%\documentclass{beamer}
\documentclass[trans]{beamer}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
%\usepackage{beamerbasearticle}
\usepackage{multimedia}
 \usepackage[dvips,usenames]{color}
\usepackage[arrow, matrix, curve]{xy}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[MeX]{polski}
\usepackage{amscd,graphics}
\usepackage{polski}




\DeclareMathOperator{\dashind}{-Ind}
\DeclareMathOperator{\inv}{Inv}
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\DeclareMathOperator{\erg}{Erg}
\DeclareMathOperator{\clsp}{\overline{span}}
\renewcommand{\H}{ E}
\newcommand{\I}{\mathcal I}
\newcommand{\B}{\mathcal B}
\newcommand{\CC}{\mathcal C}
\newcommand{\TT}{\mathcal T}
\newcommand{\M}{\mathcal M}
\newcommand{\Sol}{\mathcal S}
\newcommand{\K}{\mathcal K}
\newcommand{\x}{\widetilde x}
\newcommand{\w}{\widetilde w}
\newcommand{\y}{\widetilde y}
\newcommand{\X}{\widetilde X}
\newcommand{\Y}{\widetilde Y}
\newcommand{\U}{\widetilde U}
\newcommand{\V}{\widetilde V}
\newcommand{\f}{\widetilde f}
\newcommand{\h}{\widetilde h}
\newcommand{\F}{\mathbb F}

\newcommand{\TDelta}{\widetilde \Delta}
\newcommand{\Tdelta}{\widetilde \delta}
\newcommand{\Tomega}{\widetilde \omega}
\newcommand{\Tmu}{\widetilde{\mu}}
\newcommand{\TA}{\widetilde{\mathcal A}}
\renewcommand{\TH}{\widetilde{\mathcal H}}
\newcommand{\tal}{\widetilde \alpha}
\newcommand{\al}{\alpha}
\newcommand{\be}{\beta}
\newcommand{\p}{\varphi}

\renewcommand{\L}{\mathcal L}
\newcommand{\LL}{\mathcal L}
\newcommand{\JJ}{\mathcal J}
\renewcommand{\SS}{\mathcal S}

\newcommand{\DR}{\mathcal DR}

\newcommand{\OO}{\mathcal O}
\newcommand{\FF}{\mathcal F}
\newcommand{\A}{\mathcal A}
\newcommand{\D}{\mathcal D}
\newcommand{\G}{\mathcal G}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\T}{\mathbb T}

\usepackage{amsfonts}
\newcommand{\tickYes}{\checkmark}
\usepackage{pifont}
\newcommand{\tickNo}{\hspace{1pt}\ding{55}}

%\usetheme{Frankfurt}
\usetheme{Warsaw}
%\usecolortheme{seahorse}
\usecolortheme{rose}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 

\definecolor{mylightblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 



\definecolor{myblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 

\definecolor{mylightblue}{rgb}{0.9,0.9,1}
\definecolor{mylightred}{rgb}{1,0.4,0.4} 
\definecolor{mylightblue1}{rgb}{0.8,0.8,0.9}



\title[Wyk\l{}ad 2]{Analiza Funkcjonalna}
\author{Bartosz Kwa\'sniewski}
\institute{Faculty of Mathematics, University of Bia\l{}ystok }


\date{Wyk\l{}ad 2
\\[4pt]
\textbf{Przestrzenie funkcji ci\k{a}g\l{}ych}
\\[8pt]
\scriptsize
math.uwb.edu.pl/$\sim$zaf/kwasniewski/pdf/skrypt.pdf
} %\pause
%\put(-20,-90){\includegraphics[angle=0, scale=0.212]{Heart.jpg}} 



\begin{document}

\frame{\titlepage}


%\frame{
%\begin{center}\Large
%Thermodynamical formalism \\
%and spectral radius
%\end{center} } 
\frame{\frametitle{Przestrzenie funkcji ci\k{a}g\l{}ych} \pause
Niech $\Omega$  b\k{e}dzie ustalon\k{a} przestrzeni\k{a} topologiczn\k{a}. \pause
\\[5pt]
\text{\textbf{Przestrze\'n funkcji ci\k{a}g\l{}ych}  $
C(\Omega):=\{x:\Omega\to \F \text{ funkcja ci\k{a}g\l{}a}\}   \pause
$} o warto\'sciach w ciele $\F=\R,\C$  \pause
wraz z dzia\l{}anami 
$$
\qquad \quad
(x+y)(t):=x(t)+y(t),\qquad  (\lambda x)(t):=\lambda x(t) \quad \pause 
{\footnotesize  \left( \begin{array}{c}  \text{dzia\l{}ania} \\
\text{okre\'slone} 
\\
\text{punktowo!}
\end{array}\right)}
$$
 gdzie $x,y\in C(\Omega)$, $\lambda\in \F$,  \pause
 jest  przestrzeni\k{a} liniow\k{a} nad $\F$. \pause

\begin{block}{}
\textbf{Przestrze\'n funkcji ci\k{a}g\l{}ych i ograniczonych} \pause
$$
C_b(\Omega):=\{x\in C(\Omega):  \sup_{t\in \Omega} |x(t)|<\infty\}
$$
\pause jest podprzestrzeni\k{a} liniow\k{a} przestrzeni $C(\Omega)$, \pause na kt\'orej okre\'slona jest  \textbf{norma supremum} %
$$
\|x\|_{\infty}:=\sup_{t\in \Omega} |x(t)|
$$
\end{block}
}
\frame{
\begin{block}{
\textbf{Fakt.}
Zbie\.zno\'s\'c  w normie  $\|\cdot \|_{\infty}$ $\equiv$  \textbf{zbie\.zno\'s\'c  jednostajna}} \pause 
\\[2pt]
\quad $
x_n\stackrel{\|\cdot\|_{\infty}\,\,}{\longrightarrow} x\,\, \pause   \Longleftrightarrow \,\,  \lim_{n\to \infty} \|x_n-x\|_{\infty}=0
$
\\[5pt]
\qquad  \qquad \,\,\,\,\,\,\,\,   \pause 
$ \Longleftrightarrow \,\,  \lim_{n\to \infty} \sup_{t\in \Omega} |x_n(t)-x(t)|=0$
\\[5pt]
\qquad  \qquad \,\,\,\,\,\,\,\,  \pause 
$ \Longleftrightarrow \,\,\forall_{\varepsilon >0} \, \exists_{N\in \N}\, \forall_{n> N} \,\,\sup_{t\in \Omega} |x_n(t)-x(t)|<\varepsilon$
\\[5pt]
\qquad  \qquad \,\,\,\,\,\,\,\,  \pause 
$\Longleftrightarrow \,\,\forall_{\varepsilon >0} \, \exists_{N\in \N}\, \forall_{n> N} \,\,\forall_{t\in \Omega}\,\, |x_n(t)-x(t)|<\varepsilon $
\\[5pt]
\qquad  \qquad \,\,\,\,\,\,\,\,  \pause 
$\stackrel{def}{\Longleftrightarrow} \,\,
	x_n\rightrightarrows x \,\, 
	$ \pause 
	\\[5pt]
gdzie symbol $\rightrightarrows$ oznacza zbie\.zno\'s\'c jednostajn\k{a}. \pause 
%\begin{align*}
%x_n\stackrel{\|\cdot\|_{\infty}\,\,}{\longrightarrow} x\,\,   &\Longleftrightarrow \,\,  \lim_{n\to \infty} \|x_n-x\|_{\infty}=0
%\\  & \Longleftrightarrow \,\,  \lim_{n\to \infty} \sup_{t\in \Omega} |x_n(t)-x(t)|=0
%\\   & \Longleftrightarrow \,\,\forall_{\varepsilon >0} \, \exists_{N\in \N}\, \forall_{n> N} \,\,\sup_{t\in \Omega} |x_n(t)-x(t)|<\varepsilon
% \\   & \Longleftrightarrow \,\,\forall_{\varepsilon >0} \, \exists_{N\in \N}\, \forall_{n> N} \,\,\forall_{x\in \Omega}\,\, |x_n(t)-x(t)|<\varepsilon 
% \\ &\stackrel{def}{\Longleftrightarrow} \,\,
%	x_n\rightrightarrows x \,\, \small (\text{symbol $\rightrightarrows$ oznacza zbie\.zno\'s\'c jednostajn\k{a}}) 
%\end{align*}
\end{block}
\begin{block}{ }\textbf{Prz.}
Ci\k{a}g $x_n(t)=t^n$ jest zbie\.zny punktowo na $[0,1]$ \pause  do funkcji nieci\k{a}g\l{}ej $x(t)=\begin{cases}
0, & t<1\\
1,  & t=1
\end{cases}$. \pause  Zatem ci\k{a}g $\{x_n\}_{n=1}^\infty \subseteq C(\Omega)$ nie  jest  zbie\.zny w normie $\|\cdot\|_\infty$, \pause  gdy\.z
\\[4pt]
\begin{quote}
	\textbf{ci\k{a}g funkcji ci\k{a}g\l{}ych, je\.zeli jest zbie\.zny jednostajnie, to musi by\'c zbie\.zny do funkcji ci\k{a}g\l{}ej!}
\end{quote}
\end{block}
}

\frame{
\begin{block}{ }
\textbf{Stw.}  $C_b(\Omega)$ z norm\k{a} $\|x\|_{\infty}=\sup\limits_{t\in \Omega} |x(t)|$ jest przestrzeni\k{a} Banacha.
\end{block} \pause 
\textbf{Dow\'od:}
Niech $\{x_n\}_{n=1}^\infty\subseteq C_b(\Omega)$ ci\k{a}g Cauchy. \pause  Dla ka\.zdego $t\in \Omega$ 
$$
|x_n(t)-x_m(t)| \pause  \leq   \sup_{s\in \Omega} |x_n(s)-x_m(s)|\pause  = \|x_n-x_m\|_{\infty} \pause  \stackrel{n,m\to \infty}{\longrightarrow} 0. 
$$ 
\pause  Czyli ci\k{a}g liczbowy $\{x_n(t)\}_{n=1}^\infty$ jest ci\k{a}giem Cauchy w ciele $\F$. \pause  Skoro $\F$  zupe\l{}ne, 
to istnieje $x(t)\in \F$ takie, \.ze $ x_n(t) \to x(t)$ w $\F$. \pause  W ten spos\'ob otrzymujemy
funkcj\k{e} liczbow\k{a} $\Omega\ni t\mapsto x(t)\in \F$, kt\'ora jest "`kandydatem na granic\k{e}"' ci\k{a}gu $\{x_n\}_{n=1}^\infty$. 
\pause
\\
 \begin{picture}(200,130)(0,0)
\put(0,10){\includegraphics[scale=0.55, angle=0]{kandydat.jpeg}}
\end{picture}	 
}
\frame{
\begin{block}{ }
\textbf{Stw.}  $C_b(\Omega)$ z norm\k{a} $\|x\|_{\infty}=\sup\limits_{t\in \Omega} |x(t)|$ jest przestrzeni\k{a} Banacha.
\end{block}
\textbf{Dow\'od:}
Niech $\{x_n\}_{n=1}^\infty\subseteq C_b(\Omega)$ ci\k{a}g Cauchy. Dla ka\.zdego $t\in \Omega$ 
$$
|x_n(t)-x_m(t)|\leq \sup_{s\in \Omega} |x_n(s)-x_m(s)|=\|x_n-x_m\|_{\infty}\stackrel{n,m\to \infty}{\longrightarrow} 0. 
$$ 
Czyli ci\k{a}g liczbowy $\{x_n(t)\}_{n=1}^\infty$ jest ci\k{a}giem Cauchy w ciele $\F$. Skoro $\F$  zupe\l{}ne, 
to istnieje $x(t)\in \F$ takie, \.ze $ x_n(t) \to x(t)$ w $\F$.  W ten spos\'ob otrzymujemy
funkcj\k{e} liczbow\k{a} $\Omega\ni t\mapsto x(t)\in \F$, kt\'ora jest "`kandydatem na granic\k{e}"' ci\k{a}gu $\{x_n\}_{n=1}^\infty$. 
\pause
Dla ka\.zdego $t\in \Omega$ mamy
$$
|x_n(t)-x(t)| \pause =\lim_{m\to\infty}|x_n(t)-x_m(t)| \pause \leq \limsup_{m\to\infty}\|x_n-x_m\|_{\infty}.
$$  \pause
Zatem %St\k{a}d oraz st\k{a}d, \.ze ci\k{a}g $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ jest Cauchy dostajemy
$$
\lim_{n\to \infty}\|x_n-x\|_{\infty} \pause =\lim_{n\to \infty}\sup_{t\in \Omega}|x_n(t)-x(t)| \pause\leq \begin{picture}(0,0)(0,0)
\put(-23,28){\includegraphics[scale=0.065, angle=-52]{arrow.png}}
\end{picture}	 \lim_{n\to \infty} \limsup_{m\to\infty}\|x_n-x_m\|_{\infty}=0.  \pause
\begin{picture}(10,0)(0,0)
\put(-83,20){\footnotesize $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ jest Cauchy}
\put(-28,8){\includegraphics[scale=0.028, angle=-10]{arrow.png}}
%\put(-23,10){\footnotesize $\searrow $}
\end{picture} 
$$ \pause
St\k{a}d $x_n\stackrel{\|\cdot\|_{\infty}\,\,}{\longrightarrow} x$. \pause Granica jednostajna ci\k{a}gu funkcji ci\k{a}g\l{}ych jest ci\k{a}g\l{}a. \pause
Czyli $x\in C(\Omega)$. \pause Co wi\k{e}cej, funkcja $x$ jest ograniczona,\pause  bo $\|x\|_{\infty}\leq \|x- x_n\|_{\infty}+\|x_n\|_{\infty} <\infty$. \pause Czyli $x\in C_b(\Omega)$ 
$\blacksquare$ \pause
\\
$\qquad  $
%i ci\k{a}g $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ jest zbie\.zny w przestrzeni  $C_b(\Omega)$. 
}
\frame{
\qquad 
	\textbf{Funkcja ci\k{a}g\l{}a  na zbiorze zwartym osi\k{a}ga swoje kresy!}
 \pause
\begin{block}{ } \textbf{Wn.}
Je\'sli $\Omega$ zwarta, to $C(\Omega)=C_b(\Omega)$  \pause i  $\|x\|_{\infty}=\max_{t\in \Omega}|x(t)|$\quad   \pause
{\small (funkcja $|x(t)|$ osi\k{a}ga swoje maksimum, w szczeg\'olno\'sci ograniczona)} \pause
 %\textbf{Uwaga:}
%Rzeczywista funkcja ci\k{a}g\l{}a  na zbiorze zwartym osi\k{a}ga swoje kresy  i w szczeg\'olno\'sci jest ograniczona. Zatem 
%Je\'sli $\Omega$ jest przestrzeni\k{a} zwart\k{a}, to $C(\Omega)=C_b(\Omega)$ oraz   $\|x\|_{\infty}=\max_{t\in \Omega}|x(t)|<\infty$  (funkcja $|x(t)|$ osi\k{a}ga swoje maksimum)  oraz .
\end{block}
\begin{block}{ } %\textbf{Def.} 
%Przestrzeni\k{a} funkcji ci\k{a}g\l{}ych \textbf{znikaj\k{a}cych w niesko\'nczono\'sci} nazywamy zbi\'or
%Funkcja $x\in C(\Omega)$ \emph{znika w niesko\'nczono\'sci} je\'sli dla ka\.zdego $\varepsilon > 0$ jej warto\'s\'c bezwzgl\k{e}dna poza zbiorem zwartym jest mniejsza ni\.z $\varepsilon$.
%W szczeg\'olno\'sci, 
% zbi\'or 
\textbf{Przestrze\'n funkcji ci\k{a}g\l{}ych znikaj\k{a}cych w niesko\'nczono\'sci} \pause
\\[4pt]
$
C_0(\Omega):=\Big\{x\in C(\Omega):  \forall_{\varepsilon > 0 } \,\, \{t\in \Omega: |x(t)| \geq \varepsilon\} \text{ zbi\'or zwarty} \Big\}
$ \pause
%  nazywamy .
\end{block}
%\begin{block}{ } \textbf{Uwaga:}
Je\'sli $\Omega$ przestrze\'n zwarta, to  \pause %ka\.zda funkcja ci\k{a}g\l{}a znika w niesko\'nczono\'sci, bo ka\.zdy domkni\k{e}ty podzbi\'or przestrzeni zwartej jest zbiorem zwartym.
%Zatem  
$C_0(\Omega)=C(\Omega)=C_b(\Omega)$. \pause
%\end{block}
\begin{block}{ } \begin{picture}(0,0)(0,0)
\put(60,-111){\includegraphics[scale=0.29]{eksponent(blue).png}}
\end{picture}\textbf{Prz.}
Funkcja $x(t)=e^{-t^2}$ \pause nie znika  
\\
 w \.zadnym punkcie $\Omega=\R$. \pause
\\
%\begin{picture}(0,0)(0,0)
%\put(60,-97){\includegraphics[scale=0.24]{eksponent(blue).png}}
%\end{picture}	
Ale znika w niesko\'nczono\'sci! 
$$
\qquad
$$
$$
\qquad
$$
$$
\qquad
$$
$$
\qquad
$$
$$
\qquad
$$
\end{block}
}

\frame{\begin{block}{}
\textbf{Stw.} $C_0(\Omega)$ jest domkni\k{e}t\k{a} podprzestrzeni\k{a}  przestrzeni Banacha $(C_b(\Omega), \|\cdot\|_{\infty})$.  \pause Zatem 
$(C_0(\Omega), \|\cdot\|_{\infty})$ jest przestrzeni\k{a} Banacha. \pause
\end{block}
\textbf{Dow\'od:} 
Niech $x,y\in C_0(\Omega)$ i $\varepsilon >0$.  \pause Zauwa\.zmy, \.ze 
$$\underbrace{\{t:|x(t)+y(t)|\geq \varepsilon\}}_{\text{domkni\k{e}ty}} \pause
\subseteq \underbrace{\{t:|x(t)|\geq \varepsilon/2\}\cup  
\{t:|y(t)|\geq \varepsilon/2\} \pause}_{   \text{zbi\'or zwarty, jako suma dw\'och zwartych}}.
$$ \pause
Zatem %zbi\'or 
$\{t:|x(t)+y(t)|\geq \varepsilon\}$
% jest 
zwarty, \pause jako domkni\k{e}ty podzbi\'or zbioru zwartego. \pause
Czyli $x+y\in C_0(\Omega)$. \pause Dla $\lambda\in \F$ zbi\'or $\{t:|\lambda x(t)|\geq \varepsilon\}= \{t:| x(t)|\geq \frac{\varepsilon}{|\lambda|}\}$  zwarty, 
% bo $x\in C_0(\Omega)$.% znika w niesko\'nczono\'sci. 
%Zatem 
wi\k{e}c $\lambda x\in C_0(\Omega)$. \pause Ponadto, %skoro  zbi\'or $\{t:|x(t)|\geq \varepsilon\}$ jest zwarty dla ka\.zdego $\varepsilon>0$, to 
$\|x\|_{\infty}=\max_{t\in \Omega} |x(t)|<\infty$, \pause bo $|x(t)|$ ci\k{a}g\l{}a na zbiorze zwartym $\{t:|x(t)|\geq \varepsilon\}$. \pause %  osi\k{a}ga swoje kresy.
Zatem $C_0(\Omega)\subseteq C_b(\Omega)$  podprzestrze\'n. \pause
\\ [4pt]
\emph{"`Domkni\k{e}to\'s\'c"':}  \pause Niech $\{x_n\}_{n=1}^\infty\subseteq C_0(\Omega)$  ci\k{a}g  
zbie\.zny do pewnego $x\in C_{b}(\Omega)$. \pause  Dla  du\.zych $n\in \N$ mamy 
$\|x_n-x\|_{\infty}<\frac{\varepsilon}{2}$ \pause i wtedy
$$
\{t:|x(t)|\geq \varepsilon \}\subseteq \{t:|x_n(t)|\geq \varepsilon/2 \}.
$$  \pause
St\k{a}d $\{t:|x(t)|\geq \varepsilon \}$ zwarty, jako domkni\k{e}ty podzbi\'or zbioru zwartego. \pause
Zatem $x\in C_0(\Omega)$.
$\blacksquare$
$$
\qquad
$$
}
\frame{
\begin{quote}
	\textbf{Na przestrzeni dyskretnej  \pause wszystkie funkcje s\k{a} ci\k{a}g\l{}e!} \pause
	\textbf{Ci\k{a}gi to \pause funkcje na zbiorze $\N$!} \pause
\end{quote}
\begin{block}{} \textbf{Wn.}
Je\'sli $\Omega=\N$ jest przestrzeni\k{a} dyskretn\k{a},  \pause to $C_b(\Omega)$ mo\.zna uto\.zsami\'c z \textbf{przestrzeni\k{a} ci\k{a}g\'ow ograniczonych}: \pause
%. Czyli z przestrzeni\k{a} Banacha
$$
\ell^\infty:=\{x=(x(1),x(2), ...): \sup_{k\in \N} |x(k)|<\infty\}
$$ \pause
wyposa\.zon\k{a} w norm\k{e} $\|x\|_{\infty}:=\sup_{k\in \N} |x(k)|$.  \pause
Natomiast %przestrze\'n 
$C_0(\Omega)$ mo\.zna uto\.zsami\'c z \textbf{przestrzeni\k{a} ci\k{a}g\'ow zbie\.znych do zera}:  \pause
$$
c_0:=\{x=(x(1),x(2), ...): \lim_{k\to \infty} x(k)=0\}.
$$ 
\end{block} \pause
%Rzeczywi\'scie,
\textbf{Dow\'od}: Znikanie w niesko\'nczono\'sci funkcji $x:\N\to \F$  \pause jest r\'ownowa\.zne temu, \.ze ci\k{a}g $\{x(k)\}_{k=1}^\infty$ zbiega do zera: \pause
\\[9pt]
\quad \,\,$
x\in C_0(\N)$  \pause$\Longleftrightarrow   \forall_{\varepsilon >0}\,\,\{k\in \N: |x(k)|\geq \varepsilon\} \text{ zwarty}$ \pause$\text{=  sko\'nczony}$
\begin{picture}(0,8)(-15,2) \pause
\put(-63,25){\scriptsize  w przestrzeni}
\put(-58,18){\scriptsize dyskretnej}
\put(-70,19.5){\includegraphics[scale=0.029, angle=-85]{arrow.png}}
\end{picture}
\\[9pt] \pause
$
\qquad \qquad  \qquad   \Longleftrightarrow \forall_{\varepsilon >0} \exists_{N\in \N} \forall_{k>N}  |x(k)| < \varepsilon$   \pause $\Longleftrightarrow x \in c_0.
$
$$
\qquad
$$
%\end{block}
}
\frame{
W kontek\'scie przestrzenii ci\k{a}g\'ow cz\k{e}sto rozwa\.za si\k{e} r\'ownie\.z \textbf{przestrze\'n ci\k{a}g\'ow zbie\.znych}: \pause
$$
c:=\{x=(x(1),x(2), ...): \exists_{x(\infty)\in \F} \lim_{k\to \infty} x(k)=x(\infty)\}.
$$ \pause
Jako \.ze ci\k{a}gi zbie\.zne s\k{a} ograniczone \pause oraz granica zachowuje kombinacje liniowe, \pause 
$c$ jest podprzestrzeni\k{a} liniow\k{a} $\ell^\infty$. \pause Ponadto $c$ jest domkni\k{e}ta w $\ell^\infty$ (aby to wykaza\'c, 
 trzeba pokaza\'c, \.ze "`\emph{ci\k{a}g zbie\.zny ci\k{a}g\'ow zbie\.znych jest zbie\.zny do ci\k{a}gu zbie\.znego}"'). \pause \begin{picture}(0,0)(0,0)
\put(6,-12){\includegraphics[scale=0.09]{house.png}} \pause
\end{picture}
%Zatem $c$ przestrzeni\k{a} Banacha z norm\k{a} $\|x\|_{\infty}:=\sup_{k\in \N} |x(k)|$. 
\begin{block}{}
Reasumuj\k{a}c mamy nast\k{e}puj\k{a}ce  przestrzenie Banacha 
$$
c_0\subseteq c\subseteq \ell^{\infty}
$$
z  norm\k{a} $\|x\|_{\infty}:=\sup_{k\in \N} |x(k)|$.  \pause
\end{block}
 \begin{picture}(0,52)(0,0)
\put(193,-30){\includegraphics[scale=0.43, angle=0]{Banach2.png}}
\end{picture}	
}


\frame{\textbf{No\'snikiem funkcji} $x:\Omega\to \F$ nazywamy zbi\'or domkni\k{e}ty \pause
$$
 \supp(x):=\overline{\{t\in \Omega: x(t)\neq 0\}}.
$$ \pause
\textbf{Prz.} $\Omega=(0,+\infty)$ oraz $x(t)=\sin(1/t)$  $\Longrightarrow$ $\supp(x)=\Omega$   \pause
\begin{block}{}
\textbf{Lem. Przestrze\'n funkcji ci\k{a}g\l{}ych o zwartych no\'snikach} \pause
$$
C_c(\Omega):=\{x\in C(\Omega):  \supp(x) \text{ jest zbiorem zwartym} \}
$$ \pause
jest podprzestrzeni\k{a} liniow\k{a} przestrzeni Banacha $C_0(\Omega)$.
\end{block} \pause
\textbf{Dow\'od:} $C_c(\Omega)\subseteq C_0(\Omega)$, \pause gdy\.z $\{t\in \Omega: |x(t)| \geq \varepsilon\}\subseteq \supp(x)$ \pause
oraz domkni\k{e}ty podzbi\'or zbioru zwartego jest zwarty. \pause
Ponadto $\supp(\lambda x)=\supp(x)$ dla $\lambda\neq 0$ \pause oraz
$$
\supp(x+y)\subseteq \supp(x)\cup \supp(y),
$$ \pause
sk\k{a}d  $C_c(\Omega)$ jest przestrzeni\k{a} liniow\k{a}. $\blacksquare$
\\  
}
\frame{
\begin{block}{} 
\textbf{Def.} $\Omega$ jest  \textbf{lokalnie zwarta},  \pause je\.zeli \.ze ka\.zdy punkt $\Omega$ posiada otwarte otoczenie, kt\'orego domkni\k{e}cie jest zbiorem zwartym. \pause
\\
$\Omega$ jest \textbf{przestrzeni\k{a} Hausdorffa}, \pause je\.zeli \.ze ka\.zde dwa r\'o\.zne punkty w $\Omega$ posiadaj\k{a} roz\l{}\k{a}czne otoczenia otwarte. 
\end{block} \pause
Ka\.zdy domkni\k{e}ty lub otwarty podzbi\'or $\R^n$ %(lub og\'olniej ka\.zda rozmaito\'s\'c topologiczna) 
jest lokalnie zwart\k{a} przestrzeni\k{a} Hausdorffa. \pause
\begin{block}{} \pause
\textbf{Tw.} Je\'sli $\Omega$ jest lokalnie zwart\k{a} przestrzeni\k{a} Hausdorffa,  \pause to $
C_c(\Omega) 
$ 
jest g\k{e}st\k{a} podprzestrzeni\k{a} liniow\k{a} przestrzeni Banacha $C_0(\Omega)$. \pause Czyli $C_0(\Omega)$ jest uzupe\l{}nieniem $C_c(\Omega)$ w normie supremum. 
\end{block}  \pause
\begin{block}{} 
\textbf{Prz.} Dla przestrzeni dyskretnej $\Omega=\N$ \pause przestrze\'n funkcji $C_c(\Omega)$ mo\.zemy uto\.zsami\'c z  \textbf{przestrzeni\k{a} ci\k{a}g\'ow sko\'nczonych}: \pause
$$
c_{00}=\{ x=(x(1),x(2),...,x(N),0,0,...):  N\in \N, x(k)\in \F\}.
$$  \pause
%formalnie jest to przestrze\'n ci\k{a}g\'ow ze sko\'nczon\k{a} ilo\'sci\k{a} wyraz\'ow niezerowych.
W szczeg\'olno\'sci, $c_{00}$ jest g\k{e}st\k{a} podprzestrzeni\k{a} przestrzeni $c_0$. %ci\k{a}g\'ow zbie\.znych do zera.
\end{block}
}
\end{document}

\begin{block}{Lemat Urysohna, patrz np. Rudin}
Za\l{}\'o\.zmy, \.ze $\Omega$ jest lokalnie zwart\k{a} przestrzeni\k{a} Hausdorffa. Dla dowolnego podzbioru zwartego  $K$ zbioru otwartego $U\subseteq \Omega$ istnieje funkcja ci\k{a}g\l{}a $h:\Omega\to [0,1]$ o zwartym no\'sniku zawartym w $U$ i przyjmuj\k{a}ca warto\'s\'c $1$ na zbiorze $K$.
\end{block}
\begin{picture}(200,85)(-6,-23)
\put(1,-10){\includegraphics[scale=0.397]{bump2.png}}
\end{picture}	
\begin{block}{} 
