%\documentclass{beamer}
\documentclass[trans]{beamer}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
%\usepackage{beamerbasearticle}
\usepackage{multimedia}
 \usepackage[dvips,usenames]{color}
\usepackage[arrow, matrix, curve]{xy}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[MeX]{polski}
\usepackage{amscd,graphics}
\usepackage{polski}
\usepackage{tikz}
\tikzset{rndblock/.style={rounded corners,rectangle,draw,outer sep=0pt}}
\newcommand{\tframed}[2][]{\tikz[baseline=(h.base)]\node[rndblock,#1] (h) {#2};}
\usepackage{ wasysym}


\DeclareMathOperator{\dashind}{-Ind}
\DeclareMathOperator{\inv}{Inv}
\DeclareMathOperator{\erg}{Erg}
\DeclareMathOperator{\clsp}{\overline{span}}
\renewcommand{\H}{ E}
\newcommand{\I}{\mathcal I}
\newcommand{\B}{\mathcal B}
\newcommand{\CC}{\mathcal C}
\newcommand{\TT}{\mathcal T}
\newcommand{\M}{\mathcal M}
\newcommand{\Sol}{\mathcal S}
\newcommand{\K}{\mathcal K}
\newcommand{\x}{\widetilde x}
\newcommand{\w}{\widetilde w}
\newcommand{\y}{\widetilde y}
\newcommand{\X}{\widetilde X}
\newcommand{\Y}{\widetilde Y}
\newcommand{\U}{\widetilde U}
\newcommand{\V}{\widetilde V}
\newcommand{\f}{\widetilde f}
\newcommand{\h}{\widetilde h}
\newcommand{\F}{\mathbb F}

\newcommand{\TDelta}{\widetilde \Delta}
\newcommand{\Tdelta}{\widetilde \delta}
\newcommand{\Tomega}{\widetilde \omega}
\newcommand{\Tmu}{\widetilde{\mu}}
\newcommand{\TA}{\widetilde{\mathcal A}}
\renewcommand{\TH}{\widetilde{\mathcal H}}
\newcommand{\tal}{\widetilde \alpha}
\newcommand{\al}{\alpha}
\newcommand{\be}{\beta}
\newcommand{\p}{\varphi}

\renewcommand{\L}{\mathcal L}
\newcommand{\LL}{\mathcal L}
\newcommand{\JJ}{\mathcal J}
\renewcommand{\SS}{\mathcal S}

\newcommand{\DR}{\mathcal DR}

\newcommand{\OO}{\mathcal O}
\newcommand{\FF}{\mathcal F}
\newcommand{\A}{\mathcal A}
\newcommand{\D}{\mathcal D}
\newcommand{\G}{\mathcal G}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\T}{\mathbb T}

\usepackage{amsfonts}
\newcommand{\tickYes}{\checkmark}
\usepackage{pifont}
\newcommand{\tickNo}{\hspace{1pt}\ding{55}}

%\usetheme{Frankfurt}
\usetheme{Warsaw}
%\usecolortheme{seahorse}
\usecolortheme{rose}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 

\definecolor{mylightblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 



\definecolor{myblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 

\definecolor{mylightblue}{rgb}{0.9,0.9,1}
\definecolor{mylightred}{rgb}{1,0.4,0.4} 
\definecolor{mylightblue1}{rgb}{0.8,0.8,0.9}



\title[Wyk\l{}ad 1]{Analiza Funkcjonalna}
\author[Analiza Funkcjonalna]{Bartosz Kwa\'sniewski}
\institute{Faculty of Mathematics, University of Bia\l{}ystok }


\date{Wyk\l{}ad 1
\\[4pt]
\textbf{Przestrzenie Banacha}
\\[8pt]
\scriptsize
math.uwb.edu.pl/$\sim$zaf/kwasniewski/pdf/skrypt.pdf
} %\pause
%\put(-20,-90){\includegraphics[angle=0, scale=0.212]{Heart.jpg}} 



\begin{document}

\frame{\titlepage}


%\frame{
%\begin{center}\Large
%Thermodynamical formalism \\
%and spectral radius
%\end{center} } 
\frame{\frametitle{Przestrzenie unormowane} \pause
Co to jest przestrze\'n wektorowa (liniowa)? \pause
\begin{block}{}%$C^*$-algebras}
\textbf{Def.} \textbf{Przestrzeni\k{a} unormowan\k{a}}  nazywamy
przestrze\'n liniow\k{a} $X$ nad cia\l{}em $\F:=\R,\C$ wyposa\.zon\k{a} w \textbf{norm\k{e}}, \pause czyli funkcj\k{e} 
$\| \cdot \| : X \to [0,\infty)$ tak\k{a}, \.ze dla dowolnych $x,y\in X$, $\lambda \in \F$:
\begin{enumerate}[N1]
\item\label{it:normed_space1}  \pause
$
\| x\| =  0$  $\Longleftrightarrow$ $x = 0$, 
\hfill
(\emph{niezdegenerowanie})
\item \label{it:normed_space2} \pause
 $
\| \lambda x\| =|\lambda|\cdot \| x\|,
$\hfill
(\emph{dodatnia jednorodno\'s\'c}) 

\item \pause \label{it:normed_space3}$ 
\| x + y \|\leq \|x\| + \|y\|,
$ \hfill
(\emph{nier\'owno\'s\'c tr\'ojk\k{a}ta})
\end{enumerate}

\end{block}
\pause
\begin{picture}(30,70)(-4,-38)
\put(1,-33){\includegraphics[scale=0.5]{triangle2.png}}
\put(88,-39){$x$} \put(46,-39){\footnotesize $\|x\|$}
\put(33,20){$y$} \put(116,-14){\footnotesize $\|y\|$}
\put(48,-3){\rotatebox{19}{\footnotesize $\|x+y\|$}} % \put(65,11){\rotatebox{-30}{$x-y$}}
\put(113,23){$x+y$}  \pause
\put(159,3){(\emph{odwrotna nier\'owno\'s\'c tr\'ojk\k{a}ta})}
 \put(178,-15){$|\|x\|-\|y\| \big|\leq \|x-y\|$} \pause
\end{picture}	
\\ [6pt] 
Norma zadaje \textbf{metryk\k{e}} wzorem $d(x,y):=\|x-y\|$,  $x,y \in X. \pause
$
Zatem przestrze\'n liniowa jest te\.z \textbf{przestrzeni\k{a} topologiczn\k{a}}.
$$
\qquad
$$
}

\frame{\textbf{Zbiory otwarte} w $X$ s\k{a} sumami kul otwartych, \pause gdzie \textbf{kul\k{a} otwart\k{a}} o \'srodku w   $x\in X$ i promieniu  $r>0$
nazywamy zbi\'or 
$$
K(x,r):=\{y\in X:\|x-y\| < r\}. 
$$  \pause
Ci\k{a}g $\{x_n\}_{n=1}^\infty\subseteq X$ jest \textbf{zbie\.zny} do $x\in X$  $\Leftrightarrow$ $\lim_{n\to \infty}\|x_n-x\|= 0$.  \pause
\\
Piszemy wtedy $x_n\to x$,  
$x_n\stackrel{X}{\longrightarrow} x$ lub $x_n\stackrel{\|\cdot\|}{\longrightarrow} x$. \pause
\begin{block}{ } \textbf{Stw.} 
W przestrzeni unormowanej mno\.zenie przez skalar, dodawanie wektor\'ow i norma s\k{a} funkcjami ci\k{a}g\l{}ymi.
\end{block} \pause
\textbf{Dow\'od:}
%Interesuj\k{a} nas funkcje "`mnożenie przez skalar"' $\cdot:\F\times X\to X$, "`dodawanie wektorów"'  $+:X\times X\to X$ oraz "`norma"' $\|\cdot\|:X\to [0,+\infty)$. 
Niech $\lambda_n\to \lambda$, $x_n\to x$ oraz $y_n\to y$,  \pause czyli $|\lambda_n-\lambda|\to 0$, $\|x_n-x\|\to 0$ oraz $\|y_n-y\|\to 0$. \pause Wtedy
\begin{align*}
\|\lambda_n x_m- \lambda x\|  &\stackrel{N\ref{it:normed_space3} }{\leq} \|\lambda_n x_m- \lambda_n x\| + \|\lambda_n x- \lambda x\| 
\\
&\stackrel{N\ref{it:normed_space2} }{=}|\lambda_n|\cdot \| x_m-  x\| + |\lambda_n-\lambda|\cdot\| x\|\longrightarrow 0,\text{ przy }n,m\to \infty.  
\end{align*} \pause
Zatem $\lambda_n x_m\to \lambda x$, czyli mno\.zenie przez skalar $\cdot:\F\times X\to X$ jest ci\k{a}g\l{}e.  \pause Ci\k{a}g\l{}o\'s\'c dodawania wektor\'ow $+:X\times X\to X$ wynika z
$$
\|(x_n+y_m) - (x+y)\|\stackrel{N\ref{it:normed_space3} }{\leq}\|x_n-x\| + \|y_m-y\|\longrightarrow 0,\quad \text{ przy }n,m\to \infty
$$
$$
\qquad
$$
}
\frame{Ci\k{a}g\l{}o\'s\'c normy wynika z "`odwrotnej nier\'owno\'sci tr\'ojk\k{a}ta"':
$\qquad 
\big|\|x_n\|-\|x\| \big|\leq \|x_n-x\|\to 0,
$
sk\k{a}d $\|x_n\|\to \|x\|$.\qquad \blacksquare \pause %, przy $n\to \infty$.
\\
\begin{picture}(0,20)(-4,0)
%\put(230,-13){\includegraphics[scale=0.2]{Stefan.jpg}}
\end{picture}	
\begin{block}{ }  \begin{picture}(0,0)(-4,0)
\put(270,8){\includegraphics[scale=0.17]{Stefan.jpg}}
\put(268.5,8){\tframed[line width=1bp,fill=white!30]{\tiny Stefan Banach}} 
\end{picture} \pause 
\textbf{Def. Przestrzeni\k{a} Banacha} nazywamy przestrze\'n unormowan\k{a} zupe\l{}n\k{a}, \pause tzn. przestrze\'n $(X,\|\cdot\|)$, gdzie dla ka\.zdego $\{x_n\}_{n=1}^\infty \subseteq X$ \pause 
$$
\underbrace{\,\,\, \lim_{n,m\to \infty} \|x_n- x_m\|=0 \,\,
}_{\{x_n\}_{n=1}^\infty  \text{ ci\k{a}g Cauchy}}
\Longrightarrow \,\,
\underbrace{ \mathop{\exists}_{\,\quad x_0\in X}\,\, \lim_{n\to \infty} \|x_n- x_0\|=0.\quad
}_{\{x_n\}_{n=1}^\infty  \text{ ci\k{a}g zbie\.zny}}
$$
\end{block} \pause
\begin{block}{}\textbf{Uwaga.} Implikacja przeciwna zawsze zachodzi.
\end{block} \pause
\begin{block}{}\textbf{Prz.} Przestrze\'n $\R$ z norm\k{a} $\|x\|=|x|$ jest przestrzeni\k{a} Banacha. \pause
Podobnie $\C$ z norm\k{a} $\|x\|=|x|$ jest przestrzeni\k{a} Banacha nad  $\C$ .
\end{block} \pause
\begin{block}{}\textbf{Prz.} Przestrze\'n $\F^n$ z norm\k{a} $ \|x\|_{2}:=\sqrt{\sum_{k=1}^n |x(k)|^2}$ jest przestrzeni\k{a} Banacha nad $\F=\R, \C$
\quad (\emph{przestrze\'n euklidesowa})
\end{block}

}

\frame{
\begin{block}{ } \textbf{Stw.}
Je\'sli podprzestrze\'n liniowa $Y\subseteq X$ przestrzeni unormowanej $X$ jest przestrzeni\k{a} Banacha, to $Y$ jest domkni\k{e}ta w $X$.
\\[2pt]  \pause
Implikacja odwrotna zachodzi je\'sli $X$ jest przestrzeni\k{a} Banacha. \pause
\end{block}
(przypomnijmy, \.ze $\overline{Y}=Y\cup Y^d$, gdzie $Y^d$ punkty skupienia $Y$) \pause
\\[4pt]
\begin{block}{ }
\textbf{Dow\'od:}
"`$\Longrightarrow$"'.
% Przypomnijmy, że zbiór $Y$ jest domkni\k{e}ty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera swoje punkty skupienia.\footnote{Na ogół $\overline{Y}=Y\cup Y^d$, gdzie $Y^d$ to zbiór punktów skupienia zbioru $Y$} 
Niech $y\in Y^d$,  \pause czyli  istnieje ci\k{a}g $\{y_n\}_{n=1}^\infty \subseteq Y$ zbie\.zny do $y\in X$.  \pause Wtedy $\{y_n\}_{n=1}^\infty$
jest ci\k{a}giem Cauchy w $Y$. \pause Zatem z zupe\l{}no\'sci $Y$, ci\k{a}g $\{y_n\}_{n=1}^\infty$ posiada granic\k{e} w $Y$. \pause Czyli  $y\in Y$ (z jednoznaczno\'sci granicy).
\pause
St\k{a}d $Y=\overline{Y}$ domkni\k{e}ty. 
\\[4pt] \pause
"`$\Longleftarrow$"'. Niech $\{y_n\}_{n=1}^\infty \subseteq Y$ Cauchy. \pause  Wtedy  $\{y_n\}_{n=1}^\infty$  Cauchy w $X$, a zatem jest zbie\.zny w $X$. \pause
Czyli istnieje $y\in X$ taki, \.ze $y_n\stackrel{\|\cdot\|}{\longrightarrow} y$.  \pause Skoro $\{y_n\}_{n=1}^\infty \subseteq Y$ i $Y=\overline{Y}$, to $y\in Y$. \pause
Zatem $Y$ prz. zupe\l{}na. \blacksquare
\end{block} \pause
\begin{center}
\begin{picture}(280,53)(0,5)
\put(10,0){\includegraphics[scale=0.1]{ser.png}}
\put(-14,24){$Y=$}

\put(120,25){$==\Longrightarrow$}

\put(216,0){\includegraphics[scale=0.1]{ser2.png}}
\put(190,24){$\overline{Y}=$}
 %
 %\put(43,-29){$\underbrace{\qquad \qquad \qquad \quad \quad   \qquad\,\,}_{\{t\in M: |x(t)| \geq \varepsilon\}}$}
 %\put(140,18){$e^{-t^2}$}
%\put(28,-16){\rotatebox{17}{$x+y$}} \put(65,11){\rotatebox{-30}{$x-y$}}
\end{picture}	
 \end{center}
$$
\qquad
$$
}


\frame{\textbf{Ka\.zd\k{a} przestrze\'n unormowan\k{a} mo\.zna  uzupe\l{}ni\'c do przestrzeni Banacha} (w spos\'ob jednoznaczny) \pause 
\begin{block}{\textbf{Twierdzenie} (Uzupe\l{}nienie przestrzeni unormowanych)} \pause
Dla dowolnej przestrzeni unormowanej $Y$  istniej\k{a} \pause
\begin{enumerate}[1]
\item %\label{thm:norm_equivalence1} 
przestrze\'n Banacha $X$ (\textbf{uzupe\l{}nienie} prz. $Y$)
\item %\label{thm:norm_equivalence2}  
\pause
liniowa izometria $\Psi:Y\to X$ taka, \.ze 
$\overline{\Psi(Y)}=X$.
\end{enumerate} \pause
Czyli $Y$ zanurza si\k{e} w  $X$ jako g\k{e}sta podprzestrze\'n. \pause
 Ponadto, takie $X$ jest wyznaczone jednoznacznie 
z dok\l{}adno\'sci\k{a} do kanonicznego izometrycznego izomorfizmu. \pause Pisze si\k{e} cz\k{e}sto $X=\overline{Y}$ .
\end{block} \pause
"`Szkic Dowodu"': Elementy  $X$ definiujemy jako klasy abstrakcji  ci\k{a}g\'ow Cauchy  $\{x_n\}_{n=1}^\infty$, $\{y_n\}_{n=1}^\infty\subseteq Y$ 
wzgl\k{e}dem relacji: 
\\[3pt]
\qquad \qquad \qquad $
\{x_n\}\sim \{y_n\} \,\, \stackrel{def}{\Longleftrightarrow}\,\, \lim_{n\to \infty}\|x_n- y_n\|=0.
$ 
\\[3pt] \pause
 Klas\k{e} r\'ownowa\.zno\'sci oznaczamy $[\{x_n\}]$ i k\l{}adziemy \pause
\\[4pt]
 \qquad  $[ \{x_n\}] + [ \{y_n\}]:=[ \{x_n+y_n\}]$,\qquad    $\lambda [ \{x_n\}]:=  [ \{\lambda x_n\}]$, 
		\\[4pt] \pause
	 \qquad		$\|[ \{x_n\}]\|:= \lim_{n\to \infty} \|x_n\|$, \qquad \quad
 $\Psi(y)=[\{y,y,y,...\}]$ \begin{picture}(0,0)(0,0)
\put(0,-9){\includegraphics[scale=0.09]{house.png}}
\end{picture}
	$$
	\qquad
	$$
}
\frame{
\begin{block}{}
\textbf{Wn.}
Przestrze\'n unormowana $Y$ jest zupe\l{}na wtedy i tylko wtedy, gdy jej obraz $\Psi(Y)$ przy dowolnej liniowej izometrii $\Psi:Y\to X$ w przestrze\'n unormowan\k{a} $X$ 
  jest domkni\k{e}ty w $X$. \pause
	\end{block}
	\begin{center}\large
\emph{	"`Zupe\l{}no\'s\'c"'   = "`domkni\k{e}to\'s\'c w ka\.zdej nadprzestrzeni"'}
\end{center}
\begin{center}
\begin{picture}(280,53)(0,5)
\put(20,0){\includegraphics[scale=0.1]{ser.png}}
\put(-4,24){$Y=$}

\put(130,25){vs}

\put(206,0){\includegraphics[scale=0.1]{ser2.png}}
\put(180,24){$\overline{Y}=$}
 %
 %\put(43,-29){$\underbrace{\qquad \qquad \qquad \quad \quad   \qquad\,\,}_{\{t\in M: |x(t)| \geq \varepsilon\}}$}
 %\put(140,18){$e^{-t^2}$}
%\put(28,-16){\rotatebox{17}{$x+y$}} \put(65,11){\rotatebox{-30}{$x-y$}}
\end{picture}	
 \end{center}\pause
\begin{block}{}
\textbf{Def.}
Podprzestrze\'n Banacha   =  domkni\k{e}ta podprzestrze\'n liniowa
\\
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad  \quad \,\,   przestrzeni Banacha
	\end{block}
}




\frame{ 
\begin{block}{} 
\textbf{Lem.} 
Niech $\{x_n\}_{n=1}^\infty\subseteq X$ b\k{e}dzie ci\k{a}giem Cauchy. 
\begin{enumerate}[1] \pause 
\item\label{item:Cauchy_properties1}  Je\.zeli pewien podci\k{a}g $\{x_{n_k}\}_{k=1}^\infty$ jest zbie\.zny do $x$, to ci\k{a}g $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ jest zbie\.zny do $x$. \pause 
\item\label{item:Cauchy_properties2}  Dla ka\.zdego $q\in (0,1)$ istnieje podci\k{a}g $\{x_{n_k}\}_{k=1}^\infty$ taki, \.ze 
$\|x_{n_k}-x_{n_l}\|\leq q^k$ dla ka\.zdego $l\geq k$.
\end{enumerate}
\end{block} \pause
\textbf{Dow\'od:} Proste \begin{picture}(0,0)(0,0)
\put(0,-9){\includegraphics[scale=0.09]{house.png}}
\end{picture} \pause 
\begin{block}{}
\textbf{Def.}
Dla ci\k{a}gu $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty}\subseteq X$ w przestrzeni unormowanej $X$ powiemy, 
\.ze \textbf{szereg $\sum\limits_{n=1}^\infty x_{n}$ jest zbie\.zny},\pause   je\.zeli %ci\k{a}g %sum cz\k{e}ściowych 
$\{\sum\limits_{n=1}^N x_{n}
\}_{N=1}^\infty$ jest zbie\.zny  i wtedy  $\sum\limits_{n=1}^\infty x_{n}:=\lim\limits_{N\to \infty} \sum\limits_{n=1}^N  x_{n}$ nazywamy \textbf{sum\k{a} szeregu}. 
\\[2pt] \pause 
Szereg 
$\sum\limits_{n=1}^\infty x_{n}$ jest \textbf{absolutnie zbie\.zny} je\.zeli  $\sum\limits_{n=1}^\infty \|x_{n}\|<\infty$.
%Powiemy, \.ze \textbf{szereg   $\sum_{n=1}^\infty x_{n}$ jest absolutnie zbie\.zny} je\.zeli szereg liczbowy $\sum_{n=1}^\infty \|x_{n}\|<\infty$ jest zbie\.zny.
\end{block} \pause 
\begin{block}{}
\textbf{Stw.} 
Przestrze\'n unormowana $X$ jest zupe\l{}na wtedy i tylko wtedy, gdy ka\.zdy szereg  absolutnie zbie\.zny jest zbie\.zny w $X$.
%, tzn. gdy $\sum_{n=1}^\infty \|x_{n}\|<\infty$ poci\k{a}ga, \.ze szereg $\sum_{n=1}^\infty x_{n}$ jest zbie\.zny, dla ka\.zdego ci\k{a}gu $\{x_{n}\}_{n=1}\subseteq X$.
\end{block}
$$
\qquad
$$
 }

\frame{ 
\begin{block}{}
\textbf{Stw.}
Przestrze\'n unormowana $X$ jest zupe\l{}na wtedy i tylko wtedy, gdy ka\.zdy szereg  absolutnie zbie\.zny jest zbie\.zny w $X$.
%, tzn. gdy $\sum_{n=1}^\infty \|x_{n}\|<\infty$ poci\k{a}ga, \.ze szereg $\sum_{n=1}^\infty x_{n}$ jest zbie\.zny, dla ka\.zdego ci\k{a}gu $\{x_{n}\}_{n=1}\subseteq X$.
\end{block}
\pause 
\textbf{Dow\'od:} Niech $\sum_{n=1}^\infty \|x_{n}\|<\infty$. \pause  Wtedy dla  $M\geq N\geq 1$ mamy
$$
\|\sum_{n=1}^M x_{n}- \sum_{n=1}^N x_{n}\|=\|\sum_{n=N}^M x_{n}\|\leq \sum_{n=N}^M \|x_{n}\|\longrightarrow 0,\quad \text{ przy }N,M\to \infty,
$$
%bo ogon szeregu zbie\.znego jest zbie\.zny do zera. 
\pause  Zatem $\{\sum_{n=1}^N x_{n}
\}_{N=1}^\infty$ ci\k{a}g  Cauchy, wi\k{e}c  zbie\.zny je\'sli $X$  zupe\l{}na.  \pause 

\\[8pt]
Za\l{}\'o\.zmy teraz, \.ze ka\.zdy szereg w $X$, kt\'ory jest absolutnie zbie\.zny   jest zbie\.zny. \pause  Niech  $\{x_n\}_{n=1}^\infty\subseteq X$ dowolny ci\k{a}g Cauchy. \pause 
Wybierzmy podci\k{a}g $\{x_{n_k}\}_{k=1}^\infty$ taki, \.ze 
$\|x_{n_k}-x_{n_l}\|\leq (1/2)^k$ dla $l\geq k$. \pause  Po\l{}\'o\.zmy  $y_1:=x_{n_1}$ oraz $y_{k+1}:=x_{n_{k+1}}-x_{n_k}$ dla $k\geq 1$. \pause  Wtedy
$$
\sum_{k=1}^\infty \|y_{k}\|=\|x_{n_1}\|+ \sum_{k=1}^\infty \| x_{n_{k+1}}-x_{n_k}\|\leq \|x_{n_1}\| +\sum_{k=1}^\infty (1/2)^k =\|x_{n_1}\| +1 <\infty
$$ \pause 
 \text{sk\k{a}d  $\sum_{k=1}^\infty y_{k}$  zbie\.zny. \pause Ale $\sum_{k=1}^N y_{k}=x_{n_1} +\sum_{k=1}^N  x_{n_{k+1}}-x_{n_k}=x_{n_N}$}, czyli podci\k{a}g $\{x_{n_k}\}_{k=1}^\infty$ jest zbie\.zny.
\pause  Zatem  $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ jest zbie\.zny \blacksquare
\\
$$
\qquad
$$
$$
\qquad
$$
$$
\qquad
$$
 }

\end{document}


