\documentclass[trans]{beamer}
%\documentclass{beamer}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
%\usepackage{beamerbasearticle}
\usepackage{multimedia}
 \usepackage[dvips,usenames]{color}
\usepackage[arrow, matrix, curve]{xy}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[MeX]{polski}
\usepackage{amscd,graphics}
\usepackage{polski}
\usepackage{stackrel}
%\usepackage{fontawesome}
%\usepackage{bigints}
\usepackage{marvosym}
\usepackage{tikz}
\tikzset{rndblock/.style={rounded corners,rectangle,draw,outer sep=0pt}}
\newcommand{\tframed}[2][]{\tikz[baseline=(h.base)]\node[rndblock,#1] (h) {#2};}

\DeclareMathOperator{\re}{Re}
\DeclareMathOperator{\dashind}{-Ind}
\DeclareMathOperator{\inv}{Inv}
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\DeclareMathOperator{\erg}{Erg}
\DeclareMathOperator{\clsp}{\overline{span}}
\renewcommand{\H}{ E}
\newcommand{\I}{\mathcal I}
\newcommand{\B}{\mathcal B}
\newcommand{\CC}{\mathcal C}
\newcommand{\TT}{\mathcal T}
\newcommand{\M}{\mathcal M}
\newcommand{\Sol}{\mathcal S}
\newcommand{\K}{\mathcal K}
\newcommand{\x}{\widetilde x}
\newcommand{\w}{\widetilde w}
\newcommand{\y}{\widetilde y}
\newcommand{\X}{\widetilde X}
\newcommand{\Y}{\widetilde Y}
\newcommand{\U}{\widetilde U}
\newcommand{\V}{\widetilde V}
\newcommand{\f}{\widetilde f}
\newcommand{\h}{\widetilde h}
\newcommand{\F}{\mathbb F}

\newcommand{\TDelta}{\widetilde \Delta}
\newcommand{\Tdelta}{\widetilde \delta}
\newcommand{\Tomega}{\widetilde \omega}
\newcommand{\Tmu}{\widetilde{\mu}}
\newcommand{\TA}{\widetilde{\mathcal A}}
\renewcommand{\TH}{\widetilde{\mathcal H}}
\newcommand{\tal}{\widetilde \alpha}
\newcommand{\al}{\alpha}
\newcommand{\be}{\beta}
\newcommand{\p}{\varphi}

\renewcommand{\L}{\mathcal L}
\newcommand{\LL}{\mathcal L}
\newcommand{\JJ}{\mathcal J}
\renewcommand{\SS}{\mathcal S}

\newcommand{\DR}{\mathcal DR}

\newcommand{\OO}{\mathcal O}
\newcommand{\FF}{\mathcal F}
\newcommand{\A}{\mathcal A}
\newcommand{\D}{\mathcal D}
\newcommand{\G}{\mathcal G}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\T}{\mathbb T}

\usepackage{amsfonts}
\newcommand{\tickYes}{\checkmark}
\usepackage{pifont}
\newcommand{\tickNo}{\hspace{1pt}\ding{55}}

%\usetheme{Frankfurt}
\usetheme{Warsaw}
%\usecolortheme{seahorse}
\usecolortheme{rose}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 

\definecolor{mylightblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 



\definecolor{myblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 

\definecolor{mylightblue}{rgb}{0.9,0.9,1}
\definecolor{mylightred}{rgb}{1,0.4,0.4} 
\definecolor{mylightblue1}{rgb}{0.8,0.8,0.9}



\title[Wyk\l{}ad 8]{Analiza Funkcjonalna}
\author{Bartosz Kwa\'sniewski}
\institute{Faculty of Mathematics, University of Bia\l{}ystok }


\date{Wyk\l{}ad 8
\\[4pt]
\textbf{Rzutu ortogonalny II}
\\[8pt]
\scriptsize
math.uwb.edu.pl/$\sim$zaf/kwasniewski/pdf/skrypt.pdf
} %\pause
%\put(-20,-90){\includegraphics[angle=0, scale=0.212]{Heart.jpg}} 



\begin{document}

\frame{\titlepage}
\frame{$H$ -- ustalona przestrze\'n Hilberta. \pause 
\textbf{Rzut ortogonalny} $x\in H$ na podprzestrze\'n $M\subseteq H$  \pause  to $P_Mx\in M$ \pause  taki, \.ze 
$x-P_Mx\perp M$. \pause 
\begin{center}
\begin{picture}(290,122)(0,-12)\label{rys:rzut_ortogonalny}
\put(1,-23){\includegraphics[scale=0.45]{rzut.png}}
\put(35,-5){\large $M$}% \put(105,20){$x$}
\put(172,11){\large$P_Mx$} %\put(155,-11){$y$}
\put(158,103){\large$x$}
\put(175,23){\rotatebox{90}{$\underbrace{\qquad\qquad\qquad\quad}$}} \put(185,62){\large$x-P_Mx$}
\end{picture}	
\end{center} \pause 
\begin{block}{}
\textbf{Problem:} Czy rzut ortogonalny $P_Mx$  istnieje?  \pause 
\end{block}
Rysunek  sugeruje, \.ze % $\|x-P_Mx\|$ jest odleg\l{}o\'sci\k{a} wektora $x$ od przestrzeni $M$, czyli 
$$
\|x-P_Mx\|=dist(x,M) \pause :=\inf_{y\in M}\|x-y\|.
$$  \pause 
Powy\.zsze infinimum realizuje si\k{e} w dok\l{}adnie jednym punkcie,   \pause  je\'sli 
$M$ jest domkni\k{e}tym zbiorem wypuk\l{}ym!
%To znaczy $y=P_Mx\in M$ powinien by\'c wektorem, w kt\'orym  realizuje si\k{e} poni\.zsze infinimum


%Rzeczywi\'scie, je\'sli $y,y'\in M$ takie, \.ze  $\langle x-y,z \rangle=0$ oraz $\langle x-y',z \rangle=0$ dla ka\.zdego $z\in M$,
% to bior\k{a}c za $z=y-y'\in M$ oraz odejmuj\k{a}c stronami poprzednie r\'owno\'sci otrzymujemy $\langle y-y',y-y' \rangle=0$, sk\k{a}d $y=y'$.

}
\frame{
Zbi\'or $M\subseteq H$ jest \textbf{wypuk\l{}y},  \pause  gdy $\forall_{x,y\in M} \forall_{\lambda\in [0,1]} \lambda x +(1-\lambda)y \in M$,  \pause 
czyli gdy  ka\.zdy odcinek o ko\'ncach w $M$ ca\l{}y zawiera si\k{e} w $M$:  \pause 
\begin{center}
\begin{picture}(290,67)(0,10)\label{rys:convex}
 
\put(1,0){\includegraphics[scale=0.65]{convex3.png}}

\put(45,15){$M$}
\pause % 
\put(40,63){wypuk\l{}y} \pause
%\put(24,54){$x$}\put(78,70){$y$}
\put(160,14){\rotatebox{-1}{\includegraphics[scale=0.75]{unconvex3.png}}}
%\put(120,-23){\rotatebox{20}{\includegraphics[scale=0.4]{unconvex.jpg}}}
\put(193,58){$M$}\pause

\put(220,45){niewypuk\l{}y}
\end{picture}	
\end{center} \pause
%Oczywi\'scie ka\.zda podprzestrze\'n liniowa jest zbiorem wypuk\l{}ym. 
\begin{block}{\textbf{Tw.} (O odleg\l{}o\'sci od zbioru wypuk\l{}ego)} \pause
Niech $H$ przestrze\'n Hilberta. \pause Dla dowolnego domkni\k{e}tego zbioru wypuk\l{}ego $M\subseteq H$ oraz punktu $x\in H$ \pause istnieje \underline{dok\l{}adnie jeden} $y_0\in M$
taki, \.ze 
$
\|x-y_0\|=dist(x,M)
$. \pause
\end{block}
\textbf{Dow\'od:} \pause ``Przesuwaj\k{a}c''  zbi\'or $M$  mo\.zemy za\l{}o\.zy\'c, 
\\
\.ze $x=0$.  \pause
%(nie jest to konieczne, lecz u\l{}atwia rachunki).
%Rzeczywi\'scie, je\'sli $M$ jest domkni\k{e}ty i wypuk\l{}y, to zbi\'or $\widetilde{M}=x-M:=\{x-z:z\in M\}$ te\.z ma te w\l{}asno\'sci,  bo przesuni\k{e}cie o wektor oraz odbicie wzgl\k{e}dem zera s\k{a} homeomorfizmami  zachowuj\k{a}cymi kombinacje wypuk\l{}e\footnote{Odwzorowania zachowuj\k{a}ce kombinacje wypuk\l{}e nazywamy odwzorowaniami afinicznynymi}. Ponadto, $y\in M$ oraz $
%\|x-y\|=\dist(x,M)
%$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x-y\in \widetilde{M}$ oraz $\|x-y\|=\dist(0,\widetilde{M})=\inf_{\tilde{y}\in \tilde{M}}\|\tilde{y}\|$.
%Za\l{}\'o\.zmy wi\k{e}c, \.ze $x=0$. 
Wtedy  twierdzenie przyjmuje   posta\'c: \pause
\\[2pt]
\emph{W  domkni\k{e}tym i wypuk\l{}ym 
zbiorze $M$  istnieje}
\\
 \emph{dok\l{}adnie jeden element  o minimalnej normie:} \pause
$$
%M\subseteq H \text{ domkni\k{e}ty i wypuk\l{}y} \,\, \Longrightarrow\,\, 
{\exists!}_{y_0\in M}\,\, \|y_0\|=\inf_{y\in M}\|y\|.
\qquad  \qquad \qquad \qquad 
$$ \pause
\begin{picture}(32,20)(-218.5,-25)\label{rys:convex_zero}
 \put(4,0){\includegraphics[scale=0.33]{minimal_norm_vector.png}}
%\put(-38,70){wypuk\l{}y}
%\put(41.5,41.5){$y_0$}
%\put(71,73){ $M$}% 
\end{picture}
}
\frame{
``\textbf{Istnienie}''. \pause Po\l{}\'o\.zmy $d:=\inf\limits_{y\in M}\|y\|$  \pause i niech $\{y_n\}_{n=1}^\infty\subseteq M$ taki, \.ze
\\
$\|y_n\|\to d$.	 \pause Wystarczy pokaza\'c, \.ze $\{y_n\}_{n=1}^\infty$ jest ci\k{a}giem Cauchy, \pause bo wtedy na mocy zupe\l{}no\'sci $H$ i domkni\k{e}to\'sci $M$,
ci\k{a}g ten jest zbie\.zny do pewnego $y_0\in M$ \pause i wtedy $\|y_0\|=\lim_{n\to \infty}\|y_n\|=d$. \pause
%Warunek Cauchy wynika z to\.zsamo\'sci r\'ownoleg\l{}oboku i wypuk\l{}o\'sci $M$:
\\[4pt]
$
 \|y_n-y_m\|^2  \pause\stackrel[\text{r\'ownoleg\l{}oboku}]{\text{to\.zsamo\'s\'c}}{=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=}2\|y_n\|^2+ 2\|y_m\|^2 - \|y_n+y_m\|^2   \pause
$
\\
\qquad \quad  \quad \quad $=2\|y_n\|^2+ 2\|y_m\|^2 - 4\left\|\frac{y_n+y_m}{2}\right\|^2$  \pause
$\quad\begin{cases}
\frac{y_n+y_m}{2}\in M
\\
\text{\footnotesize bo $M$ wypuk\l{}y}
\end{cases} 
$ 
\\ \pause
\qquad \quad  \quad \quad   $\leq
2\|y_n\|^2+ 2\|y_m\|^2 -4d^2 \pause \stackrel{n,m\to \infty}{\longrightarrow} 2d^2+2d^2-4d^2\pause=0.
$ \pause
\\[6pt]
``\textbf{Jednoznaczno\'s\'c}''.  \pause Je\.zeli $y_1$, $y_2\in M$ takie, \.ze $\|y_1\|=\|y_2\|=d$, \pause to powy\.zszy rachunek  pokazuje, \.ze
$y_1=y_2$. \pause Rzeczywi\'scie 
\\[4pt]
$ \|y_1-y_2\|^2 \pause \stackrel[\text{r\'ownoleg\l{}oboku}]{\text{to\.zsamo\'s\'c}}{=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=}2\|y_1\|^2+ 2\|y_2\|^2 - \left\|y_1+y_2\right\|^2 $
\\[2pt] \pause
\qquad \quad  \quad \quad  $ =2\|y_1\|^2+ 2\|y_2\|^2 - 4\left\|\frac{y_1+y_2}{2}\right\|^2$ \pause $\quad\begin{cases}
\frac{y_n+y_m}{2}\in M
\\ 
\text{\footnotesize bo $M$ wypuk\l{}y}
\end{cases}  \pause
$ 
\\[4pt]
\qquad \quad  \quad \quad
$\leq%\stackrel{\frac{y_1+y_2}{2}\in M}{\leq}
2\|y_1\|^2+ 2\|y_2\|^2 -4d^2 \pause =2d^2+2d^2-4d^2\pause =0.$ \pause $\,\, \blacksquare
$

}
\frame{
\begin{block}{\textbf{Tw.} O istnieniu rzutu ortogonalnego}\label{thm:existence_orthogonal_projection} \pause
 Dla  domkni\k{e}tej podprzestrzeni  $M\subseteq H$ przestrzeni Hilberta $H$ \pause  oraz punktu $x\in H$  istnieje rzut ortogonalny $y=P_Mx$. \pause
Co wi\k{e}cej,  
\begin{equation}\label{eq:minimal_distance}
\|x-y\|=dist(x,M)
\end{equation} \pause
i rzut $y$ jest przez t\k{e} r\'owno\'s\'c  wyznaczony jednoznacznie. \pause
\end{block}
\textbf{Dow\'od:} \pause Skoro $M$ jest zbiorem wypuk\l{}ym, \pause to na mocy poprzednie- go twierdzenia istnieje dok\l{}adnie jeden $y\in M$ spe\l{}niaj\k{a}cy 
\eqref{eq:minimal_distance}.  \pause
\\[2pt]
Musimy pokaza\'c, \.ze $x-y\perp M$. \pause Niech $z\in M$. \pause Dla  $t\in \F$ mamy  \pause
\\[2pt]
%$y+tz\in M$, bo $M$ przestrze\'n liniowa. Zatem 
$
\|x-y\|^2 \pause\stackrel[y+tz\in M]{\eqref{eq:minimal_distance}}{\leq} \|x-(y+tz)\|^2=\|(x-y)+tz\|^2
$ \pause
\\[2pt]
\qquad \qquad \quad 
$=\|x-y\|^2-2 \re\left\langle x-y,tz \right\rangle 
+   |t|^2\| z \|^2. \pause
$
\\[4pt]
St\k{a}d  $0\leq |t|^2\| z \|^2-2 \re\left\langle x-y,tz \right\rangle $ dla  $t\in \F$. \pause
K\l{}ad\k{a}c $t=se^{i\varphi}$, gdzie $s\in \R$ i $\varphi:=\arg \langle x-y,z \rangle$ \pause  %\footnote{W przypadku rzeczywistym, tzn. gdy $\F=\R$, to $e^{i\varphi}=-1,1$} 
nier\'owno\'s\'c ta przyjmuje posta\'c \pause
$$
0\leq s^2|e^{i\varphi}|^2\| z \|^2-2 s \re(e^{-i\varphi}\left\langle x-y,z \right\rangle) \pause =s^2\| z \|^2-2 s|\left\langle x-y,z \right\rangle|.
%\footnote{Je\'sli $\F=\R$, to $e^{i\varphi}=\text{sign}\langle x-y,z \rangle\in \{ -1,1\}$ jest liczb\k{a} rzeczywist\k{a}, zatem powy\.zsze obliczenia maj\k{a} sens} 
$$
}
\frame{
Czyli  funkcja kwadratowa $f(s)=s^2\| z \|^2-2 s|\left\langle x-y,z \right\rangle|$ jest nieujemna. \pause
 Skoro $f$ miejsce zerowe dla $s=0$, \pause to  jej wyr\'o\.znik $\Delta =4 |\langle x-y,z \rangle|^2$  \pause musi wynosi\'c zero,  \pause
czyli $\langle x-y,z \rangle=0$, \pause  tzn. $x-y\perp z$. \pause  $\blacksquare$ \pause
\begin{block}{}\label{cor:complement_orthogonal}
\textbf{Wn. (Rozk\l{}ad przestrzeni Hilberta)} \pause Dla dowolnej domkni\k{e}tej podprzestrzeni $M$ przestrzeni Hilberta $H$ mamy
$$
H=M\oplus M^\bot,
$$ \pause
czyli $\forall_{x\in H}\,\, {\exists!}_{y\in M} {\exists!}_{z\in M^\bot} \,\, x=y+z$.
\end{block}
\pause
\textbf{Dow\'od:} \pause
Niech $x\in H$. \pause Po\l{}\'o\.zmy $y:=P_Mx$ \pause oraz $z:=x-y$. \pause Wtedy $x=y+z$ \pause oraz z definicji rzutu mamy $y\in M$ i  $x-y \perp M$, \pause tzn. $z\in M^\bot$.  \pause
Aby pokaza\'c jednoznaczno\'s\'c tego rozk\l{}adu za\l{}\'o\.zmy, \.ze  $x=y'+z'$ dla pewnych $y'\in M$ i $z'\in M^\bot$. \pause Wtedy 
$$
y-y'=z'-z
$$ \pause
oraz $y-y'\in M$ \pause i $z-z'\in M^\bot$.  \pause Ale $M\cap M^{\bot}=\{0\}$ \pause (bo zero jest jedynym wektorem izotropowym). \pause
Zatem $y=y'$ oraz $z=z'$.  $\blacksquare$
}
\frame{
\begin{block}{}\label{rem:komplementarne_rzuty}
\textbf{Uw.} Tez\k{e} powy\.zszego wniosku mo\.zna te\.z zapisa\'c jako  \pause
$$
1=P_M+P_{M^\bot},
$$ \pause 
gdzie $1$ jest operatorem identyczno\'sciowym na $H$ \pause oraz $P_M$ jest odwzorowaniem $H\ni x\to P_M x\in M\subseteq H$.\pause W szczeg\'olno\'sci, 
je\'sli $P_M$ jest rzutem ortogonalnym na domkni\k{e}t\k{a} podprzestrze\'n $M$, \pause to $1-P_M$ jest rzutem na jej dope\l{}nienie ortogonalne $M^\bot$: \pause
$$
P_{M^\bot}=1-P_M.
$$
\end{block}  \pause
\begin{block}{} \textbf{Wn.}  \pause
 $(M^\bot)^\bot=M$  dla   domkni\k{e}tej podprzestrzeni $M \subseteq H$.
\end{block}  \pause
\textbf{Dow\'od:}   \pause
$P_{(M^\bot)^\bot}  \pause=1-P_{M^\bot}  \pause =1-(1-P_M) \pause =P_M$.  \pause $\blacksquare$  \pause
%Zauwa\.zmy, \.ze $x\in M \implies x\perp M^\bot \implies x\in (M^\bot)^\bot$, sk\k{a}d
% $M\subseteq (M^\bot)^\bot$. 
%Niech teraz $x\in  (M^\bot)^\bot$. Zapiszmy go w postaci $x=y+z$ gdzie $y\in M$, $z\in M^\bot$. 
%Chcemy pokaza\'c, \.ze $z=0$, bo wtedy $x=y\in M$. W tym celu zauwa\.zmy, \.ze zar\'owno $x\in  (M^\bot)^\bot$ jak i $y\in M$ s\k{a} prostopad\l{}e do  $z\in %M^\bot$, a st\k{a}d %
%\\[4pt]
%\qquad $
%0{=}\left\langle x, z\right\rangle=\langle y+z, z\rangle=\langle y, z\rangle +\langle z, z\rangle=\langle z, z\rangle=\|z\|^2.
%$ 
%\\[4pt]
%Czyli $z=0$. $\blacksquare$
\begin{block}{} \textbf{Stw.}
Rzut ortogonalny $P_M$  \pause jest ograniczonym operatorem liniowym   \pause
o normie $1$ (chyba, \.ze $M=\{0\}$ i wtedy  $P_M\equiv 0$).
\end{block}  \pause
\textbf{Dow\'od:}

%Z definicji rzutu orotogonalnego,
}

\frame{
``\textbf{Liniowo\'s\'c}''.  \pause Niech $x, y\in H$ oraz $\alpha, \beta \in \F$.  \pause Chcemy wykaza\'c, \.ze  $P_M(\alpha x+\beta y)=\alpha P_M x+ \beta P_M y$. \pause Z definicji  $P_M(\alpha x+\beta y)$ to jedyny element w $M$ taki, \.ze $(\alpha x+\beta y) - P_M(\alpha x+\beta y)\perp M$.  \pause
Wystarczy zatem pokaza\'c, \.ze wektor $\alpha P_M x+ \beta P_M y$   ma te same w\l{}asno\'sci.  \pause Jasne, \.ze $\alpha P_M x+ \beta P_M y \in M$ bo $M$ przestrze\'n liniowa.    \pause
Z liniowo\'sci (w pierwszym argumencie) iloczynu skalarnego,  \pause dla $z\in M$ mamy  \pause
\\[4pt]
$
\langle (\alpha x+\beta y) - (\alpha P_M x+ \beta P_M y), z\rangle 
=\alpha \langle x- P_M x,z\rangle +  
\beta \langle y - P_M y,z \rangle$ 
\pause
\\
\qquad \qquad\qquad \qquad  \qquad \qquad\quad \,\,\,\,\, $=0,
$
\\[4pt]  \pause
 bo $x- P_M x$ oraz $y - P_M y$ s\k{a} ortogonalne do $M$ z definicji rzutu. \pause
Zatem  $(\alpha x+\beta y) - (\alpha P_M x+ \beta P_M y)\perp M$. \pause
%Czyli  $P_M(\alpha x+\beta y)=\alpha P_M x+ \beta P_M y$.
\\[6pt]

``\textbf{Ograniczono\'s\'c}''. \pause Dla  dowolnego $x\in H$ mamy \pause 
%Korzystaj\k{a}c z  twierdzenia Pitagorasa 
%oraz r\'owno\'sci
%, otrzymujemy
\\[4pt] 
\quad $
\|P_Mx\|^2  \pause \leq \|P_Mx\|^2 + \|P_{M^\bot}x\|^2  \pause =\begin{picture}(0,0)(0,0)
\put(12,-2){\includegraphics[scale=0.07]{pitagoras.png}}\end{picture}\stackrel[Pitagoras]{}{}
=\|P_Mx+P_{M^\bot}x\|^2  \pause
$   
\\[4pt]
\quad \qquad $\stackrel{1=P_M+P_{M^\bot}}{=}\|x\|^2. 
$  \pause
\\[4pt] 
St\k{a}d $\|P_M\|\leq 1$.  \pause Je\.zeli $P_M\neq 0$,    to $M\neq \{0\}$ \pause i istnieje $x\in M$ o normie $1$.  \pause
Skoro $P_Mx=x$, \pause to $\|P_M x\|=\|x\|=1$, \pause  czyli $\|P_M\|\geq 1$. \pause  Zatem $\|P_M\|=1$. \pause
 $\blacksquare$
}
\frame{ 
\begin{block}{} \textbf{Tw.} %[Charakteryzacje operatora rzutu ortogonalnego]\label{thm:orthogonal_projection_operator}
Niech $P:H\to H$  liniowy idempotent, tzn. $P^2=P$. NWSR:
\begin{enumerate}[(1)]
\item\label{enu:orthogonal_projection_operator1} $P$ jest rzutem ortogonalnym (na $PH$), 

%\item\label{enu:orthogonal_projection_operator2}  $\ker P \perp PH$,

\item\label{enu:orthogonal_projection_operator3} $P$ jest samosprz\k{e}\.zony, tzn. 
$\forall_{x,y\in H}\,\, \langle Px,y\rangle=\langle x, Py\rangle$ {\small ($P=P^*$)},
\item\label{enu:orthogonal_projection_operator4} $P$ jest kontrakcj\k{a}, tzn. $\|P\|\leq 1$ {\small(dok\l{}adniej $\|P\|=1$ lub $P=0$)}.

\end{enumerate}
%Je\'sli powy\.zsze r\'ownowa\.zne warunki zachodz\k{a}, to $P=P_M$ jest rzutem ortogonalnym na sw\'oj obraz $M=\im P=PH$ oraz $\ker P=M^{\bot}$.
\end{block}
\textbf{Dow\'od:}
%\ref{enu:orthogonal_projection_operator1}$\Rightarrow$\ref{enu:orthogonal_projection_operator2}.
%Warunki \ref{enu:orthogonal_projection_operator1} i \ref{enu:orthogonal_projection_operator2} s\k{a} r\'ownowa\.zne na mocy 
%Ta implikacja wynika 
\eqref{enu:orthogonal_projection_operator1}$\Rightarrow$\eqref{enu:orthogonal_projection_operator3}.
Dla $x,y\in H$ mamy 
\begin{align*}
 \langle Px,y\rangle &\stackrel{y=Py+(1-P)y}{=} \langle Px,Py\rangle +\langle Px,(1-P)y\rangle \stackrel{PH\perp (1-P)H}{=} \langle Px,Py\rangle
\\
&\stackrel{PH\perp (1-P)H}{=}
 \langle Px,Py\rangle  +\langle (1-P)x,Py\rangle
 \stackrel{x=Px+(1-P)x}{=}  \langle x, Py\rangle.
\end{align*}
\eqref{enu:orthogonal_projection_operator3}$\Rightarrow$\eqref{enu:orthogonal_projection_operator4}. Dla dowolnego 
$x\in H$ mamy
$$
\|Px\|^2=\langle Px, Px\rangle\stackrel{\ref{enu:orthogonal_projection_operator3}}{=} \langle  P (Px), x\rangle\stackrel{P^2=P}{=}\langle Px, x\rangle \stackrel{N. Schwartza}{\leq}  \|Px\|\cdot \|x\|.
$$
%St\k{a}d, $\|Px\|\leq \|x\|$. Czyli $\|P\|\leq 1$.
%Nier\'owno\'s\'c $\|P\|\geq 1$ zachodzi dla ka\.zdego niezerowego idempotenta. Czyli $\|P\|=1$ lub $P=0$.

\eqref{enu:orthogonal_projection_operator4}$\Rightarrow$\eqref{enu:orthogonal_projection_operator1}. 
Potrzebujemy  pokaza\'c, 
\.ze $x-Px \perp PH$ dla $x\in H$.   \pause \begin{picture}(0,0)(0,0)
\put(-3,-15){\includegraphics[scale=0.09]{house.png}}  
\end{picture} 
\\[4pt] \pause
%Jest to r\'ownowa\.zne inkluzji $\ker P \subseteq M^\bot$, bo $\ker P=(1-P)H$. 
{\tiny \textbf{Hint:} Niech $x\in \ker P$ oraz $y\in PH$. Wtedy dla $t\in \F$ dostajemy
$$
\|y\|^2=\|Py+tPx\|^2=\|P(y+tx)\|^2\stackrel{\|P\|\leq 1}{\leq} \|y+tx\|^2\stackrel{}{=} 
\|y\|^2+ 2\re t\langle x, y\rangle + |t|^2\|x\|^2.
$$
To implikuje, \.ze   rzeczywista funkcja 
$f(s)=2 s|\langle x, y\rangle| + s^2\|x\|^2\geq 0$ jest nieujemna. St\k{a}d $\langle x, y\rangle=0$.}
}

\frame{
Niech $H=L^2(\mu)$ gdzie $(\Omega,\Sigma, \mu)$  przestrze\'n z miar\k{a}. \pause
\begin{block}{\textbf{Prz.} (Mno\.zenie przez funkcj\k{e} charakterystyczn\k{a})} \pause
Je\'sli $A\in \Sigma$, \pause  to $\{f\in L^2(\mu): f \text{ zeruje si\k{e} poza }A\}$  \pause jest domkni\k{e}t\k{a} podprzestrzeni\k{a} $H$, \pause kt\'or\k{a} mo\.zna  uto\.zsamia\'c  z przestrzeni\k{a} $L^2(\mu|_{\Sigma_A})$ zadan\k{a} przez przestrze\'n z miar\k{a} $(A,\Sigma_A, \mu|_{\Sigma_A})$, gdzie $\Sigma_A=\{B\in \Sigma: B\subseteq A\}$.  \pause
Rzut ortogonalny z $ L^2(\mu)$ na $L^2(\mu|_{\Sigma_A})$  \pause jest operatorem mno\.zenia przez funkcj\k{e} charakterystyczn\k{a} $\mathds{1}_{A}$ zbioru $A$: \pause 
\\[4pt]
\qquad\qquad \qquad\qquad  $
P_{L^2(\mu|_{\Sigma_A})}f= 1_A\cdot f, \qquad f\in L^2(\mu)
$
%W szczeg\'olno\'sci $\mathds{1}_{A}^2=\mathds{1}_{A}$ oraz $\|\mathds{1}_{A}\|_{\infty}=1$ (o ile $\mu(A)\neq 0$).  
\end{block} \pause 

\begin{block}{\textbf{Prz.}  (Warunkowa warto\'s\'c oczekiwana)}  \pause 
Je\'sli $\FF\subseteq \Sigma$ jest $\sigma$-podalgebr\k{a},  \pause  to  $\{f\in L^2(\mu): f \text{ jest }\FF\text{-mierzalna}\}$  \pause  jest  domkni\k{e}t\k{a} podprzestrzeni\k{a} $H$ izometrycznie izomorficzn\k{a} z
 $L^2( \mu|_{\FF})$.  \pause  
Zatem istnieje rzut ortogonalny  z $L^2(\mu)$ na $L^2(\mu|_\FF)$.  \pause 


Rzut ten w rachunku prawdopodobie\'nstwa nazywany jest \\ \pause  \textbf{warunkow\k{a} warto\'sci\k{a} oczekiwan\k{a} pod warunkiem} %$\sigma$-cia\l{}a} 
$\FF$  \pause 
\\[6pt]
\qquad\qquad \quad\quad
$
P_{L^2(\mu|_{\FF})}f= E(f,\FF),  \qquad f\in L^2(\mu).
$ \begin{picture}(0,0)(0,0)
\put(25,-23){\includegraphics[scale=0.07]{kryza2.jpg}}\end{picture}
\\[9pt]
\begin{enumerate}
\item[(1)] $Pf$ jest $\FF$-mierzalna dla ka\.zdej funkcji $f\in L^2(\mu)$,
\item[(2)] 
$
\int_A Pf \, d\mu =\int_A f \, d\mu
$ dla  $A\in \FF$ i $f\in L^2(\mu)$.
\end{enumerate}
\end{block}
}





\end{document}

 Rzut ortogonalny na podprzestrze\'n jednowymiarow\k{a}
 istnieje zawsze,  nawet w niezupe\l{}nych przestrzeniach unitarnych. Co wi\k{e}cej,   mo\.zemy na taki rzut wypisa\'c konkretny wz\'or:
\begin{ex}
\end{ex}
\begin{rem}[Alternatywny dow\'od nier\'owno\'sci Schwartza]\label{rem:drugi_dowod_Schwartza} 
Odleg\l{}o\'s\'c $x$ od jego rzutu $P_y x$, czyli warto\'s\'c $\|x- P_y x\|$, mo\.zna, a nawet nale\.zy traktowa\'c jako odleg\l{}o\'s\'c wektora $x$ od przestrzeni rozpi\k{e}tej przez $y$. 
Obliczaj\k{a}c kwadrat tej odleg\l{}o\'sci  otrzymujemy dow\'od nier\'owno\'sci Schwartza.
Rzeczywi\'scie, za\l{}\'o\.zmy, \.ze $y\neq 0$. Wtedy $P_y x=\frac{\langle x,y \rangle }{  \| y \|^2}y$ i st\k{a}d
%Zauwa\.zmy dalej, \.ze 
\begin{align*}
 \|x-P_yx\|^2&\stackrel{\ref{lem:square_norm_of_sum}}{=}\|x\|^2-2 \re\left\langle x,\frac{\langle x,y \rangle}{ \| y \|^2}y \right\rangle 
+   \frac{|\langle x,y \rangle|^2 }{ \| y \|^4}\| y \|^2 
=\|x\|^2-2 \frac{|\langle x,y \rangle|^2}{ \| y \|^2}
+ \frac{|\langle x,y \rangle|^2 }{\| y \|^2}
\\
&=\|x\|^2- \frac{|\langle x,y \rangle|^2 }{\| y \|^2}.
\end{align*}
Czyli $0\leq \|x-P_yx\|^2=\|x\|^2- \frac{|\langle x,y \rangle|^2 }{ \| y \|^2}$. Nier\'owno\'s\'c ta  jest r\'ownowa\.zna nier\'owno\'sci Schwartza 
$|\langle x,y \rangle|\leq \|x\|\cdot \|y\|$. Co wi\k{e}cej, widzimy st\k{a}d, \.ze r\'owno\'s\'c $|\langle x,y \rangle|= \|x\|\cdot \|y\|$ zachodzi wtedy i tylko wtedy, 
gdy $x=\frac{\langle x,y \rangle }{  \| y \|^2}y$ lub $y=0$. To z kolei jest r\'ownowa\.zne temu, \.ze $x$ i $y$ s\k{a} liniowo zale\.zne (bo je\'sli $x=\lambda y$ i $y\neq 0$, to $\frac{\langle x,y \rangle }{  \| y \|^2}=\lambda$).
\end{rem}
\begin{cor}
R\'owno\'s\'c $|\langle x,y \rangle|= \|x\|\cdot \|y\|$  w nier\'owno\'sci Schwartza  zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wektory 
$x$ i $y$ s\k{a} liniowo zale\.zne.
\end{cor}
Poka\.zemy, \.ze w istocie tak jest (o ile $M$ jest domkni\k{e}t\k{a} poprzestrzeni\k{a}). 
%Nie tylko daje to  kolejn\k{a} interpretacj\k{e} i zastosowanie rzutu ortogonalnego, de facto 
Interpretacja ta jest kluczowa dla dowodu istnienia rzutu ortogonalnego w przestrzeni Hilberta!
Mianowicie, poka\.zemy, \.ze dla ka\.zdego domkni\k{e}tego podzbioru wypuk\l{}ego $M\subseteq H$ przestrzeni Hilberta $H$ oraz wektora $x\in H$ istnieje dok\l{}adnie jeden $y\in M$ taki, \.ze
$$
\|x-y\|=\inf_{z\in M}\|x-z\|.
$$
Przypomnijmy, \.ze 
\end{thm}
\begin{proof}
\end{proof}
\begin{rem}
W zbiorze niewypuk\l{}ym $M$   mog\k{a}  istnie\'c
dwa r\'o\.zne punkty $y_1,y_2\in H$ takie, \.ze $\|x-y_1\|=\|x-y_2\|=\dist(x,M)$. Takich punkt\'ow mo\.ze by\'c nawet niesko\'nczenie wiele. We\'zmy np. $H=\C$, $x=0$ i $M=\{z\in \C:|z|\geq 1\}$ dope\l{}nienie ko\l{}a jednostkowego. Wtedy $\|x-y\|=\dist(x,M)$ dla ka\.zdego $y$ le\.z\k{a}cego na okr\k{e}gu $S^1=\{z\in\C:|z|=1\}$.
\end{rem}

\end{proof}
\begin{rem}\label{rem:existence_orthogonal_projection}
Z powy\.zszego Twierdzenia wynika twierdzenie pozornie og\'olniejsze m\'owi\k{a}ce, \.ze  "`rzut ortogonalny $P_Mx$ istnieje dla dowolnej zupe\l{}nej podprzestrzeni 
 $M\subseteq H$ przestrzeni unitarnej $H$  oraz punktu $x\in H$"'. Rzeczywi\'scie, je\'sli $M$ jest zupe\l{}na, to jest domkni\k{e}t\k{a} podprzestrzeni\k{a} uzupe\l{}nienia przestrzeni $H$ do przestrzeni Hilberta $\overline{H}$, por. Uwaga  \ref{rem:completion_to_Hilbert_space}. Zatem Twierdzenie \ref{thm:existence_orthogonal_projection} zastosowane do inlkuzji $M\subseteq \overline{H}$ implikuje
t\k{e} og\'olniejsz\k{a} tez\k{e}.
\end{rem}

\end{rem}

Operator rzutu ortogonalnego mo\.zna scharakteryzowa\'c na wiele r\'o\.znych sposob\'ow.
Jedn\k{a} z podstawowych w\l{}asno\'sci operatora $P_M$ jest to, \.ze jego obraz jest domkni\k{e}t\k{a} podprzestrzeni\k{a} $M$ oraz
jego obci\k{e}cie do tej podprzestrzeni jest identyczno\'sci\k{a}, tzn. $P_M|_M=id_M$.  Obie te w\l{}asno\'sci mo\.zna w j\k{e}zyku operator\'ow
zapisa\'c kr\'otko poprzez r\'owno\'s\'c $P_M^2=P_M$, gdzie $P_M^2=P_M\circ P_M$ jest sk\l{}adaniem odwozorowa\'n liniowych. 
W\l{}asno\'s\'c t\k{e} nawyzamy \emph{idempotentno\'sci\k{a}} (z \l{}ac.  idem, „taki sam, r\'owny” i potens, „maj\k{a}cy moc, si\l{}\k{e}”). \emph{Operator idempotenty} to taki, kt\'orego dzia\l{}anie nie zmienia wyniku przy kolejnych powt\'orzeniach.
\begin{defn}
Operator liniowy $P:H\to H$ na przestrzeni liniowej $H$ nazywamy \emph{idempotentem} (lub \emph{rzutem}), gdy $P^2=P$.
\end{defn}
Ka\.zdy rzut ortogonalny jest idempotentem (rzutem), ale nie na odwr\'ot. Je\'sli $P^2=P$ jest idempotentem, to $P$ na swoim obrazie $\im P:=PH$ jest identyczno\'sci\k{a}. Zatem je\'sli tylko $P\neq 0$, to $\|P\|\geq 1$.  Ponadto  idempotent $P$ zadaje rozk\l{}ad przestrzeni na sum\k{e} prost\k{a}
$$
H=\im P \oplus \ker P ,
$$
gdzie  $\ker P=\{x\in H: Px=0\}$ to j\k{a}dro operatora $P$. Rozk\l{}ad ten wynika z r\'owno\'sci $1= P+(1-P)$ oraz 
$\ker P=\im (1-P)$ (\home sprawdzi\'c szczeg\'o\l{}y). Rozk\l{}ad ten  wyznacza rzut $P$ jednoznacznie, gdy\.z je\'sli $x=y+z$, gdzie $y\in \im P$ i $z\in \ker P$, to $Px=y$. W szczeg\'olno\'sci, m\'owi si\k{e} wtedy, \.ze $P$ jest \emph{rzutem na podprzestrze\'n  $\im P$ wzgl\k{e}dem podprzestrzeni} $\ker P$.   Rzut $P$ jest rzutem ortogonalnym wtedy i tylko wtedy, gdy $\ker P \perp \im P$.
\begin{thm}[Charakteryzacje operatora rzutu ortogonalnego]\label{thm:orthogonal_projection_operator}
Niech $P:H\to H$  liniowy idempotent, tzn. $P^2=P$, na przestrzeni Hilberta $H$. Nast\k{e}puj\k{a}ce warunki s\k{a} r\'ownowa\.zne:
\begin{enumerate}[(1)]
\item\label{enu:orthogonal_projection_operator1} $P$ jest rzutem ortogonalnym, 

\item\label{enu:orthogonal_projection_operator2}  $\ker P \perp \im P$,

\item\label{enu:orthogonal_projection_operator3} $P^*=P$ jest samosprz\k{e}\.zony, tzn. 
$\forall_{x,y\in H}\,\, \langle Px,y\rangle=\langle x, Py\rangle$,
\item\label{enu:orthogonal_projection_operator4} $\|P\|\leq 1$ (dok\l{}adniej $\|P\|=1$ lub $P=0$).

\end{enumerate}
Je\'sli powy\.zsze r\'ownowa\.zne warunki zachodz\k{a}, to $P=P_M$ jest rzutem ortogonalnym na sw\'oj obraz $M=\im P=PH$ oraz $\ker P=M^{\bot}$.
\end{thm} 
\begin{proof}
\ref{enu:orthogonal_projection_operator1}$\Rightarrow$\ref{enu:orthogonal_projection_operator2}.
%Warunki \ref{enu:orthogonal_projection_operator1} i \ref{enu:orthogonal_projection_operator2} s\k{a} r\'ownowa\.zne na mocy 
Ta implikacja wynika z powy\.zszej dyskusji, patrz te\.z Uwaga \ref{rem:komplementarne_rzuty}.

\ref{enu:orthogonal_projection_operator2}$\Rightarrow$\ref{enu:orthogonal_projection_operator3}.
Przypomnijmy, i\.z $\ker P=\im (1-P)$. Zatem z za\l{}o\.zenia $PM\perp (1-P)M$. St\k{a}d dla $x,y\in H$ mamy 
\begin{align*}
 \langle Px,y\rangle &\stackrel{y=Py+(1-P)y}{=} \langle Px,Py\rangle +\langle Px,(1-P)y\rangle \stackrel{PM\perp (1-P)M}{=} \langle Px,Py\rangle
\\
&\stackrel{PM\perp (1-P)M}{=}
 \langle Px,Py\rangle  +\langle (1-P)x,Py\rangle
 \stackrel{x=Px+(1-P)x}{=}  \langle x, Py\rangle.
\end{align*}
\ref{enu:orthogonal_projection_operator3}$\Rightarrow$\ref{enu:orthogonal_projection_operator4}. Dla dowolnego 
$x\in H$ mamy
$$
\|Px\|^2=\langle Px, Px\rangle\stackrel{\ref{enu:orthogonal_projection_operator3}}{=} \langle  P (Px), x\rangle\stackrel{P^2=P}{=}\langle Px, x\rangle \stackrel{N. Schwartza}{\leq}  \|Px\|\cdot \|x\|.
$$
Po skr\'oceniu przez $\|Px\|$ dostajemy st\k{a}d, \.ze $\|Px\|\leq \|x\|$. Zatem $\|P\|\leq 1$.
Nier\'owno\'s\'c $\|P\|\geq 1$ zachodzi dla ka\.zdego niezerowego idempotenta. Czyli $\|P\|=1$ lub $P=0$.

\ref{enu:orthogonal_projection_operator4}$\Rightarrow$\ref{enu:orthogonal_projection_operator1}. 
Poka\.zemy, \.ze $P$ jest rzutem ortogonalnym na podprzestrze\'n $M:=\im P=PH$.\footnote{$M$ jest domkni\k{e}ta, bo je\'sli $\{y_n\}_{n=1}^\infty\subseteq M$ i $y_n\to y_0$, to $y_0=\lim_{n\to \infty} y_n=\lim_{n\to \infty} Py_n= Py_0\in M$}
Z definicji trzeba pokaza\'c, 
\.ze $x-Px \perp M$ dla ka\.zdego $x\in H$. Jest to r\'ownowa\.zne inkluzji $\ker P \subseteq M^\bot$, bo $\ker P=(1-P)H$. 
We\'zmy zatem dowolne $x\in \ker P$ oraz $y\in M=\im P$. Wtedy $Px=0$ oraz $Py=y$. St\k{a}d dla ka\.zdego $t\in \F$ dostajemy
$$
\|y\|^2=\|Py+tPx\|^2=\|P(y+tx)\|^2\stackrel{\|P\|\leq 1}{\leq} \|y+tx\|^2\stackrel{\ref{lem:square_norm_of_sum}}{=} 
\|y\|^2+ 2\re t\langle x, y\rangle + |t|^2\|x\|^2.
$$
Podobnie jak w dowodzie Twierdzenia \ref{thm:existence_orthogonal_projection} implikuje to, \.ze $\langle x, y\rangle=0$. 
Rzeczywi\'scie, k\l{}ad\k{a}c $t=se^{-i\varphi}$, gdzie $\varphi:=\arg \langle x, y\rangle$ i $s\in \R$, powy\.zsza nier\'owno\'s\'c
oznacza, \.ze rzeczywista funkcja kwadratowa 
$f(s)=2 s|\langle x, y\rangle| + s^2\|x\|^2\geq 0$ jest nieujemna. St\k{a}d $\langle x, y\rangle=0$, co nale\.za\l{}o dowie\'s\'c.
\end{proof}
\begin{ex}[Rzuty na p\l{}aszczy\'znie]
Niech $H=\R^2$ b\k{e}dzie p\l{}aszczyzn\k{a} euklidesow\k{a}. Wtedy wszystkie rzuty na o\'s $x$-s\'ow $M=\{(x,0):x\in \R\}$ s\k{a} dane przez macierze postaci
$$
P_a=\left(\begin{array}{cc}
1 & a \\
0 & 0
\end{array}\right), \qquad a\in \R.
$$
Dla $a=0$, $P_0$ jest rzutem na prost\k{a} $y=0$ wzgl\k{e}dem prostej $x=0$ (tzn. rzutem ortogonalnym na $M$). Je\'sli $a\neq 0$, to $P_a$ jest rzutem na prost\k{a} $y=0$ wzgl\k{e}dem prostej $y=-x/a$ (tzn. rzutem na  $M$ wzgl\k{e}dem podprzestrzeni $N=\{(x,-x/a):x\in \R\}$). \.zeby policzy\'c norm\k{e} operatora $P_a$  trzeba 
$$
\text{zmaksymalizowa\'c funkcj\k{e} } f(x,y)=x+ay \text{ pod warunkiem }  x^2+y^2=1.
$$
Stosuj\k{a}c metod\k{e} mno\.znik\'ow Lagrange'a (\home przeliczy\'c to) otrzymujemy, \.ze funkcja $f$ osi\k{a}ga maksimum
w punkcie $(x,y)=(\frac{1}{\sqrt{1+a^2}},  \frac{a}{\sqrt{1+a^2}})$ i  jej maksimum wynosi $\sqrt{1+a^2}$.
St\k{a}d %Dla dowolnego $a\in \R$ mamy
$$
\|P_a\|=\sqrt{1+a^2}, \qquad a\in \R.
$$
W szczeg\'olno\'sci $\|P_a\|\to \infty$, gdy $a\to \infty$. Czyli norma rzutu (idempotenta) mo\.ze by\'c dowolnie du\.za. Oczywi\'scie
macierz $P_a$ jest samosprz\k{e}\.zona wtedy i tylko wtedy, gdy $a=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\|P_a\|=1$, co jest zgodne 
z Twierdzeniem \ref{thm:orthogonal_projection_operator}.
\end{ex}
 Rzeczywi\'scie, je\'sli miara $\mu$
jest sko\'nczona, to $P$ spe\l{}nia nast\k{e}puj\k{a}ce w\l{}asno\'sci, kt\'ore definiuj\k{a}  warunkow\k{a} warto\'sci\k{a} oczekiwan\k{a}:\footnote{Chc\k{a}c by\'c  uczciwym,  trzeba powiedzie\'c, \.ze na rachunku prawdopodobie\'nstwa warto\'s\'c oczekiwan\k{a} rozpatruje si\k{e} zazwyczaj na przestrzeni $L^1(\mu)$, kt\'ora w przypadku miary sko\'nczonej, jest na og\'o\l{} ``nieco'' wi\k{e}ksza ni\.z $L^2( \mu)$}
\begin{enumerate}
\item[(1)] $Pf$ jest $\FF$-mierzalna dla ka\.zdej funkcji $f\in H$,
\item[(2)] Dla ka\.zdego zbioru $A\in \FF$ i funkcji $f\in H$ mamy
$
\int_A Pf \, d\mu =\int_A f \, d\mu.
$
\end{enumerate}
Pierwsza w\l{}asno\'s\'c zachodzi z definicji, natomiast druga wynika z nast\k{e}puj\k{a}cego rachunku
$$
\int_A Pf\, d\mu= \int_{\Omega} (Pf)\mathds{1}_{A}\, d\mu=\langle Pf,  \mathds{1}_{A} \rangle\stackrel{P=P^*}{=}
\langle f,  P\mathds{1}_{A} \rangle\stackrel{A\in \FF}{=}
\langle f,  \mathds{1}_{A} \rangle= \int_{\Omega} f\mathds{1}_{A}\, d\mu=\int_A f\, d\mu.
$$
\end{ex}
\end{document}






	

