\documentclass[trans]{beamer}
%\documentclass{beamer}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
%\usepackage{beamerbasearticle}
\usepackage{multimedia}
 \usepackage[dvips,usenames]{color}
\usepackage[arrow, matrix, curve]{xy}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[MeX]{polski}
\usepackage{amscd,graphics}
\usepackage{polski}

%\usepackage{bigints}


\DeclareMathOperator{\dashind}{-Ind}
\DeclareMathOperator{\inv}{Inv}
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\DeclareMathOperator{\erg}{Erg}
\DeclareMathOperator{\clsp}{\overline{span}}
\renewcommand{\H}{ E}
\newcommand{\I}{\mathcal I}
\newcommand{\B}{\mathcal B}
\newcommand{\CC}{\mathcal C}
\newcommand{\TT}{\mathcal T}
\newcommand{\M}{\mathcal M}
\newcommand{\Sol}{\mathcal S}
\newcommand{\K}{\mathcal K}
\newcommand{\x}{\widetilde x}
\newcommand{\w}{\widetilde w}
\newcommand{\y}{\widetilde y}
\newcommand{\X}{\widetilde X}
\newcommand{\Y}{\widetilde Y}
\newcommand{\U}{\widetilde U}
\newcommand{\V}{\widetilde V}
\newcommand{\f}{\widetilde f}
\newcommand{\h}{\widetilde h}
\newcommand{\F}{\mathbb F}

\newcommand{\TDelta}{\widetilde \Delta}
\newcommand{\Tdelta}{\widetilde \delta}
\newcommand{\Tomega}{\widetilde \omega}
\newcommand{\Tmu}{\widetilde{\mu}}
\newcommand{\TA}{\widetilde{\mathcal A}}
\renewcommand{\TH}{\widetilde{\mathcal H}}
\newcommand{\tal}{\widetilde \alpha}
\newcommand{\al}{\alpha}
\newcommand{\be}{\beta}
\newcommand{\p}{\varphi}

\renewcommand{\L}{\mathcal L}
\newcommand{\LL}{\mathcal L}
\newcommand{\JJ}{\mathcal J}
\renewcommand{\SS}{\mathcal S}

\newcommand{\DR}{\mathcal DR}

\newcommand{\OO}{\mathcal O}
\newcommand{\FF}{\mathcal F}
\newcommand{\A}{\mathcal A}
\newcommand{\D}{\mathcal D}
\newcommand{\G}{\mathcal G}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\T}{\mathbb T}

\usepackage{amsfonts}
\newcommand{\tickYes}{\checkmark}
\usepackage{pifont}
\newcommand{\tickNo}{\hspace{1pt}\ding{55}}

%\usetheme{Frankfurt}
\usetheme{Warsaw}
%\usecolortheme{seahorse}
\usecolortheme{rose}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 

\definecolor{mylightblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 



\definecolor{myblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 

\definecolor{mylightblue}{rgb}{0.9,0.9,1}
\definecolor{mylightred}{rgb}{1,0.4,0.4} 
\definecolor{mylightblue1}{rgb}{0.8,0.8,0.9}



\title[Wyk\l{}ad 3]{Analiza Funkcjonalna}
\author{Bartosz Kwa\'sniewski}
\institute{Faculty of Mathematics, University of Bia\l{}ystok }


\date{Wyk\l{}ad 4
\\[4pt]
\textbf{Przestrzenie $L^{\infty}$.  Operatory ograniczone.}
\\[8pt]
\scriptsize
math.uwb.edu.pl/$\sim$zaf/kwasniewski/pdf/skrypt.pdf
} %\pause
%\put(-20,-90){\includegraphics[angle=0, scale=0.212]{Heart.jpg}} 



\begin{document}

\frame{\titlepage}
\frame{\frametitle{Przestrzenie $L^{\infty}$ (funkcji istotnie ograniczonych)} \pause
Niech $(\Omega,\Sigma, \mu)$ b\k{e}dzie ustalon\k{a} przestrzeni\k{a} z miar\k{a}. \pause
\begin{block}{}
\textbf{Def.} 	Funkcja mierzalna $x:\Omega \to \F$ jest \textbf{istotnie ograniczona}, \pause  je\'sli  jest ograniczona poza zbiorem miary zero. \pause
Zbi\'or takich funkcji
 $$
L^\infty(\mu):=\{x:\Omega\to \F \text{ mierzalna}:\,\exists\limits_{A\in \Sigma,\mu(A)=0} \sup_{t\in \Omega\setminus A} |x(t)| <\infty\}   
$$  \pause
tworzy przestrze\'n liniow\k{a} nad $\F=\R,\C$, \pause gdzie 
\\
$
 \quad
(x+y)(t):=x(t)+y(t),\qquad  (\lambda x)(t):=\lambda x(t) \quad 
{\footnotesize  \left(\begin{array}{c}  \text{dzia\l{}ania} \\
\text{okre\'slone} 
\\
\text{punktowo!}
\end{array}\right)}
$ 
\end{block} \pause
Elementy przestrzeni $L^{\infty}(\mu)$  maj\k{a} sko\'nczone \textbf{supremum istotne} \pause
$$
\qquad \qquad \|x\|_{\infty}:=\inf_{ \mu(A)=0} \sup_{t\in \Omega\setminus A} |x(t)|\pause {\color{gray}=\min_{ \mu(A)=0} \sup_{t\in \Omega\setminus A} |x(t)|}
$$
\pause
\begin{block}{}
\textbf{Uwaga:} $\|x\|_{\infty}=0$ $\Longleftrightarrow$ \pause $ \mu(\{t\in \Omega: x(t)\neq 0\})=0$ \pause  $\stackrel{def}{\Longleftrightarrow}$ $x\stackrel{\mu\text{-pw}}{=}0$
\end{block}
$$
\qquad
$$
}
\frame{
\begin{block}{\textbf{Konwencja:}} \pause
 \textbf{W przestrzeni $L^{\infty}(\mu)$ uto\.zsamiamy funkcje r\'owne  $\mu\text{-pw}$} \pause
(formalnie elementami $L^{\infty}(\mu)$ s\k{a} klasy abstrakcji relacji $y\stackrel{\mu\text{-pw}}{=}x$) \pause
Wtedy $(L^{\infty}(\mu), \|\cdot\|_{\infty})$ jest przestrzeni\k{a} unormowan\k{a}! \begin{picture}(0,0)(0,0)
\put(3,-10){\includegraphics[scale=0.09]{house.png}}
\end{picture}
\end{block}
\pause
\begin{block}{} 
\textbf{Thm.} 
$L^\infty(\mu)$ z norm\k{a} $\|x\|_{\infty}$ jest przestrzeni\k{a} Banacha.
\end{block} \pause
\textbf{Dow\'od:} \begin{picture}(0,0)(0,0)
\put(3,-10){\includegraphics[scale=0.09]{house.png}}
\end{picture} \pause
\begin{block}{} 
\textbf{Uw.} 
$
x_n\stackrel{L^{\infty}}{\longrightarrow} x \,\, \Longleftrightarrow\,\, x_{n}|_{\Omega\setminus A}  \rightrightarrows  x|_{\Omega\setminus A} \text{ gdzie  } \mu(A)=0, \,\,A\in \Sigma
$ \begin{picture}(0,0)(0,0)
\put(0,-10){\includegraphics[scale=0.09]{house.png}}
\end{picture}
\end{block} \pause
\begin{block}{}
\textbf{Prz.} Je\'sli $\mu$ miara licz\k{a}ca, to  szczeg\'olnymi przypadkami $L^{\infty}(\mu)$ s\k{a} 
\begin{itemize}
\item \pause $
B(\Omega):=\{x:\Omega\to \F: \sup_{t\in \Omega}|x(t)|<\infty\}
$ \pause z norm\k{a} $\|x\|_{\infty}:=\sup_{t\in \Omega} |x(t)|$ \pause  (\textbf{przestrze\'n funkcji ograniczonych}) 
\item \pause$\ell^{\infty}$  z norm\k{a} $\|x\|_{\infty}=\sup_{k\in \N} |x(k)|$ 
\item \pause
$\F^n$ z norm\k{a} $\|x\|_{\infty}=\max_{k=1,...,n} |x(k)|$
\end{itemize}
\end{block}
}
\frame{\frametitle{Klasyczne przestrzenie Banacha (\'sci\k{a}gawka)}
\small \pause
W poni\.zszej tabelce $p\geq 1$. \pause
\\[8pt]
		\begin{tabular}{|p{0.8cm}|p{5.7cm}|p{3.8cm}|}
				\hline
	Ozn. & \textbf{przestrze\'n Banacha}  & \textbf{norma}
 \pause 		\\ 
		\hline
	$C_{b}(\Omega)$&   {\footnotesize
	funkcje  ci\k{a}g\l{}e i ograniczone }& $\|x\|_{\infty}=\sup\limits_{t\in \Omega}|x(t)|$
 \pause 	\\ 
			\hline
 $C_{0}(\Omega)$ & \footnotesize
	funkcje ci\k{a}g\l{}e, znikaj\k{a}ce w niesko\'nczono\'sci & $\|x\|_{\infty}=\max\limits_{t\in \Omega}|x(t)|$
	\pause 	\\
		\hline
 $L^{p}(\mu)$   & \footnotesize
	"`funkcje"' ca\l{}kowalne w $p$-tej pot\k{e}dze  & $\|x\|_{p}=\left(\int\limits_\Omega |x(t)|^p\, d\mu\right)^{\frac{1}{p}}$
\pause 	\\
	\hline
 $L^{\infty}(\mu)$   & \footnotesize
	"`funkcje"' istotnie ograniczone & \text{$\|x\|_{\infty}=\inf\limits_{\mu(A)=0} \sup\limits_{t\in \Omega\setminus A} |x(t)|$}
	\pause 	\\ 
	\hline 
		\hline
 $\ell^{\infty}$   & \footnotesize 
	 ci\k{a}gi  ograniczone & $\|x\|_{\infty}=\sup\limits_{k\in \N}|x(k)|$
	\pause 	\\
	\hline
 $\ell^{p}$   & \footnotesize
	 ci\k{a}gi  sumowalne w $p$-tej pot\k{e}dze & \text{$\|x\|_{p}=\left(\sum\limits_{k=1}^\infty |x(t)|^p\right)^{\frac{1}{p}}$}
\pause 		\\
	\hline
 $c$   & \footnotesize
	 ci\k{a}gi  zbie\.zne & \text{$\|x\|_{\infty}=\max\limits_{k\in \N}|x(k)|$}
	\pause 	\\
	\hline
 $c_0$   & \footnotesize
	 ci\k{a}gi  zbie\.zne do zera & \text{$\|x\|_{\infty}=\max\limits_{k\in \N}|x(k)|$}
	\pause 		\\
		\hline
						\end{tabular}
						$$
						\qquad 
						$$
}
\frame{\frametitle{Operatory ograniczone}
$(X, \|\cdot\|)$ i $(Y, \|\cdot\|)$ ustalone przestrzenie unormowane.\pause 
\begin{block}{} 
\textbf{Def.} \textbf{Operatorami} nazywamy odwzorowania liniowe $T:X\to Y$. \pause  Powiemy, \.ze operator 
$T$ jest \textbf{ograniczony} \pause je\.zeli 
\\
 $
\qquad\qquad  \exists_{C \geq 0}\,\, \forall_{x\in X}\,\,\quad \|Tx\|\leq C \|x\|\qquad  {\footnotesize  \left(\begin{array}{c} 
\text{nier\'owno\'s\'c} 
\\
\text{ograniczono\'sci}
\end{array}\right)}
$ \pause
\\
\textbf{Norm\k{a} operatora} nazywamy \pause
\\[4pt]
\qquad \qquad
$
\|T\|:=\inf\{ C: \|Tx\|\leq C \|x\| \text{ dla ka\.zdego }x\in X\}
$
\end{block} \pause
\begin{block}{} 
\textbf{Stw.} % Operator $T$ jest ograniczony $\Longleftrightarrow$ $T$  przekszta\l{}ca zbiory ograniczony na ograniczone. 
%Ponadto
$
\|T\|=\sup_{\|x\|\leq 1}\|Tx\|=\sup_{\|x\|=1}\|Tx\|
$ 
\end{block} \pause
\begin{picture}(0,105)(0,0) \footnotesize
\put(7,6){\includegraphics[scale=0.25, angle=0]{ellipse2.png}}
%\put(42,42.5){\footnotesize$0$}
%\put(42,50.5){\rotatebox{45}{$\overbrace{\qquad\quad\,\,\,\,\,}^{\,\,\,\,}$}}
%\put(54.5,70){\footnotesize$1$}
%\put(228,50.5){\rotatebox{45}{$\overbrace{\qquad\qquad\quad\,\,}^{\,\,\,\,\|T\|}$}}
%\put(241,75.5){\scriptsize$\|T\|$}
%\put(231,42.5){\footnotesize $0$}
%\put(133,96){\normalsize $T$}
\end{picture}
%\begin{picture}(0,105)(0,0) \footnotesize
%\put(3,0){\includegraphics[scale=0.35, angle=0]{ellipse.png}}
%\put(42,42.5){\footnotesize$0$}
%\put(42,50.5){\rotatebox{45}{$\overbrace{\qquad\quad\,\,\,\,\,}^{\,\,\,\,}$}}
%\put(54.5,70){\footnotesize$1$}
%\put(228,50.5){\rotatebox{45}{$\overbrace{\qquad\qquad\quad\,\,}^{\,\,\,\,\|T\|}$}}
%\put(241,75.5){\scriptsize$\|T\|$}
%\put(231,42.5){\footnotesize $0$}
%\put(133,96){\normalsize $T$}
%\end{picture}
\\
$$
\qquad 
$$
}
\frame{\frametitle{Operatory ograniczone}
$(X, \|\cdot\|)$ i $(Y, \|\cdot\|)$ ustalone przestrzenie unormowane
\begin{block}{} 
\textbf{Def.} \textbf{Operatorami} nazywamy odwzorowania liniowe $T:X\to Y$.   Powiemy, \.ze operator 
$T$ jest \textbf{ograniczony}  je\.zeli 
\\
 $
\qquad\qquad  \exists_{C \geq 0}\,\, \forall_{x\in X}\,\,\quad \|Tx\|\leq C \|x\|\qquad  {\footnotesize  \left(\begin{array}{c} 
\text{nier\'owno\'s\'c} 
\\
\text{ograniczono\'sci}
\end{array}\right)}
$
\\
\textbf{Norm\k{a} operatora} nazywamy 
\\[4pt]
\qquad \qquad
$
\|T\|:=\inf\{ C: \|Tx\|\leq C \|x\| \text{ dla ka\.zdego }x\in X\}
$
\end{block}
\begin{block}{} 
\textbf{Stw.} % Operator $T$ jest ograniczony $\Longleftrightarrow$ $T$  przekszta\l{}ca zbiory ograniczony na ograniczone. 
%Ponadto
$
\|T\|=\sup_{\|x\|\leq 1}\|Tx\|=\sup_{\|x\|=1}\|Tx\|
$
\end{block} 
\textbf{Dow\'od:} \pause Zauwa\.zmy, \.ze $\|Tx\|\leq \|T\| \cdot \|x\|$,  dla $x\in X$.  \pause Zatem 
\\[4pt] \qquad \qquad  \qquad 
$\sup\limits_{\|x\|=1}\|Tx\|\leq \sup\limits_{\|x\|\leq 1} \pause  \|Tx\|\leq \|T\|.
$\pause  
\\[4pt]
Je\'sli  $C:=\sup_{\|x\|=1}\|Tx\|<\infty$  \pause i $x\in X\setminus\{0\}$, to \pause
$
\left\|T \frac{x}{\|x\|}\right\|\leq C$ \pause $\Longleftrightarrow$ $\frac{\|T(x)\|}{\|x\|}  \leq C$ \pause $\Longleftrightarrow$ $\|Tx\|\leq C \|x\|$, \pause
sk\k{a}d
$
\|T\| \leq C \pause=\sup_{\|x\|=1}\|Tx\|
$\pause $\blacksquare$
\\
$$
\qquad 
$$
}
\frame{
\begin{block}{\textbf{Tw.} Dla dowolnego operatora  $T:X\to Y$ NWSR:} 
 %nast\k{e}puj\k{a}ce warunki  s\k{a} r\'ownowa\.zne:
\begin{enumerate}[(1)]
\item \pause \label{thm:ograniczonosc_ciaglosc1} $T$ jest ograniczony
\item \pause\label{thm:ograniczonosc_ciaglosc2}$T$ jest odwzorowaniem ci\k{a}g\l{}ym 
\item \pause\label{thm:ograniczonosc_ciaglosc3}$T$ jest ci\k{a}g\l{}e w pewnym punkcie $x_0\in X$
\item \pause \label{thm:ograniczonosc_ciaglosc4}$T$ jest ci\k{a}g\l{}e w zerze
\end{enumerate}
\end{block} \pause
\textbf{Dow\'od:} \eqref{thm:ograniczonosc_ciaglosc1}$\Rightarrow$\eqref{thm:ograniczonosc_ciaglosc2}. \pause
Ograniczony $T$ ma w\l{}asno\'s\'c Lipschitza: \pause %dla  $x,y\in X$ 
\\
\qquad \qquad $
\|Tx-Ty\|=\|T(x-y)\|\leq \|T\| \|x-y\|.
$ \pause
\\
Zatem je\'sli 
$x\to y\Longrightarrow Tx\to Ty$. \pause Czyli $T$ ci\k{a}g\l{}e. \pause  

\eqref{thm:ograniczonosc_ciaglosc2}$\Rightarrow$\eqref{thm:ograniczonosc_ciaglosc3}. \pause  (funkcja jest  ci\k{a}g\l{}a $\stackrel{def}{\Longleftrightarrow}$ jest ci\k{a}g\l{}a w ka\.zdym punkcie) \pause 

\eqref{thm:ograniczonosc_ciaglosc3}$\Rightarrow$\eqref{thm:ograniczonosc_ciaglosc4}.  \pause 
Je\'sli $x_n\to 0$, to \pause  $x_n+x_0 \to x_0$, \pause  i z ci\k{a}g\l{}o\'sci $T$ w $x_0$ mamy \pause 
\\ 
\qquad \qquad
$T x_n=T (x_n+x_0)- Tx_0  \pause \longrightarrow  T x_0  - Tx_0 \pause =0 \pause =T(0).
$ \pause 
\\
Czyli operator $T$ jest ci\k{a}g\l{}y w zerze.\pause 

\eqref{thm:ograniczonosc_ciaglosc4}$\Rightarrow$\eqref{thm:ograniczonosc_ciaglosc1}.  \pause 
Za\l{}\'o\.zmy, \.ze $T$ nieograniczony.  \pause  W\'owczas istnieje  $\{x_n\}_{n=1}^\infty$   \pause 
taki, \.ze    $\|x_n\|=1$ \pause  oraz $\|Tx_n\|\geq n$, $n\in\N$. \pause  Wtedy $\|\frac{x_n}{\sqrt{n}}\|=\pause  \frac{1}{\sqrt{n}}\pause \to 0$, \pause 
czyli $\frac{x_n}{\sqrt{n}}\to 0$, \pause  oraz  $\|T\frac{x_n}{\sqrt{n}}\|=\pause \frac{1}{\sqrt{n}} \|Tx_n\|\geq \pause \frac{1}{\sqrt{n}}\cdot n  \pause  = \sqrt{n} \pause \to \infty$. \pause 
Zatem $T$ nie jest ci\k{a}g\l{}y w zerze. \pause  $\blacksquare$
}

\frame{
\begin{block}{\textbf{Tw.} (Zasada ci\k{a}g\l{}ego przed\l{}u\.zania operator\'ow)}  \pause
 %nast\k{e}puj\k{a}ce warunki  s\k{a} r\'ownowa\.zne:
Operator ograniczony $T:X_0\to Y$  na g\k{e}stej podprzestrzeni $X_0\subseteq X$ \pause o warto\'sciach 
w przestrzeni Banacha $Y$ \pause przed\l{}u\.za si\k{e} jednoznacznie do ograniczonego operatora  $\overline{T}:X\to Y$ \pause oraz $
\|T\|=\|\overline{T}\|.
$ 
\end{block} \pause
\textbf{Dow\'od:} \pause
Niech $x_0\in X=\overline{X_0}$. \pause We\'zmy $\{x_n\}_{n=1}^\infty\subseteq X_0$ zbie\.zny do $x_0$. \pause Wtedy $\{Tx_n\}_{n=1}^\infty\subseteq Y$ jest  Cauchy w $Y$,  gdy\.z \pause
$$
\|Tx_n- T x_m\|\leq \|T\| \cdot \|x_n- x_m\|\longrightarrow 0,\quad \text{ przy }n,m\to \infty.
$$ \pause
Skoro $Y$  zupe\l{}na, to  $\{Tx_n\}_{n=1}^\infty$ jest zbie\.zny do pewnego $y_0\in Y$.  \pause
 \\[2pt]
Granica $y_0$  nie zale\.zy od wyboru ci\k{a}gu $\{x_n\}_{n=1}^\infty$. \pause \begin{picture}(0,0)(0,0)
\put(0,-10){\includegraphics[scale=0.09]{house.png}}
\end{picture} \pause
%Je\.zeli $\{x_n'\}_{n=1}^\infty\subseteq X_0$  zbiega do $x_0$, to $\{Tx_n'\}_{n=1}^\infty$ zbiega do $y_0$, bo
%$\|y_0- Tx_n'\|=\lim\limits_{m\to \infty} \|Tx_m- T x_n'\|$\leq \lim_{m\to \infty} \|T\| \cdot \|x_m- x_n'\|$
% $\to  \|T\| \cdot \|x_0- x_0\|=0.$ \normalsize \\[2pt]
\\[2pt] 
K\l{}ad\k{a}c $\overline{T}x_0:=y_0$ otrzymujemy poprawnie zdefiniowany operator   $\overline{T}:X\to Y$ b\k{e}d\k{a}cy przed\l{}u\.zeniem $T$. \pause
 Ponadto %, dla każdego $x_0\in \overline{M}$ oraz ciągu $\{x_n\}_{n=1}^\infty\subseteq M$ zbieżnego do $x_0$ mamy
$$
\|\overline{T}x_0\|=\lim_{n\to \infty} \|T x_n\|\leq \lim_{n\to \infty} \|T\|\cdot \| x_n\|= \|T\| \cdot \|x_0\|.
$$ \pause
Czyli $\overline{T}$ jest ograniczony oraz $\|\overline{T}\|\leq\|T\|$. \pause $\blacksquare$ \pause

}
\frame{\frametitle{Przyk\l{}ady} \pause
\begin{block}{\textbf{Prz. 1 (ca\l{}kowanie)}} \pause
Niech $X:=L^1(\mu)$  oraz   $Y:=\F$.\pause  Wtedy ca\l{}ka 
$$
Tx:=\int_{\Omega} x(t)\,d\mu(t),\qquad x\in L^1(\mu),  
$$
jest  operatorem  ograniczonym $T:L^1(\mu)\to \F$  \pause oraz $\|T\|=1$: \pause
 $$
|Tx|=\pause\left|\int_{\Omega} x(t)\,d\mu(t)\right|\leq \pause\int_{\Omega} |x(t)|\,d\mu(t)\pause = 1 \cdot \|x\|_1,
$$ \pause
sk\k{a}d $\|T\|\leq 1$. \pause Z drugiej strony bior\k{a}c dowolny zbi\'or mierzalny $A\subseteq \Omega$ taki, \.ze $0<\mu(A)<\infty$ \pause
i k\l{}ad\k{a}c  $x:=\frac{1}{\mu(A)}\mathds{1}_{A}$ mamy \pause
\\[4pt]
\pause 
%\qquad \qquad \qquad \qquad $
$$
\int_{\Omega} x\,d\mu=\pause \int_{\Omega} \frac{1}{\mu(A)}\mathds{1}_{A}\,d\mu=\pause 1,
$$%\\[6pt]
\pause%
czyli $
\|x\|_1=1$ oraz $|Tx|=1$, sk\k{a}d $1\leq \|T\|$. Czyli $\|T\|=1$.
\end{block}
}



\frame{
\begin{block}{\textbf{Prz. 2 (R\'o\.zniczkowanie)}}
\pause
Niech $X:=C^{(1)}([0,1])$ \pause  przestrze\'n  funkcji r\'o\.zniczkowalnych w spos\'ob ci\k{a}g\l{}y \pause i niech $Y=C([0,1])$. \pause 
Obie przestrzenie rozpatrujemy z norm\k{a} supremum. \pause Operator r\'o\.zniczkowania $T:X\to Y$
$$
(Tx)(t):=x'(t)\qquad x\in C^{(1)}([0,1]),  t\in [0,1],
$$ \pause
jest poprawnie okre\'slony i liniowy. \pause  W rozpatrywanych normach  $T$ jest \textbf{nieograniczony}! \pause Rzeczywi\'scie, dla $x_n(t)=t^n$ mamy
 $$
\|x_n\|_{\infty}=1\quad\text{oraz}\quad\|Tx_n\|=\|x_n'\|_{\infty}=\sup_{t\in [0,1]}|nt^{n-1}|=n \to \infty.  
$$ \pause
 Standardowa norma na przestrzeni $C^{(1)}([0,1])$ \pause jest dana wzorem
$$
\|x\|_1=\|x\|_{\infty}+\|x'\|_{\infty}=\max_{t\in [0,1]}|x(t)|+\max_{t\in [0,1]}|x'(t)|.
$$ \pause
Z t\k{a} norm\k{a} na $X$ operator $T$ jest ograniczony  \pause oraz $\|T\|=1$. \pause
\\ W szczeg\'olno\'sci  $\|Tx\|_{\infty}=\|x'\|_\infty \leq 1\cdot  \|x\|_1$,  \pause czyli $\|T\|\leq 1$. 
\\[2pt]
\end{block}
}
\frame{
\begin{block}{\textbf{Prz. 3 (Mno\.zenie przez funkcje)}}
\pause
Niech $X=Y=L^p(\mu)$, $1\leq p<\infty$. \pause 
Dla  $a\in L^{\infty}(\mu)$ wz\'or \pause
$$
(T_ax)(t):=a(t)x(t),\qquad x\in L^p(\mu), t\in \Omega, 
$$ \pause
definiuje operator ograniczony $T_a:L^p(\mu)\to L^p(\mu)$ \pause i $\|T_a\|= \|a\|_{\infty}$. \pause
\\[4pt]
\hline
\\[4pt]
Rzeczywi\'scie, \pause nier\'owno\'s\'c $\|T_a\|\leq \|a\|_{\infty}$ wynika z \pause
\\[5pt] 
\qquad \,\,$
\|T_ax\|_p=\left(\int_{\Omega} |a(t)x(t)|^{p}\,d\mu\right)^{\frac{1}{p}}
$ \pause
\\[5pt] 
\qquad\qquad\qquad $\leq \left(\int_{\Omega} \|a\|_{\infty}^{p} \cdot  \left|x(t)\right|^{p}\,d\mu\right)^{\frac{1}{p}} \pause=\|a\|_{\infty}\cdot \|x\|_p \pause
$. \\[5pt] 
%sk\k{a}d $\|T_a\|\leq \|a\|_{\infty}$. 
Po\l{}\'o\.zmy $A_n:=\{t: |a(t)|^p\geq \|a\|_{\infty}^p-  1/n\}$ \pause
oraz   $x_n:=\frac{1}{\mu(A_n)^{1/p}}\mathds{1}_{A_n}$.  \pause Wtedy $\|x_n\|_p=1$ \pause oraz
\\[5pt]
 \qquad$
\|T_ax_n\|_p^p=\frac{1}{\mu(A_n)} \cdot \int_{A_n} |a(t)|^{p}\,d\mu
$ \pause
\\[5pt]
\qquad \qquad \qquad  $\geq \frac{1}{\mu(A_n)} \cdot\int_{A_n} \|a\|_{\infty}^{p}-\frac{1}{n}\,\,d\mu \pause
=\|a\|_{\infty}^{p}-\frac{1}{n}.%\to \|a\|_{\infty}.
$\\[5pt] \pause
Zatem $\|T_ax_n\|_p\to \|a\|_{\infty}$ \pause i st\k{a}d $\|T_a\|\geq \|a\|_{\infty}$. \pause
\end{block}
}\end{document}


	

