\documentclass[trans]{beamer}
%\documentclass{beamer}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
%\usepackage{beamerbasearticle}
\usepackage{multimedia}
 \usepackage[dvips,usenames]{color}
\usepackage[arrow, matrix, curve]{xy}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[MeX]{polski}
\usepackage{amscd,graphics}
\usepackage{polski}
%\usepackage{fontawesome}
%\usepackage{bigints}
\usepackage{marvosym}
\usepackage{tikz}
\tikzset{rndblock/.style={rounded corners,rectangle,draw,outer sep=0pt}}
\newcommand{\tframed}[2][]{\tikz[baseline=(h.base)]\node[rndblock,#1] (h) {#2};}

\DeclareMathOperator{\re}{Re}
\DeclareMathOperator{\dashind}{-Ind}
\DeclareMathOperator{\inv}{Inv}
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\DeclareMathOperator{\erg}{Erg}
\DeclareMathOperator{\clsp}{\overline{span}}
\renewcommand{\H}{ E}
\newcommand{\I}{\mathcal I}
\newcommand{\B}{\mathcal B}
\newcommand{\CC}{\mathcal C}
\newcommand{\TT}{\mathcal T}
\newcommand{\M}{\mathcal M}
\newcommand{\Sol}{\mathcal S}
\newcommand{\K}{\mathcal K}
\newcommand{\x}{\widetilde x}
\newcommand{\w}{\widetilde w}
\newcommand{\y}{\widetilde y}
\newcommand{\X}{\widetilde X}
\newcommand{\Y}{\widetilde Y}
\newcommand{\U}{\widetilde U}
\newcommand{\V}{\widetilde V}
\newcommand{\f}{\widetilde f}
\newcommand{\h}{\widetilde h}
\newcommand{\F}{\mathbb F}

\newcommand{\TDelta}{\widetilde \Delta}
\newcommand{\Tdelta}{\widetilde \delta}
\newcommand{\Tomega}{\widetilde \omega}
\newcommand{\Tmu}{\widetilde{\mu}}
\newcommand{\TA}{\widetilde{\mathcal A}}
\renewcommand{\TH}{\widetilde{\mathcal H}}
\newcommand{\tal}{\widetilde \alpha}
\newcommand{\al}{\alpha}
\newcommand{\be}{\beta}
\newcommand{\p}{\varphi}

\renewcommand{\L}{\mathcal L}
\newcommand{\LL}{\mathcal L}
\newcommand{\JJ}{\mathcal J}
\renewcommand{\SS}{\mathcal S}

\newcommand{\DR}{\mathcal DR}

\newcommand{\OO}{\mathcal O}
\newcommand{\FF}{\mathcal F}
\newcommand{\A}{\mathcal A}
\newcommand{\D}{\mathcal D}
\newcommand{\G}{\mathcal G}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\T}{\mathbb T}

\usepackage{amsfonts}
\newcommand{\tickYes}{\checkmark}
\usepackage{pifont}
\newcommand{\tickNo}{\hspace{1pt}\ding{55}}

%\usetheme{Frankfurt}
\usetheme{Warsaw}
%\usecolortheme{seahorse}
\usecolortheme{rose}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 

\definecolor{mylightblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 



\definecolor{myblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 

\definecolor{mylightblue}{rgb}{0.9,0.9,1}
\definecolor{mylightred}{rgb}{1,0.4,0.4} 
\definecolor{mylightblue1}{rgb}{0.8,0.8,0.9}



\title[Wyk\l{}ad 3]{Analiza Funkcjonalna}
\author{Bartosz Kwa\'sniewski}
\institute{Faculty of Mathematics, University of Bia\l{}ystok }


\date{Wyk\l{}ad 6
\\[4pt]
\textbf{Przestrzenie Hilberta}
\\[8pt]
\scriptsize
math.uwb.edu.pl/$\sim$zaf/kwasniewski/pdf/skrypt.pdf
} %\pause
%\put(-20,-90){\includegraphics[angle=0, scale=0.212]{Heart.jpg}} 



\begin{document}

\frame{\titlepage}
\frame{\frametitle{Iloczyn skalarny} 
\pause

\begin{block}{} \textbf{Def.} 
\textbf{Przestrzeni\k{a} unitarn\k{a}} (lub te\.z \textbf{prehilbertowsk\k{a}}) nazywamy \pause
przestrze\'n liniow\k{a} $H$ nad $\F=\R,\C$ wraz z \textbf{iloczynem skalarnym}, \pause czyli funkcj\k{a}
$\langle \cdot,\cdot \rangle : H \times H \to \F$ spe\l{}niaj\k{a}c\k{a} %dla $x, y, z\in H$, $\alpha, \beta\in \F$,
\begin{enumerate}[(1)]
\item\label{def:iloczyn_skalarny1} \pause
$
\langle x , x \rangle \geq  0$ oraz $
\langle x , x \rangle > 0$  dla  $x \neq 0$ 
\hfill
(\emph{\small dodatnio-okre\'slono\'s\'c})
\item \label{def:iloczyn_skalarny2} \pause
 $
\langle \alpha x + \beta y, z \rangle = \alpha \langle x , z \rangle + \beta \langle y , z \rangle,
$ \hfill
(\emph{\small liniowo\'s\'c w 1-argumencie})

\item \label{def:iloczyn_skalarny3} \pause $ 
\langle x , y \rangle = \overline{\langle y , x \rangle},
$ \hfill
(\emph{\small antysymetria})
\end{enumerate} \pause
dla  $x$, $y$, $z\in H$ i $\alpha, \beta\in \F$. %Liczb\k{e} $\langle x , y \rangle$ nazywamy  \emph{iloczynem skalarnym} wektor\'ow $x$, $y$. 
\end{block} \pause
\\
\begin{picture}(0,17)(0,0)
\put(140,-2){\includegraphics[scale=0.33]{Hilbert1.jpg}}
\put(145,-2){\tframed[line width=1bp,fill=white!60]{Hilbert}}  \pause
\put(200,-2){\includegraphics[scale=0.057]{Neumann2.jpg}}
\put(188,-2){\tframed[line width=1bp,fill=white!60]{von Neumann}} \pause

\end{picture}
\begin{block}{}%\label{rem:antilinear_in_second_var}
\textbf{Uw.} Warunki \eqref{def:iloczyn_skalarny2} i \eqref{def:iloczyn_skalarny3}, implikuj\k{a} \pause
\\[4pt]
\quad $ 
\langle x, \alpha y + \beta z \rangle = \overline{\alpha} \langle x , y\rangle + \overline{\beta} \langle x , z \rangle
$ \hfill
 (\emph{\small antyliniowo\'s\'c w $2$-argumencie})
\\[4pt] \pause
Zatem iloczyn skalarny jest \textbf{form\k{a} p\'o\l{}toraliniow\k{a}!} \pause
\\[4pt]
Je\'sli $\F=\R$, to \eqref{def:iloczyn_skalarny3} \pause
przyjmuje posta\'c $\langle x , y \rangle = \langle y , x \rangle$. \pause Zatem  \emph{rzeczywisty iloczyn skalarny jest funkcj\k{a}} \textbf{dwuliniow\k{a} symetryczn\k{a}}!
\end{block}
}
\frame{
\begin{block}{} 
\textbf{Prz.}
Wz\'or $\langle x , y \rangle =\sum_{k=1}^nx(k)\overline{y(k)}$ definiuje iloczyn skalarny na przestrzeni sko\'nczenie wymiarowej
$H=\F^n$.
\end{block}\pause 
\begin{block}{} 
\textbf{Prz.}
Wz\'or $\langle x , y \rangle =\sum_{k=1}^\infty x(k)\overline{y(k)}$ definiuje iloczyn skalarny na przestrzeni ci\k{a}g\'ow sumowalnych w kwadracie $H=\ell^2$.
\end{block} \pause 
\begin{block}{ }  \textbf{Prz.} Wz\'or $\langle x , y \rangle =\int_{\Omega} x(t) \cdot \overline{y(t)}\, d\mu$  definiuje iloczyn skalarny na przestrzeni 
 funkcji ca\l{}kowalnych w kwadracie  $H=L^2(\mu)$. %na przestrzeni z miar\k{a} $(\Omega,\Sigma,\mu)$.
\end{block} \pause 

\begin{block}{} \textbf{Uw.} 
Nier\'owno\'s\'c H\"oldera dla $p=q=2$, czyli  \pause 
\\[8pt]
\qquad \qquad \qquad \qquad $
\int_{\Omega} |x(t)y(t)|\, d\mu\leq \|x\|_2 \cdot \|y\|_2, 
$ \pause 
\\[8pt]
zwana  r\'ownie\.z \textbf{nier\'owno\'sci\k{a} Schwartza}, \pause   gwarantuje \.ze iloczyn skalarny na $L^2(\mu)$ jest poprawnie okre\'slony. \pause 
Zauwa\.zmy, \.ze
%$$\|x\|_2=\left(\int\limits_{\Omega} |x(t)|^2\, d\mu\right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\langle x , x \rangle}.
%$$
\\[8pt]
\qquad \qquad\quad\quad  $\|x\|_2=\left(\int_{\Omega} |x(t)|^2\, d\mu\right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\langle x , x \rangle}.
$
\end{block} 


$$
\qquad
$$
}


\frame{
\begin{block}{}
\textbf{Def.} \textbf{Norm\k{a}} elementu $x\in H$ w przestrzeni unitarnej $H$ nazywamy \pause 
\\[4pt]
\qquad \qquad\qquad \qquad \qquad\quad$
\|x\|:=\sqrt{\langle x , x \rangle}.
$ \pause 
\end{block}
\begin{block}{}
\textbf{Lem.} %[``Uog\'olniony wz\'or skr\'oconego mno\.zenia'']
%\label{lem:square_norm_of_sum}
%Dla dowolnych wektor\'ow $x,y$ w przestrzeni unitarnej zachodzi
$
\|x+y\|^2=\|x\|^2+2\re\langle x , y \rangle+\|y\|^2
$ dla   $x,y\in H$ \pause \begin{picture}(0,0)(0,0)
\put(0,-10){\includegraphics[scale=0.09]{house.png}}
\end{picture}
\end{block} \pause 
\begin{block}{\textbf{Tw. (Nier\'owno\'s\'c Schwartza)}} \pause 
Dla dowolnych wektor\'ow $x,y$ przestrzeni unitarnej zachodzi 
\\[7pt]
\qquad \qquad\qquad \qquad \quad\quad
$
|\langle x , y \rangle|\leq \|x\| \cdot \|y\|.
$ 
\end{block} \pause 
\textbf{Dow\'od:}  \pause  Niech $\lambda\in \F$ takie, \.ze $|\lambda|=1$ oraz $|\langle x , y \rangle|=\lambda \langle x , y \rangle$. \pause 
Dla ka\.zdego $t\in \R$ mamy \pause 
\\[3pt]
\qquad  $
0 \leq   \langle t\lambda x+y ,  t\lambda x+y\rangle \pause 
=\|t\lambda x\|^2+2\re  \langle t\lambda x , y \rangle+\|y\|^2 \pause 
$
\\[3pt]
\qquad \qquad  \qquad\qquad \qquad  \quad\,\,\,\, \,$=t^2\| x\|^2+2t  |\langle  x , y \rangle|+\|y\|^2. 
$ \pause 
\\[3pt]
Zatem funkcja  $f(t):=t^2\| x\|^2+2t  |\langle  x , y \rangle|+\|y\|^2$ jest nieujemna.  \pause 
\\[3pt]
Czyli jej wyr\'o\.znik  jest niedodatni: \pause 
$
\Delta=4|\langle  x , y \rangle|^2- 4 \|x\|^2\|y\|^2\leq 0. \pause 
$
\\[3pt]
Po przekszta\l{}ceniach daje to $|\langle x , y \rangle|\leq \|x\| \cdot \|y\|$. \pause  $\blacksquare$ 
}
\frame{
\begin{block}{ }
\textbf{Wn.} Funkcja $\|\cdot\|=\sqrt{\langle \cdot, \cdot \rangle}$   \pause  jest norm\k{a} na przestrzeni unitarnej. 
\end{block}
 \pause 
\textbf{Dow\'od:}  \pause    $\|x\|=0$   \pause $\Longleftrightarrow$ $\langle x,x \rangle =0$  \pause $\Longleftrightarrow$ $x=0$.  \pause
Dla $\lambda\in \F$ mamy  \pause
\\[4pt]
$
\|\lambda x\|   \pause =\sqrt{\langle \lambda x,\lambda x \rangle} \pause=  \sqrt{\lambda\overline{\lambda}\langle  x, x \rangle} \pause=\sqrt{|\lambda|^2\langle  x, x \rangle}
=|\lambda|\cdot \| x\|.
$  \pause
\\[4pt]
%Z nier\'wno\'sci $\re z\leq |z|^2$, $z\in \C$, oraz nier\'wno\'sci Schwartza,
Dla $x,y\in H$ mamy   \pause
\\[2pt]
 $
\|x+y\|^2= \pause \|x\|^2+2\re\langle x , y \rangle+\|y\|^2  \pause\stackrel{\re z\leq |z|}{\leq}  \pause  
\|x\|^2+2|\langle x , y \rangle|+\|y\|^2$  \pause
\\[4pt]
\qquad \quad $\stackrel{Schwartz}{\leq}  \|x\|^2+2\|x\|\cdot\| y\| +\|y\|^2=(\|x\|+\|y\|)^2.
$  \pause
\\[4pt]
Pierwiastkuj\k{a}c  otrzymujemy nier\'owno\'s\'c tr\'ojk\k{a}ta.   $\blacksquare$ \pause
\begin{block}{}\textbf{Def.}
\textbf{Przestrze\'n  Hilberta} = przestrze\'n unitarna,\\
 \pause kt\'ora jest zupe\l{}na w normie $\|\cdot\|=\sqrt{\langle \cdot, \cdot \rangle}$. \pause  \begin{picture}(0,0)(102,5)
\put(141,-2){\includegraphics[scale=0.24]{Hilbert1.jpg}}
\put(145,-2){\tframed[line width=1bp,fill=white!60]{\tiny Hilbert}}  \pause
\put(177,-2){\includegraphics[scale=0.042]{Neumann2.jpg}}
\put(176,-2){\tframed[line width=1bp,fill=white!60]{\tiny  Neumann}} \pause
\end{picture}
\end{block}
\pause 
\begin{block}{}
\textbf{Uw.} Nier\'owno\'s\'c Schwartza implikuje, \.ze iloczyn skalarny $\langle \cdot,\cdot \rangle : H \times H \to \F$   \pausejest funkcj\k{a} ci\k{a}g\l{}\k{a} w normie, kt\'or\k{a} zadaje.  \pause
W szczeg\'olno\'sci, przed\l{}\'o\.za si\k{e} on do uzupe\l{}nienia przestrzeni $H$. \pause \textbf{Uzupe\l{}nienie przestrzeni unitarnej jest %w naturalny spos\'ob 
przestrzeni\k{a} Hilberta!}
\end{block}
}

\frame{
 \textbf{To\.zsamo\'s\'c r\'ownoleg\l{}oboku} m\'owi, \.ze:   \pause 
\\
 \emph{suma kwadrat\'ow d\l{}ugo\'sci bok\'ow w  } 
\\
\emph{r\'ownoleg\l{}oboku jest r\'owna  \pause  sumie }
\\
\emph{kwadrat\'ow d\l{}ugo\'sci przek\k{a}tnych}  \pause  \begin{picture}(0,1)(-31.5,7)
\put(0,0){\includegraphics[scale=0.145]{paralleogram_identity.png}}
%\put(71,-39){$x$} \put(105,20){$x$}
%\put(10,-6){$y$} \put(155,-11){$y$} 
%\put(28,-16){\rotatebox{17}{$x+y$}} \put(65,11){\rotatebox{-30}{$x-y$}}
\end{picture}	
\pause 
\begin{block}{ \textbf{Twierdzenie.}}
W  przestrzeni unitarnej $H$ zachodzi \textbf{to\.zsamo\'s\'c r\'ownoleg\l{}oboku}: \pause 
$$%\begin{equation}\label{eq:rownoleglobok_id}
\forall_{x,y\in H}\qquad \|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\left(\|x\|^2+\|y\|^2\right)\qquad 
$$%\end{equation} 
\pause 
oraz iloczyn skalarny jest jednoznacznie wyznaczony przez norm\k{e} \textbf{wzorem polaryzacyjnym}: \pause 
$$%\begin{equation}\label{eq:polaryzacyjne}
\langle x , y \rangle 
=\begin{cases}
\frac{1}{4}(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2), & \text{gdy }\F=\R,
\\
\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k\|x+i^ky\|^2, & \text{gdy }\F=\C.
\end{cases}
$$%\end{equation} 
\pause 
Na odwr\'ot, je\'sli $(X,\|\cdot\|)$ jest przestrzeni\k{a} unormowan\k{a},  \pause  w kt\'orej spe\l{}niona
jest to\.zsamo\'s\'c r\'ownoleg\l{}oboku, \pause  to wz\'or polaryzacyjny 
zadaje iloczyn skalarny na $X$ taki, \.ze $\|x\|=\sqrt{\langle x , x \rangle}$. 
\end{block}
}
\frame{
\begin{block}{} \textbf{Wn.}  Przestrze\'n Banacha $(X,\|\cdot\|)$ jest przestrzeni\k{a} Hilberta \pause  wtedy i tylko wtedy, gdy  \pause  norma $\|\cdot\|$ spe\l{}nia to\.zsamo\'s\'c
r\'ownoleg\l{}oboku.
\end{block}
\pause 
\textbf{Prz.} 
 Przestrze\'n $L^p(\mu)$, $p\geq 1$, dla  przestrzeni z miar\k{a} $(\Omega,\Sigma,\mu)$, \pause  jest przestrzeni\k{a} Hilberta wtedy i tylko wtedy, gdy \pause  $p=2$.\pause 

\\[4pt]
%Wiemy, \.ze  $L^2(\mu)$ jest przestrzeni\k{a} Hilberta. 
Za\l{}\'o\.zmy, \.ze w  $L^p(\mu)$ jest spe\l{}niona to\.zsamo\'s\'c r\'ownoleg\l{}oboku. \pause  We\'zmy  zbiory roz\l{}\k{a}czne $A,B\in \Sigma$ takie, \.ze $0<\mu(A),\mu(B)<\infty$. \pause 
K\l{}ad\k{a}c $x:=\mathds{1}_{A}$ i $y=\mathds{1}_{B}$ mamy \pause 
\\[3pt]
\qquad \qquad $
\|x+y\|_p^2+\|x-y\|_p^2=2\mu(A\cup B)^{\frac{2}{p}},
$ \pause 
\\[3pt]
\qquad \qquad \qquad $
2\left(\|x\|_p^2+\|y\|_p^2\right)= 2\left(\mu(A)^{\frac{2}{p}}+ \mu(B)^{\frac{2}{p}}\right).
$ \pause 
\\[3pt]
Dziel\k{a}c obustronnie mamy $1=\left(\frac{\mu(A)}{\mu(A\cup B)}\right)^{\frac{2}{p}}+ \left(\frac{\mu(B)}{\mu(A\cup B) }\right)^{\frac{2}{p}}$.  \pause  Czyli k\l{}ad\k{a}c $\lambda_1:=\frac{\mu(A)}{\mu(A\cup B)}$ oraz $\lambda_2:=\frac{\mu(B)}{\mu(A\cup B)}$ \pause  dostajemy liczby takie, \.ze  \pause 
\\[3pt]
\qquad \qquad $0<\lambda_1, \lambda_2<1$, \pause  \qquad 
$\lambda_1+\lambda_2=1\pause =(\lambda_1)^{\frac{2}{p}}+(\lambda_2)^{\frac{2}{p}}.$
\\[3pt] \pause 
Te relacje mog\k{a} zachodzi\'c tylko wtedy, gdy $p=2$, \pause  gdy\.z je\'sli $p>2$ to  $\lambda_i > (\lambda_i)^{\frac{2}{p}}$, \pause  a
je\'sli $p<2$ to $\lambda_i <(\lambda_i)^{\frac{2}{p}}$ dla $i=1,2$. \pause 
\\
\begin{picture}(0,70)(0,0)
\put(266,167){\includegraphics[scale=0.145]{flower.png}}
\end{picture}
}
\end{document}



\end{rem}
\begin{thm}


\begin{proof}
Pierwsz\k{a} cz\k{e}\'s\'c tezy dowodzi si\k{e} poprzez proste rachunki z wykorzystaniem Lematu \ref{lem:square_norm_of_sum}. 
Dlatego dow\'od tej cz\k{e}\'sci pozostawiamy jako prac\k{e} domow\k{a} (\home policzy\'c).
Dow\'od drugiej cz\k{e}\'sci twierdzenia jest znacznie trudniejszy i dlatego te\.z  pozostawiamy go jako prac\k{e} domow\k{a} (\home dla ch\k{e}tnych) -
najlepiej poszuka\'c w literaturze.
 \end{proof}
\begin{cor}
Przestrze\'n Banacha $(X,\|\cdot\|)$ jest przestrzeni\k{a} Hilberta wtedy i tylko wtedy, gdy spe\l{}niona jest to\.zsamo\'s\'c
r\'ownoleg\l{}oboku \eqref{eq:rownoleglobok_id}.
\end{cor}
\begin{ex}
\end{ex}

Iloczyn skalarny pozwala zdefiniowa\'c  cosinus k\k{a}ta $\alpha$ 
pomi\k{e}dzy dwoma wektorami $x, y\in H$,  stosuj\k{a}c znany ze szko\l{}y podstawowej wz\'or: 
$$
\cos \alpha:=\frac{\langle x, y \rangle}{\|x\|\cdot\|y\|}.
$$
 W przypadku rzeczywistym, bior\k{a}c arcus tangens mo\.zemy za pomoc\k{a} tego wzoru zdefiniowa\'c sam k\k{a}t 
$\alpha$. Zauwa\.zmy, \.ze wektory $x$, $y$ s\k{a} do siebie prostopad\l{}e, gdy  $\cos\alpha=\cos 90^{\circ}=0$, czyli gdy $\langle x, y \rangle=0$.
Uwaga to prowadzi do nast\k{e}puj\k{a}cej definicji poj\k{e}cia ortogonalno\'sci w og\'olnych (abstrakcyjnych) przestrzeniach unitarnych:
\begin{defn}
Powiemy, \.ze wektory $x,y\in H$ w przestrzeni unitarnej $H$ s\k{a} \emph{ortogonalne} (lub te\.z \emph{prostopad\l{}e}), co zapisujemy  $x\perp y$,
je\.zeli ich iloczyn skalarny wynosi zero. To znaczy
$$
x\perp y  \quad \Longleftrightarrow\quad \langle x, y \rangle=0.
$$
\end{defn}
\begin{rem}
Z antysymetrii i dodatniej-okre\'slono\'sci iloczynu skalarnego, patrz Definicja \ref{def:iloczyn_skalarny}, wynika, \.ze relacja ortogonalno\'sci jest symetryczna, tzn. $x\perp y$ $\Leftrightarrow$ $y\perp x$, oraz jedynym wektorem prostopad\l{}ym do siebie jest $x=0$. 
\end{rem}
Poj\k{e}cie iloczynu skalarnego pozwala na najkr\'otszy dow\'od Twierdzenia Pitagorasa  jaki do tej pory 
widzieli\'scie.\footnote{W ksi\k{a}\.zce E. S. Loomis, The Pythagorean Proposition, NCTM, 1968, spisanych jest 367 r\'o\.znych dowod\'ow tego twierdzenia} 
Mianowicie, zauwa\.zmy, \.ze twierdzenie: 
%\begin{picture}(90,0)(-80,42)
%\put(1,-23){\includegraphics[scale=0.45]{triangle3.png}}
%\put(48,-13){$x$}% \put(105,20){$x$}

%\put(28,10){\rotatebox{37}{$x+y$}} \put(89,11){$y$}
%\end{picture}	
\begin{quote}
\begin{picture}(0,0)(-350,25)
\put(1,-23){\includegraphics[scale=0.45]{triangle3.png}}
\put(48,-13){$x$}% \put(105,20){$x$}
\put(28,10){\rotatebox{37}{$x+y$}} \put(89,11){$y$}
\end{picture}
	``\emph{W  tr\'ojk\k{a}cie prostok\k{a}tnym suma kwadrat\'ow d\l{}ugo\'sci przyprostok\k{a}tnych}
\\
 \emph{ jest r\'owna kwadratowi d\l{}ugo\'sci przeciwprostok\k{a}tnej}'',
\end{quote}
\noindent w j\k{e}zyku wektor\'ow 
 przyjmuje
nast\k{e}puj\k{a}c\k{a} posta\'c: 

%\begin{center}

%\end{center}
\begin{lem}[Twierdzenie Pitagorasa]\label{lem:pythagoras}
Je\'sli $x\perp y$, to $\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2$.
\end{lem}
\begin{proof}
$\|x+y\|^2\stackrel{\ref{lem:square_norm_of_sum}}{=}\|x\|^2+2\re\langle x , y \rangle+\|y\|^2\stackrel{x\bot y}{=}\|x\|^2+\|y\|^2$.
\end{proof} 
\begin{rem}
Z dowodu wida\'c, \.ze w przypadku rzeczywistym powy\.zsz\k{a} implikacj\k{e} mo\.zna odwr\'oci\'c, tzn.
je\'sli $H$ to rzeczywista przestrze\'n unitarna, to  $x\perp y$ $\Longleftrightarrow $ $\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2$.
\end{rem}
B\k{e}dziemy te\.z rozwa\.za\'c wektory prostopad\l{}e do podzbior\'ow:
\begin{defn}
\emph{Dope\l{}nieniem ortogonalnym} podzbioru $M\subseteq H$ przestrzeni unitarnej $H$ nazywamy zbi\'or
$$
M^\bot:=\{x\in H: x\perp y \text{ dla ka\.zdego }y\in M\}.
$$
Je\'sli $x\in M^\bot$ to piszemy te\.z $x\perp M$ i m\'owimy, \.ze $x$ jest \emph{ortogonalny do  zbioru $M$}. Dla dw\'och zbior\'ow 
$N, M\subseteq H$ piszemy $N\perp M$ je\.zeli $n\perp m$ dla ka\.zdego $n\in N$ i $m\in M$.
\end{defn}

\begin{prop}\label{stw:orthogonal_complement_space} Dope\l{}nienie ortogonalne $M^\bot$ jest domkni\k{e}t\k{a} przestrzeni\k{a} liniow\k{a}. % dla ka\.zdego $M\subseteq H$.
\end{prop}
\begin{proof}
Mo\.zna to stwierdzenie dowie\'s\'c wprost korzystaj\k{a}c z definicji. My  przedstawimy tu dow\'od,
kt\'ory uwidoczni rol\k{e} funkcjona\l{}\'ow liniowych. Przypomnijmy, \.ze iloczyn skalarny jest liniowy ze wzgl\k{e}du
na pierwsz\k{a} wsp\'o\l{}rz\k{e}dn\k{a}. Zatem dla ka\.zdego $y\in H$ wz\'or
$$
f_y(x):=\langle x, y\rangle, \qquad x\in H,
$$
definiuje funkcjona\l{} liniowy $f_y:H\to \F=\R,\C$. 
Z nier\'owno\'sci Schwartza wynika, \.ze
$$
|f_y(x)|=|\langle x, y\rangle|\leq  \|x\| \cdot \|y\|,
$$
tzn. funkcjona\l{} $f_y$ jest ograniczony oraz $\|f_y\|\leq \|y\|$ (w rzeczywisto\'sci, $\|f_y\|=\|y\|$, bo je\'sli $y\neq 0$, to k\l{}ad\k{a}c 
$x=\frac{y}{\|y\|}$ mamy $\|x\|=1$ oraz $|f_y(x)|=|\langle \frac{y}{\|y\|}, y\rangle|=\frac{\|y\|^2}{\|y\|}=\|y\|$).
Zatem $f_y$ jest ci\k{a}g\l{}y i jego j\k{a}dro $\ker f_y= f_y^{-1}(0) \subseteq H$ jest  domkni\k{e}t\k{a} podprzestrzeni\k{a} liniow\k{a}. Teraz wystarczy zauwa\.zy\'c, \.ze 
$$
M^\bot:=\{x\in H: \langle x, y\rangle=0 \text{ dla ka\.zdego }y\in M\}=\bigcap_{y\in M} \ker f_y.
$$
Sk\k{a}d $M^\bot$ jest  domkni\k{e}t\k{a} podprzestrzeni\k{a} liniow\k{a} (bo przekr\'oj przestrzeni liniowych jest przestrzeni\k{a} liniow\k{a}, a przekr\'oj zbior\'ow domkni\k{e}tych jest zbiorem domkni\k{e}tym). 
\end{proof}
Wprost z definicji wynika, \.ze $M\subseteq M^{\bot\bot}:=(M^\bot)^\bot$ oraz na mocy Stwierdzenia \ref{stw:orthogonal_complement_space}, \.zeby w tej inkluzji zachodzi\l{}a r\'owno\'s\'c $M$ musi by\'c domkni\k{e}t\k{a} podprzestrzeni\k{a} liniow\k{a}. 
W rzeczywisto\'sci oczekiwaliby\'smy, \.zeby dla domkni\k{e}tej podprzestrzeni $M\subseteq H$ zachodzi\l{}y relacje 
$$
M=M^{\bot\bot}\qquad\text{oraz} \qquad H=M\oplus M^{\bot}.
$$
Relacje te rzeczywi\'scie maj\k{a}
miejsce w ka\.zdej przestrzeni Hilberta  (wyka\.zemy to w kolejnym podrozdziale). Zupe\l{}no\'s\'c przestrzeni pe\l{}ni tu  kluczow\k{a} rol\k{e} i w przestrzeniach unitarnych niezupe\l{}nych dope\l{}nienie ortogonalne na og\'o\l{} nie ma dobrych w\l{}asno\'sci:
\begin{ex}[Zdegenerowane dope\l{}nienie ortogonalne w niezupe\l{}nej przestrzeni unitarnej]\label{ex:zdegenerowana_podprzestrzen_ortogonalna}
Niech $H=c_{00}=\{ x=(x(1),x(2),...,x(N),0,0,...):  N\in \N, x(k)\in \F\}$ b\k{e}dzie przestrzeni\k{a} 
 ci\k{a}g\'ow ze sko\'nczon\k{a} ilo\'sci\k{a} wyraz\'ow niezerowych. Jest to przestrze\'n unitarna wraz z iloczynem skalarnym
$\langle x , y \rangle =\sum_{k=1}^\infty x(k)\overline{y(k)}$, dla $x,y\in H$. Wtedy $H$ jest g\k{e}st\k{a} podprzestrzni\k{a} liniow\k{a} w przestrzeni Hilberta  $\ell^2$, tzn.  $\overline{H}=\ell^2$, por. Przyk\l{}ad \ref{ex:przeliczalny_Hilbert}. W szczeg\'olno\'sci,  $H$ \emph{nie jest przestrzeni\k{a} zupe\l{}n\k{a}!}
Rozwa\.zmy domkni\k{e}t\k{a} podprzestrzeni\k{a} liniow\k{a} $H$ dan\k{a} wzorem
$$
M:=\left\{x\in H: \sum_{k=1}^\infty x(k)=0\right\}
$$
(domkni\k{e}to\'s\'c wynika z faktu, \.ze zbie\.zno\'s\'c w $H$ poci\k{a}ga zbie\.zno\'s\'c po wsp\'o\l{}rz\k{e}dnych, a suma  $\sum_{k=1}^\infty x(k)$ jest de facto sko\'nczona, bo $x\in H=c_{00}$).
Oczywi\'scie  $M\neq H$. Mimo, to twierdzimy, \.ze
$$
M^\bot=\{0\}.
$$
Rzeczywi\'scie, niech $y\in M^\bot$. Po\l{}\'o\.zmy $x_n:=(\underbrace{0,...,0}_{n-1},1,-1,0,0,...)$  dla $n>0$. Wtedy $x_n\in M$ oraz 
$\langle x_n,y\rangle=0$ oznacza, \.ze $y(n)=y(n+1)$, dla ka\.zdego $n>0$. St\k{a}d $y=(y(1),y(1),y(1),...)$ jest ci\k{a}giem sta\l{}ym, kt\'ory od pewnego miejsca si\k{e} zeruje, bo $y\in H$. Zatem $y=0$. W szczeg\'olno\'sci
$$
 \qquad M+M^\bot\neq H,\qquad  M\neq M^{\bot \bot}=\{0\}^{\bot}=H.
$$
 \end{ex}


\section{Rzut ortogonalny}
Niech $H$ b\k{e}dzie przestrzeni\k{a} Hilberta.
Jedn\k{a} z kluczowych operacji, kt\'or\k{a} mo\.zna wykonywa\'c w przestrzeniach Hilberta jest rzut ortogonalny.
Intuicyjnie rzecz bior\k{a}c (patrz rysunek poni\.zej), rzut ortogonalny wektora $x\in H$ na podprzestrze\'n $M\subseteq H$ to jest taki wektor
$y$ z przestrzeni $M$, \.ze wektor $x-y$ jest ortogonalny do przestrzeni $M$.
\begin{center}
\begin{picture}(290,122)(0,-12)\label{rys:rzut_ortogonalny}
\put(1,-23){\includegraphics[scale=0.45]{rzut.png}}
\put(35,-5){\large $M$}% \put(105,20){$x$}
\put(172,11){\large$y$} %\put(155,-11){$y$}
\put(158,103){\large$x$}
\put(175,23){\rotatebox{90}{$\underbrace{\qquad\qquad\qquad\quad}$}} \put(185,62){\large$x-y$}
\end{picture}	
\end{center}
\begin{defn}
\emph{Rzutem ortogonalnym} wektora $x\in H$ na podprzestrze\'n $M\subseteq H$ nazywamy wektor $y\in M$ taki, \.ze 
$x-y\perp M$. Piszemy wtedy $P_Mx=y$. Czyli 
$$ 
P_Mx=y  \quad\stackrel{def}{\Longleftrightarrow}\quad
\forall_{z\in M}\,\,\, \langle x-y,z \rangle=0.
$$
\end{defn}
\begin{rem}
Rzut ortogonalny $P_Mx$ jest wyznaczony jednoznacznie! 
Rzeczywi\'scie, je\'sli $y,y'\in M$ takie, \.ze  $\langle x-y,z \rangle=0$ oraz $\langle x-y',z \rangle=0$ dla ka\.zdego $z\in M$,
 to bior\k{a}c za $z=y-y'\in M$ oraz odejmuj\k{a}c stronami poprzednie r\'owno\'sci otrzymujemy $\langle y-y',y-y' \rangle=0$, sk\k{a}d $y=y'$.
\end{rem}
W przestrzeniach Hilberta rzut ortogonalny  na domkni\k{e}t\k{a} podprzestrze\'n zawsze istnieje. Ale dow\'od jest nietrywialny i zajmie nam kolejnych kilka stron. 
Co wi\k{e}cej w przestrzeniach unitarnych niezupe\l{}nych (tzn. gdy $H$ nie jest przestrzeni\k{a} Hilberta) rzut ortogonalny
mo\.ze nie istnie\'c:
\begin{ex}[Nieistnienie rzutu ortogonalnego w przestrzeniach niezupe\l{}nych]
Rozwa\.zmy przestrze\'n unitarn\k{a} $H=c_{00}$  i jej domkni\k{e}t\k{a} podprzestrze\'n $M$ z Przyk\l{}adu \ref{ex:zdegenerowana_podprzestrzen_ortogonalna}. 
Dla wektora $x:=(1,1,0,0,...)\in H$ rzut na $M$ nie istnieje. Rzeczywi\'scie, gdyby istnia\l{}  $y\in M$ taki, \.ze 
$x-y\perp M$, czyli $x-y\in M^\bot$, to st\k{a}d \.ze $M^\bot=\{0\}$ otrzymaliby\'smy, \.ze $x=y$, co  prowadzi do sprzeczno\'sci, bo $x\not\in M$ i $y\in M$.
W tym przyk\l{}adzie kluczow\k{a} role odgrywa de facto nie brak zupe\l{}no\'sci przestrzeni $H$, lecz brak zupe\l{}no\'sci podprzestrzeni $M$, patrz Uwaga \ref{rem:existence_orthogonal_projection}  poni\.zej. 
%Zauwa\.zmy, \.ze $H$ jest g\k{e}st\k{a} podprzestrzeni\k{a} przestrzeni Hilberta $\ell^2$, ale podprzestrze\'n $M\subseteq \ell^2$ nie jest domkni\k{e}ta w $\el_2$ 
\end{ex}
  
 Rzut ortogonalny na podprzestrze\'n jednowymiarow\k{a}
 istnieje zawsze,  nawet w niezupe\l{}nych przestrzeniach unitarnych. Co wi\k{e}cej,   mo\.zemy na taki rzut wypisa\'c konkretny wz\'or:
\begin{ex}[Rzut ortogonalny na podprzestrze\'n jednowymiarow\k{a}]\label{ex:one-dimensional_projection}
 Niech $M=\{\lambda y:\lambda\in \F\}$
b\k{e}dzie przestrzeni\k{a} rozpi\k{e}t\k{a} przez niezerowy wektor $y\in H$. Niech $x\in H$.
Aby wyznaczy\'c $P_M x$ trzeba znale\'z\'c  skalar $\lambda_0\in \F$ taki, 
\.ze $x-\lambda_0 y \perp M$, ale skoro $M$ jest rozpi\k{e}ta przez $y$, to
$$
\forall_{z\in M}\,\,\, \langle x-\lambda_0 y,z \rangle=0 \,\, \stackrel{z=\lambda y}{\Longleftrightarrow}\,\, \langle x-\lambda_0 y,y \rangle=0 
\,\, \Longleftrightarrow\,\, \langle x,y \rangle -\lambda_0 \langle y,y \rangle=0\,\, \Longleftrightarrow\,\, 
\lambda_0=\frac{\langle x,y \rangle }{  \langle y,y \rangle}.
$$
Zatem 
$$
P_Mx=\lambda_0 y =\frac{\langle x,y \rangle }{ \langle y,y \rangle}y=\frac{\langle x,y \rangle }{  \| y \|^2}y.
$$ 
Rzut ten nazywa si\k{e} te\.z \emph{rzutem ortogonalnym} wektora $x$ \emph{na wektor} $y$ i oznacza przez $P_y x$. Czyli
$$
P_y x:=\frac{\langle x,y \rangle }{  \| y \|^2}y.
$$
\end{ex}
\begin{rem}[Alternatywny dow\'od nier\'owno\'sci Schwartza]\label{rem:drugi_dowod_Schwartza} 
Odleg\l{}o\'s\'c $x$ od jego rzutu $P_y x$, czyli warto\'s\'c $\|x- P_y x\|$, mo\.zna, a nawet nale\.zy traktowa\'c jako odleg\l{}o\'s\'c wektora $x$ od przestrzeni rozpi\k{e}tej przez $y$. 
Obliczaj\k{a}c kwadrat tej odleg\l{}o\'sci  otrzymujemy dow\'od nier\'owno\'sci Schwartza.
Rzeczywi\'scie, za\l{}\'o\.zmy, \.ze $y\neq 0$. Wtedy $P_y x=\frac{\langle x,y \rangle }{  \| y \|^2}y$ i st\k{a}d
%Zauwa\.zmy dalej, \.ze 
\begin{align*}
 \|x-P_yx\|^2&\stackrel{\ref{lem:square_norm_of_sum}}{=}\|x\|^2-2 \re\left\langle x,\frac{\langle x,y \rangle}{ \| y \|^2}y \right\rangle 
+   \frac{|\langle x,y \rangle|^2 }{ \| y \|^4}\| y \|^2 
=\|x\|^2-2 \frac{|\langle x,y \rangle|^2}{ \| y \|^2}
+ \frac{|\langle x,y \rangle|^2 }{\| y \|^2}
\\
&=\|x\|^2- \frac{|\langle x,y \rangle|^2 }{\| y \|^2}.
\end{align*}
Czyli $0\leq \|x-P_yx\|^2=\|x\|^2- \frac{|\langle x,y \rangle|^2 }{ \| y \|^2}$. Nier\'owno\'s\'c ta  jest r\'ownowa\.zna nier\'owno\'sci Schwartza 
$|\langle x,y \rangle|\leq \|x\|\cdot \|y\|$. Co wi\k{e}cej, widzimy st\k{a}d, \.ze r\'owno\'s\'c $|\langle x,y \rangle|= \|x\|\cdot \|y\|$ zachodzi wtedy i tylko wtedy, 
gdy $x=\frac{\langle x,y \rangle }{  \| y \|^2}y$ lub $y=0$. To z kolei jest r\'ownowa\.zne temu, \.ze $x$ i $y$ s\k{a} liniowo zale\.zne (bo je\'sli $x=\lambda y$ i $y\neq 0$, to $\frac{\langle x,y \rangle }{  \| y \|^2}=\lambda$).
\end{rem}
\begin{cor}
R\'owno\'s\'c $|\langle x,y \rangle|= \|x\|\cdot \|y\|$  w nier\'owno\'sci Schwartza  zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wektory 
$x$ i $y$ s\k{a} liniowo zale\.zne.
\end{cor}
Rysunek na stronie \pageref{rys:rzut_ortogonalny} sugeruje, \.ze je\.zeli $y=P_Mx$ jest rzutem ortogonalnym  wektora $x\in H$ na podprzestrze\'n $M\subseteq H$,  
to d\l{}ugo\'s\'c  $\|y-x\|$ powinna by\'c odleg\l{}o\'sci\k{a} wektora $x$ od przestrzeni $M$. 
To znaczy $y=P_Mx\in M$ powinien by\'c wektorem, w kt\'orym  realizuje si\k{e} poni\.zsze infinimum
$$
\dist(x,M)=\inf_{z\in M}\|x-z\|.
$$
Poka\.zemy, \.ze w istocie tak jest (o ile $M$ jest domkni\k{e}t\k{a} poprzestrzeni\k{a}). 
%Nie tylko daje to  kolejn\k{a} interpretacj\k{e} i zastosowanie rzutu ortogonalnego, de facto 
Interpretacja ta jest kluczowa dla dowodu istnienia rzutu ortogonalnego w przestrzeni Hilberta!
Mianowicie, poka\.zemy, \.ze dla ka\.zdego domkni\k{e}tego podzbioru wypuk\l{}ego $M\subseteq H$ przestrzeni Hilberta $H$ oraz wektora $x\in H$ istnieje dok\l{}adnie jeden $y\in M$ taki, \.ze
$$
\|x-y\|=\inf_{z\in M}\|x-z\|.
$$
Przypomnijmy, \.ze zbi\'or $M\subseteq H$ jest \emph{wypuk\l{}y}, je\.zeli $\forall_{x,y\in M} \forall_{\lambda\in [0,1]} \lambda x +(1-\lambda)y \in M$,
tzn. gdy  ka\.zdy odcinek o ko\'ncach w $M$ ca\l{}y zawiera si\k{e} w $M$, patrz rysunek:
\begin{center}
\begin{picture}(290,84)(0,0)\label{rys:convex}
 
\put(1,0){\includegraphics[scale=0.67]{convex3.png}}
\put(-38,69){wypuk\l{}y}
\put(45,15){$M$}% 
%\put(24,54){$x$}\put(78,70){$y$}
\put(160,23){\rotatebox{-10}{\includegraphics[scale=0.75]{unconvex3.png}}}
%\put(120,-23){\rotatebox{20}{\includegraphics[scale=0.4]{unconvex.jpg}}}
\put(193,58){$M$}
\put(245,75){niewypuk\l{}y}
\end{picture}	
\end{center}
Oczywi\'scie ka\.zda podprzestrze\'n liniowa jest zbiorem wypuk\l{}ym. 
\begin{thm}[O odleg\l{}o\'sci od zbioru wypuk\l{}ego]\label{thm:zbior_wypukly}
Niech $H$ przestrze\'n Hilberta. Dla dowolnego domkni\k{e}tego zbioru wypuk\l{}ego $M\subseteq H$ oraz punktu $x\in H$  istnieje \underline{dok\l{}adnie jeden} $y\in M$
taki, \.ze 
$
\|x-y\|=\dist(x,M)
$.
\end{thm}
\begin{proof} Zauwa\.zmy najpierw, \.ze ``przesuwaj\k{a}c''  zbi\'or $M$  mo\.zemy za\l{}o\.zy\'c, \.ze $x=0$ (nie jest to konieczne, lecz u\l{}atwia rachunki).
Rzeczywi\'scie, je\'sli $M$ jest domkni\k{e}ty i wypuk\l{}y, to zbi\'or $\widetilde{M}=x-M:=\{x-z:z\in M\}$ te\.z ma te w\l{}asno\'sci,  bo przesuni\k{e}cie o wektor oraz odbicie wzgl\k{e}dem zera s\k{a} homeomorfizmami  zachowuj\k{a}cymi kombinacje wypuk\l{}e\footnote{Odwzorowania zachowuj\k{a}ce kombinacje wypuk\l{}e nazywamy odwzorowaniami afinicznynymi}. Ponadto, $y\in M$ oraz $
\|x-y\|=\dist(x,M)
$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x-y\in \widetilde{M}$ oraz $\|x-y\|=\dist(0,\widetilde{M})=\inf_{\tilde{y}\in \tilde{M}}\|\tilde{y}\|$.

Za\l{}\'o\.zmy wi\k{e}c, \.ze $x=0$. Wtedy dowodzone twierdzenie przyjmuje  nast\k{e}puj\k{a}c\k{a} posta\'c: 
$$
M\subseteq H \text{ domkni\k{e}ty i wypuk\l{}y} \,\, \Longrightarrow\,\, {\exists!}_{y_0\in M}\,\, \|y_0\|=\inf_{y\in M}\|y\|.
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 
$$
Innymi s\l{}owy, potrzebujemy pokaza\'c, \.ze w  domkni\k{e}tym i wypuk\l{}ym 
\\
zbiorze $M$ istnieje dok\l{}adnie jeden element  o minimalnej normie.
\\[2pt]

``Istnienie''. Po\l{}\'o\.zmy $d:=\inf\limits_{y\in M}\|y\|$ i niech $\{y_n\}_{n=1}^\infty\subseteq M$ taki, \.ze
\begin{picture}(32,0)(-18,5)\label{rys:convex_zero}
 
\put(1,0){\includegraphics[scale=0.5]{convex_zero2.png}}
%\put(-38,70){wypuk\l{}y}
\put(41.5,41.5){$y_0$}
\put(71,73){ $M$}% 
\end{picture}
\\
$\|y_n\|\to d$.	Wystarczy pokaza\'c, \.ze $\{y_n\}_{n=1}^\infty$ jest ci\k{a}giem Cauchy, bo wtedy na mocy zupe\l{}no\'sci $H$ i domkni\k{e}to\'sci $M$,
ci\k{a}g ten jest zbie\.zny do pewnego $y_0\in M$,  a z ci\k{a}g\l{}o\'sci normy $\|y_0\|=\lim_{n\to \infty}\|y_n\|=d$.
Warunek Cauchy wynika z to\.zsamo\'sci r\'ownoleg\l{}oboku i wypuk\l{}o\'sci $M$:
\begin{align*}
 \|y_n-y_m\|^2&\stackrel{\eqref{eq:rownoleglobok_id}}{=}2\|y_n\|^2+ 2\|y_m\|^2 - \|y_n+y_m\|^2 =2\|y_n\|^2+ 2\|y_m\|^2 - 4\left\|\frac{y_n+y_m}{2}\right\|^2 
\\
&\stackrel{\frac{y_n+y_m}{2}\in M}{\leq}
2\|y_n\|^2+ 2\|y_m\|^2 -4d^2 \stackrel{n,m\to \infty}{\longrightarrow} 2d^2+2d^2-4d^2=0.
\end{align*}

``Jednoznaczno\'s\'c''. Je\.zeli $y_1$, $y_2\in M$ takie, \.ze $\|y_1\|=\|y_2\|=d$, to  rachunek niemal identyczny do tego powy\.zej pokazuje, \.ze
$y_1=y_2$: 
\begin{align*}
 \|y_1-y_2\|^2&\stackrel{\eqref{eq:rownoleglobok_id}}{=}2\|y_1\|^2+ 2\|y_2\|^2 - \left\|y_1+y_2\right\|^2 =2\|y_1\|^2+ 2\|y_2\|^2 - 4\left\|\frac{y_1+y_2}{2}\right\|^2 
\\
&\stackrel{\frac{y_1+y_2}{2}\in M}{\leq}
2\|y_1\|^2+ 2\|y_2\|^2 -4d^2 =2d^2+2d^2-4d^2=0.
\end{align*}
\end{proof}
\begin{rem}
W zbiorze niewypuk\l{}ym $M$   mog\k{a}  istnie\'c
dwa r\'o\.zne punkty $y_1,y_2\in H$ takie, \.ze $\|x-y_1\|=\|x-y_2\|=\dist(x,M)$. Takich punkt\'ow mo\.ze by\'c nawet niesko\'nczenie wiele. We\'zmy np. $H=\C$, $x=0$ i $M=\{z\in \C:|z|\geq 1\}$ dope\l{}nienie ko\l{}a jednostkowego. Wtedy $\|x-y\|=\dist(x,M)$ dla ka\.zdego $y$ le\.z\k{a}cego na okr\k{e}gu $S^1=\{z\in\C:|z|=1\}$.
\end{rem}
\begin{thm}[O istnieniu rzutu ortogonalnego]\label{thm:existence_orthogonal_projection}
 Dla dowolnej domkni\k{e}tej podprzestrzeni  $M\subseteq H$ przestrzeni Hilberta $H$  oraz punktu $x\in H$  istnieje rzut ortogonalny $y=P_Mx$.
Co wi\k{e}cej,  
\begin{equation}\label{eq:minimal_distance}
\|x-y\|=\dist(x,M)
\end{equation}
i rzut ortogonalny $y$ wektora $x$ na $M$ jest przez t\k{e} r\'owno\'s\'c  wyznaczony jednoznacznie.
\end{thm}
\begin{proof} Skoro $M$ jest zbiorem wypuk\l{}ym, to na mocy Twierdzenia \ref{thm:zbior_wypukly} istnieje $y\in M$ spe\l{}niaj\k{a}cy 
\eqref{eq:minimal_distance}. Musimy pokaza\'c, \.ze $x-y\perp M$. Niech $z\in M$. Dla ka\.zdego $t\in \F$, 
$y+tz\in M$, bo $M$ przestrze\'n liniowa. Zatem 
$$
\|x-y\|^2\stackrel{\eqref{eq:minimal_distance}}{\leq} \|x-(y+tz)\|^2=\|(x-y)+tz\|^2
\stackrel{\ref{lem:square_norm_of_sum}}{=}\|x-y\|^2-2 \re\left\langle x-y,tz \right\rangle 
+   |t|^2\| z \|^2.
$$
St\k{a}d, po skr\'oceniu przez $\|x-y\|^2$, dostajemy, \.ze $|t|^2\| z \|^2-2 \re\left\langle x-y,tz \right\rangle \geq 0$ dla ka\.zdego $t\in \F$.
K\l{}ad\k{a}c $t=se^{i\varphi}$, gdzie $\varphi:=\arg \langle x-y,z \rangle$ i $s\in \R$ %\footnote{W przypadku rzeczywistym, tzn. gdy $\F=\R$, to $e^{i\varphi}=-1,1$} 
nier\'owno\'s\'c ta przyjmuje posta\'c
$$
0\leq s^2|e^{i\varphi}|^2\| z \|^2-2 s \re(e^{-i\varphi}\left\langle x-y,z \right\rangle)=s^2\| z \|^2-2 s|\left\langle x-y,z \right\rangle|.
\footnote{Je\'sli $\F=\R$, to $e^{i\varphi}=\text{sign}\langle x-y,z \rangle\in \{ -1,1\}$ jest liczb\k{a} rzeczywist\k{a}, zatem powy\.zsze obliczenia maj\k{a} sens} 
$$
Czyli rzeczywista funkcja kwadratowa $f(s)=s^2\| z \|^2-2 s|\left\langle x-y,z \right\rangle|$ jest nieujemna i posiada miejsce zerowe dla $s=0$. 
St\k{a}d jej wyr\'o\.znik $\Delta =4 |\langle x-y,z \rangle|^2$ musi by\'c r\'owny zero, 
czyli $\langle x-y,z \rangle=0$, tzn. $x-y\perp z$. 
%Zatem je\'sli $\F=\R$ to funkcja kwadratowa   $t^2\| z \|^2- t 2 \langle x-y,z \rangle \geq 0$ 
%jest nieujemna i posiada miejsce zerowe dla $t=0$. St\k{a}d jej wyr\'o\.znik $\Delta =4 \langle x-y,z \rangle^2$ musi by\'c r\'owny zero, 
%czyli $\langle x-y,z \rangle=0$, tzn. $x-y\perp z$. 
%
%Je\'sli $\F=\C$ to 
%St\k{a}d funkcja kwadratowa $s^2\| z \|^2-2 s|\left\langle x-y,z \right\rangle|$, ze zmienn\k{a} $s$, jest nieujemna, i tak jak wcze\'sniej wynika st\k{a}d, \.ze  $x-y\perp z$. 
\end{proof}
\begin{rem}\label{rem:existence_orthogonal_projection}
Z powy\.zszego Twierdzenia wynika twierdzenie pozornie og\'olniejsze m\'owi\k{a}ce, \.ze  "`rzut ortogonalny $P_Mx$ istnieje dla dowolnej zupe\l{}nej podprzestrzeni 
 $M\subseteq H$ przestrzeni unitarnej $H$  oraz punktu $x\in H$"'. Rzeczywi\'scie, je\'sli $M$ jest zupe\l{}na, to jest domkni\k{e}t\k{a} podprzestrzeni\k{a} uzupe\l{}nienia przestrzeni $H$ do przestrzeni Hilberta $\overline{H}$, por. Uwaga  \ref{rem:completion_to_Hilbert_space}. Zatem Twierdzenie \ref{thm:existence_orthogonal_projection} zastosowane do inlkuzji $M\subseteq \overline{H}$ implikuje
t\k{e} og\'olniejsz\k{a} tez\k{e}.
\end{rem}
\begin{cor}\label{cor:complement_orthogonal}
Dla dowolnej domkni\k{e}tej podprzestrzeni $M$ przestrzeni Hilberta $H$ mamy
$$
H=M\oplus M^\bot,
$$
czyli $\forall_{x\in H}\,\, {\exists!}_{y\in M} {\exists!}_{z\in M^\bot} \,\, x=y+z$.
\end{cor}

\begin{proof}
Niech $x\in H$. Po\l{}\'o\.zmy $y:=P_Mx$ i $z:=x-y$. Wtedy $x=y+z$ oraz z definicji rzutu ortogonalnego $x-y \perp M$, tzn. $z\in M^\bot$. 
Aby pokaza\'c jednoznaczno\'s\'c tego rozk\l{}adu za\l{}\'o\.zmy, \.ze  $x=y'+z'$ dla pewnego $y'\in M$ i $z'\in M^\bot$. Wtedy 
$y-y'\in M$, $z-z'\in M^\bot$ oraz $y-y'=z-z'$, ale $M\cap M^{\bot}=\{0\}$ (bo  jedynym wektorem ortogonalnym do samego siebie jest wektor zerowy).
Zatem $y=y'$ oraz $z=z'$.  
\end{proof}
\begin{rem}\label{rem:komplementarne_rzuty}
Tez\k{e} powy\.zszego wniosku mo\.zna te\.z zapisa\'c jako $1=P_M+P_{M^\bot}$, gdzie $1$ jest operatorem identyczno\'sciowym na $H$. W szczeg\'olno\'sci, 
je\'sli $P_M$ jest rzutem ortogonalnym na domkni\k{e}t\k{a} podprzestrze\'n $M$, to $1-P_M$ jest rzutem na jej dope\l{}nienie ortogonalne $M^\bot$:
$$
P_{M^\bot}=1-P_M.
$$
\end{rem}
\begin{cor}
Je\'sli $M$  domkni\k{e}ta podprzestrze\'n  przestrzeni Hilberta, to
$
 (M^\bot)^\bot=M.
$
\end{cor}
\begin{proof}
Inkluzja $M\subseteq (M^\bot)^\bot$ jest jasna, bo 
$x\in M \implies x\perp M^\bot \implies x\in (M^\bot)^\bot$. \.zeby wykaza\'c,
inkluzj\k{e} odwrotn\k{a} we\'zmy element $x\in  (M^\bot)^\bot$. Zapiszmy go w postaci $x=y+z$ gdzie $y\in M$, $z\in M^\bot$, jak we Wniosku \ref{cor:complement_orthogonal}. Chcemy pokaza\'c, \.ze $z=0$, bo wtedy $x=y\in M$. W tym celu zauwa\.zmy, \.ze zar\'owno $x\in  (M^\bot)^\bot$ jak i $y\in M$ s\k{a} prostopad\l{}e do  $z\in M^\bot$, a st\k{a}d 
$
0{=}\left\langle x, z\right\rangle=\langle y+z, z\rangle=\langle y, z\rangle +\langle z, z\rangle=\langle z, z\rangle=\|z\|^2.
$ Czyli $z=0$.
\end{proof}
Na koniec om\'owimy operacj\k{e} brania rzutu ortogonalnego jako operator liniowy.
\begin{lem}
Rzut ortogonalny $H\ni x\to P_M x\in M\subseteq H$ na domkni\k{e}t\k{a} podprzestrze\'n przestrzni Hilberta jest ograniczonym operatorem liniowym. Ponadto $\|P_M\|=1$, chyba, \.ze
 $P_M\equiv 0$ (r\'ownowa\.znie $M=\{0\}$) i wtedy $\|P_M\|=0$.
\end{lem}
\begin{proof}
Niech $x, y\in H$ oraz $\alpha, \beta \in \F$. Chcemy wykaza\'c, \.ze  $P_M(\alpha x+\beta y)=\alpha P_M x+ \beta P_M y$. Z definicji rzutu ortogonalnego $P_M(\alpha x+\beta y)$ to jedyny element w $M$ taki, \.ze $(\alpha x+\beta y) - P_M(\alpha x+\beta y)\perp M$.
Wystarczy zatem pokaza\'c, \.ze wektor $\alpha P_M x+ \beta P_M y$   ma te same w\l{}asno\'sci. Jasne, \.ze $\alpha P_M x+ \beta P_M y \in M$ bo $M$ przestrze\'n liniowa.  
Korzystaj\k{a}c z (p\'o\l{}tora)liniowo\'sci iloczynu skalarnego, dla $z\in M$ mamy 
$$
\langle (\alpha x+\beta y) - (\alpha P_M x+ \beta P_M y), z\rangle 
=\alpha \langle x- P_M x,z\rangle +  
\beta \langle y - P_M y,z\rangle =0,
$$
 bo $x- P_M x$ oraz $y - P_M y$ s\k{a} ortogonalne do $M$ z definicji rzutu.
Zatem  $(\alpha x+\beta y) - (\alpha P_M x+ \beta P_M y)\perp M$ 
i st\k{a}d  $P_M(\alpha x+\beta y)=\alpha P_M x+ \beta P_M y$.
%Z definicji rzutu orotogonalnego,

Aby wykaza\'c ograniczono\'s\'c operatora $P_M$ we\'zmy dowolny $x\in H$. Korzystaj\k{a}c z  twierdzenia Pitagorasa 
oraz r\'owno\'sci
$1=P_M+P_{M^\bot}$, patrz Uwaga \ref{rem:komplementarne_rzuty}, otrzymujemy
$$
\|P_Mx\|^2\leq \|P_Mx\|^2 + \|P_{M^\bot}x\|^2\stackrel{\ref{lem:pythagoras}}{=}\|P_Mx+P_{M^\bot}x\|^2=\|x\|^2.
$$
St\k{a}d $\|P_M\|\leq 1$. Je\.zeli $P_M\neq 0$ to $M\neq \{0\}$ i istnieje $x\in M$ o normie $1$. 
Skoro $P_Mx=x$ to $\|P_M x\|=\|x\|=1$, czyli $\|P_M\|\geq 1$. Zatem $\|P_M\|=1$.
\end{proof}

Operator rzutu ortogonalnego mo\.zna scharakteryzowa\'c na wiele r\'o\.znych sposob\'ow.
Jedn\k{a} z podstawowych w\l{}asno\'sci operatora $P_M$ jest to, \.ze jego obraz jest domkni\k{e}t\k{a} podprzestrzeni\k{a} $M$ oraz
jego obci\k{e}cie do tej podprzestrzeni jest identyczno\'sci\k{a}, tzn. $P_M|_M=id_M$.  Obie te w\l{}asno\'sci mo\.zna w j\k{e}zyku operator\'ow
zapisa\'c kr\'otko poprzez r\'owno\'s\'c $P_M^2=P_M$, gdzie $P_M^2=P_M\circ P_M$ jest sk\l{}adaniem odwozorowa\'n liniowych. 
W\l{}asno\'s\'c t\k{e} nawyzamy \emph{idempotentno\'sci\k{a}} (z \l{}ac.  idem, „taki sam, r\'owny” i potens, „maj\k{a}cy moc, si\l{}\k{e}”). \emph{Operator idempotenty} to taki, kt\'orego dzia\l{}anie nie zmienia wyniku przy kolejnych powt\'orzeniach.
\begin{defn}
Operator liniowy $P:H\to H$ na przestrzeni liniowej $H$ nazywamy \emph{idempotentem} (lub \emph{rzutem}), gdy $P^2=P$.
\end{defn}
Ka\.zdy rzut ortogonalny jest idempotentem (rzutem), ale nie na odwr\'ot. Je\'sli $P^2=P$ jest idempotentem, to $P$ na swoim obrazie $\im P:=PH$ jest identyczno\'sci\k{a}. Zatem je\'sli tylko $P\neq 0$, to $\|P\|\geq 1$.  Ponadto  idempotent $P$ zadaje rozk\l{}ad przestrzeni na sum\k{e} prost\k{a}
$$
H=\im P \oplus \ker P ,
$$
gdzie  $\ker P=\{x\in H: Px=0\}$ to j\k{a}dro operatora $P$. Rozk\l{}ad ten wynika z r\'owno\'sci $1= P+(1-P)$ oraz 
$\ker P=\im (1-P)$ (\home sprawdzi\'c szczeg\'o\l{}y). Rozk\l{}ad ten  wyznacza rzut $P$ jednoznacznie, gdy\.z je\'sli $x=y+z$, gdzie $y\in \im P$ i $z\in \ker P$, to $Px=y$. W szczeg\'olno\'sci, m\'owi si\k{e} wtedy, \.ze $P$ jest \emph{rzutem na podprzestrze\'n  $\im P$ wzgl\k{e}dem podprzestrzeni} $\ker P$.   Rzut $P$ jest rzutem ortogonalnym wtedy i tylko wtedy, gdy $\ker P \perp \im P$.
\begin{thm}[Charakteryzacje operatora rzutu ortogonalnego]\label{thm:orthogonal_projection_operator}
Niech $P:H\to H$  liniowy idempotent, tzn. $P^2=P$, na przestrzeni Hilberta $H$. Nast\k{e}puj\k{a}ce warunki s\k{a} r\'ownowa\.zne:
\begin{enumerate}[(1)]
\item\label{enu:orthogonal_projection_operator1} $P$ jest rzutem ortogonalnym, 

\item\label{enu:orthogonal_projection_operator2}  $\ker P \perp \im P$,

\item\label{enu:orthogonal_projection_operator3} $P^*=P$ jest samosprz\k{e}\.zony, tzn. 
$\forall_{x,y\in H}\,\, \langle Px,y\rangle=\langle x, Py\rangle$,
\item\label{enu:orthogonal_projection_operator4} $\|P\|\leq 1$ (dok\l{}adniej $\|P\|=1$ lub $P=0$).

\end{enumerate}
Je\'sli powy\.zsze r\'ownowa\.zne warunki zachodz\k{a}, to $P=P_M$ jest rzutem ortogonalnym na sw\'oj obraz $M=\im P=PH$ oraz $\ker P=M^{\bot}$.
\end{thm} 
\begin{proof}
\ref{enu:orthogonal_projection_operator1}$\Rightarrow$\ref{enu:orthogonal_projection_operator2}.
%Warunki \ref{enu:orthogonal_projection_operator1} i \ref{enu:orthogonal_projection_operator2} s\k{a} r\'ownowa\.zne na mocy 
Ta implikacja wynika z powy\.zszej dyskusji, patrz te\.z Uwaga \ref{rem:komplementarne_rzuty}.

\ref{enu:orthogonal_projection_operator2}$\Rightarrow$\ref{enu:orthogonal_projection_operator3}.
Przypomnijmy, i\.z $\ker P=\im (1-P)$. Zatem z za\l{}o\.zenia $PM\perp (1-P)M$. St\k{a}d dla $x,y\in H$ mamy 
\begin{align*}
 \langle Px,y\rangle &\stackrel{y=Py+(1-P)y}{=} \langle Px,Py\rangle +\langle Px,(1-P)y\rangle \stackrel{PM\perp (1-P)M}{=} \langle Px,Py\rangle
\\
&\stackrel{PM\perp (1-P)M}{=}
 \langle Px,Py\rangle  +\langle (1-P)x,Py\rangle
 \stackrel{x=Px+(1-P)x}{=}  \langle x, Py\rangle.
\end{align*}
\ref{enu:orthogonal_projection_operator3}$\Rightarrow$\ref{enu:orthogonal_projection_operator4}. Dla dowolnego 
$x\in H$ mamy
$$
\|Px\|^2=\langle Px, Px\rangle\stackrel{\ref{enu:orthogonal_projection_operator3}}{=} \langle  P (Px), x\rangle\stackrel{P^2=P}{=}\langle Px, x\rangle \stackrel{N. Schwartza}{\leq}  \|Px\|\cdot \|x\|.
$$
Po skr\'oceniu przez $\|Px\|$ dostajemy st\k{a}d, \.ze $\|Px\|\leq \|x\|$. Zatem $\|P\|\leq 1$.
Nier\'owno\'s\'c $\|P\|\geq 1$ zachodzi dla ka\.zdego niezerowego idempotenta. Czyli $\|P\|=1$ lub $P=0$.

\ref{enu:orthogonal_projection_operator4}$\Rightarrow$\ref{enu:orthogonal_projection_operator1}. 
Poka\.zemy, \.ze $P$ jest rzutem ortogonalnym na podprzestrze\'n $M:=\im P=PH$.\footnote{$M$ jest domkni\k{e}ta, bo je\'sli $\{y_n\}_{n=1}^\infty\subseteq M$ i $y_n\to y_0$, to $y_0=\lim_{n\to \infty} y_n=\lim_{n\to \infty} Py_n= Py_0\in M$}
Z definicji trzeba pokaza\'c, 
\.ze $x-Px \perp M$ dla ka\.zdego $x\in H$. Jest to r\'ownowa\.zne inkluzji $\ker P \subseteq M^\bot$, bo $\ker P=(1-P)H$. 
We\'zmy zatem dowolne $x\in \ker P$ oraz $y\in M=\im P$. Wtedy $Px=0$ oraz $Py=y$. St\k{a}d dla ka\.zdego $t\in \F$ dostajemy
$$
\|y\|^2=\|Py+tPx\|^2=\|P(y+tx)\|^2\stackrel{\|P\|\leq 1}{\leq} \|y+tx\|^2\stackrel{\ref{lem:square_norm_of_sum}}{=} 
\|y\|^2+ 2\re t\langle x, y\rangle + |t|^2\|x\|^2.
$$
Podobnie jak w dowodzie Twierdzenia \ref{thm:existence_orthogonal_projection} implikuje to, \.ze $\langle x, y\rangle=0$. 
Rzeczywi\'scie, k\l{}ad\k{a}c $t=se^{-i\varphi}$, gdzie $\varphi:=\arg \langle x, y\rangle$ i $s\in \R$, powy\.zsza nier\'owno\'s\'c
oznacza, \.ze rzeczywista funkcja kwadratowa 
$f(s)=2 s|\langle x, y\rangle| + s^2\|x\|^2\geq 0$ jest nieujemna. St\k{a}d $\langle x, y\rangle=0$, co nale\.za\l{}o dowie\'s\'c.
\end{proof}
\begin{ex}[Rzuty na p\l{}aszczy\'znie]
Niech $H=\R^2$ b\k{e}dzie p\l{}aszczyzn\k{a} euklidesow\k{a}. Wtedy wszystkie rzuty na o\'s $x$-s\'ow $M=\{(x,0):x\in \R\}$ s\k{a} dane przez macierze postaci
$$
P_a=\left(\begin{array}{cc}
1 & a \\
0 & 0
\end{array}\right), \qquad a\in \R.
$$
Dla $a=0$, $P_0$ jest rzutem na prost\k{a} $y=0$ wzgl\k{e}dem prostej $x=0$ (tzn. rzutem ortogonalnym na $M$). Je\'sli $a\neq 0$, to $P_a$ jest rzutem na prost\k{a} $y=0$ wzgl\k{e}dem prostej $y=-x/a$ (tzn. rzutem na  $M$ wzgl\k{e}dem podprzestrzeni $N=\{(x,-x/a):x\in \R\}$). \.zeby policzy\'c norm\k{e} operatora $P_a$  trzeba 
$$
\text{zmaksymalizowa\'c funkcj\k{e} } f(x,y)=x+ay \text{ pod warunkiem }  x^2+y^2=1.
$$
Stosuj\k{a}c metod\k{e} mno\.znik\'ow Lagrange'a (\home przeliczy\'c to) otrzymujemy, \.ze funkcja $f$ osi\k{a}ga maksimum
w punkcie $(x,y)=(\frac{1}{\sqrt{1+a^2}},  \frac{a}{\sqrt{1+a^2}})$ i  jej maksimum wynosi $\sqrt{1+a^2}$.
St\k{a}d %Dla dowolnego $a\in \R$ mamy
$$
\|P_a\|=\sqrt{1+a^2}, \qquad a\in \R.
$$
W szczeg\'olno\'sci $\|P_a\|\to \infty$, gdy $a\to \infty$. Czyli norma rzutu (idempotenta) mo\.ze by\'c dowolnie du\.za. Oczywi\'scie
macierz $P_a$ jest samosprz\k{e}\.zona wtedy i tylko wtedy, gdy $a=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\|P_a\|=1$, co jest zgodne 
z Twierdzeniem \ref{thm:orthogonal_projection_operator}.
\end{ex}
\begin{ex}[Rzuty ortogonalne na $L^2(\mu)$ zadane przez zbiory]
Niech $H=L^2(\mu)$ b\k{e}dzie przestrzeni\k{a} Hilberta zwi\k{a}zan\k{a} z pewn\k{a} przestrzeni\k{a} z miar\k{a} $(\Omega,\Sigma, \mu)$. Dla ka\.zdego zbioru mierzalnego $A\in \Sigma$, zbi\'or funkcji ``\.zyj\k{a}cych na tym zbiorze'' $\{f\in L^2(\mu): f \text{ zeruje si\k{e} poza }A\}$ jest domkni\k{e}t\k{a} podprzestrzeni\k{a} $H$, izometrycznie izomorficzn\k{a} z przestrzeni\k{a} $L^2(\mu|_{\Sigma_A})$ zadan\k{a} przez przestrze\'n z miar\k{a} $(A,\Sigma_A, \mu|_{\Sigma_A})$, gdzie $\Sigma_A=\{B\in \Sigma: B\subseteq A\}$. Dalej b\k{e}dziemy te izomorficzne przestrzenie uto\.zsamia\'c.
Rzut ortogonalny z $ L^2(\mu)$ na $L^2(\mu|_{\Sigma_A})$ jest operatorem mno\.zenia przez funkcj\k{e} charakterystyczn\k{a} $\mathds{1}_{A}$ zbioru $A$, por. Przyk\l{}ad \ref{ex:multiplication_operator}. W szczeg\'olno\'sci $\mathds{1}_{A}^2=\mathds{1}_{A}$ oraz $\|\mathds{1}_{A}\|_{\infty}=1$ (o ile $\mu(A)\neq 0$).  
\end{ex}
\begin{ex}[Warunkowa warto\'s\'c oczekiwana jako rzut ortogonalny]
Niech  $H=L^2(\mu)$ b\k{e}dzie jak w przyk\l{}adzie powy\.zej. 
Je\'sli $\FF\subseteq \Sigma$ jest $\sigma$-podalgebr\k{a} zbior\'ow, to  $\{f\in L^2(\mu): f \text{ jest }\FF\text{-mierzalna}\}$ jest  domkni\k{e}t\k{a} podprzestrzeni\k{a} $H$ izometrycznie izomorficzn\k{a} z
 $L^2( \mu|_{\FF})$. 
Zatem istnieje rzut ortogonalny $P$ z $L^2(\mu)$ na $L^2(\mu|_\FF)$ (traktowan\k{a} jako podprzestrze\'n tej pierwszej).
Rzut ten w rachunku prawdopodobie\'nstwa jest nazywany \emph{warunkow\k{a} warto\'sci\k{a} oczekiwan\k{a} pod warunkiem $\sigma$-cia\l{}a} $\FF$. Rzeczywi\'scie, je\'sli miara $\mu$
jest sko\'nczona, to $P$ spe\l{}nia nast\k{e}puj\k{a}ce w\l{}asno\'sci, kt\'ore definiuj\k{a}  warunkow\k{a} warto\'sci\k{a} oczekiwan\k{a}:\footnote{Chc\k{a}c by\'c  uczciwym,  trzeba powiedzie\'c, \.ze na rachunku prawdopodobie\'nstwa warto\'s\'c oczekiwan\k{a} rozpatruje si\k{e} zazwyczaj na przestrzeni $L^1(\mu)$, kt\'ora w przypadku miary sko\'nczonej, jest na og\'o\l{} ``nieco'' wi\k{e}ksza ni\.z $L^2( \mu)$}
\begin{enumerate}
\item[(1)] $Pf$ jest $\FF$-mierzalna dla ka\.zdej funkcji $f\in H$,
\item[(2)] Dla ka\.zdego zbioru $A\in \FF$ i funkcji $f\in H$ mamy
$
\int_A Pf \, d\mu =\int_A f \, d\mu.
$
\end{enumerate}
Pierwsza w\l{}asno\'s\'c zachodzi z definicji, natomiast druga wynika z nast\k{e}puj\k{a}cego rachunku
$$
\int_A Pf\, d\mu= \int_{\Omega} (Pf)\mathds{1}_{A}\, d\mu=\langle Pf,  \mathds{1}_{A} \rangle\stackrel{P=P^*}{=}
\langle f,  P\mathds{1}_{A} \rangle\stackrel{A\in \FF}{=}
\langle f,  \mathds{1}_{A} \rangle= \int_{\Omega} f\mathds{1}_{A}\, d\mu=\int_A f\, d\mu.
$$
\end{ex}
\end{document}






	

