\documentclass[trans]{beamer}
%\documentclass{beamer}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
%\usepackage{beamerbasearticle}
\usepackage{multimedia}
 \usepackage[dvips,usenames]{color}
\usepackage[arrow, matrix, curve]{xy}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[MeX]{polski}
\usepackage{amscd,graphics}
\usepackage{polski}
\usepackage{stackrel}
\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb,dsfont}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{fontawesome}
%\usepackage{bigints}
\usepackage{marvosym}
\usepackage{tikz}
\tikzset{rndblock/.style={rounded corners,rectangle,draw,outer sep=0pt}}
\newcommand{\tframed}[2][]{\tikz[baseline=(h.base)]\node[rndblock,#1] (h) {#2};}
\DeclareMathOperator{\lin}{lin}
\DeclareMathOperator{\re}{Re}
\DeclareMathOperator{\im}{Im}
\DeclareMathOperator{\dashind}{-Ind}
\DeclareMathOperator{\inv}{Inv}
\DeclareMathOperator{\Int}{Int}
\DeclareMathOperator{\Inv}{Inv}
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\DeclareMathOperator{\erg}{Erg}
\DeclareMathOperator{\clsp}{\overline{span}}
\renewcommand{\H}{ E}
\newcommand{\I}{\mathcal I}
\newcommand{\B}{\mathcal B}
\newcommand{\CC}{\mathcal C}
\newcommand{\TT}{\mathcal T}
\newcommand{\M}{\mathcal M}
\newcommand{\Sol}{\mathcal S}
\newcommand{\K}{\mathcal K}
\newcommand{\x}{\widetilde x}
\newcommand{\w}{\widetilde w}
\newcommand{\y}{\widetilde y}
\newcommand{\X}{\widetilde X}
\newcommand{\Y}{\widetilde Y}
\newcommand{\U}{\widetilde U}
\newcommand{\V}{\widetilde V}
\newcommand{\f}{\widetilde f}
\newcommand{\h}{\widetilde h}
\newcommand{\F}{\mathbb F}

\newcommand{\TDelta}{\widetilde \Delta}
\newcommand{\Tdelta}{\widetilde \delta}
\newcommand{\Tomega}{\widetilde \omega}
\newcommand{\Tmu}{\widetilde{\mu}}
\newcommand{\TA}{\widetilde{\mathcal A}}
\renewcommand{\TH}{\widetilde{\mathcal H}}
\newcommand{\tal}{\widetilde \alpha}
\newcommand{\al}{\alpha}
\newcommand{\be}{\beta}
\newcommand{\p}{\varphi}

\renewcommand{\L}{\mathcal L}
\newcommand{\LL}{\mathcal L}
\newcommand{\JJ}{\mathcal J}
\renewcommand{\SS}{\mathcal S}

\newcommand{\DR}{\mathcal DR}

\newcommand{\OO}{\mathcal O}
\newcommand{\FF}{\mathcal F}
\newcommand{\A}{\mathcal A}
\newcommand{\D}{\mathcal D}
\newcommand{\G}{\mathcal G}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\T}{\mathbb T}

\usepackage{amsfonts}
\newcommand{\tickYes}{\checkmark}
\usepackage{pifont}
\newcommand{\tickNo}{\hspace{1pt}\ding{55}}

%\usetheme{Frankfurt}
\usetheme{Warsaw}
%\usecolortheme{seahorse}
\usecolortheme{rose}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 

\definecolor{mylightblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 



\definecolor{myblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 

\definecolor{mylightblue}{rgb}{0.9,0.9,1}
\definecolor{mylightred}{rgb}{1,0.4,0.4} 
\definecolor{mylightblue1}{rgb}{0.8,0.8,0.9}



\title[Wyk\l{}ad 15]{Analiza Funkcjonalna}
\author{Bartosz Kwa\'sniewski}
\institute{\large Wyk\l{}ad 15
\\[4pt]
\textbf{Widmo i promie\'n spektralny} }


\date{
\pause 
%math.uwb.edu.pl/$\sim$zaf/kwasniewski/pdf/skrypt.pdf  \qquad \qquad 
\begin{picture}(170,65)(0,0)\label{rys:spectroscopist}
 \put(0,-30){\includegraphics[scale=0.77]{spectroscopist.jpg}}
\end{picture}
} %\pause
%\put(-20,-90){\includegraphics[angle=0, scale=0.212]{Heart.jpg}} 



\begin{document}


\frame{\titlepage}


\frame{
Ustalmy algebr\k{e} Banacha $A$  z jedynk\k{a} $1$ nad cia\l{}em  $\F=\C$. \pause
\begin{block}{}
\textbf{Def.} \textbf{Widmem} (\textbf{spektrum}) elementu $a\in A$  nazywamy  zbi\'or \pause
$$
\sigma(a):=\{\lambda \in \F: a - \lambda 1 \notin \Inv(A)\}.
$$
\end{block} \pause
\begin{block}{\textbf{Prz.} Widmo elementu algebry funkcji na przestrzeni zwartej $M$} \pause
\label{ex:invertible_functions2}
Je\'sli $A=C(M)$, \pause to
$
\Inv(C(M))=\pause\{a \in C(M): \forall_{t\in M}\, a(t)\neq 0\}
$  \pause i
\\[6pt]
\qquad \qquad \qquad $
\sigma(a)=\pause\{\lambda \in \F: \exists_{t\in M}\,\, (a - \lambda 1)(t)= 0)\}
$ \pause
\\[6pt]
\qquad \qquad \qquad \qquad$
=
\{\lambda \in \F:\exists_{t\in M}\,\, a(t) = \lambda \}
$  \pause
\\[6pt]
\qquad \qquad \qquad \qquad
$ 
=a(M). 
$ \pause
\\[6pt]
Zatem
\textbf{widmo funkcji  $a\in C(M)$ jest \pause obrazem tej funkcji}. \pause
\end{block}
\begin{block}{}\textbf{Uw.} W powy\.zszym przyk\l{}adzie \pause je\'sli $f:\Omega\to \C$ jest funkcj\k{a} ci\k{a}g\l{}\k{a} okre\'slon\k{a}
na widmie $\sigma(a)=a(M)\subseteq \Omega$, \pause to $f(a):=f\circ a$ \pause jest elementem algebry $A=C(M)$  \pause -
  \textbf{rachunek funkcyjny} w algebrze $A$! 
\end{block}
}
\frame{

\begin{block}{\textbf{Prz.} Widmo operatora dzia\l{}aj\k{a}cego na przestrzeni Banacha $X$}\label{ex:invartible_operators2} \pause
Skoro
$
\Inv(B(X)) \pause =\{T\in B(X): T:X\to X \text{ bijekcja}\}
$  \pause to \textbf{widmo operatora} $T\in B(X)$ wyra\.za si\k{e} wzorem \pause
$$
\sigma(T):=\{\lambda \in \F: T - \lambda 1: X\to X  \text{ odwzorowanie nieodwracalne}\}.
$$ \pause
Czyli $\lambda \in \sigma(T)$ $\Longleftrightarrow$ \pause zachodzi kt\'ory\'s z warunk\'ow: 
\begin{enumerate}[(a)]
\item  \pause  $T-\lambda 1$ nie jest surjekcj\k{a}.
\item \pause $T-\lambda 1$ nie jest injekcj\k{a}  \pause $\Longleftrightarrow$ $\ker (T-\lambda 1)\neq \{0\}$ \pause $\Longleftrightarrow$ 
$\exists_{x\in X\setminus\{0\}}$ $Tx=\lambda x$ \pause $\Longleftrightarrow$  $\lambda$ jest \textbf{warto\'sci\k{a} w\l{}asn\k{a}} dla $T$.

\end{enumerate}  \pause
 Je\'sli $\dim(X)=n<\infty$, \pause to  warunki (a) i (b) s\k{a} r\'ownowa\.zne \pause i wtedy \pause
\\[6pt]
\qquad\qquad $\sigma(T)=$"`zbi\'or warto\'sci w\l{}asnych
operatora $T$"'. 
\\[6pt] \pause
Ponadto, \pause  mamy wtedy izomorfizm algebr $B(X)\cong M_n(\F)$ \pause oraz
$\Inv(M_n(\F)) \pause=\{T\in M_n(\F): \det(T)\neq 0\}$. \pause Zatem dla  $T\in  M_n(\F)$ \pause
$$
 \sigma(T)\pause =\{\lambda \in \F: \det (T-\lambda 1)= 0\}.
$$
\end{block}

}

\frame{	\begin{block}{ }\label{thm:properties_of_spectrum}
	\textbf{Tw.} \pause Widmo  dowolnego elementu $a\in A$ algebry Banacha $A$ jest \pause \textbf{niepustym zbiorem zwartym}  \pause oraz
	$
	\sigma(a)\subseteq \{\lambda\in \F:|\lambda|\leq \|a\|\}.
	$ \pause
	\end{block}
\textbf{Dow\'od:} \pause $
	\F\setminus \sigma(a) \pause =\{\lambda\in \F: a-\lambda 1 \in \Inv(A)\}\pause = F_a^{-1}(\Inv(A))
	$, gdzie $F_a(\lambda):=a-\lambda 1$,   \pause 
	jest  funkcj\k{a} ci\k{a}g\l{}a $F_a:\F\to A$. \pause Skoro zbi\'or $\Inv(A)$ jest otwarty w $A$, \pause	
	to $F_a^{-1}(\Inv(A))$ jest zbiorem otwartym, \pause a wi\k{e}c	$\sigma(a)$ jest zbiorem domkni\k{e}tym w $\F$. \pause
	
	\\[5pt]
	Niech $|\lambda|> \|a\|\geq 0$. \pause Wtedy $\|\lambda^{-1}a\|<1$  \pause i z Lematu Neumanna  \pause
	$$ 
	a-\lambda 1 \pause = \underbrace{ -\lambda}_{\neq 0}\underbrace{(1-\lambda^{-1}a)}_{\in \Inv(A)}\pause \in \Inv(A)
	$$  \pause
	 Czyli  $\lambda \notin \sigma(a)$. \pause To dowodzi inkluzji $\sigma(a)\subseteq \{\lambda\in \F:|\lambda|\leq \|a\|\}$. \pause
	\\
	Zatem, widmo $\sigma(a)$ jest  zwarte  \pause (domkni\k{e}te i ograniczone). \pause
	\\[5pt]
		Za\l{}\'o\.zmy nie wprost, \pause\.ze $\sigma(a)=\emptyset$. \pause  Wtedy $R_a(\lambda)=(a-\lambda 1)^{-1}$  \pause jest funkcj\k{a} zdefiniowan\k{a} na  \pause  ca\l{}ej p\l{}aszczy\'znie zespolonej: \pause
	$$
	R_a:\C \to A.
	$$
}
\frame{
	Ponadto funkcja $R_a(\lambda)=(a-\lambda 1)^{-1}$ \pause ma nast\k{e}puj\k{a}ce w\l{}asno\'sci: \pause
	\begin{enumerate}[1)]
\item \pause  $R_a$ jest r\'o\.zniczkowalna, \pause jako z\l{}o\.zenie funkcji r\'o\.zniczkowalnych  \pause
	$ F_a(\lambda)=a-\lambda 1\in  A$   \pause oraz $\Inv(A)\ni b \mapsto b^{-1}\in \Inv(A)$.  
	
\item \pause $R_a$ zbiega do zera w niesko\'nczono\'sci, \pause bo dla $|\lambda|> \|a\|$ mamy \pause
	\end{enumerate}
$
\|R_a(\lambda)\|
\pause =\|(a-\lambda 1)^{-1}\|\pause =\frac{1}{|\lambda|}\|(1-\lambda^{-1}a)^{-1}\|
\pause =\frac{1}{|\lambda|}\|\sum\limits_{n=0}^\infty(\lambda^{-1}a)^{n}\|
$  \pause
\\
\qquad\qquad  $\leq  \frac{1}{|\lambda|} \sum\limits_{n=0}^\infty \|\lambda^{-1}a\|^{n} \pause = \frac{1}{|\lambda|}\cdot  \frac{1}{1-|\lambda|^{-1}\|a\|}\pause =\frac{1}{|\lambda|-\|a\|} \pause
\stackrel{|\lambda|\to \infty}{\longrightarrow} 0. 
$ \pause
	Dla dowolnego funkcjona\l{}u $f\in A^*$, \pause  na mocy 1), 2)  \pause funkcja 
	$$
	\C\ni \lambda \longmapsto f(R_a(\lambda))\in \C
	$$ \pause
	jest r\'o\.zniczkowalna w sensie zespolonym \pause (a wi\k{e}c analityczna) \pause i znika w niesko\'nczono\'sci. \pause
	Zatem na mocy  \textbf{Twierdzenia Liouville'a} \pause funkcja ta jest sta\l{}a \pause i r\'owna zero. \pause
	%$f(R_a(\lambda))=0$ dla ka\.zdego $\lambda\in \C$ i $f\in A^*$. 
	Jako \.ze funkcjona\l{}y z $A^*$ \pause rozdzielaj\k{a} elementy $A$, \pause  otrzymujemy, \.ze $R_a(\lambda)=0$ \pause dla  $\lambda\in \C$: \pause
	$$
	R_a\equiv 0.
	$$ \pause
	Ale zero nie jest elementem odwracalnym. \pause {\Large\Lightning}  	\pause $\blacksquare$
}


\frame{
%\begin{block}{}
%\textbf{Def.} 
\textbf{Def.}
Dla dowolnego $a\in A$  \pause oraz  $p(z)=\alpha_n z ^n+...+\alpha_1 z + \alpha_0$,  \pause
 gdzie  $\alpha_i\in \C$,  $i=1,...,n$, \pause k\l{}adziemy 
\\[7pt]
\qquad \qquad \qquad \quad $
	p(a):=\alpha_n a ^n+...+\alpha_1 a + \alpha_0 1 \in A.
$ \pause
%\end{block}



\begin{block}{}	\textbf{Stw. (o obrazie spektralnym)}  \pause Dla dowolnego wielomianu $p$ i elementu $a\in A$  mamy \pause
	$
	\sigma(p(a))=p(\sigma(a))\pause :=\{p(\lambda): \lambda \in \sigma(a)\}.
	$
	\end{block} \pause
\textbf{Dow\'od:} \pause
Niech $\lambda\in \C$. \pause Zapiszmy wielomian $p(z)-\lambda$ w postaci iloczynowej, \pause tzn. 
tzn. niech  $\lambda_0,\lambda_1,...,\lambda_n\in \C$, $n\geq 0$,
takie, \.ze  \pause
$$
p(z)-\lambda= \lambda_0 (z-\lambda_1)\cdot ... \cdot (z-\lambda_n).
$$ \pause
Liczby $\lambda_1,...,\lambda_n$ s\k{a} rozwi\k{a}zaniami r\'ownania $p(z)=\lambda$. \pause
Powy\.zsze r\'ownanie ma sw\'oj analogon operatorowy \pause
$$
p(a)-\lambda 1 =\lambda_0 (a-\lambda_1 1 )\cdot ... \cdot (a-\lambda_n 1 ).
$$ \pause
Je\'sli $\lambda_0=0$, to $p\equiv \lambda$ i st\k{a}d $\sigma(p(a))=\sigma(\lambda 1)=\{\lambda\}=p(\sigma(a))$.
\\[4pt]
Za\l{}\'o\.zmy, zatem \.ze $\lambda_0\neq 0$.  \pause
Wtedy odwracalno\'s\'c $p(a)-\lambda 1$ jest r\'ownowa\.zna odwracalno\'sci iloczynu  $(a-\lambda_1 1 )\cdot ... \cdot (a-\lambda_n 1 )$, \pause kt\'ora jest z kolei r\'ownowa\.zna odwracalno\'sci ka\.zdego ze sk\l{}adnik\'ow.
}
\frame{
    Czyli \pause je\'sli $p(z)-\lambda= \lambda_0 (z-\lambda_1)\cdot ... \cdot (z-\lambda_n)$, to \pause
$$
p(a)-\lambda 1\in \Inv(A)   \pause \,\,\Longleftrightarrow \,\, \forall_{i=1,...,n}\,\, \pause (a-\lambda_i 1 ) \in \Inv(A).
$$  \pause
St\k{a}d  
\\[6pt] \pause
\qquad \qquad $
\lambda \in \sigma(p(a))   \pause \Longleftrightarrow \exists_{i=1,...,n}\,\,   \pause \lambda_i \in \sigma(a)
$
\\[6pt]
\qquad \qquad $\qquad \qquad\quad \, 
\Longleftrightarrow \sigma(a)\cap \{\lambda_1,...,\lambda_n\}\neq \emptyset
$
\\[6pt] \pause
\qquad \qquad $\qquad \qquad\quad\, 
\Longleftrightarrow \sigma(a)\cap \{z\in \C: p(z)=\lambda\}\neq \emptyset 
$
\\[6pt] \pause
\qquad \qquad $\qquad\qquad \quad \, 
\Longleftrightarrow 
\exists_{z \in \sigma(a)}\,\, p(z)=\lambda
$ \pause
\\[6pt]
\qquad \qquad $\qquad \quad \qquad \, \Longleftrightarrow \lambda \in p(\sigma(a)).
$ \pause
\\[8pt]
Zatem $\sigma(p(a))=p(\sigma(a))$. \pause $\blacksquare$



}









\frame{\textbf{Def.} \textbf{Promieniem spektralnym}   elementu $a\in A$   \pause nazywamy liczb\k{e}  
\\
	$$
	r(a)  \pause =\max_{\lambda \in \sigma(a)} |\lambda|. \qquad 
	$$  \pause
	\begin{picture}(0,22)(-190,63)
%  \put(225,36){\includegraphics[angle=0, scale=0.21]{spectrum1.png}} \put(300,99){\scriptsize$\sigma(T)$} \pause
	   \put(0,24){\includegraphics[angle=0, scale=0.28]{spectrum1.png}} 
	\put(42,75){\rotatebox{48}{$\overbrace{\qquad\qquad}^{\,\,\,r(a)}$}}
		%\put(87,111){$r(a)$}
		\put(60,55){\scriptsize $\sigma(a)$}
	  \end{picture}   \pause
		$r(a)$ to najmniejszy promie\'n ko\l{}a 
			\\
			o \'srodku w zerze, w kt\'orym \\
			zawarte jest ca\l{}e widmo $\sigma(a)$.  

\\	  \pause
\begin{block}{Tw.  (Wz\'or Beurlinga-Gelfanda-Naimarka)}\label{thm:Gelfand_formula_radius}  \pause
	Promie\'n spektralny  elementu $a\in A$ wyra\.za si\k{e} wzorem  \pause
	\\[6pt]	
\qquad \qquad \qquad 	\quad $
	r(a) =\inf\limits_{n\in \N} \|a^n\|^{\frac{1}{n}} \pause =\lim\limits_{n\to \infty} \|a^n\|^{\frac{1}{n}}.  \pause
	$
	\end{block}

\textbf{Dow\'od:} \pause
	Niech $\lambda\in \sigma(a)$.  \pause Wtedy $\lambda^n\in \sigma(a^n)$ na mocy \textbf{Stw.}   \pause i st\k{a}d 
	$|\lambda|^n \leq \|a^n\|$ na mocy \textbf{Tw.}  \pause Czyli $|\lambda|\leq \|a^{n}\|^{\frac{1}{n}}$   \pause i st\k{a}d  \pause
	$$
	r(a)\leq \inf_{n\in \N} \|a^n\|^{\frac{1}{n}}  \pause \leq \liminf_{n\to \infty} \|a^n\|^{\frac{1}{n}}. 
	$$
		}
	\frame{
	Zatem wystarczy pokaza\'c, \.ze 
	$$
	\limsup_{n\to \infty} \|a^n\|^{\frac{1}{n}}\leq r(a).
	$$ \pause
	Przypomnijmy, \.ze  
	$
	\C\setminus \sigma(a)\ni \lambda \longmapsto R_a(\lambda)=(a-\lambda 1)^{-1}\in \Inv(A)
	$ \pause
	jest r\'o\.zniczkowalna.  \pause Zatem k\l{}ad\k{a}c $\Delta:=\{\lambda \in \C: |\lambda|> r(a)\}$ \pause dla dowolnego $f\in A^*$ \pause funkcja 
	$$
	\C\setminus \Delta \ni \lambda  \longmapsto f(R_a(\lambda)) \in \C
	$$ \pause
	jest holomorficzna, \pause czyli posiada rozwini\k{e}cie postaci \pause
	$$
	f(R_a(\lambda))= \sum_{n=1}^\infty \lambda_n \lambda^{-n}, \qquad \lambda \in 	\C\setminus \Delta,
	$$ \pause
	gdzie $\lambda_n\in \C$, $n\in \N$, s\k{a} pewnymi ustalonymi wsp\'o\l{}czynnikami. \pause 	Przypomnijmy, \.ze   $|\lambda|> \|a\|$ mamy  \pause
	\\[6pt]
	\qquad\quad  $
	R_a(\lambda)  =\pause -\lambda^{-1}\left(1-\lambda^{-1}a\right)^{-1}\pause =\sum_{n=1}^\infty - a^{n-1} \lambda^{-n}
	$
	\\[6pt]
St\k{a}d $f(R_a(\lambda))=\sum_{n=1}^\infty f( -a^{n-1}) {\lambda}^{n}$, czyli 
	}
	\frame{
		$$
	\lambda_n=f( -a^{n-1}), \qquad n \in \N.
	$$ \pause
	Zatem dla ka\.zdego $|\lambda|> r(a)$  \pause szereg  
	$$
	f(R_a(\lambda)) =\pause \sum_{k=1}^\infty \lambda_n \lambda^{-n} =\pause \sum_{n=1}^\infty f( -a^{n-1} ){\lambda}^{-n}=\pause \sum_{n=1}^\infty f( -a^{n-1} {\lambda}^{-n}) \pause
	$$ 
	jest zbie\.zny. \pause 
	W szczeg\'olno\'sci  ci\k{a}g $\{f(a^{n-1} {\lambda}^{-n})\}_{n=1}^\infty$ jest zbie\.zny do zera. \pause
	Skoro zachodzi to dla dowolnego funkcjona\l{}u $f\in A^*$, \pause to ci\k{a}g
	$\{a^{n-1} {\lambda}^{-n}\}_{n=1}^\infty$ jest s\l{}abo zbie\.zny do zera, \pause a wi\k{e}c ograniczony na mocy  Twierdzenia Banacha-Steinhausa.  \pause
	 Zatem
	\\[7pt]
	 \quad $
 r(a) <|\lambda|  \Longrightarrow \pause \mathop{\exists}_{M>0}\,\mathop{\forall}_{n\in \N}\, \|a^{n} \lambda^{-n}\|\leq M  
$ \pause
	\\[7pt]
 \quad	\qquad \quad $ \Longrightarrow \mathop{\forall}_{n\in \N}\, \|a^{n}\|^{\frac{1}{n}}\leq M ^{\frac{1}{n}}  |\lambda|  \pause
\Longrightarrow \limsup\limits_{n\to \infty} \|a^n\|^{\frac{1}{n}} \leq  |\lambda|. 
$		 \pause
	\\[7pt]
St\k{a}d $
	\limsup\limits_{n\to \infty} \|a^n\|^{\frac{1}{n}}\leq r(a)
	$. \pause $\blacksquare$
}
\frame{\frametitle{} \begin{block}{}
\textbf{Uw.} Szereg pot\k{e}gowy $f(z)=\sum_{n=0}^\infty \lambda_n z^n$ jest bezwgl\k{e}dnie zbie\.zny wewn\k{a}trze ko\l{}a o promieniu $r:=1/\limsup\limits_{n\to \infty}|\lambda_n|^{\frac{1}{n}}$. 
Je\'sli $r(a)< r$, to 
\\[6pt]
\qquad \qquad \qquad \qquad  \quad \quad$
f(a):=\sum\limits_{n=0}^\infty \lambda_n a^n
$
\\[6pt]
szereg jest (bezwgl\k{e}dnie) zbie\.zny w $A$, bo   
$$
\limsup\limits_{n\to \infty}\|\lambda_{n}a^n\|^{\frac{1}{n}}=\limsup\limits_{n\to \infty}|\lambda_n|^{\frac{1}{n}} \lim\limits_{n\to \infty}\|a^n\|^{\frac{1}{n}} =r(a)/r<1.
$$
\end{block}
 \begin{block}{\textbf{Tw. (rachunek funkcyjny w algebrach Banacha)}} 
Dla dowolnego $a\in A$ oraz funkcji holomorficznej $f:\Omega\to \C$, gdzie $\sigma(a)\subseteq \Omega$ - zbi\'or otwarty, mamy poprawnie zdefiniowany operator
\\[6pt]
\qquad \qquad $
f(a):=\sum\limits_{k=1}^N\frac{1}{2\pi i} \int\limits_{\gamma_k} f(a)(\lambda 1- a)^{-1}\, d\lambda \in A,
$
\\[6pt]
gdzie $\gamma_k\subseteq \Omega$ to drogi Jordana ograniczaj\k{a}ce zbi\'or otwarty zawieraj\k{a}cy $\sigma(a)$ {\small (wtedy $f(z)=\sum_{k=1}^N\frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma_k} f(z)(\lambda - z)^{-1}$, $z\in \sigma(a)$)}.
\end{block}
}
\end{document}





\begin{defn}

\end{defn}
 \begin{rem}
Zwyczajowo znak mno\.zenia w algebrze b\k{e}dziemy opuszcza\'c.
\end{rem}
\begin{defn}
\emph{Algebr\k{a} Banacha} nad cia\l{}em $\F=\R, \C$ nazywamy przestrze\'n Banacha  $A$, kt\'ora jest jednocze\'snie algebr\k{a}  nad $\F$ oraz norma jest submultiplikatywna, tzn.
$$
\|a\cdot b\|\leq \|a\|\cdot \|b\|, \qquad a,b\in A.
$$
Je\'sli dodatkowo mno\.zenie w algebrze $A$ posiada element neutralny, to element ten nazywamy jedynk\k{a} algebry i oznaczamy  przez $1$.
 Zwyczajowo zak\l{}adamy wtedy te\.z, \.ze $\|1\|=1$.
\end{defn}
 \begin{rem}
Submultiplikatywno\'s\'c normy implikuje, \.ze mno\.zenie  $\cdot:A\times A\to A$ w algebrze Banacha jest ci\k{a}g\l{}e.

\end{rem}

	\end{rem}
			\begin{ex}[Algebry grupowe]
			Niech $G$ b\k{e}dzie grup\k{a} dyskretn\k{a} (bez topologii). Przestrze\'n $\ell^1(G)$ funkcji sumowalnych na \(G\) jest algebr\k{a} Banacha wraz z \emph{mno\.zeniem splotowym:} 
	$$
		(a\star b)(g):=\sum_{h\in G} a(g h^{-1})b(h), \qquad g\in G,\, a,b \in \ell^1(G).
		$$
Analogicznie jak w Przyk\l{}adzie \ref{ex:algebra_splotowa} mo\.zna pokaza\'c, \.ze splot jest poprawnie okre\'slony i norma w $\ell^1(G)$
jest ze wzgl\k{e}du na\'n submultiplikatywna (\home pokaza\'c).  Algebra ta ma jedynk\k{e} $1:G\to \F$, kt\'ora przyjmuje warto\'s\'c $1$ w elemencie neutralnym $e\in G$ grupy $G$, a w pozosta\l{}ych punktach si\k{e} zeruje. Algebra $\ell^1(G)$ jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy grupa $G$ jest przemienna.
	\end{ex}
	\begin{ex}
	\end{ex}
	
Do ka\.zdej algebry Banacha mo\.zna w kanoniczny spos\'ob doda\'c jedynk\k{e} %. W szczeg\'olno\'sci ka\.zd\k{a} algebr\k{e} Banacha bez jedynki mo\.zna rozszerzy\'c do algebry Banacha z jedynk\k{a} 
- proces taki nazywa si\k{e} czasem ``ujedynkowieniem''.
Pozwala to sprowadzi\'c wi\k{e}kszo\'s\'c rozwa\.za\'n do algebr z jedynk\k{a}. \emph{Homomorfizm algebr} to odwzorowanie liniowe i multiplikatywne, tzn. zachowuj\k{a}ce mno\.zenie element\'ow.

\end{ex}
Dobrze znany ze szko\l{}y wz\'or na sum\k{e} szeregu geometrycznego m\'owi, \.ze dla ka\.zdej liczby $t\in \F$ takiej, \.ze $|t|<1$ zachodzi
$$
\sum_{k=0}^\infty t^k=\frac{1}{1-t}=(1-t)^{-1}.
$$
Uog\'olnienie tego wzoru na elementy algebr Banacha jest podstawowym faktem, za pomoc\k{a}  kt\'orego mo\.zna wywnioskowa\'c najwa\.zniejsze w\l{}asno\'sci zbioru element\'ow odwracalnych i operacji odwracania. W literaturze fakt ten nazywa 
si\k{e} \emph{Lematem Neumanna}.\footnote{Chodzi tu o Carla Neumanna (1832--1925), a nie Johna von Neumanna (1903 --1957)} 


\end{proof}

\section{Widmo i promie\'n spektralny}
%\begin{rem} 
\noindent
\begin{minipage}{11cm}
Powy\.zszy przyk\l{}ad pozwala interpretowa\'c widmo elementu algebry Banacha jako uog\'olnienie obrazu funkcji.
Jest to zgodne z interpretacj\k{a} fizyczn\k{a} widma. Mianowicie, w mechanice klasycznej wielko\'sci fizyczne 
s\k{a} opisywane przez funkcje. Natomiast w mechanice kwantowej wielko\'sci fizyczne opisywane s\k{a} przez operatory,
a ich widmo odpowiada temu co badaczka (badacz) widzi na spektroskopie badaj\k{a}c dan\k{a} wielko\'s\'c.
 \end{minipage}
%\end{rem}
\\[8pt]

My\'slenie o widmie operatora jako o obrazie ``funkcji liczbowej'' (kt\'or\k{a} ten operator zast\k{e}puje) ma r\'ownie\.z swoje umocowanie matematyczne.
Mianowicie, jak zobaczymy poni\.zej operatory mo\.zna w naturalny spos\'ob sk\l{}ada\'c z funkcjami liczbowymi (analitycznymi w przypadku og\'olnym i ci\k{a}g\l{}ymi w przypadku operator\'ow normalnych) okre\'slonymi na widmie, co prowadzi do tak zwanego rachunku funkcyjnego dla operator\'ow.  

	
	Obraz funkcji ci\k{a}g\l{}ej na przestrzeni zwartej jest zbiorem zwartym, i tak te\.z jest w przypadku widma. Ponadto widmo jest zawsze zbiorem niepustym je\'sli rozpatrujemy przestrzenie nad cia\l{}em liczb zespolonych $\C$. 

	\begin{rem}
	W dowodzie niepusto\'sci widma zastosowali\'smy Twierdzenia Liouville’a, kt\'ore nie zachodzi w przypadku rzeczywistym. W przypadku operator\'ow na przestrzeni sko\'nczenie wymiarowych niepusto\'s\'c widma mo\.zna wykaza\'c korzystaj\k{a}c z Zasadniczego Twierdzenia Algebry, kt\'ore r\'ownie\.z nie zachodzi w przypadku rzeczywistym.
	\end{rem}
	\begin{ex}
	 Niech $A\cong M_n(\F)$, por. Przyk\l{}ad \ref{ex:invartible_operators2}. \emph{Wielomian charakterstyczny} macierzy $a\in A$ jest dany wzorem
		$p_a(\lambda)=\det(a-\lambda 1)$. Zatem jest to wielomian co najwy\.zej stopnia $n$ o wyrazach z cia\l{}a $\F$:
		$p_a(\lambda)=\alpha_n\lambda ^n+...+\alpha_1 \lambda + \alpha_0$, $\alpha_i\in \F,  i=1,...,n.
		$
		Natomiast widmo elementu $a$ sk\l{}ada si\k{e} z pierwiastk\'ow tego wielomianu:
		$$
		\sigma(a)=\{\lambda \in \F: \alpha_n\lambda ^n+...+\alpha_1 \lambda + \alpha_0=0\}.
		$$
		W przypadku zespolonym powy\.zsze r\'ownanie charakterystyczne ma zawsze rozwi\k{a}zanie (Zasadnicze Twierdzenie Algebry). 
		W przypadku rzeczywistym zdarzy\'c si\k{e}, \.ze widmo $\sigma(a)$ b\k{e}dzie zbiorem pustym. Na przyk\l{}ad dla
		$
		a:=\left(\begin{array}{cc}
		0 & 1 \\
		-1 & 0\\		
		\end{array}\right)
		$
		mamy 
		$
		p_a(\lambda)=\det(a-\lambda 1)= \det\left(\begin{array}{cc}
		-\lambda & 1 \\
		-1 & -\lambda\\		
		\end{array}\right)= \lambda^2 +1,
		$
		sk\k{a}d
		$$
		\sigma(a)=\{\lambda\in \F: \lambda^2 +1=0\}=\begin{cases}
		\emptyset, & \text{ je\'sli }\F=\R,
		\\
		\{i, -i\}, & \text{ je\'sli }\F=\C.
		\end{cases}
		$$
	\end{ex}
	Powy\.zsze rozwa\.zania uzasadniaj\k{a} dlaczego teori\k{e} spektraln\k{a} rozwija si\k{e} w przypadku zespolonym. 
 	Og\'olnie teoria ta czerpie gar\'sciami z teorii funkcji zespolonych i dlatego
	$$
		\text{\emph{od tej pory b\k{e}dziemy 
	zak\l{}ada\'c, \.ze }}
		\F=\C
	!
	$$
		To znaczy b\k{e}dziemy zak\l{}ada\'c, \.ze wszystkie przestrzenie i algebry Banacha s\k{a} rozpatrywane nad cia\l{}em liczb zespolonych.
	

	Poni\.zsze stwierdzenie jest jedn\k{a} z najprostszych wersji twierdzenia o odwozorowaniu spektralnym, kt\'ore m\'owi, \.ze 
	widmo funkcji od operatora jest obrazem widma przy tej funkcji. Czyli m\'owi\k{a}c kr\'otko i obrazowo: 
		``gdzie idzie operator, tam idzie jego widmo''.
		
	\end{proof}
	Jako \.ze  widmo jest niepuste i zwarte, to zawsze istnieje w nim liczba o najwi\k{e}kszym module.
	
	
		\end{proof}
		\begin{rem}
		Zwr\'o\'cmy uwag\k{e}, \.ze widmo elementu $a\in A$ jest zdefiniowane w terminiach algebraicznych - wykorzystuje tylko poj\k{e}cie odwracalno\'sci w $A$ i w spos\'ob jawny nie zale\.zy od normy. 
		W konsekwencji to samo dotyczy definicji promienia spektralnego  $r(a)=\max_{\lambda \in \sigma(a)} |\lambda|$.
		Natomiast wz\'or Beurlinga-Gelfanda-Naimarka na odwr\'ot, nie zale\.zy od struktury algebry $A$ i wyra\.za $r(a)$ jedynie w terminach norm pot\k{e}g elementu $a\in A$. 
		\end{rem}
		Poni\.zsze przyk\l{}ady pokazuj\k{a} m.in., \.ze na og\'o\l{} promie\'n spektralny jest ostro mniejszy od normy operatora.
		\begin{ex}
		Je\'sli element $a\in A$ jest nilpotentny, to znaczy $a^n=0$ dla pewnego $n\in \N$, to $r(a)=0$. Na przyk\l{}ad, je\'sli 
		$A= M_2(\C)$  oraz $
		a:=\left(\begin{array}{cc}
		0 & 1 \\
		0 & 0\\		
		\end{array}\right)
		$, to $\|a\|=1$, ale $r(a)=0$, bo $a^2=0$.
		\end{ex}
		
		\begin{ex}
		Przestrze\'n $A=C^{(1)}[0,1]$ funkcji r\'ozniczkowalnych w spos\'ob ci\k{a}g\l{}y  jest algebr\k{a} Banacha z operacjami zdefiniowanymi punktowo
		i norm\k{a} $\|a\|=\max_{t\in [0,1]}|a(t)|+\max_{t\in [0,1]}|a'(t)|$. 
		Rozwa\.zmy element dany wzorem $a(t):=t$, dla $t\in [0,1]$. Wtedy $a^n(t)=t^n$ i st\k{a}d $\|a^n\|=1+n$ dla $n\in \N$.
		Zatem 
		$$
		r(a)=\lim_{n\to \infty} \|a^n\|^{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to \infty}(1+n)^{\frac{1}{n}}=1 < 2=\|a\|.
		$$
		\end{ex}
		
	%	\textbf{Zale\.zno\'s\'c widma od algebry???}
		
		
	
%\section{$C^*$-algebry}

	
		Dla operator\'ow normalnych promie\'n spektralny i norma zawsze si\k{e} sobie r\'ownaj\k{a}.
		
		\begin{prop}\label{prop:normal_spectral_radius}
	Niech $A=B(H)$, gdzie $H$ przestrze\'n Hilberta. Je\'sli $T\in B(H)$ jest operatorem normalnym (tzn. $T^*T=TT^*$), to 
	$$
	r(T)=\|T\|.
	$$
		\end{prop}
		\begin{proof}
Za\l{}\'o\.zmy najpierw, \.ze $T=T^*$ jest samosprz\k{e}\.zony. Wtedy $T^n=T^{*n}$ dla ka\.zdego $n\in \N$. Korzystaj\k{a}c z $C^*$-r\'owno\'sci,
patrz Stwierdzenie \ref{prop:involution}, mamy %$\|T\|^2=\|T^*T\|=\|T^2\|$ i og\'olnie 
$$\|T^n\|^2=\|T^{*n} T^{n}\|=\|T^{2n}\| \qquad\text{ dla } n\in \N.
$$
St\k{a}d dla dowolnego $n>0$ otrzymujemy
$$
\|T\|^{2^n}=\|T^2\|^{2^{n-1}}=\|T^4\|^{2^{n-2}}=...=\|T^{2^n}\|.
$$
Zatem na mocy wzoru Beurlinga-Gelfanda-Naimarka (Twierdzenie \ref{thm:Gelfand_formula_radius}) mamy
$$
r(T)=\lim_{n\to \infty} \|T^n\|^{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to \infty} \|T^{2^n}\|^{\frac{1}{2^n}}=\lim_{n\to \infty}\|T\|=\|T\|.
$$
Niech teraz $T$ b\k{e}dzie dowolnym operatorem normalnym, tzn. zak\l{}adamy jedynie, \.ze $T$ komutuje ze swoim sprz\k{e}\.zeniem $T^*$. 
Korzystaj\k{a}c z tego, \.ze teza zachodzi dla operator\'ow samosprz\k{e}\.zonych otrzymujemy
\begin{align*}
r(T)^2&=\lim_{n\to \infty} \left(\|T^n\|^2\right)^{\frac{1}{n}} \stackrel{C^*\text{-r\'owno\'s\'c}}{=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=}
\lim_{n\to \infty} \|T^{*n}T^n\|^{\frac{1}{n}} \stackrel{T \text{ normalny}}{=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=}
\lim_{n\to \infty} \|(T^{*}T)^n\|^{\frac{1}{n}}
\\
&=r(T^*T)\stackrel{T^*T \text{ samosprz\k{e}\.zony}}{=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=}\|T^*T\| \stackrel{C^*\text{-r\'owno\'s\'c}}{=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=}\|T\|^2.
\end{align*}
St\k{a}d $r(T)=\|T\|$. 
		\end{proof}
		\begin{cor}
		Dla dowolnego operatora $T\in B(H,K)$ mi\k{e}dzy dwiema przestrzeniami Hilberta $H$ i $K$ mamy 
	$$
	\|T\|=\sqrt{r(T^*T)},
	$$
	gdzie $r(T^*T)$ jest promieniem spektralnym operatora $T^*T\in B(H)$.
		\end{cor}
		\begin{proof}
		Z   $C^*$-r\'owno\'sci,
patrz Stwierdzenie \ref{prop:involution}, mamy $\|T\|^2=\|T^*T\|$. Natomiast skoro $T^*T$ samosprz\k{e}\.zony (a wi\k{e}c i normalny), 
to na mocy Stwierdzenia \ref{prop:normal_spectral_radius} otrzymujemy tez\k{e}. 
\end{proof}
\begin{ex} Rozwa\.zmy operator $T:\C^2\to \C^3$, gdzie $\C^2$ i $\C^3$ s\k{a} przestrzeniami Hilberta ze standardowymi normami, natomiast $T(z_1,z_2)=(z_1+z_2, 2iz_1, 2z_2)$.  Wtedy 
$$
T=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
2i & 0\\
0 & 2
\end{array}\right)\quad \text{ i }\quad 
T^*T=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -2i &0\\
1& 0 & 2
\end{array}\right) 
\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
2i & 0\\
0 & 2
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
5 & 1\\
1 & 5
\end{array}\right).
$$
Wielomian charakterystyczny tej ostatniej macierzy to $p(\lambda)=(5-\lambda)^2-1=\lambda^2-10\lambda + 24$. Pierwiastki tego wielomianu, 
to $\lambda_1=4$ i $\lambda_2=6$. Zatem $\sigma(T^*T)=\{4, 6\}$ i  $r(T^*T)=6$. St\k{a}d 
$$
\|T\|=\sqrt{r(T^*T)}=\sqrt{6}.
$$
\end{ex}
	

