\documentclass[trans]{beamer}
%\documentclass{beamer}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
%\usepackage{beamerbasearticle}
\usepackage{multimedia}
 \usepackage[dvips,usenames]{color}
\usepackage[arrow, matrix, curve]{xy}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[MeX]{polski}
\usepackage{amscd,graphics}
\usepackage{polski}
\usepackage{stackrel}
\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb,dsfont}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{fontawesome}
%\usepackage{bigints}
\usepackage{marvosym}
\usepackage{tikz}
\tikzset{rndblock/.style={rounded corners,rectangle,draw,outer sep=0pt}}
\newcommand{\tframed}[2][]{\tikz[baseline=(h.base)]\node[rndblock,#1] (h) {#2};}
\DeclareMathOperator{\lin}{lin}
\DeclareMathOperator{\re}{Re}
\DeclareMathOperator{\im}{Im}
\DeclareMathOperator{\dashind}{-Ind}
\DeclareMathOperator{\inv}{Inv}
\DeclareMathOperator{\Int}{Int}
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\DeclareMathOperator{\erg}{Erg}
\DeclareMathOperator{\clsp}{\overline{span}}
\renewcommand{\H}{ E}
\newcommand{\I}{\mathcal I}
\newcommand{\B}{\mathcal B}
\newcommand{\CC}{\mathcal C}
\newcommand{\TT}{\mathcal T}
\newcommand{\M}{\mathcal M}
\newcommand{\Sol}{\mathcal S}
\newcommand{\K}{\mathcal K}
\newcommand{\x}{\widetilde x}
\newcommand{\w}{\widetilde w}
\newcommand{\y}{\widetilde y}
\newcommand{\X}{\widetilde X}
\newcommand{\Y}{\widetilde Y}
\newcommand{\U}{\widetilde U}
\newcommand{\V}{\widetilde V}
\newcommand{\f}{\widetilde f}
\newcommand{\h}{\widetilde h}
\newcommand{\F}{\mathbb F}

\newcommand{\TDelta}{\widetilde \Delta}
\newcommand{\Tdelta}{\widetilde \delta}
\newcommand{\Tomega}{\widetilde \omega}
\newcommand{\Tmu}{\widetilde{\mu}}
\newcommand{\TA}{\widetilde{\mathcal A}}
\renewcommand{\TH}{\widetilde{\mathcal H}}
\newcommand{\tal}{\widetilde \alpha}
\newcommand{\al}{\alpha}
\newcommand{\be}{\beta}
\newcommand{\p}{\varphi}

\renewcommand{\L}{\mathcal L}
\newcommand{\LL}{\mathcal L}
\newcommand{\JJ}{\mathcal J}
\renewcommand{\SS}{\mathcal S}

\newcommand{\DR}{\mathcal DR}

\newcommand{\OO}{\mathcal O}
\newcommand{\FF}{\mathcal F}
\newcommand{\A}{\mathcal A}
\newcommand{\D}{\mathcal D}
\newcommand{\G}{\mathcal G}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\T}{\mathbb T}

\usepackage{amsfonts}
\newcommand{\tickYes}{\checkmark}
\usepackage{pifont}
\newcommand{\tickNo}{\hspace{1pt}\ding{55}}

%\usetheme{Frankfurt}
\usetheme{Warsaw}
%\usecolortheme{seahorse}
\usecolortheme{rose}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 

\definecolor{mylightblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 



\definecolor{myblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 

\definecolor{mylightblue}{rgb}{0.9,0.9,1}
\definecolor{mylightred}{rgb}{1,0.4,0.4} 
\definecolor{mylightblue1}{rgb}{0.8,0.8,0.9}



\title[Wyk\l{}ad 12]{Analiza Funkcjonalna}
\author{Bartosz Kwa\'sniewski}
\institute{Faculty of Mathematics, University of Bia\l{}ystok }


\date{Wyk\l{}ad 12
\\[4pt]
\textbf{Twierdzenie Banacha-Steinhausa}
\\[8pt]
\scriptsize
math.uwb.edu.pl/$\sim$zaf/kwasniewski/pdf/skrypt.pdf \pause
 \begin{picture}(0,0)(0,0)
\put(3,14){\includegraphics[scale=0.219]{Steinhaus1.jpg}} 
\pause
\put(-266,14){\includegraphics[scale=0.224]{Banach3.png}} 

\pause
\put(-185,-87){\includegraphics[scale=0.256]{lawka.png}} 
\end{picture}
\\[6pt]
$$ 
\,\,\,
$$
$
\,
$

 } %\pause
%\put(-20,-90){\includegraphics[angle=0, scale=0.212]{Heart.jpg}} 



\begin{document}


\frame{\titlepage}




\frame{
\begin{block}{\textbf{Tw.} (Twierdzenie Baire'a)}\label{thm:Baire_theorem}   \begin{picture}(0,0)(0,0)
\put(281,-20){\includegraphics[scale=0.224]{Baire.png}} 
\end{picture} \pause
\textbf{Przeliczalna suma domkni\k{e}tych zbior\'ow brzegowych w przestrzeni metrycznej zupe\l{}nej jest zbiorem brzegowym} \pause 
\\[6pt]
$
\left(\begin{array}{l}
X \text{ przestrze\'n metryczna zupe\l{}na} \pause 
\\
A_n\subseteq X \text{ dla }n\in \N \text{ takie, \.ze    }  \pause 
\\
\overline{A_n}=A_n \text{ oraz }\Int(A_n)=\emptyset 
\end{array}\right)\pause  \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,
\Int\left(
\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) \pause  =\emptyset.
$  \pause
\end{block}
\begin{block}{}\label{rem:Baire_for_open}
\textbf{Uw.} \pause 
Poprzez dualno\'s\'c mi\k{e}dzy zbiorami otwartymi i domkni\k{e}tymi Twierdzenie Baire'a mo\.zna  r\'ownowa\.znie sformu\l{}owa\'c nast\k{e}puj\k{a}co: \pause 
\\[6pt]
 \textbf{Przeliczalny przekr\'oj otwartych  zbior\'ow g\k{e}stych w przestrzeni metrycznej zupe\l{}nej jest zbiorem g\k{e}stym}, tzn.  \pause 
$$
\left(\begin{array}{l}
X \text{ przestrze\'n metryczna zupe\l{}na} \pause 
\\
U_n\subseteq X \text{ dla }n\in \N \text{ takie, \.ze   }  \pause 
\\
\text{Int}(U_n)=U_n \text{ oraz } \overline{U_n}=X 
\end{array}\right) \pause  \,\,\,\Longrightarrow\,\,\,
\overline{ \bigcap_{n=1}^\infty U_n}\pause =X.
$$
\end{block}
$$
\qquad
$$

}



\frame{ 
\begin{block}{\textbf{Twierdzenie Banacha-Steinhausa}} \pause 
Niech $X$ przestrze\'n Banacha, a $Y$ przestrze\'n 
unormowana. \pause  Dla dowolnej rodziny $\{T_i\}_{i\in I}\subseteq B(X,Y)$  operator\'ow ograniczonych  \pause 
\\[7pt]
\qquad \qquad   $
\forall_{x\in X}\,\, \sup\limits_{i\in I}\|T_i x\|<\infty  \pause  \,\,\,\Longrightarrow\,\,\, \sup\limits_{i\in I}\|T_i \|<\infty. \pause 
$ \qquad   {\color{blue}\begin{picture}(0,0)(0,0)
\put(-3,5){$\Longleftarrow$}
\put(-3,-4){\footnotesize \text{\l{}atwe}} 
\end{picture}} \pause 
\\[7pt]
Czyli rodzina $\{T_i\}_{i\in I}$ jest ograniczona w $B(X,Y)$    \emph{(jednostajnie)} \pause  $\Longleftrightarrow$  $\forall_{x\in X}$  rodzina  $\{T_ix\}_{i\in I}$ jest ograniczona w $Y$  \emph{(punktowo)}.
\end{block} \pause 
\textbf{Dow\'od:} \pause
Zbiory 
$
A_n:=\{x\in X: \sup_{i\in I}\|T_i x\|\leq n\}$, $n\in \N,
$ \pause 
s\k{a} domkni\k{e}te,\pause  bo $T_i$ s\k{a} ci\k{a}g\l{}e.  \pause  Z za\l{}o\.zenia, 
$X=\bigcup_{n=1}^\infty A_n$. \pause  Z Tw. Baire'a  istnieje 
$n_0\in \N$, \pause  $x_0\in X$ oraz $\varepsilon >0$ takie, \.ze $K(x_0,\varepsilon)\subseteq A_{n_0}$. \pause 
Dla  $x\in X$, $\|x\|=1$,  oraz $i\in I$ mamy \pause 
\\[7pt]
$
\|T_ix\|\pause  =\frac{2}{\varepsilon}\left\|T_i\left(\frac{\varepsilon}{2}x\right)\right\|
\pause  =\frac{2}{\varepsilon}\left\|T_i\left((x_0+\frac{\varepsilon}{2}x)-x_0\right)\right\| \pause 
$
\\[7pt]
\qquad $\leq 
\frac{2}{\varepsilon}\left\|T_i\left(x_0+\frac{\varepsilon}{2}x\right)\right\| +\frac{2}{\varepsilon}\left\|T_i\left(x_0\right)\right\| \pause 
 \,\, {\footnotesize \left\{\begin{array}{l} 
x_0+\frac{\varepsilon}{2}x\in K(x_0,\varepsilon)\subseteq A_{n_0}
\\
x_0\in K(x_0,\varepsilon)\subseteq A_{n_0}
\end{array}\right\}}
$ \pause 
\\[7pt]
\qquad $\leq\frac{2}{\varepsilon} {n_0} + \frac{2}{\varepsilon}{n_0}\pause  =\frac{4}{\varepsilon}{n_0} 
$. \,\,\, \pause  St\k{a}d $\sup_{i\in I}\|T_i \|\leq \frac{4}{\varepsilon}{n_0}  <\infty$. 
 \pause \,\,  $\blacksquare$
}

\frame{
\begin{block}{ }\textbf{Wn.}
Granica punktowa ci\k{a}gu operator\'ow ograniczonych na przestrzeni Banacha
jest operatorem ograniczonym. \pause  Tzn. 
$$
\left(\begin{array}{l}
\{T_n\}_{n=1}^\infty \subseteq B(X,Y)  \pause  
\\
X\text{ przestrze\'n Banacha} \pause 
\\
\forall_{x\in X}\,\, \{T_nx\}_{n=1}^\infty\text{ zbie\.zny}  \pause 
\end{array}\right)\,\Longrightarrow\, \pause 
\left(\begin{array}{l}
T\in B(X,Y), \text{ gdzie } 
\\
\forall_{x\in X} \,\,  Tx:=\lim\limits_{n\to\infty} T_nx
\end{array}\right)
$$
\end{block} \pause
\textbf{Dow\'od:} \pause
Je\'sli $\{T_nx\}_{n=1}^\infty$ zbie\.zny dla ka\.zdego $x\in X$, \pause to k\l{}ad\k{a}c
 $Tx:=\lim\limits_{n\to\infty} T_nx$ otrzymujemy operator liniowy, \pause bo granica jest operacj\k{a}
liniow\k{a}. \pause Ponadto zbie\.zno\'s\'c ci\k{a}gu $\{T_nx\}_{n=1}^\infty$ implikuje jego ograniczono\'s\'c, \pause dla ka\.zdego $x\in X$. \pause
Zatem na mocy Twierdzenia Banacha-Steinhausa mamy $\sup_{n\in \N}\|T_n\|<\infty$. \pause  Ponadto
\\[6pt]
$
\|Tx\| \pause=\lim_{n\to \infty}\|T_nx\|\pause\leq \sup_{n\in \N}\|T_n x\| \pause\leq 
\sup_{n\in \N}\|T_n\|\cdot \|x\|.
$ \pause
\\[6pt]
Czyli $T$ jest ograniczony \pause oraz $\|T\|\leq \sup_{n\in \N}\|T_n\|<\infty$. \pause $\blacksquare$ 
}

\frame{
\begin{block}{ } \textbf{Def.}
Niech $X$ przestrze\'n unormowana. \pause \textbf{S\l{}ab\k{a} topologi\k{a}} na $X$ nazywamy \pause najs\l{}absz\k{a} topologi\k{a}, przy kt\'orej wszystkie funkcjona\l{}y
z $X^*$ s\k{a} ci\k{a}g\l{}e. \pause  Je\.zeli ci\k{a}g  $\{x_n\}_{n=1}^\infty\subseteq X$ jest \textbf{s\l{}abo zbie\.zny} \pause (czyli zbie\.zny w s\l{}abej topologii) \pause do $x_0\in X$, \pause to piszemy  $x_n\stackrel{w}{\longrightarrow} x_0$.
\end{block}  \pause
\begin{block}{ }  \textbf{Uw.} \pause
Baz\k{a} s\l{}abej topologii
s\k{a}  zbiory postaci \pause
\\[6pt]
\qquad $
U_{f_{1},...,f_{n}, \varepsilon}(x):=\{y\in X:|f_{i}(y)-f_{i}(x)|<\varepsilon, \, 1\leq i \leq n\},
$  \pause
\\[6pt]
gdzie $x\in X$, $f_{1},...,f_{n}\in X^*$, $\varepsilon >0$. \pause  Ponadto
$$
x_n\stackrel{w}{\longrightarrow} x_0\,\, \Longleftrightarrow \,\, \forall_{f\in X^*}\,\, f(x_n)\longrightarrow f(x_0).
$$ \pause
Z Twierdzenia Hahna-Banacha wynika, \.ze  s\l{}aba topologia  spe\l{}nia warunek Hausdorffa. \pause    \begin{picture}(34,10)(0,0)
\put(3,-10){\includegraphics[scale=0.08]{house.png}} 
\end{picture} \pause 
W szczeg\'olno\'sci,
granica s\l{}abo zbie\.znego ci\k{a}gu jest wyznaczona jednoznacznie. \pause
\end{block} 
\begin{block}{ }  \textbf{Uw.} Topologia na $X$ zadana przez norm\k{e} jest mocniejsza od  topologii s\l{}abej \pause (st\k{a}d nazwa tej drugiej): \pause
$
x_n\stackrel{\|\cdot\|}{\longrightarrow}  x_0  \,\, \Longrightarrow \,\, x_n\stackrel{w}{\longrightarrow} x_0.
$
%
\end{block} 
}

\frame{
\begin{block}{ }  \textbf{Stw.} \pause
Ka\.zdy ci\k{a}g s\l{}abo zbie\.zny jest ograniczony,  \pause tzn. 
$$
x_n\stackrel{w}{\longrightarrow} x_0\ \,\, \Longrightarrow \,\, \{x_n\}_{n=1}^\infty \text{ ograniczony w normie}.
$$ \pause
Ponadto, $\|x_0\|\leq \liminf\limits_{n\to \infty} \|x_n\|$ \,\, \emph{\small (norma jest s\l{}abo p\'o\l{}ci\k{a}g\l{}a z do\l{}u)}. \pause
\end{block}
\textbf{Dow\'od:} \pause
Ka\.zdy $x\in X$ mo\.zemy traktowa\'c jako funkcjona\l{} $i(x)$ na przestrzeni $X^*$, \pause gdzie $i(x)(f)=f(x)$. \pause Wtedy $\|i(x)\|=\|x\|$ \pause oraz 
$$
x_n\stackrel{w}{\longrightarrow} x_0\,\, \Longleftrightarrow  \,\, \forall_{f\in X^*}\,\, i(x_n)(f)\longrightarrow i(x_0)(f).
$$ \pause
Czyli s\l{}aba zbie\.zno\'s\'c ci\k{a}gu $\{x_n\}_{n=1}^\infty\subseteq X$ \pause jest r\'ownowa\.zna zbie\.zno\'sci punktowej ci\k{a}gu funkcjona\l{}\'ow liniowych
$\{i(x_n)\}_{n=1}^\infty$. \pause Na mocy Tw. Banacha-Steinhausa, $\{i(x_n)\}_{n=1}^\infty\subseteq X^{**}=B(X^*,\F)$ ograniczony. \pause
 Na mocy Twierdzenia Hahna-Banacha istnieje  $f\in X^*$ taki, \.ze 
$\|f\|=1$ oraz $f(x_0)=\|x_0\|$.  \pause St\k{a}d i ze s\l{}abej zbie\.zno\'sci \pause
\\[6pt]
\qquad \qquad $
\|x_0\|\pause =f(x_0) \pause =\lim_{n\to\infty} f(x_n)\pause =\liminf_{n\to\infty} f(x_n) 
$ \pause
\\[6pt]
\qquad \qquad \qquad\,  $
\leq \liminf_{n\to\infty} \|f\| \|x_n\|=\liminf_{n\to\infty}  \|x_n\|.
$  \pause \quad $\blacksquare$
$$
\qquad 
$$
}
\frame{\textbf{Prz.} 
Je\'sli $X=H$ przestrze\'n Hilberta, \pause  to na mocy Twierdzenia Riesza-Frecheta  \pause  ka\.zdy funkcjona\l{} 
$f\in H^*$ \pause  jest postaci $f(x)=\langle x, y\rangle$, dla pewnego $y\in H$. \pause  Zatem dla ka\.zdego ci\k{a}gu $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ zachodzi
$$
x_n\stackrel{w}{\longrightarrow} x_0\,\, \Longleftrightarrow \,\, \forall_{y\in H}\,\, \langle x_n, y\rangle \longrightarrow \langle x_0, y\rangle.
$$ \pause 
Dla przyk\l{}adu, rozwa\.zmy uk\l{}ad ortonormalny $\{e_n\}_{n=1}^\infty\subseteq H$.  \pause 
Wtedy
\\[7pt]
\quad  $\|e_n-e_m\|^2 \pause  =\|e_n\|^2+2 \re\langle e_n, e_m\rangle  + \|e_m\|^2\pause  =2$,  \qquad $n\neq m$. 
\\[7pt] \pause 
Zatem   $\{e_n\}_{n=1}^\infty$ nie jest zbie\.zny w normie.  \pause 
Jest zato s\l{}abo zbie\.zny: \pause 
$$
e_n\stackrel{w}{\longrightarrow} 0.
$$ \pause 
Rzeczywi\'scie, dla dowolnego $y\in H$,  \pause  z nier\'owno\'sci Bessela mamy $ \sum_{n=1}^\infty |\langle e_i ,y \rangle|^2\leq \|y\|^2$.  \pause 
Skoro szereg $ \sum_{n=1}^\infty |\langle e_i ,y \rangle|^2$  jest zbie\.zny, \pause  to $\langle e_i ,y \rangle\to 0 \pause =\langle 0,y\rangle$. \pause  
Czyli 
$e_n\stackrel{w}{\longrightarrow} 0$. \pause   
 Norma nie jest s\l{}abo ci\k{a}g\l{}a, bo  $\|0\|=0<1=\liminf_{n\to \infty} \|e_n\|$. \pause   

\begin{block}{} \textbf{Tw1.} Topologia s\l{}aba=topologia normowa  $\Longleftrightarrow$ $\dim(X)<\infty$.
\end{block}
\begin{block}{} \textbf{Tw2.} $X$ jest refleksywna $\Longleftrightarrow$  $\{x\in X: \|x\|\leq 1\}$  s\l{}abo zwarty.
\end{block}
}


\end{document}



W 1927 r. Banach i Steinhaus  udowodnili wsp\'olnie twierdzenie  zwane  \emph{zasad\k{a} jednostajnej ograniczono\'sci}.
We wsp\'o\l{}czesnym sformu\l{}owaniu m\'owi ono, \.ze je\.zeli mamy rodzin\k{e} operator\'ow ograniczonych $\{T_i\}_{i\in I}\subseteq B(X,Y)$ okre\'slonych na przestrzeni Banacha $X$ i ograniczonych punktowo, tzn. 
$$
\forall_{x\in X}\,\, \exists_{M>0}\,\, \forall_{i\in I}\,\,  \|T_i x\|<M     \qquad (\text{r\'ownowa\.znie }\,\,  \forall_{x\in X}\,\, \sup_{i\in I}\|T_i x\|<\infty)
$$
to rodzina $\{T_i\}_{i\in I}$ jest ograniczona w normie operatorowej (jednostajnie), tzn. zachodzi
$$
 \exists_{M>0}\,\,\forall_{x\in X}\,\, \forall_{i\in I}\,\,  \|T_i x\|<M \|x\|  \qquad (\text{r\'ownowa\.znie }\,\,  \sup_{i\in I}\|T_i \|<\infty).
$$
Zauwa\.zmy, \.ze implikacja odwrotna zawsze zachodzi w spos\'ob trywialny. Natomiast implikacja z Twierdzenia Banacha-Steinhausa jest nietrywialna i kluczow\k{a} rol\k{e} pe\l{}ni tu zupe\l{}no\'s\'c przestrzeni $X$, bez kt\'orej twierdzenie przestaje by\'c prawdziwe:


\begin{proof}
Wyka\.zemy implikacj\k{e} z Uwagi \ref{rem:Baire_for_open}. Niech $\{U_n\}_{n=1}^\infty$ ci\k{a}g otwartych zbior\'ow g\k{e}stych w $X$. We\'zmy dowolny
niepusty zbi\'or otwarty $V\subseteq X$. Potrzebujemy pokaza\'c, \.ze $W\cap \bigcap_{n=1}^\infty U_n \neq \emptyset$. 
W tym celu skonstruujemy ci\k{a}g kul domkni\k{e}tych $\{K(x_n,r_n)\}_{n=1}^\infty$ zawartych w $W$ takich, \.ze 
\begin{equation}\label{eq:Baire_theorem}
\overline{K}(x_n,r_n)\subseteq  U_n\cap K(x_{n-1},r_{n-1})  \quad  \text{ oraz }\quad r_n< 1/n, \text{ dla }n>1.
\end{equation}
Tutaj $\overline{K}(x,r):=\{y\in X: d(x,y)\leq r\}$ jest kul\k{a} domkni\k{e}t\k{a}, a  $K(x,r):=\{y\in X: d(x,y)<r\}$ kul\k{a} otwart\k{a} w przestrzeni metrycznej $(X,d)$. Wtedy z \eqref{eq:Baire_theorem} wynika, \.ze ci\k{a}g kul jest zst\k{e}puj\k{a}cy:
$$
W \supseteq \overline{K}(x_1,r_1) \supseteq  \overline{K}(x_2,r_2)  \supseteq  \overline{K}(x_3,r_3)\supseteq ...\,,
$$
i ich promienie zbiegaj\k{a} do zera. St\k{a}d $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ jest ci\k{a}giem Cauchy, a wi\k{e}c  na mocy zupe\l{}no\'sci jest to ci\k{a}g zbie\.zny. Niech  $x:=\lim_{n\to\infty} x_n\in X$. Jako \.ze ci\k{a}g $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ odpewnego miejsca wpada ca\l{}y do $\overline{K}(x_N,r_N)$ dla ka\.zdego $N>0$, a $\overline{K}(x_N,r_N)$ jest zbiorem domkni\k{e}tym, to 
$x=\lim_{n\to \infty}x_n\in\overline{K}(x_N,r_N)$ dla ka\.zdego $N\in \N$. St\k{a}d 
$x\in \bigcap_{n=1}^{\infty} \overline{K}(x_n,r_n)\subseteq   W\cap \bigcap_{n=1}^{\infty}  U_n $. 


Ci\k{a}g spe\l{}niaj\k{a}cy \eqref{eq:Baire_theorem} konstruujemy indukcyjnie. Skoro  $U_1$ jest otwarty i g\k{e}sty w $X$, to $ W \cap U_1$ jest niepusty i otwarty. Zatem istniej\k{a}  $x_1\in X$ i $r_1 >0$
takie, \.ze 
$
\overline{K}(x_1,r_1)\subseteq W \cap U_1$,  oraz $r_1<1$.
Za\l{}\'o\.zmy teraz, \.ze skonstruowali\'smy ju\.z $x_n$ i $r_{n}$ spe\l{}niaj\k{a}ce \eqref{eq:Baire_theorem}.
Wtedy przekr\'oj $U_{n+1}\cap K(x_n,r_n)$ jest niepusty i otwarty, bo $U_{n+1}$ jest otwarty i g\k{e}sty.
Zatem mo\.zemy wybra\'c $x_{n+1}\in X$ oraz $r_{n+1}$ takie, \.ze  $
\overline{K}(x_{n+1},r_{n+1})\subseteq  \cap K(x_n,r_n)$,  oraz $r_1<1$. 
\end{proof}
 Zupe\l{}no\'s\'c w Twierdzeniu Baire'a jest kluczowa:

\begin{ex} Niech $X=\Q$ z metryk\k{a} $d(x,y)=|x-y|$. Ustawmy liczby wymierne w ci\k{a}g $q_1$, $q_2$, ... i po\l{}\'o\.zmy $A_n:=\{q_n\}$ dla $n\in \N$.
Wtedy
$\overline{A_n}=A_n$ oraz $\Int(A_n)=\emptyset$, ale $\bigcup_{n=1}^\infty A_n=\Q$ jest ca\l{}\k{a} przestrzeni\k{a}, wi\k{e}c
wn\k{e}trze ma niepuste (jest zbiorem otwartym). Zatem Twierdzenie Baire'a tutaj nie zachodzi, ale $\Q$ nie jest przestrzeni\k{a} zupe\l{}n\k{a}.
\end{ex}
\begin{ex} W przestrzeni $X=c_{00}$   z norm\k{a} supremum, por. Przyk\l{}ad \ref{ex:uniform_priniciple_fails},
zbiory 
$$
A_{n}:=\{(x(1),x(2),x(3),...)\in c_{00}: (x(1),x(2),x(3),...,x(n), 0, 0,...) \}, \qquad n\in N,
$$
s\k{a} sko\'nczenie wymiarowymi podprzestrzeniami liniowymi. Zatem zbiory $A_n$ s\k{a} domkni\k{e}te i maj\k{a} puste wn\k{e}trza w $X$. Natomiast
$X=\bigcup_{n=1}^\infty A_n$ jest ca\l{}\k{a} przestrzeni\k{a} (ma niepuste wn\k{e}trze).
\end{ex}

\end{proof}
\begin{cor}\label{cor:Banach-Steinhaus}
\end{proof}
\section{Topologia s\l{}aba i $^*$-s\l{}aba}
Na danym zbiorze mo\.zna rozpatrywa\'c r\'o\.zne topologie. Im s\l{}absza topologia (zawiera mniej zbior\'ow otwartych), tym \l{}atwiej danemu ci\k{a}gowi by\'c zbie\.znym, 
a zbiorowi zwartym. W niesko\'nczenie wymiarowej przestrzeni unormowanej $X$ topologia jest do\'s\'c mocna.
Na przyk\l{}ad, kula domkni\k{e}ta $\{x\in X: \|x\|\leq r\}$ %(a zatem i ka\.zdy niepusty domkni\k{e}ty zbi\'or ograniczony) 
nie jest zwarta w topologii takiej przestrzeni  (\home pokaza\'c). 
Dlatego rozwa\.za si\k{e} na $X$ te\.z s\l{}absze topologie, kt\'ore pozwalaj\k{a} 
na szersze zastosowanie w\l{}a\'snie takich poj\k{e}\'c jak zbie\.zno\'s\'c czy zwarto\'s\'c. Standardowo do
tego celu wykorzystuje si\k{e} topologi\k{e} zadan\k{a} przez ograniczone funkcjona\l{}y liniowe. 
Og\'olna procedura defniowania topologii za pomoc\k{a} odwzorowa\'n jest opisana w poni\.zszym stwierdzeniu: 
\begin{lem}\label{lem:continous_function_vs_topology}
Funkcja  $f:X\to \F$ na przestrzeni topologicznej $X$ jest ci\k{a}g\l{}a wtedy i tylko wtedy, gdy
dla ka\.zdego $x\in X$ i $\varepsilon >0$ zbi\'or 
$
U_{f, \varepsilon}(x):=\{y\in X:|f(y)-f(x)|<\varepsilon\}
$
jest otwarty w $X$.
\end{lem}
\begin{proof}
 $f$ jest ci\k{a}g\l{}a $\Longleftrightarrow$ dla ka\.zdego $y\in f(X)$ i $\varepsilon >0$ przeciwobraz $f^{-1}(K(y,\varepsilon))$ jest otwarty 
w $X$ $\Longleftrightarrow$ dla ka\.zdego $x\in X$ i $\varepsilon >0$ przeciwobraz $f^{-1}(K(f(x),\varepsilon))$ jest otwarty 
w $X$. Ale  $f^{-1}(K(f(x),\varepsilon))=\{y\in X:|f(y)-f(x)|<\varepsilon\}=U_{f, \varepsilon}(x)$.
\end{proof}
\begin{prop}\label{prop:continous_function_vs_topology}
Niech $F$ b\k{e}dzie pewn\k{a} rodzin\k{a} funkcji na zbiorze $X$ o warto\'sciach w ciele $\F$ i niech $\tau_F$ b\k{e}dzie najs\l{}absz\k{a} topologi\k{a} na $X$,
przy kt\'orej wszystkie funkcje $f:X\to \F$ nale\.z\k{a}ce do $F$ s\k{a} ci\k{a}g\l{}e. 
Topologia taka zawsze istnieje oraz
\begin{enumerate}[(1)]
\item \label{prop:continous_function_vs_topology1} zbiory postaci
$
U_{f_{1},...,f_{n}, \varepsilon}(x):=\{y\in X:|f_{i}(y)-f_{i}(x)|<\varepsilon, \, 1\leq i \leq n\}
$
gdzie $x\in X$, $f_{1},...,f_{n}\in F$, $\varepsilon >0$, tworz\k{a} baz\k{e} topologii $\tau_F$.
\item\label{prop:continous_function_vs_topology2} Topologia $\tau_F$ spe\l{}nia warunek Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje z $F$ rodzielaj\k{a}
punkty  $X$, tzn. dla $x\neq y$ istnieje $f\in F$ taki, \.ze $f(x)\neq f(y)$.
\item \label{prop:continous_function_vs_topology3} Ci\k{a}g $\{x_n\}_{n=1}^\infty\subseteq X$ jest zbie\.zny do $x_0\in X$ w topologii $\tau_F$ wtedy i 
tylko wtedy, gdy $f(x_n)\to f(x_0)$ dla ka\.zdego $f\in F$.
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof} Na mocy Lematu \ref{lem:continous_function_vs_topology}  topologia generowana przez zbiory postaci $U_{f, \varepsilon}(x)$, $x\in X$, 
$f\in F$, generuje najs\l{}absz\k{a} topologi\k{e} $\tau_F$, przy kt\'orej ka\.zda funkcja $f\in F$ jest ci\k{a}g\l{}a.
Wynika st\k{a}d, \.ze sko\'nczone przekroje $\bigcap_{i=1}^n U_{f_{i},\varepsilon_i}(x_i)$, gdzie $x_1,...,x_n\in X$, $f_1,...,f_n\in F$, $\varepsilon_1$, ..., $\varepsilon_n>0$, tworz\k{a} baz\k{e} 
topologii $\tau_F$ (ka\.zdy zbi\'or z $\tau_F$ jest sum\k{a} takich sko\'nczonych przekroj\'ow). 
W szczeg\'olno\'sci, 
$$
U_{f_{1},...,f_{n}, \varepsilon}(x)=\bigcap_{i=1}^n U_{f_{i},\varepsilon}(x)\in \tau_F.
$$
Ponadto, dla dowolnego $x\in \bigcap_{i=1}^n U_{f_{i},\varepsilon_i}(x_i)$
k\l{}ad\k{a}c $\varepsilon:=\min_{i=1,...,n}\varepsilon_i>0$ mamy,
$$
x\in U_{f_{i_1},...,f_{i_n}, \varepsilon}(x)\subseteq  \bigcap_{i=1}^n U_{f_{i},\varepsilon_i}(x_i).
$$
St\k{a}d zbiory postaci $U_{f_{i_1},...,f_{i_n}, \varepsilon}(x)$ tworz\k{a} baz\k{e} topologii $\tau_F$, tzn. dowodzi to punktu \ref{prop:continous_function_vs_topology1}.

\ref{prop:continous_function_vs_topology2}.  Ten punkt jest jasny (\home sprawdzi\'c).

\ref{prop:continous_function_vs_topology3}.   Je\'sli $\{x_n\}_{n=1}^\infty\subseteq X$  zbiega do $x_0\in X$ w $\tau_F$, to dla dowolnego 
$f$ i $\varepsilon>0$  ci\k{a}g $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ od pewnego miejsca wpada do $U_{f,\varepsilon}(x_0)$, tzn. 
istnieje $N>0$ taki, \.ze dla ka\.zdego $n>N$ mamy $|f(x_n)-f(x_0)|<\varepsilon$. St\k{a}d $f(x_n)\to f(x_0)$.

Na odwr\'ot, za\l{}\'o\.zmy, \.ze $f(x_n)\to f(x_0)$ dla ka\.zdego $f\in F$. Ustalmy dowolne bazowe otoczenie punktu  $x_0$, tzn. $U_{f_{1},...,f_{k}, \varepsilon}(x_0)$,
gdzie $f_1,...,f_k\in F$ oraz $\varepsilon>0$. 
Dla ka\.zdego $i=1,...,k$ istnieje $N_i$ taki, \.ze dla $n>N_i$, $|f_i(x_n)-f_i(x_0)|<\varepsilon$, tzn. $x_n \in U_{f_i,\varepsilon}(x_0)$. 
Zatem dla $n>N:=\max_{i=1,...,n}N_i$ mamy $x_n\in  U_{f_{1},...,f_{n}, \varepsilon}(x_0)=\bigcap_{i=1}^n U_{f_{i},\varepsilon}(x_0)$.
Czyli $x_n$ zbiega do $x_0$ w $\tau_F$
\end{proof}
\begin{rem}\label{rem:nets_and_topology}
Przypomnijmy, \.ze zbie\.zno\'s\'c ci\k{a}gu determinuje topologi\k{e} w przestrzeni metrycznej: podzbi\'or  $A$ przestrzeni metrycznej 
jest domkni\k{e}ty wtedy i tylko wtedy, gdy $A$ zawiera granic\k{e} ka\.zdego ci\k{a}gu zbie\.znego $\{x_n\}_{n=1}^\infty\subseteq A$. 
Twierdzenie to przenosi si\k{e} na og\'olne przestrzenie topologiczne pod warunkiem, \.ze ci\k{a}gi zast\k{a}pimy sieciami. 
Przypomnijmy, \.ze \emph{sieci\k{a}} nazywamy
rodzin\k{e} $\{x_i\}_{i\in I}\subseteq X$ indeksowan\k{a} zbiorem skierowanym przez pewn\k{a} relacje cz\k{e}\'sciowego porz\k{a}dku 
$\leq$.  M\'owimy, \.ze taka \emph{sie\'c jest zbie\.zna} do punktu $x_0\in X$, w przestrzeni topologicznej $X$,
je\.zeli dla dowolnego otwartego otoczenia $U$ punktu $x_0$ istnieje taki wska\'znik $i_0\in I$, \.ze dla ka\.zdego $ i\geq i_0$ mamy $x_i\in U$. 
Piszemy wtedy $x_i\to x_0$. Mo\.zna pokaza\'c (\home dla ch\k{e}tnych), \.ze
\begin{quote}
	\emph{podzbi\'or  $A$ przestrzeni topologicznej $X$ jest domkni\k{e}ty wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka\.zdej sieci  $\{x_i\}_{i\in I}\subseteq A$  je\'sli $x_i\to x_0$ w $X$, to $x_0\in A$.}
\end{quote}
Sie\'c $\{x_i\}_{i\in I}\subseteq X$ jest zbie\.zna do $x_0\in X$ w topologii $\tau_F$ 
 ze Stwierdzenia \ref{prop:continous_function_vs_topology} wtedy i 
tylko wtedy, gdy $f(x_i)\to f(x_0)$ dla ka\.zdego $f\in F$. Zatem opis ten ca\l{}kowicie determinuje topologi\k{e} $\tau_F$.
\end{rem}

\begin{defn}

\end{rem}
\begin{prop}\label{prop:weak_converge_bounded}
\end{proof}
\begin{ex}[S\l{}aba zbie\.zno\'s\'c w przestrzeniach Hilberta]\label{ex:weak_convergence_Hilbert}

\end{ex}
\begin{ex}[S\l{}aba zbie\.zno\'s\'c w przestrzeniach $L^p$]\label{ex:weak_convergence_L^p}
Niech $(\Omega, \Sigma, \mu)$ przestrze\'n z miar\k{a} $\sigma$-sko\'nczon\k{a} oraz niech $1\leq p < \infty$. Niech $q>1$ takie, \.ze 
$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ($q=\infty$ gdy $p=1$). 
Na mocy Twierdzenia \ref{thm:dual_to_L^p} mamy, \.ze dla ka\.zdego ci\k{a}gu $\{x_n\}_{n=1}^\infty\subseteq L^p_\mu(\Omega)$ zachodzi
$$
x_n\stackrel{w}{\longrightarrow} x_0 \text{ w }  L^p_\mu(\Omega)\,\, \Longleftrightarrow \,\, \forall_{y\in L^q_{\mu}(\Omega)}\,\, \int_{\Omega} x_n(t) y(t)\, d\mu(t) \longrightarrow 
\int_{\Omega} x_0(t) y(t)\, d\mu(t).
$$
W przypadku, gdy $\mu$ jest miar\k{a} licz\k{a}c\k{a} na $\Omega =\N$ dostajemy
$$
x_n\stackrel{w}{\longrightarrow} x_0 \text{ w }  \ell^p\,\, \Longleftrightarrow \,\, \forall_{y\in \ell^q}\,\, \sum_{k=1}^\infty x_n(k) y(k)\longrightarrow 
\sum_{k=1}^\infty  x_0(k) y(k).
$$
Dla $p>1$, podobnie jak w poprzednim przyk\l{}adzie mo\.zna pokaza\'c, \.ze k\l{}ad\k{a}c $e_n=(\underbrace{0,...,0}_{n-1 \text{ razy}},1,0,...)$ otrzymujemy ci\k{a}g 
$\{e_n\}_{n=1}^\infty$, kt\'ory nie jest zbie\.zny w normie $\ell^p$, ale jest s\l{}abo zbie\.zny do zera (\home sprawdzi\'c). 
Dla $p=1$ sytacja jest wyj\k{a}tkowa. Okazuje si\k{e}, \.ze  mimo, i\.z $\ell^1$ jest niesko\'nczenie wymiarowa, to s\l{}aba zbie\.zno\'s\'c ci\k{a}g\'ow w $\ell^1$  jest r\'ownowa\.zna zbie\.zno\'sci w normie (jest to tzw. Twierdzenie Schura, \home dla ch\k{e}tnych, patrz \cite[6.C.25]{Prus_Stachura}).
Nie oznacza to jednak, \.ze s\l{}aba topologia na $\ell^1$ pokrywa si\k{e} z topologi\k{a} zadan\k{a} przez norm\k{e}. Wr\k{e}cz przeciwnie topologie te 
s\k{a} r\'o\.zne i w szczeg\'olno\'sci s\l{}aba zbie\.zno\'s\'c sieci nie jest r\'ownowa\.zna zbie\.zno\'sci sieci w normie, por. Uwaga \ref{rem:nets_and_topology}.
\end{ex}



\begin{ex}[S\l{}aba zbie\.zno\'s\'c w przestrzeni $C_0(M)$]
Niech $M$ b\k{e}dzie lokalnie zwart\k{a} przestrzeni\k{a} metryczn\k{a}. 
Zbie\.zno\'s\'c w przestrzeni $C_0(M)$, wyposa\.zonej w norm\k{e} supremum, jest zbie\.zno\'sci\k{a} jednostajn\k{a}. 
Twierdzimy, \.ze zbie\.zno\'s\'c s\l{}aba w tej przestrzeni jest r\'ownowa\.zna zbie\.zno\'sci punktowej modulo ograniczono\'s\'c ci\k{a}gu. 
To znaczy twierdzimy, \.ze 
$$
x_n\stackrel{w}{\longrightarrow} x_0 \text{ w }  C_0(M)\,\, \Longleftrightarrow \,\, \forall_{t\in M}\,\, x_n(t)  \longrightarrow 
 x_0(t)  \text{ oraz } \sup_{n\in \N}\|x_n\|<\infty.
$$
Przypomnijmy, \.ze na mocy Twierdzenia Riesza, patrz Wniosek \ref{cor:dual_to_continous_functions}, przestrze\'n dualna do $C_0(M)$ to przestrze\'n miar 
$\mathcal{M}_\F(M)$. 
Zatem 
$$
x_n\stackrel{w}{\longrightarrow} x_0 \text{ w }  C_0(M)\,\, \Longleftrightarrow \,\, \forall_{\mu\in \mathcal{M}_\F(M)}\,\, \int_M x_n d\mu  \longrightarrow 
 \int_M x_0 d\mu.
$$
Zatem je\'sli $x_n\stackrel{w}{\longrightarrow} x_0$, to  oznaczaj\k{a}c przez $\delta_t$ miar\k{e} probabilistyczn\k{a} skupion\k{a} w punkcie $t\in M$, dostajemy 
$x_n(t)=\int_M x_n d\delta_t \longrightarrow \int_M x_0 d\delta_t=x_0(t)$. Natomiat ograniczono\'s\'c ci\k{a}gu w normie: $\sup_{n\in \N}\|x_n\|<\infty$ wynika ze Stwierdzenia \ref{prop:weak_converge_bounded}. 
Za\l{}\'o\.zmy teraz na odwr\'ot, \.ze ci\k{a}g $\{x_n\}_{n=1}^\infty\subseteq C_0(M)$ jest punktowo zbie\.zny  oraz  ograniczony w normie.
Wtedy dla ka\.zdej miary dodatniej miary borelowskiej $\mu$ mamy $\int_M x_n d\mu  \longrightarrow 
 \int_M x_0 d\mu$ na mocy Twierdzenia Lebesgue'a o zbie\.zno\'sci zmajoryzowanej. Relacja ta przed\l{}u\.za si\k{e} na \l{}adunki poprzez rozk\l{}ad Hahna-Jordana i dalej na miary zespolone poprzez rozk\l{}ad na cz\k{e}\'s\'c rzeczywist\k{a} i cze\'s\'c urojon\k{a}.
\end{ex}
Mo\.zemy te\.z w pewnym sensie odwr\'oci\'c sytuacj\k{e} i zada\'c topologi\k{e} na $X^*$ za pomoc\k{a} element\'ow $X$. W szczeg\'olno\'sci, tak jak w dowodzie Stwierdzenia \ref{prop:weak_converge_bounded}, mo\.zemy traktowa\'c elementy przestrzeni $X$ jako funkcjona\l{}y  na przestrzeni dualnej $X^*$. Prowadzi to do nast\k{e}puj\k{a}cej definicji.
\begin{defn}
Niech $X$ przestrze\'n unormowana. \emph{Topologi\k{a} *-s\l{}ab\k{a}} na przestrzeni sprz\k{e}\.zonej $X^*$ nazywamy najs\l{}absz\k{a} topologi\k{a}, przy kt\'orej wszystkie funkcjona\l{}y
$X^* \ni f \mapsto f(x)\in \F$ dla $x\in X$ s\k{a} ci\k{a}g\l{}e na $X^*$  (s\k{a} to dok\l{}adnie funkcjona\l{}y z $i(X)\subseteq X^{**}$).  Powiemy, \.ze ci\k{a}g  $\{f_n\}_{n=1}^\infty\subseteq X^*$ jest \emph{*-s\l{}abo zbie\.zny} do $f_0\in X^*$, je\.zeli jest zbie\.zny  do $f_0$ w *-s\l{}abej topologii.
Piszemy wtedy, $f_n\stackrel{w^*}{\longrightarrow} f_0$.
\end{defn}
\begin{rem}
Na mocy Stwierdzenia \ref{prop:continous_function_vs_topology} baz\k{a} s\l{}abej topologii
s\k{a}  zbiory postaci
$
U_{x_{1},...,x_{n}, \varepsilon}(f):=\{g\in X^*:|g(x_i)-f(x)|<\varepsilon, \, 1\leq i \leq n\}
$
gdzie $f\in X^*$, $x_{1},...,x_{n}\in X$, $\varepsilon >0$. Natomiast  ci\k{a}g funkcjona\l{}\'ow $\{f_n\}_{n=1}^\infty\subseteq X^*$  jest *-s\l{}abo zbie\.zny do $f_0\in X^*$,
wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbie\.zny do $f_0$ punktowo, tzn. 
$$
f_n\stackrel{w^*}{\longrightarrow} f_0\,\, \Longleftrightarrow \,\, \forall_{x\in X}\,\, f_n(x)\longrightarrow f_0(x).
$$
Zatem oczywiste jest, \.ze granica *-s\l{}abo zbie\.znego ci\k{a}gu jest wyznaczona jednoznacznie, oraz \.ze zbie\.zno\'s\'c funkcjona\l{}\'ow w normie poci\k{a}ga zbie\.zno\'s\'c
*-s\l{}ab\k{a}. 
\end{rem}
Je\'sli przestrze\'n $X$ jest refleksywna, to mo\.zemy j\k{a} traktowa\'c jako przestrze\'n sprz\k{e}\.zon\k{a} do przestrzeni sprz\k{e}\.zonej $X^*$. 
Jasne jest, \.ze wtedy topologia *-s\l{}aba na $(X^{*})^*=X^{**}=X$ zadana przez $X^*$ pokrywa si\k{e} z topologi\k{a} s\l{}ab\k{a} na $X$ zadan\k{a} przez $X^*$.
Czyli dla przestrzeni refleksywnych w zasadzie poj\k{e}cia s\l{}abej topologii i *-s\l{}abej topologii s\k{a} to\.zsame. 
W szczeg\'olno\'sci, w przestrzeniach Hilberta oraz przestrzeniach $L^p$ dla $p>1$ nie ma sensu rozwa\.za\'c topologii *-s\l{}abych, por. 
Przyk\l{}ady \ref{ex:weak_convergence_Hilbert}, \ref{ex:weak_convergence_L^p}. Natomiast na przestrzeni miar ju\.z tak:


\begin{ex}[*-S\l{}aba zbie\.zno\'s\'c w przestrzeni miar]
Rozpatrzmy przestrze\'n miar borelowskich $\mathcal{M}_\F(M)$ o warto\'sciach w ciele $\F$, gdzie  $M$ jest
 lokalnie zwart\k{a} przestrzeni\k{a} metryczn\k{a}. Przestrze\'n t\k{e} mo\.zemy traktowa\'c jako przestrze\'n sprz\k{e}\.zon\k{a} do
przestrzeni $C_0(M)$. Wtedy dla ci\k{a}gu miar $\{\mu_n\}_{n=1}^\infty\subseteq \mathcal{M}_\F(M)$ mamy
$$
\mu_n\stackrel{w^*}{\longrightarrow} \mu_0   \,\, \Longleftrightarrow \,\, \forall_{x\in C_0(M)}\,\,  \int_M x d\mu_n  \longrightarrow 
\int_M x d\mu_0.
$$
Za\l{}\'o\.zmy, \.ze $M=\R$. Wtedy ka\.zda miara znakowa (\l{}adunek) $\mu \in \mathcal{M}_\F(\R)$ jest jednoznacznie wyznaczona przez swoj\k{a} dystrybuant\k{e} 
$F_\mu(t):=\mu((-\infty, t])$, $t\in \R$. Zbie\.zno\'s\'c *-s\l{}aba jest dobrze znan\k{a} z Rachunku Prawdopodobie\'nstwa zbie\.zno\'scia wed\l{}ug rozk\l{}adu. 
Mianowicie, mo\.zna pokaza\'c (\home dla ch\k{e}tnych, patrz np. \cite[Twierdzenie 8.3.1]{JakSzten}), \.ze 
 $$
\mu_n\stackrel{w^*}{\longrightarrow} \mu_0   \,\, \Longleftrightarrow \,\, \forall_{t\in \R}\,\, \text{ je\'sli }F_0\text{ ci\k{a}g\l{}a w }t, \text{ to }   F_\mu(t)\to F_{\mu_0}(t).
$$
\end{ex}
Og\'olnie topologia *-s\l{}aba ma przewag\k{e} nad topologi\k{a} s\l{}ab\k{a} ze wzgl\k{e}du na nast\k{e}puj\k{a}ce:
\begin{thm}[Banach-Alaoglu]\label{thm:Alaoglu}
 Kula domkni\k{e}ta $\{f\in X^*:\|f\|\leq 1\}$ jest zwarta w *-s\l{}abej topologii dla dowolnej przestrzeni unormowanej $X$.
\end{thm}
\begin{proof}
Dla ka\.zdego $x\in X$ po\l{}\'o\.zmy $D_x:=\{z\in \F: |z|\leq \|x\|\}$. Jest to podzbi\'or zwarty $\F$. Zatem na mocy Twierdzenia Tichonowa 
(niesko\'nczony) iloczyn kartezja\'nski
$$
D:=\prod_{x\in X}D_x=\{f:X\to \F: f(x)\in D_x\}=\{f:X\to \F: |f(x)|\leq \|x\|\}
$$
jest przestrzeni\k{a} zwart\k{a}. Przestrze\'n ta zawiera kul\k{e} $B:=\{f\in X^*:\|f\|\leq 1\}$, gdy\.z
dla $f\in B$ i $x\in X$ mamy $f(x)\leq \|x\|$. 
Aby wykaza\'c tez\k{e} wystarczy zauwa\.zy\'c, \.ze: (a)  topologia na $B$ indukowana z topologii produktowej $D$ pokrywa si\k{e}
ze *-s\l{}ab\k{a} topologi\k{a} dziedziczon\k{a} z $X^*$;  (b) $B$ jest domkni\k{e}tym podzbiorem $D$.
Wtedy $B$ jako domkni\k{e}ty podzbi\'or zbioru zwartego sam jest zwarty. 
 
 (a) wynika st\k{a}d, \.ze topologia produktowa na $D$ jest najs\l{}absz\k{a} topologi\k{a}, przy kt\'orej rzuty 
$\pi_x:D\to D_x$, gdzie $\pi_x(f)=f(x)$, dla $x\in X$ s\k{a} ci\k{a}g\l{}e. 

  (b) wynika z Uwagi \ref{rem:nets_and_topology} oraz st\k{a}d, \.ze je\.zeli $\{f_i\}_{i\in I}\subseteq B$ jest sieci\k{a} zbie\.zn\k{a} do $f_0$ w $D$, to
	dla ka\.zdych $x_1,x_2\in X$ i $\lambda_1,\lambda_2 \in \F$ mamy
	$$
	f_0(\lambda_1 x_1+\lambda_2x_2) =\lim_{i\in I} f_i(\lambda_1 x_1+\lambda_2x_2)=\lim_{i\in I} \lambda_1 f_i(x_1)+\lambda_2f_i(x_2)=
	\lambda_1 f_0(x_1)+\lambda_2f_0(x_2).
	$$
	Czyli $f_0\in B$.
\end{proof}
\begin{cor}\label{cor:Alaoglu}
W przestrzeni refleksywnej $X$ kula domkni\k{e}ta $\{x\in X: \|x\|\leq 1\}$ jest zbiorem s\l{}abo zwartym.
\end{cor}
\begin{proof}
S\l{}ab\k{a} topologi\k{e} na $X=(X^{*})^*$ mo\.zemy traktowa\'c jako *-s\l{}ab\k{a} topologi\k{e} zadan\k{a} przez $X^*$. Zatem teza wynika z Twierdzenia 
\ref{thm:Alaoglu}.
\end{proof}
Powy\.zsze twierdzenie i wniosek maj\k{a} szereg zastosowa\'n. Wynika z nich na przyk\l{}ad, \.ze ka\.zdy ci\k{a}g zawarty w  domkni\k{e}tym zbiorze ograniczonym posiada w tym zbiorze *-s\l{}ab\k{a} albo s\l{}ab\k{a} granic\k{e}. Umo\.zliwia to konstruowanie funkcjona\l{}\'ow i element\'ow o \.z\k{a}danych w\l{}asno\'sciach.
Ponadto, Wniosek \ref{cor:Alaoglu} da si\k{e} odwr\'oci\'c, co daje eleganck\k{a} charakteryzacj\k{e} przestrzeni refleksywnych, patrz \cite[Twierdzenie 23.9]{Musielak} 
\begin{thm}
Przestrze\'n Banacha $X$ jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy kula domkni\k{e}ta $\{x\in X: \|x\|\leq 1\}$ jest zbiorem s\l{}abo zwartym.
\end{thm


	

