\documentclass[trans]{beamer}
%\documentclass{beamer}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
%\usepackage{beamerbasearticle}
\usepackage{multimedia}
 \usepackage[dvips,usenames]{color}
\usepackage[arrow, matrix, curve]{xy}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[MeX]{polski}
\usepackage{amscd,graphics}
\usepackage{polski}
%\usepackage{fontawesome}
%\usepackage{bigints}
%\usepackage{marvosym}

\DeclareMathOperator{\dashind}{-Ind}
\DeclareMathOperator{\inv}{Inv}
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\DeclareMathOperator{\erg}{Erg}
\DeclareMathOperator{\clsp}{\overline{span}}
\renewcommand{\H}{ E}
\newcommand{\I}{\mathcal I}
\newcommand{\B}{\mathcal B}
\newcommand{\CC}{\mathcal C}
\newcommand{\TT}{\mathcal T}
\newcommand{\M}{\mathcal M}
\newcommand{\Sol}{\mathcal S}
\newcommand{\K}{\mathcal K}
\newcommand{\x}{\widetilde x}
\newcommand{\w}{\widetilde w}
\newcommand{\y}{\widetilde y}
\newcommand{\X}{\widetilde X}
\newcommand{\Y}{\widetilde Y}
\newcommand{\U}{\widetilde U}
\newcommand{\V}{\widetilde V}
\newcommand{\f}{\widetilde f}
\newcommand{\h}{\widetilde h}
\newcommand{\F}{\mathbb F}

\newcommand{\TDelta}{\widetilde \Delta}
\newcommand{\Tdelta}{\widetilde \delta}
\newcommand{\Tomega}{\widetilde \omega}
\newcommand{\Tmu}{\widetilde{\mu}}
\newcommand{\TA}{\widetilde{\mathcal A}}
\renewcommand{\TH}{\widetilde{\mathcal H}}
\newcommand{\tal}{\widetilde \alpha}
\newcommand{\al}{\alpha}
\newcommand{\be}{\beta}
\newcommand{\p}{\varphi}

\renewcommand{\L}{\mathcal L}
\newcommand{\LL}{\mathcal L}
\newcommand{\JJ}{\mathcal J}
\renewcommand{\SS}{\mathcal S}

\newcommand{\DR}{\mathcal DR}

\newcommand{\OO}{\mathcal O}
\newcommand{\FF}{\mathcal F}
\newcommand{\A}{\mathcal A}
\newcommand{\D}{\mathcal D}
\newcommand{\G}{\mathcal G}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\T}{\mathbb T}

\usepackage{amsfonts}
\newcommand{\tickYes}{\checkmark}
\usepackage{pifont}
\newcommand{\tickNo}{\hspace{1pt}\ding{55}}

%\usetheme{Frankfurt}
\usetheme{Warsaw}
%\usecolortheme{seahorse}
\usecolortheme{rose}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 

\definecolor{mylightblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 



\definecolor{myblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 

\definecolor{mylightblue}{rgb}{0.9,0.9,1}
\definecolor{mylightred}{rgb}{1,0.4,0.4} 
\definecolor{mylightblue1}{rgb}{0.8,0.8,0.9}



\title[Wyk\l{}ad 3]{Analiza Funkcjonalna}
\author{Bartosz Kwa\'sniewski}
\institute{Faculty of Mathematics, University of Bia\l{}ystok }


\date{Wyk\l{}ad 5
\\[4pt]
\textbf{R\'ownowa\.zno\'s\'c norm. \\
Przestrze\'n operator\'ow ograniczonych.}
\\[8pt]
\scriptsize
math.uwb.edu.pl/$\sim$zaf/kwasniewski/pdf/skrypt.pdf
} %\pause
%\put(-20,-90){\includegraphics[angle=0, scale=0.212]{Heart.jpg}} 



\begin{document}

\frame{\titlepage}
\frame{\frametitle{R\'ownowa\.zno\'s\'c norm} 
\pause
Rozwa\.zmy dwie normy $\|\cdot\|_1$ i $\|\cdot\|_2$ na przestrzeni liniowej $X$.  \pause
\begin{block}{} 
\textbf{Def.} Norma $\|\cdot\|_1$ jest \textbf{mocniejsza} od normy $\|\cdot\|_2$ je\.zeli  \pause
\\[2pt]
\qquad \qquad \qquad\,\,\, $
\exists_{c>0}\,\, \forall_{x\in X}\qquad  \|x\|_2\leq c \|x\|_1.
$ \pause
\end{block}
\begin{block}{
\textbf{Lem.} 	
Nast\k{e}puj\k{a}ce warunki s\k{a} r\'ownowa\.zne:} 
\begin{enumerate}[(1)]
\item\pause norma  $\|\cdot\|_1$ jest mocniejsza, ni\.z $\|\cdot\|_2$
\item\pause zbie\.zno\'s\'c w normie $\|\cdot\|_1$ poci\k{a}ga zbie\.zno\'s\'c  w normie
$\|\cdot\|_2$
\item \pause topologia zadana przez $\|\cdot\|_1$ jest mocniejsze (wi\k{e}ksza) od topologii zadanej przez  $\|\cdot\|_2$.
\end{enumerate}
%Je\'sli  $\|\cdot\|_1$ jest mocniejsza od $\|\cdot\|_2$  i przestrze\'n  $
%(X,\|\cdot\|_2)$ jest zupe\l{}na, to $(X,\|\cdot\|_1)$  jest zupe\l{}na.
\end{block} \pause
\textbf{Dow\'od:}\pause\begin{picture}(17,0)
\put(2,-5.5){\includegraphics[scale=0.28]{(1).png}}
\end{picture} Norma  $\|\cdot\|_1$  jest mocniejsza od normy $\|\cdot\|_2$ \pause $\Longleftrightarrow$  
 $id:(X,\|\cdot\|_1)\to (X,\|\cdot\|_2)$ jest   operatorem ograniczonym  \pause $\stackrel{Tw.}{\Longleftrightarrow}$   
\\[3pt]
\qquad \quad odwzorowanie %\quad\,\,
$id:(X,\|\cdot\|_1)\to (X,\|\cdot\|_2)$ jest ci\k{a}g\l{}e \pause
\\[2pt]\begin{picture}(0,0)
\put(67,-21.4){\includegraphics[scale=0.29]{(2).png}}
\end{picture}{\footnotesize(kryterium Heinego)}\rotatebox[origin=c]{45}{$\Longleftrightarrow$} \pause \qquad \qquad \quad\qquad  
\begin{picture}(10,0)
\put(23,-21){\includegraphics[scale=0.29]{(3).png}}
\end{picture}\rotatebox[origin=c]{-45}{$\Longleftrightarrow$}{\footnotesize(definicja topologiczna)} \pause \begin{picture}(0,0)
\put(0,-17){\LARGE $\blacksquare$}
\end{picture}
$$
\qquad 
$$
$$
\qquad 
$$
}
\frame{
\begin{block}{} 
\textbf{Def.} \pause
Normy $\|\cdot\|_1$ i $\|\cdot\|_2$  s\k{a} \textbf{r\'ownowa\.zne} \pause  je\.zeli norma $\|\cdot\|_1$ jest jednocze\'snie mocniejsza i s\l{}absza od  $\|\cdot\|_2$,  \pause czyli gdy
\\[4pt]
\qquad
$
\exists_{c_1,c_2>0}\,\, \forall_{x\in X}\qquad  \|x\|_2\leq c_1\|x\|_1\quad  \text{ oraz  }\quad \|x\|_1\leq c_2\|x\|_2.
$ \pause
\end{block}
\begin{block}{
\textbf{Stw.} 	
Nast\k{e}puj\k{a}ce warunki s\k{a} r\'ownowa\.zne:}
\begin{enumerate}[(1)]
\item\label{thm:norm_equivalence1}\pause  normy  $\|\cdot\|_1$ i $\|\cdot\|_2$ s\k{a} r\'ownowa\.zne
\item \pause zbie\.zno\'s\'c ci\k{a}gu w  $\|\cdot\|_1$ jest r\'ownowa\.zna zbie\.zno\'sci  w $\|\cdot\|_2$
\item\label{thm:norm_equivalence3} \pause topologie zadane przez $\|\cdot\|_1$ i $\|\cdot\|_2$ s\k{a} takie same.
\end{enumerate} \pause
Ponadto jesli normy  $\|\cdot\|_1$ i $\|\cdot\|_2$ s\k{a} r\'ownowa\.zne, \pause to 
\\[4pt]
 $
(X,\|\cdot\|_1) \text{ jest przest. Banacha }\Longleftrightarrow (X,\|\cdot\|_2) \text{ jest przest. Banacha}
$ \pause
\end{block}
\textbf{Dow\'od:} \pause 
R\'ownowa\.zno\'s\'c warunk\'ow (1)-(3) wynika z lematu. \pause 

Je\'sli  $\|\cdot\|_1$ i $\|\cdot\|_2$  s\k{a} r\'ownowa\.zne,  \pause  to ci\k{a}g $\{x_n\}_{n=1}^\infty\subseteq X$ jest Cauchy w normie $\|\cdot\|_1$ \pause wtedy i tylko wtedy, gdy jest  Cauchy w  $\|\cdot\|_2$, bo \pause 
$$
\|x_n-x_m\|_2\leq  c_1\|x_n-x_m\|_1\quad  \text{ oraz  }\quad \|x_n-x_m\|_1\leq c_2\|x_n-x_m\|_2.
$$ \pause 
Zatem z r\'ownowa\.zno\'sci  zbie\.zno\'sci mamy r\'ownowa\.zno\'s\'c zupe\l{}no\'sci \pause 
\begin{picture}(10,0)
\put(310,13){\Large $\blacksquare$}
\end{picture}
}
\frame{\textbf{Prz.}
Na przestrzeni $X=C[0,1]$ nast\k{e}puj\k{a}ce normy  \pause
$$
\|x\|_{\infty}:=\max_{t\in [0,1]} |x(t)|,\quad  \|x\|_{p}:=\left(\int_0^1 |x(t)|^{p}\, dt \right)^{1/p},  \quad p\in [1,\infty)
$$  \pause
\textbf{nie s\k{a} r\'ownowa\.zne}.  \pause Rzeczywi\'scie, niech $x_n(t)=t^n$. \pause Wtedy 
$
\|x_n\|_p^p\pause=\int_0^1 t^{pn}\, dt\pause=\frac{1}{pn+1} \pause \to 0 
$,  \pause czyli $x_n\stackrel{\|\cdot\|_p}{\longrightarrow}0$.  \pause Ale $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ jest rozbie\.zny  w normie $\|\cdot\|_{\infty}$  \pause (nie jest zbie\.zny jednostajnie).  \pause
Zatem $\|\cdot\|_{p}$ nie jest mocniejsza, ni\.z $\|\cdot\|_{\infty}$. \pause Z drugiej strony \pause
$$
\|x\|_{p}= \pause \left(\int_0^1 |x(t)|^{p}\, dt \right)^{1/p} \pause\leq \left(\int_0^1  \|x\|_{\infty}^{p}\, dt \right)^{1/p} \pause = \|x\|_{\infty}
$$  \pause
Czyli $\|\cdot\|_{\infty}$ jest (\'sci\'sle) mocniejsza, ni\.z  $\|\cdot\|_{p}$  \pause (\textbf{zbie\.zno\'s\'c jednostajna poci\k{a}ga zbie\.zno\'s\'c w $L^p$, ale nie na odwr\'ot}).  \pause

\\[10pt]
Dla $p<p'$,   $\|\cdot\|_{p'}$ jest \'sci\'sle mocniejsza, ni\.z $\|\cdot\|_{p}$ \pause \begin{picture}(0,0)(0,0)
\put(0,-10){\includegraphics[scale=0.09]{house.png}}
\end{picture}
\\[6pt]  \pause
\footnotesize(Hint: Nier\'owno\'s\'c H\"oldera  oraz ci\k{a}g $x_n(t)=(\frac{1}{t})^{\frac{1}{p}}1_{[\frac{1}{n},1]}+n^{\frac{1}{p}}1_{[0,\frac{1}{n})}$.)  \pause
}
\frame{\textbf{Prz.}
W przestrzeni $X=\F^n$ \pause normy 
$$
\|x\|_{\infty}:=\max_{k=1,...,n} |x(k)|,\qquad    \|x\|_{p}:=\left(\sum_{k=1}^n |x(k)|^p\right)^{1/p}, \quad p\in [1,\infty)
$$  \pause
s\k{a} r\'ownowa\.zne, \pause poniewa\.z $\|x\|_{\infty}\leq \|x\|_{p}$ \pause oraz $\|x\|_{p}\leq n \|x\|_{\infty}$. \pause
\begin{block}{ \textbf{Twierdzenie.}} \pause
 W przestrzeni sko\'nczenie wymiarowej \pause wszystkie normy s\k{a} r\'ownowa\.zne.
\end{block} \pause
\textbf{Dow\'od:} \pause 
Z za\l{}o\.zenia istniej\k{a} \pause  liniowo niezale\.zne 
$e_1,...,e_n\in X$ \pause  takie, \.ze 
$
\forall_{x\in X}\,\, \exists_{x(1),...,x(n)\in \F}\,\, x=\sum_{k=1}^n x(k)e_k.
$ \pause 
Wtedy  $X\cong \F^n$, gdzie $x\mapsto (x(1),...,x(n))$. \pause
%Wsp\'o\l{}czynniki $x(1),...,x(n)\in \F$, w powy\.zszej sumie, s\k{a} jednoznacznie wyznaczone przez $x$.
Zdefiniujmy na $X$ norm\k{e} wzorem \pause
$$
\|x\|_{\infty}:=\max_{k=1,...,n} |x(k)|, \qquad \text{gdzie }x=\sum_{k=1}^n x(k)e_k.
$$ \pause
Wystarczy pokaza\'c, \.ze dowolna norma $\|\cdot\|$ na $X$ jest r\'ownowa\.zna z $\|\cdot\|_{\infty}$ \pause (bo r\'ownowa\.zno\'s\'c norm jest relacj\k{a} r\'ownowa\.zno\'sci).
\pause 
\\ Zauwa\.zmy, \.ze \pause
}
\frame{
$
\|x\|=\|\sum\limits_{k=1}^n x(k)e_k\| \pause \leq\sum\limits_{k=1}^n \|x(k)e_k\| \pause
=\sum\limits_{k=1}^n |x(k)|\|e_k\|$ \pause 
\\
\qquad $
\leq \|x\|_{\infty}\sum\limits_{k=1}^n\|e_k\|.
$ \pause
Zatem $\|\cdot\|_{\infty}$ jest mocniejsza, ni\.z $\|\cdot\|$.  \pause
\\[2pt]
Za\l{}\'o\.zmy nie wprost, \pause \.ze $\|\cdot\|$ nie jest mocniejsza, ni\.z $\|\cdot\|_{\infty}$. \pause  Wtedy dla ka\.zdego $n\in \N$ 
znajdziemy $x_n\in X$  \pause takie, \.ze $\|x_n\|_{\infty}>n \|x_n\|$. \pause
K\l{}ad\k{a}c $y_n:=\frac{x_n}{\|x_n\|_{\infty}}$ \pause mamy  \pause
$$
 \|y_n\| = \pause \frac{\|x_n\|}{\|x_n\|_{\infty}}<   \pause\frac{1}{n} \pause \longrightarrow 0.
$$ \pause
Zatem z jednej strony $y_n\stackrel{\|\cdot\|}{\longrightarrow} 0$.  \pause Z drugiej strony, $\|y_n\|_{\infty}=1$. \pause Czyli  ci\k{a}g $\{y_n\}_{n=1}^\infty$ jest ograniczony  w normie $\|\cdot\|_{\infty}$, \pause kt\'ora jest  jest r\'ownowa\.zna normie euklidesowej $\|\cdot\|_{2}$ (patrz Przyk\l{}ad). \pause Zatem na mocy \textbf{Twierdzenia Bolzano-Weierstrassa}, istnieje podci\k{a}g $\{y_{n_k}\}_{n=1}^\infty$
zbie\.zny  do pewnego $y\in X$ w  normie $\|\cdot\|_{\infty}$. \pause  Wtedy $\|y\|_{\infty}=\lim_{k\to \infty}\|y_{n_k}\|_{\infty}=1$ \pause  i w szczeg\'olno\'sci $y\neq 0$. \pause 
Ale skoro $\|\cdot\|_{\infty}$ jest mocniejsza, ni\.z $\|\cdot\|$, \pause  to 
 $y_{n_k}\stackrel{\|\cdot\|}{\longrightarrow} y\neq 0$ \pause\begin{picture}(10,0)(0,0)
\put(-15,-10){\includegraphics[scale=0.09]{lightning.png}}
\end{picture} %{\Large\Lightning} 
bo $y_n\stackrel{\|\cdot\|}{\longrightarrow} 0$ \pause $\blacksquare$
}
\frame{
\begin{block}{}\textbf{Wn.}
 Ka\.zda sko\'nczenie wymiarowa podprzestrze\'n $Y$ przestrzeni unormowanej $X$ \pause jest domkni\k{e}ta.
\end{block}
\pause
\textbf{Dow\'od:} \pause 
Skoro norma na $Y\cong \F^n$ \pause r\'ownowa\.zna normie euklidesowej, \pause to $Y$ zupe\l{}na. \pause Zatem 
$Y$ domkni\k{e}ta w ka\.zdej nadprzestrzeni. \pause $\blacksquare$ \pause
\begin{block}{}\textbf{Wn.}
Ka\.zdy operator liniowy okre\'slony na przestrzeni sko\'nczenie wymiarowej \pause jest ograniczony (ci\k{a}g\l{}y).
\end{block}
\pause
\textbf{Dow\'od:} \pause 
Niech $T:X\to Y$ liniowy i  $X\cong \F^n$. \pause  Skoro na $X$ wszystkie normy s\k{a} r\'ownowa\.zne, \pause to  mo\.zemy za\l{}o\.zy\'c, \.ze 
$
\|x\|=\|x\|_{\infty}=\max\limits_{k=1,...,n}|x(k)|.
$ \pause
Wtedy 
$$
\|Tx\|= \|T\sum_{k=1}^n x(k)e_k\| \pause \leq\sum_{k=1}^n |x(k)|\|Te_k\| \pause \leq   \|x\|_{\infty}\cdot  \sum_{k=1}^n \|Te_k\|. %\sum_{k=1}^n\|T e_k\|.
$$ \pause
Czyli $T$ jest ograniczony (ci\k{a}g\l{}y). \pause $\blacksquare$
\\
\pause\begin{picture}(0,0)(0,0)
%\put(275,30){\includegraphics[scale=0.145]{flower.png}}
%\put(-33,26){\includegraphics[scale=0.145]{flower.png}}
\end{picture}
\begin{picture}(0,15)(0,0)
%\put(27,-20){\includegraphics[scale=0.78]{flowers.jpg}}
\end{picture}
}
\frame{
\begin{block}{}\textbf{Wn.}
 Ka\.zda sko\'nczenie wymiarowa podprzestrze\'n $Y$ przestrzeni unormowanej $X$   jest domkni\k{e}ta.
\end{block}
\textbf{Dow\'od:}
Skoro norma na $Y\cong \F^n$ r\'ownowa\.zna normie euklidesowej, to $Y$ zupe\l{}na. Zatem 
$Y$ domkni\k{e}ta w ka\.zdej nadprzestrzeni. $\blacksquare$ 
\begin{block}{}\textbf{Wn.}
Ka\.zdy operator liniowy okre\'slony na przestrzeni sko\'nczenie wymiarowej  jest ograniczony (ci\k{a}g\l{}y).
\end{block}

\textbf{Dow\'od:}
Niech $T:X\to Y$ liniowy i  $X\cong \F^n$.   Skoro na $X$ wszystkie normy s\k{a} r\'ownowa\.zne,  to  mo\.zemy za\l{}o\.zy\'c, \.ze 
$
\|x\|=\|x\|_{\infty}=\max\limits_{k=1,...,n}|x(k)|.
$ 
Wtedy 
$$
\|Tx\|= \|T\sum_{k=1}^n x(k)e_k\|  \leq\sum_{k=1}^n |x(k)|\|Te_k\|  \leq   \|x\|_{\infty}\cdot  \sum_{k=1}^n \|Te_k\|. %\sum_{k=1}^n\|T e_k\|.
$$ 
Czyli $T$ jest ograniczony (ci\k{a}g\l{}y).  $\blacksquare$\\
\begin{picture}(0,0)(0,0)
\put(280,16){\includegraphics[scale=0.145]{flower.png}}
\put(-33,16){\includegraphics[scale=0.145]{flower.png}}
\end{picture}
\begin{picture}(0,15)(0,0)
\put(24,-19){\includegraphics[scale=0.81]{flowers.jpg}}
\end{picture}
}
\frame{\frametitle{Przestrze\'n operator\'ow ograniczonych} \pause
Niech $X$ i $Y$ b\k{e}d\k{a} przestrzeniami unormowanymi.   \pause
%nazywamy przestrzeni\k{a} operator\'ow ograniczonych z $X$ w $Y$. Przestrze\'n operator\'ow ograniczonych z $X$ w $X$ oznaczamy skr\'otowo $B(X):=B(X,X)$.
\begin{block}{}
\textbf{Przestrze\'n operator\'ow ograniczonych} z $X$ w $Y$ \pause
$$
B(X,Y):=\{T:X\to Y \text{ operator liniowy i ograniczony}\}
$$ \pause
jest przestrzeni\k{a} unormowan\k{a} nad $\F=\R, \C$, \pause wraz z dzia\l{}aniami 
$$
(T+S)x:=Tx+Sx, \qquad (\lambda T)x:=\lambda Tx \quad 
{\footnotesize  \left(\begin{array}{c}  \text{dzia\l{}ania} \\
\text{okre\'slone} 
\\
\text{punktowo!}
\end{array}\right)}
$$  \pause
%$T,S\in B(X,Y)$, $x\in X$, $\lambda\in \F$,  
oraz norm\k{a} operatorow\k{a} 
$\|T\|=\sup\limits_{\|x\|=1}\|Tx\|$. \pause \begin{picture}(0,0)(0,0)
\put(2,-14){\includegraphics[scale=0.09]{house.png}}
\end{picture}% jest przestrzeni\k{a} unormowan\k{a} (\home sprawdzi\'c to) 
\end{block} \pause
\begin{block}{\textbf{Twierdzenie}} \pause
%$B(X,Y)$ jest przestrzeni\k{a} Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy
$B(X,Y)$ przestrze\'n Banacha $\Longleftrightarrow$
$Y$  przestrze\'n Banacha
\end{block} 
\pause \begin{picture}(0,0)(0,0)
\put(262,-17){\includegraphics[scale=0.35, angle=0]{Banach2.png}}
\end{picture}\pause\textbf{Dow\'od:} 
}
\frame{  
``$\Longrightarrow$'' \pause Niech $\{y_n\}_{n=1}^\infty\subseteq Y$ ci\k{a}g Cauchy.  \pause
Zwi\k{a}\.zemy z nim pewien  ci\k{a}g  operator\'ow $\{T_n\}_{n=1}^{\infty}\subseteq B(X,Y)$ ``jednowymiarowych''. \pause
We\'zmy    dowolny wektor unormowany $x_0\in X$, $\|x_0\|=1$. \pause Po\l{}\'o\.zmy
$$
T_nx:=\begin{cases}
\lambda y_n, & \text{je\'sli }x=\lambda x_0
\\
0, & \text{ w przeciwnym razie},
\end{cases}
$$ \pause
%tzn. $Tx_0=y_n$ oraz $T_n\equiv 0$ poza jednowymiarow\k{a} podprzestrzeni\k{a} $\{\lambda x_0: \lambda \in \F\}\subseteq X$ rozpi\k{e}t\k{a} przez $x_0$.
Wtedy
$$
\|T_n\|=\pause\sup_{\|x\|=1}\|T_n x\|=\pause\sup_{|\lambda|=1}\|T_n \lambda x_0\|=\pause \|T_n  x_0\| =\pause \|y_n\|.
$$ \pause
Zatem operatory $T_n$ s\k{a} ograniczone.\pause Ponadto  
$$
\|T_n-T_m\|=\pause\sup_{\|x\|=1}\|(T_n-T_m) x\|=\pause\|T_nx_0 -T_mx_0\|= \pause\|y_n-y_m\|.
$$ \pause
Czyli $\{T_n\}_{n=1}^{\infty}\subseteq B(X,Y)$  ci\k{a}g Cauchy.  \pause Skoro $B(X,Y)$ zupe\l{}na, \pause to
 $\{T_n\}_{n=1}^{\infty}$ jest zbie\.zny do pewnego  $T\in B(X,Y)$. \pause
Wtedy $T_nx\to T x$ dla ka\.zdego $x\in X$ \pause (bo $\|T_nx-Tx\|\leq \|T_n-T\| \|x\|\to 0$). \pause
\\[4pt]
W szczeg\'olno\'sci, $y_n=T_n x_0\to T x_0$. \pause Czyli ci\k{a}g $\{y_n\}_{n=1}^\infty $ jest zbie\.zny. \pause
}
\frame{
``$\Longleftarrow$''\pause Niech $\{T_n\}_{n=1}^{\infty}\subseteq B(X,Y)$ ci\k{a}g Cauchy. \pause
Dla ka\.zdego $x\in X$ mamy \pause $\|T_nx-T_mx\|\leq \|T_n-T_m\| \|x\|\to 0$. \pause Zatem  %ci\k{a}g 
$\{T_nx\}_{n=1}^{\infty}\subseteq Y$ jest ci\k{a}giem Cauchy w $Y$.\pause  Z za\l{}o\.zenia wi\k{e}c jest on zbie\.zny. \pause
Oznaczmy jego granic\k{e}  przez $Tx\in Y$. \pause W ten spos\'ob otrzymujemy operator liniowy $T:X\to Y$ \pause ({\small operacja granicy jest liniowa}). \pause
Ponadto, %dla ka\.zdego $x\in X$,
\\[4pt]
\quad $
\|(T-T_n)x\|=\pause \lim\limits_{m\to \infty}\|(T_m-T_n)x\| 
$ \pause
\\[4pt]
\qquad \qquad\qquad\,\,\,$\leq \limsup\limits_{m\to \infty}\|T_m-T_n\| \|x\|\leq \pause 
\sup\limits_{m\geq n}\|T_m-T_n\| \|x\|.
$ \pause
\\[4pt]
St\k{a}d
$$
\|T-T_n\|\leq \pause \sup_{m\geq n}\|T_m-T_n\|\longrightarrow 0,  \text{ gdy } n\to \infty. 
$$ \pause
Czyli $\{T_n\}_{n=1}^{\infty}$ zbiega w normie do $T$. \pause W szczeg\'olno\'sci, $T-T_n\in B(X,Y)$ ({\small dla dostatecznie du\.zych $n$})  \pause i skoro $T_n\in B(X,Y)$,  \pause to $T=(T-T_n) +T_n\in B(X,Y)$ jest  ograniczony. \pause % ($B(X,Y)$ jest przestrzeni\k{a} liniow\k{a}). 
\\[4pt]
Czyli $\{T_n\}_{n=1}^{\infty}$ jest zbie\.zny w przestrzeni $B(X,Y)$.\pause  $\blacksquare$
}
\frame{\frametitle{Przestrze\'n dualna} \pause
Cia\l{}o skalar\'ow $Y:=\F$ jest  przestrzeni\k{a} Banacha. \pause
\begin{block}{Definicja}
Przestrze\'n Banacha 
$B(X,\F)$ \pause nazywamy 
\textbf{przestrzeni\k{a} sprz\k{e}\.zon\k{a}} lub te\.z \textbf{przestrzeni\k{a} dualn\k{a}} do przestrzeni $X$ \pause  i oznaczamy j\k{a}  $X^*$. \pause Elementy przestrzeni $X^*=B(X,\F)$
nazywamy \textbf{funkcjona\l{}ami ograniczonymi} na $X$.  \pause
\end{block} 
\textbf{Prz.} Przyk\l{}adem funkcjona\l{}u ograniczonego jest ca\l{}ka  \pause
\\[4pt]
\qquad \qquad \qquad $L^{1}(\mu)\ni x\longmapsto f(x):=\int x \,d\mu\in \F$. \pause
\begin{block}{ }
\textbf{Uw.} Zasadnicz\k{a} motywacj\k{a} do rozwa\.zania przestrzeni dualnej $X^*$ \pause  jest fakt, \.ze pozwala ona  zdefiniowa\'c 
nast\k{e}puj\k{a}c\k{a} form\k{e}  dwuliniow\k{a} (zwan\k{a} czasem \emph{parowaniem}) \pause
$$
 X^*\times X \ni (f,x)\longmapsto \langle f, x\rangle:=f(x)\in \F, 
$$  \pause
kt\'ora imituje \textbf{iloczyn skalarny} na $X$.
\end{block}

}
\end{document}




\end{thm}
\begin{proof} ``$\Longrightarrow$'' Niech $\{y_n\}_{n=1}^\infty\subseteq $ ci\k{a}g Cauchy. 
Aby pokaza\'c, \.ze ci\k{a}g ten jest zbie\.zny zwi\k{a}\.zemy z nim pewien  ci\k{a}g  operator\'ow $\{T_n\}_{n=1}^{\infty}\subseteq B(X,Y)$ ``jednowymiarowych''. 
Mianowice, 


\end{proof}
Zauwa\.zmy, \.ze 



	

