\documentclass[trans]{beamer}
%\documentclass{beamer}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
%\usepackage{beamerbasearticle}
\usepackage{multimedia}
 \usepackage[dvips,usenames]{color}
\usepackage[arrow, matrix, curve]{xy}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[MeX]{polski}
\usepackage{amscd,graphics}
\usepackage{polski}
\usepackage{stackrel}
\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb,dsfont}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{fontawesome}
%\usepackage{bigints}
\usepackage{marvosym}
\usepackage{tikz}
\tikzset{rndblock/.style={rounded corners,rectangle,draw,outer sep=0pt}}
\newcommand{\tframed}[2][]{\tikz[baseline=(h.base)]\node[rndblock,#1] (h) {#2};}
\DeclareMathOperator{\lin}{lin}
\DeclareMathOperator{\re}{Re}
\DeclareMathOperator{\im}{Im}
\DeclareMathOperator{\dashind}{-Ind}
\DeclareMathOperator{\inv}{Inv}
\DeclareMathOperator{\Int}{Int}
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\DeclareMathOperator{\erg}{Erg}
\DeclareMathOperator{\clsp}{\overline{span}}
\renewcommand{\H}{ E}
\newcommand{\I}{\mathcal I}
\newcommand{\B}{\mathcal B}
\newcommand{\CC}{\mathcal C}
\newcommand{\TT}{\mathcal T}
\newcommand{\M}{\mathcal M}
\newcommand{\Sol}{\mathcal S}
\newcommand{\K}{\mathcal K}
\newcommand{\x}{\widetilde x}
\newcommand{\w}{\widetilde w}
\newcommand{\y}{\widetilde y}
\newcommand{\X}{\widetilde X}
\newcommand{\Y}{\widetilde Y}
\newcommand{\U}{\widetilde U}
\newcommand{\V}{\widetilde V}
\newcommand{\f}{\widetilde f}
\newcommand{\h}{\widetilde h}
\newcommand{\F}{\mathbb F}

\newcommand{\TDelta}{\widetilde \Delta}
\newcommand{\Tdelta}{\widetilde \delta}
\newcommand{\Tomega}{\widetilde \omega}
\newcommand{\Tmu}{\widetilde{\mu}}
\newcommand{\TA}{\widetilde{\mathcal A}}
\renewcommand{\TH}{\widetilde{\mathcal H}}
\newcommand{\tal}{\widetilde \alpha}
\newcommand{\al}{\alpha}
\newcommand{\be}{\beta}
\newcommand{\p}{\varphi}

\renewcommand{\L}{\mathcal L}
\newcommand{\LL}{\mathcal L}
\newcommand{\JJ}{\mathcal J}
\renewcommand{\SS}{\mathcal S}

\newcommand{\DR}{\mathcal DR}

\newcommand{\OO}{\mathcal O}
\newcommand{\FF}{\mathcal F}
\newcommand{\A}{\mathcal A}
\newcommand{\D}{\mathcal D}
\newcommand{\G}{\mathcal G}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\T}{\mathbb T}

\usepackage{amsfonts}
\newcommand{\tickYes}{\checkmark}
\usepackage{pifont}
\newcommand{\tickNo}{\hspace{1pt}\ding{55}}

%\usetheme{Frankfurt}
\usetheme{Warsaw}
%\usecolortheme{seahorse}
\usecolortheme{rose}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 

\definecolor{mylightblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 



\definecolor{myblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 

\definecolor{mylightblue}{rgb}{0.9,0.9,1}
\definecolor{mylightred}{rgb}{1,0.4,0.4} 
\definecolor{mylightblue1}{rgb}{0.8,0.8,0.9}



\title[Wyk\l{}ad 13]{Analiza Funkcjonalna}
\author{Bartosz Kwa\'sniewski}
\institute{Faculty of Mathematics, University of Bia\l{}ystok }


\date{Wyk\l{}ad 13
\\[4pt]
\textbf{Twierdzenie Banacha o operatorze otwartym}
\\[8pt]
\scriptsize
math.uwb.edu.pl/$\sim$zaf/kwasniewski/pdf/skrypt.pdf

 } %\pause
%\put(-20,-90){\includegraphics[angle=0, scale=0.212]{Heart.jpg}} 



\begin{document}


\frame{\titlepage}




\frame{
\begin{block}{\textbf{Def.}}
\qquad $
f:X\to Y 
\text{ \textbf{otwarte}}  \pause
\,\, \stackrel{def}{\Longleftrightarrow}\,\,{\forall \atop U\subseteq X \text{ otwarty}}\,\, f(U) \text{  otwarty w }Y
$
\end{block} \pause
\begin{block}{}
\textbf{Uw.} \pause 
Odwracalne odwzorowanie  $f:X\to Y$ jest otwarte wtedy i tylko wtedy, gdy odwzorowanie odwrotne 
$f^{-1}:Y\to X$  \pause jest ci\k{a}g\l{}e. \pause Ci\k{a}g\l{}a bijekcja $f:X\to Y$ jest homeomorfizmem \pause wtedy i tylko wtedy, gdy   jest  odwzorowaniem otwartym. \pause
\end{block}\pause
\begin{block}{ } \textbf{Lem.} 
Niech  $K_X:=\{x\in X:\|x\|< 1\}$ i $K_Y:=\{y\in Y:\|y\| < 1\}$ otwarte kule jednostkowe  w przestrzeniach unormowanych $X$ i $Y$.  \pause
$$
\begin{array}{l}
\text{Odwzorowanie liniowe }
\\
T:X\to Y \text{ jest otwarte}
\end{array} \pause \,\, \Longleftrightarrow\,\, 
 \mathop{\exists}_{r> 0}  \,\,  r K_Y\subseteq T(K_X).
$$ \pause
%Tzn. odwzorowanie liniowe $T:X\to Y$  jest otwarte wtedy i tylko wtedy, gdy obraz kuli o \'srodku w zerze zawiera kul\k{e} o \'srodku w zerze. 
Otwarty operator liniowy $T:X\to Y$  musi by\'c surjekcj\k{a}. \pause
\end{block}
\textbf{Dow\'od:} \pause
Kul\k{e} o \'srodku w $x_0\in X$ (odpowiednio $y_0\in Y$) i promieniu $r>0$ mo\.zna zapisa\'c jako $x_0 +r K_X$
(odpowiednio $y_0+rK_Y$). 

}



\frame{ 


``$\Longrightarrow$''  \pause Je\'sli $T$  otwarte,  \pause to $T(K_X)$ jest zbiorem otwartym.  \pause Skoro $0\in T(K_X)$,  \pause to istnieje $r>0$ takie, \.ze $r K_Y\subseteq T(K_X)$.  \pause Ponadto  
\\[6pt]
\qquad \,\,$
Y =\bigcup\limits_{n=1}^\infty  n r K_Y   \pause\subseteq  \bigcup\limits_{n=1}^\infty n T( K_X)  \pause =  T(\bigcup\limits_{n=1}^\infty nK_X) \pause =T(X).
$  \pause
\\[6pt]
Czyli $T(X)=Y$.  \pause

``$\Longleftarrow$'' Za\l{}\'o\.zmy, \.ze $r K_Y\subseteq T(K_X)$ dla pewnego $r>0$. \pause  Niech $U\subseteq X$ otwarty. \pause
 Potrzebujemy pokaza\'c, \.ze $T(U)\subseteq Y$  otwarty. \pause Niech  $y\in T(U)$ \pause  i niech $x\in U$ taki, \.ze $Tx=y$.  \pause
  Skoro $U$ otwarty, to istnieje \pause %kula o \'srodku w $x$ zawarta w $U$, czyli istnieje 
	$\delta >0$ taka, \.ze $x + \delta K_X \subseteq U$. \pause
	Obraz  kuli $x + \delta K_X$:  \pause
	$$
	T(x+\delta K_X)\pause = Tx + \delta T(K_X)\pause =y+\delta T(K_X) %\supseteq y + \delta r K_Y 
	$$ \pause 
	zawiera kul\k{e} $y + \delta r K_Y$ i zawiera si\k{e} w $T(U)$.\pause 
	Czyli $T(U)$ wraz z ka\.zdym punktem zawiera pewne jego otoczonie. \pause Zatem $T(U)$ jest zbiorem otwartym.
 \pause \,\,  $\blacksquare$
}
\frame{
\begin{block}{Twierdzenie Banacha o operatorze otwartym} \pause\label{thm:Banach_open_map}
Niech $T\in B(X,Y)$, gdzie $X$ i $Y$ przestrzenie Banacha. \pause 
\\[6pt]
\qquad $
T \text{ jest surjekcj\k{a}}\,\, \Longleftrightarrow\,\, T \text{ jest odwzorowaniem otwartym}.
$ 
\end{block}\pause 
\textbf{Dow\'od:} \pause 
 ``$\Longleftarrow$'' wynika z \textbf{Lem}. \pause
\\
``$\Longrightarrow$'' Za\l{}\'o\.zmy, \.ze  $T$ jest surjekcj\k{a}. \pause Wtedy
\\[5pt]
\qquad \qquad  \qquad $
Y=T(X)\pause =T(\bigcup\limits_{n=1}^\infty n K_X)\pause =\bigcup\limits_{n=1}^\infty T(n K_X).\pause
$
\\[5pt] 
Na mocy Twierdzenia Baire'a \pause ($Y$ prz. zupe\l{}na) \pause istnieje $n\in \N$ takie, \.ze 
$$
\Int(\overline{T(n K_X)})\neq \emptyset.
$$ \pause
Czyli  istnieje $y_0\in Y$ oraz $\varepsilon > 0$  \pause takie, \.ze 
$y_0+ \varepsilon K_Y \subseteq \overline{T(n K_X)}$. \pause Skoro $T(X)=Y$, \pause to istnieje $x_0\in X$ taki, \.ze $Tx_0=y_0$. \pause
St\k{a}d 
\\[5pt]
\qquad $
\varepsilon K_Y \subseteq \overline{T(n K_X)} - y_0 \pause =\overline{T(n K_X)} - T(x_0) \pause =\overline{T(n K_X - x_0)}
$
\\[5pt] \pause
\qquad \, \qquad   $\subseteq 
\overline{T((n +\|x_0\|) K_X)} \pause= (n +\|x_0\|)\overline{T( K_X)}.
$ \pause
\\[3pt] 
Dziel\k{a}c przez $n +\|x_0\|$ i k\l{}ad\k{a}c $r:=\frac{\varepsilon}{n +\|x_0\|}$ 
otrzymujemy
$$
\qquad
$$
}
\frame{
\begin{equation}\label{eq:open_map_inclusion0}
r K_Y \subseteq \overline{T( K_X)}.
\end{equation} \pause
Z dok\l{}adno\'sci\k{a} do domkni\k{e}cia jest to warunek z \textbf{Lem}. \pause W celu ``pozbycia si\k{e} domkni\k{e}cia'' poka\.zemy, \.ze
\begin{equation}\label{eq:open_map_inclusion}
\overline{T( K_X)} \subseteq T(2K_X).
\end{equation} \pause
Niech $y\in \overline{T( K_X)}$.  \pause Istnieje $x_1\in K_X$ taki, \.ze $\|y-T x_1\| < \frac{r}{2}$.  \pause St\k{a}d 
\begin{center}
$
y- Tx_1\in \frac{r}{2} K_Y \pause \stackrel{\eqref{eq:open_map_inclusion0}}{\subseteq} \frac{1}{2}\overline{T( K_X)} \pause =\overline{T\left(\frac{1}{2}  K_X\right)}.
$ \pause
\end{center}
Stosuj\k{a}c to samo rozumowanie do  $y- Tx_1 \in \overline{T\left(\frac{1}{2}  K_X\right)}$ \pause mo\.zemy znale\'z\'c $x_2\in \frac{1}{2}  K_X$ \pause taki, \.ze
$\|(y-T x_1) - T x_2 \| < \frac{r}{4}$ \pause i st\k{a}d  \pause 
\begin{center}
$
y- T(x_1+x_2) \pause  =(y- Tx_1) -Tx_2 \pause  \in \frac{r}{4} K_Y \pause \subseteq \overline{T\left(\frac{1}{4}  K_X\right)}.
$
\end{center} \pause
Kontynuuj\k{a}c w ten spos\'ob  \pause otrzymujemy ci\k{a}g $\{x_n\}_{n=1}^\infty\subseteq X$ \pause taki, \.ze 
$$
x_n\in \frac{1}{2^{n-1}}  K_X \pause  \quad \text{ oraz  }\quad 
y- T(x_1+...+x_n)\in  \frac{r}{2^n} K_Y.
$$ \pause
Z tej drugiej relacji wynika, \.ze \pause  $T(x_1 + ... + x_n) \to y$  w $Y$. \pause
}
\frame{
 Natomiast pierwsza relacja \pause  (oraz zupe\l{}no\'s\'c $X$) gwarantuje, \.ze  \pause 
szereg $\sum_{n=1}^\infty x_n$ jest zbie\.zny w $X$,  \pause bo jest  zbie\.zny bezwgl\k{e}dnie: \pause
$$
\left\|\sum_{n=1}^\infty x_n\right\| \pause  \leq \sum_{n=1}^\infty \| x_n\|  \pause < \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n-1}} \pause =2.
$$   \pause
W szczeg\'olno\'sci, $\sum_{n=1}^\infty x_n \in 2K_X$.  \pause Wykorzystuj\k{a}c ci\k{a}g\l{}o\'s\'c (ograniczono\'s\'c) operatora $T$ otrzymujemy  \pause
$$
T\left(\sum_{n=1}^\infty x_n\right)  \pause =T\left(\lim_{n\to \infty} x_1+...+x_n\right)  \pause =\lim_{n\to \infty} T (x_1+...+x_n)=y,
$$  \pause
Czyli $y\in T(2K_X)$.   \pause To ko\'nczy dow\'od inkluzji \eqref{eq:open_map_inclusion},  \pause co w \'swietle inkluzji \eqref{eq:open_map_inclusion0} daje $r K_Y\subseteq T(2K_X)$  \pause lub r\'ownowa\.znie
$r/2 K_Y\subseteq T(K_X)$.  \pause

\\[6pt]
Zatem $T$ jest odwzorowaniem otwartym na mocy \textbf{Lem}.  \pause  $\blacksquare$
}

\frame{
\begin{block}{} \textbf{Wn1.} \label{cor:Banach_open_map}
$
\left(\begin{array}{l}
T\in  B(X,Y)  \text{ oraz }T\text{ bijekcja } 
\\
X,Y\text{ przestrzenie Banacha}
\end{array}\right)\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,
T^{-1}\in B(Y,X)
$
\end{block}  \pause 
\textbf{Dow\'od:} \pause 
%Odwozorowanie  $T^{-1}:Y\to X$ jest liniowe jako odwzorowanie odwrotne do odwzorowania liniowego $T:X\to Y$ jest liniowe. 
Skoro $T$ jest surjekcj\k{a}, to na mocy Twierdzenia Banacha jest odwozorowaniem otwartym.  \pause  Czyli dla ka\.zdego otwartego zbioru $U$ w $X$ zbi\'or
$(T^{-1})^{-1}(U) \pause =T(U)$ jest otwarty w $Y$.  \pause  Zatem operator $T^{-1}$ jest ci\k{a}g\l{}y, czyli ograniczony.  \pause  $\blacksquare$   \pause 


\begin{block}{} \textbf{Wn2.} 
Ka\.zde dwie por\'ownywalne normy zupe\l{}ne na przestrzeni liniowej $X$ s\k{a} r\'ownowa\.zne.  \pause  % Tzn. 
%$$
%\left(\begin{array}{l}
%(X,\|\cdot\|_1),\,\, (X,\|\cdot\|_2)  \text{ przestrzenie Banacha}
%\\
%\text{norma }\|\cdot\|_1\text{ jest s\l{}absza, ni\.z }\|\cdot\|_2
%\end{array}\right)\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,
%\|\cdot\|_1\text{ i }\|\cdot\|_2\text{ s\k{a} r\'ownowa\.zne}.
%$$
\end{block} 
\textbf{Dow\'od:} \pause 
Przypomnijmy, \.ze norma $\|\cdot\|_1$  jest s\l{}absza, ni\.z $\|\cdot\|_2$ je\.zeli  \pause 
\\[2pt]
$
\exists_{c_1>0}\,\,\forall_{x\in X}\,\, \|x\|_1\leq c_1\|x\|_2
$,  \pause  czyli gdy operator identyczno\'sciowy 
\\[2pt]
$id: (X,\|\cdot\|_2)\to (X,\|\cdot\|_1)$ jest ograniczony. \pause  Skoro $id$ jest  bijekcj\k{a}, 
\\[2pt]
to na mocy Wn1  operator odwrotny $id: (X,\|\cdot\|_1)\to (X,\|\cdot\|_2)$   
\\[2pt]
jest ograniczony.  \pause  Czyli 
$
\exists_{c_2>0}\,\,\forall_{x\in X}\,\, \|x\|_2\leq c_2\|x\|_1,
$  \pause 
co oznacza, \.ze  
\\[2pt]
norma $\|\cdot\|_2$  jest s\l{}absza, ni\.z $\|\cdot\|_1$.  \pause  Zatem normy te s\k{a} r\'ownowa\.zne.  \pause  $\blacksquare$ 
}

\frame{
\begin{block}{} \textbf{Def.}
\textbf{Wykresem funkcji} $f:X\to Y$ nazywamy   \pause  zbi\'or 
$$
\Gamma(f):=\{(x,f(x)):x\in X\}\subseteq X\times Y.
$$ 
\end{block}  \pause 
\begin{block}{} \textbf{Lem.} \label{lem:closed_graph}
Wykres funkcji ci\k{a}g\l{}ej  jest domkni\k{e}ty:  \pause 
$$
\left(\begin{array}{l}
f:X\to Y \text{ funkcja ci\k{a}g\l{}a} 
\\
X,Y\text{ przestrzenie metryczne}
\end{array}\right)\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,
\Gamma(f) \text{ domkni\k{e}ty w }X\times Y.
$$
\end{block}  \pause 
\textbf{Dow\'od:} \pause 
Je\'sli $(x_0,y_0)\in \overline{\Gamma(f)}$,   \pause 
to istnieje  ci\k{a}g $(x_n,y_n)\in \Gamma(f)$  \pause 
taki, \.ze 
$(x_n,y_n)\to (x_0,y_0)$.  \pause 
Z ci\k{a}g\l{}o\'sci funkcji 
\\[6pt]
$
f(x_0)=\lim_{n\to \infty}  f(x_n)=\lim_{n\to \infty} y_n= y_0. 
$  \pause 
\\[6pt]
Czyli $(x_0,y_0)\in \Gamma(f)$.   \pause  $\blacksquare$ 
\\[6pt]
\textbf{Prz.} Implikacja odwrotna  
w Lemacie
\\
  nie zachodzi.  \pause  Np. $X=Y=\R$ oraz
\\ 
$f(x)=\begin{cases}
\frac{1}{x}, & x\neq 0,
\\
0, & x=0.
\end{cases}$  \pause 
\\
 \begin{picture}(0,60)(0,0)\label{rys:hiperbola}
 \put(190,63){\includegraphics[scale=0.4]{hiperbola.png}}
%\put(25,-51){Hugo Steinhaus}% \put(112,23){$B$}  \put(152,-31){$H$}
\end{picture}
}
\frame{
\begin{block}{\textbf{Tw.} (o wykresie domkni\k{e}tym)} 
Operator liniowy $T:X\to Y$, gdzie  $X$ i $Y$ przestrzenie Banacha,  \pause  jest ci\k{a}g\l{}y (ograniczony)  \pause  $\Longleftrightarrow$ $T$ ma  domkni\k{e}ty wykres. 
\end{block}
\textbf{Dow\'od:} \pause 
Potrzebujemy pokaza\'c tylko `$\Longleftarrow$'.  \pause  Zauwa\.zmy, \.ze  
\begin{enumerate}
\item[1)]  \pause  $X\times Y$ przestrze\'n Banacha z $\|(x,y)\|_{X\times Y}:=\|x\|_X+\|y\|_Y$

\item[2)]   \pause  $\Gamma(T)$ jest domkni\k{e}t\k{a} podprzestrzeni\k{a} liniow\k{a} w $X\times Y$.

\end{enumerate}   \pause 
Zatem $\Gamma(T)$ jest przestrzeni\k{a} Banacha z norm\k{a} $\|\cdot \|_{X\times Y}$.   \pause  Rzuty 
$$
P_1:\Gamma(T)\to X,\quad\text{ gdzie }\quad P_1(x,Tx)=x, 
$$  
$$
P_2:\Gamma(T)\to Y,\quad\text{ gdzie }\quad P_2(x,Tx)=Tx, 
$$  \pause 
s\k{a} liniowe  \pause  oraz  ograniczone ($\|P_1\|\leq 1$,  $\|P_2\|\leq 1$). \pause 
%$$
%\|P_1(x,Tx)\|_X=\|x\|_X\leq  \|x\|_X+\|Tx\|_Y =\|(x,Tx)\|_{X\times Y} %\,\,\Longrightarrow\,\, 
%$$
%$$
%\|P_2(x,Tx)\|_Y=\|Tx\|_Y\leq  \|x\|_X+\|Tx\|_Y =\|(x,Tx)\|_{X\times Y} %\,\,\Longrightarrow\,\, \|P_2\|\leq 1.
%$$
Zauwa\.zmy, \.ze operator $P_1$ jest odwracalny. \pause  Zatem operator odwrotny 
$$
P_1^{-1}:X\to \Gamma(T),\quad\text{ gdzie }\quad P_1^{-1}(x)=(x,Tx)
$$ \pause 
jest ograniczonym  na mocy \textbf{Wn1}. \pause  St\k{a}d operator
$$
T=P_2\circ P^{-1}_1
$$ \pause 
jest ograniczony jako z\l{}o\.zenie operator\'ow ograniczonych. \pause  $\blacksquare$

}

\end{document}




Przypomnijmy, \.ze odwzorowanie  $f:X\to Y$ mi\k{e}dzy  przestrzeniami topologicznymi $X$ i $Y$ jest ci\k{a}g\l{}e, je\.zeli dla ka\.zdego zbioru otwartego $V$
w $Y$ przeciwobraz $f^{-1}(V)$  jest zbiorem otwartym w $X$. Definicja odwzorowania otwartego jest podobna, ale ``idzie w przeciwnym kierunku''. 

\begin{defn}

\end{defn}
\begin{rem} 
Dla dowolnych przestrzeni topologicznych $X$ i $Y$ mamy
\begin{enumerate}[(a)] 
\item  W szczeg\'olno\'sci, istniej\k{a} odwracalne odwzorowania ci\k{a}g\l{}e nieb\k{e}d\k{a}ce otwartymi, np. $f:[0,1)\to S^{1}=\{z\in\C: |z|=1\}$, 
gdzie $f(t)=e^{2\pi i t}$, $t\in \R$.
\end{enumerate}
\end{rem}
\begin{ex}
 Funkcja kwadratowa 
$f(x)=x^2$, gdzie $f:\R\to \R$,   nie jest otwarta, bo $f(\R)=[0,+\infty)$ nie jest zbiorem otwartym w $\R$.
Stanie si\k{e} ona odwzorowaniem otwartym je\'sli jej przeciwdziedzin\k{e} ograniczymy do obrazu, tzn. je\'sli traktujemy
$f$ jako funkcj\k{e} $f:\R\to [0,+\infty)$.
\end{ex}
Dla odwzorowa\'n liniowych na przestrzeniach unormowanych  otwarto\'s\'c implikuje surjektywno\'s\'c. Co wi\k{e}cej, \.zeby stwierdzi\'c czy odwzorowanie liniowe jest otwarte wystarczy sprawdzi\'c, czy obraz kuli o \'srodku w zerze zawiera  kul\k{e} o \'srodku w zerze.
\begin{prop}\label{prop:open_linear}
%Niech $T:X\to Y$ b\k{e}dzie  operatorem linowym, gdzie  $X$  i $Y$ dowolne przestrzenie unormowane. 

\end{prop}
\begin{proof}
\end{proof}
%Na og\'o\l{}, je\'sli ograniczony operator liniowy jest surjekcj\k{a} to nie musi by\'c odwzorowaniem otwartym. 
%Je\'sli dziedzina $X$ lub 
%Surjektywny i ograniczony operator 
Okazuje si\k{e}, \.ze implikacj\k{e} z ostatniej cz\k{e}\'sci Stwierdzenia \ref{prop:open_linear} da si\k{e} odwr\'oci\'c  przy za\l{}o\.zeniu, \.ze $T:X\to Y$ jest ograniczonym operatorem liniowym oraz $X$ i $Y$ s\k{a} przestrzeniami Banacha. 
%Banach wykaza\l{}, \.ze ka\.zdy ograniczony operator linowy, dzia\l{}aj\k{a}cy mi\k{e}dzy unormowanymi przestrzeniami zupe\l{}nymi,
%je\'sli jest surjekcj\k{a} to jest odwzorowaniem otwartym.
 Jest to kolejny wa\.zny fakt, obok Twierdzenia Banacha-Steinhausa  (Twierdzenie  \ref{thm:Banach-Steinhaus}),
kt\'orego dow\'od opiera si\k{e} na Twierdzeniu Baire'a (Twierdzenie \ref{thm:Baire_theorem}):  

\end{proof}
%\begin{rem}
Za\l{}o\.zenie o zupe\l{}no\'sci $X$ i $Y$ w powy\.zszych Twierdzeniach jest istotne!
%\end{rem}
\begin{ex}
Na przestrzeni $X=L^2[0,1]$,  korzystaj\k{a}c z nier\'owno\'sci Schwartza, mamy
$$
\|x\|_1=\int_0^1 1\cdot |x(t)| dt \leq  \left(\int_0^1 1 dt\right )^{\frac{1}{2}}\left(\int_0^1 |x(t)|^2 dt\right )^{\frac{1}{2}
}=\|x\|_2.
$$
Czyli norma $\|\cdot\|_1$  jest s\l{}absza, ni\.z  norma $\|\cdot\|_2$. Normy $\|\cdot\|_1$ i $\|\cdot\|_2$ s\k{a} por\'ownywalne na $X$, ale nie s\k{a} r\'ownowa\.zne, bo $X$ w normie $\|\cdot\|_2$ jest przestrzeni\k{a} zupe\l{}n\k{a}, a w normie $\|\cdot\|_1$ nie jest (domkni\k{e}cie $L^2[0,1]\subseteq L^1[0,1]$ w normie $\|\cdot\|_1$ daje ca\l{}\k{a} przestrze\'n $L^1[0,1]$). 
W szczeg\'olno\'sci, operator identyczno\'sciowy  $id: (X,\|\cdot\|_2)\to (X,\|\cdot\|_1)$ jest odwracalnym operatorem ograniczonym, ale nie jest  otwarty i operator do niego odwrotny nie jest ograniczony.

\end{ex}

%\begin{ex}
%Na przestrzeni $X=\ell^1[0,1]$ mamy korzystaj\k{a}c z nier\'owno\'sci Schwartza 
%$$
%\|x\|_2=\sum_{n=1} |x(n)|^2  \leq  \left(\int_0^1 1 dt\right )^{\frac{1}{2}}\left(\int_0^1 |x(t)|^2 dt\right )^{\frac{1}{2}
%}=\|x\|_2.
%$$
%Zatem normy $\|\cdot\|_1$ i $\|\cdot\|_2$ s\k{a} por\'ownywalne na $X$, ale nie s\k{a} r\'ownowa\.zne, bo $X$ w normie $\|\cdot\|_2$ jest przestrzeni\k{a} %zupe\l{}n\k{a}, a w normie $\|\cdot\|_1$ nie jest (domkni\k{e}cie $L^2[0,1]\subseteq L^1[0,1]$ w normie $\|\cdot\|$ daje ca\l{}\k{a} przestrze\'n $L^1[0,1]$). 
%W szczeg\'olno\'sci operator identyczno\'sciowy  $id: (X,\|\cdot\|_2)\to (X,\|\cdot\|_1)$ jest operatorem ograniczonym i  bijekcj\k{a}, ale nie jest %operatorem otwartym i operator do niego odwrotny nie jest ograniczony.
%\end{ex}
Jako kolejny wa\.zny wniosek z Twierdzenia Banacha o odwzorowaniu otwartym otrzymujemy Twierdzenie Banacha o wykresie domkni\k{e}tym.

\end{proof}

\\

%\begin{ex}


Funkcja $f$ nie jest ci\k{a}g\l{}a, a jej
\\

wykres $\Gamma(f)$ jest domkni\k{e}ty w $\R^2$.
\\[4pt]

Banach wykaza\l{}, \.ze dla operator\'ow liniowych mi\k{e}dzy przestrzeniami Banacha, implikacj\k{e} z Lematu \ref{lem:closed_graph} mo\.zna 
odwr\'oci\'c.
\begin{thm}[Twierdzenie Banacha o wykresie domkni\k{e}tym]
\end{proof}
\begin{rem}
Ograniczono\'s\'c (ci\k{a}g\l{}o\'s\'c) operatora liniowego $T:X\to Y$ oznacza, \.ze $x_n\to x$ implikuje $Tx_n\to Tx$. Natomiast domkni\k{e}to\'s\'c wykresu
oznacza, \.ze $x_n\to x$ oraz $Tx_n\to y$ implikuje $Tx= y$. 
Znaczenie twierdzenia o wykresie domkni\k{e}tym polega na tym, \.ze sprawdzaj\k{a}c, czy $x_n\to x$ implikuje $Tx_n\to Tx$ mo\.zemy za\l{}o\.zy\'c, \.ze 
$Tx_n$ zbiega do czego\'s i trzeba tylko pokaza\'c, \.ze granica jest odpowiednia.
\end{rem}


	

