\documentclass[trans]{beamer}
%\documentclass{beamer}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
%\usepackage{beamerbasearticle}
\usepackage{multimedia}
 \usepackage[dvips,usenames]{color}
\usepackage[arrow, matrix, curve]{xy}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[MeX]{polski}
\usepackage{amscd,graphics}
\usepackage{polski}
\usepackage{stackrel}
\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb,dsfont}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{fontawesome}
%\usepackage{bigints}
\usepackage{marvosym}
\usepackage{tikz}
\tikzset{rndblock/.style={rounded corners,rectangle,draw,outer sep=0pt}}
\newcommand{\tframed}[2][]{\tikz[baseline=(h.base)]\node[rndblock,#1] (h) {#2};}
\DeclareMathOperator{\lin}{lin}
\DeclareMathOperator{\re}{Re}
\DeclareMathOperator{\dashind}{-Ind}
\DeclareMathOperator{\inv}{Inv}
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\DeclareMathOperator{\erg}{Erg}
\DeclareMathOperator{\clsp}{\overline{span}}
\renewcommand{\H}{ E}
\newcommand{\I}{\mathcal I}
\newcommand{\B}{\mathcal B}
\newcommand{\CC}{\mathcal C}
\newcommand{\TT}{\mathcal T}
\newcommand{\M}{\mathcal M}
\newcommand{\Sol}{\mathcal S}
\newcommand{\K}{\mathcal K}
\newcommand{\x}{\widetilde x}
\newcommand{\w}{\widetilde w}
\newcommand{\y}{\widetilde y}
\newcommand{\X}{\widetilde X}
\newcommand{\Y}{\widetilde Y}
\newcommand{\U}{\widetilde U}
\newcommand{\V}{\widetilde V}
\newcommand{\f}{\widetilde f}
\newcommand{\h}{\widetilde h}
\newcommand{\F}{\mathbb F}

\newcommand{\TDelta}{\widetilde \Delta}
\newcommand{\Tdelta}{\widetilde \delta}
\newcommand{\Tomega}{\widetilde \omega}
\newcommand{\Tmu}{\widetilde{\mu}}
\newcommand{\TA}{\widetilde{\mathcal A}}
\renewcommand{\TH}{\widetilde{\mathcal H}}
\newcommand{\tal}{\widetilde \alpha}
\newcommand{\al}{\alpha}
\newcommand{\be}{\beta}
\newcommand{\p}{\varphi}

\renewcommand{\L}{\mathcal L}
\newcommand{\LL}{\mathcal L}
\newcommand{\JJ}{\mathcal J}
\renewcommand{\SS}{\mathcal S}

\newcommand{\DR}{\mathcal DR}

\newcommand{\OO}{\mathcal O}
\newcommand{\FF}{\mathcal F}
\newcommand{\A}{\mathcal A}
\newcommand{\D}{\mathcal D}
\newcommand{\G}{\mathcal G}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\T}{\mathbb T}

\usepackage{amsfonts}
\newcommand{\tickYes}{\checkmark}
\usepackage{pifont}
\newcommand{\tickNo}{\hspace{1pt}\ding{55}}

%\usetheme{Frankfurt}
\usetheme{Warsaw}
%\usecolortheme{seahorse}
\usecolortheme{rose}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 

\definecolor{mylightblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 



\definecolor{myblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 

\definecolor{mylightblue}{rgb}{0.9,0.9,1}
\definecolor{mylightred}{rgb}{1,0.4,0.4} 
\definecolor{mylightblue1}{rgb}{0.8,0.8,0.9}



\title[Wyk\l{}ad 10]{Analiza Funkcjonalna}
\author{Bartosz Kwa\'sniewski}
\institute{Faculty of Mathematics, University of Bia\l{}ystok }


\date{Wyk\l{}ad 10
\\[4pt]
\textbf{Operatory sprz\k{e}\.zone}
\\[8pt]
\scriptsize
math.uwb.edu.pl/$\sim$zaf/kwasniewski/pdf/skrypt.pdf
} %\pause
%\put(-20,-90){\includegraphics[angle=0, scale=0.212]{Heart.jpg}} 



\begin{document}


\frame{\titlepage}
\frame{$H$ -- ustalona przestrze\'n Hilberta. \pause 
\begin{block}{}
\textbf{Tw. (Riesz-Fr\'echet)} \label{thm:Riesz-Frechet} \pause 
Odwzorowanie $f:H\to \F$  \pause  jest ograniczonym funkcjona\l{}em liniowym  \pause 
$\Longleftrightarrow$ istnieje  $y\in H$ taki, \.ze   \pause 
$$ %\forall_{x\in H}\,\, 
f(x)=\langle x, y\rangle \text{ dla ka\.zdego }x\in H,
$$ \pause 
a ponadto, wtedy $\|f\|=\|y\|$. \pause  Czyli  $
H\ni y \longmapsto \langle \cdot, y\rangle \in H^*
$ \pause 
jest izometrycznym  izomorfizmem antyliniowym: \pause  $H\stackrel{anty}{\cong} H^*$. \pause 
\end{block}
\textbf{Dow\'od:}  \pause 
Je\'sli $
f(x):=\langle x, y\rangle$, $x\in H$, dla pewnego $y\in H$,  \pause  to $f\in H^*$ oraz $\|f\|=\|y\|$ \pause  (patrz  dow\'od Stwierdzenia z Wyk\l{}adu 7).  \pause 
Zatem  $
H\ni y \longmapsto \langle \cdot, y\rangle \in H^*
$  izometria, \pause kt\'ora jest antyliniowa,  \pause  bo  iloczyn skalarny jest antyliniowy ze wzgl\k{e}du na drug\k{a} wsp\'o\l{}rz\k{e}dn\k{a}. \pause 
%, patrz Uwaga \ref{rem:antilinear_in_second_var}. Zatem aby wykaza\'c, \.ze jest to izomorfizm wystarczy  pokaza\'c jego surjektywno\'s\'c, tzn. \.ze ka\.zdy element $H^*$ jest zadany przez iloczyn skalarny.
\\[6pt]

Niech teraz $f\in H^*$ dowolny niezerowy \pause  (je\'sli  $f\equiv 0$, to  $f(x)=\langle x, 0\rangle$ dla $x\in H$). \pause 
%Mo\.zemy za\l{}o\.zy\'c, \.ze  
 Wtedy 
$M:=\ker f \neq H$ \pause  i st\k{a}d 
 $\{0\}\neq M^\bot\subseteq H$. \pause  Co wi\k{e}cej twierdzimy, \.ze $\dim(M^\bot)=1$. \pause  Rzeczywi\'scie, 
}
\frame{
je\'sli $y_1$, $y_2\in M^\bot$ niezerowe,  \pause  to $f(y_1),f(y_2)\neq 0$ \pause  i dla $\lambda:=\frac{f(y_2)}{f(y_1)} \in \F$ \pause 
\\[6pt]
\qquad \quad $
f(\lambda y_1 -y_2) \pause =\lambda f(y_1)-f(y_2)\pause =f(y_2)-f(y_2)\pause =0.
$ \pause 
\\[6pt]
Czyli $\lambda y_1 -y_2\in \ker f=M$. \pause  Ale z drugiej strony $ \lambda y_1 -y_2 \in M^\bot$. \pause  %, bo $M^\bot$ jest przestrzeni\k{a} liniow\k{a} i $y_1$, $y_2\in M^\bot$. 
Zatem $y_2= \lambda y_1$, \pause  bo $M\cap M^\bot=\{0\}$. \pause  St\k{a}d $\dim(M^\bot)=1$.\pause 
\\[6pt]
We\'zmy  dowolny $y_0\in M^\bot$ taki, \.ze $\|y_0\|=1$. \pause  Wtedy  dla $x\in H$ mamy $P_{M^\bot}x=\langle x, y_0\rangle y_0$  \pause 
(bo $M^\bot=\{\lambda y_0:\lambda \in \F\}$) \pause  i st\k{a}d
\\[6pt]
 $
f(x)\pause =f(P_Mx + P_{M^\bot}x)\pause =f(P_Mx) + f(P_{M^\bot}x)\pause =0+f(\langle x, y_0\rangle y_0)
$ \pause 
\\[6pt]
\, \qquad$=\langle x, y_0\rangle f(y_0) \pause =\langle x, \overline{f(y_0)}y_0\rangle.
$ \pause 
\\[6pt]
Czyli k\l{}ad\k{a}c $y:= \overline{f(y_0)}y_0$ \pause  mamy $f(x)=\langle x, y\rangle$, $x\in H$. \pause  $\blacksquare$ \pause 

\begin{block}{} \textbf{Wn.} 
Niech $(\Omega,\Sigma,\mu)$ przestrze\'n z miar\k{a}.  \pause Ka\.zdy ograniczony funkcjona\l{} liniowy $f:L^2(\mu)\to \F$ jest postaci \pause
\\[8pt]
\qquad\qquad \qquad
$
f(x)=\int_{\Omega} x(t)y(t) \, d\mu, \qquad x\in L^2(\mu),
$ 
\\[8pt]
gdzie $y\in L^2(\mu)$. \pause Ponadto wtedy $\|f\|=\left(\int_{\Omega} |y(t)|^2 \, d\mu\right)^\frac{1}{2}=\|y\|_2$.
\end{block}
}
\frame{
\begin{block}{}
\textbf{Tw.} Je\'sli $T:H\to K$ jest ograniczonym operatorem liniowym  \pause  mi\k{e}dzy dwoma przestrzeniami Hilberta $H$ i $K$,  \pause  to istnieje dok\l{}adanie 
jedna funkcja $T^*:K\to H$  \pause  taka, \.ze 
\begin{equation}\label{equ:adjoint_operator}
\langle Tx, y\rangle = \langle x, T^*y\rangle, \qquad \text{dla }x\in H,\,\, y\in K.
\end{equation}  \pause 
Ponadto, $T^*\in B(K,H)$   \pause   oraz $\|T^*\|=\|T\|$  \pause  i $(T^*)^*=T$. \pause 
\end{block}
\begin{block}{}
\textbf{Def.} $T^*$  nazywamy \textbf{operatorem sprz\k{e}\.zonym} do $T\in B(H,K)$.  \pause 
\end{block}  \pause 
\textbf{Dow\'od:}   \pause 
Dla ustalonego $y\in K$  \pause  funkcja $f(x):=\langle Tx, y\rangle$, $x\in H$,  \pause  jest ograniczonym funkcjona\l{}em liniowym na $H$.  \pause  W szczeg\'olno\'sci, 
\\[8pt]
\qquad\qquad 
$
|f(x)|\pause=|\langle Tx, y\rangle|\pause\leq \|Tx\| \cdot\|y\|\pause \leq \|T\|\cdot\|y\| \cdot \|x\|,
$
\\[8pt] \pause
sk\k{a}d $\|f\|\leq \|T\| \cdot \|y\|$.  \pause   \pause  Zatem na mocy Twierdzenia  (Riesz-Fr\'echet)  \pause  istnieje dok\l{}adnie jeden wektor w $H$,  \pause  oznaczmy go przez $T^*y$,  \pause  taki, \.ze $f(x)=\langle x, T^*y\rangle$,  $x\in H$,  \pause  czyli $\langle Tx, y\rangle=\langle x, T^*y\rangle$, dla $x\in H$.   \pause  Ponadto wtedy $\|T^*y\|=\|f\|\leq \|T\| \cdot \|y\|$.   \pause 
 To dowodzi istnienia i jednoznaczno\'sci funkcji  $T^*:K\to H$ spe\l{}niaj\k{a}cej \eqref{equ:adjoint_operator}. 
}
\frame{
$T^*$ jest operatorem liniowym,   \pause  bo dla $y_1$, $y_2\in K$, $\lambda \in \F$ oraz  $x\in H$   \pause 
\\[6pt]
$
\langle x, T^*(\lambda y_1+y_2)\rangle  \pause 
= \langle Tx, \lambda y_1+y_2\rangle  \pause  = \overline{\lambda} \langle T x, y_1\rangle +\langle T x,y_2\rangle  \pause 
$
\\[6pt]
\qquad \qquad \qquad \qquad $= \overline{\lambda} \langle x, T^*y_1\rangle +\langle  x,T^*y_2\rangle$  \pause 
\\[6pt]
\qquad \qquad \qquad \qquad $=  \langle x, \lambda T^*y_1\rangle +\langle  x,T^*y_2\rangle  \pause =\langle x, \lambda T^*y_1+T^*y_2\rangle.
$  \pause 
\\[6pt]
St\k{a}d $T^*(\lambda y_1+y_2)=\lambda T^*y_1+T^*y_2$.  \pause 
Z otrzymanej wcze\'sniej nier\'owno\'sci $\|T^*y\|\leq \|T\| \cdot \|y\|$  \pause  wynika, \.ze $\|T^*\|\leq \|T\|$.   \pause 
\.Zeby wykaza\'c nier\'owno\'s\'c przeciwn\k{a}   \pause  zauwa\.zmy, \.ze sytuacja jest symetryczna i mo\.zemy zamieni\'c $T$ i $T^*$ rolami.  \pause  Dok\l{}adniej, 
\\[6pt]
\qquad \qquad $
\langle  T^*x, y \rangle  \pause  =\overline{\langle y, T^*x\rangle} \pause  =\overline{\langle Ty, x\rangle}  \pause = \langle  x, Ty \rangle, % \qquad x\in K, y\in H,
$   \pause 
sk\k{a}d  $(T^*)^*=T$   \pause  i w szczeg\'olno\'sci $\|T\|=\|(T^*)^*\|\leq \|T^*\|$.  \pause  $\blacksquare$

\\[6pt]
\textbf{Prz.} 
Je\'sli $H=\F^n$ i $K=\F^m$, \pause  to  dla $A=[a_{i,j}]_{i=1,j=1}^{m,n}\in B(H,K)$ \pause
$$
A=\left(\begin{array}{c c c c}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\

a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\


a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}\\

\end{array}\right)\,\, \Longrightarrow \,\,   
A^*=\left(\begin{array}{c c c c}
\overline{a_{11}} & \overline{a_{21}} & \ldots & \overline{a_{m1}}\\

\overline{a_{12}} & \overline{a_{22}} & \ldots & \overline{a_{m2}}\\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\


\overline{a_{1n}} & \overline{a_{2n}} & \ldots & \overline{a_{nm}}\\
\end{array}\right).
$$
}


\frame{
\begin{block}{ } \textbf{Stw. %[Podstawowe w\l{}asno\'sci operacji sprz\k{e}\.zenia] 
(W\l{}asno\'sci sprz\k{e}\.zenia)} \pause $T,S  \in B(H,K)$, $R\in B(K,L)$ \pause
\begin{enumerate}[(a)]
\item\label{item:involution1} \pause  inwolucja: $(T^*)^*=T$; 
\item\label{item:involution2} \pause antyliniowo\'s\'c: $
(\alpha T + \beta S)^*=\overline{\alpha}T^* + \overline{\beta} S^*,
$ gdzie , $\alpha, \beta\in \F$;
\item \label{item:involution3} \pause antymultiplikatywno\'s\'c: $
(R T)^*=T^* R^*
$;
\item\label{item:involution4}  \pause $C^*$-r\'owno\'s\'c: $\|T\|^2=\|T^*T\|$. 
\end{enumerate}
 \end{block}
\pause
\textbf{Dow\'od:}  W\l{}asno\'s\'c \eqref{item:involution1} wykazali\'smy w poprzednim Twierdzeniu.  \pause
\\[4pt]
\eqref{item:involution2}. {\small  $\langle (\alpha T + \beta S)x, y\rangle=  \alpha \langle Tx,y\rangle + \beta \langle Sx, y\rangle=
\alpha \langle x,T^*y\rangle + \beta \langle x, S^*y\rangle$
\\[4pt]
\qquad \qquad \qquad \qquad \quad\, $= \langle x,\overline{\alpha}T^*\rangle + \langle x, \overline{\beta} S^*y\rangle
=\langle x, (\overline{\alpha}T^* + \overline{\beta} S^*)y\rangle$.}
\\[4pt]
\eqref{item:involution3} {\small$\langle RT x, y\rangle=\langle T x, R^*y\rangle=\langle  x, T^*R^*y\rangle$. }
\\[4pt] \pause
\eqref{item:involution4}.  \pause Zauwa\.zmy, \.ze  $\|T^*T\|\leq \|T^*\|\cdot \|T\|$ (bo  $\|RT\|\leq \|R\| \cdot \|T\|$ -- norma operatorowa jest submultiplikatywna) i skoro $*$ jest izometri\k{a}, to $\|T^*T\|\leq \|T\|^2$. 
Z drugiej strony dla $h\in H$ mamy \pause  \\[4pt] %
$
\|Th\|^2=\langle Th, Th \rangle \pause =\langle h, T^*T h\rangle \pause\stackrel{\tiny \text{Schwartz}}{\leq} \|h\| \|T^*Th\|\pause \leq \|T^*T\| \|h\|^2
$\pause \\[4pt]
St\k{a}d $\|T\|^2\leq \|T^*T\|$. %\pause  Nier\'owno\'s\'c w drug\k{a} stron\k{e} wynika st\k{a}d, \.ze $*$ jest izometri\k{a},  gdy\.z st\k{a}d    $\|T^*T\|\leq \|T^*\|\cdot \|T\|=\|T\|^2$.
 $\blacksquare$

}
\frame{

\begin{block}{}
\textbf{Lem.} \pause Dla $U:H\to K $ \pause nast\k{e}puj\k{a}ce warunki s\k{a} r\'ownowa\.zne:
\begin{enumerate}[(1)]
\item \pause $U$ jest izometri\k{a},
\item \pause $U$ zachowuje iloczyn skalarny,
\item \pause $U^*U=1$.
\end{enumerate}
% jest izometri\k{a} wtedy i tylko wtedy, gdy $U^*U=1$. 
\end{block} \pause
\textbf{Dow\'od:} \pause
(1)$\Longrightarrow$(2). \pause Je\'sli $U$ jest izometri\k{a}, \pause to na mocy wzor\'ow polaryzacyjnych  dla dowolnych $x,y\in H$ (oraz $\F=\C$) \pause
\\[6pt]
$
\langle Ux,Uy\rangle \pause=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k\|Ux+i^kUy\|^2 \pause=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k\|U(x+i^ky)\|^2
$ \pause
\\[6pt]
\qquad  \qquad$=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k\|x+i^ky\|^2\pause =\langle x,y\rangle.
$ \pause
\\[6pt]
(2)$\Longrightarrow$(3).  \pause Dla dowolnych $x,y\in H$ mamy \pause
\\[6pt]
$\langle Ux, Uy\rangle \pause=\langle x, y\rangle \pause\,\Leftrightarrow \, \langle x, U^*Uy\rangle   =\langle x, y\rangle
\pause \,\Leftrightarrow\, 
\langle x, U^*Uy -y \rangle =0.
$
\\[6pt] \pause
K\l{}ad\k{a}c $x:= U^*Uy -y$ dostajemy $U^*Uy=y$. \pause  Czyli $U^*U=1$.
%$\langle Ux, Uy\rangle =\langle x, y\rangle\,\,\Longleftrightarrow\, \, \langle x, U^*Uy\rangle =\langle x, y\rangle$
%\\[6pt]
%\qquad \qquad \qquad  \qquad $\Longleftrightarrow\, \,
%\langle x, U^*Uy -y \rangle =0
%$
%\\[6pt]
\pause
\\[6pt]
(3)$\Longrightarrow$(1). \pause Dla dolnwego $x\in H$ mamy \pause
\\[6pt]
\qquad 
$\|Ux\|^2 \pause =\langle Ux, Ux\rangle\pause =\langle x, U^*Ux\rangle\pause = \langle x, x\rangle\pause =\|x\|^2$. \pause \quad $\blacksquare$
}





\frame{
\begin{block}{} 
\textbf{Wn.} $U$ jest operatorem unitarnym \pause (odwracaln\k{a} izometri\k{a}) \pause  wtedy i tylko wtedy, gdy $U^*U=UU^*=1$. 
\end{block} \pause
\textbf{Dow\'od:} \pause
Je\'sli $U^*U=UU^*=1$, \pause to $U$ odwracalna izometria, gdzie $U^*=U^{-1}$, \pause a wi\k{e}c $U$ unitarny. \pause
Je\'sli $U$ unitarny, \pause to $U^*U=1$, bo  $U$ jest izometri\k{a}, \pause i st\k{a}d $U^{-1}=1 U^{-1}=U^*UU^{-1}=U^*$, \pause czyli $U^*U=UU^*=1$. \pause $\blacksquare$
\large  \pause
\begin{block}{Charakteryzacje operator\'ow za pomoc\k{a} operacji algebraicznych}  \pause
\begin{center}
		\begin{tabular}{| c|c| }
		\hline
		Relacje  & Nazwa  operatora  \pause
		\\
		\hline
		$T=T^*$ &  \textbf{samosprz\k{e}\.zony} \pause
		\\
		\hline
		$TT^*=T^*T$ &  \textbf{normalny}  \pause
		\\
		\hline
		$P^2=P$, $P=P^*$ &  \textbf{rzut ortogonalny}  \pause
		\\
		\hline
		$U^*U=1$ &  \textbf{izometria} \pause
		\\
		\hline
		$U^*U=UU^*=1$ &  \textbf{unitarny} 
		\\
		\hline
		
				\end{tabular}
			\\
				\pause 
			
\end{center}
\end{block}	
\textbf{ Uw.} Operator unitarny  $=$  "`normalna izometria"'.
}
\frame{\textbf{Prz. 
(klasyczny jednostronny operator przesuni\k{e}cia)} \pause
 \begin{picture}(32,00)(0,10)\label{rys:hotel}
 \put(-21,-108){\includegraphics[scale=0.329]{hotel2.png}} \pause
\put(-21,-108){\includegraphics[scale=0.329]{hotel3.png}}
%\put(-38,70){wypuk\l{}y}

\end{picture} \pause
%\begin{block}{Operator przesuni\k{e}cia}\label{ex:unilateral_shift}
Operator $U:\ell^2\to \ell^2$ dany wzorem 
$$
U(x(1),x(2),x(3),\dots ) :=(0,x(1),x(2),\dots)\qquad \qquad
$$ \pause
  jest izometri\k{a} $U$, \pause  %bo $\|Ux\|^2=|x(1)|^2+|x(2)|^2+\dots =\|x\|^2$, 
	ale nie jest operatorem unitarnym,  \pause
	\\
bo	$ UH=\{x\in \ell^2: x(1)=0\}\neq H$. \pause  Ponadto %Operator do niego 
%	\\
%	sprz\k{e}\.zony
%jest postaci
$$
U^*(x(1),x(2),x(3),\dots )=(x(2),x(3),\dots), \qquad \qquad
$$ \pause
bo  \pause
\\[8pt]{
\quad $
\langle Ux, y\rangle \pause=\langle (0,x(1),x(2),x(3),\dots), (y(1),y(2),y(3),\dots )\rangle
$
\\[8pt]
\,\qquad \qquad \pause $= 0\cdot \overline{y(1)}+ x(1)\overline{y(2)}+x(2)\overline{y(3)} +\dots 
$\\[8pt]
\,\qquad \qquad \pause $=\langle (x(1),x(2),x(3),\dots), (0,y(2),y(3),\dots )\rangle=\langle x, U^*y\rangle
$}
\\[8pt] \pause
W szczeg\'olno\'sci,  $\ker U^*=\{x\in \ell^2: x=(x(1),0,0,\dots)\}\neq\{0\}$ \pause i
\\[6pt] \pause
\qquad \qquad $
U^*U=1, \pause\qquad UU^*\pause=P_{ UH}\pause=1-P_{\ker U^*}\pause\neq 1.\pause
$
%\end{block}
\begin{block}{} 
\textbf{Uw.}  $UU^*=P_{ UH}=1-P_{\ker U^*}$ dla dowolnej izometrii $U$ \pause \begin{picture}(0,0)(0,0)
\put(5,-8){\includegraphics[scale=0.09]{house.png}} 
\end{picture} 
\end{block}
}

\end{document}

W tym podrodziale om\'owimy operacj\k{e} sprz\k{e}\.zenia operatorowego, kt\'ora w teorii operator\'ow pe\l{}ni rol\k{e}  tak samo wa\.zn\k{a} (o ile nie wa\.zniejsz\k{a})  jak sprz\k{e}\.zenie zespolone w analizie zespolonej.  De facto sprz\k{e}\.zenie operator\'ow jest operacj\k{a}  uog\'olniaj\k{a}c\k{a} sprz\k{e}\.zenia liczb zespolonych, a tak\.ze sprz\k{e}\.zenie macierzy:

Dla og\'olnych operator\'ow na (niesko\'nczenie wymiarowych) przestrzeniach Hilberta operacj\k{e} 
sprze\.zenia definiuje si\k{e} za pomoc\k{a} iloczynu skalarnego. M\'owi si\k{e}, \.ze operatory $T$ i $T^*$ s\k{a} ze sob\k{a} sprz\k{e}\.zone je\.zeli 
dla wszystkich wektor\'ow $x$ i $y$
zachodzi r\'owno\'s\'c
$$
\langle Tx, y\rangle = \langle x, T^*y\rangle.
$$
Istnienie operatora sprz\k{e}\.zonego $T^*$ do dowolnego  operatora ograniczonego $T$ wynika z wa\.znego \emph{twierdzenia o postaci funkcjona\l{}\'ow ograniczonych na przestrzeni Hilberta}, od kt\'orego zaczniemy.


Przypomnijmy, \.ze przestrze\'n sprz\k{e}\.zona (dualna) do przestrzeni unormowanej $H$ jest to przestrze\'n Banacha $H^*$ sk\l{}adaj\k{a}ca si\k{e} z funkcjona\l{}\'ow 
liniowych i ograniczonych $\varphi:H\to \F=\C, \R$ wyposa\.zona w norm\k{e} operatorow\k{a} (Definicja \ref{def:dual_space}). 
Jedn\k{a} z charakterystycznych w\l{}asno\'sci wyr\'o\.zniaj\k{a}cych przestrzenie Hilberta po\'sr\'od przestrzeni Banacha jest to, \.ze 
\begin{quote}
	przestrze\'n sprz\k{e}\.zona do przestrzeni Hilberta jest  izometrycznie izomorficzna z wyj\'sciow\k{a} przestrzeni\k{a} (w przypadku zespolonym antyliniowo izomorficzna).
\end{quote}
Mianowicie, w 1907 roku    Frigyes Riesz i Maurice Fr\'echet  niezale\.znie wykazali, \.ze ka\.zdy ograniczony funkcjona\l{} liniowy na przestrzeni Hilberta jest zadany przez iloczyn skalarny z pewnym ustalonym wektorem. Fakt ten jest czasem nazywany  twierdzeniem o reprezentacji funkcjona\l{}u liniowego na przestrzeni Hilberta:

\end{proof}
\begin{rem}\label{rem:Riesz-Frechet}
Z Twierdzenia \ref{thm:Riesz-Frechet} wynika, \.ze przestrze\'n dualna $H^*$ do przestrzeni Hilberta $H$ jest przestrzeni\k{a} Hilberta z iloczynem skalarnym danym wzorem $\langle f_1, f_2\rangle :=\langle y_2, y_1\rangle$ gdzie $f_i(x)=\langle x, y_i\rangle$ dla $x\in H$, $i=1,2$. %i $f_2(x)=\langle x, y_2\rangle$.
\end{rem}
\begin{cor}
\end{cor}
\begin{rem}
Powy\.zsze twierdzenie i wniosek, opr\'ocz znaczenia teoretycznego, s\k{a} bardzo praktyczne przy obliczaniu normy funkcjona\l{}\'ow liniowych na przestrzeniach Hilberta. Na przyk\l{}ad, je\'sli $f(x)=\int_a^b x(t)\sin t \, dt+ i \int_a^bx(t)\cos t \, dt$ jest funkcjona\l{}em okre\'slonym na przestrzeni $L^2[a,b]$, to jego norma wynosi
$
\|f\|=\left(\int_{a}^b |\sin t + i \cos t |^2 \, d\mu\right)^\frac{1}{2}= \left(\int_{a}^b 1 \, d\mu\right)^\frac{1}{2}=\sqrt{b-a}.
$
\end{rem}
Twierdzenie \ref{thm:Riesz-Frechet} implikuje istnienie i jednoznaczno\'s\'c operatora sprz\k{e}\.zonego do dowolnego operatora ograniczonego:
\begin{thm}\label{thm:existance_of_adjoint}

\end{proof}
\begin{defn} Niech $H$, $K$ przestrzenie Hilberta oraz $T:H\to K$ operatora ograniczonego.
Operator $T^*:K\to H$ spe\l{}niaj\k{a}cy \eqref{equ:adjoint_operator} nazywamy \emph{operatorem sprz\k{e}\.zonym} do $T$.
\end{defn}
\begin{ex}[Macierze]

\end{ex}
Powy\.zszy przyk\l{}ad mo\.zna uog\'olni\'c w kontek\'scie operator\'ow z j\k{a}drem ca\l{}kowym:
\begin{ex}[Operatory z j\k{a}drem ca\l{}kowym] 
Niech $H=L^2(\mu)$, gdzie $(\Omega,\Sigma, \mu)$ dowolna przestrze\'n z miar\k{a}. 
Dla uproszeczenia rozwa\.zmy operator $T:H\to H$ dzia\l{}aj\k{a}cy na tej samej przestrzeni Hilberta.
Powiemy, \.ze operator $T$ posiada \emph{j\k{a}dro ca\l{}kowe} je\.zeli istnieje funkcja mierzalna dw\'och zmiennych $K:\Omega\times \Omega\to \F$ taka, \.ze 
zachodzi wz\'or
$$
(Tx)(s)=\int_{\Omega} K(s,t)x(t)\,d\mu(t), \qquad x\in L^2(\Omega,\Sigma, \mu), s\in \Omega.
$$
Zauwa\.zmy, \.ze ka\.zda funkcja ca\l{}kowalna w kwadracie $K\in L^2(\Omega\times \Omega,\Sigma\otimes \Sigma, \mu\otimes \mu)$ jest j\k{a}drem ca\l{}kowym operatora ograniczonego, gdy\.z
\begin{align*}
\|Tx\|_2^2&= \int_{\Omega} \left|\int_{\Omega} K(s,t)x(t)\,d\mu\right|^2 d\mu \stackrel{\text{N. Schwartza}}{\leq}\int_{\Omega} \left|\left(\int_{\Omega} |K(s,t)|^2\, d\mu\right)^{\frac{1}{2}}   \left(\int_\Omega |x(t)|^2\,d\mu\right)^{\frac{1}{2}}  \right|^2\, d\mu
\\
&=\int_{\Omega} \int_{\Omega} |K(s,t)|^2\, d\mu \cdot  \|x\|_2 \, d\mu= \|K\|_{2} \cdot \|x\|_2,
\end{align*}
sk\k{a}d $\|T\|\leq \|K\|_{2}$. Je\.zeli $K$ jest j\k{a}drem ca\l{}kowym operatora $T$, to stosuj\k{a}c twierdzenie Fubiniego (zmian\k{e} kolejno\'sci ca\l{}kowania)\
otrzymujemy
\begin{align*}
\langle T x, y\rangle &= \int_{\Omega} \left (\int_{\Omega} K(s,t)x(t)\,d\mu(t) \right) \overline{y(s)}\, d\mu (s)
=
\int_{\Omega} \int_{\Omega} K(s,t)x(t)\, \cdot \overline{y(s)}\, d\mu (s) d\mu(t)
\\
&=\int_{\Omega} x(t) \left (\int_{\Omega} K(s,t) \overline{y(s)} \,d\mu(s) \right)\, d\mu (t)=\int_{\Omega} x(t) \overline{\int_{\Omega} \overline{K(s,t)} y(s) \,d\mu(s)}\, d\mu (t)
\\
&=\langle  x, T^*y\rangle.
\end{align*}
St\k{a}d operator sprz\k{e}\.zony jest dany wzorem
$$
(T^*x)(s)=\int_{\Omega} \overline{K(t,s)}x(t)\,d\mu, \qquad x\in L^2(\Omega,\Sigma, \mu), s\in \Omega.
$$
Czyli	$T$ posiada j\k{a}dro ca\l{}kowe $K(s,t)$   $\Longleftrightarrow$  $T^*$ posiada j\k{a}dro ca\l{}kowe $\overline{K(t,s)}$. Oczywi\'scie, je\'sli $\Omega=\{1,...,n\}$ zbi\'or sko\'nczony (i $\mu$ to miara licz\k{a}ca), to j\k{a}dro ca\l{}kowe $K:\Omega\times \Omega\to \F$ mo\.zemy
uto\.zsami\'c z macierz\k{a} $[K(i,j)]_{i,j=1}^n$.
\end{ex}

\begin{ex}[Operatory mno\.zenia]\label{ex:multiplication_operator2}
Niech $H=L^2(\mu)$, gdzie $(\Omega,\Sigma, \mu)$ dowolna przestrze\'n z miar\k{a}. 
Dla dowolnej funkcji istotnie ograniczonej $a\in L^{\infty}(\mu)$. Wz\'or 
$$
(M_a x)(t)= a(t)x(t), \qquad x\in L^2(\mu),\,\, t\in \Omega,
$$
definiuje operator mno\.zenie przez funkcj\k{e} $a$, por. Przyk\l{}ad \ref{ex:multiplication_operator}. 
Prosty rachunek pokazuje, \.ze 
$
(M_a)^*= M_{\overline{a}}
$
tzn. operator sprz\k{e}\.zony od operatora mno\.zenia przez funkcj\k{e} $a(t)$ jest operatorem mno\.zenia przez funkcj\k{e} $\overline{a(t)}$ (\home przeliczy\'c).
\end{ex}
Z ostatniej linijki Twierdzenia \ref{thm:existance_of_adjoint} wynika, \.ze sprz\k{e}\.zenie operatorowe 
$*:B(H,K)\to B(K,H)$ jest 
odwracaln\k{a} izometri\k{a}. Izometria ta jest antyliniowa i antymultiplikatywna:
\end{proof}

Powy\.zsze stwierdzenie w zastosowaniu do $B(H)=B(H,H)$ m\'owi, \.ze przestrze\'n wszystkich operator\'ow ograniczonych na przestrzeni Hilberta wraz z mno\.zeniem jako sk\l{}adaniem operator\'ow i operacj\k{a} sprz\k{e}\.zenia operatorowego jest \emph{$C^*$-algebr\k{a}} (\.zeby zda\'c egzamin nie trzeba wiedzie\'c, co to jest $C^*$-algebra, ale dobrze wiedzie\'c, \.ze teoria takich algebr jest dziedzin\k{a}, w kt\'orej specjalizuje si\k{e} egazminator). 
W szczeg\'olno\'sci, za pomoc\k{a} operacji sprze\.z\k{e}nia mo\.zna zdefiniowa\'c wiele wa\.znych klas operator\'ow w $B(H)$. Poni\.zsza tabela zawiera przyk\l{}ady takich klas:
	
Dwa pierwsze rz\k{e}dy mo\.zna traktowa\'c jako definicje. Charakteryzacj\k{e} rzut\'ow ortogonalnych wykazali\'smy w Twierdzeniu \ref{thm:orthogonal_projection_operator}.  W dw\'och ostatnich charakteryzacjach $1\in B(H)$ jest operatorem identyczno\'sciowym na $H$. 
% Dwie ostatnie charakteryzacje 
Wynikaj\k{a} one z Lematu \ref{lem:unitary_operator}:


\begin{prop}
\end{proof}

Je\'sli $\dim(H)=n<\infty$, to ka\.zdy operator $U\in B(H)$ injektywny jest automatycznie odwracalny, bo $\dim(\ker U)+ \dim (\im U)=\dim(H)$. W szczeg\'olno\'sci, ka\.zda izometria na przestrzeni sko\'nczenie wymiarowej jest automatycznie operatorem unitarnym. 
 W przestrzeniach niesko\'nczenie wymiarowych nieodwracalne izometrie istniej\k{a}.
\\
Jest to mo\.zliwe na mocy \emph{paradoksu Hotelu Hilberta}:
\\[8pt]
 \hspace*{9pt} ``Je\'sli w hotelu jest niesko\'nczona liczba pokoi, to 
\\
nawet gdy wszystkie pokoje s\k{a} zaj\k{e}te, a przychodzi 
\\
do nas  kolejny  klient, to mo\.zemy go zakwaterowa\'c, 
\\
przesuwaj\k{a}c  pozosta\l{}ych, ka\.zdego o jeden pok\'oj do 
\\
g\'ory.''
\\[8pt]
Na przestrzeni Hilberta $\ell^2$, odpowiednikiem powy\.z- 
\\
szej procedury przekwaterowywania go\'sci, jest tzw. 
\\ 

\end{ex}
\begin{rem} Powy\.zszy przyk\l{}ad jest szczeg\'olnym przypadkiem nast\k{e}puj\k{a}cej sytuacji.
Niech $(\Omega,\Sigma, \mu)$ b\k{e}dzie przestrzeni\k{a} z miar\k{a} i niech $\varphi:\Delta\to \Omega$ b\k{e}dzie odwzorowaniem mierzalnym zdefiniowanym na mierzalnym podzbiorze $\Delta\subseteq \Omega$. 
Mo\.zna pokaza\'c, \.ze operator kompozycji z takim cz\k{e}\'sciowym odwzorowaniem:
$$
(T_\varphi x)(t)=\begin{cases}
x(\varphi(t)), & t\in \Delta\\
0, & t\not\in\Delta
\end{cases},\qquad  t\in \Omega,
$$
jest poprawnie okre\'slon\k{a} izometri\k{a} na $H:=L^2(\mu)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\varphi$\emph{ zachowuje miar\k{e}} $\mu$, tzn. 
$\mu(\varphi^{-1}(A))=\mu(A)$ dla ka\.zdego $A\in \Sigma$. W szczeg\'olno\'sci, je\'sli 
$\Omega=\N$, $\mu$ to miara licz\k{a}ca, $\Delta=\{2,3,...\}$ oraz $\varphi(n)=n-1$ dla $n \geq 2$, to $T_\varphi=U$ jest jednostronnym przesuni\k{e}ciem. 
Ponadto, operator mno\.zenia $M_a$ przez funkcj\k{e} $a\in L^{\infty}(\mu)$, patrz Przyk\l{}ad \ref{ex:multiplication_operator2},
jest izometri\k{a} wtedy i tylko wtedy, gdy jest operatorem unitarnym (bo $M_a$ jest operatorem normalnym) wtedy i tylko wtedy, gdy
$|a(t)|=1$ $\mu$-prawie wsz\k{e}dzie (\home wyja\'sni\'c szczeg\'o\l{}y). Jako \.ze z\l{}o\.zenie izometrii jest izometri\k{a}, to otrzymujemy, \.ze wa\.z\'ony operator 
kompozycji
$$
(Ux)(t):=[(M_a T_\varphi) x](t)=\begin{cases}
a(t)x(\varphi(t)), & t\in \Delta\\
0, & t\not\in\Delta
\end{cases},\qquad  t\in \Omega,
$$
jest izomerti\k{a} na $L^2(\Omega,\Sigma, \mu)$ dla dowolnego cz\k{e}\'sciowego odwzorowania $\varphi:\Delta \to \Omega$ zachowuj\k{a}cego miar\k{e} $\mu$ oraz mierzalnej funkcji (wagi) $a:\Delta \to \{z\in \F: |z|=1\}$.  Nietrudno zauwa\.zy\'c, \.ze powy\.zszy wz\'or na $U$ definiuje izometri\k{e} na wszystkich przestrzeniach 
$L^p(\mu)$, $p\geq 1$. Twierdzenie Banacha-Lamperti m\'owi, \.ze ka\.zda izometria na przestrzeni $L^p(\mu)$ dla $p\neq 2$ jest tej postaci. 
\end{rem}
Na powy\.zszym przyk\l{}adzie mo\.zna zaobserwowa\'c dwa og\'olne fakty. Po pierwsze dla ka\.zdej izometri $U\in B(H)$ operator $UU^*$ jest rzutem ortogonalnym na obraz $U$ (\home udowodni\'c). Po drugie j\k{a}dro operatora sprz\k{e}\.zonego jest dope\l{}nieniem ortogonalnym wyj\'sciowego operatora.
\begin{lem}
Je\'sli $U\in B(H)$ izometria, to $U U^*=P_{\im U}$, tzn. $U U^*$ jest rzutem ortogonalnym na obraz operatora $U$.
\end{lem}
\begin{proof}
Operator $UU^*$ jest samosprz\k{e}\.zony, bo $(UU^*)^*=(U^*)^*U^*=U^*U$, i jest idempotentem, bo
$(UU^*)^2=U (U^* U) U^*=U U^*$. Zatem, na mocy Twierdzenia \ref{thm:orthogonal_projection_operator}, $UU^*$ jest rzutem ortogonalnym na sw\'oj obraz. Oczywiste jest, \.ze $\im UU^*\subseteq \im U$. Inkluzja w drug\k{a} stron\k{e} wynika z relacji $U=U 1= U (U^*U)=(UU^*) U$, kt\'ora oznacza, \.ze rzut $UU^*$ jest identyczno\'sci\k{a} na $\im U$. 
\end{proof}

\begin{prop}
Dla dowolnego operatora $T\in B(H)$ mamy $(\im T)^\bot=\ker T^*$.
\end{prop}
\begin{proof}
Je\'sli $x\in \ker T^*$, to dla dowolnego $y\in H$ mamy $\langle x, Ty\rangle= \langle T^*x, y\rangle= \langle 0, y\rangle=0$.
St\k{a}d $\ker T^*\subseteq (\im T)^\bot$. Z drugiej strony je\'sli $x\perp \im T$, to  
$\|T^*x\|^2=\langle T^*x, T^*x\rangle =\langle x, T(T^*x)\rangle=0$, czyli $x\in \ker T^*$. St\k{a}d $(\im T)^\bot \subseteq \ker T^*$.
\end{proof}

Na koniec powiedzmy par\k{e} s\l{}\'ow o operatorach normalnych. Pe\l{}ni\k{a} one wa\.zn\k{a} rol\k{e}  mimo, i\.z zdecydowana wi\k{e}kszo\'s\'c operator\'ow jest ``nienormalna''. Operatory normalne posiadaj\k{a} bardzo dobre w\l{}asno\'sci spektralne (o czym jeszcze
mam nadziej\k{e}  pom\'owi\'c pod koniec niniejszego wyk\l{}adu). Na przyk\l{}ad, z  algebry liniowej powinni\'smy pami\k{e}ta\'c, \.ze  macierz zespolona $A$ jest normalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest diagonalizowalna, tzn. jest postaci $A=UDU^*$, gdzie $U$ to operator unitarny, a $D$ to macierz diagonalna. Oczywi\'scie, ka\.zdy operator samosprz\k{e}\.zony jest normalny, a izometria jest operatorem unitarnym wtedy i tylko wtedy, gdy jest normalna. W szczeg\'olno\'sci jednostronne przesuni\k{e}cie (Przyk\l{}ad \ref{ex:unilateral_shift}) nie jest operatorem normalnym. 

\begin{ex}[Operatory mno\.zenia jako operatory normalne]
 Modelowymi operatorami normalnymi s\k{a} operatory mno\.zenia $M_a$, $a\in L^{\infty}(\mu)$, z  Przyk\l{}adu \ref{ex:multiplication_operator2} (twierdzenie spektralne m\'owi, \.ze z dok\l{}adno\'sci\k{a} do sprz\k{e}\.zenia operatorem unitarnym ka\.zdy operator normalny jest tej postaci).
Rzeczywi\'scie, wprost z definicji operator\'ow mno\.zenia wynika, \.ze zachodzi wz\'or $M_a M_b =M_{ab}$, 
 dla $a,b\in L^{\infty}( \mu)$, wi\k{e}c skoro $M_a^*=M_{\overline{a}}$, to 
$$
M_a^* M_a= M_{\overline{a}a}=M_{a\overline{a}}=M_{a}  M_a^*,
$$
bo mno\.zenie funkcji jest przemienne. Podobnie otrzymujemy, \.ze %$M_a$ jest samosprz\k{e}\.zony wtedy i tylko wtedy
$$
M_a \text{ samosprz\k{e}\.zony }\Longleftrightarrow\,\, a\stackrel{\mu\text{-p.w}}{=}\overline{a} \,\, \Longleftrightarrow \,\, a(t)\in \R 
\text{  $ \mu$-prawie wsz\k{e}dzie},
$$
$$
M_a \text{ unitarny }\Longleftrightarrow\,\, |a|^2\stackrel{\mu\text{-p.w}}{=}1 \,\, \Longleftrightarrow \,\, a(t)\in S^1 \text{ $ \mu$-prawie wsz\k{e}dzie},
$$
$$
M_a \text{ rzut ortogonalny }\Longleftrightarrow\,\, a^2\stackrel{\mu\text{-p.w}}{=}a\stackrel{\mu\text{-p.w}}{=}\overline{a} \,\, \Longleftrightarrow \,\, a(t)\in \{0,1\} \text{ $ \mu$-prawie wsz\k{e}dzie}.
$$
W szczeg\'olno\'sci ostatnia r\'ownowa\.zno\'s\'c m\'owi, \.ze operator mno\.zenia $M_a$ jest rzutem wtedy i tylko wtedy, gdy 
$a=\mathds{1}_{A}$ jest funkcj\k{a} charakterystyczn\k{a} pewnego zbioru mierzalnego $A\in \Sigma$. 
\end{ex}




	

