\documentclass[trans]{beamer}
%\documentclass{beamer}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
%\usepackage{beamerbasearticle}
\usepackage{multimedia}
 \usepackage[dvips,usenames]{color}
\usepackage[arrow, matrix, curve]{xy}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[MeX]{polski}
\usepackage{amscd,graphics}
\usepackage{polski}
\usepackage{stackrel}
\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb,dsfont}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{fontawesome}
%\usepackage{bigints}
\usepackage{marvosym}
\usepackage{tikz}
\tikzset{rndblock/.style={rounded corners,rectangle,draw,outer sep=0pt}}
\newcommand{\tframed}[2][]{\tikz[baseline=(h.base)]\node[rndblock,#1] (h) {#2};}
\DeclareMathOperator{\lin}{lin}
\DeclareMathOperator{\re}{Re}
\DeclareMathOperator{\im}{Im}
\DeclareMathOperator{\dashind}{-Ind}
\DeclareMathOperator{\inv}{Inv}
\DeclareMathOperator{\Int}{Int}
\DeclareMathOperator{\Inv}{Inv}
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\DeclareMathOperator{\erg}{Erg}
\DeclareMathOperator{\clsp}{\overline{span}}
\renewcommand{\H}{ E}
\newcommand{\I}{\mathcal I}
\newcommand{\B}{\mathcal B}
\newcommand{\CC}{\mathcal C}
\newcommand{\TT}{\mathcal T}
\newcommand{\M}{\mathcal M}
\newcommand{\Sol}{\mathcal S}
\newcommand{\K}{\mathcal K}
\newcommand{\x}{\widetilde x}
\newcommand{\w}{\widetilde w}
\newcommand{\y}{\widetilde y}
\newcommand{\X}{\widetilde X}
\newcommand{\Y}{\widetilde Y}
\newcommand{\U}{\widetilde U}
\newcommand{\V}{\widetilde V}
\newcommand{\f}{\widetilde f}
\newcommand{\h}{\widetilde h}
\newcommand{\F}{\mathbb F}

\newcommand{\TDelta}{\widetilde \Delta}
\newcommand{\Tdelta}{\widetilde \delta}
\newcommand{\Tomega}{\widetilde \omega}
\newcommand{\Tmu}{\widetilde{\mu}}
\newcommand{\TA}{\widetilde{\mathcal A}}
\renewcommand{\TH}{\widetilde{\mathcal H}}
\newcommand{\tal}{\widetilde \alpha}
\newcommand{\al}{\alpha}
\newcommand{\be}{\beta}
\newcommand{\p}{\varphi}

\renewcommand{\L}{\mathcal L}
\newcommand{\LL}{\mathcal L}
\newcommand{\JJ}{\mathcal J}
\renewcommand{\SS}{\mathcal S}

\newcommand{\DR}{\mathcal DR}

\newcommand{\OO}{\mathcal O}
\newcommand{\FF}{\mathcal F}
\newcommand{\A}{\mathcal A}
\newcommand{\D}{\mathcal D}
\newcommand{\G}{\mathcal G}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\T}{\mathbb T}

\usepackage{amsfonts}
\newcommand{\tickYes}{\checkmark}
\usepackage{pifont}
\newcommand{\tickNo}{\hspace{1pt}\ding{55}}

%\usetheme{Frankfurt}
\usetheme{Warsaw}
%\usecolortheme{seahorse}
\usecolortheme{rose}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 

\definecolor{mylightblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 



\definecolor{myblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 

\definecolor{mylightblue}{rgb}{0.9,0.9,1}
\definecolor{mylightred}{rgb}{1,0.4,0.4} 
\definecolor{mylightblue1}{rgb}{0.8,0.8,0.9}



\title[Wyk\l{}ad 14]{Analiza Funkcjonalna}
\author{Bartosz Kwa\'sniewski}
\institute{Faculty of Mathematics, University of Bia\l{}ystok }


\date{Wyk\l{}ad 14
\\[4pt]
\textbf{Algebry Banacha i elementy odwracalne}
\\[8pt]
\scriptsize
math.uwb.edu.pl/$\sim$zaf/kwasniewski/pdf/skrypt.pdf \pause \large
$$
\text{algebra}\,\, \equiv\,\,
\left(\begin{array}{l}
\text{ przestrze\'n liniowa +} 
\\
\text{ pier\'scie\'n + \l{}\k{a}czno\'s\'c}

\end{array}\right) \pause
$$ \small {\color{blue}
$
 (a+ b)\cdot c= a \cdot c +b \cdot c, \qquad a \cdot (b+ c)= a \cdot b +a\cdot c, \pause
$
\\[4pt]
$
(a \cdot b) \cdot c= a\cdot(b \cdot c),\qquad  (\lambda a)\cdot  b =  a\cdot (\lambda b)= \lambda (a \cdot b).
$
}
 } %\pause
%\put(-20,-90){\includegraphics[angle=0, scale=0.212]{Heart.jpg}} 



\begin{document}


\frame{\titlepage}


\frame{\textbf{Motywacja.} \pause
Niech $X$ b\k{e}dzie przestrzeni\k{a} Banacha nad  $\F=\R, \C$. \pause
Przestrze\'n  liniowych operator\'ow ograniczonych $B(X)$ \pause jest nie tylko przestrzeni\k{a} Banacha, \pause ale te\.z algebr\k{a} z mno\.zeniem  zdefiniowanym jako z\l{}o\.zenie operator\'ow: \pause
 \\[6pt]
\quad $
T, S \in B(X) \,\, \Longrightarrow\,\, T\circ S\in B(X)\,\, \pause \text{ oraz }\,\, \|T\circ S\|\leq \|T\|\cdot \|S\|
$
 \\[6pt]  \pause
bo {\small
$
\|T\circ S\|=\sup_{\|x\|=1} \|T (S x)\|  \pause\leq \sup_{\|x\|=1} \|T\| \| (S x)\|  \pause = \|T\|\cdot \|S\|. \pause
$}
\\
Co wi\k{e}cej operator identyczno\'sciowy $1\in B(X)$ \pause  jest jedynk\k{a} w tej algebrze:   $1\circ T= T\circ 1= T$,  \pause oraz $\|1\|=1$.  \pause
%W\l{}asno\'sci te s\k{a} podstawowymi elementami definicji algebr Banacha:
\begin{block}{ }\textbf{Def.} 
\textbf{Algebr\k{a}}  nad cia\l{}em $\F=\R, \C$  \pause nazywamy  przestrze\'n liniow\k{a} $A$ nad $\F$  \pause
 wraz z operaj\k{a} mno\.zenia  $\cdot:A\times A\to A$,  \pause kt\'ora jest dwulinowa i \l{}\k{a}czna.  \pause
\textbf{Algebr\k{a} Banacha} nazywamy algebr\k{e} $A$, \pause  kt\'ora jest  przestrzeni\k{a} Banacha  \pause oraz norma jest submultiplikatywna, \pause tzn.
$$
\|a\cdot b\|\leq \|a\|\cdot \|b\|, \qquad a,b\in A.
$$  \pause
Je\'sli  mno\.zenie w $A$ posiada element neutralny,  \pause to  nazywamy go \textbf{jedynk\k{a}} algebry i oznaczamy  $1$.  \pause
 Zak\l{}adamy wtedy te\.z, \.ze $\|1\|=1$.  \pause
Algebra $A$ jest \textbf{przemienna},  \pause je\'sli mno\.zenie w $A$ jest przemienne.
%dla dowolnych $a,b,c\in A$, $\lambda\in \F$. Innymi s\l{}owy, 
%algebra to jednocze\'snie przestrze\'n liniowa  oraz pier\'scie\'n \l{}\k{a}czny, 
%gdzie struktury te s\k{a} ze sob\k{a} zgodne:
\end{block}

}

\frame{
	\begin{block}{\textbf{Prz.} Algebry operator\'ow ograniczonych na przestrzeni Banacha $X$}  \pause
	$B(X)$ jest algebr\k{a} Banacha z $1$  \pause (nieprzemienn\k{a} je\'sli $\dim(X)>1$).    \pause
	Ka\.zda domkni\k{e}ta   podalgebra $A\subseteq B(X)$ jest algebr\k{a} Banacha.   \pause
	\end{block}
		\begin{block}{\textbf{Prz.} Algebry funkcji ci\k{a}g\l{}ych na przestrzeni topologicznej $M$}   \pause
				Przestrzenie   $C_0(M)$ i $C_b(M)$, norm\k{a} $\|a\|_{\infty}=\sup_{t\in M}|x(t)|$,  \pause s\k{a} algebrami Banacha z mno\.zeniem zdefiniowanym punktowo  \pause
		$$
		(a\cdot b)(t):=a(t) b(t), \qquad a,b:M\to\F.
		$$  \pause
		S\k{a} to algebry przemienne  \pause oraz funkcja to\.zsamo\'sciowo r\'owna $1$ jest jedynk\k{a} w $C_b(M)$.  \pause
		Algebra $C_0(M)$ posiada jedynk\k{e}   \pause $\Longleftrightarrow$ przestrze\'n $M$ jest zwarta  \pause i wtedy $C_0(M)=C_b(M)=C(M)$.
			\end{block}  \pause
		\begin{block}{\textbf{Prz.} Algebra z mno\.zeniem zerowym}  \pause
			Na dowolnej przestrzeni Banacha $X$ mo\.zna zdefiniowa\'c mno\.zenie  \pause wzorem $x \cdot y:=0$ dla  $x,y\in X$.  \pause Wtedy $X$ jest algebr\k{a} Banacha.   \pause Jest to algebra przemienna   \pause bez jedynki  \pause
				(ekstremalny przyk\l{}ad).
			\end{block}
		
		
		Algebra splotowa $L^1(\R)$\label{ex:algebra_splotowa}
		Przestrze\'n $L^1(\R)$ funkcji ca\l{}kowalnych wzgl\k{e}dem miary Lebesgue'a   na prostej $\R$ jest algebr\k{a} Banacha wraz z \emph{mno\.zeniem splotowym}:
				$$
		(f\star g)(t):=\int_{-\infty}^\infty f(t-s)g(s)\, ds, \qquad t\in \R,\, f, g\in L^1(\R).
		$$
		Na przyk\l{}ad, dla $f, g\in L^1(\R)$ mamy 
	\begin{align*}
		\|f\star g\|_1=\int_{\infty}^\infty \left|\int_{-\infty}^\infty f(t-s)g(s)\, ds\right|\,dt
		&\leq \int_{\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty |f(t-s)g(s)|\, ds\,dt  \,\,
		\left\{\begin{array}{l} \small
\text{zmiana kolejno\'sci}
\\ \small
\text{ca\l{}kowania}
\end{array}\right\}
		\\
		&=\int_{\infty}^\infty |g(s)|\int_{-\infty}^\infty |f(t-s)|\, dt\,ds
		=\int_{\infty}^\infty |g(s)| \|f\|_1\,ds
\\
&=\|g\|_1 \|f\|_1.
	\end{align*}
Zatem iloczyn jest poprawnie okre\'slony i norma w $L^1(\R)$ jest dla  mno\.zenia splotowego submultiplikatywna.
Algebra 		$L^1(\R)$ z mno\.zeniem splotowym jest przemienna i nie posiada jedynki. 

\textbf{Uw.} \pause
Przypomnijmy z rachunku prawdopodobie\'nstwa, \.ze je\.zeli $f$ i $g$ s\k{a} g\k{e}sto\'sciamy rozk\l{}ad\'ow niezale\.znych zmiennych losowych $X$ i $Y$, to 
splot $f\star g$ jest g\k{e}sto\'sci\k{a} rozk\l{}adu sumy $X+Y$ tych zmiennych.  

}




\frame{
\textbf{Uw.}  Ka\.zda algebra Banacha $A$ zanurza si\k{e} w algebr\k{e} z jedynk\k{a}  $\widetilde{A}$:  \pause
\begin{block}{} \textbf{Lem. (Ujedynkowienie algebry Banacha)}  \pause \label{lem:unitization_Banach}
Dla dowolnej algebry Banacha $A$   \pause suma prosta $\widetilde{A}:=A\oplus \F$  \pause wraz z mno\.zeniem i norm\k{a}  \pause
$$
(a,\lambda) \cdot (b,\mu):=(ab +\lambda b +\mu a, \lambda \mu), \pause \qquad \|(a,\lambda)\|:=\|a\|+ |\lambda|,
$$  
$a,b\in A$, $\lambda, \mu\in \F$,  \pause
jest  algebr\k{a} Banacha z jedynk\k{a}  \pause $(0,1)$  \pause oraz  $A\ni a \mapsto (a,0)\in \widetilde{A}$  \pause jest izometrycznym homomorfizmem algebr.  \pause
\end{block}
\textbf{Dow\'od:} \pause % Dow\'od sk\l{}ada si\k{e} z prostych rachunk\'ow. \pause 
\begin{picture}(0,0)(0,0)
\put(5,-8){\includegraphics[scale=0.09]{house.png}} 
\end{picture} 
\\[6pt]
 \pause
Od tej pory  zak\l{}adamy, \.ze   \pause
\begin{quote}
	\emph{rozwa\.zane przez nas algebry Banacha maj\k{a} jedynk\k{e}}! \pause
\end{quote}

\textbf{Uw.} Ka\.zda algebra Banacha $A$   \pause zanurza si\k{e} w algebr\k{e} operator\'ow ograniczonych  \pause $B(X)$ na pewnej przestrzeni Banacha $X$:
 \pause
% Dlatego te\.z elementy algebry Banacha czasem nazywa si\k{e}  operatorami.
\begin{block}{}\label{prop:regular_rep_Banach_alg}
\textbf{Stw.} 
Dla ka\.zdej algebry Banacha $A$  \pause istnieje przestrze\'n Banacha $X$ \pause oraz izometryczny homomorfizm  $\pi:A\to B(X)$.   
%jest izometrycznie izomorficzna z domkni\k{e}t\k{a} podalgebr\k{a}  operator\'ow ograniczonych na pewnej przestrzeni Banacha $X$,
%to znaczy istnieje przestrze\'n Banacha $X$ oraz izometryczny homomorfizm  $\pi:A\to B(X)$.


%Ka\.zda algebra Banacha $A$ zanurza si\k{e} jako domkni\k{e}ta podalgebra w algebr\k{e} operator\'ow ograniczonych $B(X)$ na przestrzeni Banacha $X$.
\end{block}
}
\frame{

\textbf{Dow\'od:} \pause
%Przechodz\k{a}c ewentualnie do ujedynkowienia $A$, patrz Lemat \ref{lem:unitization_Banach}, mo\.zemy za\l{}o\.zy\'c, \.ze $A$ jest algebr\k{a} z jedynk\k{a} $1\in A$.
Rozwa\.zmy $X:=A$ jako przestrze\'n Banacha.  \pause %(to znaczy $X$ jest przestrzeni\k{a} Banacha powsta\l{}\k{a} z $A$ poprzez zapomnijmy o mno\.zeniu).
 Korzystaj\k{a}c z mno\.zenia w $A$ mo\.zemy zdefiniowa\'c  $\pi$ wzorem  \pause
$$
\pi(a)x :=a \cdot x, \qquad a\in A,\, x\in X=A.
$$  \pause
Z rozdzielno\'sci mno\.zenia wzgl\k{e}dem dodawania i \l{}\k{a}czno\'sci wynika, \.ze $\pi(a)$ jest operatorem liniowym na $X$.  \pause Ponadto 
korzystaj\k{a}c z submultiplikatywno\'sci normy w $A$ mamy  \pause
$$
\|\pi(a)\|=\sup_{ \|x\|=1}\|\pi(a)x\|  \pause =\sup_{ \|x\|=1}\| a \cdot x\|  \pause \leq \sup_{ \|x\|=1}\| a\| \| x\|=\|a\|.  \pause
$$
Czyli $\|\pi(a)\|\leq \|a\|$.  \pause Z drugiej strony skoro $\|1\|=1$,  \pause to 
\\[6pt]
\qquad \qquad $
\|\pi(a)\|\geq \|\pi(a) 1\|  \pause =\|a\cdot 1\|=\|a\|.
$
\\[6pt]  \pause
Zatem $\|\pi(a)\|=\|a\|$.  \pause St\k{a}d $\pi:A\to B(X)$ jest poprawnie zdefiniowan\k{a} izometri\k{a}.   \pause
Z rozdzielno\'sci mno\.zenia wzgl\k{e}dem dodawania i \l{}\k{a}czno\'sci  \pause wynika, \.ze $\pi$ jest homomorfizmem algebr. \pause  $\blacksquare$ 

}




\frame{ 
\begin{block}{}
\textbf{Def.} %Niech $A$ b\k{e}dzie algebr\k{a} Banacha z jedynk\k{a} $1\in A$.
 \textbf{Zbi\'or element\'ow odwracalnych} w $A$ \pause  oznaczamy przez
$$
\Inv(A):=\{a\in A:\exists_{b\in A}\,\, ab=ba=1\}.
$$  \pause
Je\.zeli $a\in \Inv(A)$  i $b\in A$ spe\l{}niaj\k{a} $ab=ba=1$,   \pause to piszemy $b=a^{-1}$ \pause i nazywamy  \textbf{elementem odwrotnym} do $a$.
\end{block} \pause
%\begin{block}{} 
\textbf{Uw.} $\Inv(A)$ tworzy grup\k{e}, kt\'orej elementem neutralnym jest $1\in A$  \pause \\
$
a,b\in \Inv(A) \,\, \Longrightarrow\,\, 
\begin{cases}
ab\in \Inv(A) \text{ oraz }(a b)^{-1}=b^{-1} a^{-1}, \pause \\
 a^{-1}\in \Inv(A) \text{ oraz }(a^{-1})^{-1}=a.
\end{cases}
$ \pause
%\end{block}
\begin{block}{\label{ex:invartible_operators}
\textbf{Prz.}
Je\'sli $A=B(X)$, gdzie $X$ to przestrze\'n Banacha, to} \pause
$$
\Inv(B(X))=\{T\in B(X): T:X\to X \text{ bijekcja}\}.
$$ \pause
%Rzeczywi\'scie, ka\.zdy element $T$ odwracalny w $B(X)$ jest funkcj\k{a} odwracaln\k{a}, bo z\l{}o\.zenia $TT^{-1}=T^{-1}T=1$ daj\k{a} operator identyczno\'sciowy. 
%Je\.zeli $T\in B(X)$ jest odwzorowaniem odwracalnym, to $T^{-1}\in B(X)$  na mocy Twierdzenia Banacha o odwzorowaniu otwartym.
\end{block}

\begin{block}{\label{ex:invertible_functions}
\textbf{Prz.} Je\'sli $A=C(M)$, gdzie $M$ przestrze\'n zwarta, to} \pause
$$
\Inv(C(M))=\{a \in C(M): a(t)\neq 0 \text{ dla ka\.zdego }t\in M \}.
$$ \pause
%Rzeczywi\'scie, jedynk\k{a} w $C(M)$ jest funkcja stale r\'owna jeden, $1(t)=1$ dla $t\in M$. Zatem je\'sli element $a\in C(M)$ jest odwracalny  to
%$a(t)a^{-1}(t)=1$ dla ka\.zdego $t\in M$, sk\k{a}d $a(t)\neq 0$  dla $t\in M$. Na odwr\'ot, je\'sli $a(t)\neq 0$  dla $t\in M$, to k\l{}ad\k{a}c
%$a^{-1}(t):=a(t)^{-1}$ dla $t\in M$ otrzymujemy funkcj\k{e} ci\k{a}g\l{}\k{a} $a^{-1}\in C(M)$ oraz $aa^{-1}=1$, wi\k{e}c $a\in \Inv(C(M))$. 
\end{block}
}
\frame{

% Dla $a\in A$ k\l{}adziemy $a^n:=\underbrace{a\cdot... \cdot a}_{n \text{ razy}}$ dla $n>1$ oraz $a^0:=1$.% wykorzystuj\k{a}c mno\.zenie z $A$.
\begin{block}{ Lemat Neumanna}\label{lem:Neumann_lemma} \pause
Niech $A$ b\k{e}dzie algebr\k{a} Banacha z jedynk\k{a} $1\in A$.  \pause %Dla dowolnego $a\in A$ mamy
\\[6pt]
\quad $
\mathop{\forall}_{a\in A}\,\,\|a\|<1 \,\,  \pause\Longrightarrow \,\, 1- a\in \Inv(A) \pause \text{ oraz } (1-a)^{-1}=\sum\limits_{k=0}^\infty a^k. \pause
$
\end{block}
\textbf{Dow\'od:} \pause
Niech $\|a\|<1$ \pause i po\l{}\'o\.zmy $S_n=\sum_{k=0}^n a^k$. \pause Dla $m>n$  
$$
\|S_m-S_n\|\pause =\|\sum_{k=n+1}^m a^k\| \pause\leq  \sum_{k=n+1}^m \|a^k\| \pause
\leq  \sum_{k=n+1}^\infty \|a\|^k \pause = \frac{\|a\|^{n+1}}{1-\|a\|} \pause
\stackrel{n\to \infty}{\longrightarrow} 0.
$$ \pause
Czyli $\{S_n\}_{n=1}^\infty$  Cauchy w $A$. \pause  Zatem szereg $\sum_{k=0}^\infty a^k=\lim_{n\to \infty} S_n$ \pause jest  zbie\.zny w $A$. \pause
%Innymi s\l{}owy, szereg $\sum_{k=0}^\infty a^k=\lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n a^k \in A$ jest zbie\.zny.
Skoro $\|a^n\|\leq \|a\|^n\to 0$, \pause to $a^n\to 0$ \pause i st\k{a}d
\\[6pt]
$
(1-a)\sum\limits_{k=0}^\infty a^k \pause = \lim\limits_{n\to \infty}  (1-a) \sum\limits_{k=0}^n a^k \pause = \lim\limits_{n\to \infty}   \sum\limits_{k=0}^n a^k-  \sum\limits_{k=0}^n a^{k+1}
$ \pause
\\[6pt]
\qquad $=
\lim\limits_{n\to \infty} 1- a^{n+1}\pause =1.
$\\[6pt] \pause
Analogicznie  $\sum\limits_{k=0}^\infty a^k(1-a)=1$. \pause St\k{a}d $(1-a)^{-1}=\sum\limits_{k=0}^\infty a^k$. \pause $\blacksquare$
$$\qquad
$$
}
\frame{
\begin{block}{}\textbf{Wn.}
Elementy oddalone od $1\in A$ o mniej ni\.z jeden s\k{a} odwracalne: \pause
\\[6pt]
\qquad \qquad\qquad \qquad$
%\underbrace{
\{a\in A: \|1-a\|< 1\}
%}_{\begin{array}{c}\text{kula jednostkowa o}
%\\
%\text{ \'srodku w }1\in A
%\end{array}}
\subseteq \Inv(A).
$ \pause
\end{block}
\textbf{Dow\'od:} \pause
Je\'sli $\|1-a\|<1$, to $a=1-(1-a)\in \Inv(A)$.  \pause $\blacksquare$
\pause
\begin{block}{}\label{thm:invertibles_properties}
\textbf{Tw.} Dla ka\.zdej algebry Banacha $A$ \pause zbi\'or %element\'ow odwracalnych
$\Inv(A)$ jest otwarty w $A$ \pause i odwzorowanie $\Inv(A)\ni a\mapsto a^{-1}\in \Inv(A)$ jest r\'o\.zniczkowalne.% (a wi\k{e}c jest dyfeomorfizmem, bo jest samo do siebie odwrotne).
\end{block} \pause
\textbf{Dow\'od:} \pause
Aby wykaza\'c, \.ze $\Inv(A)$ jest zbiorem otwartym \pause trzeba pokaza\'c, \.ze dla ka\.zdego   $a\in \Inv(A)$ istnieje $\varepsilon >0$ \pause taki, \.ze 
%\begin{equation}\label{eq:inclusion_into_invertibles}
$$
K(a,\varepsilon)=\{b\in A: \|a-b\|< \varepsilon\} \subseteq \Inv(A).
$$ \pause
%\end{equation}
%$K(a,\varepsilon)=\{b\in A: \|a-b\|< \varepsilon\} \subseteq \Inv(A)$.
%Po\l{}\'oz\.my
Wyka\.zemy, to dla $\varepsilon:=\|a^{-1}\|^{-1}$. \pause Niech $b\in K(a, \|a^{-1}\|^{-1})$. \pause Wtedy
$$
b=a-(a-b)\pause=a(1-a^{-1}(a-b))
$$ \pause
gdzie 
$$
\|a^{-1}(a-b)\| \pause \leq \|a^{-1}\| \cdot \|a-b\| \pause<\|a^{-1}\| \cdot  \|a^{-1}\|^{-1} \pause= 1.
$$ \pause
Czyli $(1-a^{-1}(a-b))\in \Inv(A)$ \pause i skoro $a\in \Inv(A)$, \pause to $b\in \Inv(A)$. 
}
\frame{
Dok\l{}adniej, \pause %z Lematu \ref{lem:Neumann_lemma} wynika, \.ze 
$$
b^{-1} \pause =[1-a^{-1}(a-b)]^{-1}a^{-1}\pause =\sum_{k=0}^\infty [a^{-1}(a-b)]^ka^{-1}.
$$ \pause
Zatem zbi\'or $\inv(A)$ jest otwarty. \pause Wyka\.zemy teraz, \pause \.ze odwzorowanie $F:\Inv(A)\to \Inv(A)$, gdzie $F(a):=a^{-1}$, \pause jest r\'o\.zniczkowalne.
Aby wykaza\'c, \.ze $F$ jest r\'o\.zniczkowalne w punkcie  $a\in \Inv(A)$ \pause trzeba znale\'z\'c operator liniowy 
$F'(a):A\to A$ \pause taki, \.ze 
$$
\lim_{b\to a}\frac{\|F(a)-F(b) - F'(a)(a-b)\|}{\|a-b\|}
=0.
$$ \pause
Po\l{}\'o\.zmy, $F'(a)c:=-a^{-1}c a^{-1}$, dla $c\in A$. \pause
 Wtedy $F'(a):A\to A$ liniowy i ograniczony, \pause $\|F'(a)\|\leq \|a^{-1}\|^2$.  \pause
Dla $b\in K(a,\|a^{-1}\|^{-1})$ \pause
$$
\|F(a)-F(b) - F'(a)(a-b)\|\pause=\|a^{-1}- \pause \sum_{k=0}^\infty [a^{-1}(a-b)]^ka^{-1} \pause +a^{-1}(a-b) a^{-1} \| \pause
$$
$$
=\|\sum_{k=2}^\infty [a^{-1}(a-b)]^ka^{-1}\| \pause\leq \sum_{k=2}^\infty \|[a^{-1}(a-b)]^ka^{-1}\|
$$
}
\frame{
$$\leq \sum_{k=2}^\infty \|a^{-1}\|^{k+1}\|a-b\|^k \pause\stackrel{\frac{\|a-b\|}{\|a^{-1}\|^{-1}}<1 }{=}\frac{ \|a^{-1}\|^{3}\|a-b\|^2}{1-\|a^{-1}\|\|a-b\|}. \pause
$$%\end{align*} \pause
St\k{a}d 
$$
\lim_{b\to a}\frac{\|F(a)-F(b) - F'(a)(a-b)\|}{\|a-b\|} \pause
\leq \lim_{b\to a}  \frac{ \|a^{-1}\|^{3}\|a-b\|}{1-\|a^{-1}\|\|a-b\|}\pause =0.
$$ \pause
Co nale\.za\l{} dowie\'s\'c.
\begin{picture}(100,120)(0,0)
\put(90,-5){\includegraphics[scale=0.07]{black_square.jpg}} 
\end{picture}


}
\end{document}





\begin{defn}

\end{defn}
 \begin{rem}
Zwyczajowo znak mno\.zenia w algebrze b\k{e}dziemy opuszcza\'c.
\end{rem}
\begin{defn}
\emph{Algebr\k{a} Banacha} nad cia\l{}em $\F=\R, \C$ nazywamy przestrze\'n Banacha  $A$, kt\'ora jest jednocze\'snie algebr\k{a}  nad $\F$ oraz norma jest submultiplikatywna, tzn.
$$
\|a\cdot b\|\leq \|a\|\cdot \|b\|, \qquad a,b\in A.
$$
Je\'sli dodatkowo mno\.zenie w algebrze $A$ posiada element neutralny, to element ten nazywamy jedynk\k{a} algebry i oznaczamy  przez $1$.
 Zwyczajowo zak\l{}adamy wtedy te\.z, \.ze $\|1\|=1$.
\end{defn}
 \begin{rem}
Submultiplikatywno\'s\'c normy implikuje, \.ze mno\.zenie  $\cdot:A\times A\to A$ w algebrze Banacha jest ci\k{a}g\l{}e.

\end{rem}

	\end{rem}
			\begin{ex}[Algebry grupowe]
			Niech $G$ b\k{e}dzie grup\k{a} dyskretn\k{a} (bez topologii). Przestrze\'n $\ell^1(G)$ funkcji sumowalnych na \(G\) jest algebr\k{a} Banacha wraz z \emph{mno\.zeniem splotowym:} 
	$$
		(a\star b)(g):=\sum_{h\in G} a(g h^{-1})b(h), \qquad g\in G,\, a,b \in \ell^1(G).
		$$
Analogicznie jak w Przyk\l{}adzie \ref{ex:algebra_splotowa} mo\.zna pokaza\'c, \.ze splot jest poprawnie okre\'slony i norma w $\ell^1(G)$
jest ze wzgl\k{e}du na\'n submultiplikatywna (\home pokaza\'c).  Algebra ta ma jedynk\k{e} $1:G\to \F$, kt\'ora przyjmuje warto\'s\'c $1$ w elemencie neutralnym $e\in G$ grupy $G$, a w pozosta\l{}ych punktach si\k{e} zeruje. Algebra $\ell^1(G)$ jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy grupa $G$ jest przemienna.
	\end{ex}
	\begin{ex}
	\end{ex}
	
Do ka\.zdej algebry Banacha mo\.zna w kanoniczny spos\'ob doda\'c jedynk\k{e} %. W szczeg\'olno\'sci ka\.zd\k{a} algebr\k{e} Banacha bez jedynki mo\.zna rozszerzy\'c do algebry Banacha z jedynk\k{a} 
- proces taki nazywa si\k{e} czasem ``ujedynkowieniem''.
Pozwala to sprowadzi\'c wi\k{e}kszo\'s\'c rozwa\.za\'n do algebr z jedynk\k{a}. \emph{Homomorfizm algebr} to odwzorowanie liniowe i multiplikatywne, tzn. zachowuj\k{a}ce mno\.zenie element\'ow.

\end{ex}
Dobrze znany ze szko\l{}y wz\'or na sum\k{e} szeregu geometrycznego m\'owi, \.ze dla ka\.zdej liczby $t\in \F$ takiej, \.ze $|t|<1$ zachodzi
$$
\sum_{k=0}^\infty t^k=\frac{1}{1-t}=(1-t)^{-1}.
$$
Uog\'olnienie tego wzoru na elementy algebr Banacha jest podstawowym faktem, za pomoc\k{a}  kt\'orego mo\.zna wywnioskowa\'c najwa\.zniejsze w\l{}asno\'sci zbioru element\'ow odwracalnych i operacji odwracania. W literaturze fakt ten nazywa 
si\k{e} \emph{Lematem Neumanna}.\footnote{Chodzi tu o Carla Neumanna (1832--1925), a nie Johna von Neumanna (1903 --1957)} 


\end{proof}

\section{Widmo i promie\'n spektralny}
W ca\l{}ym podrozdziale zak\l{}adamy, \.ze $A$ jest algebr\k{a} Banacha z jedynk\k{a} $1$.
\begin{defn}
\emph{Widmem} (\emph{spektrum}) elementu $a\in A$ algebry Banacha z jedynk\k{a} $1\in A$ nad cia\l{}em $\F$ nazywamy nast\k{e}puj\k{a}cy zbi\'or liczb 
$$
\sigma(a):=\{\lambda \in \F: a - \lambda 1 \notin \Inv(A)\}.
$$
\end{defn}
\begin{ex}[Widmo operatora dzia\l{}aj\k{a}cego na przestrzeni Banacha]\label{ex:invartible_operators2}
Je\'sli $A=B(X)$, gdzie $X$ to przestrze\'n Banacha, to 
$
\Inv(B(X))=\{T\in B(X): T:X\to X \text{ bijekcja}\}
$, patrz Przyk\l{}ad \ref{ex:invartible_operators}.
Zatem \emph{widmo operatora} $T\in B(X)$ wyra\.za si\k{e} formu\l{}\k{a}
$$
\sigma(T):=\{\lambda \in \F: T - \lambda 1: X\to X  \text{ odwzorowanie nieodwracalne}\}.
$$
Czyli $\lambda \in \sigma(T)$ wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi kt\'ory\'s z warunk\'ow:
\begin{enumerate}[a)]
\item $T-\lambda 1$ nie jest injekcj\k{a}. To zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $\ker (T-\lambda 1)\neq \{0\}$, tzn. gdy istnieje 
$x\in X$ r\'o\.zny od zera taki, \.ze $Tx=\lambda x$, czyli $\lambda$ jest \emph{warto\'sci\k{a} w\l{}asn\k{a}} dla $T$.
\item  $T-\lambda 1$ nie jest surjekcj\k{a}.
\end{enumerate} 
W przypadku, gdy przestrze\'n  $X$ jest niesko\'nczenie wymiarowa \l{}atwo znale\'z\'c operatory, kt\'ore s\k{a} r\'o\.znowarto\'sciowe, ale nie surjektywne (np. operator przesuni\k{e}cia,  Przyk\l{}ad \ref{ex:unilateral_shift}). Je\'sli jednak $\dim(X)<\infty$, to z racji na r\'owno\'s\'c $\dim(X)=\dim(T(X))+\dim(\ker T)$, kt\'ora zachodzi dla dowolnego $T\in B(X)$, powy\.zsze warunki a) i b) s\k{a} r\'ownowa\.zne. Zatem
$$
\dim(X)<\infty\,\, \Longrightarrow\,\, \sigma(T)=\{\lambda \in \F: \ker (T-\lambda 1)\neq \{0\}\} - \text{ zbi\'or warto\'sci w\l{}asnych}.
$$
Przypomnijmy te\.z, \.ze je\'sli  $\dim(X)=n<\infty$, to ustalaj\k{a}c baz\k{e} w $X$ otrzymujemy izomorfizm algebr $B(X)\cong M_n(\F)$ i wtedy 
odwracalno\'s\'c $T\in M_n(\F)$ jest r\'ownowa\.zna niezerowaniu si\k{e} wyznacznika $\det (T)$ macierzy $T$. Zatem
$$
B(X)\cong M_n(\F)\,\, \Longrightarrow\,\, \sigma(T)=\{\lambda \in \F: \det (T-\lambda 1)= 0\}.
$$
\end{ex}

\begin{ex}[Widmo elementu algebry funkcji]
\label{ex:invertible_functions2}
Niech  $A=C(M)$, gdzie $M$ przestrze\'n zwarta. Wtedy 
$
\Inv(C(M))=\{a \in C(M): a(t)\neq 0 \text{ dla ka\.zdego }t\in M \}
$, patrz Przyk\l{}ad \ref{ex:invertible_functions}. Zatem widmo $a\in C(M)$ jest obrazem tej funkcji
$$
\sigma(a)=\{\lambda \in \F: \exists_{t\in M}\,\, (a - \lambda 1)(t)= 0)\}=
\{\lambda \in \F:\exists_{t\in M}\,\, a(t) = \lambda \}=a(M).
$$
\end{ex}
%\begin{rem} 
\noindent
\begin{minipage}{11cm}
Powy\.zszy przyk\l{}ad pozwala interpretowa\'c widmo elementu algebry Banacha jako uog\'olnienie obrazu funkcji.
Jest to zgodne z interpretacj\k{a} fizyczn\k{a} widma. Mianowicie, w mechanice klasycznej wielko\'sci fizyczne 
s\k{a} opisywane przez funkcje. Natomiast w mechanice kwantowej wielko\'sci fizyczne opisywane s\k{a} przez operatory,
a ich widmo odpowiada temu co badaczka (badacz) widzi na spektroskopie badaj\k{a}c dan\k{a} wielko\'s\'c.
 \end{minipage}
\begin{picture}(0,18)(0,0)\label{rys:spectroscopist}
 \put(5,-51){\includegraphics[scale=0.77]{spectroscopist.jpg}}
%\put(25,-51){Hugo Steinhaus}% \put(112,23){$B$}  \put(152,-31){$H$}
\end{picture}
%\end{rem}
\\[8pt]

My\'slenie o widmie operatora jako o obrazie ``funkcji liczbowej'' (kt\'or\k{a} ten operator zast\k{e}puje) ma r\'ownie\.z swoje umocowanie matematyczne.
Mianowicie, jak zobaczymy poni\.zej operatory mo\.zna w naturalny spos\'ob sk\l{}ada\'c z funkcjami liczbowymi (analitycznymi w przypadku og\'olnym i ci\k{a}g\l{}ymi w przypadku operator\'ow normalnych) okre\'slonymi na widmie, co prowadzi do tak zwanego rachunku funkcyjnego dla operator\'ow.  

	
	Obraz funkcji ci\k{a}g\l{}ej na przestrzeni zwartej jest zbiorem zwartym, i tak te\.z jest w przypadku widma. Ponadto widmo jest zawsze zbiorem niepustym je\'sli rozpatrujemy przestrzenie nad cia\l{}em liczb zespolonych $\C$. 
	\begin{thm}\label{thm:properties_of_spectrum}
	Widmo $\sigma(a)$ dowolnego elementu $a\in A$ algebry Banacha $A$ jest zbiorem zwartym (domkni\k{e}tym i ograniczonym), 
	zawartym w $\{\lambda\in \F:|\lambda|\leq \|a\|\}$:
	$$
	\sigma(a)\subseteq \{\lambda\in \F:|\lambda|\leq \|a\|\},
	$$
		oraz niepustym je\'sli $\F=\C$.
	\end{thm}
	\begin{proof} 
	Zauwa\.zmy, \.ze dla funkcji $F_a:\F\to A$ danej wzorem $F_a(\lambda):=a-\lambda 1$, $\lambda \in \F$, zachodzi 
	$$
	\F\setminus \sigma(a)=\{\lambda\in \F: a-\lambda 1 \in \Inv(A)\}= F_a^{-1}(\Inv(A)).
	$$
	Jasne jest, \.ze funkcja $F_a$ jest ci\k{a}g\l{}a. 
	Natomiast zbi\'or $\Inv(A)$ jest otwarty w $A$ na mocy Twierdzenia \ref{thm:invertibles_properties}.	
	Zatem przeciwobraz $F_a^{-1}(\Inv(A))$ jest zbiorem otwartym w $\F$, sk\k{a}d jego dope\l{}nienie, czyli widmo
	$\sigma(a)$ jest zbiorem domkni\k{e}tym.
	
	Za\l{}\'o\.zmy teraz, \.ze $|\lambda|> \|a\|\geq 0$. Wtedy $\lambda \neq 0$ oraz $\|\lambda^{-1}a\|<1$. St\k{a}d 
	$$ 
	a-\lambda 1= \underbrace{ -\lambda}_{\neq0}\underbrace{(1-\lambda^{-1}a)}_{\in \Inv(A)}\in \Inv(A)
	$$ 
	na mocy Lematu Neumanna (Lemat \ref{lem:Neumann_lemma}). Czyli  $\lambda \notin \sigma(a)$.
	Wykazana implikacja jest r\'ownowa\.zna inkluzji $\sigma(a)\subseteq \{\lambda\in \F:|\lambda|\leq \|a\|\}$.
	W szczeg\'olno\'sci, widmo jest zbiorem domkni\k{e}tym i ograniczonym, a wi\k{e}c zwartym.
	
	Niech teraz $\F=\C$ i za\l{}\'o\.zmy nie wprost, \.ze $\sigma(a)=\emptyset$. Wtedy wz\'or $R_a(\lambda)=(a-\lambda 1)^{-1}$ definiuje funkcj\k{e} (nazywan\k{a} \emph{rezolwent\k{a} elementu} $a$) na ca\l{}ej p\l{}aszczy\'znie zespolonej:
	$$
	R_a:\C \to A.
	$$
	Ponadto funkcja ta ma nast\k{e}puj\k{a}ce w\l{}asno\'sci:
	\begin{enumerate}[1)]
\item  $R_a$ jest r\'o\.zniczkowalna w ka\.zdym punkcie. Rzeczywi\'scie $R_a$ jest z\l{}o\.zeniem dw\'och funkcji r\'o\.zniczkowalnych 
	$\C\ni \lambda \mapsto F_a(\lambda)=a-\lambda 1\in  A$ oraz $\Inv(A)\ni b \mapsto b^{-1}\in \Inv(A)$. 
	R\'o\.zniczkowalno\'s\'c $F_a$ jest jasna. Natomiast r\'o\.zniczkowalno\'s\'c operacji odwracania zosta\l{}a wykazana w Twierdzeniu 
	\ref{thm:invertibles_properties}.
	
\item $R_a$ zbiega do zera w niesko\'nczono\'sci. Rzeczywi\'scie, dla $|\lambda|> \|a\|$, mamy 
\begin{align*}
\|R_a(\lambda)\|
&=\|(a-\lambda 1)^{-1}\|=\frac{1}{|\lambda|}\|(1-\lambda^{-1}a)^{-1}\|
\stackrel{\text{Lemat Neumanna}}{=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=} \frac{1}{|\lambda|}\|\sum_{n=0}^\infty(\lambda^{-1}a)^{n}\|
\\
&\leq  \frac{1}{|\lambda|} \sum_{n=0}^\infty \|\lambda^{-1}a\|^{n}= \frac{1}{|\lambda|}\cdot  \frac{1}{1-|\lambda|^{-1}\|a\|}=\frac{1}{|\lambda|-\|a\|}\longrightarrow 0, \text{ gdy } |\lambda|\to \infty. 
\end{align*}
	\end{enumerate}
	Twierdzenie Liouville’a g\l{}osi, \.ze ka\.zda \emph{funkcja ca\l{}kowita}, to jest funkcja zmiennej zespolonej, kt\'ora jest analityczna na ca\l{}ej p\l{}aszczy\'znie zespolonej, kt\'ora jest ograniczona, jest sta\l{}a.
	Warunki 1) i 2) implikuj\k{a}, \.ze funkcja $R_a$ jest ca\l{}kowita i ograniczona, a co wi\k{e}cej w niesko\'nczono\'sci zbiega do zera. 
	Zatem na mocy Twierdzenia Liouville’a $R_a$ jest funkcj\k{a} sta\l{}\k{a} to\.zsamo\'sciowo r\'own\k{a} zero:
	$$
	R_a\equiv 0.
	$$
	Prowadzi to do sprzeczno\'sci z faktem, \.ze $R_a(0)=a^{-1}$, bo operator odwracalny nie mo\.ze by\'c zerem. {\Large\Lightning}
	
	Powy\.zsze zastosowanie Twierdzenia Liouville’a wymaga pewnego uzasadnienia, gdy\.z  jego klasyczne  sformu\l{}owanie  dotyczy funkcji o warto\'sciach zespolonych. Natomiast rezolwenta $R_a$ jest funkcj\k{a} zmiennej zespolonej o warto\'sciach operatorowych (w algebrze Banacha $A$). 
	Zauwa\.zmy jednak, \.ze dla dowolnego funkcjona\l{}u $f\in A^*$, z przestrzeni dualnej do przestrzeni Banacha $A$, na mocy warunk\'ow 1), 2) funkcja 
	$$
	\C\ni \lambda \longmapsto f(R_a(\lambda))\in \C
	$$
	jest r\'o\.zniczkowalna w sensie zespolonym (a wi\k{e}c analityczna) i znika w niesko\'nczono\'sci.
	Zatem na mocy klasycznego Twierdzenia Liouville’a
	$f(R_a(\lambda))=0$ dla ka\.zdego $\lambda\in \C$ i $f\in A^*$. Jako \.ze funkcjona\l{}y z $A^*$ rozdzielaj\k{a} elementy $A$, patrz Wniosek  \ref{cor:functional_from_vector}, otrzymujemy, \.ze $R_a(\lambda)=0$ dla ka\.zdego $\lambda\in \C$.
	\end{proof}
	\begin{rem}
	W dowodzie niepusto\'sci widma zastosowali\'smy Twierdzenia Liouville’a, kt\'ore nie zachodzi w przypadku rzeczywistym. W przypadku operator\'ow na przestrzeni sko\'nczenie wymiarowych niepusto\'s\'c widma mo\.zna wykaza\'c korzystaj\k{a}c z Zasadniczego Twierdzenia Algebry, kt\'ore r\'ownie\.z nie zachodzi w przypadku rzeczywistym.
	\end{rem}
	\begin{ex}
	 Niech $A\cong M_n(\F)$, por. Przyk\l{}ad \ref{ex:invartible_operators2}. \emph{Wielomian charakterstyczny} macierzy $a\in A$ jest dany wzorem
		$p_a(\lambda)=\det(a-\lambda 1)$. Zatem jest to wielomian co najwy\.zej stopnia $n$ o wyrazach z cia\l{}a $\F$:
		$p_a(\lambda)=\alpha_n\lambda ^n+...+\alpha_1 \lambda + \alpha_0$, $\alpha_i\in \F,  i=1,...,n.
		$
		Natomiast widmo elementu $a$ sk\l{}ada si\k{e} z pierwiastk\'ow tego wielomianu:
		$$
		\sigma(a)=\{\lambda \in \F: \alpha_n\lambda ^n+...+\alpha_1 \lambda + \alpha_0=0\}.
		$$
		W przypadku zespolonym powy\.zsze r\'ownanie charakterystyczne ma zawsze rozwi\k{a}zanie (Zasadnicze Twierdzenie Algebry). 
		W przypadku rzeczywistym zdarzy\'c si\k{e}, \.ze widmo $\sigma(a)$ b\k{e}dzie zbiorem pustym. Na przyk\l{}ad dla
		$
		a:=\left(\begin{array}{cc}
		0 & 1 \\
		-1 & 0\\		
		\end{array}\right)
		$
		mamy 
		$
		p_a(\lambda)=\det(a-\lambda 1)= \det\left(\begin{array}{cc}
		-\lambda & 1 \\
		-1 & -\lambda\\		
		\end{array}\right)= \lambda^2 +1,
		$
		sk\k{a}d
		$$
		\sigma(a)=\{\lambda\in \F: \lambda^2 +1=0\}=\begin{cases}
		\emptyset, & \text{ je\'sli }\F=\R,
		\\
		\{i, -i\}, & \text{ je\'sli }\F=\C.
		\end{cases}
		$$
	\end{ex}
	Powy\.zsze rozwa\.zania uzasadniaj\k{a} dlaczego teori\k{e} spektraln\k{a} rozwija si\k{e} w przypadku zespolonym. 
 	Og\'olnie teoria ta czerpie gar\'sciami z teorii funkcji zespolonych i dlatego
	$$
		\text{\emph{od tej pory b\k{e}dziemy 
	zak\l{}ada\'c, \.ze }}
		\F=\C
	!
	$$
		To znaczy b\k{e}dziemy zak\l{}ada\'c, \.ze wszystkie przestrzenie i algebry Banacha s\k{a} rozpatrywane nad cia\l{}em liczb zespolonych.
	
	Rozwa\.zmy wielomian $p\in \C[z]$, to znaczy niech $p(z)=\alpha_n z ^n+...+\alpha_1 z + \alpha_0$, gdzie  $\alpha_i\in \C$,  $i=1,...,n$.
	Dla dowolnego elementu $a\in A$ zespolonej algebry Banacha $A$ z jedynk\k{a}, definiujemy element $p(a)\in A$ wzorem
	$$
	p(a):=\alpha_n a ^n+...+\alpha_1 a + \alpha_0 1.
	$$
	Poni\.zsze stwierdzenie jest jedn\k{a} z najprostszych wersji twierdzenia o odwozorowaniu spektralnym, kt\'ore m\'owi, \.ze 
	widmo funkcji od operatora jest obrazem widma przy tej funkcji. Czyli m\'owi\k{a}c kr\'otko i obrazowo: 
		``gdzie idzie operator, tam idzie jego widmo''.
		\begin{prop}[Twierdzenie o odwzorowanie spektralnym]\label{prop:spectral_map_polynomial}
	Dla dowolnego wielomianu $p\in \C[z]$ i elementu $a\in A$ zespolonej algebry Banacha z jedynk\k{a} $1\in A$, mamy
	$$
	\sigma(p(a))=p(\sigma(a)).
	$$
	\end{prop}
	\begin{proof}
%Je\'sli $p\equiv \text{const}$, to teza zachodzi trywialnie. 	
%Za\l{}\'o\.zmy wi\k{e}c, \.ze $p$ jest wielomianem co najmniej pierwszego stopnia. 
Niech $\lambda\in \C$. Zapiszmy wielomian $p(z)-\lambda$ w postaci iloczynowej (na mocy Zasadniczego Twierdzenia Algebry ka\.zdy wielomian o wsp\'o\l{}czynikach zespolonych ma posta\'c iloczynow\k{a}). 
To znaczy, niech  $\lambda_0,\lambda_1,...,\lambda_n\in \C$, $n\geq 0$,
takie, \.ze 
$$
p(z)-\lambda= \lambda_0 (z-\lambda_1)\cdot ... \cdot (z-\lambda_n).
$$
Liczby $\lambda_1,...,\lambda_n$ s\k{a} rozwi\k{a}zaniami r\'ownania $p(z)=\lambda$.
Nietrudno spostrzec, \.ze powy\.zsze r\'ownanie ma sw\'oj analogon operatorowy
$$
p(a)-\lambda 1 =\lambda_0 (a-\lambda_1 1 )\cdot ... \cdot (a-\lambda_n 1 ).
$$
Je\'sli $\lambda_0=0$, to $p\equiv \lambda$ i st\k{a}d $\sigma(p(a))=\sigma(\lambda 1)=\{\lambda\}=p(\sigma(a))$.
 Za\l{}\'o\.zmy, zatem \.ze $\lambda_0\neq 0$. 
Wtedy odwracalno\'s\'c $p(a)-\lambda 1$ jest r\'ownowa\.zna odwracalno\'sci iloczynu  $(a-\lambda_1 1 )\cdot ... \cdot (a-\lambda_n 1 )$, kt\'ora jest z kolei r\'ownowa\.zna odwracalno\'sci ka\.zdego ze sk\l{}adnik\'ow, gdy\.z s\k{a} one przemienne (\home sprawdzi\'c). Czyli
$$
p(a)-\lambda 1\in \Inv(A)  \,\,\Longleftrightarrow \,\, \forall_{i=1,...,n}\,\, (a-\lambda_i 1 ) \in \Inv(A).
$$ 
St\k{a}d  
\begin{align*}
\lambda \in \sigma(p(a)) &\Longleftrightarrow \exists_{i=1,...,n}\,\, \lambda_i \in \sigma(a)
\Longleftrightarrow \sigma(a)\cap \{\lambda_1,...,\lambda_n\}\neq \emptyset
\\ 
&\Longleftrightarrow \sigma(a)\cap \{z\in \C: p(z)=\lambda\}\neq \emptyset \Longleftrightarrow 
\exists_{z \in \sigma(a)}\,\, p(z)=\lambda
\\
& \Longleftrightarrow \lambda \in p(\sigma(a)).
\end{align*}
Zatem $\sigma(p(a))=p(\sigma(a))$.
	\end{proof}
	Jako \.ze  widmo jest niepuste i zwarte, to zawsze istnieje w nim liczba o najwi\k{e}kszym module.
	
	\begin{defn} \emph{Promieniem spektralnym} elementu $a\in A$, 
	\\[2pt]
	\begin{minipage}{11cm}
	zespolonej algebry Banacha $A$ z jedynk\k{a},  
	nazywamy liczb\k{e} 
	$$
	r(a)=\max_{\lambda \in \sigma(a)} |\lambda|.
	$$Jest to najmniejszy promie\'n ko\l{}a o \'srodku w zerze, w kt\'orym zawarte jest ca\l{}e widmo.  
	\end{minipage}
			\begin{picture}(0,0)(-10,66)
%  \put(225,36){\includegraphics[angle=0, scale=0.21]{spectrum1.png}} \put(300,99){\scriptsize$\sigma(T)$} \pause
	   \put(0,24){\includegraphics[angle=0, scale=0.28]{spectrum1.png}} 
	\put(42,75){\rotatebox{48}{$\overbrace{\qquad\qquad}^{\,\,\,r(a)}$}}
		%\put(87,111){$r(a)$}
		\put(60,55){\scriptsize $\sigma(a)$}
	  \end{picture} 
	\end{defn}
	
	Z Twierdzenia \ref{thm:properties_of_spectrum} wynika, \.ze promie\'n spektralny jest zawsze  niewi\k{e}kszy ni\.z norma danego operatora: $r(a)\leq \|a\|$.
 Poni\.zszy, bardzo wa\.zny, dok\l{}adny wz\'or wyra\.zaj\k{a}cy $r(a)$ w j\k{e}zyku norm pot\k{e}g operatora $a$ jest de facto operatorow\k{a} wersj\k{a} wzoru Cauchy-Hadamarda ma promie\'n zbie\.zno\'sci szeregu pot\k{e}gowego.	
	\begin{thm}[Wz\'or Beurlinga-Gelfanda-Naimarka]\label{thm:Gelfand_formula_radius}
	Promie\'n spektralny  elementu $a\in A$ wyra\.za si\k{e} wzorem
	$$
	r(a)=\inf_{n\in \N} \|a^n\|^{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to \infty} \|a^n\|^{\frac{1}{n}}.
	$$
	\end{thm}
	\begin{proof}
	Niech $\lambda\in \sigma(a)$. Wtedy $\lambda^n\in \sigma(a^n)$ na mocy Stwierdzenia \ref{prop:spectral_map_polynomial} i st\k{a}d 
	$|\lambda|^n \leq \|a^n\|$ na mocy Twierdzenia \ref{thm:properties_of_spectrum}. Czyli $|\lambda|\leq \|a^{n}\|^{\frac{1}{n}}$ dla dowolnego $\lambda\in \sigma(a)$ i $n\in \N$. St\k{a}d
	$$
	r(a)\leq \inf_{n\in \N} \|a^n\|^{\frac{1}{n}}\leq \liminf_{n\to \infty} \|a^n\|^{\frac{1}{n}}.
	$$
	Zatem wystarczy pokaza\'c, \.ze 
	$$
	\limsup_{n\to \infty} \|a^n\|^{\frac{1}{n}}\leq r(a).
	$$
	Przypomnijmy, \.ze rezolwenta 
	$
	\C\setminus \sigma(a)\ni \lambda \longmapsto R_a(\lambda)=(a-\lambda 1)^{-1}\in \Inv(A)
	$
	jest r\'o\.zniczkowalna. Zatem k\l{}ad\k{a}c $\Delta:=\{\lambda \in \C: |\lambda|> r(a)\}$ dla dowolnego $f\in A^*$ funkcja 
	$$
	\C\setminus \Delta \ni \lambda  \longmapsto f(R_a(\lambda)) \in \C
	$$
	jest holomorficzna, czyli posiada rozwini\k{e}cie postaci 
	$$
	f(R_a(\lambda))= \sum_{k=1}^\infty \lambda_n \lambda^{-n}, \qquad \lambda \in 	\C\setminus \Delta,
	$$
	gdzie $\lambda_n\in \C$, $n\in \N$, s\k{a} pewnymi ustalonymi wsp\'o\l{}czynnikami. Korzystaj\k{a}c z Lematu Neumanna,
	je\'sli $|\lambda|> \|a\|$, to 
	$$
	R_a(\lambda)=(a - 1\lambda)^{-1}=-\lambda^{-1}\left(1-\lambda^{-1}a\right)^{-1}=
 -\lambda^{-1}\sum_{n=0}^\infty\left(\lambda^{-1}a\right)^{n}=\sum_{n=1}^\infty - a^{n-1} \lambda^{-n}.
	$$
	St\k{a}d $f(R_a(\lambda))=\sum_{n=1}^\infty f( -a^{n-1}) {\lambda}^{n}$, czyli 
	$$
	\lambda_n=f( -a^{n-1}), \qquad n \in \N.
	$$
	Zatem dla ka\.zdego $|\lambda|> r(a)$ szereg  
	$$
	f(R_a(\lambda))= \sum_{k=1}^\infty \lambda_n \lambda^{-n}= \sum_{n=1}^\infty f( -a^{n-1} ){\lambda}^{-n}=\sum_{n=1}^\infty f( -a^{n-1} {\lambda}^{-n})
	$$ jest zbie\.zny. W szczeg\'olno\'sci  ci\k{a}g $\{f(a^{n-1} {\lambda}^{-n})\}_{n=1}^\infty$ jest zbie\.zny do zera. Skoro zachodzi to dla dowolnego funkcjona\l{}u $f\in A^*$, to ci\k{a}g
	$\{a^{n-1} {\lambda}^{-n}\}_{n=1}^\infty$ jest s\l{}abo zbie\.zny do zera, a wi\k{e}c ograniczony na mocy Stwierdzenia \ref{prop:weak_converge_bounded} (kt\'ore wynika z Twierdzenia Banacha-Steinhausa). 
	St\k{a}d ci\k{a}g $\{a^{n} {\lambda}^{-n}\}_{n=1}^\infty$ jest r\'ownie\.z ograniczony. Zatem
$$
 r(a) <|\lambda|\Longrightarrow \mathop{\exists}_{M>0}\,\mathop{\forall}_{n\in \N}\, \|a^{n} \lambda^{-n}\|\leq M  \Longrightarrow \mathop{\forall}_{n\in \N}\, \|a^{n}\|^{\frac{1}{n}}\leq M ^{\frac{1}{n}}  |\lambda| \Longrightarrow \limsup_{n\to \infty} \|a^n\|^{\frac{1}{n}} \leq  |\lambda|. 
$$		
St\k{a}d $
	\limsup_{n\to \infty} \|a^n\|^{\frac{1}{n}}\leq r(a)
	$, co jak wyja\'snilismy powy\.zej ko\'nczy dow\'od.
		\end{proof}
		\begin{rem}
		Zwr\'o\'cmy uwag\k{e}, \.ze widmo elementu $a\in A$ jest zdefiniowane w terminiach algebraicznych - wykorzystuje tylko poj\k{e}cie odwracalno\'sci w $A$ i w spos\'ob jawny nie zale\.zy od normy. 
		W konsekwencji to samo dotyczy definicji promienia spektralnego  $r(a)=\max_{\lambda \in \sigma(a)} |\lambda|$.
		Natomiast wz\'or Beurlinga-Gelfanda-Naimarka na odwr\'ot, nie zale\.zy od struktury algebry $A$ i wyra\.za $r(a)$ jedynie w terminach norm pot\k{e}g elementu $a\in A$. 
		\end{rem}
		Poni\.zsze przyk\l{}ady pokazuj\k{a} m.in., \.ze na og\'o\l{} promie\'n spektralny jest ostro mniejszy od normy operatora.
		\begin{ex}
		Je\'sli element $a\in A$ jest nilpotentny, to znaczy $a^n=0$ dla pewnego $n\in \N$, to $r(a)=0$. Na przyk\l{}ad, je\'sli 
		$A= M_2(\C)$  oraz $
		a:=\left(\begin{array}{cc}
		0 & 1 \\
		0 & 0\\		
		\end{array}\right)
		$, to $\|a\|=1$, ale $r(a)=0$, bo $a^2=0$.
		\end{ex}
		
		\begin{ex}
		Przestrze\'n $A=C^{(1)}[0,1]$ funkcji r\'ozniczkowalnych w spos\'ob ci\k{a}g\l{}y  jest algebr\k{a} Banacha z operacjami zdefiniowanymi punktowo
		i norm\k{a} $\|a\|=\max_{t\in [0,1]}|a(t)|+\max_{t\in [0,1]}|a'(t)|$. 
		Rozwa\.zmy element dany wzorem $a(t):=t$, dla $t\in [0,1]$. Wtedy $a^n(t)=t^n$ i st\k{a}d $\|a^n\|=1+n$ dla $n\in \N$.
		Zatem 
		$$
		r(a)=\lim_{n\to \infty} \|a^n\|^{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to \infty}(1+n)^{\frac{1}{n}}=1 < 2=\|a\|.
		$$
		\end{ex}
		
	%	\textbf{Zale\.zno\'s\'c widma od algebry???}
		
		
	
%\section{$C^*$-algebry}

	
		Dla operator\'ow normalnych promie\'n spektralny i norma zawsze si\k{e} sobie r\'ownaj\k{a}.
		
		\begin{prop}\label{prop:normal_spectral_radius}
	Niech $A=B(H)$, gdzie $H$ przestrze\'n Hilberta. Je\'sli $T\in B(H)$ jest operatorem normalnym (tzn. $T^*T=TT^*$), to 
	$$
	r(T)=\|T\|.
	$$
		\end{prop}
		\begin{proof}
Za\l{}\'o\.zmy najpierw, \.ze $T=T^*$ jest samosprz\k{e}\.zony. Wtedy $T^n=T^{*n}$ dla ka\.zdego $n\in \N$. Korzystaj\k{a}c z $C^*$-r\'owno\'sci,
patrz Stwierdzenie \ref{prop:involution}, mamy %$\|T\|^2=\|T^*T\|=\|T^2\|$ i og\'olnie 
$$\|T^n\|^2=\|T^{*n} T^{n}\|=\|T^{2n}\| \qquad\text{ dla } n\in \N.
$$
St\k{a}d dla dowolnego $n>0$ otrzymujemy
$$
\|T\|^{2^n}=\|T^2\|^{2^{n-1}}=\|T^4\|^{2^{n-2}}=...=\|T^{2^n}\|.
$$
Zatem na mocy wzoru Beurlinga-Gelfanda-Naimarka (Twierdzenie \ref{thm:Gelfand_formula_radius}) mamy
$$
r(T)=\lim_{n\to \infty} \|T^n\|^{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to \infty} \|T^{2^n}\|^{\frac{1}{2^n}}=\lim_{n\to \infty}\|T\|=\|T\|.
$$
Niech teraz $T$ b\k{e}dzie dowolnym operatorem normalnym, tzn. zak\l{}adamy jedynie, \.ze $T$ komutuje ze swoim sprz\k{e}\.zeniem $T^*$. 
Korzystaj\k{a}c z tego, \.ze teza zachodzi dla operator\'ow samosprz\k{e}\.zonych otrzymujemy
\begin{align*}
r(T)^2&=\lim_{n\to \infty} \left(\|T^n\|^2\right)^{\frac{1}{n}} \stackrel{C^*\text{-r\'owno\'s\'c}}{=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=}
\lim_{n\to \infty} \|T^{*n}T^n\|^{\frac{1}{n}} \stackrel{T \text{ normalny}}{=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=}
\lim_{n\to \infty} \|(T^{*}T)^n\|^{\frac{1}{n}}
\\
&=r(T^*T)\stackrel{T^*T \text{ samosprz\k{e}\.zony}}{=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=}\|T^*T\| \stackrel{C^*\text{-r\'owno\'s\'c}}{=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=}\|T\|^2.
\end{align*}
St\k{a}d $r(T)=\|T\|$. 
		\end{proof}
		\begin{cor}
		Dla dowolnego operatora $T\in B(H,K)$ mi\k{e}dzy dwiema przestrzeniami Hilberta $H$ i $K$ mamy 
	$$
	\|T\|=\sqrt{r(T^*T)},
	$$
	gdzie $r(T^*T)$ jest promieniem spektralnym operatora $T^*T\in B(H)$.
		\end{cor}
		\begin{proof}
		Z   $C^*$-r\'owno\'sci,
patrz Stwierdzenie \ref{prop:involution}, mamy $\|T\|^2=\|T^*T\|$. Natomiast skoro $T^*T$ samosprz\k{e}\.zony (a wi\k{e}c i normalny), 
to na mocy Stwierdzenia \ref{prop:normal_spectral_radius} otrzymujemy tez\k{e}. 
\end{proof}
\begin{ex} Rozwa\.zmy operator $T:\C^2\to \C^3$, gdzie $\C^2$ i $\C^3$ s\k{a} przestrzeniami Hilberta ze standardowymi normami, natomiast $T(z_1,z_2)=(z_1+z_2, 2iz_1, 2z_2)$.  Wtedy 
$$
T=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
2i & 0\\
0 & 2
\end{array}\right)\quad \text{ i }\quad 
T^*T=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -2i &0\\
1& 0 & 2
\end{array}\right) 
\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
2i & 0\\
0 & 2
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
5 & 1\\
1 & 5
\end{array}\right).
$$
Wielomian charakterystyczny tej ostatniej macierzy to $p(\lambda)=(5-\lambda)^2-1=\lambda^2-10\lambda + 24$. Pierwiastki tego wielomianu, 
to $\lambda_1=4$ i $\lambda_2=6$. Zatem $\sigma(T^*T)=\{4, 6\}$ i  $r(T^*T)=6$. St\k{a}d 
$$
\|T\|=\sqrt{r(T^*T)}=\sqrt{6}.
$$
\end{ex}
	

