedziałem porządkowym} o początku $x\in X$ i końcu $y\in X$, w zbiorze uporządkowanym $X$, nazywamy zbiór $[x,y]\defeq\{v\in X: x\leq v\leq y\} $.
\end{dfn}
\begin{prop}[Rozkład Riesza]\label{rozklad Riesza}
W kracie wektorowej $(X, \leq)$, dla wektorów dodatnich $x, y\in X_+$ zachodzi $[0,x+y]=[0,x]+[0,y]$.
\end{prop}
\begin{proof}

Załóżmy, że $z\in [0,x]+[0,y]$. Wtedy $z=z_1+z_2$, gdzie $0\leq z_1\leq x$ oraz $0\leq z_2 \leq y$. Zatem $0\leq z=z_1+z_2\leq x+y$, a to oznacza, że $z\in [0,x+y]$.
To dowodzi inkluzji $[0,x]+[0,y]\subseteq [0,x+y]$.

Inkluzja w przeciwną stronę jest ciekawsza. 
Załóżmy, że $z\in [0, x+y]$ i połóżmy $u:=x\land z$ oraz $v:=z-u$. Wtedy $z=u+v$ oraz $0\leq u=x\land z\leq x$. Natomiast, korzystając z Lematu \ref{de Margan i przesuniecia}, mamy
$$
0\leq v=z-x\land z=z+ (-x)\lor(-z)=(z-x)\lor0\leq(x+y-x)\lor0\leq y\lor0=y.
$$
Zatem $u\in [0,x]$ i $v\in[0,y]$, a więc $z\in[0,x]+[0,y]$.
\end{proof}
\begin{cor}[Podaddytywność infimum]
W kracie wektorowej $(X, \leq)$, dla wektorów dodatnich $x, y, z\in X_+$ zachodzi $(x+y)\land z\leq x\land z + y\land z$.
\end{cor}
\begin{proof}
Oznaczmy $w=(x+y)\land z$. Wtedy $0\leq w \leq x+y$, więc e Stwierdzenia \ref{rozklad Riesza} $w=w_1+w_2$ dla pewnych $0\leq w_1\leq x$ i $0\leq w_2\leq y$. Oczywiście mamy też $w_1\leq w=(x+y)\land z\leq z$ oraz $w_2\leq w=(x+y)\land z\leq z$. Zatem $w_1\leq x\land z$ i $w_2\leq y\land z$. Czyli ostatecznie $w=w_1+w_2\leq x\land z + y\land z$.
\end{proof}
\section{Ideały porządkowe}
Niniejsza sekcja zawiera podstawowe informacje dotyczące ideałów porządkowych, niezbędne do dalszych rozważań. Bardziej szczegółowe omówienie tego zagadnienia można znaleźć na przykład w książkach \cite{Meyer-Nieberg}, \cite{Schaefer}.
\begin{dfn}
Powiemy, że podzbiór $Y\subseteq X$ w kracie   jest
\begin{itemize}
\item \emph{podkratą wektorową} $X$, jeżeli $Y\subseteq X$ jest podprzestrzenią wektorową $X$ zamkniętą na operacje kratowe, tzn. $x\lor y $, $x\land y \in Y$ dla dowolnych $x,y\in Y$;
\item \emph{solidnym podzbiorem} $X$, jeżeli z tego, że $|x|\leq|y|$ wynika, że $x\in Y$  dla dowolnych $x\in X$, $y\in Y$;
\item \emph{ideałem porządkowym} (lub krócej \emph{ideałem}) $X$, jeżeli $Y\subseteq X$ jest solidną podprzestrzenią wektorową.
\end{itemize}
\end{dfn}

\begin{exm}
W kracie wektorowej $\mathbb{R}^2$ z porządkiem po współrzednych ideałem (porządkowym) jest prosta rzeczywista $I=\{(x,0)\in \mathbb{R}^2:x\in\mathbb{R}\}$. 

Natomiast zbiór wszystkich ciągów zbieżnych $c$ jest podkratą wektorową w zbiorze wszystkich ciągów ograniczonych $\ell^\infty$, ale nie jest ideałem. Rzeczywiście weźmy ciągi $x=(1,-1,1,-1,\ldots)\in \ell^\infty$ i $y=(1,1,1,1,\ldots)\in c$. Wtedy oczywiście $(1,1,\ldots)=|x|\leq |y|=(1,1,\ldots)$, ale $x$ nie jest ciągiem zbieżnym.
\end{exm}

\begin{dfn}
\emph{Ideałem generowanym przez} niepusty \emph{zbiór} $A\subseteq X$ nazywamy najmniejszy ideał zawierający ten zbiór i oznaczamy go przez $I_A$. Ideał generowany przez zbiór jednoelementowy $A=\{x_0\}$ nazywamy \emph{ideałem głównym} generowanym przez  $x_0\in X$ i oznaczamy go przez $I_{x_0}$. 
\end{dfn}

\begin{prop}\label{prop:ideals}
Ideał generowany przez zbiór $A\subseteq X$ można przedstawić w postaci 
$$
I_A=\{x\in X:|x|\leq\sum_{i=1}^n \lambda_i|x_i|\; \textrm{dla pewnych}\; \{x_i\}_{i=1}^n\subseteq A\; \textrm{oraz}\; \{\lambda_i\}_{i=1}^n\subseteq\mathbb{R}_+\},
$$
a ideał generowany przez element $x_0\in X$ w postaci 
$$
I_{x_0}=\{x\in X:|x|\leq\lambda|x_0|\; \textrm{dla pewnego}\;  \lambda\in\mathbb{R}_+\}.
$$
\end{prop}

\begin{proof}
Wprowadźmy oznaczenie 
$$
P\stackrel{ozn}{=}\{x\in X:|x|\leq\sum_{i=1}^n \lambda_i|x_i|\; \textrm{dla pewnych}\; \{x_i\}_{i=1}^n\subseteq A\; \textrm{oraz}\; \{\lambda_i\}_{i=1}^n\subseteq\mathbb{R}_+\}.
$$
Aby udowodnić inkluzję $I_A\subseteq P$ wystarczy wykazać, że $P$ jest ideałem zawierającym zbiór $A$. Ponieważ dla każdego $x\in A$ zachodzi nierówność $|x|\leq 1\cdot|x|$, to  $A\subseteq P$. Teraz udowodnimy, że $P$ jest podprzestrzenią wektorową. Weźmy w tym celu dowolne $x,y\in P$ i $\alpha, \beta\in \mathbb{R}_+$. Z konstrukcji zbioru $P$ wynika, że dla pewnych $\{x_i\}_{i=1}^n, \{y_j\}_{j=1}^m\subseteq A$ oraz $\{\lambda_i\}_{i=1}^n, \{\lambda'_j\}_{j=1}^m\subseteq\mathbb{R}_+$ zachodzą nierówności $|x|\leq \sum_{i=1}^n\lambda_i|x_i|$, $|y|\leq\sum_{j=1}^m\lambda'_j|y_j|$. Wprowadźmy dodatkowo nowe ciągi, poprzez oznaczenia 
$$
z_1=x_1,\,\, ...\,,\,\, z_n=x_n, \,\,...\,,\,\, z_{n+1}=y_1,\,\, ...\,,\,\, z_{n+m}=y_m,
$$ 
oraz 
$$\text{$\lambda''_1=|\alpha|\lambda_1$, ...\,, $\lambda''_n=|\alpha|\lambda_n$, \, $\lambda''_{n+1}=|\beta|\lambda'_1$, ...\,, $\lambda''_{n+m}=|\beta|\lambda'_m$.}
$$
Wtedy  zachodzi nierówność 
\begin{align*}
|\alpha x+\beta y|&\leq|\alpha x|+|\beta y|=|\alpha|\cdot| x|+|\beta|\cdot |y|
\leq |\alpha|\sum_{i=1}^n\lambda_i|x_i|+|\beta|\sum_{j=1}^m\lambda'_j|y_j|
\\
&=\sum_{i=1}^n|\alpha|\lambda_i|x_i|+\sum_{j=1}^m|\beta|\lambda'_j|y_j|=\sum_{k=1}^{n+m}\lambda''_k |z_k|,
\end{align*}
z której wynika że liniowa kombinacja $\alpha x+ \beta y\in P$. Pozostaje udowodnić, że zbiór $P$ jest solidny w $X$.  Weźmy więc dowolny element $w\in X$. Wtedy z tego że $|w|\leq|x|$ wynika nierówność $|w|\leq \sum_{i=1}^n\lambda_i|x_i|$, która oznacza, że $w\in P$.

Inkluzję w drugą stronę $P\subseteq I_A$ wykażemy korzystając z solidności zbioru $I_A$. Mianowicie pokażemy, że dla każdego $x\in P$ zachodzi $|x|\leq |y|$, dla pewnego $y\in I_A$, czyli z solidności zbioru $I_A$ będzie to oznaczało, że $x\in I_A$. Weźmy więc $x\in P$. Wtedy z konstrukcji zbioru $P$ zachodzi nierówność $|x|\leq\sum_{i=1}^n\lambda_i|x_i|$ dla pewnych  $\{x_i\}_{i=1}^n\subseteq A\subseteq I_A$ i $\{\lambda_i\}_{i=1}^n\subseteq\mathbb{R}_+$. Dodatkowo z solidności $I_A$ i z tego, że ten zbiór jest podprzestrzenią - kombinacja liniowa modułów elementów z $I_A$ jest również w tym zbiorze $\sum_{i=1}^n\lambda_i|x_i|\in I_A$. Otrzymujemy więc ostatecznie nierówność $$|x|\leq\sum_{i=1}^n\lambda_i|x_i|=\left|\sum_{i=1}^n\lambda_i|x_i|\right|,
$$
z której wynika, że $x\in I_A$.


Postać ideału generowanego przez element $I_{x_0}$ wynika z przedstawienia ideału generowanego przez zbiór $I_A$. Wystarczy przyjąć zbiór jednoelementowy $A=\{x_0\}$.
\end{proof}
\begin{dfn}\label{jedynka}
Niech $(X,\leq)$ będzie kratą wektorową. Element $e\in X_+$ , który dla każdego $x\in X$ i dla pewnego dodatniego skalara $\lambda >0$ spełnia nierówność $|x|\leq\lambda e$ nazywamy \emph{jedynką (porządkową)}.
\end{dfn}
\begin{cor}\label{cor:ideals}
Element dodatni $e\in X_+$ jest jedynką porządkową wtedy i tylko wtedy, gdy  ideał główny generowany przez $e$  jest całą przestrzenią, czyli gdy $I_e=X$.

W szczególności dowolny element dodatni $e\in X_+$ jest jedynką porządkową w ideale głównym $I_e$ generowanym przez $e$.
\end{cor}
\begin{proof}
Ze Stwierdzenia \ref{prop:ideals} otrzymujemy, że dla wektora dodatniego $e\in X_+$
$$
I_{e}=\{x\in X:|x|\leq\lambda e\; \textrm{dla pewnego}\;  \lambda\in\mathbb{R}_+\},
$$
skąd natychmiast wynika teza.
\end{proof}
\chapter{Kraty Banacha}

\section{Przestrzenie Banacha}
Zanim przejdziemy do omawiania krat Banacha przypomnimy najpierw podstawowe informacje na temat przestrzeni Banacha, znane ze standardowego kursu analizu funkcjonalnej. Dowody wielu twierdzeń będziemy pomijać. Czytelnika potrzebującego zgłębić dokładniej temat zapraszamy do lektury np. \cite{Kreyszig} i/lub \cite{Kwasniewski}. 
\begin{dfn}
\emph{Normą} przestrzeni wektorowej $X$ jest funkcja rzeczywista $\|\cdot\|:X\ni x\rightarrow \|x\|\in\mathbb{R}_+$
 spełniająca, dla każdego $x,y\in X$ oraz $\alpha\in\mathbb{R}$, następujące warunki:
\begin{description}
\item[(niezdegenerowanie)] $\|x\|=0\,\,\Longleftrightarrow\,\, x=0,$
\item[(dodatnia jednorodność)] $\|\alpha x\|=|\alpha|\|x\|$,
\item[(nierówność trójkąta)] $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$.
\end{description}
Przestrzeń wektorową ze zdefiniowaną na niej normą nazywamy \emph{przestrzenią unormowaną}. 
\end{dfn}
Norma zadaje metrykę na $X$ wzorem
$$
d(x,y)=\|x-y\|, \qquad x,y\in \R.
$$
W szczególności, przestrzenie unormowane wyposażone są w topologię, w tym pojęcie zbieżności.
I tak na przykład, ciąg $\{x_n\}_{n=1}^\infty\subseteq X$ jest \emph{zbieżny} do $x\in X$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\lim_{n\to \infty}\|x_n-x\|= 0$.
Natomiast ciąg $\{x_n\}_{n=1}^\infty\subseteq X$ jest\emph{ ciągiem Cauchy}, gdy $\lim_{n,m\to \infty} \|x_n- x_m\|=0$.
\begin{dfn}
\emph{Przestrzenią Banacha} nazywamy przestrzeń unormowaną zupełną, tzn. przestrzenią $(X,\|\cdot\|)$, w której każdy ciąg Cauchy jest zbieżny.
\end{dfn}
\begin{rem}\label{zupelnosc przez domknietosc}
Podzbiór przestrzeni zupełnej jest przestrzenią zupełną wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty. W tym sensie, zupełność jest synonimem domkniętości. 
 Zatem każda domknięta podprzestrzeń liniowa przestrzeni Banacha jest przestrzenią Banacha. Natomiast każda podprzestrzeń liniowa niedomknięta, jest przykładem przestrzeni unormowanej niezupełnej.
\end{rem}
Przestrzenie wektorowe z Przykładów \ref{Rn}, \ref{przestrzenie funkcyjne}, \ref{przestrzenie ciagow}, \ref{mierzalne2},
 poza kilkoma wyjątkami są   przestrzeniami Banacha  z naturalnymi normami. Omówmy to nieco dokładniej.

\begin{exm}[Przestrzenie skończenie wymiarowe]\label{przestrzenie skonczenie wymiarowe}
Każdą przestrzeń liniową $n$-wymiarową nad $\R$ można utożsamić z przetrzenią $\R^n$. 
Na tej przestrzeni istnieje wiele różnych norm. Na przykład dla każdego $p\in [1,\infty)$ wzór 
$$
\|x\|_p=\left(\sum_{k=1}^n |x(k)|^p\right)^{\frac{1}{p}}
$$
zadaje $p$\emph{-tą normę}. W szczególności, dla $p=2$ otrzymujemy tzw.  \emph{normę euklidesową}, czyli
$$
\|x\|_2=\left(\sum_{k=1}^n |x(k)|^2\right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{|x(1)|^2+|x(2)|^2+...+|x(n)|^2}.
$$
Można tu też określić normę $\|x\|_{\infty}:=\sup_{k=1,\dots,n} |x(k)|$. 
Niemniej jednak, na przestrzeni $\R^n$ wszystkie normy są równoważne, co z topologicznego punktu widzenia oznacza, że nie jest ważne którą wybierzemy. 
W szczególności, \emph{każda skończenie wymiarowa przestrzeń unormowana jest automatycznie przestrzenią Banacha}.
\end{exm}

\begin{exm}[Przestrzenie funkcyjne]\label{przestrzenie funkcyjne2}
Na przestrzeni wszystkich funkcji $F(M)$ na zbiorze $M$ nie istnieje naturalnie określona norma. Natomiast na podprzestrzeni $B(M)$ funkcji ograniczonych określona 
jest \emph{norma supremum} 
$$
\|x\|_{\infty}=\sup_{t\in M}|x(t)|,
$$
w której to $B(M)$ jest przestrzenią zupełną. Czyli \emph{$B(M)$ jest przestrzenią Banacha}.
Przypomnijmy tu ważny i znany fakt, że dla ciągu funkcji 
\begin{quote}
    \emph{zbieżność w normie supremum jest równoważna zbieżności jednostajnej}.
\end{quote}
Jeżeli $M$ jest przestrzenią topologiczną, to możemy rozważać przestrzeń funkcji ciągłych $C(M)\subseteq F(M)$.
Przy czym, na ogół na tej przestrzeni norma $\|\cdot\|_{\infty}$ jest nieskończona (funkcje ciągłe nie muszą być ograniczone).
Natomiast  \emph{przestrzeń funkcji ciągłych i ograniczonych} $C_b(M)=C(M)\cap B(M)$ jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni Banacha $B(M)$.
Zatem $C_b(M)$ też jest przestrzenią Banacha. 
Jeżeli $M$ jest zbiorem zwartym, wszystko się dobrze składa, ponieważ \emph{na zbiorze zwartym funkcje ciągłe osiągają swoje kresy}, a więc są ograniczone. 
Czyli w tym przypadku  $C(M)=C_b(M)$ jest przestrzenią Banacha z normą supremum. 
\end{exm}

\begin{exm}
\emph{Przestrzeń funkcji różniczkowalnych w sposób ciągły} $C^{(1)}[-1,1]$ wraz z normą supremum nie jest przestrzenią Banacha. 
Rozważmy na przykład następujący ciąg funkcji
$$
x_n(t)=\begin{cases}
0 & \textrm{dla }t\in[-1,0)
\\
t^{1+\frac{1}{n}} &  \textrm{dla } t\in[0,1]
\end{cases}.
$$
Zauważmy, że każda z tych funkcji jest różniczkowalna w sposób ciągły. Zatem $\{x_n\}$ jest ciągiem elementów z przestrzeni 
$C^{(1)}[-1,1]$. Ponadto ciąg ten jest  zbieżny jednostajnie do funkcji 
$$
x(t)=\left\{\begin{array}{lcl} 0 & \textrm{dla} & t\in[-1,0)
\\ t&\textrm{dla}& t\in[0,1]\end{array}\right.,
$$
która nie jest różniczkowalna. Zatem ciąg $\{x_n\}$ jest ciągiem Cauchy w normie supremum, ale jego granica nie należy do  $C^{(1)}[-1,1]$. 
Czyli przestrzeń $C^{(1)}[-1,1]$ nie jest zupełna w normie supremum. Można jednak pokazać, że przestrzeń ta jest przestrzenią Banacha  z normą
$$
\|x\|_{(1)}=\sup_{t\in [-1,1]}|x(t)|+\sup_{t\in [-1,1]}|x'(t)|.
$$
\end{exm}

\begin{exm}[Przestrzenie ciągów]\label{przestrzenie ciagow2}
Naturalną normą na przestrzeniach ciągów jest 
\emph{norma supremum}
$$
\|x\|_\infty=\sup_{k\in \mathbb{N}}|x(k)|;
$$
Wraz z tą normą przestrzeniami Banacha są
przestrzeń ciągów ograniczonych $\ell^\infty$, przestrzeń ciągów zbieżnych $c$ oraz przestrzeń ciągów zbieżnych do zera $c_0$. Takiej struktury nie posiada jednak \emph{przestrzeń ciągów skończonych} $c_{00}$, która z normą supremum, czy \emph{$p$-tą normą} 
$$
\|x\|_p=\left(\sum_{k=1}^\infty |x(k)|^p\right)^{\frac{1}{p}}
$$
jest przestrzenią unormowaną, jednak nie jest przestrzenią zupełną. Weźmy na przykład ciąg zdefiniowany wzorem $x_k=(1,\frac{1}{2}, \frac{1}{3},\dots, \frac{1}{k}, 0, 0, \dots)$. Jest on ciągiem Cauchy'ego w obydwu normach, jednak dąży on do elementu $(1,\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots)$, który nie jest ciągiem skończonym.
%$$\|x\|_p=\left(\sum_n^\infty |x|^p\right)^{\frac{1}{p}}.$$
\end{exm}

\begin{exm}[Przestrzenie funkcji mierzalnych]\label{przestrzenie funkcji mierzalnych}
Na przestrzeniach funkcji mierzalnych $\mathcal{M}(M)$ oraz $L_0(\mu)$ nie istnieją naturalnie określone normy, które byłyby skończone dla wszystkich elementów tych przestrzeni. Jednak podprzestrzenie $L^p(\mu)$, $p\in [1,+\infty)$, oraz $L^\infty(\mu)$ przestrzeni $L_0(\mu)$, wraz z $p$-\emph{tą normą} 
$$
\|x\|_p=\left(\int_\Omega |x|^p d\mu\right)^{\frac{1}{p}}
$$ 
oraz \emph{normą  supremum istotne} 
$$
\|x\|=\inf_{\mu(A)=0}\sup_{t\in M\setminus A}|x(t)|,
$$
odpowiednio, są przestrzeniami Banacha. Dodatkowo jeśli $M=\N$ i $\mu$ jest miarą liczącą, to możemy potraktować funkcje jak ciągi i wtedy całka względem $\mu$ jest sumą szeregu. Wówczas $L^p(\mu)=\ell^p=\{x=(x(1), x(2), ...)\in\R^n :\sum_n^\infty |x|^p<\infty\}$ staje się \emph{przestrzenią ciągów całkowalnych w} $p$\emph{-tej potędze} i wraz z $p$-tą normą jest przestrzenią Banacha. Tak samo jak $L^\infty(\mu)=\ell^\infty$ z normą supremum.
\end{exm}




\section{Kraty Banacha}
W tym podrodziale połączymy dwie omówione wcześniej struktury, czyli przestrzeni Banacha oraz kraty wektorowej.

\begin{dfn}
Normę $\|\cdot\|$ w kracie wektorowej $(X, \leq)$ nazywamy \emph{normą kratową}, gdy jest kompatybilna z porządkiem, to znaczy  dla każdych $x, y\in X$ spełniony jest warunek 
$$
|x|\leq|y| \Longrightarrow \|x\|\leq\|y\|.
$$
 Mówimy wtedy, że para $(X, \|\cdot\|)$ jest \emph{unormowaną kratą wektorową}. Unormowaną kratę wektorową zupełną w normie nazywamy \emph{kratą Banacha}.
\end{dfn}

\begin{rem}\label{uwaga norma}
Wprost z powyższej definicji wynika, że dla normy kratowej, jeśli wartości bezwzględne dwóch wektorów $x, y\in X$ są sobie równe, to ich normy też. Czyli
$$
|x|=|y|\,\, \Longrightarrow \,\, \|x\|=\|y\|.
$$
Norma z modułu wektora jest równa jego normie $||\,|x|\,||=||x||$ i dodatkowo norma zachowuje monotoniczność dodatnich wektorów, tzn. jeśli $0\leq x\leq y$, to $||x||\leq||y||$. 
\end{rem}

Klasyczne przestrzenie Banacha z Przykładów \ref{przestrzenie skonczenie wymiarowe}, \ref{przestrzenie funkcyjne2}, \ref{przestrzenie ciagow2}, \ref{przestrzenie funkcji mierzalnych}, 
czyli przestrzenie $L^p(\mu)$, dla $p\in [1,\infty]$, przestrzenie funkcji ciągłych i ograniczonych $C_b(M)$, oraz odopowiednie przestrzenie ciągów  wraz z naturalnym porządkiem są kratami Banacha.
Przestrzeń Banacha funkcji różniczkowalnych $C^{(1)}[a,b]$ nie jest kratą Banacha, ponieważ (z porządkiem zadanym punktowo) nie jest kratą, patrz  Przykład \ref{exm:niekrata}.
\begin{prop}
W każdej unormowanej kracie wektorowej  $(X, ||\cdot||)$ prawdziwe są następujące zdania:
\begin{enumerate}
    \item Operacje kratowe są ciągłe.
    \item Stożek dodatni $X_+$ jest domknięty w normie.
    \item Przedziały porządkowe $[x,y]$ dla każdego $x, y\in X$ są domknięte w normie.
    \item X jest przestrzenię archimedesową, tzn. dla każdego $x\in X$ 
    $$
    \exists_{y\in X}\; \forall_{n\geq1}\quad nx\leq y \implies x\leq 0
    $$
    (lub równoważnie: jeśli zbiór $\{nx:n\in\mathbb{N}\}$ jest ograniczony z góry, to $x\leq0$).
    \item dla ciągu $\{x_n\}_{n=1}^\infty \subseteq X$ zbieżnego w normie do $x\in X$:
    \begin{itemize}
        \item jeśli $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ rosnący, to $\sup_{n\in \mathbb{N}}x_n=x$,
        \item jeśli $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ malejący, to $\inf_{n\in \mathbb{N}}x_n=x$.
    \end{itemize}
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}
(1). Niech $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$, $\{y_m\}_{m\in\mathbb{N}}\in X$ będą ciągami zbieżnymi w normie odpowiednio do $x$ i $y$. Wtedy kożystając z nierówności trójkąta i Uwagi \ref{nierownosc Birkhofa} mamy 
\begin{align*}
|x_n\lor y_m - x \lor y|&=|x_n\lor y_m - x_n\lor y +x_n\lor y - x\lor y|
\\
&\leq |x_n\lor y_m - x_n\lor y| + |x_n\lor y - x\lor y|
\\
&\leq |y_m - y|+|x_n - x|.
\end{align*} 
Czyli 
$$
|x_n\lor y_m - x\lor y|\leq|y_m - y|+|x_n - x|=\big||y_m-y|+|x_n-x|\big|.
$$ Korzystając teraz z kompatybilności normy z porządkiem, z nierówności trójkąta dla normy oraz z Uwagi \ref{uwaga norma} otrzymujemy 
$$
\|x_n\lor y_m - x\lor y\|\leq\big\||y_m-y|+|x_n-x|\big\|\leq\|y_m-y\|+\|x_n-x\|.
$$
Ostatecznie, ponieważ $\|y_m-y\|$ oraz $\|x_n-x\|$ przy $n, m\rightarrow \infty$ dążą do 0, to granica $\|x_n\lor y_m-x\lor y\|$ przy $n,m\rightarrow\infty$ wynosi $0$. Zatem funkcja $X\times X\ni(x,y)\rightarrow x\lor y\in X$ jest ciągła. Ciągłość funkcji $X\times X\ni(x,y)\rightarrow x\land y\in X$ dowodzi się analogicznie. Dodatkowo z ciągłości operacji $\lor$ wynika ciągłość funkcji $X\times X\ni(x,y)\rightarrow x_+=x\lor 0\in X$ oraz $X\times X\ni(x,y)\rightarrow x_-=(-x)\lor 0\in X$, a z nich wynika ciągłość funkcji $X\times X\ni(x,y)\rightarrow |x|=x_+ + x_-\in X$.

(2). Skorzystamy z powszechnie znanego twierdzenia, mówiącego że przeciwobraz zbioru domkniętego przy odwzorowaniu ciągłym jest zbiorem domkniętym. Zauważmy, że element $x\in X$ jest dodatni $x\geq 0 $ wtedy i tylko wtedy, gdy $x_+=x\lor0=x$, co jest równoważne temu, że jego część ujemna $x_-=0$. Zbiór $X_+=\{x\in X : x_-=0\}$ jest domknięty, jako przeciwobraz zbioru domkniętego $\{0\}$ przy odwzorowaniu ciągłym $X\times X\ni(x,y)\rightarrow x_-\in X$.

(3). Zauważmy, że 
$$
[x,y]=\{z\in X : x\leq z\leq y\}=\{z\in X : z\geq x\}\cap\{z\in X : z\leq y\}=(x+X_+)\cap(y-X_+).
$$
Zbiór $x+X_+$ jest domknięty jako przeciwobraz zbioru domkniętego $\{x\}$ przy odwzorowaniu ciągłym $X\times X\ni z\rightarrow x+z_-\in X$. Analogicznie domknięty jest zbiór $y-X_+$. Zatem domknięty jest przedział porządkowy $[x,y]$, jako przekrój zbiorów domkniętych.

(4). Niech $x, y\in X$ będą takie, że dla każdego $n\in \mathbb{N}$ $nx\leq y$. Wtedy $\frac{1}{n}y - x\in X_+$. Zauważmy dodatkowo, że $\frac{1}{n}y - x$ dąży w normie, przy $n\rightarrow \infty$ do $-x$. Zatem z domkniętości $X_+$ mamy $-x\in X_+$, czyli $x\leq 0$.

(5). Dla $m\geq n $ mamy $x_m-x_n\in X_+$. Zauważmy, że $x_m-x_n$ przy $m\rightarrow \infty$ zbiega w normie do $x-x_n$, a więc z domkniętości $X_+$, $x-x_n\in X_+$. Zatem dla każdego $n\in \mathbb{N}$ $x_n\leq x$, czyli $x$ jest ograniczeniem górnym ciągu $\{x_n\}_{n=1}^\infty$. Niech $y$ będzie dowolnym ograniczeniem górnym ciągu $\{x_n\}_{n=1}^\infty$. Wtedy dla każdego $n\in \mathbb{N}$, $xn\leq y$. Czyli dla każdego $n\in \mathbb{N}$, $y-x_n\in X_+$. Teraz skoro $y-x_n$ zbiega przy $n\rightarrow\infty$ w normie do $y-x$, to z domkniętości stożka dodatniego $y-x\in X_+$. Czyli $y\geq x$. A zatem $x=\sup_{n\in \mathbb{N}}x_n$. Aby dowieść równości dla ciągu malejącego $\{x_n\}_{n=1}^\infty$, przechodzimy do ciągu $\{-x_n\}_{n=1}^\infty$. Wtedy elementy $-x_n$ przy $n\rightarrow\infty$ zbiegają w normie do  $-x$. Zatem z poprzedniego kroku $-x=\sup_{n\in\mathbb{N}}(-x_n)$, czyli z Lematu \ref{de Margan i przesuniecia} i po pomnożeniu równania przez $-1$ otrzymujemy $x=\inf_{n\in \mathbb{N}}x_n$.
\end{proof}

\section{Abstrakcyjne $L^p$-przestrzenie i $M$-przestrzenie}

W niniejszej sekcji zajmiemy się jednymi z najważniejszych klas krat Banacha. Abstrakcyjne $L^p$-przestrzene i $M$-przestrzenie, są szczególnie warte naszej uwagi, ponieważ łączą strukturę krat Banacha z  klasycznymi przestrzeniami funkcyjnymi leżącymi u podstaw analizy funkcjonalnej. Naszym głównym celem będzie poznanie twierdzeń o reprezentacji abstrakcyjnych $L^p$-przestrzeni i $M$-przestrzeni, jako  odpowiednich przestrzeni funkcyjnych. Twierdzenia te uproszczą nasze 
rozumowania w dalszej części pracy.

\begin{dfn}
Kratę Banacha $X$ nazywamy \emph{(abstrakcyjną) $L$-przestrzenią} jeśli jej norma  spełnia warunek 
$$
x\wedge y=0\,\, \Longrightarrow\,\, \|x+y\|=\|x\|+\|y\|.
$$ 
%dla dowolnej pary  wektorów $x,y\in X$. 
Ogólniej  dla  $p\in[1,+\infty)$, kratę Banacha $X$ nazywamy \emph{(abstrakcyjną) $L^p$-przestrzenią}, jeżeli 
$$
x\wedge y=0 \,\,\Longrightarrow \,\,\|x+y\|^p=\|x\|^p+\|y\|^p.
$$ 
%dla dowolnych $x,y\in X$.
\end{dfn}
\begin{rem}
Przypomnijmy, iż wektory $x,y\in X$ są rozłączne, gdy $|x|\wedge |y|=0$. Natomiast warunek $x\wedge y=0$ oznacza dwie rzeczy: że wektory $x,y\in X_+$ są dodatnie oraz są one rozłączne. 
Czyli warunki na normę w powyższej definicji sprawdzamy tylko dla wektorów dodatnich i rozłącznych.
Abstrakcyjne $L$-przestrzenie, czyli równoważnie abstrakcyjne $L^1$-przestrzenie, były pierwotnie zdefiniowane przez Kakutaniego \cite{Kakutani} 
za pomocą formalnie mocniejszego warunku. Mianowicie, Kakutani zakładał  równość  $\|x + y\|=\|x\|+\|y\|$ dla dodowolnych dodatnich wektorów $x,y\in X_+$.
Bohnenblust \cite{Bohnenblust} zdefiniował ogólne abstrakcyjne $L^p$-przestrzenie, za pomocą warunku $x\wedge y=0$, który jest nie tylko formalnie słabszy, ale jest również bardziej naturalny z punktu widzenia teorii krat Banacha. Więcej o historii tych pojęć można znaleźć w \cite{Lacey}.
\end{rem}
Podstawowymi przykładami abstrakcyjnych $L^p$-przestrzeni są  przestrzenie funkcji całkowalnych w $p$-tej potędze $L^p(\mu)$.

\begin{exm}\label{podstawowa Lp-przestrzen}
Niech $(M, \Sigma, \mu)$ będzie przestrzenią z miarą i niech $p\in[1,+\infty)$. Rozważmy przestrzeń $X=L^p(\mu)$ funkcji całkowalnych w $p$-tej potędze, która wraz z $p$-tą normą i porządkiem punktowym $\mu$-prawie wszędzie tworzy kratę Banacha, patrz Przykłady \ref{przestrzenie funkcji mierzalnych} oraz \ref{mierzalne2}. Wyjaśnimy najpierw, że rozłączność w tej przestrzeni oznacza rozłączność nośników funkcji. 
Mianowicie, przez \emph{nośnik} funkcji  $x\in L^p(\mu)$ rozumiemy zbiór
$$
\supp(x):=\{t\in M: x(t)\neq 0\},
$$
który jest wyznaczony z dokładnością do zbiorów miary zero, gdyż w przestrzeni $L^p(\mu)$ utożsamiamy funkcje równe sobie $\mu$-pw.
Niech teraz $x,y\in L^p(\mu)$. Rozłączność tych wektorów $|x|\land|y|=0$ jest równoważna temu, że $\min\{|x|,|y|\}\stackrel{\mu-pw}{=}0$, a ten warunek zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy   $\mu(\supp x\cap\supp y)=0$. 
Czyli
$$
|x|\land|y|=0 \,\, \Longleftrightarrow\,\, \supp x\cap\supp y=\emptyset \text{ z dokładnością do zbiorów miary zero}.
$$
Korzystając z tego i z powszechnie znanych własności całkowania, dla dowolnych rozłącznych funkcji $x, y \in L^p(\mu)$ 
%$\int_{A\sqcup B}f(x)d\mu=\int_A f(x)d\mu+\int_B f(x) d\mu$ i $\int_M f(x)d\mu=\int_{\supp f(x)}f(x)d\mu$ 
otrzymujemy 
\begin{align*}
\|x+y\|_p^p&=\int_M |x+y|^p d\mu=\int_{\supp x\,\sqcup\,\supp y}|x+y|^p d\mu
\\
&=\int_{\supp x}|x+y|^p d\mu + \int_{\supp y}|x+y|^p d\mu
\\
&=\int_{\supp x}|x|^p d\mu +\int_{\supp y}|y|^p d\mu =\int_M |x|^p d\mu +\int_M |y|^p d\mu
\\
&=\|x\|_p^p+\|y\|_p^p.
\end{align*}
 Czyli w kracie Banacha $L^p(\mu)$ dla dowolnych (nawet niekoniecznie dodatnich) wektorów rozłącznych $x,y\in L^p(\mu)$ spełniona jest równość $\|x+y\|_p^p=\|x\|_p^p+\|y\|_p^p.$ Zatem jest to abstrakcyjna $L^p$-przestrzeń.
\end{exm}
Okazuje się, że %nie tylko konkretne $L^p(\mu)$ przestrzenie są abstrakcyjnymi $L^p$-przestrzeniami dla pewnego $p\in[1,+\infty)$, ale też 
każdą abstrakcyjną $L^p$-przestrzeń można utożsamić z pewną konretną  przestrzenią $L^p(\mu)$. Poniższe twierdzenie ułatwi nam %głębsze 
badanie abstrakcyjnych $L^p$-przestrzeni. Zamiast dowodzić tezy topologiczno-funkcjonalnie, co często nie jest proste, będziemy mogli pracować na funkcjach w kontekście konkretnych przestrzeni z miarą. W takiej sytuacji dostępny jest również szeroki zestaw znanych twierdzeń i metod dowodzenia.
\begin{thm}[O reprezentacji abstrakcyjnych $L^p$-przestrzeni]
Krata Banacha $X$ jest abstrakcyjną $L^p$-przestrzenią dla pewnego $p\in[1,+\infty)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest izometrycznie i kratowo izomorficzna z konkretną  przestrzenią $L^p(\mu)$ dla pewnej miary $\mu$.
\end{thm}
Dowód tego twierdzenia znajduje się na przykład w książkach \cite{Lacey} i \cite{Aliprantis_Burkinshaw}.
Jako pojęcie dualne do abstrakcyjnych $L$-przestrzeni Kakutani w \cite{Kakutani2} wprowadził pojęcie abstrakcyjnych $M$-przestrzeni. 
%coś mówię
\begin{dfn}\label{M-przestrzen}
Kratę Banacha $X$ nazywamy \emph{(abstrakcyjną) $M$-przestrzenią} jeśli spełnia warunek $\|x+y\|=\|x\|\lor\|y\|$ dla dowolnej pary wektorów spełniających $x\land y=0$.
\end{dfn}
\begin{rem}
Kakutani pierwotnie zdefiniował abstrakcyjne $M$-przestrzenie za pomocą   warunku $\|x\lor y\|=\|x\|\lor\|y\|$ dla dowolnych $x,y\in X_+$. 
Warunek ten jest  formalnie mocniejszy, niż ten którego użyliśmy powyżej, gdyż jeżeli założymy, że $x\land y=0$ i skorzystamy z zasady włączeń i wyłączeń, patrz Lemat \ref{zasada wl i wyl, podaddytywnosc i jednorodnosc}, to otrzymamy  
$$
\|x+y\|=\|x\lor y+x\land y\|=\|x\lor y\|.
$$ 
Można jednak pokazać, że oba warunki są równoważne, patrz np. \cite[Strona 22]{Lacey}. Zastosowanie  słabszego warunku w Definicji \ref{M-przestrzen} jest podyktowane m.in. tym, że  łatwiej go sprawdzić w praktyce.
\end{rem}
Tak jak podstawowym przykładem abstrakcyjnej $L^p$-przestrzeni była konkretna  przestrzeń $L^p(\mu)$, tak modelowym przykładem abstrakcyjnej $M$-prze\-strzeni jest przestrzeń funkcji ciągłych $C(M)$ na zbiorze zwartym $M$.
\begin{exm}\label{podstawowa M-przestrzen}
Przestrzeń funkcji ciągłych $X=C(M)$ na zbiorze zwartym $M$ jest kratą Banacha ze strukturą kratową zadaną punktowo i normą supremum. 
Podobnie jak w Przykładzie \ref{podstawowa Lp-przestrzen} rozłączność dwóch funkcji w tej przestrzeni $x,y\in C(M)$ oznacza rozłączność ich nośników (i to w sensie dosłownym, a nie z dokładnością do zbioru miary zero). Mianowicie
$$
|x|\land|y|=0 \,\, \Longleftrightarrow\,\, \supp x\cap\supp y=\emptyset.
$$
Zatem jeśli  $x,y\in C(M)$ są rozłączone, to 
\begin{align*}
\|x+y\|_\infty&=\sup_{t\in M}|x(t)+y(t)|=\max_{t\in M}|x(t)+y(t)|=\max_{t\in\supp x \,\sqcup\,\supp y}|x(t)+y(t)|
\\
&=\max \left\{\max_{t\in\supp x}|x(t)|, \max_{t\in \supp y}|y(t)|\right\}
=\max\left\{\|x\|_\infty, \|y\|_\infty\right\}
\\
&=\|x\|_\infty\lor\|y\|_\infty.
\end{align*}
Czyli $C(M)$  jest $M$-przestrzenią. Zauważmy również, że dla kraty $C(M)$ funkcja stała równa jeden jest naturalną jedynką porządkową. 
Ogólnie, patrz Definicja \ref{jedynka}, funkcja nieujemna  $e\in C(M)_+$ jest jedynką porządkową, jeżeli  dla każdego $x\in C(M)$ istnieje $n\in\mathbb{N}$ takie, że $|x|(t)\leq n e(t)$, dla każdego $t\in M$. Zatem jedynką w kracie $C(M)$ jest każda ściśle dodatnia funkcja ciągła. W przestrzeni $C(M)$ istnieje wiele takich funkcji. Jednak najczęściej jako jedynkę przyjmuje się funkcję $e\equiv 1$.
\end{exm}
\begin{exm}
Niech $(M,\Sigma, \mu)$ będzie przestrzenią z miarą. Rozważmy kratę Banacha $X=L^\infty(\mu)$ z porządkiem zadanym punktowo $\mu$-pw. oraz z normą daną przez supremum istotne. Weźmy dwie rozłączne funkcje istotnie ograniczone $x,y\in L^\infty(\mu)$. Jak wyjaśniliśmy w  Przykładzie \ref{podstawowa Lp-przestrzen}, wtedy  przekrój $\supp x\cap\supp y$ ma miarę zero. Zatem 
\begin{align*}
\|x+y\|_{\infty}&=\inf_{\mu(A)=0}\sup_{t\in M\setminus A}|x(t)+y(t)|=\inf_{\substack{\mu(A)=0\\\supp x\cap\supp y\subseteq A}}\sup_{t\in M\setminus A}|x(t)+y(t)|
\\
&=\max\left\{\inf_{\substack{\mu(A)=0\\\supp x\subseteq A}}\sup_{t\in M\setminus A}|x(t)|,\inf_{\substack{\mu(A)=0\\\supp y\subseteq A}}\sup_{t\in M\setminus A}|y(t)|\right\}
\\
&=\max\left\{\inf_{\mu(A)=0}\sup_{t\in M\setminus A}|x(t)|,\inf_{\mu(A)=0}\sup_{t\in M\setminus A}|y(t)|\right\}
\\
&=\max\left\{\|x\|_{\infty}, \|y\|_{\infty}\right\}=\|x\|_{\infty}\lor\|y\|_{\infty}.
\end{align*}
Czyli Krata Banacha $L^\infty(\mu)$ jest abstrakcyjną $M$-przestrzenią. I podobnie jak w Przykładzie \ref{podstawowa M-przestrzen} funkcja dodatnia $e\in L^\infty(\mu)_+$ jest jedynką w kracie $L^\infty(\mu)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $e\stackrel{\mu- pw}{>}0$.
W szczególności funkcja tożsamościowo równa $1$ jest naturalną jedynką w tej przestrzeni.
\end{exm}
Dla dowolnej abstrakcyjnej $M$-przestrzeni $X$, podobnie jak dla abstrakcyjnej $L^p$-przestrzeni, również istnieje "konkretny" reprezentant. Jest nim przestrzeń $C(M)$ z tym, że aby z $X$ skonstruować zwartą przestrzeń $M$, potrzebujemy rozważać przestrzenie z jedynką.
\begin{thm}[O reprezentacji abstrakcyjnych $M$-przestrzeni]\label{o reprezentacji M-przestrzeni}
Krata Banacha $X$ jest abstrakcyjną $M$-przestrzenią z jedynką wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest izometrycznie i kratowo izomorficzna z przestrzenią $C(M)$ dla pewnego zwartego zbioru $M$.
\end{thm}
Dowód tego twierdzenia można znaleźć na przykład w książkach \cite{Lacey} i \cite{Aliprantis_Burkinshaw}.

\begin{rem}
Niech $X=C(M)$ oraz $e\equiv 1$. W Przykładzie \ref{podstawowa M-przestrzen} pokazaliśmy, że $e$ jest jedynką w $C(M)$. Więc dla każdego $x\in C(M)$ i dla pewnego $\lambda>0$ zachodzi $|x|\leq \lambda e$. Czyli dla każdego $t\in M$ mamy $|x(t)|\leq\lambda$, a to oznacza, że $\max_{t\in M}|x(t)|\leq\lambda$. Biorąc teraz infimum po $\lambda$ otrzymujemy wzór
$$
\max_{t\in M}|x(t)|=\inf_{\substack{|x|\leq\lambda e\\ \lambda>0}}\lambda,
$$
który wyraża normę supremum $\|x\|_\infty$  w języku krat wektorowych.
\end{rem}
Okazuje się, że wzór z powyższej uwagi zadaje normę na każdym ideale głównym generowanym przez dowolny dodatni element $e\in X_+$ w dowolnej kracie Banacha $X$. Pozwala nam to (przynajmniej) "lokalnie" patrzeć na kraty Banacha jako na $M$-przestrzenie, co częstokroć jest bardzo użyteczne.
\begin{thm}\label{X_e to M-przestrzen}
Niech $(X,\|\cdot\|)$ będzie kratą Banacha oraz niech $e\in X_+$. Wtedy ideał główny $I_{e}=\{x\in X:|x|\leq\lambda e\; \textrm{dla pewnego}\;  \lambda\in\mathbb{R}_+\}$ z normą określoną wzorem 
\begin{equation}\label{norma e}
\|x\|_e:=\inf_{\substack{|x|\leq\lambda e\\ \lambda>0}}\lambda
\end{equation}
jest $M$-przestrzenią z jedynką $e$.
\end{thm}
\begin{proof} Postać ideału $I_e$ oraz to że $e$ jest w nim jedynką wynika z Wniosku \ref{cor:ideals}.


Pokażemy teraz, że formuła \eqref{norma e} zadaje normę na $I_e$. Przyjmijmy, że $\|x\|_e=0$. Wtedy dla każdego $\lambda \in \mathbb{R}_+$ zachodzi $|x|\leq\lambda e$. Ta nierówność jest możliwa tylko dla elementów, których wartość bezwzględna wynosi $|x|=0$, czyli dla $x=0$. Otrzymaliśmy więc warunek niezdegenerowania. Dodatnia jednorodność wynika z prostych przekształceń 
\begin{align*}
\|\alpha x\|_e&=\inf\{\lambda>0:|\alpha x|\leq \lambda e\}=\inf\{\lambda>0:|\alpha||x|\leq \lambda e\}
\\
&=\inf\{\lambda>0:|x|\leq\frac{\lambda}{|\alpha|}e\}=|\alpha|\inf\{\frac{\lambda}{|\alpha|}>0:|x|\leq\frac{\lambda}{|\alpha|}e\}
\\
&=|\alpha|\|x\|_e.
\end{align*}
Dla dowolnych $\lambda_1\geq \|x\|_e$ oraz $\lambda_2\geq\|y\|_e$ zachodzą nierówności $-\lambda_1 e\leq x\leq \lambda_1 e$ oraz $-\lambda_2 e\leq y\leq \lambda_2 e$, z których wynika, że $-(\lambda_1+\lambda_2)e\leq x+y\leq (\lambda_1+\lambda_2)e$. Zatem 
$$\inf\{\lambda>0:|x+y|\leq \lambda e\}\leq \lambda_1 +\lambda_2 \text{ dla wszystkich $\lambda_1\geq\|x\|_e$ i $\lambda_2\geq\|y\|_e$.}
$$
Stąd otrzymujemy $\|x+y\|_e\leq\|x\|_e+\|y\|_e$. W ten sposób wykazaliśmy nierówność trójkąta.

W celu udowodnienia kratowości normy $\|\cdot\|_e$ przymijmy, że zachodzi nierówność $|x|\leq|y|$ oraz dla pewnego $\lambda>0$, $|y|\leq\lambda e$. Wynika stąd, że $|x|\leq|y|\leq\lambda e$. Zatem $$
\inf_{\substack{|x|\leq\lambda e\\\lambda>0}}\lambda\leq\inf_{\substack{|y|\leq\lambda e\\\lambda>0}}\lambda,
$$
a to oznacza dokładnie, że $\|x\|_e\leq\|y\|_e$.

Następnie dowiedziemy zupełności normy $\|\cdot\|_e$ w ideale głównym $I_e$. Niech $\{x_n\}_{n=1}^\infty\subseteq I_e$ będzie ciągiem Cauchy'ego w normie $\|\cdot\|_e$. Wtedy nierówność $\|x_n-x_m\|\leq \varepsilon$ jest równoważna temu, że $|x_n-x_m|\leq\varepsilon e$. Zatem z kratowości normy $\|x_n-x_m\|\leq \varepsilon\|e\|$, czyli $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ jest również ciągiem Cauchy'ego w normie $\|\cdot\|$. Teraz skoro przestrzeń $(X, \|\cdot\|)$ jest zupełna, to istnieje element $x\in X$ taki, że $x_n\stackrel{\|\cdot\|}{\rightarrow}x$. Jest to kandydat na granicę w normie $\|\cdot\|_e$. Przechodząc do podciągu możemy założyć, że $\|x_{n+1}-x_n\|_e\leq\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$, czyli 
$$
|x_{n+1}-x_n|\leq\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}e.
$$
Stąd i z tego, że $\sum_{i=1}^k\left(\frac{1}{2}\right)^i\leq 1$ mamy 
\begin{align*}
|x_{n+k}-x_n|&=\left|\sum_{i=1}^k x_{n+i}-x_{n+i-1}\right|\leq\sum_{i=1}^k|x_{n+i}-x_{n+i-1}|
\\
&\leq\sum_{i=1}^k\left(\frac{1}{2}\right)^{n+i}e
=\left(\frac{1}{2}\right)^n\sum_{i=1}^k\left(\frac{1}{2}\right)^ie
\\
&\leq\left(\frac{1}{2}\right)^ne.
\end{align*}  
Przechodząc z $k$ do nieskończoności i korzystając z ciągłości modułu otrzymujemy 
$$
|x-x_n|=\left|\lim_{k\rightarrow\infty}x_{n+k}-x_n\right|=\lim_{k\rightarrow\infty}|x_{n+k}-x_n|\leq\left(\frac{1}{2}\right)^ne.
$$
Więc $\|x-n_n\|_e\leq\left(\frac{1}{2}\right)^n\rightarrow_{n\rightarrow\infty}0$, czyli $x$ jest granicą ciągu $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ w normie $\|\cdot\|_e$. Przy czym 
$$
|x|\leq|x-x_n|+|x_n|\leq\left(\frac{1}{2}\right)^ne+\|x\|_e\cdot e<\left(1+\|x_n\|\right)e.
$$
Zatem $x\in I_e$.

Pozostaje dowieść, że krata Banacha $(I_e, \|\cdot\|_e)$ spełnia warunek M-przestrzeni. Weźmy w tym celu $0\leq x,y \in I_e$ i bez straty ogólności załóżmy, że $\|x\|_e\leq\|y\|_e$. Przyjmijmy dodatkowo, że $\|y\|_e<c$ dla pewnego $c\in\mathbb{R}_+$. Wtedy $x,y\leq ce$, czyli $0\leq x\lor y\leq ce$. Zatem $\|x\lor y\|_e\leq c$ dla każdego $c>\|y\|_e$. Otrzymujemy więc $\|x\lor y\|_e=\|x\|_e\lor\|y\|_e$. Z drugiej strony z tego, że norma $\|\cdot\|_e$ jest kratowa i $x,y\leq x\lor y$ mamy $\|x\|_e, \|y\|_e\leq\|x\lor y\|_e$, więc $\|x\|_e\lor\|y\|_e\leq\|x\lor y\|_e$. Otrzymaliśmy zatem to co chcieliśmy $\|x\|_e\lor\|y\|_e=\|x\lor y\|_e$.
\end{proof}

\begin{rem}
Wprost z definicji $\|\cdot\|_e$, mamy $|x|\leq\|x\|_e\cdot e$. Zatem z kratowości normy zachodzi nierówność $\|\cdot\|$, $\|x\|\leq\left\|\|x\|_e\cdot e\right\|=\|x\|_e\cdot\|e\|$. Oznacza to, że norma $\|\cdot\|_e$ jest mocniejsza od normy $\|\cdot\|$. Innymi słowy z tego, że ciąg jest zbieżny w normie $\|\cdot\|_e$ wynika, że jest też zbieżny w normie $\|\cdot\|$.
\end{rem}

\begin{exm}
Niech $(M, \Sigma, \mu)$ będzie przestrzenią z miarą skończoną. Rozważmy osadzoną nna niej kratę Banacha $L^p(\mu)$, dla pewnego $p\in[1, \infty)$ oraz funkcję $e\stackrel{\mu-pw}{\equiv}1$. Założenie, że miara $\mu$ jest skończona jest równoważne temu, że funkcja $e$ należy do przestrzeni $L^p(\mu)$. Ideałem generowanym przez ten element (ideałem głównym) jest przestrzeń funkcji istotnie ograniczonych 
\begin{align*}
I_e&=\left\{x\in L^p(\mu):|x|\leq\lambda e\; \textrm{dla pewnego }\lambda\in\mathbb{R}_+\right\}
\\
&=\left\{x\in L^p(\mu):|x|\stackrel{\mu-pw}{\leq}\lambda\; \textrm{dla pewnego }\lambda\in\mathbb{R}_+\right\}=L^\infty(\mu), 
\end{align*}
a określona na nim norma, to norma supremum istotne $$
\|x\|_e=\inf_{\substack{|x|\stackrel{\mu-pw}{\leq}\lambda e\\ \lambda>0}}\lambda=\inf_{\mu(A)=0}\sup_{t\in M\setminus A}|x|=\|x\|_{\infty}.
$$
Norma supremum istotne jest mocniejsza od $p$-tej normy, ponieważ zbieżność w normie supremum istotne jest równoważna zbieżności jednostajnej poza zbiorem miary zero. Natomiast dla ciągu zbieżnego jednostajnie można z granicą wejść pod całkę. Czyli taki ciąg będzie też zbieżny  w $p$-tej normie. Implikacja w drugą stronę nie zachodzi. Typowym przykładem jest tu tzw. wędrujący garb. Ponadto zazwyczaj $L^\infty(\mu)\subsetneq L^p(\mu)$. Rzeczywiście na przykład przyjmijmy $M=[0,1]$, $\mu$ - jako miarę Lebesgue'a i $x(t)=\begin{cases}
\frac{1}{t^2}& \textrm{dla } t>0\\
0& \textrm{dla } t=0
\end{cases}$. Wtedy 
$$
\|x\|_p^p=\int_0^1|x(t)|^p dt=\int_0^1\frac{1}{t^{2p}}dt=\left[\frac{1}{1-2p}t^{1-2p}\right]_0^1=\frac{1}{1-2p}<\infty,
$$ czyli $x\in L^p[0,1]$. Ale $x$ na każdym otoczeniu zera jest nieograniczone, a zatem $\|x\|_{\infty}=\infty$, więc też $x\notin L^\infty[0,1]$. \end{exm}



 \section{Zespolone kraty Banacha}
Do tej pory rozważaliśmy wyłącznie przestrzeni rzeczywiste. 
Jednakże często konieczne jest rozważanie przestrzeni nad ciałem liczb zespolonych. Dotyczy to na przykład teorii spektralnej, gdzie teoria funkcji holomorficznych, w tym m.in. algebraiczna zupełność ciała liczb zespolonych pełnią kluczową rolę. 

W niniejszej sekcji omówimy jak  rozszerzyć pojęcie rzeczywistych krat wektorowych oraz rzeczywistych krat Banacha na przypadek zespolony. Okazuje się to zadaniem nie dokońca trywialnym. Niemniej jednak sama idea rozszerzenia jest prosta i podobna do  rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ do ciała liczb zespolonych $\mathbb{C}$.

\begin{dfn}
\emph{Kompleksyfikacją} rzeczywistej przestrzeni wektorowej $X$ nazywamy zespoloną przestrzeń wektorową $X_\mathbb{C}=X\times X$, z elementami i strukturą zadanymi analogicznie, jak w ciele liczb zespolonych. To znaczy, parę $(x,y)\in X_\mathbb{C}$ zapisujemy $x+iy$, a dodawanie i mnożenie przez skalar wektorów definiujemy wzorami
$$
x+iy + u+iv= x+u+  i (y+v) \quad \textrm{oraz} \quad
(\alpha +i\beta)\cdot (x+iy)=\alpha x- \beta y+i(\beta x +\alpha y)
$$
dla dowolnych $x,y,u,v\in X$ oraz $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$. Piszemy wtedy również $X_\mathbb{C}=X+iX$.
\end{dfn}

\begin{exm}
Kompleksyfikacją przestrzeni funkcji rzeczywistych $F(M)$ jest przestrzeń funkcji zespolonych $F(M)_\mathbb{C}=F(M)+iF(M)=\{z:M\rightarrow \mathbb{C}\}$.
\end{exm}

%\begin{dfn}
%\emph{Zespoloną kratą wektorową} nazywamy kompleksyfikację $X_\mathbb{C}=X+iX$ rzeczywistej kraty wektorowej $X$, uporządkowaną przez stożek $X_+$, tzn. przez porządek zadany wzorem $z\leq w \;\Longleftrightarrow \; \mathfrak{Re}(z)\leq \mathfrak{Re}(w) \;\textrm{oraz}\; \mathfrak{Im}(z)=\mathfrak{Im}(w)$ dla wszystkich $z,w\in X_\mathbb{C}$.
%\end{dfn}

%Nie ma sensownego sposobu porównywania liczb zespolonych $z=x+iy$, zatem na kompleksyfikacji przestrzeni wektorowej nie istnieje naturalny porządek kratowy. 

Na kompleksyfikacji rzeczywistej kraty wektorowej $X$ wprowadzamy porządek przy pomocy stożka dodatniego $X_+$, w sposób analogiczny do Stwierdzenia \ref{pw z stozkiem jest upw}. 
Ta definicja ma tę zaletę, że nie zmienia stożka. Natomiast ma tę wadę, że tak otrzymany porządek nie jest kratowy sensu stricto.
\begin{dfn}\label{porzadek zespolony}
Niech $X$ będzie kratą wektorową, ze stożkiem dodatnim $X_+$. Na $X_\mathbb{C}=X+iX$ 
definiujemy częściowy porządek zadany przez $X_+$, tzn. 
%Spróbujmy na przykład uporządkować zespoloną przestrzeń wektorową $X_\mathbb{C}=X+iX$ przy pomocy stożka dodatniego $X_+$, to znaczy przez relację ze Stwierdzenia \ref{pw z stozkiem jest upw}:
\begin{align*}
x+iy\leq u+iv &\;\Longleftrightarrow \; (u+iv)-(x+iy)\in X_+  \; 
\\
&\;\Longleftrightarrow \; u-x\in X_+ 
 \text{ oraz } iv-iy=0 
\\
&\;\Longleftrightarrow   \; x\leq u \text{ oraz } y=v,
\end{align*} 
 dla dowolnych $x+iy, u+iv \in X_\mathbb{C}$. Parę $(X_\C,\leq)$ nazywamy \emph{zespoloną kratą wektorową}.
\end{dfn}
\begin{rem} 
Wprowadzony powyżej porządek na $X_\C$ nie jest kratowy. Na przykład, w zbiorze liczb zespolonych $\mathbb{C}$, czyli kompleksyfikacji przestrzeni rzeczywistej $\mathbb{R}$ z naturalnym porządkiem nie istnieje $0\lor i$. Większe od $0$ są liczby rzeczywiste z przedziału $(0,+\infty)$, natomiast większe od $i$ są takie liczby $z\in\mathbb{C}$, których część rzeczywista jest z tego przedziału $\mathfrak{Re}(z)\in (0,+\infty)$, a część urojona wynosi dokładnie $i$. Te zbiory są rozłączne, czyli nie istnieje najmniejsze ograniczenie górne liczb $0$ oraz $i$.
\end{rem}

Mimo, iż porządek w zespolonej kracie wektorowej nie jest kratowy, to pozwala on (przy niezbyt mocnych założeniach, które automatycznie są spełnione w kratach Banacha) zdefiniować  moduł elementu $z\in X_\mathbb{C}$, to znaczy wektor z pierwotnej przestrzeni $|z|\in X_+\subseteq X$, na której mamy już zadany porządek kratowy. Moduł jest ważną częścią struktury zespolonej kraty wektorowej (chyba jeszcze ważniejszą, niż w  przypadku rzeczywistym). W szczególności, moduł pozwoli nam zdefiniować normę na  $X_\mathbb{C}$ w przypadku, gdy $X$ jest (rzeczywistą) kratą Banacha.


Zanim zdefiniujemy moduł na $X_{\C}$ rozważmy moduł liczby zespolonej $z\in \mathbb{C}$. Zauważmy, że można go  wyrazić wzorem: 
$$
|z|=\sup_{\theta\in [0,2\pi]}\mathfrak{Re}(e^{-i\theta}z),
$$
którego interpretacje przedstawia obrazek poniżej.

\begin{center}
\tikzset{every picture/.style={line width=0.75pt}} %set default line width to 0.75pt        

\begin{tikzpicture}[x=0.75pt,y=0.75pt,yscale=-1,xscale=1]
%uncomment if require: \path (0,219); %set diagram left start at 0, and has height of 219

%Straight Lines [id:da7055304948893919] 
\draw    (100,200) -- (100,2) ;
\draw [shift={(100,0)}, rotate = 90] [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 }  ][line width=0.75]    (10.93,-3.29) .. controls (6.95,-1.4) and (3.31,-0.3) .. (0,0) .. controls (3.31,0.3) and (6.95,1.4) .. (10.93,3.29)   ;
%Straight Lines [id:da10310382029220877] 
\draw    (0,100) -- (298,100) ;
\draw [shift={(300,100)}, rotate = 180] [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 }  ][line width=0.75]    (10.93,-3.29) .. controls (6.95,-1.4) and (3.31,-0.3) .. (0,0) .. controls (3.31,0.3) and (6.95,1.4) .. (10.93,3.29)   ;
%Shape: Circle [id:dp5827135166764734] 
\draw   (50,100) .. controls (50,72.39) and (72.39,50) .. (100,50) .. controls (127.61,50) and (150,72.39) .. (150,100) .. controls (150,127.61) and (127.61,150) .. (100,150) .. controls (72.39,150) and (50,127.61) .. (50,100) -- cycle ;
%Straight Lines [id:da8047323894046632] 
\draw    (130,60) -- (100,100) ;
%Straight Lines [id:da9730955933817385] 
\draw    (60,70) -- (100,100) ;
%Shape: Arc [id:dp7469398648833159] 
\draw  [draw opacity=0] (117.98,75.97) .. controls (128.23,83.64) and (132.78,97.35) .. (128.27,110.04) .. controls (122.72,125.66) and (105.57,133.82) .. (89.96,128.27) .. controls (74.34,122.72) and (66.18,105.57) .. (71.73,89.96) .. controls (72.73,87.13) and (74.12,84.55) .. (75.8,82.26) -- (100,100) -- cycle ; \draw   (117.98,75.97) .. controls (128.23,83.64) and (132.78,97.35) .. (128.27,110.04) .. controls (122.72,125.66) and (105.57,133.82) .. (89.96,128.27) .. controls (74.34,122.72) and (66.18,105.57) .. (71.73,89.96) .. controls (72.73,87.13) and (74.12,84.55) .. (75.8,82.26) ;  
%Shape: Circle [id:dp3387552494223367] 
\draw  [fill={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 }  ,fill opacity=1 ] (128,60) .. controls (128,58.9) and (128.9,58) .. (130,58) .. controls (131.1,58) and (132,58.9) .. (132,60) .. controls (132,61.1) and (131.1,62) .. (130,62) .. controls (128.9,62) and (128,61.1) .. (128,60) -- cycle ;
%Shape: Circle [id:dp6225659123228646] 
\draw  [fill={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 }  ,fill opacity=1 ] (58,70) .. controls (58,68.9) and (58.9,68) .. (60,68) .. controls (61.1,68) and (62,68.9) .. (62,70) .. controls (62,71.1) and (61.1,72) .. (60,72) .. controls (58.9,72) and (58,71.1) .. (58,70) -- cycle ;
%Straight Lines [id:da06913302381072373] 
\draw [line width=1.5]    (150,95) -- (150,105) ;

% Text Node
\draw (40,8.4) node [anchor=north west][inner sep=0.75pt]    {$\mathfrak{Im} \ ( z)$};
% Text Node
\draw (156,107.4) node [anchor=north west][inner sep=0.75pt]    {$|z|=\sup{}_{\theta \in [ 0,2\pi )}\mathfrak{Re} \ \left( e^{-i\theta } z\right)$};
% Text Node
\draw (245,71.4) node [anchor=north west][inner sep=0.75pt]    {$\mathfrak{Re} \ ( z)$};
% Text Node
\draw (134,36.4) node [anchor=north west][inner sep=0.75pt]    {$z$};
% Text Node
\draw (17.33,46.73) node [anchor=north west][inner sep=0.75pt]    {$e^{-i\theta } z$};
% Text Node
\draw (84,101.73) node [anchor=north west][inner sep=0.75pt]    {$\theta $};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Z tej formuły otrzymujemy 
\begin{align*}
|z|&=\sup_{\theta\in [0,2\pi]}\mathfrak{Re}(e^{-i\theta}z) = \sup_{\theta\in [0,2\pi]}\mathfrak{Re}\left((\cos\theta-i\sin\theta)(\mathfrak{Re}(z)+i\mathfrak{Im}(z))\right) 
\\
&= \sup_{\theta\in [0,2\pi]}\mathfrak{Re} (\mathfrak{Re}(z)\cos\theta+\mathfrak{Im}(z)\sin\theta+i(\mathfrak{Im}(z)\cos\theta-\mathfrak{Re}(z)\sin\theta)) 
\\
&= \sup_{\theta\in [0,2\pi]}(\mathfrak{Re}(z)\cos\theta+\mathfrak{Im}(z)\sin\theta).
\end{align*}
 Finalnie uzyskaliśmy wzór
\begin{equation}\label{|z|}
|z|=\sup_{\theta\in [0,2\pi]}(\mathfrak{Re}(z)\cos\theta+\mathfrak{Im}(z)\sin\theta).
\end{equation}
Otrzymaną formułą zdefiniujemy moduł na wektorach kraty Banacha.
%\begin{lem}
%Niech $X$ będzie kratą Banacha i niech $e\in X_+$. Wtedy, jeśli domknięcie zbioru $A\subset I_e$ jest zwarte w $(I_e, \|\cdot\|_e)$, to $\sup A\in I_e$.
%\end{lem}
%\begin{proof}
%...
%\end{proof}
\begin{prop}\label{prop:complex_module}
Dla dowolnej kraty Banacha $X$ oraz dla dowolnego $x+iy\in X_\mathbb{C}$, $\sup_{\theta\in [0,2\pi]}(x\cos\theta+y\sin\theta)$ istnieje w $X$.
\end{prop}
\begin{proof}
Rozważmy ideał główny generowany $I_e$ przez element $e:=|x|+|y|\geq0$. Wtedy $x,y\in I_e$ oraz na mocy Twierdzenia \ref{X_e to M-przestrzen} ideał  $I_e$ jest $M$-przestrzenią.
 Korzystając z Twierdzenia \ref{o reprezentacji M-przestrzeni} o reprezentacji $M$-przestrzeni można go utożsamić z przestrzenią $C(M)$.
 W przestrzeni $C(M)$ rozważane supremum zawsze istnieje. Mianowice, 
korzystając ze wzoru \eqref{|z|}  otrzymujemy
\begin{align*}
\left[\sup_{\theta\in [0,2\pi]}(x\cos\theta+y\sin\theta)\right](t)
&=\sup_{\theta\in [0,2\pi]}(x(t)\cos\theta+y(t)\sin\theta)
\\
&\stackrel{\eqref{|z|}}{=}|x(t)+y(t)|=|x+iy|(t).
\end{align*}
\end{proof}
\begin{dfn}
Niech  $X$ będzie kratą Banacha. \emph{Modułem} wektora  $x+iy\in X_\mathbb{C}=X+iX$ nazywamy wektor dodatni 
\begin{equation}\label{eq:complex_module}
|x+iy|:=\sup_{\theta\in [0,2\pi]}(x\cos\theta+y\sin\theta)\in X_+,
\end{equation}
który istnieje na mocy Stwierdzenia \ref{prop:complex_module}.
\end{dfn}
Tak zdefiniowana operacja spełnia standardowe własności wartości bezwzględnej.
\begin{lem}\label{wlasnosci modulu zespolonego}
Niech $X$ będzie kratą Banacha. Wtedy dla dowolnych wektorów $z,w\in X_\mathbb{C}$ oraz skalara $\lambda \in \mathbb{C}$
 operacja modułu $X_\mathbb{C}\ni z\rightarrow |z|\in X_+$ ma następujące własności
\begin{description}
\item[(niezdegenerowanie)] $|z|=0\,\,\Longleftrightarrow\,\, z=0,$
\item[(dodatnia jednorodność)] $|\lambda z|=|\lambda||z|$,
\item[(nierówność trójkąta)] $|z+w|\leq |z|+|w|$.
\end{description}
\end{lem}
\begin{proof}
Przyjmijmy, że $z=x+iy$ i $w=u+iv$, dla pewnych $x,y,u,v\in X$. Korzystając z Twierdzeń \ref{X_e to M-przestrzen} i \ref{o reprezentacji M-przestrzeni} utożsammy ideał $I_e$ generowany przez element $e=|x|+|y|+|u|+|v|$, z przestrzenią $C(M)$. Ponieważ niezdegenerowanie, dodatnia jednorodność i nierówność trójkąta zachodzą w przestrzeni $C(M)$, zachodzą też w $X_e$ i w całej przestrzeni $X$.
\end{proof}
\begin{thm}\label{thm:complex_lattice_norm}
Niech $X$ będzie kratą Banacha. Wtedy wzór
\begin{equation}\label{norma zespolona}
\|z\|_\mathbb{C}:=\||z|\|
\end{equation}
definiuje normę na $X_\mathbb{C}$. Ponadto para $(X_\mathbb{C}, \|\cdot\|_\mathbb{C} )$ jest przestrzenią Banacha.
\end{thm}
\begin{proof}
Najpierw korzystając z Lematu \ref{wlasnosci modulu zespolonego} oraz z tego, że $\|\cdot\|$ jest normą pokażemy, że formuła \eqref{norma zespolona} zadaje normę w $X_\mathbb{C}$. Niezdegenerowanie zachodzi, ponieważ $0=\|z\|_\mathbb{C}=\||z|\|$ wtedy i tylko wtedy, gdy $|z|=0$, a to jest równoważne temu, że $z=0$. 
Dodatnia jednorodność wynika z rachunków 
$$
\|\lambda z\|_\mathbb{C}=\||\lambda z|\|=\||\lambda||z|\|=|\lambda|\||z|\|=|\lambda|\|z\|_\mathbb{C}.
$$
 Podobnie otrzymujemy nierówność trójkąta 
$$
\|z+w\|_\mathbb{C}=\||z+w|\|\leq\||z|+|w|\|\leq\||z|\|+\||w|\|=\|z\|_\mathbb{C}+\|w\|_\mathbb{C}.
$$

Zauważmy, że norma zdefiniowana wzorem $\|z\|_1=\|x\|+\|y\|$ jest zupełna. Weźmy w tym celu ciąg Cauchy'ego $\{z_n\}_{n=1}^\infty\subseteq X_\mathbb{C}$. Wtedy $z_n=x_n+iy_n$ dla pewnych ciągów Cauchy'ego $\{x_n\}_{n=1}^\infty, \{y_n\}_{n=1}^\infty\subseteq X$. Ale z zupełności $X$ wynika, że $\|z_n-(x+iy)\|_1=\|x_n-x\|+\|y_n-y\|$ dąży do $0$ przy $n$ dążącym do nieskończoności. Udowodnimy teraz, że norma $\|\cdot\|_\mathbb{C}$ jest równoważna normie $\|\cdot\|_1$.
Podstawiając $0$, $\pi$ oraz $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$ w miejsce $\theta$ we wzorze \eqref{|z|} otrzymujemy $|x|\leq|z|$ oraz $|y|\leq |z|$. Stąd 
$$
\frac{1}{2}\|z\|_1=\frac{1}{2}(\|x\|+\|y\|)=\frac{1}{2}(\||x|\|+\||y|\|)\leq\frac{1}{2}(\||z|\|+\||z|\|)=\|z\|_\mathbb{C}.
$$ Dodatkowo z drugiej strony z tego, że $\sin\theta, \cos\theta\leq1$, mamy 
$$\|z\|_\mathbb{C}=\||z|\|=\sup_{\theta\in [0,2\pi]}\|x\cos\theta+y\sin\theta\|\leq\|x\|+\|y\|.
$$ Zatem normy $\|\cdot\|_1$ i $\|\cdot\|_\mathbb{C}$ są równoważne. Czyli  z zupełności w normie $\|\cdot\|_1$ wynika zupełność  w normie $\|\cdot\|_\mathbb{C}$. 

\end{proof}
\begin{dfn}
\emph{Zespoloną kratą Banacha} nazywamy parę $(X_\mathbb{C}, \|\cdot\|_\mathbb{C})$, gdzie $X_\mathbb{C}$ jest  kompleksyfikacją pewnej rzeczywistej kraty wektorowej $X$, a $\|\cdot\|_\mathbb{C}$ normą daną wzorem \eqref{norma zespolona}.
\end{dfn}
\begin{rem} Wprost z powyższej definicji wynika, że w zespolonej kracie Banacha zachodzi warunek na kratowość normy z definicji rzeczywistej kraty Banacha, czyli 
$$
|x|\leq|y| \Longrightarrow \|x\|\leq\|y\|
$$
dla dowolnych $x,y\in X_{\C}$.
\end{rem}
Każdą funkcję zespoloną $z:M\to \C$ można zapisać jako $z=x+iy$, gdzie $x,y:M\to \R$ są funkcjami rzeczywistymi -- odpowiednio częścią rzeczywistą  oraz częścią urojoną funkcji $z$. 
Rozkład ten pozwala na naturalne utożsamienie kompleksyfikacji przestrzeni funkcji rzeczywistych z ich zespolonymi odpowiednikami.
\begin{exm} Dla dowolnej przestrzeni zwartej $M$ przestrzeń $C(M,\C)$ zespolonych funkcji ciągłych na $M$ jest w naturalny sposób kompleksyfikacją rzeczywistej kraty Banacha  $C(M,\R)$, której elementami są rzeczywiste funkcje ciągłe. Przy tym moduł i norma zdefinowane abstrakcyjnie w Stwierdzeniu \ref{prop:complex_module} i Twierdzeniu \ref{thm:complex_lattice_norm} pokrywają się ze modułem funkcji i normą supremum w $C(M,\C)$. Symbolicznie możemy to zapisać
$$
C(M,\R)_\C=C(M,\C).
$$
\end{exm}
\begin{exm} Dla dowolnej przestrzeni z miarą $(M,\Sigma,\mu)$ oraz dowolnego $p\in [1,\infty]$, podobnie jak w przykładzie powyżej,  zespolona przestrzeń Banacha  $L^p(\mu,\C)$ jest w naturalny sposób kompleksyfikacją rzeczywistej kraty Banacha  $L^p(\mu,\R)$, w tym sensie, że  moduł i norma zdefinowane abstrakcyjnie w Stwierdzeniu \ref{prop:complex_module} i Twierdzeniu \ref{thm:complex_lattice_norm} pokrywają się z modułem funkcji i normą supremum w $L^p(\mu,\C)$. Zatem możemy również napisać
$$
L^p(\mu,\R)_\C=L^p(\mu,\C).
$$
\end{exm}

\chapter{Operatory na kratach Banacha}

\section{Operatory na przestrzeniach Banacha }

Odwzorowanie $T:X\rightarrow Y$ między przestrzeniami liniowymi $X$ i $Y$ spełniające warunki
$$ 
T(x+y)=T(x) + T(y)\quad \textrm{i} \quad T(\alpha x)=\alpha T(x), \quad \textrm{dla dowolnych}\; x,y\in X \; i \; \alpha\in \mathbb{R},
$$
nazywamy \emph{operatorem liniowym}. 
Zgodnie ze standardową konwencją nawiasy będziemy pomijać i pisać $Tx$ zamiast $T(x)$, a operator liniowy skrótowo nazywać \emph{operatorem}. Zbiór wszystkich operatorów liniowych na przestrzeniach wektorowych $X$ i $Y$ oznaczamy $L(X,Y)$. Wraz z działaniami określonymi punktowo  tworzy on przestrzeń wektorową. 
To znaczy dodawanie operatorów liniowych i mnożenie przez skalar określone są wzorami 
$$
(T+S)x=Tx+Sx, \qquad (\alpha T)x=\alpha \cdot Tx,
$$
 dla każdego $x\in X$ oraz dowolnych $S,T\in L(X,Y)$ i $\alpha \in \R$. 

\begin{dfn}
Operator liniowy $T:X\rightarrow Y$ przestrzeni unormowanych $X$ i $Y$ nazywamy \emph{ograniczonym} jeśli dla pewnej liczby rzeczywistej $c$ 
spełnia \emph{nierówność ograniczoności}
\begin{equation}\label{nierownosc ograniczonosci}
 \|Tx\|\leq c \|x\| 
\end{equation}
dla każdego $x\in X$. \emph{Zbiór wszystkich operatorów ograniczonych} na przestrzeniach unormowanych $X$ i $Y$ oznaczamy $B(X,Y)$.
\end{dfn}
\begin{rem}
W powyższej definicji norma po lewej stronie nierówności jest normą w przestrzeni $Y$, a po prawej - przestrzeni $X$. Dla uproszczenia zapisu oznaczamy je tym samym symbolem, co nie prowadzi do nieporozumień.  
\end{rem}
\begin{rem}
Z nierówności \eqref{nierownosc ograniczonosci} wynika, że operator ograniczony przeprowadza zbiory ograniczone  na zbiory ograniczone.
\end{rem}
Naturalnie przychodzi pytanie, jaka jest najmniejsza stała, spełniająca nierówność ograniczoności. Przy założeniu, że $x\neq 0$ (gdy $x=0$ mamy $Tx=0$ i nierówność zachodzi) możemy ją podzielić obustronnie przez $\|x\|$. Mamy więc $\frac{\|Tx\|}{\|x\|}\leq c$. Zatem najmniejsze takie $c$ jest równe supremum wyrażenia po lewej stronie tej nierówności, co z kolei kładąc 
$y=\frac{x}{\|x\|}$ jest równe wyrażeniu $\sup_{ \|y\|=1}\|Ty\|$.
%\begin{equation}\label{c}
%c=\sup_{x\in X}\frac{\|Tx\|}{\|x\|}=\sup_{x\in X}\|T\frac{x}{\|x\|}\|.
%\end{equation}

\begin{dfn}\label{||T||}
\emph{Normą} operatora ograniczonego $T$ nazywamy najmniejszą liczbę rzeczywistą $c$, dla której zachodzi nierówność ograniczoności \eqref{nierownosc ograniczonosci} i oznaczamy ją przez $\|T\|$.
Równoważnie
\begin{equation}\label{|T|}
\|T\|=\sup_{ \|x\|=1}\|Tx\|.
\end{equation}
\end{dfn}
%Wzór \eqref{c} zadaje normę operatora, jednak istnieje prostsza formuła, o czym mówi następujące Stwierdzenie.
%\begin{prop}
%Niech $T:X\rightarrow Y$ będzie operatorem ograniczonym przestrzeni unormowanych $X$ i $Y$, wtedy formuła
%zadaje na nim normę.
%\end{prop}
%POWIEDZIEĆ GDZIEŚ CZYM SĄ LINIOWE DZIAŁANIA W ZBIORZE OPERATORÓW LINIOWYCH
%\begin{proof}
%Najpierw pokażemy, że formuły \eqref{c} i \eqref{|T|} są równoważne:
%\begin{align*}
%\sup_{\substack{x\in X \\ x\neq0}}\frac{\|Tx\|}{\|x\|}&=\sup_{\substack{x\in X \\ \|x\|\in \mathbb{R}_+\setminus\{0\}}}\frac{\|Tx\|}{\|x\|}=\sup_{\substack{x\in X \\ \|x\|\in \mathbb{R}_+\setminus\{0\}}}\left| \frac{1}{\|x\|}\right|\|Tx\|=\sup_{\substack{x\in X \\ \|x\|\in \mathbb{R}_+\setminus\{0\}}}\left\| T\left(\frac{1}{\|x\|}x\right)\right\| \\
%&=\sup_{\|x\|=1}\|Tx\|.
%\end{align*}
%Zostało pokazać, że \eqref{|T|} zdaje normę. To, że $T$ jest operatorem zerowym, tzn $Tx=0$ dla każdego $x\in X$, jest równoważne temu, że $\|T\|=\sup_{\|x\|=1}\frac{0}{\|x\|}=0$. Zatem spełniony jest warunek niezdegenerowania normy. Dodatnia jednorodność wynika z dodatniej jednorodności dla normy w przestrzeni $Y$: $\|\alpha T\|=\sup_{\|x\|=1}\|(\alpha T)x\|=\sup_{\|x\|=1}\|\alpha \cdot Tx\|=\sup_{\|x\|=1}|\alpha|\| Tx\|=|\alpha|\sup_{\|x\|=1}\|Tx\|=|\alpha|\|Tx\|$. A nierówność trójkąta, podobnie, z nierówności trójkąta normy na przestrzeni $Y$ i z własności(własność supremum sumy zbiorów jest mniejsze od supremum pierwszego zbioru + supremum drugiego zbioru) %DOWIEŚĆ TĘ WŁASNOŚĆ W SEKCJI Z CZĘŚCIOWYMI PORZĄDKAMI
%$\|T_1+t_2\|=\sup_{\|x\|=1}\|(T_1+T_2)x\|=\sup_{\|x\|=1}\|T_1x+T_2x\|\leq\sup_{\|x\|=1}\left(\|T_1x\|+\|T_2x\|\right)\leq\sup_{\|x\|=1}\|T_1x\|+\sup_{\|x\|=1}\|T_2x\|=\|T_1\|+\|T_2\|.$

%\end{proof}

%Poniżej wymieniliśmy podstawowe, często używane przez studentów oparatory ograniczone.
\begin{exm}\label{operator identycznosciowy}
\emph{Operator identycznościowy} $I:X\rightarrow X$ określony wzorem $Ix=x$ dla każdego $x\in X$, na przestrzeni unormowanej $X$ jest ograniczony i jego norma wynosi $\|I\|=1$ (chyba, że $X=\{0\}$).
\end{exm}
\begin{exm}\label{operator roznickowania}
\emph{Operator różniczkowania} $T:C^{(1)}[-1,1]\rightarrow C[-1,1]$, zadany wzorem 
$Tx(t)=x'(t)$ dla każdego $t\in [-1,1]$, wraz z standardowymi normami na przestrzeniach $C^{(1)}[-1,1]$ i $C[-1,1]$, czyli odpowiednio normami 
$$\|x\|_{(1)}=\sup_{t\in [-1,1]}|x(t)|+\sup_{t\in [-1,1]}|x'(t)|, \qquad \text{  }\|x\|_\infty=\sup_{t\in [-1,1]}|x(t)|,
$$ jest operatorem ograniczonym. Jego norma wynosi $\|T\|=1$. Nierówność $\|T\|\leq 1$ zachodzi, ponieważ $\|Tx\|_\infty=\|x'\|_\infty\leq \|x\|_\infty +\|x'\|_\infty=1\cdot \|x\|_{(1)}$. W celu pokazania nierówności w drugą stronę przyjmijmy ciąg zadany wzorem na przykład  $x_n(t)=\frac{t^n}{n+1}$. Jego norma wynosi 
$$
\|x_n\|_{(1)}=\sup_{t\in[-1,1]}\left|\frac{t^n}{n+1}\right|+\sup_{t\in[-1,1]}\left|\frac{nt^n}{n+1}\right|=\frac{t^n}{n+1}+\frac{nt^n}{n+1}=1
$$
oraz norma zadanego na nim operatora zbiega do 1: $$
\|Tx_n\|_\infty=\sup_{t\in[-1,1]}\left|\frac{nt^n}{n+1}\right| =\frac{nt^n}{n+1}\rightarrow 1.
$$
\end{exm}

\begin{exm}\label{operator calkowania}
Niech $(M,\Sigma, \mu)$ będzie przestrzenią z miarą. Wtedy przestrzeń funkcji całkowalnych ze standardową normą 
$\|x\|_1=\int_\Sigma |x|\,d\mu$ tworzą przestrzeń Banacha. 
Zadany na niej \emph{operator całkowania} $T:L^1(\mu)\rightarrow\R$ określony wzorem $Tx=\int_M x\, d\mu$ jest operatorem ograniczonym o normie $1$. 
Nierówność  $\|T\|\leq 1$ zachodzi, ponieważ $|Tx|=\left|\int_M x\,d\mu\right|\leq\int_{M} |x|\,d\mu=1\cdot\|x\|_1$. 
Weźmy teraz dowolny zbiór mierzalny $A\in\Sigma$ o niezerowej mierze skończonej $0<\mu (A)<\infty$. 
Wtedy wektor $x=\frac{1}{\mu(A)}\mathbbm{1}_A$ ma normę $\|x\|_1=1$ oraz $|Tx|=1$. Zatem zachodzi nierówność w drugą stronę $1\leq\|T\|$. 
\end{exm}

Jak widzimy, już na prostych przykładach badanie ograniczoności operatora może być kłopotliwe. Jednak okazuje się, że w niektórych przypadkach ograniczoność jest automatyczna. Na przykład dochodzenie, czy operator jest ograniczony zawęża się tylko do operatorów określonych na przestrzeniach nieskończenie wymiarowych:
\begin{thm}\label{thm:finite_implies_bounded}
Operator linowy na skończenie wymiarowej przestrzeni unormowanej jest ograniczony.
\end{thm}
Ważnym faktem jest, że ograniczoność operatora jest równoważna jego ciągłości,  a nawet ciągłości tylko w jednym punkcie.

\begin{thm}
Niech $T:X\rightarrow Y$ operator liniowy miedzy przestrzeniami unormowanymi $X$ i $Y$. Wtedy następujące warunki są równoważne:
\begin{enumerate}
\item $T$ jest ograniczony;
\item $T$ jest odwzorowaniem ciągłym;
\item $T$ jest odwzorowaniem ciągłym w pewnym punkcie $x_0\in X$.
\end{enumerate}
\end{thm}

Jedną ze standardowych metod konstrukcji operatorów ograniczonych jest zadanie ich na gęstej podprzestrzeni, a następnie przedłużenie za pomocą następującej \emph{zasady ciągłego przedłużania operatorów}:
\begin{thm}
Niech $Y$ będzie przestrzenią Banacha, $X$ przestrzenią unormowaną i $Z$ jej gęstą podprzestrzenią $Z\subseteq X$ (tzn. $\overline{Z}=X$). Wtedy każdy ograniczony  operator  liniowy $T:Z\rightarrow Y$ przedłuża się jednoznacznie do operatora ograniczonego $\overline{T}:X\rightarrow Y$. Ponadto normy tych operatorów są sobie równe $\|\overline{T}\|=\|T\|$.
\end{thm}

Zbiór wszystkich operatorów ograniczonych na przestrzeniach unormowanych sam w sobie jest przestrzenią unormowaną. A żeby był przestrzenią Banacha wystarczy tylko założyć, że jego przeciwdziedzina jest przestrzenią Banacha.

\begin{thm}
Niech $X$ i $Y$ będą przestrzeniami unormowanymi. Wtedy zbiór wszystkich operatorów ograniczonych na tych przestrzeniach $B(X,Y)$, wraz z normą operatorową
$
\|T\|=\sup_{\|x\|=1}\|Tx\|
$
jest przestrzenią unormowaną. Ponadto, $B(X,Y)$ jest przestrzenią Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy $Y$ jest przestrzenią Banacha.
\end{thm}

Teraz przytoczymy kilka podstawowych faktów o operatorach zwartych z książki \cite{Kreyszig}.
Przypomnijmy, że pozdbiór $M\subseteq X$ przestrzeni metrycznej $X$ jest \emph{zwarty}, jeśli każdy ciąg w  $M$ ma podciąg zbieżny w $M$. 
Każdy podzbiór zwarty jest domknięty i ograniczony. Jeżeli $X$ jest skończenie wymiarową przestrzenią unormowaną, to podzbiór $M\subseteq X$ jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest 
domknięty i ograniczony. W przestrzeniach nieskończenie wymiarowych ta charakteryzacja nie zachodzi. De facto kula domknięta w przestrzeni unormowanej $X$ jest zwarta  wtedy i tylko wtedy, gdy 
$\dim(X)<\infty$. Zbiór $M\subseteq X$ nazywamy \emph{warunkowo zwartym} jeżeli jego domknięcie $\overline{M}$ jest zbiorem zwartym. W szczególności, zbiory warunkowo zwarte są ograniczone (ale niekoniecznie domknięte).
\begin{dfn}
Operator liniowy $T:X\rightarrow Y$ zadany na przestrzeniach unormowanych $X$, $Y$ nazywamy \emph{zwartym} jeśli przeprowadza zbiór ograniczony $B$ na zbiór warunkowo zwarty $T(B)$, to znaczy domknięcie obrazu $\overline{T(B)}$ jest zwarte. Zbiór wszystkich operatorów zwartych $T:X\rightarrow Y$ oznaczamy $K(X,Y)$.
\end{dfn}
\begin{rem}
Zauważmy, że operator liniowy jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy przeprowadza zbiory ograniczone na zbiory ograniczone. 
Skoro zbiory warunkowo zwarte są ograniczone, to  \emph{operatory zwarte są ograniczone}.
\end{rem}
\begin{prop}\label{Prop: zwartosc przez ciagi}
 Operator liniowy $T:X\rightarrow Y$ jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ciąg ograniczony $\{x_n\}\subseteq X$ przeprowadza na ciąg $\{Tx_n\}\subseteq Y$, dla którego istnieje podciąg zbieżny w $Y$.
\end{prop}
\begin{proof}
Jeśli operator $T$ jest zwarty i ciąg $\{x_n\}\subseteq X$ jest ograniczony, to domknięcie zbioru $\{Tx_n\}\subseteq Y$ jest zwarte, a zatem pewien podciąg $\{Tx_n\}$ jest  zbieżny. 
Z drugiej strony, przyjmijmy teraz, że dla każdego ciągu ograniczonego $\{x_n\}\subseteq X$ istnieje podciąg $\{x_{n_k}\}$, którego obraz $\{Tx_{n_k}\}$ jest zbieżny w $Y$. Rozważmy dowolny zbiór ograniczony $B\subseteq X$ i niech $\{y_n\}$ będzie ciągiem w $T(B)$. Wtedy $y_n=Tx_n$ dla pewnych $x_n\in B$, i ponieważ zbiór $B$  jest  ograniczony, to ciąg $\{x_n\}$ również jest ograniczony. Z założenia $\{Tx_n\}$ zawiera podciąg zbieżny. Z dowolności wyboru ciągu $\{y_n\}$ w $T(B)$ domknięcie $\overline{T(B)}$ jest zwarte. Zatem operator $T$ jest zwarty. 
\end{proof}
\begin{dfn}
Powiemy, że operator ograniczony $T:X\rightarrow Y$ jest operatorem \emph{skończonego rzędu} jeżeli $\dim(TX)<\infty$, czyli jeżeli jego obraz ma wymiar skończony.
\end{dfn}
\begin{thm}\label{thm:finite_implies_compact}
Każdy ograniczony operator skończonego rzędu jest zwarty. Ponadto każdy operator $T:X\rightarrow Y$ określony na skończenie wymiarowej przestrzeni $X$ jest zwarty.
\end{thm}
\begin{proof}
Rozważmy dowolny ciąg ograniczony $\{x_n\}\subseteq X$. Wtedy z nierówności ograniczoności \eqref{nierownosc ograniczonosci}, $\|Tx_n\|\leq\|T\|\|x_n\|$ ciąg $\{Tx_n\}$ również jest ograniczony. 
Zatem skoro $\dim(TX)<\infty$, to zbiór $\{Tx_n\}$ jest warunkowo zwarty. Stąd ostatecznie operator $T$ jest zwarty. 

Załóżmy teraz, że  $\dim(X)<\infty$.  Wtedy  $\dim(TX)\leq \dim(X)<\infty$.  Zatem $T$ jest zwarty na mocy poprzedniego kroku.
\end{proof}

\begin{exm}
Operator identycznościowy $I:X\rightarrow X$, czyli zdefiniowany wzorem $Ix=x$ jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy $\dim(X)<\infty$. 
Jeśli $\dim(X)<\infty$, to $I$ jest zwarty na mocy Twierdzenia \ref{thm:finite_implies_compact}. Jeśli  $\dim(X)=\infty$, to domkięta kula jednostkowa $B$ nie jest zwarta, mimo iż jest zbiorem domkniętym i ograniczonym. Czyli $B$ jest zbiorem ograniczonym, którego obraz $I(B)=B$ nie jest warunkowo zwarty. Zatem $I$ nie jest operatorem zwartym.
\end{exm}

\begin{exm}
Z Twierdzenia \ref{thm:finite_implies_compact} wynika, że operator całkowania z Przykładu \ref{operator calkowania}, czyli $T:L^1(\mu)\rightarrow \mathbb{R}$ określony wzorem $Tx=\int_M x d\mu$ jest zwarty. 
\end{exm}
W następnym przykładzie dowiedziemy zwartości \emph{operatorów całkowych} na przestrzeni funkcji ciągłych. W rozumowaniu skorzystamy z zastosowania klasycznego twierdzenia analizy funkcjonalnej - Twierdzenia Ascoli'ego - do funkcji ciągłych na przedziale zwartym. 

Przypomnijmy, że ciąg $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subseteq C[a,b]$ nazywamy \emph{jednostajnie ciągłym}  (lub \emph{równociągłym}) jeśli dla każdego $\varepsilon >0$ istnieje $\delta>0$ takie, że dla każdych $x_n$ i $t_1, t_2\in[a,b]$ spełniających $|t_1-t_2|<\delta$ zachodzi ograniczenie
$$
|x_n(t_1)-x_n(t_2)|<\varepsilon.
$$
\begin{lem}[Ascoli]\label{Ascoli}
Jeśli ciąg  $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subseteq C[a,b]$ jest ograniczony oraz jednostajnie ciągły, to ma podciąg zbieżny w $C[a,b]$.
\end{lem}

Dowód tego lematu można znaleźć między innymi w książce \cite{McShane}.

\begin{exm}[Operator całkowy]\label{operator calkowy}
Rozważmy dowolny  przedział zwarty $[a,b]$ i funkcję ciągłą $k:[a,b]\times [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$. 
Wtedy operator $T:C[a,b]\rightarrow C[a,b]$ zadany wzorem 
$$
Tx(t)=\int_a^b k(t,s)x(s)ds
$$ 
nazywamy \emph{operatorem całkowym}, a funkcję $k$ jego \emph{jądrem}. Pokażemy, że tak zdefiniowany operator jest zwarty. Operator $T$ jest ograniczony, gdyż z  monotniczności  całki wynika że
$$
\|Tx\|=\sup_{t\in[a,b]}\left|\int_a^b k(t,s)x(s)ds\right|\leq \|x\| \sup_{t\in[a,b]}\int_a^b|k(t,s)|ds,
$$
skąd $\|T\|\leq \sup_{t\in[a,b]}\int_a^b|k(t,s)|ds$. Natomiast funkcja  $[a,b]\in t\mapsto \int_a^b|k(t,s)|ds$ jest ograniczona, gdyż jest ciągła i określona na przedziale zwartym.  Zatem 
$$\|T\|\leq \sup_{t\in[a,b]}\int_a^b|k(t,s)|ds<\infty.
$$
Niech teraz $\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subseteq C[a,b]$ będzie ciągiem ograniczonym przez stałą $c$. Wprowadźmy oznaczenie $y_n=Tx_n$. Wtedy $\|y_n\|\leq\|T\|\|x_n\|\leq \|T\| c$, zatem ciąg $\{y_n\}_{n\in\N}\subseteq C[a,b]$ również jest ograniczony. Następnie pokażemy, że ciąg $\{y_n\}_{n\in\N}$ jest równomiernie ciągły. Zauważmy najpierw, że funkcja $k$ jest jednostajnie ciągła, jako funkcja ciągła określona na zbiorze zwartym $[a,b]\times[a,b]$. Zatem dla każdego $\varepsilon>0$ istnieje $\delta>0$ taka, że dla dowolnych $s\in [a,b]$ i $t_1, t_2\in[a,b]$, spełniających nierówność $|t_1-t_2|\leq\delta$ mamy 
$$
|k(t_1, s)-k(t_2, s)|<\frac{\varepsilon}{(b-a)c}. 
$$
Stąd dla dowolnych $t_1, t_2\in[a,b]$, spełniających nierówność $|t_1-t_2|\leq\delta$ zachodzi
$$
|y_n(t_1)-y_n(t_2)|=\left|\int_a^b[k(t_1, s)-k(t_2, s)]x(s)ds\right|<(b-a)\frac{\varepsilon}{(b-a)c}c=\varepsilon.
$$
Zatem ciąg $\{y_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ jest jednostajnie ciągły. Korzystając z Lematu \ref{Ascoli} wnioskujemy więc, że dla $\{y_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ istnieje podciąg zbieżny w $C[a,b]$. Wobec tego na mocy Stwierdzenia \ref{Prop: zwartosc przez ciagi} operator $T$ jest zwarty.
\end{exm}

\begin{thm}\label{thm:limit_of_compact_is_compact}
Jeśli ciąg operatorów zwartych $\{T_n:X\rightarrow Y\}_{n\in \N}$ między przestrzeniami Banacha $X$, $Y$ jest zbieżny do operatora $T$, to operator $T$ jest zwarty.
\end{thm}
\begin{proof}
Ze zwartości operatora $T_1$ wynika, że dla ciągu ograniczonego $\{x_m\}\subseteq X$ istnieje podciąg $\{x_{1,m}\}$ taki, że ciąg $\{T_1x_{1,m}\}$ jest ciągiem Cauchy'ego. Podobnie istnieje podciąg $\{x_{2,m}\}$ ciągu $\{x_{1,m}\}$ taki, że ciąg $\{T_2x_{2,m}\}$ jest ciągiem Cauchy'ego.
 Kontynuując to rozumowanie otrzymujemy podciąg $\{y_m\}=\{x_{m,m}\}$ ciągu $\{x_m\}$ taki, że dla każdego $n\in\mathbb{N}$ ciąg $\{T_ny_m\}_{m\in\mathbb{N}}$ jest  Cauchy. 
Przy czym z ograniczoności ciągu $\|x_m\|\leq c$ wynika z  ograniczoność jego podciągu $\|y_m\|\leq c$. Skoro ciąg operatorów $T_n$ zbiega do operatora $T$, to dla każdego $\varepsilon>0$ istnieje $p\in\mathbb{N}$ takie, że $\|T-T_p\|<\frac{\varepsilon}{3c}$. Dodatkowo skoro ciąg $\{T_py_m\}_{m\in\mathbb{N}}$ jest Cauchy, to $\|T_py_j-T_py_k\|<\frac{\varepsilon}{3}$ dla  $j$, $k>N$ i pewnego $N$. Zatem dla $j$, $k>N$ otrzymujemy 
\begin{align*}
\|Ty_j-Ty_k\|&\leq\|Ty_j-T_py_j\|+\|T_py_j-T_py_k\|+\|T_py_k-Ty_k\|\leq\\
&\leq \|T-T_p\|\|y_j\|+\frac{\varepsilon}{3}+\|T_p-T\|\|y_k\|<\\
&<\frac{\varepsilon}{3c}c+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3c}c=\varepsilon.
\end{align*}
Czyli ciąg $\{Ty_m\}$ jest ciągiem Cauchy'ego, a ponieważ 
przestrzeń $Y$ jest zupełna, ciąg $\{Ty_m\}$ jest zbieżny.
\end{proof}
\begin{rem}
Powyższe twierdzenie mówi, że zbiór $K(X,Y)$ operatorów zwartych jest domkniętym podzbiorem przestrzeni operatorów  ograniczonych
$B(X,Y)$. Kombinacja liniowa operatrów zwartych jest operatorem zwartym. Zatem de facto $K(X,Y)$ jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni $B(X,Y)$.
\end{rem}
\begin{cor}\label{cor:limit_of_finite_rank}
Granica operatorów skończonego rzędu jest operatorem zwartym.
\end{cor}
\begin{proof} Wynika to wprost z Twierdzeń \ref{thm:finite_implies_compact} oraz \ref{thm:limit_of_compact_is_compact}.
\end{proof}
\begin{rem}\label{rem:limit_of_finite_rank}
W przestrzeniach Hilberta powyższą implikację da się odwrócić, tzn. można pokazać, że operator jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą  operatorów skończonego rzędu, patrz \cite{Conway}. 
Taka charakteryzacja nie ma miejsca w ogólnych przestrzeniach Banacha, co było przez wiele lat  nierozwiązanym  ważnym pytaniem. W 1973 roku Per Enflo podał kontrprzykład, opierając się na pracy Alexandra Grothendiecka i Stefana Banacha.
\end{rem}
W przykładzie poniżej pokażemy jak zastosować Twierdzenie \ref{thm:limit_of_compact_is_compact}, przy dowodzeniu zwartości operatora.
\begin{exm} 
Pokażemy, że operator $T:\ell^2\rightarrow \ell^2$ zadany wzorem 
$$Tx=\left(x(1), \frac{x(2)}{2}, \frac{x(3)}{3},\ldots\right)$$ jest zwarty. Rozważmy ciąg operatorów $T_n:\ell^2\rightarrow \ell^2$, gdzie 
$$T_nx=\left(x(1), \frac{x(2)}{2}, \ldots, \frac{x(n)}{n}, 0, 0, \ldots\right).
$$
Wtedy każdy element ciągu jest operatorem ograniczonym, więc z Twierdzenia \ref{thm:finite_implies_compact}, są to operatory zwarte. Ponadto 
$$
\|(T-T_n)x\|^2=\sum_{i=n+1}^\infty \left|\frac{x(i)}{i}\right|^2\leq \frac{1}{(n+1)^2}\sum_{i=n+1}^\infty|x(i)|^2\leq \frac{\|x\|^2}{(n+1)^2},
$$
czyli przechodząc do supremum po $x$ o normie $1$ otrzymujemy
$$
\|T-T_n\|\leq\frac{1}{n+1}.
$$
Zatem $T_n\rightarrow T$ i na mocy Twierdzenia \ref{thm:limit_of_compact_is_compact} operator $T$ jest zwarty.
\end{exm}

\section{Elementy teorii spektralnej}

Teraz omówimy elementy teorii spektralnej, którą rozpatruje się nad ciałem liczb zespolonych. Dlatego od tej pory wszystkie przestrzenie liniowe będą zespolone, tzn. nad ciałem liczb zespolonych $\C$. W całym podrozdziale  $T \in B(X)$ będzie operatorem ograniczonym na \emph{zespolonej przestrzeni Banacha} $X$. 
\begin{dfn}

 \emph{Zbiorem rezolwenty}  operatora $T$ nazywamy zbiór $\rho(T)$ tych liczb zespolonych $\lambda$, 
dla których operator $\lambda I - T$ jest odwracalny, czyli
\[
\rho(T) := \{\lambda \in \mathbb{C} \,:\,\text{odwzorowanie }\lambda I - T : X \to X \text{ jest odwracalne}\}.
\]
Operator 
$$
R(\lambda,  T):=(\lambda I - T)^{-1}, \qquad \lambda \in \rho(T),
$$
 nazywamy \emph{rezolwentą operatora $T$} w punkcie $\lambda$. Dopełnienie zbioru $\rho(T)$ w $\mathbb{C}$ nazywamy \emph{widmem} (lub też \emph{spektrum}) operatora $T$ i oznaczamy przez $\sigma(T)$. Czyli
 \[
\sigma(T) := \{\lambda \in \mathbb{C} \,:\,\text{odwzorowanie }\lambda I - T : X \to X \text{ jest nieodwracalne}\}.
\]
\end{dfn}
\begin{rem}
Zauważmy, że $B(X)$ jest nie tylko przestrzenią Banacha, ale jest również algebrą z mnożeniem zdefinowanym jako składanie operatorów.  Jest to modelowy przykład algebry Banacha z jedynką.
Jedynką w $B(X)$ jest operator identycznościowy $I$. Zatem mówiąc o odwracalności operatora można myśleć tu o odwracalności w dwóch sensach: odwracalności jako odwzorowania (czyli bijektywności)
oraz odwracalności w sensie algebraicznym, czyli jako o istnieniu operatora odwrotnego w algebrze $B(X)$. Natomiast, z Twierdzenia Banacha-Steinhausa wynika, że 
jeżeli operator $T\in B(X)$ jest odwracalny jako odwzorowanie, to odwzorowanie odwrotne $T^{-1}$ jest automatycznie operatorem ograniczonym, czyli $T\in B(X)$. 
Zatem odwracalności w obu sensach są sobie równoważne.
\end{rem}
%Ogólnie może się zdarzyć, że zarówno $\rho(A)$, jak i $\sigma(A)$ są zbiorami pustymi. 
 
Jeśli $T$ jest operatorem ograniczonym, to \emph{promień spektralny} $r(T)$ dany jest wzorem
\begin{equation}\label{promien spektralny operatora ograniczonego}
r(T) = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|T^n\|}.
\end{equation}
Zawuażmy, że promień spektralny jest liczbą skończoną. De facto, z submultiplikatywności normy wynika, że 
$$
r(T)\leq \|T\|. 
$$
\begin{lem}[Lemat Neumana]\label{lemat Neumana}
Niech $T\in B(X)$ będzie operatorem ograniczonym na przestrzeni Banacha $X$ oraz niech  $r(T)<1$.  Wtedy operator $I-T$ jest odwracalny w $B(X)$, a jego odwrotność wyraża się wzorem 
$$
(I-T)^{-1}=\sum_{n=0}^\infty T^n.
$$
\end{lem}
\begin{proof}
Niech  $T\in B(X)$ i $r(T)=\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|T^n\|}<1$. Te drugie założenie zastosowane do kryterium  Cauchy'ego-Hadamarda oznacza, że szereg $\sum_{n=0}^{\infty} \|T^n\|$ jest zbieżny.
Czyli szereg $\sum_{n=0}^{\infty} T^n$ jest bezwzględnie zbieżny,  więc w szczególności zbieżny (gdyż $B(X)$ jest przestrzenią zupełną). 
Skoro $\sum_{n=0}^{\infty} \|T^n\|<\infty$, to $\|T^n\|\rightarrow 0$, czyli  $T^n\rightarrow 0$. Zatem 
$$
(I-T)\sum_{k=0}^\infty T^k=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sum_{k=0}^n T^k -\sum_{k=0}^n T^{k+1}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(I-T^{n+1}\right)=I.
$$ 
Analogicznie można wykazać $\sum_{k=0}^\infty T^k\cdot(I-T)=I$. Stąd operator $I-T$ jest odwracalny i jego odwrotnośc wyraża się wzorem $(I-T)^{-1}=\sum_{n=0}^\infty T^n.$ 
\end{proof}
\begin{rem}
Zauważmy, że nierówność $\|T\|<1$ implikuje, że $\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|T^n\|}<1$, ale warunki te nie są równoważne. Zazwyczaj powyższy lemat formułuje się przy  założeniu, że $\|T\|<1$,
gdyż wtedy przypomina on znaną ze szkoły formułę sumę liczbowego szeregu geometrycznego: jeżeli $|q|<1$, to szereg geometryczny $\sum_{n=0}^\infty q^n$ jest zbieżny i jego suma wynosi $(1-q)^{-1}$. 
\end{rem}
\begin{thm}\label{thm:properties_of_sepctrum}
Niech $T\in B(X)$ będzie operatorem ograniczonym na przestrzeni Banacha $X$. 
\begin{enumerate}
    	  \item Zbiór rezolwenty $\rho(T)$ jest otwarty, a więc widmo $\sigma(T)$ jest zbiorem domkniętym.
				\item Odwzorowanie $\rho(T)\ni\lambda \rightarrow R(\lambda, T)\in B(X)$ jest holomorficzne w $\rho(T)$. Ponadto, dla $k \in \mathbb{N}$ zachodzi
    \begin{equation}\label{pochodna}
    \frac{d^k}{d\lambda^k} R(\lambda, T) = (-1)^k k! R(\lambda, T)^{k+1}.
    \end{equation}
    \item Jeżeli $T \in B(X)$, to dla każdego skalara $\lambda \in \mathbb{C}$ spełniającego nierówność $|\lambda| > r(T)$, mamy $\lambda \in \rho(T)$ oraz
    \begin{equation}\label{R(lambda,T)}
    R(\lambda, T) = \sum_{n=0}^\infty \lambda^{-(n+1)} T^n,
    \end{equation}
    gdzie szereg ten jest zbieżny w normie operatorowej. 
    %Szereg ten jest  rozbieżny, gdy $|\lambda|<r(T)$. 
    Ponadto
    \begin{equation}\label{r(T)}
    r(T) = \sup\{ |\lambda| \,:\, \lambda \in \sigma(T) \}.
    \end{equation}
    \item Widmo $\sigma(T)$ jest zawsze niepustym zbiorem zwartym. W szczególności zbiór rezolwenty $\rho(T)$ jest otwartym otoczeniem nieskończoności.
\end{enumerate}
\end{thm}
\begin{proof}
(1) i (2). Niech $\mu\in\rho(T)$. Zauważmy, że
$$
\lambda I-T=\Big(I-(\mu-\lambda)R(\mu,T)\Big)(\mu I -T)
$$
Ponadto, jeżeli $|\mu - \lambda|<\|R(\mu,T)\|^{-1}$, czyli $\|(\mu-\lambda)R(\mu,T)\|<1$, to stosując lemat Neumanna,
operator $I-(\mu-\lambda)R(\mu,T)$ jest odwracalny oraz 
$$\Big(I-(\mu-\lambda)R(\mu,T)\Big)^{-1}=\sum_{n=0}^\infty(\mu-\lambda)^nR(\mu,T)^{n}.
$$
Zatem operator $\lambda I-T$ jako iloczyn operatorów odwracalnych $[(I-(\mu-\lambda)R(\mu,T)]\cdot (\mu I -T)$ jest odwracalny i jego odwrotność to 
$$
 (\lambda I-T)^{-1}=(\mu I -T)^{-1}\cdot [(I-(\mu-\lambda)R(\mu,T)]^{-1}=R(\mu,T)\cdot\sum_{n=0}^\infty(\mu-\lambda)^nR(\mu,T)^{n}.
$$
 Konkludując, jeśli $|\mu - \lambda|<\|R(\mu,T)\|^{-1}$, to $\lambda \in \rho(T)$ oraz 
\begin{equation}\label{R(lambda,T)2}
R(\lambda,T)=\sum_{n=0}^\infty(\mu-\lambda)^nR(\mu,T)^{n+1}
\end{equation}
 Zatem $\rho(T)$ jest zbiorem otwartym i stąd $\sigma(T)$ jest zbiorem domkniętym. Ponadto $R(\cdot, T)$ jest funkcją analityczną na $\rho(T)$ i z porównania formuły \eqref{R(lambda,T)2} z rozwinięciem w szereg Taylora $R(\lambda, T)$ otrzymujemy \eqref{pochodna}.

(3). Niech $T\in B(X)$ oraz $|\lambda|>r(T)=\lim\sup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\|T^n\|}$. 
Ten drugi warunek oznacza, że operator $\frac{T}{\lambda}$ spełnia założenia lematu Neumanna, czyli operator  $(I-\frac{T}{\lambda})$ jest odwracalny i jego odwrotność wynosi
$\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{T}{\lambda})^n$. Zatem operator
$\lambda I - T=\lambda(I-\frac{T}{\lambda})$ jest odwracalny jako iloczyn operatora odwracalnego przez liczbę różną od zera,
oraz
$$
(\lambda I - T)^{-1}=\frac{1}{\lambda}\left(I-\frac{T}{\lambda}\right)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{T^n}{\lambda^{n+1}}.
$$
Stąd $\lambda\in \rho(T)$ oraz   \eqref{R(lambda,T)}.

  Zatem $r(T)\geq\sup_{\lambda\in\sigma(T)}|\lambda|$. Aby dowieść odwrotnej nierówności, zauważmy, że funkcja $R(\cdot, T)$ jest analityczna w obszarze $|\lambda|>\sup_{\mu\in\sigma(T)}|\mu|$, który jest otoczeniem nieskończoności, i na tym obszarze rozwija się w szereg Laurenta. To rozwinięcie musi być zgodne z \eqref{R(lambda,T)}.
	Zatem $\lim_{n\rightarrow\infty}\|\lambda \lambda^{-n}T^n\|=0$ dla $|\lambda|>\sup_{\mu\in\sigma(T)}|\mu|.$
	Dla dowolnego $\epsilon$ istnieje $\lambda$ takie, że $\sup_{\mu\in\sigma(T)}|\mu|\leq|\lambda|\leq\epsilon+\sup_{\mu\in\sigma(T)}|\mu|$. 
	Zatem dla dostatecznie dużych $n$ mamy 
$$
\|T^n\|\leq|\lambda|^n\leq\left(\epsilon+\sup_{\mu\in\sigma(T)}|\mu|\right)^n
$$
co dowodzi, że $r(T)\leq\sup_{\lambda\in\sigma(T)}|\lambda|$.


(4). Widmo jest zbiorem ograniczonym na mocy wzoru \eqref{r(T)} oraz domkniętym na mocy 1). Zatem potrzebujemy jedynie wykazać niepustość $\sigma(T)$.
Załóżmy nie wprost, że $\sigma(T)=\emptyset$, czyli $\rho(T)=\C$. Innymi słowy rezolwenta $R(\cdot, T):\C \to  B(X)$ jest \emph{funkcją całkowitą},
 czyli analityczną na całej płaszczyźnie zespolonej. Ponadto rezolwenta zbiega do zera w nieskończoności. Rzeczywiście, dla $|\lambda|> \|T\|$, z rozwinięcia 
\eqref{R(lambda,T)} dostajemy
\begin{align*}
\|R(\lambda,T)\|
&=\|\sum_{n=0}^\infty \lambda^{-(n+1)} T^n\|
\leq  \frac{1}{|\lambda|} \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{\|T\|}{|\lambda|}\right)^{n}= \frac{1}{|\lambda|-\|T\|}\longrightarrow 0, \text{ gdy } |\lambda|\to \infty. 
\end{align*}
W szczególności więc, rezolwenta jest funkcją ograniczoną. 
	Twierdzenie Liouville’a głosi, że każda zespolona funkcja całkowita, która jest ograniczona, jest stała.
		Zatem na mocy Twierdzenia Liouville’a $R(\cdot, T)$ jest funkcją stałą tożsamościowo równą zero:
	$$
R(\cdot, T)\equiv 0.
	$$
	Prowadzi to do sprzeczności z faktem, że $R(0, T)=T^{-1}$, bo operator odwracalny nie może być zerem. 
		
%	Powyższe zastosowanie Twierdzenia Liouville’a wymaga pewnego uzasadnienia, gdyż  jego klasyczne  sformułowanie  dotyczy funkcji o wartościach zespolonych. Natomiast rezolwenta $R_a$ jest funkcją zmiennej zespolonej o wartościach operatorowych (w algebrze Banacha $A$). 
%	Zauważmy jednak, że dla dowolnego funkcjonału $f\in A^*$, z przestrzeni dualnej do przestrzeni Banacha $A$, na mocy warunków 1), 2) funkcja 
%	$$
%	\C\ni \lambda \longmapsto f(R_a(\lambda))\in \C
%	$$
%	jest różniczkowalna w sensie zespolonym (a więc analityczna) i znika w nieskończoności.
%	Zatem na mocy klasycznego Twierdzenia Liouville’a
%	$f(R_a(\lambda))=0$ dla każdego $\lambda\in \C$ i $f\in A^*$. Jako że funkcjonały z $A^*$ rozdzielają elementy $A$, patrz Wniosek  \ref{cor:functional_from_vector}, otrzymujemy, że $R_a(\lambda)=0$ dla każdego $\lambda\in \C$.
\end{proof}

Rezolwenta dowolnego operatora $T$ spełnia \emph{tożsamość rezolwenty}:
\begin{equation}\label{tozsamosc resolwenty}
R(\lambda, T)-R(\mu, T)=(\mu-\lambda)R(\lambda, T)R(\mu,T),
\end{equation}
dla $\lambda, \mu\in \rho(T)$; z której w szczególności wynika, że operatory $R(\lambda, T)$ i $R(\mu, T)$ są przemienne. Dla każdego ograniczonego operatora widmo jest zwartym podzbiorem zbioru liczb zespolonych $\mathbb{C}$ takim, że $\sigma(T)\neq \emptyset$. Oczywiście, promień spektralny spełnia $r(T)\leq\|T\|.$ Aby pokazać, że pewna liczba zespolona należy do widma operatora, często używa się następującego Twierdzenia.
\begin{thm}\label{3.17}
Niech $T\in B(X)$ będzie operatorem ograniczonym. Jeśli $\lambda_n\rightarrow\lambda$, $\lambda_n\in\rho(T)$, to $\lambda\in\sigma(T)$ wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg $\left\{R(\lambda_n, T)\right\}$ jest nieograniczony. Ponadto, jeśli $\lambda\in\rho(T)$, to $dist(\lambda, \sigma(T))=\frac{1}{r(R(\lambda, T))}\geq\frac{1}{\|R(\lambda, T)\|}$.
\end{thm}
\begin{proof}
Aby dowieść pierwszej części załóżmy, że $\lambda\in\rho(T)$. Wtedy z ciągłości $R(\cdot, T)$ na zbiorze $\rho(T)$ wynika, że $R(\lambda, T)$ jest skończony. Z drugiej strony jeśli $\|R(\lambda_n, T)\|\leq M$ dla każdego $n$, to z  wzoru \eqref{R(lambda,T)2} wnioskujemy, że każda $\lambda_n$ jest środkiem dysku $|\mu-\lambda_n|<\frac{1}{M}$, w którym szereg jest zbieżny i ta granica definiuje resolwentę. Ponieważ promienie tych dysków nie zależą od $n$, $\lambda$ zawiera się w niektórych z nich, więc $\lambda\in\rho(T)$.

Aby dowieść drugiej części, zauważmy, że dla $\lambda\in\rho(T)$ mamy
\begin{equation}
\sigma(R(\lambda, T))\setminus\{0\}=\left\{\frac{1}{\lambda - \mu};\mu\in\sigma(T)\right\}.
\end{equation}
Rzeczywiście, dla $\mu\neq 0$ zachodzi 
\begin{align*}
    (\alpha I-R(\lambda, T))f&=\alpha\left(\left(\lambda-\frac{1}{\alpha}\right)I-T\right)R(\lambda, T)f\\
    &=\alpha R(\lambda, T)\left(\left(\lambda-\frac{1}{\alpha}\right)I-T\right)f.
\end{align*}
 Zatem $0\neq \alpha\in\sigma(R(\lambda, T))$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\lambda-\frac{1}{\alpha}\in\sigma(T)$. Stąd dla $\lambda\in\rho(T)$ mamy
\begin{align*}
\mathrm{dist}(\lambda, \sigma(T))&=\inf\{|\lambda-\mu|;\mu\in\sigma(T)\}=\left(\sup\left\{\frac{1}{|\lambda-\mu|};\mu\in\sigma(T)\right\}\right)^{-1}\\
&=(\max\{|\alpha|;\alpha\in\sigma(R(\lambda, T))\})^{-1}=\frac{1}{r(R(\lambda, T))}\geq\frac{1}{\|R(\lambda, T)\|}.
\end{align*}
\end{proof}

Widmo operatora zwykle dzieli się na kilka podzbiorów. 
\begin{itemize}
    \item \emph{Widmo punktowe} $\sigma_p(T)$ — zbiór takich $\lambda \in \sigma(T)$, dla których $\lambda I - T$ nie jest różnowartościowy. Czyli $\sigma_p(T)$ jest zbiorem wszystkich wartości własnych operatora $T$.
    \item \emph{Widmo ciągłe} $\sigma_c(T)$ — zbiór takich $\lambda \in \sigma(T)$, dla których $\lambda I - T$ jest różnowartościowy i jego obraz jest gęsty w $X$, ale nie jest równy całemu zbiorowi $X$.
    \item \emph{Widmo resztkowe} $\sigma_r(T)$ — zbiór takich $\lambda \in \sigma(T)$, dla których obraz $\lambda I - T$ nie jest gęsty w $X$.
		\item \emph{Widmo brzegowe} $\sigma_{\mathrm{per}}(T)$ —  zbiór takich $\lambda \in \sigma(T)$, dla których $|\lambda|=r(T)$
\end{itemize}


Ogólnie, widmo operatora zawiera liczby, które nie są wartościami własnymi. Chyba, że jest to operator skończonego rzędu:
\begin{center}
$T$ jest skończonego rzędu, to $\sigma(T)=\sigma_p(T)$ i jest to zbiór skończony.
\end{center}
Powyższa równość $\sigma(T)=\sigma_p(T)$ wynika z faktu, iż dla operatora liniowego $T:\C^n\to \C^n$ suma wymiarów jądra oraz obrazu równa się wymiarowi całej przestrzeni:
$$
n=\dim(\ker(T))+\dim(T(\C^n)).
$$
Z tej równości wynika, że dla operatorów na przestrzeniach skończenie wymiarowych $T:\C^n\to \C^n$ następujące warunki są równoważne
\begin{enumerate}
\item $T$ jest odwracalny,
\item $T$ jest różnowartościowy,
\item $T$ jest surjekcją.
\end{enumerate}

O operatorach zwartych myślimy jako o granicy ciągu operatorów skończonego rzędu, patrz Wniosek \ref{cor:limit_of_finite_rank} i Uwaga \ref{rem:limit_of_finite_rank}. 
Z tego punktu widzenia poniższe twierdzenie opisuje jak zachowuje się widmo takiej granicy.
Poniższe twierdzenie, które można znaleźć w wielu źródłach, patrz np. \cite[Sekcja 8.3]{Kreyszig}, \cite[Sekcja 7.7]{Conway}, przedstawia podstawowe fakty dotyczące widma operatorów zwartych.
\begin{thm}\label{thm:spectral_for_compacts}
 Niech $X$ będzie przestrzenią Banacha, $T$ będzie operatorem zwartym działającym na $X$, a $\sigma(T)$ oznacza widmo operatora $T$. Wówczas:
\begin{enumerate}
    \item Każda niezerowa wartość $\lambda \in \sigma(T)$ jest wartością własną operatora $T$.
    \item Dla każdej niezerowej $\lambda \in \sigma(T)$ istnieje taka liczba całkowita $m$, że
  $$
  \ker (T - \lambda I)^m = \ker (T - \lambda I)^{m+1},
  $$
  a ta podprzestrzeń jest skończenie wymiarowa. Nazywa się ją \textit{uogólnioną przestrzenią własną} dla $\lambda$.
    \item  Jedynym możliwym punktem skupienia widma $\sigma(T)$ jest $\lambda =0$.
    \item Widmo $\sigma(T)$ jest co najwyżej przeliczalnie nieskończone.
    \item Jeśli wymiar przestrzeni $X$ jest nieskończony, to $\sigma(T)$ musi zawierać punkt $0$.
 %   \item Każda niezerowa $\lambda \in \sigma(T)$ jest biegunem funkcji resolwenty   $$   \rho(T) \ni \zeta \mapsto R(\zeta, T) = (\zeta I - T)^{-1}. $$
\end{enumerate}
\end{thm}

\section{Operatory dodatnie na kratach Banacha}
W poniższej sekcji możemy rozważać zarówno rzeczywiste jak i zespolone kraty wektorowe. Będziemy rozróżniać te przypadki w sposób jawny tylko jeśli będzie to konieczne. 
 
\begin{dfn}
Operator liniowy $T:X\rightarrow Y$ zadany na kratach wektorowych $X$, $Y$ nazywamy \emph{dodatnim} jeśli wektorom dodatnim przypisuje wektory dodatnie, czyli  gdy $x\geq 0$ implikuje, że $Tx\geq 0$. 
Piszemy wtedy symbolicznie $ T\geq 0 $. Zbiór wszystkich operatorów dodatnich, zadanych na kratach wektorowych $X$ i $Y$ oznaczamy $L_+(X,Y)$.
\end{dfn}
\begin{exm}
Najprostszym przykładem operatora dodatniego jest operator identycznościowy $I:X\rightarrow X$ z Przykładu \ref{operator identycznosciowy}. Ten operator przeprowadza każdy wektor  na siebie, czyli oczywiście dla wektorów dodatnich zwraca te same dodatnie wektory. 
\end{exm}
\begin{exm}
Niech $a$ będzie funkcją liczbową ciągłą zadaną na zwartej przestrzeni metrycznej $M$. \emph{Operator mnożenia} $T:C(M)\rightarrow C(M)$ przez funkcję $a$, czyli operator dany wzorem 
$$
Tx(t)=a(t)x(t),\qquad\text{  dla każdego $t\in M$,}
$$
jest dodatni, tylko wtedy, gdy funkcja $a$ jest dodatnia na całej dziedzinie. Przypomnijmy, że $x\geq 0$ oznacza, że $x(t)\geq 0$ dla każdego $t\in M$. Zatem jeśli $a\geq 0$, to rzeczywiście dodatnie wektory $x\geq 0$ operator $T$ 
przeprowadza na dodatnie wektory $a x \geq0$. 
Natomiast jeśli $a(t)<0$ w pewnym punkcie $M$, to z ciągłości funcji $a$ mamy taką nierówność na pewnym  otwartym $U$ otoczeniu $t$. Dla dowolnej funkcji dodtatniej $x\geq 0$ z nośnikiem zawartym w $U$ mamy $Tx<0$ na zbiorze $U$, czyli $T$ nie jest dodatni. 
\end{exm}
\begin{exm} Niech $\varphi:M\to M$ będzie odwzorowaniem ciągłym na zbiorze zwartym $M$.  \emph{Operator kompozycji} $T:C(M)\rightarrow C(M)$ z funkcją $\varphi$, czyli operator  zadany wzorem 
$$
Tx(t)=x(\varphi(t)),\qquad \text{ dla każdego $t\in M$},
$$
jest zawsze dodatni.
\end{exm}
Operator różniczkowania z Przykładu \ref{operator roznickowania} nie należy do klasy operatorów dodatnich.
\begin{exm}
Operator różniczkowania $T:C^{(1)}[-1, 1]\rightarrow C[-1,1]$ zadany wzorem $Tx(t)=x'(t)$ dla każdego $t\in[-1,1]$ nie jest operatorem dodatnim. Zauważmy, że funkcję $x(t)=(t-1)^2$, przyjmującą wartości dodatnie na całej dziedzinie przeprowadza na funkcję $x'(t)=2(t-1)$, która na przykład dla $t=0$ przyjmuje wartość $x'(0)=-2<0.$
\end{exm}
Całkowanie często opisuje się jako operację odwrotną do różniczkowania, więc można by się spodziewać, że operator całkowania z Przykładu \ref{operator calkowania} również nie będzie dodatni. Jednakże całka z funkcji dodatniej jest dodatnia. Zatem operator całkowania w przeciwieństwie do operatora różniczkowania jest dodatni.

%\begin{itemize}
%\item\emph{dodatnim} jeśli dla każdego dodatniego wektora $0\leq x$ przyjmuje wektor dodatni $0\leq Tx$. Taki operator oznaczamy symbolicznie $0\leq T$; 
%\item\emph{regularnym} jeśli jest różnicą dwóch operatorów dodatnich $T=S-R$, gdzie $0\leq S,R$;
%\item\emph{porządkowo ograniczony} jeżeli przekształca zbiory porządkowo ograniczone, na zbiory porządkowo ograniczone. Czyli innymi słowami $\forall_{a,b\in X}\;\exists_{m,M\in Y}\quad T[a,b]\subseteq[m,M]$.
%\end{itemize}
%Zbiory wszystkich operatorów dodatnich, regularnych i porządkowo ograniczonych, zadanych na kratach wektorowych $X$ i $Y$, oznaczamy odpowiednio $L_+(X,Y), L_r(X,Y), L_b(X,Y)$.
%\end{dfn}

Zauważmy najpierw, że zespolone operatory dodatnie są w rzeczywistości niczym innym jak kompleksyfikacją rzeczywistych operatorów dodatnich.
\begin{prop}\label{prop:complex_vs_real_positive}
Niech $X$ i $Y$ będą rzeczywistymi kratami wektorowymi, a  $X_\C=X+iX$ oraz $Y_\C=Y+iY$ ich kompleksyfikacjami. 
Mamy bijektywną odpowiedniość 
$$
L_+(X,Y)\ni T\to T_{\C}\in L_+(X_{\C},Y_{\C})
$$ 
między rzeczywistymi i zespolonymi operatorami dodatnimi, gdzie
$$
T_{\C} (x+i y)=  T x+ i Ty, \qquad x,y\in X.
$$ 
\end{prop}
\begin{proof} Nietrudno sprawdzić, że dla dowolnego operatora $\R$-liniowego $T:X\to Y$ powyższy wzór definije operator $\C$-liniowy $T_{\C}:X_{\C}\to Y_{\C}$.
Ponadto $T$ jest dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy $T_\C$ jest dodatni, gdyż $TX_+=T_{C} X_+$. Zatem trzeba pokazać, że dowolny operator $T_{\C}:X_{\C}\to Y_{\C}$
jest kompleksyfikacją pewnego operatora z $X$ w $Y$. Ale jeśli $T_{\C}$ jest dodatni, czyli $T_{\C} X_+\subseteq Y_+$, to stąd iż $X=X_+- X_+$ i $Y=Y_+- Y_+$ oraz z addytywności  
 $T_{\C}$ otrzymujemy, że 
$$
T_{\C} X= T_{\C} (X_+- X_+)=T_{\C} (X_+) - T_{\C} (X_+)\subseteq Y_+- Y_+=Y.
$$
Zatem $T_{\C}$ jako przekształca rzeczywistą podprzestrzeń $X\subseteq X_\C$ na rzeczywistą podprzestrzeń $Y\subseteq Y_\C$.
 Stąd jego obcięcie $T:=T_{\C}|_{X}$ jest rzeczywistym operatorem linowym z $X\to Y$. Ponadto,  dla dowolnych $x,y\in X$, z $\C$-liniowości $T_{\C}$ mamy
$$
T_{\C} (x+i y)=T_{\C}x+i T_{\C}y=T x+ i Ty,
$$
co kończy dowód.
\end{proof}
Następujące warunki charakteryzujące dodatniość operatora są nieustannie wykorzystywane, np. w teorii całki.

\begin{prop}\label{operatory dodatnie}
Dla operatora liniowego $T:X\rightarrow Y$ określonego na kratach Banacha (rzeczywistych lub zespolonych) następujące warunki są równoważne:
\begin{enumerate}
\item $T$ jest dodatni;
\item $T$ jest monotoniczny, tzn. nierówność $x\leq y$ implikuje $Tx\leq Ty$ dla każdych $x,y\in X$;
\item $T$ jest podmodułowy, tzn. $|Tx|\leq T|x|$ dla każdego $x\in X$ .
\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{proof}
(1)$\Rightarrow$(2). W nierówności $x\leq y$ odejmijmy $x$, a następnie nałóżmy na nią operator $T$. Otrzymujemy $T(y-x)\geq 0$, zatem z liniowości operatora i po dodaniu $Tx$ dostajemy monotoniczność $Tx\leq Ty$.

(2)$\Rightarrow$(3).  Rozważmy najpierw przypadek rzeczywisty. Na nierówność $-|x|\leq x \leq |x|$ nałóżmy $T$. Mamy wtedy $-T|x|=T(-|x|)\leq Tx\leq T|x|$. Zatem, gdy pierwszą nierówność pomnożymy przez $-1$ otrzmamy $T|x|\geq -Tx$. Otrzymujemy więc $Tx, -Tx \leq T|x|$, co oznacza, że 
$$
|Tx|=Tx\lor (-Tx)\leq T|x|.
$$
W przypadku zespolonym,  korzystając ze Stwierdzenia \ref{prop:complex_vs_real_positive} potrzebujemy rozważyć kompleksyfikację $T_\C$ rzeczywistego operatora dodatniego $T$.
Dla dowolnych $x,y\in X$, z definicji modułu zespolonego, patrz \eqref{eq:complex_module},  mamy
\begin{align*}
|T_\C(x+iy)|&=|Tx+iTy|=\sup_{\theta\in [0,2\pi]}(Tx\cos\theta+Ty\sin\theta)
=\sup_{\theta\in [0,2\pi]}T(x\cos\theta+y\sin\theta).
\end{align*}
Skoro $x\cos\theta+y\sin\theta\leq|x+iy|$, to z monotoniczności $T$ (która wynika z monotoniczności $T_\C$)
dostajemy $T(x\cos\theta+y\sin\theta)\leq T|x+iy|=T_\C|x+iy|$. Zatem
$$
|T_\C(x+iy)|\leq T_\C|x+iy|.
$$

(3)$\Rightarrow$(1). Dla dodatniego wektora $x\geq 0$ zachodzi $0\leq |Tx|\leq T|x|=Tx$.  
\end{proof}

\begin{prop}\label{norma operatora dodatniego}
Norma dodatniego operatora $T:X\rightarrow Y$ na kratach Banacha $X$ i $Y$ realizuje się na wektorach dodatnich, to znaczy
$$
\|T\|=\sup_{\substack{x\in X_+\\ \|x\|=1}}\|Tx\|.
$$
\end{prop}

\begin{proof}
Nierówność w jedną stronę wynika wprost z definicji normy operatora (Definicja \ref{||T||}). Mianowicie
$$
\|T\|=\sup_{\|x\|=1}\|Tx\|\geq\sup_{\substack{x\in X_+\\ \|x\|=1}}\|Tx\|.
$$
Przeciwną nierówność otrzymujemy  korzystając z Uwagi \ref{uwaga norma} (lub wprost z definicji normy \eqref{norma zespolona} w przypadku zespolonym) oraz Stwierdzenia \ref{operatory dodatnie}, gdyż 
$$
\|T\|=\sup_{\|x\|=1}\|Tx\|=\sup_{\|x\|=1}\||Tx|\|\leq\sup_{\|x\|=1}\|T|x|\|=\sup_{\substack{x\in X_+\\ \|x\|=1}}\|Tx\|.
$$
\end{proof}
\begin{rem}
Z powyższego stwierdzenia wynika, że normy zespolonego operatora dodatniego i jego rzeczywistego odpowiednika pokrywają się. 
Dokładniej, na mocy Stwierdzenia \ref{prop:complex_vs_real_positive} możemy zapisać zespolony operator dodatni $T_\C$ jako kompleksyfikację 
rzeczywsitego operatora dodatniego $T$. Wzór ze Stwierdzenia \ref{norma operatora dodatniego} obowiązuje dla obu tych operatorów. Zatem skoro 
$T_\C|_{X}=T$, to 
$$
\|T_\C\|=\sup_{\substack{x\in X_+\\ \|x\|=1}}\|T_\C x\|=\sup_{\substack{x\in X_+\\ \|x\|=1}}\|Tx\|=\|T\|.
$$
\end{rem}


\begin{thm}\label{thm:positive_is_bounded}
Każdy dodatni operator $T:X\rightarrow Y$ określony na kratach Banacha $X$, $Y$ jest ograniczony.
\end{thm}
\begin{proof}
Załóżmy nie wprost, że operator $T$ jest nieograniczony. Wtedy istnieje ciąg dodatnich wektorów $\{x_n\}_{n=1}^\infty\subseteq X_+$ o normie $\|x_n\|=1$ takich, że $n^3\leq\|Tx_n\|$. Wówczas szereg $\sum_{n=1}^\infty\frac{x_n}{n^2}$ jest bezwzględnie zbieżny w $X$, gdyż 
$$
\sum_{n=1}^\infty \frac{\|x_n\|}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}\leq \infty.
$$ Zatem z zupełności przestrzeni $X$ istnieje $x=\sum_{n=1}^\infty \frac{x_n}{n^2}$. Jednakże dla każdego $n\in \N$ z tego, że $\frac{x_n}{n^2}\leq x$, mamy $0\leq T\frac{x_n}{n^2}\leq Tx$, zatem $n\leq \frac{1}{n^2}\|Tx_n\|=\|T\frac{x_n}{n^2}\|\leq\|Tx\|$, 
co prowadzi do sprzeczności, gdy przejdziemy z $n$ do nieskończoności.
\end{proof}
\begin{rem} Nietrudno zauważyć, że zbiór operatorów dodatnich $L_+(X,Y)$ tworzy stożek w przestrzeni operatorów liniowych $L(X,Y)$ na kratach wektorowych $X$ i $Y$. Zatem  $L(X,Y)$ tworzy uporządkowaną przestrzeń wektorową   względem relacji 
$$
T\leq S \stackrel{\textrm{def}}{\Longleftrightarrow} 0\leq S-T,
$$
patrz Stwierdzenie \ref{pw z stozkiem jest upw}. Jeśli $X$ i $Y$ są kratami Banacha, to no mocy Twierdzenia \ref{thm:positive_is_bounded} mamy 
$L_+(X,Y)\subseteq B(X,Y)$ i wtedy przestrzeń operatorów ograniczonych również tworzy uporządkowaną przestrzeń wektorową.
\end{rem}

%\begin{thm}
%Addytywny operator liniowy $T:X_+\rightarrow Y_+$ określony na stożkach dodatnich krat Banacha $X$, $Y$ rozszeża się jednoznacznie do operatora dodatniego $\overline{T}:X\rightarrow Y$, zdefiniowanego wzorem $\overline{T}x=Tx_+ - Tx_-$. 
%\end{thm}
%\begin{proof}
%jcj
%\end{proof}




\section{Twierdzenie Perrona-Frobeniusa dla dodatnich operatorów zwartych}
Jako poważniejsze zastosowanie teorii krat Banacha, udowodnimy abstrakcyjną wersję twierdzenia Perrona–Frobeniusa.
Twierdzenie to dotyczy własności spektralnych, dlatego będziemy tu rozważać wyłącznie zespolone kraty Banacha.
Z drugiej strony dotyczy ono operatorów dodatnich, zatem jak wytłumaczyliśmy powyżej, przypadek rzeczywisty
można zawsze skomplesyfikować, a co więcej każdy przypadek zespolony jest de facto taką kompleksyfikacją, patrz Stwierdzenie \ref{prop:complex_vs_real_positive}.

Zacznijmy od opisu jak rezolwenta zachowuje się względem dodatniości.
\begin{prop}
Niech $0\leq T\in B(X)$ i niech $r(T)$ będzie jego promieniem spektralnym. Wtedy 
\begin{enumerate}
\item Resolwenta $R(\lambda, T)$ jest dodatnia dla $\lambda>r(T)$.
\item Jeśli $|\lambda|>r(T)$, to dla każdego $f\in X$ zachodzi 
\begin{equation}\label{ograniczenie}
|R(\lambda, T)f|\leq R(|\lambda|, T)|f|.
\end{equation}
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}
(1). Niech  $\lambda >r(T)$. Przypomnijmy rozwinięcie w szereg Neumana \eqref{R(lambda,T)} 
$$
R(\lambda, T)=\sum_{n=0}^\infty\lambda^{-(n+1)}T^n.
$$
Z dodatniości $T$ oraz $\lambda$ wynika dodatniość sum cześciowych $\sum_{n=0}^N\lambda^{-(n+1)}T^n$.  Zatem z domknięcia stożka wektorów dodatnich wynika
dodatniość szeregu $\sum_{n=0}^\infty\lambda^{-(n+1)}T^n$, czyli granicy ciągu sum częściowych.

(2). Drugi punkt wynika podobnie z nierówności trójkąta dla modułu i jego ciągłości
\begin{align*}
|R(\lambda,T)f|&=\left|\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=0}^N\lambda^{-(n+1)}T^nf\right|\leq\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=0}^N\left|\lambda^{-(n+1)}T^nf\right|\\
&\leq \lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=0}^N|\lambda|^{-(n+1)}T^n|f|=\sum_{n=0}^\infty|\lambda|^{-(n+1)}T^n|f|=R(|\lambda|, T)|f|.
\end{align*}
\end{proof}
Z podstawowych własności widma, patrz Twierdzenie \ref{thm:properties_of_sepctrum}, wynika, że widmo brzegowe 
$$
\sigma_{\mathrm{per}}(T)=\{\lambda \in \sigma(T): |\lambda|=r(T)\}
$$ 
jest niepustym zbiorem zwartym.  
Na ogół ten zbiór nie zawiera promienia spektralnego. 
W pierwszym kroku pokażemy, że zachodzi to jednak dla dowolnych operatorów dodatnich. 
Jest to kluczowy element klasycznego twierdzenia Perrona-Forbeniousa.
 
\begin{thm}
Niech $r(T)$ będzie promieniem spektralnym dodatniego operatora $T$ na kracie Banacha $X$. Wtedy $r(T)\in\sigma_{per}(T)\subseteq \sigma(T)$.
\end{thm}
\begin{proof}
Rozważmy ciąg $\lambda_n=r(T)+\frac{1}{n}$. Wtedy  $\lambda_n\in \rho(T)$ dla każdego $n$. W świetle Twierdzenia \ref{3.17} jeśli $\lim_{n\rightarrow\infty}\|R(\lambda_n, T)\|=\infty$, to ze zbieżności $\lambda_n\rightarrow r(T)$ wynika, że $r(T)\in\sigma(T)$. Jako, że widmo brzegowe jest niepuste, weźmy $\alpha\in\sigma(T)$ takie, że $|\alpha|=r(T)$ i zdefiniujmy $\mu_n=\frac{\alpha\lambda_n}{|\alpha|}$. Stąd $\mu_n\in\rho(T)$ i $\mu_n\rightarrow\alpha$. Znowu korzystając z Twierdzenia \ref{3.17} otrzymujemy $\lim_{n\rightarrow\infty}\|R(\mu_n, T)\|=\infty$. Następnie dla każdego $n$ wybierzmy wektor jednostkowy $z_n\geq0$, patrz Stwierdzenie \ref{norma operatora dodatniego}, spełniający $\|R(\mu_n, T)\|\geq\frac{1}{2}\|R(\mu_n, T)\|$. Wtedy ze wzoru \eqref{ograniczenie}, 
$|R(\lambda, T)z|\leq R(|\lambda|, T)|z|$, czyli $|R(\mu_n, T)z_n|\leq R(\mu_n, T)|z_n|$ i też 
$$\|R(\mu_n, T)\|\geq\|R(\mu_n, T)|z_n|\|\geq\|R(\mu_n, T)z_n\|\geq\frac{1}{2}\|R(\mu_n, T)\|,
$$ co dowodzi tezy.
\end{proof}


Przypomnijmy, że liczbę zespoloną $\lambda\in\mathbb{C}$ nazywamy \emph{wartością własną} operatora $T:X\to X$, jeśli
	istnieje niezerowy wektor $x\in X$ spełniający równanie $Tx=\lambda x$.
 Wtedy $x$ nazywamy \emph{wektorem własnym} operatora $T$ odpowiadającym wartości własnej $\lambda$.
Zbiór właności własnych operatora $T$ jest niczym innym jak jego widmem punktowym $\sigma_p(T)$.
Widmo punktowe zdefiniowaliśmy jako zbiór takich $\lambda \in \C$, dla których operator liniowy $\lambda I - T$ nie jest różnowartościowy. 
Ale $\lambda I - T$ nie jest różnowartościowy wtedy i tylko wtedy, gdy  jego jądro $\ker(\lambda I - T)\neq \{0\}$ jest nietrywialne, czyli gdy $\lambda$ jest wektorem własnym.
Reasumując
$$
\sigma_p(T)=\{\text{ wartości własne operatora }T\}
\subseteq \sigma(T)
$$
jest ważnym podzbiorem widma.
 
Kluczowym elementem tezy Twierdzenie Perrona - Frobeniusa jest to, że promień spektralny nie tylko należy
do widma, ale że jest jego wartością własną, której odpowiada dodatni wektor własny.
Aby uzyskać tę dodatkową własność w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych, potrzebujemy dodatkowego założenia, że rozważany operator jest zwarty.
W ten sposób otrzymujemy następującą wersję interesującego nas twierdzenia, którą w tej postaci udowodnili Krein i Rutman \cite{Krein-Rutman}.
\begin{thm}[Twierdzenie Perrona - Frobeniusa na kratach Banacha]\label{twierdzenie: perrona frobeniusa}
Jeśli operator dodatni $T:X\rightarrow X$  na kracie Banacha $X$ jest zwarty i jego promień spektralny jest dodatni $r(T)>0$, to $r(T)$ jest wartością własną operatora $T$ dla dodatniego wektora własnego.
\end{thm}
\begin{proof}
Załóżmy, że promień spektralny operatora $T$ jest dodatni $r(T)>0$ i rozważmy ciąg $\lambda_n=r(T)+\frac{1}{n}$. Wtedy dla $n$ dążących do nieskończoności $\lambda_n\rightarrow r(T)$ i $\|R(\lambda_n, T)\|\rightarrow\infty$. Co więcej dla każdego $n$ istnieje $z_n$ o normie $\|z_n\|=1$ takie, że $\|R(\lambda_n, T)z_n\|\geq\frac{1}{2}\|R(\lambda_n, T)\|$. Zdefiniujmy $x_n=\frac{R(\lambda_n, T)z_n}{\|R(\lambda_n, T)z_n\|}$, wtedy $x_n$ jest wektorem, którego norma $\|x_n\|\geq\frac{1}{2}$. Z przekształceń 
$$
Tx_n-r(T)x_n=(\lambda_n-r(T))x_n+Tx_n-\lambda_nx_n=\frac{x_n}{n}-\frac{z_n}{\|R(\lambda_n, T)z_n\|}
$$ 
otrzymujemy $\|Tx_n-r(T)x_n\|\rightarrow 0$, przy $n$ dążącym do nieskończoności. Na mocy zwartości operatora $T$, ciąg $\{Tx_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ ma podciąg zbieżny, który oznaczymy również przez $\{Tx_n\}_{n\in\mathbb{N}}$. Ostatecznie z rozważań powyżej, stąd, że $r(T)>0$ i ponieważ $\|x_n\|\geq 1$ otrzymujemy, że granica $\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=x>0$ spełnia $Tx=r(T)x$.
\end{proof}

Twierdzenie \ref{twierdzenie: perrona frobeniusa} w przypadku skończenie wymiarowym sprowadza się do klasycznej wersji Twierdzenia Perrona-Frobeniusa wyrażonego w języku macierzy.
Macierz kwadratową $A\in\mathbb{M}_n(\mathbb{C})$ możemy traktować jako operator liniowy $A:\C^n\to \C^n$, którego działanie jest zadane jako mnożenie macierzy przez wektor
$$
Ax=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_n
\end{array}\right] = 
\left[\begin{array}{c}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n\\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n\\
\vdots \\
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n
\end{array}\right].
$$
Skoro $\C^n$ ma skończony wymiar, to każdy operator na tej przestrzeni  ma skończony rząd, a więc jest operatorem zwartym, patrz Twierdzenia \ref{thm:finite_implies_compact}.
Ponadto, w przypadku macierzy stosuje się następującą nomenklaturę:
\begin{itemize}
\item Mówimy, że \emph{macierz $A\in\mathbb{M}_n(\C)$ jest dodatnia}, gdy wszystkie jej elementy są dodatnie $a_{i,j}\geq 0$. Zauważmy, że jest to równoważne temu, że operator $A:\C^n\to \C^n$
jest dodatni, gdzie $\C^n$ rozpatrujemy jako kratę wektorową z naturalnym porządkiem. 
\item Liczbę zespoloną $\lambda\in\mathbb{C}$ nazywamy \emph{wartością własną macierzy}, jeśli dla pewnego niezerowego wektora $x$ spełnione jest równanie macierzowe $Ax=\lambda x$. Wtedy wektor $x$ nazywamy \emph{wektorem własnym macierzy} $A$. Zatem  wartość własna i wektor własny macierzy są niejako  zdefiniowane jako wartość własna i wektor własny operatora odpowiadającego macierzy $A$.
\item \emph{Promień spektralny macierzy} $A$ jest  to maksimum modułów jej wartości własnych, czyli liczba $r(A)=\max_{\lambda\in \sigma_p(A)}|\lambda|$. 
Promień spektralny operatora $A:\C^n\to \C^n$, odpowiadającego macierzy $A$, jest zdefiniowany jako maksimum po całym widmie $\sigma(A)$. 
Ale dla operatorów na przestrzeniach skończenie wymiarowych $\sigma_p(A)=\sigma(A)$, patrz Twierdzenie \ref{thm:spectral_for_compacts}.
Czyli pojęcie promienia spektralnego dla macierzy i operatorów są zgodne.
\end{itemize}

Powyższa dyskusja pokazuje, że Twierdzenie \ref{twierdzenie: perrona frobeniusa} w przypadku macierzowym można wyrazić w następującej formie
\begin{cor}[Twierdzenie Perrona-Frobeniusa dla macierzy] Jeśli wszystkie elementy macierzy kwadratowej $A$ są dodatnie, to promień spektralny macierzy $A$ jest jej wartością własną i odpowiadający jej wektor własny ma współrzędne dodatnie.
\end{cor}

\begin{exm}\label{ex:positive_matrix}
Rozważmy dodatnią macierz 
$$
A=\left[\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0
\end{array}\right].
$$
Aby wyznaczyć jej wartości własne, musimy rozwiązać równanie $(A-\lambda I)x=0$ dla $x\neq0$, czyli znaleźć takie $\lambda\in \mathbb{C}$, dla których macierz $A-\lambda I$ nie jest odwracalna. Z obliczeń 
$$
0=\det(A-I\lambda)=-\lambda^3+1=-(\lambda-1)\left(\lambda+\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\right)\left(\lambda+\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\right)
$$ otrzymujemy więc, trzy wartości własne $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-\frac{1+i\sqrt{3}}{2}$ oraz $\lambda_3=-\frac{1-i\sqrt{3}}{2}$. Czyli promień spektralny macierzy $A$ wynosi 
$$
r(A)=\max\{|\lambda_1|, |\lambda_2|, |\lambda_3|\}=1.
$$
 Wobec tego promień spektralny $r(A)$ jest wartością własną macierzy $A$. 

 Aby znaleźć wektory własne $v_1, v_2, v_3$ odpowiadające wartościom własnym $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ macierzy $A$ rozwiążemy równania macierzowe
 $$
(A-\lambda_j I)v=0
$$
$$
\left[\begin{array}{ccc}
-\lambda_j & 1 & 0\\
0 & -\lambda_j & 1\\
1 & 0 & -\lambda_j
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
v_{j1} \\
v_{j2} \\
v_{j3} 
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
0 \\
0\\
0 
\end{array}\right],
$$
pamiętając, że wektory własne nie mogą być zerowe $v_j\neq 0$ dla każdego $j=1,2,3$. Zatem dla każdego $j=1,2,3$ musimy rozwiązać układ równań 
$$
\left\{\begin{array}{l}
-\lambda_j v_{j1} + v_{j2}=0\\
-\lambda_j v_{j2} + v_{j3}=0\\
v_{j1} -\lambda_j v_{j3}=0
\end{array}\right..
$$
Po uproszczeniu otrzymujemy odpowiednio
\begin{multicols}{3}
$$
\lambda_1=1
$$
$$
\left\{\begin{array}{l}
v_{11} - v_{13}=0\\
v_{12} - v_{13}=0
\end{array}\right.
$$\columnbreak
$$
\lambda_2=-\frac{1+i\sqrt{3}}{2}
$$
$$
\left\{\begin{array}{l}
v_{21} + \frac{1+i\sqrt{3}}{2}v_{23}=0\\
v_{22} + \frac{1-i\sqrt{3}}{2}v_{23}=0
\end{array}\right.
$$\columnbreak
$$
\lambda_3=-\frac{1-i\sqrt{3}}{2}
$$
$$
\left\{\begin{array}{l}
v_{31} + \frac{1-i\sqrt{3}}{2}v_{33}=0\\
v_{32} + \frac{1+i\sqrt{3}}{2}v_{33}=0
\end{array}\right..
$$
\end{multicols}
Teraz w przypadku wartości własnej równej promieniowi spektralnemu $\lambda_1=r(A)=1$ łatwo jest tak dobrać zmienną wolną w układzie równań, aby otrzymać wektor dodatni $v_1=\left[\begin{array}{c}
1\\
1\\
1
\end{array}\right]$. Zatem jak mogliśmy się spodziewać wszystko zgadza się z Twierdzeniem Perona-Frobeniusa dla macierzy. Zauważmy dodatkowo, że dla pozostałych wartości własnych nie możliwe jest otrzymanie wektorów własnych dodatnich poprzez odpowiednie dobranie zmiennych wolnych. Musielibyśmy znaleźć $\alpha\in \mathbb{R}\setminus\{0\}$, dla którego $\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\alpha, \frac{1-i\sqrt{3}}{2}\alpha\in\mathbb{R}$. Wektorami własnymi dla wartości własnych $\lambda_2$ oraz $\lambda_3$ mogą być na przykład $v_2=\left[\begin{array}{c}
-\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\\
-\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\\
1
\end{array}\right]$ oraz $v_3=\left[\begin{array}{c}
-\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\\
-\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\\
1
\end{array}\right].$
\end{exm}
W powyższym przykładzie macierz jest dodatnia i wyliczenia są zgodnie z Twierdzeniem Perrona-Frobeniusa.
Zauważmy, że dla ogólnych macierzy promień spektralny nie musi być wartością własną, a nawet gdy jest wartością własną, to jej wektory własne nie muszą być dodatnie. 
\begin{exm}\label{ex:no_positibe_eigenvectors}
Rozważmy macierz 
$$
A=\left[\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
-1 & 0 & 0
\end{array}\right].
$$
Z obliczeń 
$$
0= \det(A-I\lambda)=-\lambda^3-1=-(\lambda+1)\left(\lambda - \frac{1-i\sqrt{3}}{2}\right)\left(\lambda -\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\right)
$$ otrzymujemy trzy wartości własne $\lambda_1=-1$, $\lambda_2=\frac{1-i\sqrt{3}}{2}$ oraz $\lambda_3=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}$. 
Stąd promień spektralny  
$$
r(A)=\max\{|\lambda_1|, |\lambda_2|, |\lambda_3|\}=1,
$$
zatem $r(A)$ nie jest wartością własną macierzy $A$. W tym przypadku mamy do rozwiązania równania macierzowe 
$$
\left[\begin{array}{ccc}
-\lambda_j & 1 & 0\\
0 & -\lambda_j & 1\\
-1 & 0 & -\lambda_j
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
v_{j1} \\
v_{j2} \\
v_{j3} 
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
0 \\
0\\
0 
\end{array}\right],
$$
przy założeniu, że $v_j\neq 0$ dla każdego $j=1,2,3$. Otrzymujemy stąd układ równań
$$
\left\{\begin{array}{l}
-\lambda_j v_{j1} + v_{j2}=0\\
-\lambda_j v_{j2} + v_{j3}=0\\
-v_{j1} -\lambda_j v_{j3}=0
\end{array}\right.,
$$
który dla poszczególnych wartości własnych przyjmuje postać
\begin{multicols}{3}
$$
\lambda_1=-1
$$
$$
\left\{\begin{array}{l}
v_{11} - v_{13}=0\\
v_{12} + v_{13}=0
\end{array}\right.
$$\columnbreak
$$
\lambda_2=\frac{1-i\sqrt{3}}{2}
$$
$$
\left\{\begin{array}{l}
v_{21} + \frac{1-i\sqrt{3}}{2}v_{23}=0\\
v_{22} - \frac{1+i\sqrt{3}}{2}v_{23}=0
\end{array}\right.
$$\columnbreak
$$
\lambda_3=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}
$$
$$
\left\{\begin{array}{l}
v_{31} + \frac{1+i\sqrt{3}}{2}v_{33}=0\\
v_{32} - \frac{1-i\sqrt{3}}{2}v_{33}=0
\end{array}\right..
$$
\end{multicols}
\noindent
Dla tak wybranej macierzy $A$ wszystkie wektory własne są niedodatnie i mogą wynosić na przykład 
$v_1=\left[\begin{array}{c}
1\\
-1\\
1
\end{array}\right]$, 
$v_2=\left[\begin{array}{c}
-\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\\
\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\\
1
\end{array}\right]$ oraz $v_3=\left[\begin{array}{c}
-\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\\
\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\\
1
\end{array}\right].$ 
\end{exm}
\begin{exm}\label{ex:no_positibe_eigenvectors2}
Rozważmy macierz 
$$A=\left[\begin{array}{ccc}
i & 1 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & -i
\end{array}\right].
$$
Z obliczeń 
$$
0=\det(A-\lambda I)=\lambda^3+2\lambda^2-\lambda+2=-(\lambda-2)(\lambda -i)(\lambda+i)$$ wnioskujemy, że jej wartości własne wynoszą $\lambda_1=2$, $\lambda_2=i$ oraz $\lambda_3=-i$. Wtedy promień spektralny jest jedną z wartości własnych $r(A)=\max\{|2|, |i|, |-i|\}=2=\lambda_1$. Aby znaleźć wektory własne rozwiążmy równania macierzowe
 $
(A-\lambda_j I)v=0
$, czyli 
$$
\left[\begin{array}{ccc}
i-\lambda_j & 1 & 0\\
0 & 2-\lambda_j & 0\\
0 & 0 & -i-\lambda_j
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
v_{j1} \\
v_{j2} \\
v_{j3} 
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
0 \\
0\\
0 
\end{array}\right],
$$
przy założeniu, że wektory własne nie mogą być zerowe $v_j\neq 0$ dla każdego $i=1,2,3$. W ten sposób dla każdego $j=1,2,3$ otrzymujemy układ równań
$$
\left\{\begin{array}{l}
(i-\lambda_j) v_{j1} + v_{j2}=0\\
(2-\lambda_j) v_{j2}=0\\
(i+\lambda_j) v_{j3}=0
\end{array}\right..
$$
Stąd wektor własny odpowiadąjcy promieniowi spektralnemu $r(A)=\lambda_1=2$ musi spełniać układ równań 
$$
\left\{\begin{array}{l}
(i-2)v_{11} + v_{12}=0\\
v_{13}=0
\end{array}\right. .
$$ Natomiast nie istnieje $\alpha\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ taka, że $(i-2)\alpha\in\mathbb{R}$, więc wektor $v_1$ jest niedodatni. Zatem wektor własny odpowiadający promieniowi spektralnemu może wynosić na przykład $$v_1=\left[\begin{array}{c}
\frac{2+i}{5}\\
1\\
0
\end{array}\right].
$$
Dla pozostałych wartości własnych układy równań upraszczają się do równań $v_{22}=v_{23}=0$ oraz $v_{31}=v_{32}=0$. Czyli dla $\lambda_2=i$ oraz $\lambda_3=-i$ można wybrać dodatnie wektory własne $$v_2=\left[\begin{array}{c}
1\\
0\\
0
\end{array}\right] \quad\text{ oraz }\quad v_3=\left[\begin{array}{c}
0\\
0\\
1
\end{array}\right].
$$
\end{exm}
%W następnym przykładzie zastosujemy Twierdzenie Perrona -Frobeniusa do operatora całkowego Voltery $Tx(t)=\int_a^b k(t,s) x(s)ds$ o jądrze $k(t,s)=1_{[0,t]}(s)$.
Teraz pokażemy na przykładzie, że w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych może się zdażyć tak,  że zwarty operator dodatni nie posiada wartości własnych. Na mocy Twierdzenia \ref{twierdzenie: perrona frobeniusa} jest to możliwe jedynie, gdy $r(T)=0$, czyli gdy widmo $\sigma(T)=\{0\}$ składa się jedynie z zero. Operatory dla których $r(T)=0$ nazywa się \emph{quasi-nilpotentnymi}.
\begin{exm}
Rozważmy \emph{operator Volterry} na przestrzeni funkcji ciągłych, tzn. operator $T:C([0,1])\rightarrow C([0,1])$ zadany wzorem 
$$
Tx(t)=\int_0^t x(s)ds.
$$
Zauważmy, że $T$ jest operatorem całkowym z jądrem $k(t,s)=1_{[0,t]}(s)$ (operator Volterry jest  chyba najbardziej znanym przykładem operatora całkowego). W szczególności, $T$ jest operatorem zwartym, patrz Przykład \ref{operator calkowy}. Dodatkowo, ponieważ całka z dodatniej funkcji przyjmuje wartości dodatnie, $T$ jest operatorem dodatnim. Jednakże ten operator nie ma żadnych wartości własnych. Aby to wykazać, załóżmy nie wprost, że dla pewnej niezerowej  funkcji  $0\neq x\in C([0,1])$ oraz liczby $\lambda\in\mathbb{C}$ mamy $Tx=\lambda x$. Czyli $x$ jest wektorem własnym operatora $T$ przy wartości własnej $\lambda$.
 To znaczy dla każdego $t\in[0,1]$
\begin{equation}\label{rownanie spektralne po podstawieniu}
\int_0^t x(s)ds=\lambda x(t).
\end{equation}
Różniczkując \eqref{rownanie spektralne po podstawieniu} stronami i korzystając z Podstawowego Twierdzenia Rachunku Całkowego  (patrz np. \cite{Fichtenholz}) otrzymujemy 
$$
x(t)=\lambda x'(t).
$$
Gdy $\lambda=0$, to równanie sprowadza się do 
 $x(t)=0$, co daje  sprzeczność z założeniem, że $x\neq 0$. Zatem $\lambda=0$ nie jest wartością własną operatora $T$.
Załóżmy teraz, że $\lambda\neq0$. Wtedy rozwiązaniem ogólnym powyższego równania różniczkowego jest funkcja postaci $x(t)=Ce^{\frac{t}{\lambda}},$ gdzie $C$ jest dowolną stałą. Z tym, że założyliśmy wcześniej, że $x\neq 0$, zatem również stała $C$ musi być różna od $0$. Zauważmy jednak, że dla $t=0$, $\lambda x(0)=\int_0^0x(s)ds=0.$ Czyli $0=Ce^{\frac{0}{\lambda}}$, a to jest możliwe tylko, gdy $C=0$. Otrzymujemy sprzeczność.

Powyżej wykazany brak niezerowych wartości własnych wynika również z faktu, że 
$r(T)=0$, co pokażemy teraz.
Na mocy Przykładu \ref{operator calkowy} operator $T$ jest ograniczony, więc promień spektralny obliczymy korzystając z formuły \eqref{promien spektralny operatora ograniczonego}. W pierwszej kolejności wyprowadzimy wzór na operator Volterry $n$-krotnie złożony  $T^n$. Zauważmy, że dla $n=2$ mamy
$$
(T^2)(t)=T\left(\int_0^\cdot x(s)ds\right)(t)=\int_0^t\int_0^{s_1}x(s_2)ds_2ds_1.
$$
i postępując w ten sposób, indukcyjnie, dostajemy 
$$
(T^nx)(t)=\int_0^t\int_0^{s_1}\cdots\int_0^{s_{n-1}}x(s_n)ds_nds_{n-1}\cdots ds_1.
$$
dla każdego $n\in\N\setminus\{0\}$.  Teraz obliczymy normę tego operatora 
$$
\|T^n\|=\sup_{\|x\|_\infty=1}\|T^nx\|_\infty.
$$
W pierwszej kolejności dowiedziemy indukcyjnie, że dla $x\equiv 1 $ mamy
\begin{equation}\label{op. Voltery T^n}
(T^nx)(t)=\frac{t^n}{n!}
\end{equation}
dla każdego $n\in\N\setminus\{0\}$. Dla $n=1$  mamy $ 
(Tx)(t)=\int_0^tds=\frac{t}{1}
$, czyli wzór zachodzi.  Załóżmy indukcyjnie, że 
$
(T^{n-1}x)(t)=\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}
$
dla pewnego $n\in\N\setminus\{0\}$. Wtedy 
$$
(T^nx)(t)=T\left(\frac{(\cdot)^{n-1}}{(n-1)!}\right)(t)=\int_0^t\frac{s^{n-1}}{(n-1)!}ds=\frac{t^n}{n!}.
$$
Zatem na mocy zasady indukcji matematycznej formuła \eqref{op. Voltery T^n} jest spełniona. Stąd  
$$
\|T^n\|\geq\|T^n\cdot 1\|_\infty=\sup_{t\in[0,1]}\frac{t^n}{n!}=\frac{1}{n!}.
$$
Aby oszacować normę operatora $T$ z góry zauważmy, że z monotoniczności całki mamy
\begin{align*}
|T^nx(t)|&\leq \int_0^t\int_0^{s_1}\cdots\int_0^{s_{n-2}}|x(s_{n-1})|ds_{n-1}ds_{n-2}\cdots ds_1\leq\\
&\leq \|x\|_\infty\int_0^t\int_0^{s_1}\cdots\int_0^{s_{n-2}}ds_{n-1}ds_{n-2}\cdots ds_1=\|x\|_\infty \frac{t^n}{n!},
\end{align*}
czyli $\|T^n\|\leq\frac{1}{n!}$. Wobec tego $\|T^n\|=\frac{1}{n!}$. Zatem promień spektralny operatora Volterry wynosi zero:
$$
r(T)=\lim_{n\to \infty} \|T^n\|^{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n!}=0.
$$
Czyli w tym przypadku nie są spełnione założenia Twierdzenia \ref{twierdzenie: perrona frobeniusa}.
\end{exm}
Inspiracja do konstrukcji następnego przykładu została zaczerpnięta z dyskusji na forum Math Stack Exchange: Finding the spectrum of integral operator, https://math.stackexcha\\
nge.com/questions/1739652/finding-the-spectrum-of-integral-operator (dostęp: 29.06.2025).
\begin{exm}
Rozważmy operator całkowy $T:C[0,1]\to C[0,1]$:
$$
(Kx)(t)=\int_0^1 k(t,s)x(s)ds
$$ z jądrem $k(t,s)=\min \{t,s\}$ dla $0\leq s,t \leq 1$. 
Ponieważ całka z dodatniej funkcji przyjmuje wartości dodatnie, $T$ jest operatorem dodatnim. Dodatkowo zwartość operatora $T$ wynika z Przykładu \ref{operator calkowy}. Wartości własne obliczymy znajdując liczby zespolone $\lambda\in\C$, które dla $x\neq0$ spełniają równanie
\begin{equation}\label{Tx=lambda x}
\int_0^1 k(t,s)x(s)ds=\lambda x(t)
\end{equation}
dla każdego $t\in[0,1]$. Zauważmy, że jądro możemy przedstawić równoważnie w postaci
$$
\min\{t,s\}=\left\{\begin{array}{lcr}
    s, & gdy\;  s\leq t\\
    t, & gdy\; s>t
\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{lcr}
    s, & gdy \; s\in[0,t]\\
    t, & gdy \; s\in(t,1]
\end{array}\right..
$$
Zatem wyrażenie \eqref{Tx=lambda x} przybiera formę
\begin{equation}\label{wzor}
\int_0^t sx(s)ds+t\int_t^1x(s)ds=\lambda x(t).
\end{equation}
Załóżmy, że $\lambda\neq 0$. Teraz w świetle Podstawowego Twierdzenia Rachunku Całkowego, dwukrotnie różniczkując \eqref{wzor} otrzymujemy
$
tx(t)+\int_t^1x(s)ds-tx(t)=\lambda x'(t)$,
a stąd
\begin{equation}\label{pierwsza pochodna}
\int_t^1 x(s)ds=\lambda x'(t)
\end{equation}
\begin{equation}\label{druga pochodna}
-x(t)=\lambda x''(t).
\end{equation}
Dodatkowo z równań \eqref{wzor} i \eqref{pierwsza pochodna} wstawiając odpowiednio $t=0$ i $t=1$, mamy $x(0)=0$ i $x'(1)=0$. Dostaliśmy w ten sposób równanie różniczkowe $x''+\frac{1}{\lambda}x=0$, z warunkami początkowymi $x(0)=0$ oraz $x'(1)=0$. Stąd wyliczamy (patrz np. \cite{Guter-Janpolski}), że rozwiązaniem ogólnym jest $x(t)=C_1\cos\frac{t}{\sqrt{\lambda}}+C_2\sin\frac{t}{\sqrt{\lambda}}$. Natomiast warunek początkowy $x(0)=0$ implikuje, że  $C_1=0$,
a warunek $x'(1)=0$ oznacza, że $\cos\frac{1}{\sqrt{\lambda}}=0$, czyli  $\frac{1}{\sqrt{\lambda}}=\frac{(2k+1)\pi}{2}$ dla wszystkich $k\in\N\cup\{0\}$. 
%{\color{blue} (pierwiastek $\sqrt{\lambda}$ jest liczbą nieujemną, dlatego $k$ nie może być ujemne)}. 
Wobec tego wartości własne i odpowiadające im wektory (funkcje) własne operatora $T$ wyrażają się wzorami
$$
\lambda_k=\frac{4}{(2k+1)^2\pi^2},
\qquad
x_k(t)=\sin\frac{(2k+1)\pi}{2}t \qquad \text{dla} \;k=0,1,2,\ldots.
$$
%{\color{blue} \text{ chyba  dla $k=0,1,...$}}.
%dla wszystkich $k\in\Z$ oraz $t\in[0,1]$. 
W przypadku $\lambda =0$ z równania \eqref{druga pochodna} wynika, że $x\equiv 0$. Zatem $\lambda=0$ nie jest wartością własną operatora $T$. 

Teraz ponieważ operator $T$ jest zwarty, to na mocy Twierdzenia \ref{thm:spectral_for_compacts}(1) widmo wynosi $$
\sigma(T)=\sigma_p(T)\cup \{0\}=\left\{\frac{4}{(2k+1)^2\pi^2}:k\in\N\right\}\cup \{0\}.
$$
Na mocy wzoru \eqref{r(T)} (i zwartości widma) promień spektralny operatora $T$ jest równy największemu modułowi  wartości spektralnej. Zatem 
$$
 r(T) = \max\{ |\lambda| \,:\, \lambda \in \sigma(T) \}=\max_{k\in\N}\frac{4}{(2k+1)^2\pi^2}=\frac{4}{\pi^2}.
$$
Czyli promień spektralny jest równy wartości własnej $\lambda_0=\frac{4}{\pi^2}$. Ponadto odpowiadający jej wektor własny  wyraża się wzorem
$$
x_{0}(t)=\sin(\frac{\pi}{2}t), \qquad \text{dla}\; t\in[0,1].
$$
Zauważmy, że funkcja ta zgodnie Twierdzeniem Perron-Frobeniusa jest na przedziale $[0,1]$ nieujemna (dodatnia).

%{\color{blue}Zauważ, że obliczyłaś już widmo, bo na mocy Twierdzenia \ref{thm:spectral_for_compacts}(1) dla operatora zwartego, wszystkie niezerowe wartości spektralne są wartościami własnymi, a na mocy wzoru \eqref{r(T)} (i zwartości widma) 
%mamy
%$$
%    r(T) = \max\{ |\lambda| \,:\, \lambda \in \sigma(T) \}.
%$$    
%    Zatem promień spektralny będzie równy największemu modułowi wartości własnej}
%\textbf{Widmo tego operator jest obliczone na stronie }
%\\
%https://math.stackexchange.com/questions/1739652/finding-the-spectrum-of-integral-operator
%\textbf{Przetłumaczyć/przerobić i wpisać}
%Czy zachodzi tu Twierdzenie Perrona-Frobeniusa?
\end{exm}
\subsection{Zastosowanie do operatorów niedodatnich}
Twierdzenie Perrona - Frobeniusa dotyczy operatorów dodatnich, jednak dzięki przytoczonym dalej Twierdzeniom z książki \cite{Krengel}, w niektórych przypadkach możemy zastosować Twierdzenie Perrona - Frobeniusa do modułów operatorów niedodatnich. 

Przypomnijmy, że zbiór nazywamy \emph{całkowicie ograniczonym}, gdy można go pokryć skończoną ilością kul o ustalonym promieniu.

\begin{lem}\label{Lem: Kragel}
Jeżeli $A$ jest niepustym, całkowicie ograniczonym podzbiorem $M$-przestrzeni $X$, to zbiór $D=\{\sup\{a_1, a_2, \cdots,a_n\}:a_1, a_2\ldots, a_n\in A, n\in\mathbb{N}\}$ wszystkich skończonych supremów zbioru $A$ jest całkowicie ograniczony. Ponadto $\sup A$ istnieje w $X$ i zawiera się w domknięciu $\sup A\in \overline{D}$.
\end{lem}
\begin{proof}
W świetle Twierdzenia \ref{o reprezentacji M-przestrzeni} możemy utożsamić $X$ z $C(M)$. Wtedy $A$ odpowiada niepustemu, całkowicie ograniczonemu podzbiorowi $C(M)$. Co na mocy Lematu \ref{Ascoli} oznacza to, że $A$ jest normowo ograniczony i równomiernie ciągły.

Rozważmy teraz $g\in D$ i wybierzmy funkcje $f_1, f_2, \ldots, f_n\in A$, tak aby spełniały formułę $g=f_1\lor f_2 \lor \cdots \lor f_n$. Z równomiernej ciągłości $A$ na $M$ wynika, że dla $\varepsilon>0$ i $m\in M$ istnieje otoczenie $V$ punktu $m$ takie, że nierówność $|f(t)-f(m)|\leq\varepsilon$ zachodzi dla każdego $t\in V$ i $f\in A$. Zatem z nierówności
$$
|g(t)-g(m)|\leq\sup_{1\leq i\leq n}|f_i(t)-f_i(m)|
$$
wynika $|g(t)-g(m)|\leq\varepsilon$ dla każdego $t\in V$ i dla każdego $g\in D$. Stąd $D$ jest również równomiernie ciągły na $M$ i ponieważ $D$ jest ograniczony z Lematu \ref{Ascoli}, $D$ jest całkowicie ograniczony.

Oznaczmy przez $\mathcal{A}$ rodzinę skończonych podzbiorów zbioru $A$ uporządkowaną przez $\subseteq$ i przez $g_\alpha=\sup\alpha$ dla każdego $\alpha\in\mathcal{A}$. Wtedy $\{g_\alpha\}$ jest ciągiem rosnącym. Zatem z zwartości $\overline{D}$ istnieje podzbiór $\{g_\alpha\}$ zbieżny w normie do $g\in \overline{D}$. Więc $\sup A=\sup D=\sup\{g_\alpha\}=g$.
\end{proof}

\begin{thm}\label{Krengiel M-przestrzeń}
Niech $T:X\rightarrow Y$ będzie operatorem zwartym, odwrorowującym kratę Banacha $X$ w $M$-przestrzeń $Y$. Wtedy moduł operatora $T$ istnieje i jest operatorem zwartym. Ponadto, na stożku dodatnim $X_+$ przedstawia się formułą
\begin{equation}\label{eq:modulus_of_an_operator}
|T|(x)=\sup_{|y|\leq x}|Ty|
\end{equation}
i przestrzeń wektorowa wszystkich operatorów zwartych $K(X,Y)$ jest kratą Banacha.
\end{thm}
\begin{proof}
Niech $x\in X_+$, wtedy $T[-x, x]$ jest całkowicie ograniczony w $Y$ i z Lematu \ref{Lem: Kragel}
$$
|T|(x)=\sup_{|y|\leq x}|Ty|=\sup T[-x,x]
$$
istnieje w $Y$. Aby pokazać, że tak zdefiniowane $|T|$ jest supremum $T$ i $-T$ zauważmy najpierw, że $T\leq|T|$ i $-T\leq|T|$ w $L(X,Y)$. Załóżmy teraz, że $\pm T\leq R$ w $L(X,Y)$. Oczywiście $R$ jest operatorem dodatnim. Dla $|y|\leq x$, mamy
$$
Ty=Ty_+-Ty_-\leq Ry_+ + Ry_-=R|y|\leq Rx.
$$
Zatem $|T|(x)\leq R(x)$, dla każdego $x\in X_+$, czyli $|T|=T\lor (-T)$ w $L(X,Y)$.

Niech teraz $U$ będzie domknięciem kuli jednostkowej w $X$. Aby dowieść, że operator $|T|$ jest zwarty, zauważmy, że jeśli $A$ jest zbiorem wszystkich skończonych supremów $T(U)$, to z Lematu \ref{Lem: Kragel} domknięcie $\overline{A}$ jest zwarte. Zatem znowu z Lematu \ref{Lem: Kragel}, mamy $|T|(x)\in\overline{A}$ dla każdego $x\in U_+$. Stąd $|T|(U_+)\subseteq \overline{A}$, a więc operator $|T|$ jest zwarty.

Pozostaje wykazać, że przestrzeń operatorów zwartych $K(X,Y)$ jest kratą Banacha. Zauważmy, że kombinacja liniowa operatorów zwartych jest operatorem zwartym, wprost z Twierdzenia \ref{thm:limit_of_compact_is_compact} wynika zupełność $K(X,Y)$ oraz wzory $T\lor S=\frac{1}{2}(T+S+|T-S|)$, $T\land S=\frac{1}{2}(T+S-|T-S|)$ z Lematu \ref{wlasnosci wartosci bezwzglednej i inf i sup} definiują operacje kratowe. Zatem $K(X,Y)$ jest kratą Banacha.
\end{proof}
Wykorzystując dulaność między $M$-przestrzeniami i $L$-przestrzeniami, \cite[Theorem 7, strona 25]{Lacey}, z powyższego twierdzenia można wywnioskować następującą wersję dualną.
\begin{thm}\label{Krengiel L-przestrzenie}
Moduł operatora zwartego $T:X\rightarrow Y$, odwzorowującego $L$-przestrzeń $X$ w kratę Banacha $Y$ jest zwarty. Ponadto zbiór wszystkich operatorów zwartych  na $X$ w $Y$ tworzy kratę Banacha.
\end{thm}
%\begin{proof}
%Niech $T:X\rightarrow Y$ będzie operatorem zwartym, odwzorowującym $L$-przestrzeń $X$ w kratę Banacha $Y$. Skoro operator dualny $T':Y'\rightarrow X'$ jest operatorem zwartym i $X'$ jest $M$-przestrzenią,  to z Twierdzenia \ref{Krengiel M-przestrzeń} wynika, że jego moduł $|T'|$ jest operatorem zwartym. Z dugiej strony 
%\end{proof}
Dowód tego twierdzenia znajduje się w książce \cite{Krengel}. Powyższe Twierdzenia w połączeniu z Twierdzeniem Perrona-Frobeniusa możemy zastosować w przypadku, gdy $X=Y$ jest 
$M$-przestrzenią lub $L$-przestrzenią, czyli na przykład do operatorów na przestrzeni $C[a,b]$ lub $L^1[a,b]$. Ponadto, skoro na przestrzeniach skończenie wymiarowych 
wszystkie normy są równoważne, a widmo operatora nie zależy od normy (jest zdefiniowane w sposób algebraiczny), więc możemy je również zastować dla macierzy
\begin{exm}
Jak wygląda moduł macierzy $A$? Obliczenie takiego modułu ze wzoru \eqref{eq:modulus_of_an_operator} wymaga trochę wysiłku. 
W tym przypadku, może lepiej to zrobić z definicji. 
Przypomnijmy iż macierz $A\in\mathbb{M}_n(\C)$ jest dodatnia, gdy wszystkie jej współczynniki są dodatnie (nieujemne).
Oznaczmy przez $\mathbb{M}_n(\C)_+$ stożek macierzy dodatnich.
Zadaje on na $\mathbb{M}_n(\C)$ strukturę kraty wektorowej, która jest izomorficzna z kratą wektorową $\C^{n^2}$ z naturalną strukturą zadaną po współrzędnych. W szczególności moduł takiego wektora, to wektor skłądający się z modułów. 
W ten sposób otrzymujemy, że  moduł macierzy $A=[a_{ij}]_{i,j=1}^n$ to macierz $|A|$, której współczynniki są modułami współczynników macierzy $A$. Czyli
$$
\left|\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{array}\right]\right|
=\left[\begin{array}{cccc}
|a_{11}| & |a_{12}| & \cdots & |a_{1n}|\\
|a_{21}| & |a_{22}| & \cdots & |a_{2n}|\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
|a_{n1}| & |a_{n2}| & \cdots & |a_{nn}|
\end{array}\right].
$$
Zatem na przykład moduł macierzy  z Przykładu \ref{ex:no_positibe_eigenvectors} jest macierzą z Przykładu \ref{ex:positive_matrix}, czyli
$$
A=\left[\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
-1 & 0 & 0
\end{array}\right], \qquad |A|=\left[\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0
\end{array}\right].
$$
Jak obliczyliśmy w Przykładzie \ref{ex:no_positibe_eigenvectors}, rozkład spektralny macierzy $A$, czyli jej wartości własne wraz z odpowiadającymi jej wektorami własnymi przedstawia się jak następuje:
$$
\lambda_1=-1, v_1=\left[\begin{array}{c}
1\\
-1\\
1
\end{array}\right],
\,\,
\lambda_2=\frac{1-i\sqrt{3}}{2},
v_2=\left[\begin{array}{c}
-\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\\
\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\\
1
\end{array}\right],
\,\,
\lambda_3=\frac{1+i\sqrt{3}}{2},
v_3=\left[\begin{array}{c}
-\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\\
\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\\
1
\end{array}\right].
$$
Natomiast analogiczny rozkład dla $|A|$, patrz Przykład \ref{ex:positive_matrix}, jest następujący
$$
\mu_1=1, w_1=\left[\begin{array}{c}
1\\
1\\
1
\end{array}\right],
\,\,
\mu_2=-\frac{1-i\sqrt{3}}{2},
w_2=\left[\begin{array}{c}
-\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\\
-\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\\
1
\end{array}\right],
\,\,
\mu_3=-\frac{1+i\sqrt{3}}{2},
w_3=\left[\begin{array}{c}
-\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\\
-\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\\
1
\end{array}\right].
$$
Można tu zauważyć zadziwiające zależności. Po pierwsze
$$
r(A)=r(|A|) \quad \text{ oraz }\quad  |\sigma(A)|=|\sigma(|A|)|=\{1\}.
$$
Po drugie niedodatnia część widma macierzy dodatniej $|A|$ pokrywa się z pewną częścią widma macierzy $\sigma(A)$, tzn. $\lambda_2=\mu_2$ oraz $\lambda_3=\mu_3$. Wektory własne dla odpowiednich wartości własnych $\lambda_i$ oraz $\mu_i$ różnią się tylko na drugiej współrzędnej  i są przeciwieństwami swoich sprzężeń (macierze $A$ oraz $|A|$ również różnią się na jednej współrzędnej).
Ponadto moduły wszystkich wybranych wektorów własnych pokrywają się z niedodatnim wektorem własnym $v_1$ odpowiadającym maksymalnej dodatniej wartości własnej $\mu_1=r(|A|)$ macierzy $|A|$.

Sprawdźmy, czy podobne zależności zachodzi również w przypadku macierzy z Przykładu \ref{ex:no_positibe_eigenvectors2}. Czyli rozważmy macierze 
$$
A=\left[\begin{array}{ccc}
i & 1 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & -i
\end{array}\right]
\quad\text{ oraz } 
\quad
|A|=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right].
$$ 
Rozkład spektralny macierzy $A$ obliczony w Przykładzie, to
$$\lambda_1=2,v_1=\left[\begin{array}{c}
\frac{2+i}{5}\\
1\\
0
\end{array}\right],
\qquad
\lambda_2=i,v_2=\left[\begin{array}{c}
1\\
0\\
0
\end{array}\right],
\qquad
\lambda_3=-i, v_3=\left[\begin{array}{c}
0\\
0\\
1
\end{array}\right].
$$
Obliczmy zatem teraz rozkład spektralny macierzy $|A|$. Z równania charakterystycznego 
$$
0=\det(|A|-\mu I)=(1-\mu)^2(2-\mu)
$$
otrzymujemy wartości własne $\mu_1=2$, $\mu_2=1$, $\mu_3=1$. Zauważmy, że otrzymane wartości własne $|A|$ są modułami wartości własnych macierzy $A$. Promień spektralny nie zmienia się 
$$
r(|A|)=\max\{|\mu_1|, |\mu_2|, |\mu_3|\}=2=r(A)
$$ i tak jak w Przykładzie \ref{ex:no_positibe_eigenvectors2}, jest wartością własną macierzy $|A|$. Następnie w celu znalezienia wektorów własnych rozwiązujemy równanie macierzowe 
$$
\left[\begin{array}{ccc}
1-\mu_j & 1 & 0\\
0 & 2-\mu_j & 0\\
0 & 0 & 1-\mu_j
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
w_{j1} \\
w_{j2} \\
w_{j3} 
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
0 \\
0\\
0 
\end{array}\right],
$$
przy założeniu, że wektory własne nie mogą być zerowe. Otrzymujemy stąd układ równań 
$$
\left\{\begin{array}{l}
(1-\mu_j )w_{j1} + v_{j2}=0\\
(2-\mu_j) w_{j2} =0\\
(1 -\mu_j) w_{j3}=0
\end{array}\right., 
$$
z którego wnioskujemy, że teraz wszystkie wektory własne, w tym wektor własny odpowiadający promieniowi spektralnemu, mogą być dodatnie - mamy przykładowo rozkład spektralny 
$$
\mu_1=2, w_1=\left[\begin{array}{c}
1\\
1\\
0
\end{array}\right]
, \quad
\mu_2=1, w_2=\left[\begin{array}{c}
1\\
0\\
0
\end{array}\right] 
\quad\text{ oraz }\quad \mu_3=1, w_3=\left[\begin{array}{c}
0\\
0\\
1
\end{array}\right].
$$
Zatem w tym przypadku wektory własne $v_1$ oraz $w_2$ odpowiadające wartości własnej o największym module znacząco się różnią. Natomiast nieco zaskakująca jest równość pozostałych par wektorów własnych $v_2=w_2$, $v_3=w_3$.
\end{exm}
W świetle powyższego przykładu widzimy w zasadzie jedną prawidłowość, że promień spektralny macierzy $A$ oraz $|A|$ pokrywają się. Można więc zadać ogólne pytanie:
\begin{quote}
Dla jakich operatorów zachodzi równość $r(T)=r(|T|)$?
\end{quote}
Pytanie te można  zadać na przykład  dla operatorów całkowych. Jednakże próbę  odpowiedzi na to pytanie, pozostawimy na dalsze badania. 
\begin{exm}
Powyższy przykład, jak i inticuja, podpowiadają, że moduł operatora całkowego $T:C([a,b])\rightarrow C([a,b])$ z jądrem całkowym $k(s,t)\in C([a,b]\times[a,b])$, patrz Przykład \ref{operator calkowy}, powinien być operatorem całkowym z jądrem całkowym $|k(s,t)|$ będącym modułem wyjściowego jądra $k$. Tak rzeczywiście jest. To znaczy
$$
Tx(t)=\int_a^b k(t,s)x(s)ds\,\, \Longrightarrow\, \, |T|x(t)=\int_a^b |k(t,s)|x(s)ds  
$$ 
Jednakże dowód tego faktu jest nietrywialny. Nawet do tego stopnia, że pierwsze dowody tego twierdzenia podane przez Krasnosielksiego, Zabrejkę, Pustylnika i Sobolewskiego były niepoprawne, patrz \cite{Zaanen}.
\end{exm}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\backmatter % suplementy, spis literatury, itp.

\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{Abramovich_Aliprantis}
Y.~A. Abramovich, C.~D. Aliprantis, \emph{An Invitation to Operator Theory}, Graduate Studies in Mathematics \textbf{50}, American Mathematical Society, Providence, RI, 2002.

\bibitem{Aliprantis_Burkinshaw}
C.~D. Aliprantis, O. Burkinshaw, \emph{Positive Operators}, Academic Press, Orlando, 1985.

\bibitem{Banasiak}
J. Banasiak, \emph{Banach Lattices in Applications}, Department of Mathematics and Applied Mathematics, University of Pretoria, Pretoria, rok nieznany.

\bibitem{Bardadyn-Kwasniewski-McKee}
K.\ Bardadyn, B.\ Kwa\'sniewski and A.\ McKee, \emph{Banach algebras associated to twisted \'etale groupoids: inverse semigroup disintegration and representations on $L^p$-space}, Preprint, arXiv:2303.09997.


\bibitem{Bohnenblust}
F. Bohnenblust, \emph{On axiomatic characterization of \(L^p\) spaces}, Duke Math. J. \textbf{6} (1940), 627--640.

\bibitem{Cameron}
P.~J. Cameron, \emph{Combinatorics: Topics, Techniques, Algorithms}, Cambridge University Press, Cambridge, 1994.

\bibitem{Conway}
J.~B. Conway, \emph{A Course in Functional Analysis}, Graduate Texts in Mathematics \textbf{96}, Springer, New York, 1990.

\bibitem{Fichtenholz}
G.~M. Fichtenholz, \emph{Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom 2}, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, brak roku.

\bibitem{Gardella}
E.\ Gardella, \emph{A modern look at algebras of operators on {$L^p$}-spaces}, Expo.\ Math., \textbf{39} (2021), 420--453.

\bibitem{Gratzer}
G. Grätzer, \emph{General Lattice Theory}, Academic Press, New York–San Francisco–London, 1978.

\bibitem{Guter-Janpolski}
R.~S. Guter, A.~R. Janpolski, \emph{Równania różniczkowe}, PWN, Warszawa, 1980.

\bibitem{Kakutani}
S. Kakutani, \emph{Concrete representation of abstract \(L\)-spaces and the mean ergodic theorem}, Ann. of Math. \textbf{42} (1941), 523--537.

\bibitem{Kakutani2}
S. Kakutani, \emph{Concrete representations of abstract \(M\)-spaces}, Ann. of Math. \textbf{42} (1941), 994--1024.

\bibitem{Kosiek}
M. Kosiek, \emph{Kraty Banacha}, wykład monograficzny, Uniwersytet Jagielloński, brak daty.

\bibitem{Krein-Rutman}
M.~G. Kreĭn, M.~A. Rutman, \emph{Linear operators leaving invariant a cone in a Banach space}, Amer. Math. Soc. Translation \textbf{1950}, no. 26, 128 s.

\bibitem{Krengel}
U. Krengel, \emph{Über den Absolutbetrag stetiger linearer Operatoren und seine Anwendung auf ergodische Zerlegungen}, Math. Scand. \textbf{13} (1963), 151--187.

\bibitem{Kreyszig}
E. Kreyszig, \emph{Introductory Functional Analysis with Applications}, John Wiley \& Sons, New York–Toronto, 1978.

\bibitem{Kwasniewski}
B.~K. Kwaśniewski, \emph{Wykłady z analizy funkcjonalnej}, Uniwersytet w Białymstoku, dostęp online: \url{https://math.uwb.edu.pl/~zaf/kwasniewski/teaching.html}, [dostęp: 29.06.2025].

\bibitem{Lacey}
H.~E. Lacey, \emph{The Isometric Theory of Classical Banach Spaces}, Springer, Berlin–Heidelberg–New York, 1974.

\bibitem{McShane}
E.~J. McShane, \emph{Integration}, Princeton University Press, New York, 1944.

\bibitem{Meyer-Nieberg}
P. Meyer-Nieberg, \emph{Banach Lattices}, Springer, Berlin, 1991.

\bibitem{MSE}
Math Stack Exchange, \emph{Finding the spectrum of integral operator}, [online], [dostęp: 29.06.2025], dostępny w Internecie: \url{https://math.stackexchange.com/questions/1739652/finding-the-spectrum-of-integral-operator}.

%\bibitem{Rudin}
%W. Rudin, \emph{Functional Analysis}, McGraw-Hill, New York, 1991.

\bibitem{Schaefer}
H.~H. Schaefer, \emph{Banach Lattices and Positive Operators}, Springer, Berlin–New York, 1974.

\bibitem{Wnuk}
W. Wnuk, \emph{Banach Lattices with Order Continuous Norms}, PWN, Warszawa, 1999.

\bibitem{Wikipedia}
Wikipedia: Wolna encyklopedia, \emph{Twierdzenie Perrona–Frobeniusa}, [online], [dostęp: 29.06.2025], dostępny w Internecie: \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Perron%E2%80%93Frobenius_theorem}.

\bibitem{Zaanen}
A.~C. Zaanen, \emph{The linear modulus of an integral operator}, Mém. Soc. Math. Fr. \textbf{31–32} (1972), 399--400.

\end{thebibliography}

\end{document}
