\documentclass[trans]{beamer}
%\documentclass{beamer}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
%\usepackage{beamerbasearticle}
\usepackage{multimedia}
 \usepackage[dvips,usenames]{color}
\usepackage[arrow, matrix, curve]{xy}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[MeX]{polski}
\usepackage{amscd,graphics}
\usepackage{polski}
\usepackage{stackrel}
\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb,dsfont}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{fontawesome}
%\usepackage{bigints}
\usepackage{marvosym}
\usepackage{tikz}
\tikzset{rndblock/.style={rounded corners,rectangle,draw,outer sep=0pt}}
\newcommand{\tframed}[2][]{\tikz[baseline=(h.base)]\node[rndblock,#1] (h) {#2};}
\DeclareMathOperator{\lin}{lin}
\DeclareMathOperator{\re}{Re}
\DeclareMathOperator{\im}{Im}
\DeclareMathOperator{\dashind}{-Ind}
\DeclareMathOperator{\inv}{Inv}
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\DeclareMathOperator{\erg}{Erg}
\DeclareMathOperator{\clsp}{\overline{span}}
\renewcommand{\H}{ E}
\newcommand{\I}{\mathcal I}
\newcommand{\B}{\mathcal B}
\newcommand{\CC}{\mathcal C}
\newcommand{\TT}{\mathcal T}
\newcommand{\M}{\mathcal M}
\newcommand{\Sol}{\mathcal S}
\newcommand{\K}{\mathcal K}
\newcommand{\x}{\widetilde x}
\newcommand{\w}{\widetilde w}
\newcommand{\y}{\widetilde y}
\newcommand{\X}{\widetilde X}
\newcommand{\Y}{\widetilde Y}
\newcommand{\U}{\widetilde U}
\newcommand{\V}{\widetilde V}
\newcommand{\f}{\widetilde f}
\newcommand{\h}{\widetilde h}
\newcommand{\F}{\mathbb F}

\newcommand{\TDelta}{\widetilde \Delta}
\newcommand{\Tdelta}{\widetilde \delta}
\newcommand{\Tomega}{\widetilde \omega}
\newcommand{\Tmu}{\widetilde{\mu}}
\newcommand{\TA}{\widetilde{\mathcal A}}
\renewcommand{\TH}{\widetilde{\mathcal H}}
\newcommand{\tal}{\widetilde \alpha}
\newcommand{\al}{\alpha}
\newcommand{\be}{\beta}
\newcommand{\p}{\varphi}

\renewcommand{\L}{\mathcal L}
\newcommand{\LL}{\mathcal L}
\newcommand{\JJ}{\mathcal J}
\renewcommand{\SS}{\mathcal S}

\newcommand{\DR}{\mathcal DR}

\newcommand{\OO}{\mathcal O}
\newcommand{\FF}{\mathcal F}
\newcommand{\A}{\mathcal A}
\newcommand{\D}{\mathcal D}
\newcommand{\G}{\mathcal G}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\T}{\mathbb T}

\usepackage{amsfonts}
\newcommand{\tickYes}{\checkmark}
\usepackage{pifont}
\newcommand{\tickNo}{\hspace{1pt}\ding{55}}

%\usetheme{Frankfurt}
\usetheme{Warsaw}
%\usecolortheme{seahorse}
\usecolortheme{rose}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 

\definecolor{mylightblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 



\definecolor{myblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 

\definecolor{mylightblue}{rgb}{0.9,0.9,1}
\definecolor{mylightred}{rgb}{1,0.4,0.4} 
\definecolor{mylightblue1}{rgb}{0.8,0.8,0.9}



\title[Wyk\l{}ad 11]{Analiza Funkcjonalna}
\author{Bartosz Kwa\'sniewski}
\institute{Faculty of Mathematics, University of Bia\l{}ystok }


\date{Wyk\l{}ad 11
\\[4pt]
\textbf{Twierdzenie Hahna-Banacha}
\\[8pt]
\scriptsize
math.uwb.edu.pl/$\sim$zaf/kwasniewski/pdf/skrypt.pdf
} %\pause
%\put(-20,-90){\includegraphics[angle=0, scale=0.212]{Heart.jpg}} 



\begin{document}


\frame{\titlepage}




\frame{
\begin{block}{}
\textbf{Lem1.}
%Niech $X$ b\k{e}dzie zespolon\k{a} przestrzeni\k{a} unormowan\k{a}. Wtedy 
Niech $X$  zespolona przestrze\'n  unormowana.  \pause Funkcjona\l{}
 $f:X\to \C$ jest  $\C$-liniowy  \pause $\Longleftrightarrow$   $f(x)=u(x) + i u(-ix)$, \pause gdzie $u:X\to \R$ jest funkcjona\l{}em 
  $\R$-liniowym. \pause Ponadto,  $\|f\|=\|u\|$. \pause

%$$
%\begin{array}{l}
%f:X\to \C 
%\\
%\text{jest  $\C$-liniowy } 
%\end{array}\,\, \Longleftrightarrow\,\, 
%f(x)=u(x) + i u(-ix)  \text{ gdzie } {\begin{array}{l} u:X\to \R \\
%\text{jest  $\R$-liniowy}\end{array}}
%\quad  \mathop{\forall}_{x\in X}
%$$

\end{block} 
\textbf{Dow\'od:} \pause
``$\Longrightarrow$'':  \pause Je\'sli $f$ jest $\C$-liniowy, \pause to $u:=\re f$ jest  $\R$-liniowy \pause i
%funkcjona\l{} $f:X\to \C$ jest  $\C$-liniowy, to k\l{}ad\k{a}c $u:=\re f$ otrzymujemy funkcjona\l{} $\R$-liniowy $u:X\to \R $ oraz 
\\[6pt]
\quad $
\im f (x) \pause =\im i(-i) f(x)\pause =\im i f(-ix)\pause=\re f(-ix) \pause=u(-ix).
$ \pause
\\[6pt] 
Zatem $f(x)=u(x) + i u(-ix)$.  \pause Ponadto, 
$$
\|u\|=\pause \sup_{\|x\|=1}|u(x)|\pause =\sup_{\|x\|=1}|\re f(x)|\pause \leq  \sup_{\|x\|=1}|f(x)|\pause =\|f\|.
$$ \pause
%Czyli je\'sli $f$ jest ograniczony, to $u$ jest ograniczony i $\|u\|\leq \|f\|$.

``$\Longleftarrow$'': \pause Je\'sli $u:X\to \R$ jest $\R$-liniowy, \pause to $f(x):=u(x) + i u(-ix)$ \pause
definiuje  funkcjona\l{} $f:X\to \C$, \pause kt\'ory jest $\C$-liniowy.  \pause \begin{picture}(0,15)(0,0)
\put(-3,-12){\includegraphics[scale=0.09]{house.png}} 
\end{picture} \pause
%Co wi\k{e}cej  $ f(ix)=u(ix)+ i u(-i^2x)=u(ix)+ i u(x)= i \big(- iu(ix) +u(x)\big) =i \big(u(x)+iu(-ix)\big)=i f(x).$
%St\k{a}d $f$ jest $\C$-liniowy, bo je\'sli $z=a+ib$, gdzie $a,b\in \R$, to 
%$$
%f(zx)=f(ax + ibx)=f(ax) + f(ibx)=af(x)+ ib f(x)=z f(x).
%$$
%Aby oszacowa\'c $\|f\|$ we\'zmy 
\\[6pt]
Niech $x\in X$, $\|x\|=1$. \pause We\'zmy $\lambda\in \C$, $|\lambda|=1$, takie, \.ze 
$\lambda f(x)=|f(x)|$. \pause Wtedy %albo $f(x)=0$ albo  $|\lambda|=1$ i wtedy
\\[6pt]
$
|f(x)|\pause=\lambda f(x)\pause=f(\lambda x)\pause= \re f(\lambda x)\pause=u(\lambda x)\pause \leq \|u\|.
$ \pause
\\[6pt]
Czyli %je\'sli $u$ jest ograniczony, to $f$ jest ograniczony i 
$\|f\|\leq \|u\|$. \pause  $\blacksquare$
}




\frame{
\begin{block}{}
\textbf{Def.}\label{def:Banach_functional} 
Niech $X$ przestrze\'n liniowa nad $\R$.  \pause\textbf{Funkcjona\l{}em Banacha} nazywamy funkcj\k{e}
$p:X\to \R$ tak\k{a}, \.ze 
\begin{enumerate}[(1)]
\item\label{def:Banach_functional1} \pause  $\forall_{x,y\in X}$ $p(x+y)\leq p(x)+p(y)$, \hfill
(\emph{nier\'owno\'s\'c tr\'ojk\k{a}ta})
\item\label{def:Banach_functional2} \pause $\forall_{x\in X}$  $\forall_{t>0}$ $p(tx)=t p(x)$. \hfill
(\emph{dodatnia jednorodno\'s\'c})
\end{enumerate}
\end{block} \pause
\textbf{Prz.}  Funkcjona\l{}y liniowe oraz (p\'o\l{})normy \pause to funkcjona\l{}y Banacha. \pause
\begin{block}{ \textbf{Tw. (Lemat Banacha)}\label{thm:Lemat Banacha}} \pause
%Niech $X_0\subseteq X$ podprzestrze\'n liniowa przestrzeni liniowej $X$ i $p:X\to \R$ funkcjona\l{} Banacha. Ka\.zdy funkcjona\l{} liniowy $f_0:X_0\to \R$ majoryzowany przez $p$  
%przed\l{}u\.za si\k{e} do funkcjona\l{}u liniowego $f:X\to \R$ majoryzowanego przez $p$. Tzn.
\text{$
\left(\begin{array}{l}
X_0\subseteq X \text{ podprzestrze\'n liniowa} \pause
\\
f_0:X_0\to \R  \text{ funkcjona\l{} liniowy} \pause
\\
p:X\to \R \text{ funkcjona\l{} Banacha} \pause
\\
\forall_{x\in X_0}\,\,\, f_0(x)\leq p(x) \pause
\end{array}\right)\Longrightarrow \pause
\left(\begin{array}{l}
\text{istnieje funkcjona\l{} } 
\\
\text{liniowy } f: X\to \R,  \pause
\\
\text{taki, \.ze } f|_{X_0}=f_0,
\text{ } \pause
\\
\forall_{x\in X}\,\,\, f(x)\leq p(x)
\end{array}\right)
$} \pause
\end{block}
\textbf{Dow\'od:} \pause
Dow\'od sk\l{}ada si\k{e} z dw\'och krok\'ow. \pause Najpierw zastosujemy Lemat Kuratowskiego-Zorna, \.zeby wykaza\'c, \.ze 
istnieje maksymalne rozszerzenie $f$ majoryzowane przez $p$. \pause Nast\k{e}pnie poka\.zemy, \.ze to maksymalne rozszerzenie jest
 okre\'slone na ca\l{}ej przestrzeni $X$. 
}
\frame{
1) Niech $\Phi$ b\k{e}dzie zbiorem wszystkich liniowych przed\l{}u\.ze\'n dominowanych przez $p$, \pause tzn.
\begin{align*}
\Phi:=\big\{(\varphi, X_\varphi):\,\,&   X_{\varphi}\text{  podprzestrze\'n liniowa zawieraj\k{a}ca }X_0,
\\
 &\varphi:X_\varphi \to \R \text{ funkcjona\l{} liniowy }
\\
& \text{taki, \.ze }\varphi|_{X_0}=f_0\text{ oraz } \varphi\leq p|_{X_{\varphi}}\big\}.
\end{align*} \pause
Na $\Phi$ wprowadzamy relacj\k{e} cz\k{e}\'sciowego porz\k{a}dku:  \pause
$$
(\varphi_1, X_{\varphi_1}) \prec (\varphi_2, X_{\varphi_2})\,\, 
\stackrel{def}{\Longleftrightarrow}\,\,X_{\varphi_1}\subseteq X_{\varphi_2} \text{ oraz }
\varphi_2|_{X_{\varphi_1}}=\varphi_1.
$$ \pause
Ka\.zdy \l{}a\'ncuch $\{(\varphi_i, X_i)\}_{i\in I}$  \pause (tzn. zbi\'or liniowo uporz\k{a}dkowany)  \pause
ma ograniczenie g\'orne $(\varphi, X_{\varphi})$. \pause Mianowicie $X_{\varphi}:=\bigcup_{i\in I} X_{\varphi_i}$  \pause oraz $\varphi(x):=\varphi_i(x)$, gdy $x\in X_{\varphi_i}$. \pause Zatem na mocy Lematu Kuratowskiego-Zorna \pause  istnieje element maksymalny $(\varphi_m,X_{\varphi_m})$ w $\Phi$.  \pause

\\[6pt]

2) Je\'sli $X_{\varphi_m}=X$, \pause to k\l{}ad\k{a}c $f=\varphi_m$ zako\'nczymy dow\'od.  \pause
Za\l{}\'o\.zmy nie wprost, \.ze istnieje $x_0\in X\setminus X_{\varphi_m}$  \pause i 
 po\l{}\'o\.zmy 
$$
X_1:=\lin\{X_{\varphi_{m}},x_0\}=\{y+ \lambda x_0: y\in X_{\varphi_{m}}, \,\, \lambda \in \R\}.
$$
}
\frame{
Dla dowolnego $u\in \R$ wz\'or \pause
$$
\varphi_1(y+ \lambda x_0):=\varphi_m(y)+\lambda u, \qquad y\in X_{\varphi_{m}}, \,\, \lambda \in \R,
$$ \pause
definiuje funkcjona\l{} liniowy $\varphi_1:X_1\to \R$, \pause kt\'ory przed\l{}u\.za $\varphi_m$.  \pause
%Aby uzyska\'c sprzeczno\'s\'c z maksymalno\'sci\k{a} $\varphi_m$ musimy dobra\'c $u\in \R$ tak, aby $\varphi_1(x)\leq p(x)$ dla $x\in X_1$. W tym celu zauwa\.zmy, \.ze
\\[8pt]
$
\mathop{\forall}\limits_{x\in X_{1}} \varphi_1(x)\leq p(x)  \pause \,\, \Longleftrightarrow 
\mathop{\forall}\limits_{y\in X_{\varphi_{m}},\, \lambda \in \R}  \,\, \varphi_m(y)+\lambda u\leq p(y+ \lambda x_0)
$ \pause
\\[8pt]
\qquad \quad $\Longleftrightarrow  
\mathop{\forall}\limits_{y\in X_{\varphi_{m}} ,\, \lambda >0}  \pause \,\,
\begin{cases}
 u\leq \frac{1}{\lambda}\left(p(y+ \lambda x_0) - \varphi_m(y)\right) \pause
\\
u \geq -\frac{1}{\lambda}\left(p(y- \lambda x_0) - \varphi_m(y)\right)
\end{cases}
$ \pause
\\[8pt]
\,\,\quad \quad 
$ \stackrel{\text{Jednor. }p}{\Longleftrightarrow}
 \mathop{\forall}\limits_{y\in X_{\varphi_{m}} ,\, \lambda >0}  \pause \,\,
\begin{cases}
 u\leq p\left(\frac{y}{\lambda}+  x_0\right) - \varphi_m\left(\frac{y}{\lambda}\right) \pause
\\
u \geq -p\left(\frac{y}{\lambda}- x_0\right) + \varphi_m\left(\frac{y}{\lambda}\right)
\end{cases}
$ \pause
\\[8pt]
\qquad \quad  $\Longleftrightarrow 
  \,\,
\begin{cases}
 u\leq b:=\inf\{p(y+  x_0) - \varphi_m(y): y\in X_{\varphi_m}\} \pause
\\
u \geq a:=\sup\{-p(y-  x_0) + \varphi_m(y): y\in X_{\varphi_m}\}.
\end{cases}
$ \pause
\\[8pt]
Je\'sli $a\leq b$, \pause to dowolnego
$u\in [a,b]$ \pause otrzymamy  $(\varphi_1,X_1)\in \Phi$, \pause kt\'ory jest rozszerzeniem elementu maksymalnego 
$(\varphi_m,X_m)\in \Phi$ \pause  {\Large\Lightning}. 
}
\frame{
 Ale dla dowolnych $y_1, y_2\in X_{\varphi_m}$ mamy \pause
\\[4pt]
$
p(y_1+x_0)- \varphi_m(y_1) -\big( -p(y_2-  x_0) + \varphi_m(y_2)\big) \pause
$
\\[4pt]
\qquad $=\,p(y_1+x_0)+p(y_2-  x_0) - \varphi_m(y_1 +y_2)$  \pause  \quad {\footnotesize (N. tr\'ojk\k{a}ta dla $p$)} \pause
\\[4pt]
\qquad $\stackrel{}{\geq\,\, }
p(y_1+y_2) -  \varphi_m(y_1 +y_2)$  \pause
 %\stackrel{\varphi_m\leq p}{\geq\,\, } 
$\, \geq \, 0 \qquad \qquad  {\footnotesize(\text{bo }\varphi_m\leq p)}.
$ \pause
\\[4pt]
St\k{a}d $b\geq a$. \pause  $\blacksquare$ \pause 

\begin{block}{\textbf{Twierdzenie Hahn-Banacha}} \pause 
Niech $X$ przestrze\'n  unormowana (nad cia\l{}em $\F=\R,\C$).  \pause 
Ka\.zdy ograniczony funkcjona\l{} liniowy    $f_0:X_0\to \F$ okre\'slony na podprzestrzeni liniowej 
$X_0\subseteq X$ \pause  przed\l{}u\.za si\k{e}  do ograniczonego funkcjona\l{}u liniowego $f:X\to \F$ \pause  takiego, \.ze $\|f\|=\|f_0\|$.  \pause 
%Tzn.
%$$
%\left(\begin{array}{l}
%X \text{ prz. unormowana,  nad }\F=\R,\C
%\\
%X_0\subseteq X \text{ podprzestrze\'n liniowa}
%\\
%f_0:X_0\to \F  \text{ liniowy i ograniczony}
%\end{array}\right)\Longrightarrow
%\left(\begin{array}{l}
%\text{istnieje funkcjona\l{}}
%\\
%\text{liniowy } f: X\to \F 
%\\
%f|_{X_0}=f_0
%\text{ oraz }\\
%\|f\|=\|f_0\|.
%\end{array}\right)
%$$
\end{block}
\textbf{Dow\'od:} \pause  %Rozpatrzmy dwa przypadki, w zale\.zno\'sci od tego czy $\F=\R$, czy $\F=\C$.
(1) Za\l{}\'o\.zmy, \.ze  $\F=\R$. \pause  Wtedy $p(x):=\|x\| \cdot \|f_0\|$,  $x\in X$,
jest funkcjona\l{}em Banacha \pause  takim, \.ze $f_0\leq p$ na $X_0$. \pause 
% ($
%f_0(x)\leq |f_0(x)|\leq \|f_0\| \cdot \|x\|=p(x)
%$).
Zatem na mocy Lematu Banacha \pause  istnieje  liniowy
$f:X\to \R$ \pause  taki, \.ze $f|_{X_0}=f_0$ oraz $f\leq p$ na $X$.  \pause  St\k{a}d
$$
\|f\| \pause =\sup_{\|x\|=1}|f(x)| \pause \leq  \sup_{\|x\|=1} p(x) \pause =\sup_{\|x\|=1} \|x\| \cdot \|f_0\| \pause = \|f_0\|.
$$
}
\frame{
Czyli $f$ ograniczony \pause oraz $\|f\|\leq \|f_0\|$. \pause Nier\'owno\'s\'c w drug\k{a} stron\k{e} jest oczywista:   \pause
\\[6pt]
\qquad $
\|f_0\| \pause=\sup\limits_{\|x\|=1 \atop x\in X_0}|f_0(x)| \pause=\sup\limits_{\|x\|=1 \atop x\in X_0}|f(x)| \pause \leq \sup\limits_{\|x\|=1 \atop x\in X}|f(x)|\pause =\|f\|
$.
\\[6pt]
 \pause
(2) Za\l{}\'o\.zmy, \.ze  $\F=\C$. \pause Na mocy \textbf{Lem1} \pause  %mamy, \.ze 
$f_0(x)=u_0(x)+iu_0(-ix)$, \pause gdzie $u_0:X_0\to \R$ jest  $\R$-liniowy oraz $\|u_0\|=\|f_0\|$. \pause
Z kroku (1) \pause wiemy, \.ze $u_0$ przed\l{}u\.za si\k{e} do  funkcjona\l{}u $\R$-liniowego $u:X\to \R$  \pause takiego, \.ze  $\|u\|=\|u_0\| \pause =\|f_0\|$. \pause
Zatem korzystaj\k{a}c jeszcze raz z \textbf{Lem1}  \pause otrzymujemy, \.ze wz\'or 
$$
f(x):=u(x)+iu(-ix), \qquad x\in X,
$$ \pause
definiuje $\C$-linowe przed\l{}u\.zenie $f_0$  oraz $\|f\|=\|u\|=\|f_0\|$. \pause  $\blacksquare$

\begin{block}{} \textbf{Wn1.} \pause 
Dla ka\.zdego niezerowego wektora $x$ przestrzeni unormowanej $X$ \pause  istnieje  funkcjona\l{} $f\in X^*$ taki, \.ze 
$\|f\|=1$ oraz $f(x)=\|x\|$.  \pause 
\\[6pt]
W szczeg\'olno\'sci, funkcjona\l{}y ograniczone  rozdzielaj\k{a} punkty przestrzeni $X$, \pause  tzn.
$
\forall_{x,y\in X}\quad x\neq y \,\, \Longrightarrow\,\, \exists_{f\in X^*}\quad  f(x)\neq f(y).
$
\end{block}
}
\frame{
\textbf{Dow\'od:}  \pause
Niech $x\in X\setminus\{0\}$.  \pause Po\l{}\'o\.zmy $X_0:=\lin\{x\}$  \pause i  zdefiniujmy   $f_0:X_0\to \F$ \pause wzorem $f_0(\lambda x)=\lambda \|x\|$, $\lambda \in \F$. \pause Wtedy $f_0\in X_0^*$  \pause oraz $\|f_0\|=1$  \pause {\footnotesize (bo $|f_0(\lambda x)|=| \lambda \|x\| | =|\lambda|\cdot \|x\|=\|\lambda x\|$)}. \pause
Zatem $f_0$ przed\l{}u\.za si\k{e} do \.z\k{a}danego funkcjona\l{}u $f$ na mocy Tw. Hahna-Banacha.  \pause
\\[6pt]
W szczeg\'olno\'sci, je\'sli 
$x\neq y$, \pause to $x-y\neq 0$, \pause a wi\k{e}c  istnieje $f\in X^*$ \pause taki, \.ze $f(x-y)=\|x-y\|\neq 0$, \pause sk\k{a}d $f(x)\neq f(y)$.\pause  $\blacksquare$
\pause
\begin{block}{} \textbf{Wn2.}
Ka\.zda przestrze\'n unormowana $X$ \pause zanurza si\k{e} w przestrze\'n podw\'ojnie sprz\k{e}\.zon\k{a} $X^{**}:=(X^*)^*$.  \pause
Dok\l{}adniej, mamy liniow\k{a} izometri\k{e}  $i:X\to X^{**}$ \pause dan\k{a} wzorem
$$
i(x)(f):=f(x), \qquad x\in X, f\in X^*.
$$ 
\end{block} \pause
\textbf{Dow\'od:}  \pause
Dla ka\.zdego  $x\in X$  \pause funkcjona\l{} $i(x):X^*\to \F$ jest liniowy: \pause
\\[6pt]
$
i(x)(\lambda f_1+ f_2)\pause=(\lambda f_1+ f_2)(x)\pause=\lambda f_1(x) + f_2(x)\pause=\lambda i(x) f_1 + i(x)f_2 \pause
$
\\[6pt]
oraz %ograniczony, bo \\[4pt]
$
\|i(x)\|_{X^{**}}\pause=\sup_{\|f\|_{X^*}=1}|i(x)(f)| \pause=\sup_{\|f\|_{X^*}=1}|f(x)|\leq \|x\|_X.
$ \pause
\\[6pt]
Czyli $i(x)\in X^{**}$ \pause  oraz $\|i(x)\|_{X^{**}}\leq \|x\|_X$. 
}
\frame{
Aby wykaza\'c nier\'owno\'s\'c przeciwn\k{a} \pause mo\.zemy za\l{}o\.zy\'c, \.ze $x\neq 0$.  \pause Wtedy na mocy \textbf{Wn1}  istnieje 
$f\in X^*$ taki, \.ze  $\|f\|_{X^*}=1$ oraz $f(x)=\|x\|_X$. \pause Zatem $\|i(x)\|_{X^{**}}= \|x\|_X$,  \pause czyli odwzorowanie 
$X\ni x \to i(x)\in X^{**}$ jest poprawnie okre\'slon\k{a} izometri\k{a}.  \pause Ta izometria jest liniowa, bo \pause
\\[6pt]
$
i(\lambda x_1+x_2)(f)\pause =f(\lambda x_1+ x_2)\pause =\lambda f(x_1)+f(x_2) \pause
$
\\[6pt]
\qquad \qquad \qquad \, $=\lambda i(x_1)(f)+ i(x_2)(f) \pause =
\big(\lambda i(x_1)+ i(x_2)\big)(f).
$  \pause $\blacksquare$ \pause

\begin{block}{} 
\textbf{Def.} $X$ jest \textbf{przestrzeni\k{a} refleksywn\k{a}} \pause je\'sli $i:X\to X^{**}$ jest izomorfizmem, \pause czyli gdy ka\.zdy funkcjona\l{} na $X^*$ jest postaci $X^*\ni f\mapsto f(x)\in \F$ dla pewnego $x\in X$. 
\end{block} \pause
\begin{block}{ \textbf{Przyk\l{}ady}}
\begin{center} \large
		\begin{tabular}{|l|l|}
				\hline
		Refleksywne  & Nierefleksywne 
		\\
		\hline
		przestrzenie sko\'nczenie wymiarowe,  
	 &  $c_0$, $C[a,b]$,  $\ell^1$, $\ell^\infty$, 
	\\
		przestrzenie Hilberta,   & $L^1([a,b])$, $L^{\infty}([a,b])$
		\\
	przestrzenie $L^p$ dla $1<p < \infty$ &  
		\\
		\hline
						\end{tabular}
\end{center}
\end{block} 
}






\end{document}





\section{Twierdzenie Hahna-Banacha}

Jak ju\.z zosta\l{}o  wspomninane, kluczowym narz\k{e}dziem i obiektem bada\'n analizy funkcjonalnej (od kt\'orego wzi\k{e}\l{}a si\k{e} nazwa tej dziedziny) s\k{a} funkcjona\l{}y liniowe. W latach  20. XX wieku  Hans Hahn i Stefan  Banach  udowodnili  twierdzenie, kt\'ore m\'owi, \.ze ograniczone funkcjona\l{}y liniowe okre\'slone na podprzestrzeni zawsze mo\.zna przed\l{}u\.zy\'c  na ca\l{}\k{a} przestrze\'n bez zwi\k{e}kszania normy. Twierdzenie to pozwala konstruowa\'c ograniczone funkcjona\l{}y liniowe o r\'o\.znych w\l{}asno\'sciach, a w szczeg\'olno\'sci pokazuje, \.ze takich funkcjona\l{}\'ow na ka\.zdej przestrzeni unormowanej  jest ``bardzo du\.zo''.


Zacznijmy od prostego lematu, za pomoc\k{a}  kt\'orego  analiz\k{e} funkcjona\l{}\'ow zespolonych b\k{e}dziemy mogli sprowadzi\'c  do analizy 
funkcjona\l{}\'ow rzeczywistych.

 
\end{proof}
\begin{rem}
W literaturze pod nazw\k{a} Twierdzenia Hanhna-Banacha mo\.zna spotka\'c wiele r\'o\.znych twierdze\'n.
Wszystkie one wynikaj\k{a} z powy\.zszego Lematu Banacha. My  zastosujemy go tylko do przed\l{}u\.zania 
ograniczonych funkcjona\l{}\'ow liniowych. Innymi wa\.znymi zastosowaniami, na kt\'orych om\'owienie tu niestety nie mamy miejsca, s\k{a} twierdzenia o rozdzielaniu zbior\'ow wypuk\l{}ych. Mianowice korzystaj\k{a}c z Twierdzenia \ref{thm:Lemat Banacha}   mo\.zna pokaza\'c (\home dla ch\k{e}tnych), \.ze 
\begin{quote}
Ka\.zde dwa niepuste roz\l{}\k{a}czne  wypuk\l{}e	 podzbiory $A$, $B$  przestrzeni unormowanej 
$X$, takie \.ze jeden z
nich zawiera punkt wewn\k{e}trzny, mo\.zna rodzieli\'c hiperp\l{}aszczyzn\k{a}.
\end{quote}
\begin{minipage}{10cm}
\emph{Hiperp\l{}aszczyzn\k{a}} w  $\R$-linowej przestrzeni $X$   nazywamy
 ka\.zdy zbi\'or postaci $H:=\{x\in X:f(x)=\alpha\}$, gdzie $f:X\to \R$ to funkcjona\l{} liniowy i $\alpha\in \R$. Wtedy zbiory $\{x\in X:f(x)\leq \alpha\}$ i $\{x\in X:f(x)\geq \alpha\}$ nazywamy stronami tej hiperp\l{}aszczyzny. Natomiast zbiory $A,B\subseteq X$ s\k{a} \emph{rozdzielone} t\k{a} hiperp\l{}aszczyzn\k{a}, je\'sli le\.z\k{a} po jej r\'o\.znych stronach, to znaczy, gdy  
$f(A)\leq \alpha \leq f(B)$ lub $f(B)\leq \alpha  \leq f(A)$.
 \end{minipage}
\begin{picture}(0,0)(0,0)\label{rys:convex_separated}
 \put(25,-51){\includegraphics[scale=0.34]{convex_separated.png}}
\put(67,-22){$A$} \put(112,23){$B$}  \put(152,-31){$H$}
\end{picture}
\end{rem}
\begin{thm}[Hahn-Banach]\label{thm:Hahn-Banach}
end{thm}
\begin{proof} 
\end{proof}
\begin{cor}\label{cor:functional_from_vector}

\end{cor}
\begin{proof}
\end{proof}

\begin{cor}\label{cor:dual_isometry}
\end{cor}
\begin{proof}
\end{proof}
\section{Przyk\l{}ady przestrzeni sprz\k{e}\.zonych. Przestrzenie refleksywne}\label{sec:dual_spaces}
Ka\.zd\k{a} przestrze\'n unormowan\k{a} $X$ mo\.zemy zanurzy\'c kanoniczny spos\'ob w jej podw\'ojne sprz\k{e}\.zenie $X^{**}$ za pomoc\k{a} izometrii $i$ z  Wniosku \ref{cor:dual_isometry}.
To znaczy uto\.zsamiaj\k{a}c $X$ z $i(X)$ mo\.zemy napisa\'c $X\subseteq X^{**}$. Je\'sli $X=X^{**}$, czyli gdy izometria $i$ jest suriekcj\k{a} (izomorfizmem), to $X$ nazywamy przestrzeni\k{a} refleksywn\k{a}:
\begin{defn} 
\end{defn}
\begin{rem}
W powy\.zszej definicji istotne jest by $X$ i $X^{**}$ by\l{}y izomorficzne kanoniczn\k{a} izometri\k{e}  $i(x)(f)=f(x)$, $x\in X, f\in X^*$. 
W szczeg\'olno\'sci istniej\k{a} przestrzenie Banacha $X$  takie, \.ze $X\cong X^{**}$ mimo, i\.z $i(X)\neq X^{**}$ (\home dla ch\k{e}tnych, poczyta\'c w internecie o \emph{przestrzeniach James'a}).
Innymi s\l{}owy, istniej\k{a} nierefleksywne przestrzenie Banacha, dla kt\'orych podw\'ojne sprz\k{e}\.zenie jest izomorficzne z wyj\'sciow\k{a} przestrzeni\k{a} (ale nie w spos\'ob kanoniczny). 
\end{rem}
\.zadna przestrze\'n niezupe\l{}na nie mo\.ze by\'c refleksywana, gdy\.z przestrze\'n dualna jest zawsze zupe\l{}na (na mocy Twierdzenia \ref{thm:Banacha_przestrzen_operatorow}). 
Refleksywne przestrzenie Banacha   pod pewnymi wzgl\k{e}dami s\k{a} bliskie przestrzeniom Hilberta. Poni\.zsza tabela przedstawia, najwa\.zniejsze przyk\l{}ady relfleksywnych i nierefleksywnych przestrzeni Banacha:
Przestrzenie sko\'nczenie wymiarowe i przestrzenie Hilberta s\k{a} ``bardzo refleksywne'', gdy\.z dla tych przestrzeni nie tylko podw\'ojne sprz\k{e}\.zenie, ale ju\.z sama przestrze\'n  sprz\k{e}\.zona jest izomorficzna z wyj\'sciow\k{a} przestrzeni\k{a}. Dla przestrzeni sko\'nczenie wymiarowych jest to dobrze znany fakt z algeby liniowej. Dla przestrzeni Hilberta $H$ jest to Twierdzenie Riesza-Frecheta (Twierdzenie \ref{thm:Riesz-Frechet}). Co prawda izomorfizm $H\stackrel{anty}{\cong} H^*$  jest antyliniowy, ale z\l{}o\.zenie dw\'och odwzorowa\'n antyliniowych jest liniowe.  
W szczeg\'olno\'sci 
 $H\stackrel{anty}{\cong} H^*\stackrel{anty}{\cong} H^{**}$ daje  $H \cong H^{**}$ i jest to kanoniczny izomorfizm. 
\begin{thm}[Przestrze\'n dualna do $L^p$] \label{thm:dual_to_L^p}
Niech  $1\leq p < \infty$ i niech $(\Omega, \Sigma, \mu)$ b\k{e}dzie przestrzeni\k{a} z miar\k{a}.  Je\'sli $p=1$ zak\l{}adamy, \.ze $\mu$ jest $\sigma$-sko\'nczona. Wtedy
$$
L^p(\mu)^*\cong  L^q(\mu)
$$
gdzie $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ($q=\infty$ gdy $p=1$). Dok\l{}adniej,  
$f\in  L^p(\mu)^*$  $\Longleftrightarrow$ istnieje $y\in L^q(\mu)$ taki, \.ze 
$$
f(x)=\int_{\Omega} x\cdot  y \, d\mu,\qquad x\in L^p(\mu).
$$
Ponadto wtedy $y$ jest jednoznacznie wyznaczony przez $f$ oraz $\|f\|=\|y\|_q$. To znaczy
$\|f\|=\left(\int_{\Omega} |y|^{q} \, d\mu\right)^{\frac{1}{q}}$ je\'sli $p>1$ oraz 
$\|f\|=\textup{ess\,sup}|y|$ je\'sli $p=1$.

\end{thm}
\begin{proof} Poka\.zemy tylko, \.ze $L^q(\mu)$ zanurza si\k{e} izometrycznie w $L^p(\mu)^*$. 
Niech $y\in L^q(\mu)$ i po\l{}\'o\.zmy $
f(x):=\int_{\Omega} x\cdot y \, d\mu$, $x\in L^p(\mu)$.
Jest to poprawnie okre\'slony ograniczony funkcjona\l{} liniowy $f:L^p(\mu)\to \F$, gdy\.z z nier\'owno\'sci H\"oldera 
dostajemy, \.ze 
$$
|f(x)|=\left|\int_{\Omega} x\cdot y \, d\mu\right|\leq \int_{\Omega} |x\cdot y| \, d\mu\leq \|x\|_p \cdot \|y\|_q.
$$
W szczeg\'olno\'sci, $\|f\|\leq \|y\|_q$. Je\'sli $y=0$, to $f=0$. Za\l{}\'o\.zmy zatem, \.ze $y\neq 0$. 

Aby pokaza\'c, \.ze  $\|f\|= \|y\|_q$ 
za\l{}\'o\.zmy najpierw,  \.ze $p>1$. Wystarczy znale\'z\'c niezerowy $x\in L^p(\mu)$ taki, aby powy\.zsze nier\'owno\'sci by\l{}y r\'owno\'sciami. 
Przypomnijmy, \.ze w nierw\'ono\'sci  H\"oldera r\'owno\'s\'c zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $|x|^p$ i $|y|^q$ s\k{a} liniowo zale\.zne, patrz Twierdzenie \ref{thm:Holder's_inequality}.
Natomiast, \.zeby w nier\'owno\'sci   $\left|\int_{\Omega} x\cdot y \, d\mu\right|\leq \int_{\Omega} |x\cdot y| \, d\mu$ zachodzi\l{}a r\'owno\'s\'c wystarczy wzi\k{a}\'c 
$x$ taki, aby $x\cdot y \geq 0$.  
Bior\k{a}c to wszystko pod uwag\k{e} po\l{}\'o\.zmy 
$$x:=\overline{y} |y|^{q/p-1}.
$$
Wtedy $|x|^p=|y|^q$, zatem $\|x\|_p=\|y\|_q^{q/p}$ i $x\in L^p(\mu)$. Ponadto 
$x\cdot y=|y|^{q/p+1}=|y|^{q}$. St\k{a}d
$$
|f(x)|=\left|\int_{\Omega} x\cdot y \, d\mu\right|= \int_{\Omega}  |y|^{q} \, d\mu=\|y\|_q^q= \|x\|_p \cdot \|y\|_q.
$$ 
Zatem $\|f\|= \|y\|_q$.
Za\l{}\'omy teraz, \.ze $p=1$. Jako \.ze miara $\mu$ jest $\sigma$-sko\'nczona, to dla ka\.zdego $n\in \N$ znajdziemy zbi\'or mierzalny $A_n\subseteq \Omega$ taki, \.ze $0<\mu(A_n)<\infty$ oraz $A_n \subseteq \{t\in \Omega: |y(t)|>\|y\|_{\infty} - 1/n\}$. Skoro $\|y\|_{\infty}>0$, to dla dostatecznie du\.zych $n\in N$ mamy $|y|>0$ na $A_n$. Zatem funkcje
$$
x_n:=\overline{y} |y|^{-1} \mu(A_n)^{-1}\mathds{1}_{A_n}
$$ 
s\k{a} poprawnie okre\'slone. Ponadto,  $\|x_n\|_1=1$ oraz 
$$
|f(x_n)|=\left|\int_{\Omega} x_n\cdot y \, d\mu\right|=\left|\mu(A_n)^{-1} \int_{A_n}  |y| \, d\mu\right|\geq \|y\|_{\infty} - 1/n  \longrightarrow \|y\|_{\infty}.
$$
St\k{a}d $\|f\|= \|y\|_{\infty}$.

Aby wykaza\'c, \.ze ka\.zdy funkcjona\l{}  z $L^p(\mu)^*$ jest zadany przez ca\l{}k\k{e} z pewn\k{a} funkcj\k{a} z $L^q(\mu)$
nale\.zy zastosowa\'c Twierdzenie Radona-Nikodyma, albo dla \l{}adunk\'ow, albo dla miar zespolonych, patrz np. \cite[Twierdzenie 6.16]{Rudin}.
\end{proof}

\begin{cor}\label{cor:dual_to_small_el_p}
Dla ka\.zdego $1\leq p < \infty$ mamy 
$
{\ell^p}^*\cong  \ell^q
$
gdzie $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Dok\l{}adniej % ($q=\infty$ gdy $p=1$).
$
f\in {\ell^p}^*$ $\Leftrightarrow$  $\exists_{y\in \ell^q}\,\, \forall_{x\in\ell^p}\,\,\,
 f(x)=\sum_{k=1}^{\infty} x(k) y(k)
$
oraz wtedy $\|f\|=\|y\|_q$, to znaczy $\|f\|=\left(\sum_{k=1}^{\infty} |y(k)|^q\right)^{\frac{1}{q}}$
je\'sli $p>1$ oraz $\|f\|=\sup_{k\in \N}|y(k)|$ je\'sli $p=1$.
% Dok\l{}adniej,  
%$f\in  (\ell^p)^*$  $\Longleftrightarrow$ istnieje $y\in \ell^q$ taki, \.ze 
%$$
%f(x)=\sum)_{k=1}^{\infty} x(t) y(t),\qquad x\in  \ell^p.
%$$
%Ponadto wtedy $y$ jest jednoznacznie wyznaczony przez $f$ oraz $\|f\|=\|y\|_q=\left(\int_{\Omega} |y(t)|^{q} \, d\mu(t)\right)^{\frac{1}{q}}$.
\end{cor}
\begin{proof}
Zastosowa\'c powy\.zsze twierdzenie do miary licz\k{a}cej na $\N$.
\end{proof}
\begin{cor}
Dla ka\.zdego  $1< p < \infty$ oraz ka\.zdej przestrzeni $(\Omega, \Sigma, \mu)$ z miar\k{a} 
przestrze\'n $L^p(\mu)$ jest refleksywna.
\end{cor}
\begin{proof}
Skoro $p>1$, to istnieje sko\'nczone  $q>1$ takie, \.ze $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ (mianowicie $q=\frac{1}{p-1}$).
 Stosuj\k{a}c dwukrotnie 
Twierdzenie \ref{thm:dual_to_L^p} mamy
$$
L^p(\mu)^{**}= (L^p(\mu)^{*})^{*}\cong L^q(\mu)^{*}\cong L^p(\mu).
$$
Z\l{}o\.zenie tych izomorfizm\'ow daje kanoniczny izomorfizm. Zatem $L^p(\mu)$ jest refleksywna.
\end{proof}

Om\'owimy teraz przestrze\'n sprze\.zon\k{a} do przestrzeni funkcji ci\k{a}g\l{}ych. Kluczowym jest tu twierdzenie Riesza o reprezentacji funkcjona\l{}\'ow liniowych dodatnich na przestrzeni funkcji ci\k{a}g\l{}ych za pomoc\k{a} miar. W szczeg\'olno\'sci, w przypadku rzeczywistym przestrzeni\k{a} sprz\k{e}\.zon\k{a} jest przestrze\'n \l{}adunk\'ow (miar znakowych). W przypadku zespolonym b\k{e}dzie 
to przestrze\'n miar zespolonych:
\begin{defn}
Niech $\Sigma$ b\k{e}dzie $\sigma$-algebr\k{a} podzbior\'ow zbioru $\Omega$. \emph{Miar\k{a} zespolon\k{a}} na przestrzeni mierzalnej $(\Omega,\Sigma)$ nazywamy
funkcj\k{e} $\mu:\Sigma\to \C$, kt\'ora jest $\sigma$-addytywna, tzn. dla dowolnego ci\k{a}gu $\{A_n\}_{n=1}^\infty\subseteq \Sigma$  parami roz\l{}\k{a}cznych zbior\'ow mierzalnych mamy 
$$
\mu(\bigsqcup_{n=1}^\infty A_n)=\sum\limits_{n=1}^\infty \mu(A_n).
$$
\emph{Norm\k{a}} (lub te\.z \emph{wariacj\k{a}}) \emph{miary  zespolonej} $\mu$ nazywamy liczb\k{e} 
\begin{equation}\label{eq:measure_norm}
\|\mu\|:=\sup\left\{\sum\limits_{n=1}^\infty |\mu(A_n)|:\, 
\Omega=\bigsqcup_{n=1}^\infty A_n, \,\, \{A_n\}_{n=1}^\infty\subseteq \Sigma\right\},
\end{equation}
tzn. kres g\'orny bierzemy po wszystkich przeliczalnych rozbiciach  mierzalnych przestrzeni $\Omega$.
\end{defn}
\begin{rem}
Je\'sli $\mu$ jest miar\k{a} zespolon\k{a} to $\mu(\emptyset)=0$ (\home pokaza\'c). 
Je\'sli $\mu\geq 0$, tzn. $\mu$ jest miar\k{a} zespolon\k{a} przyjmuj\k{a}c\k{a} tylko warto\'sci nieujemne, to $\mu$ jest ``zwyk\l{}\k{a}'' miara.
Aby wyr\'o\.zni\'c ten przypadek, m\'owimy te\.z, \.ze $\mu$ jest miar\k{a} dodatni\k{a}. Wtedy $\|\mu\|=\mu(\Omega)$.
Miary probabilistyczne to  miary dodatnie, dla kt\'orych $\|\mu\|=1$.
Je\'sli $\mu$ przyjmuje warto\'sci rzeczywiste, $\mu(\Omega)\in \R$, to $\mu$ jest \emph{\l{}adunkiem} (miar\k{a} znakow\k{a}). 
Na mocy rozk\l{}adu Hahna-Jordana mamy wtedy, \.ze $\mu=\mu_+-\mu_-$, gdzie $\mu_{\pm}$ wzajemnie osobliwe
miary dodatnie, oraz $\|\mu\|=\mu_+(\Omega)+\mu_-(\Omega)=\|\mu_+\|+\|\mu_-\|$. 


\end{rem}
\begin{defn}\label{defn:complex_integration_complex_measure}
Niech $\mu$ miara zespolona na przestrzeni mierzalnej $(\Omega,\Sigma)$. 
Wtedy $\mu_1=\re \mu$ i $\mu_2=\im \mu$ s\k{a} \l{}adunkami (miarami znakowymi \home \l{}atwe). Niech  $\mu_1=\mu_{1,+}-\mu_{1,-}$ i  
$\mu_2=\mu_{2,+}-\mu_{2,-}$  rozk\l{}ady Hahna-Jordana tych \l{}adunk\'ow. M\'owimy, \.ze funkcja mierzalna $f:\Omega \to \C$  jest $\mu$-ca\l{}kowalna je\.zeli
$\int_{\Omega} |f|\,d\mu_{i,\pm}<\infty$, $i=1,2$, i wtedy k\l{}adziemy 
$$
\int_{\Omega} f\, d\mu:=\int_{\Omega} f\, d\mu_{1,+} -\int_{\Omega} f\, d\mu_{1,-}+ i \left(\int_{\Omega} f\, d\mu_{2,+}-
\int_{\Omega} f\, d\mu_{2,-}\right).
$$
Przypomnijmy, \.ze ca\l{}k\k{e} z zespolonej funkcji $f$ wzgl\k{e}dem miary dodatniej $\mu$ definiujemy wzorem $\int_{\Omega} f\, d\mu= \int_{\Omega} \re f\, d\mu +i \int_{\Omega} \im f\, d\mu$.
\end{defn}
\begin{rem}\label{rem:polar_decomp_measure}
Uog\'olnieniem rozk\l{}adu Hahna-Jordana dla  miary zespolonej $\mu$ jest \emph{rozk\l{}ad biegunowy}. 
Mianowicie, patrz \cite[Twierdzenie 6.2]{Rudin}, dla ka\.zdej miary zespolonej $\mu$ wz\'or 
$
|\mu|(E):=\sup\left\{\sum\limits_{n=1}^\infty |\mu(A_n)|:\, 
E=\bigsqcup_{n=1}^\infty A_n, \,\, \{A_n\}_{n=1}^\infty\subseteq \Sigma\right\}$, $E\in \Sigma$,
definiuje miar\k{e} dodatni\k{a} na $\Sigma$ nazywan\k{a} \emph{wariacj\k{a} ca\l{}kowit\k{a} miary} $\mu$.
Ponadto, patrz  \cite[Twierdzenie 6.12]{Rudin}, istnieje  funkcja mierzalna $h:\Sigma \to S^{1}:=\{z\in \C:|z|=1\}$ taka, \.ze
$d\mu=h d|\mu|$, tzn.
$
\int_\Omega x \,d\mu =\int_\Omega x h \,d|\mu|$, dla  $x\in L^1_\mu(\Omega).
$
\end{rem}
Miar\k{e} zespolon\k{a} $\mu$ okre\'slon\k{a} na $\sigma$-ciele podzbior\'ow borelowskich  przestrzeni topologicznej  $M$ nazywamy 
\emph{miar\k{a} borelowsk\k{a}} na $M$. 
M\'owimy, \.ze przestrze\'n topologiczna $M$ jest \emph{lokalnie zwarta}, je\.zeli ka\.zdy punkt przestrzeni $M$ posiada otoczenie otwarte,
kt\'orego domkni\k{e}cie jest zwarte. Ka\.zdy podzbi\'or otwarty (albo domkni\k{e}ty) przestrzeni euklidesowej $\R^k$ jest lokalnie zwarty.
Oczywi\'scie, ka\.zda przestrze\'n zwarta jest tak\.ze lokalnie zwarta.

\begin{thm}[Twierdzenie Riesza o reprezentacji funkcjona\l{}\'ow liniowych na $C_0(M)$]\label{thm:Riesz_representation}
Niech $M$ b\k{e}dzie lokalnie zwart\k{a} przestrzeni\k{a} metryczn\k{a} i niech $C_0(M)$ 
b\k{e}dzie przestrzeni\k{a} znikaj\k{a}cych w niesko\'nczono\'sci ci\k{a}g\l{}ych funkcji  zespolonych. Dla ka\.zdego ograniczonego funkcjona\l{}u liniowego
$f:C_0(M)\to \C$ istnieje dok\l{}adnie jedna zespolona miara borelowska $\mu$ na $M$ taka, \.ze 
\begin{equation}\label{eq:measure_functional}
f(x)=\int_{M} x\, d\mu,\qquad x\in C_0(M).
\end{equation}
Ponadto, wtedy $\|f\|=\|\mu\|$ oraz 
\begin{enumerate}[(1)]
\item \label{thm:Riesz_representation1} $\mu$ jest miar\k{a} dodatni\k{a} $\Longleftrightarrow$ $f$ jest dodatni, tzn. $f(x)\geq 0$ je\'sli $x\geq 0$;

\item \label{thm:Riesz_representation2} $\mu$ jest \l{}adunkiem $\Longleftrightarrow$ $f(x)\in \R$ dla wszystkich rzeczywistych funkcji $x\in C_0(M)$.
%$f$ zachowuje sprz\k{e}\.zenie, tzn. $f(\overline{x})=\overline{f(x)}$ dla wszystkich $x\in C_0(M)$ $\Longleftrightarrow$ $f$ przyjmuje warto\'sci rzeczywiste na funkcjach $f(x)\in \R$ je\'sli $x$ funkcja rzeczywista.  
\end{enumerate}
\end{thm}
\begin{proof}
Teza zachodzi przy nieco bardziej og\'olnym za\l{}o\.zeniu, \.ze $M$ jest lokalnie zwart\k{a} przestrzeni\k{a} Hausdorffa, patrz \cite[Twierdzenie 6.19]{Rudin}.
Przy czym, wtedy aby uzyska\'c jednoznaczno\'s\'c miary $\mu$ spe\l{}niaj\k{a}cej \eqref{eq:measure_functional} trzeba za\l{}o\.zy\'c, \.ze jest 
regularna. Dodatnia miara (sko\'nczona) jest \emph{regularna} je\.zeli dla dowolnego zbioru borelowskiego $E$ mamy
$$
\mu(E)=\inf\{\mu(V): E\subseteq V \text{ i }V\text{ jest otwarty}\}=\sup\{\mu(K): K\subseteq E \text{ i }K\text{ jest zwarty}\}.
$$
Natomiast zespolona miara borelowska jest regularna, je\'sli miara dodatnia $|\mu|$  jest regularna.
Dla lokalnie zwartych przestrzeni metrycznych ka\.zda miara borelowska jest regularna, patrz \cite[Twierdzenie 2.18]{Rudin}. 
To daje pierwsz\k{a} cz\k{e}\'s\'c twierdzenia. 

Implikacje ``$\Longrightarrow$'' w punktach \ref{thm:Riesz_representation1}, \ref{thm:Riesz_representation2} s\k{a} jasne. 
Implikacja ``$\Longleftarrow$'' w  punkcie \ref{thm:Riesz_representation1} jest tre\'sci\k{a} klasycznego twierdzenia Riesza, patrz \cite[Twierdzenie 2.14]{Rudin}.  By wykaza\'c implikacje ``$\Longleftarrow$'' w  punkcie \ref{thm:Riesz_representation2} 
%zauwa\.zmy, \.ze na mocy jednoznaczno\'sci przyporz\k{a}dkowania funkcjona\l{}om miar, rozk\l{}adowami miary $\mu=\re \mu + i \im \mu$ odpowiada rozk\l{}ad funkcjona\l{}u $f=\re f+ i \im f$. Zatem je\'sli 
%$\mu$ nie jest \l{}adunkiem to $\im \mu$ jest niezerow\k{a} miar\k{a}, a $\im f$ niezerowym funkcjona\l{}em $\R$ liniowym
za\l{}o\.zmy nie wprost, \.ze $\mu$ nie jest \l{}adunkiem. Wtedy $\mu_2:=\im \mu$ jest niezerow\k{a} miar\k{a}.
 Zatem odpowiadaj\k{a}cy jej funkcjona\l{} $f_2(x):=\int_\Omega x\, d\mu_2$ 
(na mocy jednoznaczno\'sci przyporz\k{a}dkowania funkcjona\l{}owi miary) te\.z jest niezerowy. 
Czyli  istnieje funkcja $x\in C_0(M)$ taka, \.ze $ \int_\Omega x\, d\mu_2\neq 0$. 
Zast\k{e}puj\k{a}c $x$ przez $\re x$ lub $\im x$, mo\.zemy przy tym za\l{}o\.zy\'c, \.ze $x$ jest funkcj\k{a} rzeczywist\k{a}. Wtedy $f(x)=\int_M x d\re\mu + i   \int_M x d\im\mu\not \in \R$, co przeczy warunkowi w \ref{thm:Riesz_representation2}.
\end{proof}
\begin{cor}[Przestrze\'n dualna do $C_0(M)$]\label{cor:dual_to_continous_functions}
Niech $M$ b\k{e}dzie lokalnie zwart\k{a} przestrzeni\k{a} metryczn\k{a} i  niech $C_0(M,\F)$ b\k{e}dzie przestrzeni\k{a} znikaj\k{a}cych w niesko\'nczono\'sci  funkcji ci\k{a}g\l{}ych  o warto\'sciach w ciele $\F=\R,\C$. Uto\.zsamienie miary z  funkcjona\l{}em ca\l{}kowania $\mu \mapsto  \int_M \cdot \,d\mu$ zadaje izometryczny izomorfizm
$$
C_0(M,\F)^*\cong \mathcal{M}_\F(M),
$$
gdzie $\mathcal{M}_\C(M)$ oznacza przestrze\'n zespolonych miar borelowskich  na $M$, 
 a $\mathcal{M}_\R(M)$   zbi\'or \l{}adunk\'ow borelowskich na $M$,  wraz z dzia\l{}aniami okre\'slonymi punktowo
$
(\lambda \mu)(E):=\lambda \mu(E)$, $(\mu_1+\mu_2)(E):=\mu_1(E)+\mu_2(E)$, $E\in \Sigma$, $\lambda\in \F$,
oraz norm\k{a} zadan\k{a} wzorem 
\eqref{eq:measure_norm}. 
\end{cor}
\begin{proof}
 Dla ka\.zdej miary $\mu \in \mathcal{M}_{\F}(M)$ wz\'or $f(x):=\int_M x \,d\mu$ definiuje funkcjona\l{} liniowy na $C_0(M, \F)$. Jest on poprawnie okre\'slony i ograniczony poniewa\.z korzystaj\k{a}c z rozk\l{}adu biegunowego $d\mu=h d|\mu|$ miary $\mu$, patrz Uwaga \ref{rem:polar_decomp_measure}, dla dowolnego $x\in C_0(M,\F)$ mamy
$$
|f(x)|=\left|\int_M x(t) h(t) \,d|\mu|(t)\right|\leq \int_M \left|x(t)\right| \,d|\mu|(t)\leq \|x\|_{\infty} |\mu|(M)=
\|x\|_{\infty} \|\mu\|.
$$
Jasne jest, \.ze przyporz\k{a}dkowanie $\mathcal{M}_{\F}(M) \in \mu \mapsto  \int_M \cdot \,d\mu \in C_0(M,\F)^*$ jest liniowe.
 Na mocy Twierdzenia  \ref{thm:Riesz_representation} jest ono izometryczn\k{a} surjekcj\k{a}, czyli jest izometrycznym izomorfizmem.
W szczeg\'olno\'sci przestrze\'n   $\mathcal{M}_{\F}(M)$ jest przestrzeni\k{a} Banacha.
\end{proof}
\begin{cor}\label{cor:dual_to_c_0}
Je\'sli $f\in  c_0^*$   to istnieje dok\l{}adnie jeden $y\in \ell^1$ taki, \.ze 
$$
f(x)=\sum_{k=1}^\infty x(k) y(k), \qquad x\in c_0,
$$
oraz wtedy $\|f\|=\|y\|_{1}=\sum_{k=1}^\infty |y(k)|$. W szczeg\'olno\'sci  $c_0^*\cong \ell^1$.
\end{cor}
\begin{proof}
Je\'sli $M=\N$ jest przestrzeni\k{a} dyskretn\k{a}, to $c_0$ mo\.zna uto\.zsami\'c z $C_0(M)$, a  odwzorowanie $\mu\mapsto (\mu(\{1\}),\mu(\{2\}),...)$ 
jest izometrycznym izomorfizmem z  $\mathcal{M}_\F(M)$ na przestrze\'n $\ell^1$ nad $\F$. 
Zatem teza jest szczeg\'olnym przypadkiem Wniosku \ref{cor:dual_to_continous_functions}. (\'cw. \home przeprowadzi\'c dow\'od bezpo\'srednio, bez korzystania z Wniosku \ref{cor:dual_to_continous_functions}).
\end{proof}
Z Wniosk\'ow \ref{cor:dual_to_c_0}, \ref{cor:dual_to_small_el_p} otrzymujemy, \.ze przestrze\'n podw\'ojnie sprz\k{e}\.zona do $c_0$ to $\ell^\infty$:
$$
c_0^{**}= (c_0^*)^*\cong (\ell^1)^*\cong \ell^\infty.
$$ 
Przy izomorfizmie $c_0^{**}\cong \ell^\infty$ naturalne zanurzenie $c_0\subseteq \ell^{\infty}$ 
odpowiada naturalnemu zanurzeniu $i(c_0)\subseteq c_0^{**}$.
W szczeg\'olno\'sci, przestrze\'n $c_0$ nie jest refleksywna. 
Ponadto, przestrze\'n $c_0$ nie mo\.ze by\'c izomorficzna z przestrzeni\k{a} $\ell^\infty$ nawet w spos\'ob niekanoniczny,
gdy\.z $c_0$ jest o\'srodkowa, a $\ell^\infty$ nie (\home pokaza\'c to).

Og\'olnym u\.zytecznym kryterium pozwalaj\k{a}cym wykaza\'c, \.ze jaka\'s przestrze\'n nie jest refleksywna, jest nast\k{e}puj\k{a}cy lemat, 
kt\'ory jest kolejnym zastosowaniem  Twierdzenia Hahna-Banacha.
\begin{lem}\label{lem:relflective_criterion}
Je\'sli przestrze\'n Banacha $X$ jest refleksywna, to dla ka\.zdego funkcjona\l{}u $f\in X^*$   supremum we wzorze $\|f\|=\sup_{\|x\|=1}|f(x)|$ realizuje si\k{e} dla pewnego $x\in X$, tzn. istnieje $x\in X$ taki, \.ze
$\|x\|=1$ oraz $f(x)=\|f\|$. 
\end{lem}
\begin{proof}
Niech $f\in X^{*}$. Na mocy Wniosku \ref{cor:functional_from_vector} istnieje  funkcjona\l{} $\varphi\in X^{**}$ taki, 
\.ze $\varphi(f)=\|f\|$ i $\|\varphi\|=1$. Je\'sli $x\in X$ jest elementem odpowiadaj\k{a}cym $\varphi$ przy izomorfizmie $X\cong X^{**}$,
(tzn. $i(x)=\varphi$), to $\|x\|=1$ oraz $f(x)=i(x)(f)=\varphi(f)=\|f\|$. 
\end{proof}
\begin{rem}
Stosuj\k{a}c Lemat \ref{lem:relflective_criterion}, tzn. pokazuj\k{a}c, \.ze jego teza nie zachodzi mo\.zna wykaza\'c, \.ze  
przestrzenie $\ell^1$, $C[a,b]$,  $L^1[a,b]$ s\k{a} nie refleksywne (\home wykaza\'c, patrz te\.z \cite[6.B.24]{Prus_Stachura}).
Z nierefleksywno\'sci $C[a,b]$ wynika nierefleksywno\'s\'c $L^\infty[a,b]$, gdy\.z $C[a,b]$ jest domkni\k{e}t\k{a} podprzestrzeni\k{a} $L^\infty[a,b]$
(\home ka\.zda podprzestrze\'n domkni\k{e}ta przestrzeni refleksywnej jest refleksywna).
\end{rem}



	

