%\documentclass{beamer}
\documentclass[trans]{beamer}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
%\usepackage{beamerbasearticle}
\usepackage{multimedia}
 \usepackage[dvips,usenames]{color}
\usepackage[arrow, matrix, curve]{xy}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[MeX]{polski}
\usepackage{amscd,graphics}
\usepackage{polski}
\usepackage{tikz}
\tikzset{rndblock/.style={rounded corners,rectangle,draw,outer sep=0pt}}
\newcommand{\tframed}[2][]{\tikz[baseline=(h.base)]\node[rndblock,#1] (h) {#2};}



\DeclareMathOperator{\dashind}{-Ind}
\DeclareMathOperator{\inv}{Inv}
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\DeclareMathOperator{\erg}{Erg}
\DeclareMathOperator{\clsp}{\overline{span}}
\renewcommand{\H}{ E}
\newcommand{\I}{\mathcal I}
\newcommand{\B}{\mathcal B}
\newcommand{\CC}{\mathcal C}
\newcommand{\TT}{\mathcal T}
\newcommand{\M}{\mathcal M}
\newcommand{\Sol}{\mathcal S}
\newcommand{\K}{\mathcal K}
\newcommand{\x}{\widetilde x}
\newcommand{\w}{\widetilde w}
\newcommand{\y}{\widetilde y}
\newcommand{\X}{\widetilde X}
\newcommand{\Y}{\widetilde Y}
\newcommand{\U}{\widetilde U}
\newcommand{\V}{\widetilde V}
\newcommand{\f}{\widetilde f}
\newcommand{\h}{\widetilde h}
\newcommand{\F}{\mathbb F}

\newcommand{\TDelta}{\widetilde \Delta}
\newcommand{\Tdelta}{\widetilde \delta}
\newcommand{\Tomega}{\widetilde \omega}
\newcommand{\Tmu}{\widetilde{\mu}}
\newcommand{\TA}{\widetilde{\mathcal A}}
\renewcommand{\TH}{\widetilde{\mathcal H}}
\newcommand{\tal}{\widetilde \alpha}
\newcommand{\al}{\alpha}
\newcommand{\be}{\beta}
\newcommand{\p}{\varphi}

\renewcommand{\L}{\mathcal L}
\newcommand{\LL}{\mathcal L}
\newcommand{\JJ}{\mathcal J}
\renewcommand{\SS}{\mathcal S}

\newcommand{\DR}{\mathcal DR}

\newcommand{\OO}{\mathcal O}
\newcommand{\FF}{\mathcal F}
\newcommand{\A}{\mathcal A}
\newcommand{\D}{\mathcal D}
\newcommand{\G}{\mathcal G}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\T}{\mathbb T}

\usepackage{amsfonts}
\newcommand{\tickYes}{\checkmark}
\usepackage{pifont}
\newcommand{\tickNo}{\hspace{1pt}\ding{55}}

%\usetheme{Frankfurt}
\usetheme{Warsaw}
%\usecolortheme{seahorse}
\usecolortheme{rose}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 

\definecolor{mylightblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 



\definecolor{myblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 

\definecolor{mylightblue}{rgb}{0.9,0.9,1}
\definecolor{mylightred}{rgb}{1,0.4,0.4} 
\definecolor{mylightblue1}{rgb}{0.8,0.8,0.9}



\title[Wyk\l{}ad 3]{Analiza Funkcjonalna  }
\author{Bartosz Kwa\'sniewski}
\institute{Faculty of Mathematics, University of Bia\l{}ystok }


\date{Wyk\l{}ad 3
\\[4pt]
\textbf{Przestrzenie $L^p$ dla $p\in [1,\infty)$}
\\[8pt]
\scriptsize
math.uwb.edu.pl/$\sim$zaf/kwasniewski/pdf/skrypt.pdf
} %\pause
%\put(-20,-90){\includegraphics[angle=0, scale=0.212]{Heart.jpg}} 



\begin{document}

\frame{\titlepage}


%\frame{
%\begin{center}\Large
%Thermodynamical formalism \\
%and spectral radius
%\end{center} } 
\frame{\frametitle{Przestrzenie $L^p$ dla $p\in [1,\infty)$} \pause
Niech $(\Omega,\Sigma, \mu)$ b\k{e}dzie ustalon\k{a} przestrzeni\k{a} z miar\k{a}. \pause
\begin{block}{}
\textbf{\large Przestrze\'n funkcji ca\l{}kowalnych w $p$-tej pot\k{e}dze}: \pause
  $$
L^p(\mu):=\{x:\Omega\to \F \text{ mierzalna}: \int_{\Omega} |x(t)|^p\, d\mu <\infty\}   \pause
$$ o warto\'sciach w ciele $\F=\R,\C$  \pause
wraz z dzia\l{}aniami 
\\
$
 \quad
(x+y)(t):=x(t)+y(t),\qquad  (\lambda x)(t):=\lambda x(t) \quad 
{\footnotesize  \left(\begin{array}{c}  \text{dzia\l{}ania} \\
\text{okre\'slone} 
\\
\text{punktowo!}
\end{array}\right)}
$ 
 gdzie $x,y\in L^p(\mu)$, $\lambda\in \F$,  \pause
 jest  przestrzeni\k{a} liniow\k{a} nad $\F$. \pause
\end{block}
Na przestrzeni  $L^p(\mu)$ okre\'slona jest tzw. \textbf{$p$-ta norma} 
\\[4pt]
\qquad \qquad \qquad \qquad  \quad {\large $
\|x\|_{p}:=\left(\int\limits_\Omega |x(t)|^p\, d\mu\right)^{\frac{1}{p}}
$}
\pause
\begin{block}{}
\textbf{Uwaga:} $\|x\|_{p}=0$ $\Longleftrightarrow$ \pause $ \mu(\{t\in \Omega: x(t)\neq 0\})=0$ \pause  $\stackrel{def}{\Longleftrightarrow}$ $x\stackrel{\mu\text{-pw}}{=}0$
\end{block}
$$
\qquad
$$
\stackrel{def}{\Longleftrightarrow}\,\,
}
\frame{
\begin{block}{\textbf{Twierdzenie (Nier\'owno\'s\'c H\"oldera)} 	}\begin{picture}(0,0)(0,0) 
\put(231,-82){\includegraphics[scale=0.55]{holder2.jpg}}
\put(262,-82){\tframed[line width=1bp,fill=white!60]{H\"older}}
\end{picture}\pause%
Dla $1<p,q <\infty$ takich, \.ze $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$  \pause oraz  $x\in L^p(\mu)$ i $y\in L^q(\mu)$  \pause 
\\[7pt]
\qquad \qquad   \qquad  \qquad$
\|x\cdot y\|_1 \leq \|x\|_{p} \cdot \|y\|_q,
$ \pause
\\[7pt]
czyli 
\\
\qquad \qquad  $
\int\limits_{\Omega} |x y| \, d\mu \leq \left(\int\limits_{\Omega} |x|^p \, d\mu \right)^{\frac{1}{p}}\left(\int\limits_{\Omega} |y|^q \, d\mu \right)^{\frac{1}{q}}
$ \pause
\\[8pt]
R\'owno\'s\'c zachodzi\,\, \pause $\Longleftrightarrow$\,\,  $|x|^p$ i $|y|^q$ s\k{a} liniowo zale\.zne $\mu\text{-pw}$\pause
\\[2pt]  \small (tzn.
istniej\k{a}  $\alpha,\beta\in \F$, $(\alpha,\beta)\neq (0,0)$, \pause takie, \.ze $\alpha |x|^p\stackrel{}{=} \beta|y|^q$ $\mu\text{-pw}$)
\end{block} \pause
\textbf{Dow\'od:}  \pause
Je\'sli $ \|x\|_{p}=0$,  to \pause $x=0$ $\mu\text{-pw}$, \pause sk\k{a}d $x\cdot y= 0$ $\mu\text{-pw}$ i
teza zachodzi trywialnie. \pause
 Podobnie, gdy $\|y\|_{q}=0$.  \pause Za\l{}\'o\.zmy zatem, \.ze $\|x\|_p\neq 0$ i $\|y\|_q\neq 0$.  \pause
Zastosujemy  \begin{picture}(0,0)(0,0) 
\put(60,-75){\includegraphics[scale=0.33, angle=-17]{young2.jpg}}
\put(129,-64){\tframed[line width=1bp,fill=white!60]{Young}}
\end{picture}\textbf{nier\'owno\'s\'c Younga}, \pause
\\ kt\'ora m\'owi, \.ze dla dowolnych liczb $a,b>0$ mamy
$$\Large 
\quad a\cdot b\leq \frac{1}{p}a^p+\frac{1}{q}b^q,% \begin{picture}(0,0)(0,0) 
%\put(48,-39){\includegraphics[scale=0.31]{young2.jpg}}
%\end{picture}
$$ \pause
a kt\'ora wynika  z w\l{}asno\'sci logarytmu: \pause \begin{picture}(0,0)(0,0) 
\put(90,63){\includegraphics[scale=0.31]{logarytm(chmurka).png}}
\end{picture}
$$
\qquad
$$
}
\frame{

\begin{minipage}{5.3cm}$
\ln (ab)=\pause \ln a +\ln b $\pause
\\
\begin{picture}(28,0)\end{picture} $ =\frac{1}{p}\ln a^p + \frac{1}{q}\ln b^q 
$\pause
\\
\begin{picture}(26,0)\end{picture}  $\leq\ln \left(\frac{1}{p}a^p + \frac{1}{q} b^q\right),\qquad 
$ \pause
nier\'owno\'s\'c wynika z  \textbf{wkl\k{e}s\l{}o\'sci logarytmu}. 
\begin{picture}(0,0) 
\put(100,-37){\includegraphics[scale=0.33]{logarytm2.png}}
\end{picture}	\pause
 Zdejmuj\k{a}c $ln$ otrzymujemy \textbf{nier\'owno\'s\'c Younga}. 
\pause R\'owno\'s\'c  zachodzi 
$\Longleftrightarrow$ \pause  $a^p=b^q$
\end{minipage}
\begin{picture}(30,68)(-8,28) 
%\put(-8,-29){\includegraphics[scale=0.34]{logarytm2.png}}
\end{picture}	
\\[8pt]
\pause 
		
Podstawiaj\k{a}c $a=\frac{|x(t)|}{\|x\|_{p}}$ i $b=\frac{|y(t)|}{\|y\|_{q}}$  \pause  otrzymujemy 
$$
\frac{|x(t)y(t)|}{\|x\|_{p}\|y\|_{q}}\leq \frac{1}{p}\cdot \frac{|x(t)|^p}{\|x\|_{p}^p}+\frac{1}{q}\cdot \frac{|y(t)|^q}{\|y\|_{q}^q}, \qquad \text{ dla ka\.zdego }t\in \Omega.
$$ \pause 
Ca\l{}kuj\k{a}c powy\.zsz\k{a} nier\'owno\'s\'c obustronnie mamy \pause 
$$
\frac{\int_{\Omega} |x(t)y(t)|\,d\mu}{\|x\|_{p}\|y\|_{q}} \leq \frac{1}{p}\cdot \frac{\int_{\Omega} |x(t)|^p\,d\mu}{\|x\|_{p}^p} +
\frac{1}{q}\cdot \frac{\int_{\Omega}  |y(t)|^q\,d\mu}{\|y\|_{q}^q} \pause  =\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\pause =1.
$$ \pause 
Dziel\k{a}c przez $\|x\|_{p}\|y\|_{q}$  \pause  dostajemy   $\|x\cdot y\|_1 \leq \|x\|_{p} \cdot \|y\|_q$. \pause 
\\[2pt]
 Przy czym, $\|x\cdot y\|_1 =\|x\|_{p} \cdot\|y\|_q$ \pause  $\Longleftrightarrow$ $\frac{|x(t)|^p}{\|x\|_{p}^p}=\frac{|y(t)|^q}{\|y\|_{q}^q}$ $\mu\text{-pw}$.
$$
\qquad
$$
}
\frame{   $\|x\cdot y\|_1 =\|x\|_{p} \cdot \|y\|_q\,\, \Longleftrightarrow \,\, \|y\|_{q}^q \cdot  |x|^p= \|x\|_{p}^p \cdot  |y|^q\,\, \mu\text{-pw} 
$ \pause 
\\[5pt]
\qquad \qquad \qquad \quad \quad \quad \,\,\,\,\,$
\,\, \Longleftrightarrow \,\, \text{$|x|^p$ i $|y|^q$ s\k{a} liniowo zale\.zne $\mu\text{-pw}$} \pause 
$
%Zatem $\|x\cdot y\|_1 =\|x\|_{p} \cdot \|y\|_q$ $\Longrightarrow$
%implikuje, \.ze 
%$\|y\|_q^q\cdot |x|^p = \|x\|_p^p  \cdot |y|^q$ $\mu\text{-pw}$,  i w szczeg\'olno\'sci 
%$|x|^p$ i $|y|^{q}$ %s\k{a}  liniowo zale\.zne $\mu\text{-pw}$
%\\
%[4pt]
%Na odwr\'ot, 
\quad 
\\[5pt]
 %$\left|\begin{array}{c}
"`$\Leftarrow$"' \pause  Je\'sli $\alpha |x|^p= \beta|y|^q$ $\mu\text{-pw}$, \pause to ca\l{}kuj\k{a}c
$\alpha \|x\|_{p}^p= \beta \|y\|_q^q$, \pause 
\\
sk\k{a}d je\'sli $(\alpha,\beta)\neq (0,0)$, \pause  to $\|y\|_{q}^q \cdot  |x|^p= \|x\|_{p}^p \cdot  |y|^q\,\, \mu\text{-pw}$.
\qquad \pause
$\blacksquare$ \pause

\begin{block}{\textbf{Twierdzenie (Nier\'owno\'s\'c Minkowskiego)}}
\begin{picture}(0,0)(0,0) 
\put(250,-44.5){\includegraphics[scale=0.186]{Minkowski.jpg}}
\put(254,-53){\tframed[line width=1bp,fill=white!60]{Minkowski}}
\end{picture}\pause%
Dla dowolnego $p\geq 1$ oraz  $x,y\in L^p(\mu)$ 
$$
\|x+y\|_{p}\leq \|x\|_{p} + \|y\|_{p}. %\left(\int_{\Omega} |x + y|^p d\mu)^{\frac{1}{p}} \leq \left(\int_{\Omega} |x|^p d\mu\right)^{\frac{1}{p}} + \left(\int_{\Omega} |y|^p d\mu\right)^{\frac{1}{p}} .
$$ 
\end{block} \pause
\textbf{Dow\'od:}  \pause Dla $p=1$ dow\'od jest \l{}atwy: \pause
\\[8pt]
$
\|x+y\|_1=\pause \int\limits_{\Omega} |x +y|\, d\mu \pause \stackrel{\text{N.Tr\'ojk\k{a}ta}}{\leq}  \int\limits_{\Omega} |x| +|y|\, d\mu \pause =\int\limits_{\Omega} |x|\, d\mu +  \int\limits_{\Omega} |y|\, d\mu
$ \pause
$$
  \quad= \|x\|_1+\|y\|_1.
$$ \pause
Za\l{}\'o\.zmy, \.ze $p>1$. \pause Niech $q:=p/(p-1)$. Wtedy $1/p+{1}/{q}=1$.\pause 
\\[2pt]
 Mo\.zemy zatem zastosowa\'c nier\'owno\'s\'c H\"oldera! 
}
\frame{%oraz $q(p-1)=p$. St\k{a}d
$
\|x+y\|_p^p =\pause  \int_{\Omega}  |x +y|^{p} \, d\mu= \pause  \int_{\Omega} |x +y|\cdot |x +y|^{p-1} \, d\mu
$
\\[6pt] \pause 
\qquad\,\, $
\stackrel{\text{N.Tr\'ojk\k{a}ta}}{\leq} 
\int_{\Omega} |x|\cdot |x +y|^{p-1} \, d\mu +  \int_{\Omega} |y|\cdot |x +y|^{p-1} \, d\mu$
\\[6pt] \pause 
\qquad\, $\stackrel{\text{N.H\"oldera x2}}{\leq} \|x\|_p\cdot \left(\int_{\Omega} |x+y|^{q(p-1)} d\mu\right)^{\frac{1}{q}}$ 
%\pause \begin{picture}(0,0)(0,0) 
%\put(0,-7){\includegraphics[scale=0.2]{Holder2.jpg}} 
%\end{picture}
\\[6pt] \pause 
\qquad\qquad\qquad  + $ \|y\|_p\cdot \left(\int_{\Omega} |x+y|^{q(p-1)} d\mu\right)^{\frac{1}{q}}$ \pause   \begin{picture}(0,0)(0,0)  
 \put(0,17){\includegraphics[scale=0.2]{Holder2.jpg}}  \pause \put(0,-12){\includegraphics[scale=0.2]{Holder2.jpg}}
\end{picture}
\\[6pt] \pause 
\qquad\,\, $\stackrel{ q(p-1)=p}{=}\,\,  \pause  \|x\|_p\cdot \|x+y\|_{p}^{p/q} + \|y\|_p\cdot \|x+y\|_{p}^{p/q}$
\\[6pt] \pause 
\qquad\qquad $ = \left( \|x\|_p+\|y\|_p\right)\cdot \|x+y\|_{p}^{p/q}.
$ \pause
\\[6pt]
Dziel\k{a}c obie strony przez  $\|x+y\|_{p}^{p/q}$ i % korzystaj\k{a}c 
st\k{a}d, \.ze $p-p/q=1$ mamy \pause
\\[4pt]
%otrzymujemy \.z\k{a}dan\k{a} nier\'owno\'s\'c. 
\qquad \qquad \qquad $
\|x+y\|_{p}=\frac{\|x+y\|_{p}^p}{\|x+y\|_{p}^{p/q}}\pause \leq \|x\|_{p} + \|y\|_{p}.
$
\quad  $\blacksquare$
 \pause
\begin{block}{\textbf{Konwencja:}} \pause
 \textbf{W przestrzeni $L^p(\mu)$ uto\.zsamiamy funkcje r\'owne  $\mu\text{-pw}$} \pause
(formalnie elementami $L^p(\mu)$ s\k{a} klasy abstrakcji relacji $y\stackrel{\mu\text{-pw}}{=}x$) \pause
Wtedy $(L^p(\mu), \|\cdot\|_p)$ jest przestrzeni\k{a} unormowan\k{a}!
\end{block}
}

\frame{
\begin{block}{}
\textbf{Tw.}
 $L^p(\mu)$ jest przestrzeni\k{a} Banacha dla ka\.zdego $p\in [1,\infty)$.  \pause 
\end{block}
\textbf{Dow\'od:} \pause  %Potrzebujemy pokaza\'c, \.ze $L^p(\mu)$ jes przestrzeni\k{a} zupe\l{}n\k{a}.
Niech $\{x_n\}_{n=1}^\infty\subseteq L^p(\mu)$ ci\k{a}g Cauchy.  \pause  Je\.zeli 
ci\k{a}g Cauchy posiada podci\k{a}g zbie\.zny, to \pause  jest zbie\.zny. \pause  Zatem przechodz\k{a}c 
do podci\k{a}gu mo\.zemy za\l{}o\.zy\'c, \.ze  \pause 
$
\|x_n-x_m\|_p\leq (1/4)^{n}$ dla $m\geq n$. \begin{picture}(0,0)(0,0)
\put(5,0){\includegraphics[scale=0.09]{house.png}}
\end{picture} \pause 
Po\l{}\'o\.zmy
$
A_n:=\{t\in \Omega: |x_n(t)-x_{n+1}(t)|\geq  (1/2)^{n}\}$ \pause 
oraz
$$  A:=\bigcap_{N=1}^\infty \bigcup_{n=N}^\infty A_n=\{t\in \Omega:\forall_{N}\exists_{n> N}\, |x_n(t)-x_{n+1}(t)|\geq  (1/2)^{n}\}. 
$$\pause  
%Zauwa\.zmy, \.ze $A=\{t\in \Omega: \forall_{n}\,\exists{m \geq n}\, |x_{m(t)-x_{m+1}$ 
Wtedy 
\\[6pt]
$
(1/2)^{np}\mu(A_n) \leq  \int_{A_n} \underbrace{|x_n-x_{n+1}|^p}_{\geq  (1/2)^{np}}\, d\mu \pause   \leq\|x_n-x_{n+1}\|_p^p \pause  \leq (1/4)^{np}
,
$ \pause  sk\k{a}d
$\mu(A_n)\leq (1/2)^{np}$. \pause   Zatem
$$
\mu(A) \pause  \leq \mu (\bigcup_{n=N}^\infty A_n) \pause  \leq \sum_{N=n}^\infty  \mu ( A_n) \pause  \leq %\underbrace{
\sum_{n=N}^\infty (1/2)^{np} \pause  %}_{\text{ogon szeregu zbie\.znego}}
\longrightarrow 0,\quad \text{ przy }N\to \infty.  
$$ \pause  
Czyli $\mu(A)=0$. \pause   Zauwa\.zmy dalej, \.ze
}
\frame{ 
$$
t\in \Omega\setminus A  \pause   %\Longleftrightarrow t\not\in \bigcap\limits_{N=1}^\infty \bigcup\limits_{n=N}^\infty A_n  \pause  
\Longleftrightarrow  \exists\limits_{N}\, \forall\limits_{n\geq N} \, |x_{n}(t)-x_{n+1}(t)|<(1/2)^{n} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 
\pause  
$$
%\\[6pt]
$
\,\,\qquad\quad \,\,\Longleftrightarrow  \exists_{N}\, \forall_{m \geq n \geq N} \, |x_{n}(t)-x_{m}(t)|\pause   <  \sum\limits_{k=n}^m (1/2)^{k}  \pause  \stackrel{n,m\to \infty}{\longrightarrow} 0.
$ 
\\[6pt]\pause  
Zatem  dla $t\in \Omega\setminus A$ ci\k{a}g liczbowy $\{x_n(t)\}_{n=1}^\infty$  jest Cauchy, \pause a wi\k{e}c jest zbie\.zny. \pause Po\l{}\'o\.zmy $
x(t):=\lim_{n\to \infty} x_n(t)$,  gdy $t\in \Omega\setminus A$,  \pause oraz $x(t)=0$,  gdy $t\in A$. \pause
Sprawdzamy zbie\.zno\'s\'c w normie:
$$
\|x- x_n\|_p^p = \pause   \int_{\Omega}  |x(t)- x_n(t)|^p\, d\mu=\pause   \int_{\Omega\setminus A} \lim_{m\to \infty} |x_m(t)- x_n(t)|^p\, d\mu \pause  
$$
$$
\qquad \quad\stackrel{\text{Fatou}}{\leq }\liminf_{m\to \infty} \int_{\Omega} |x_m- x_n|^p\, d\mu \pause  \leq \sup_{m\geq n}\|x_n-x_m\|_p^p\leq (1/4)^{pn} \pause  \longrightarrow 0. \pause  
$$ 
\noindent
Zatem  $x_n\stackrel{\|\cdot\|_p}{\longrightarrow} x$.  \pause    W szczeg\'olno\'sci $\|x\|_p\leq \|x-x_n\|_p+ \|x_n\|_p<\infty$, \pause   czyli $x\in L^p(\mu)$.\pause  
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad $\blacksquare$ \pause
\begin{block}{}
\textbf{Uwaga.} Z dowodu wynika, \.ze  \pause
$
x_n\stackrel{\|\cdot\|_p}{\longrightarrow} x \,\, \Longrightarrow\,\, \exists_{\{x_{n_k}\}_{k=1}^\infty}\,\,  x_{n_k}\stackrel{\mu\text{-pw}}{\longrightarrow} x.
$
\end{block}
$$
\qquad
$$
}
\frame{ 
\textbf{Prz. (W\k{e}druj\k{a}cy garb)} \pause Na przestrzeni $L^p[0,1]:=L^p(\lambda)$, gdzie $\lambda$  miara Lebesgue'a na odcinku $[0,1]$ \pause 
ustawmy  ci\k{a}gi $k$-elementowe 
$x_i^{(k)}=\mathds{1}_{[\frac{i-1}{k},\frac{i}{k})}$, $i=1,...,k$, $k\in \N$,  \pause w jeden ci\k{a}g $\{x_n\}_{n=1}^\infty$: \pause
% $$
% x_1=x_1^{(1)},\,\,\, \underbrace{x_2=x_1^{(2)},\,\, \, x_3=x_2^{(2)},}\,\,\,  \underbrace{x_4=x_1^{(3)}, \,\,\,  x_5=x_2^{(3)},\,\,\,  x_6=x_3^{(3)}}, \,\,\, \dots\,\,\,,
% $$
$$
\qquad
$$
%\begin{minipage}{5.2cm}
\begin{picture}(150,144)(0,5) \small
\put(0,1){\includegraphics[scale=0.32]{garb.png}} \pause
\put(215,130){$x_1=\mathds{1}_{[0,1)}$,  \pause $x_2=\mathds{1}_{[0,\frac{1}{2})}$, } \pause
\put(215,110){$x_3=\mathds{1}_{[\frac{1}{2},1)}$, \pause  $x_4=\mathds{1}_{[0,\frac{1}{3})}$,} \pause
\put(215,90){$x_5=\mathds{1}_{[\frac{1}{3},\frac{2}{3})}$, \pause $x_6=\mathds{1}_{[\frac{2}{3},1)}$}\pause
\put(215,70){$x_7=\mathds{1}_{[0,\frac{1}{4})}$, \pause $x_8=\mathds{1}_{[\frac{1}{4},\frac{1}{2})}$}\pause
\put(215,50){$x_9=\mathds{1}_{[\frac{1}{2},\frac{3}{4})}$,\pause $x_8=\mathds{1}_{[\frac{3}{4},1)}$}\pause
\put(255,30){$\dots$}
\end{picture}  \pause
\\
%\end{minipage}
Wtedy $x_n\stackrel{\|\cdot\|_p}{\longrightarrow}0$, \pause bo $\|x_i^{(k)}\|_p \pause =(\int_{[0,1]}\mathds{1}_{[\frac{i-1}{k},\frac{i}{k})}\, d\lambda)^{\frac{1}{p}} \pause= (1/k)^{1/p} \pause \to 0$ przy $k\to \infty$. \pause
Ale dla ka\.zdego $t\in[0,1)$ ci\k{a}g liczbowy $\{x_n(t)\}_{n=1}^\infty$  \pause jest rozbie\.zny \pause
(ma dwa punkty skupienia $0$ i $1$). \pause Czyli  $x_{n}\not\stackrel{\mu\text{-pw}}{\longrightarrow} 0$.
$$
\qquad
$$
}

\frame{
\begin{quote}
	\textbf{Ca\l{}ka wzgl\k{e}dem miary licz\k{a}cej, to  \pause suma!}
	\\
	\pause
	\textbf{Ci\k{a}gi to \pause funkcje na zbiorze $\N$ lub $\{1,...,n\}$!} \pause
\end{quote}
\begin{block}{} \textbf{Prz.}
Je\'sli $\Omega=\N$ i $\mu$ jest miar\k{a} licz\k{a}c\k{a}, \pause to $L^p(\mu)$, $p\in [1,\infty)$, \pause jest \textbf{przestrzeni\k{a} ci\k{a}g\'ow sumowalnych w $p$-tej pot\k{e}dz\k{e}}: 
$$
\ell^p:=\left\{x=(x(1),...,x(n),...)\in \F^\N: \sum_{k=1}^\infty|x(k)|^p<\infty\right\}
$$ \pause
z dzia\l{}aniami po wsp\'o\l{}rz\k{e}dnych i  norm\k{a} 
\\[4pt]
\qquad \qquad \qquad \qquad   $\|x\|_p:= \left(\sum\limits_{k=1}^\infty|x(k)|^p\right)^{\frac{1}{p}}
$ \pause
\end{block} 

\begin{block}{} \textbf{Prz.}
Je\'sli $\Omega=\{1,...,n\}$ i $\mu$ miara licz\k{a}ca, \pause to $L^p(\mu)\cong \F^n$ jest $n$-wymiarow\k{a} przestrzeni\k{a} Banacha z norm\k{a}
\\[4pt]
\qquad \qquad \qquad \qquad
	$\|x\|_p:=  \left(\sum\limits_{k=1}^n|x(k)|^p\right)^{\frac{1}{p}}
	$
%	$\pause \\[4pt]
%W szczeg\'olno\'sci, $\|x\|_2:=  \left(\sum_{k=1}^n|x(k)|^2\right)^{\frac{1}{2}}$  \textbf{norma euklidesowa}.
\end{block} 
}

\frame{\frametitle{Uwaga na boku}
Funkcje charakterystyczne zbior\'ow o mierze sko\'nczonej rozpinaj\k{a} liniowo \textbf{przestrze\'n ca\l{}kowalnych funkcji prostych}  \pause
\begin{align*}
\mathcal{E}(\mu)&:=\text{lin}\{\mathds{1}_{A_k}:A_k\in \Sigma, \mu(A_k)<\infty\}
\\
&= \left\{ \sum_{k=1}^{n} a_k\mathds{1}_{A_k}: a_k\in \F,  \mu(A_k)<\infty, k=1,...,n\in \N\right\}.
\end{align*} \pause
Ponadto $\mathcal{E}(\mu)$ zawiera si\k{e}  w ka\.zdej z  przestrzeni $L^p(\mu)$ jako g\k{e}sta podprzestrze\'n liniowa (z definicji ca\l{}ki Lebesgue'a).  \pause
%co w świetle Twierdzenia \ref{thm:completion_of_normed_space}
% oznacza, że przestrzenie $L^p(\mu)$ można zdefiniować abstrakcyjnie jako uzupełnienie przestrzeni $\EE(\mu)$ w normie $\|\cdot\|_{p}$:
\begin{block}{\textbf{Stw.}}
Dla  $p\in[1,+\infty)$, $\mathcal{E}(\mu)\subseteq L^p(\mu)$ jest g\k{e}st\k{a} podprzestrzeni\k{a}. \pause Czyli $L^p(\mu)=\overline{\mathcal{E}(\mu)}^{\|\cdot\|_{p}}$ jest uzupe\l{}nieniem przestrzeni $\mathcal{E}(\mu)$ w normie 
\\[4pt]
\qquad \qquad \qquad \qquad  \quad {\large $
\|x\|_{p}:=\left(\int\limits_\Omega |x(t)|^p\, d\mu\right)^{\frac{1}{p}}
$}
\end{block} 
}

\end{document}


