\documentclass[trans]{beamer}
%\documentclass{beamer}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
%\usepackage{beamerbasearticle}
\usepackage{multimedia}
 \usepackage[dvips,usenames]{color}
\usepackage[arrow, matrix, curve]{xy}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[MeX]{polski}
\usepackage{amscd,graphics}
\usepackage{polski}
\usepackage{stackrel}
\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb,dsfont}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{fontawesome}
%\usepackage{bigints}
\usepackage{marvosym}
\usepackage{tikz}
\tikzset{rndblock/.style={rounded corners,rectangle,draw,outer sep=0pt}}
\newcommand{\tframed}[2][]{\tikz[baseline=(h.base)]\node[rndblock,#1] (h) {#2};}
\DeclareMathOperator{\lin}{lin}
\DeclareMathOperator{\re}{Re}
\DeclareMathOperator{\dashind}{-Ind}
\DeclareMathOperator{\inv}{Inv}
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\DeclareMathOperator{\erg}{Erg}
\DeclareMathOperator{\clsp}{\overline{span}}
\renewcommand{\H}{ E}
\newcommand{\I}{\mathcal I}
\newcommand{\B}{\mathcal B}
\newcommand{\CC}{\mathcal C}
\newcommand{\TT}{\mathcal T}
\newcommand{\M}{\mathcal M}
\newcommand{\Sol}{\mathcal S}
\newcommand{\K}{\mathcal K}
\newcommand{\x}{\widetilde x}
\newcommand{\w}{\widetilde w}
\newcommand{\y}{\widetilde y}
\newcommand{\X}{\widetilde X}
\newcommand{\Y}{\widetilde Y}
\newcommand{\U}{\widetilde U}
\newcommand{\V}{\widetilde V}
\newcommand{\f}{\widetilde f}
\newcommand{\h}{\widetilde h}
\newcommand{\F}{\mathbb F}

\newcommand{\TDelta}{\widetilde \Delta}
\newcommand{\Tdelta}{\widetilde \delta}
\newcommand{\Tomega}{\widetilde \omega}
\newcommand{\Tmu}{\widetilde{\mu}}
\newcommand{\TA}{\widetilde{\mathcal A}}
\renewcommand{\TH}{\widetilde{\mathcal H}}
\newcommand{\tal}{\widetilde \alpha}
\newcommand{\al}{\alpha}
\newcommand{\be}{\beta}
\newcommand{\p}{\varphi}

\renewcommand{\L}{\mathcal L}
\newcommand{\LL}{\mathcal L}
\newcommand{\JJ}{\mathcal J}
\renewcommand{\SS}{\mathcal S}

\newcommand{\DR}{\mathcal DR}

\newcommand{\OO}{\mathcal O}
\newcommand{\FF}{\mathcal F}
\newcommand{\A}{\mathcal A}
\newcommand{\D}{\mathcal D}
\newcommand{\G}{\mathcal G}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\T}{\mathbb T}

\usepackage{amsfonts}
\newcommand{\tickYes}{\checkmark}
\usepackage{pifont}
\newcommand{\tickNo}{\hspace{1pt}\ding{55}}

%\usetheme{Frankfurt}
\usetheme{Warsaw}
%\usecolortheme{seahorse}
\usecolortheme{rose}


\definecolor{myblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 

\definecolor{mylightblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 



\definecolor{myblue}{rgb}{0.9,0.9,1} 

\definecolor{mylightblue}{rgb}{0.9,0.9,1}
\definecolor{mylightred}{rgb}{1,0.4,0.4} 
\definecolor{mylightblue1}{rgb}{0.8,0.8,0.9}



\title[Wyk\l{}ad 9]{Analiza Funkcjonalna}
\author{Bartosz Kwa\'sniewski}
\institute{Faculty of Mathematics, University of Bia\l{}ystok }


\date{Wyk\l{}ad 9
\\[4pt]
\textbf{Baza ortonormalna}
\\[8pt]
\scriptsize
math.uwb.edu.pl/$\sim$zaf/kwasniewski/pdf/skrypt.pdf
} %\pause
%\put(-20,-90){\includegraphics[angle=0, scale=0.212]{Heart.jpg}} 



\begin{document}

\frame{\titlepage}
\frame{$H$ -- ustalona przestrze\'n Hilberta. \pause 
\begin{block}{}
\textbf{Def:} Rodzin\k{e} wektor\'ow $\{e_i\}_{i\in I}\subseteq H$ nazywamy uk\l{}adem 
\begin{itemize}
\item \pause \textbf{ortogonalnym}, je\'sli $e_i \perp e_j$ dla $i\neq j$ (tzn. $\langle e_i, e_j\rangle =0$, $i\neq j$).
\item \pause  \textbf{ortonormalnym}, je\'sli $e_i \perp e_j$, gdy $i\neq j$ oraz $\|e_i\|=1$, \pause  tzn. 
$$
\langle e_i, e_j\rangle=\delta_{i,j}:=
\begin{cases}
1, & i=j,\\
0, & i\neq j,
\end{cases}
\qquad  i,j\in I.
$$
\end{itemize}  
\end{block} \pause 
Ka\.zdy ortogonalny uk\l{}ad  wektor\'ow $\{u_i\}_{i\in I}$ niezerowych  mo\.zna unormowa\'c do uk\l{}adu ortonormalnego $\{e_i\}_{i\in I}$ 
  k\l{}ad\k{a}c $e_i:=\frac{u_i}{\|u_i\|}$: \pause 
	\\
	\qquad \quad
$\langle e_i, e_j\rangle \pause =\left\langle \frac{u_i}{\|u_i\|} , \frac{u_j}{\|u_j\|}\right\rangle \pause  =\frac{\langle u_i , u_j\rangle}{\|u_i\|\|u_j\|} \pause =
\delta_{i,j} \cdot
\frac{\langle u_i , u_i\rangle}{\|u_i\|\|u_i\|}\pause =\delta_{i,j}.
$ \pause
\begin{block}{\textbf{Stw.} (Ortogonalizacja Grama-Schmidta)} \pause 
Je\'sli  $\{x_i\}_{i=1}^n\subseteq H$  liniowo-niezale\.zne \pause  oraz $M=\lin\{x_1,...,x_n\}$,  \pause  to 
\\[4pt]
\,\,$
u_1:=x_1$,\,\,\,\, \pause $u_2:=x_2 - P_{u_1} x_2$, \pause \,\,\,\,   ..., \pause \,\,\,\, $ u_n:=x_n - \sum_{i=1}^{n-1} P_{u_i}x_n$ \pause
\\[4pt]
 tworz\k{a}  uk\l{}ad ortogonalny $\{u_i\}_{i=1}^n$ \pause  taki, \.ze $M=\lin\{u_1,...,u_n\}$. \pause \begin{picture}(0,0)(0,0)
\put(-3,-8){\includegraphics[scale=0.09]{house.png}} 
\end{picture}
\end{block}
}
\frame{
\begin{block}{}
\textbf{Stw.} Je\'sli $M=\lin\{e_1,...,e_n\}$, gdzie  $\{e_i\}_{i=1}^n$ uk\l{}ad  ortonormalny, to  \pause   % (przestrze\'n liniowa rozpi\k{e}ta przez te wektory) 
%\\[4pt]
%\qquad \qquad \qquad $
$$
P_Mx= \sum\limits_{i=1}^n \langle x, e_i\rangle e_i, \qquad \text{ dla ka\.zdego }x\in H.
$$ \pause 
%\\[4pt]
Ponadto, $\|P_Mx\|^2=\sum_{i=1}^n |\langle x, e_i\rangle|^2$ dla $x\in H$.
\end{block} \pause 
\textbf{Dow\'od:}  \pause 
Niech $x\in H$. \pause  Wtedy $
P_Mx= \sum_{i=1}^n \lambda_i  e_i$,  $\{\lambda_i\}_{i=1}^n \subseteq \F$, \pause   oraz 
\\[4pt]
\qquad $
\langle x, e_i\rangle \pause \stackrel{e_i\in M}{=\joinrel=}\langle x, P_Me_i\rangle \pause \stackrel{P_M=P_M^*}{=\joinrel=\joinrel=}
 \langle P_Mx, e_i\rangle \pause =\langle \sum_{j=1}^n  \lambda _j e_j , e_i\rangle
\\[4pt] \pause
\qquad \qquad\quad =\sum_{j=1}^n \lambda _j \langle  e_j , e_i\rangle \pause\stackrel{\langle  e_j , e_i\rangle=\delta_{i,j}}{=\joinrel=} 
%\langle \lambda_i e_i, e_i\rangle
\lambda_i .
$ \pause
\\[6pt]
St\k{a}d $P_Mx= \sum_{i=1}^n \langle x, e_i\rangle e_i$  \pause oraz  
\\[6pt]
$
\|P_Mx\|^2\pause =\langle \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i e_i, \sum\limits_{j=1}^n\lambda_j  e_j\rangle \pause=\sum\limits_{i,j=1}^n \lambda_i \overline{\lambda}_j \langle e_i, e_j\rangle \pause= \sum\limits_{i=1}^n |\lambda_i|^2$
\\[4pt] \pause
\qquad \qquad
$
=\sum\limits_{i=1}^n|\langle x, e_i\rangle|^2. $ \pause $\blacksquare$
}
\frame{
\begin{block}{ \textbf{Wn.} (Nier\'owno\'s\'c Bessela)} \pause %\label{cor:bessel}
Dla dowolnego uk\l{}adu ortonormalnego $\{e_i\}_{i\in I}\subseteq H$  mamy
$$
\sum_{i\in I}|\langle x, e_i\rangle|^2\leq \|x\|^2, \qquad x\in H.
$$
\end{block} \pause

\textbf{Dow\'od:}  \pause
Niech $A\subseteq  I$  sko\'nczony  \pause i niech $M=\lin\{e_i:i\in A\}$ przestrze\'n liniowa rozpi\k{e}ta przez wektory $\{e_i\}_{i\in A}$. \pause
Wtedy  \pause
$$
\sum_{i\in A}|\langle x, e_i\rangle|^2 \pause \stackrel{Stw}{=\joinrel=}\|P_Mx\|^2  \pause \stackrel{\|P_M\|\leq 1}{\leq} \|x\|^2.
$$
St\k{a}d $\sum_{i\in I}|\langle x, e_i\rangle|^2 \pause=\sup_{A\subseteq I \atop \text{ sko\'nczony}} \sum_{i\in A}|\langle x, e_i\rangle|^2 \pause \leq \|x\|^2$.  \pause  $\blacksquare$ \pause 

\begin{block}{} \textbf{Def.} Dla wektor\'ow $\{x_i\}_{i\in I}$  w przestrzeni unormowanej $X$, \pause szereg $\sum_{i\in I}x_i$ \pause jest \textbf{(bezwgl\k{e}dnie) zbie\.zny} do wektora $x\in X$, \pause je\.zeli dla dowolnego $\varepsilon >0$ \pause
istnieje sko\'nczony $K\subseteq I$  \pause taki, \.ze  dla dowolnego sko\'nczonego $J\subseteq I$ zawieraj\k{a}cego $K$ \pause mamy
$\|\sum_{i\in J} x_i -x\|<\varepsilon.$ \pause
\\[2pt] Piszemy wtedy $x=\sum_{i\in I}x_i$. \pause

\end{block}
}
\frame{\begin{block}{} 
\textbf{Def. Baz\k{a} ortonormaln\k{a}} \pause przestrzeni Hilberta $H$ \pause nazywamy    uk\l{}ad ortonormalny $\{e_i\}_{i\in I}$,  kt\'ory  jest maksymalny, \pause tzn.  nie istnieje $e\in H$ taki, 
\.ze  uk\l{}ad $\{e_i\}_{i\in I}\cup \{e\}$ jest ortonormalny. \pause
\end{block}

\begin{block}{}\textbf{Stw.}
Ka\.zdy uk\l{}ad ortonormalny  mo\.zna rozszerzy\'c do bazy ortonormalnej. \pause W szczeg\'olno\'sci ka\.zda przestrze\'n Hilberta posiada baz\k{e} ortonormaln\k{a}.
\end{block} \pause
\textbf{Dow\'od:}  \pause
Teza wynika z Lematu Kuratowskiego-Zorna.  \pause
\begin{picture}(0,0)(237,30)
\put(274.5,1){\includegraphics[scale=0.35]{Zorn.jpg}}
\put(237,5){\includegraphics[scale=0.1]{Kuratowski.jpg}}
\put(231,0){\tframed[line width=1bp,fill=white!60]{\footnotesize Kuratowski}}  
\put(285,0){\tframed[line width=1bp,fill=white!60]{ \footnotesize Zorn }}  
\end{picture} 
\\[4pt]
 Rzeczywi\'scie, niech $\{e_i\}_{i\in I}\subseteq H$ b\k{e}dzie ustalonym \\
uk\l{}adem ortonormalnym. \pause
Niech $\mathcal{P}$ b\k{e}dzie rodzin\k{a} \\
 wszystkich 
uk\l{}ad\'ow ortonomalnych $\{e_i'\}_{i\in I'}\subseteq H$ roszerzaj\k{a}cych $\{e_i\}_{i\in I}$, \pause czyli 
$ \{e_i: i\in I\}\subseteq \{e_i': i\in I'\}$. \pause
Jest to zbi\'or cz\k{e}\'sciowo uporz\k{a}dkowany ze wzgl\k{e}du na relacj\k{e} inkluzji. \pause Ponadto ka\.zda rodzina  uk\l{}ad\'ow ortonormalnych $\mathcal{C}\subseteq \mathcal{P}$, \pause
kt\'ora jest liniowo uporz\k{a}dkowana \pause (tzn. je\'sli $u,u'\in \mathcal{C}$, to  $u\subseteq u'$ albo $u'\subseteq u$) \pause ma ograniczenie g\'orne \pause $\bigcup_{u\in \mathcal{C}}u$. \pause Zatem na mocy Lematu Kuratowskiego-Zorna istnieje element maksymalny w $\mathcal{P}$. \pause $\blacksquare$ 

}
\frame{
\begin{block}{\textbf{Tw. (Charakeryzacje bazy ortonormalnej)}} \pause
Niech  $\{e_i\}_{i\in I}\subseteq H$ b\k{e}dzie uk\l{}adem ortonormalnym w przestrzeni Hilberta $H$. \pause Nast\k{e}puj\k{a}ce warunki s\k{a} r\'ownowa\.zne: 
\begin{enumerate}[(1)]
\item\label{item:equivalence_orthonormal_basis1} \pause  $\{e_i\}_{i\in I}$ jest \textbf{baz\k{a} ortonormaln\k{a}},  \pause tzn.  $\{e_i\}_{i\in I}$ jest maksymalnym uk\l{}adem ortonormalnym.
\item\label{item:equivalence_orthonormal_basis2} \pause uk\l{}ad $\{e_i\}_{i\in I}$ jest \textbf{liniowo g\k{e}sty} w $H$, \pause tzn.  $\overline{\lin\{e_i:i\in I\}}=H$.
%przestrze\'n liniowa   $\lin\{e_i:i\in I\}$ jest 
%g\k{e}sta w $H$.
\item \label{item:equivalence_orthonormal_basis3} \pause Dla ka\.zdego $x\in H$, $\|x\|^2=\sum_{i\in I}|\langle x, e_i\rangle|^2 $, \pause tzn. w nier\'owno\'sci Bessela zachodzi r\'owno\'s\'c (zwan\k{a}  \textbf{to\.zsamo\'sci\k{a} Parsevala}).
\item\label{item:equivalence_orthonormal_basis4} \pause Ka\.zdy $x\in H$ jest postaci $x=\sum_{i\in I}  \lambda_i e_i$, gdzie $\lambda_i\in \F$, $i\in I$.
\end{enumerate} \pause
Wsp\'o\l{}czynniki $\{\lambda_i\}_{i\in I}\in \F$  w \eqref{item:equivalence_orthonormal_basis4} \pause s\k{a} wyznaczone jednoznacznie przez $x$, \pause
a mianowicie $\lambda_i=\langle x, e_i\rangle$ dla  $i\in I$. \pause  Liczby te nazywane s\k{a} \textbf{wsp\'o\l{}czynnikami Fouriera} elementu $x$ w bazie $\{e_i\}_{i\in I}$. 
%R\'wno\'s\'c w \ref{item:equivalence_orthonormal_basis3} nazywa si\k{e} ``to\.zsamo\'sci\k{a} Parsevala''. 
\end{block} \pause
\textbf{Dow\'od:} \pause Zauwa\.zmy, \.ze je\.zeli $x=\sum_{i\in I}  \lambda_i e_i$
dla pewnych $\lambda_i\in \F$,  to \pause %ortonormalno\'s\'c uk\l{}adu $\{e_i\}_{i\in I}$ oraz ci\k{a}g\l{}o\'s\'c iloczynu skalarnego implikuj\k{a}, \.ze 
$$
\langle x, e_i \rangle \pause =\langle \sum_{j\in I}  \lambda_j e_j, e_i \rangle \pause =\sum_{j\in I}  \lambda_j  \langle  e_j, e_i \rangle\pause =\sum_{j\in I} \lambda_j \delta_{i,j}
\pause=  \lambda_i, \qquad \text{ $i\in I$}.
$$
Dowodzi to ostatniej cz\k{e}\'sci twierdzenia.

}


\frame{
 
\eqref{item:equivalence_orthonormal_basis1}$\Rightarrow$\eqref{item:equivalence_orthonormal_basis2}. \pause
Niech  $M:=\overline{\lin\{e_i:i\in I\}}$  domkni\k{e}ta podprzestrze\'n $H$ rozpi\k{e}ta przez 
$\{e_i\}_{i\in I}$. \pause Je\'sli $M\neq H$,   to $M^\bot\neq \{0\}$,  \pause czyli istnieje $e\in M^\bot$  taki, \.ze $\|e\|=1$. \pause
Wtedy  $\{e_i\}_{i\in I}\cup \{e\}$ jest uk\l{}adem ortonormalnym, \pause
 co przeczy maksymalno\'sci $\{e_i\}_{i\in I}$. \pause Zatem  $M= H$. \pause
\\[6pt]
\eqref{item:equivalence_orthonormal_basis2}$\Rightarrow$\eqref{item:equivalence_orthonormal_basis3}. \pause
Niech $x\in H$. \pause Ustalmy $\varepsilon >0$. \pause Z za\l{}o\.zenia istnieje zbi\'or sko\'nczony $A\subseteq I$ 
oraz $v\in M:=\lin\{e_i: i \in A\}$ taki, \.ze $\|x-v\|< \varepsilon$. \pause
 Zauwa\.zmy, \.ze   $\dim(M)=\pause |A| <\infty$. \pause Zatem
\\[6pt]
$
\|x\|^2 \pause=\|P_Mx + (x-P_M x)\|^2 \pause \stackrel{Pitagoras}{=}\|P_Mx \|^2+ \|x-P_M x\|^2   
$
\\[6pt] \pause
\qquad\, $\leq \|P_Mx \|^2+ \|x-v\|^2$\,\, {\tiny \,\,  $ \left\{\begin{array}{l} 
 \|x-P_M x\|=
\\
\inf\limits_{y\in M}\|x-y\|
\end{array}\right\}
$} \pause
\\[6pt]
\qquad\, $
< \|P_Mx \|^2 +\varepsilon^2  \pause \stackrel{\text{wz\'or na }P_m}{=} 
\sum_{i\in A}|\langle x, e_i\rangle|^2 +\varepsilon^2$ \pause
\\[6pt]
\qquad\,
$
\leq \sum_{i\in I}|\langle x, e_i\rangle|^2  +\varepsilon^2. 
$ \pause
\\[6pt]
Przechodz\k{a}c z $\varepsilon$ do zera otrzymujemy, \pause \.ze $\|x\|^2\leq  \sum_{i\in I}|\langle x, e_i\rangle|^2$. \pause Jest to nier\'owno\'s\'c przeciwna 
do nier\'owno\'sci Bessela. \pause St\k{a}d r\'owno\'s\'c. 
}
\frame{
\eqref{item:equivalence_orthonormal_basis3}$\Rightarrow$\eqref{item:equivalence_orthonormal_basis4}. \pause
Niech $x\in H$ oraz $\varepsilon >0$. \pause Szereg $\|x\|^2=\sum_{i\in I}|\langle x, e_i\rangle|^2$ jest zbie\.zny (na mocy to\.zsamo\'sci Parsevala).  \pause
Zatem  istnieje sko\'nczony
 $K\subseteq I$ taki, \.ze \pause dla ka\.zdego sko\'nczonego $J\subseteq I$ roz\l{}\k{a}cznego z $K$ mamy 
$\sum_{i\in J}|\langle x, e_i\rangle|^2 < \varepsilon $.   \pause
St\k{a}d 
$$\sum_{i\in I\setminus K}|\langle x, e_i\rangle|^2 \leq \varepsilon.$$
 \pause
We\'zmy teraz sko\'nczony $J\subseteq I$  zawieraj\k{a}cy $K$.  \pause Zauwa\.zmy, \.ze
\\[4pt]
\,\,\, $\langle x- \sum\limits_{j\in J} \langle x, e_j\rangle e_j, e_i \rangle
 \pause  =\langle x, e_i \rangle - \sum\limits_{j\in J} \langle x, e_i \rangle \delta_{i,j}
\pause = \langle x, e_i \rangle \cdot 1_{I\setminus J}(i).$
\\[4pt] \pause
Zatem stosuj\k{a}c to\.zsamo\'s\'c Parsevala do wektora 
$x- \sum_{j\in J} \langle x, e_j\rangle e_j$ \pause
\\[6pt]
\quad $
\|x- \sum_{j\in J} \langle x, e_j\rangle e_j\|^2\pause
=\sum_{i\in I\setminus J}|\langle x, e_i\rangle|^2 \pause \leq \sum_{i\in I\setminus K}|\langle x, e_i\rangle|^2 \pause \leq \varepsilon.
$  \pause
\\[6pt]
Dowodzi to r\'owno\'sci  $x=\sum_{i\in I}  \langle x, e_i\rangle e_i$. \pause
\\[6pt]
\eqref{item:equivalence_orthonormal_basis4}$\Rightarrow$\eqref{item:equivalence_orthonormal_basis1}.  \pause
Za\l{}\'o\.zmy nie wprost, \pause \.ze istnieje $e\in H$ taki, 
\.ze uk\l{}ad $\{e_i\}_{i\in I}\cup \{e\}$ jest ortonormalny. \pause Na mocy za\l{}o\.zenia $e=\sum_{i\in I}  \lambda_i e_i$ dla $\lambda_i\in \F$, $i\in I$. \pause Ale  
$\lambda_i=\langle e, e_i\rangle=0$ dla ka\.zdego $i\in I$. \pause Zatem $e=0$, \pause co prowadzi do sprzeczno\'sci z warunkiem $\|e\|=1$. \pause $\blacksquare$
}
\frame{
\begin{block}{}
\textbf{Wn.} Je\'sli $\{e_i\}_{i\in I}$ jest baz\k{a} ortonormaln\k{a} przestrzeni Hilberta $H$, to \pause  ka\.zdy  $x\in H$ jest  wyznaczony przez swoje wsp\'o\l{}czynniki Fouriera $\{\langle x, e_i\rangle \}_{i\in I}$ \pause  za pomoc\k{a} tzw. \textbf{szeregu Fouriera}
\begin{picture}(0,0)(257.5,47)
\put(273,2){\includegraphics[scale=0.045]{Fourier.jpg}}
\put(265,-1){\tframed[line width=1bp,fill=white!60]{ \footnotesize  Joseph Fourier }}  
\end{picture} 
%\begin{picture}(0,0)(247.5,60)
%\put(272,2){\includegraphics[scale=0.055]{Fourier.jpg}}
%\put(270,-1){\tframed[line width=1bp,fill=white!60]{ \footnotesize  Joseph Fourier }}  
%\end{picture}  
$$
x=\sum_{i\in I}  \langle x, e_i\rangle e_i.
$$ \pause
Ponadto $\|x\|=\sqrt{\sum_{i\in I} | \langle x, e_i\rangle|^2}$ {\footnotesize (to\.zsamo\'s\'c Parsevala)}. \pause
\end{block}
\begin{block}{\textbf{Prz.} (Standardowa baza w $\ell^2(I)$)}  \pause
Niech $I$ dowolny zbi\'or. \pause Rozwa\.zmy przestrze\'n Hilberta 
\\[4pt]
\qquad \quad \qquad $\ell^2(I):=\{x:I\to \F: \sum_{i\in I}|x(i)|^2 <\infty\}$. 
\\ [4pt] \pause
 Iloczyn skalarny w $\ell^2(I)$ jest dany wzorem $\langle x , y \rangle =\sum_{i\in I} x(i)\overline{y(i)}$, \pause a standardow\k{e} baz\k{e} ortonormaln\k{a}  stanowi\k{a} wektory $\{e_i\}_{i\in I}$, gdzie 
$
e_i(j)=\delta_{i,j}
$, dla $j\in I$. \pause Je\'sli $I=\N$, to  $\ell^2(\N)=\ell^2$ \pause oraz
$$
e_n=(\underbrace{0,...,0}_{n-1},1,0,...), \qquad   n\in\N. 
$$
\end{block}
}
\frame{
\begin{block}{}
\textbf{Tw.}
Je\'sli $\{e_i\}_{i\in I}$ jest baz\k{a} ortonormaln\k{a} przestrzeni Hilberta $H$, to \pause
wz\'or 
$(Ux)(i):=\langle x, e_i\rangle$ dla $x\in H$, $i\in I$,  \pause zadaje izometryczny izomorfim  $U:H\to \ell^2(I)$ \pause (\textbf{operator unitarny}). \pause Zatem $H\cong \ell^2(I)$.
\end{block} \pause
\textbf{Dow\'od:} \pause Z to\.zsamo\'sci Parsevala wynika, \.ze $U:H\to \ell^2(I)$ jest poprawnie okre\'slon\k{a} izometri\k{a}. \pause
Liniowo\'s\'c jasna.  \pause Surjektywno\'s\'c  \pause \begin{picture}(0,0)(0,0)
\put(-3,-8){\includegraphics[scale=0.09]{house.png}} 
\end{picture} \pause
\begin{block}{}
\textbf{Def.  
Wymiarem przestrzeni Hilberta} $H$ \pause nazywamy moc bazy ortonormalnej  tej przestrzeni i oznaczamy $\dim(H)$. \pause
\end{block}
\textbf{Uw.} \pause
Wymiar przestrzeni Hilberta jest dobrze zdefiniowany,\pause tzn. ka\.zde dwie bazy tej samej przestrzeni maj\k{a} t\k{e} sam\k{a} moc. \pause
\\
Wynika to Twierdzenia Cantora--Bernsteina \pause \begin{picture}(0,49)(95,0)
\put(6,2){\includegraphics[scale=0.335]{cantor2.png}}
\put(50,5){\includegraphics[scale=0.35]{bernstein.png}}
\put(0,0){\tframed[line width=1bp,fill=white!60]{Cantora--Bernsteina}}  
%\put(40,1){\tframed[line width=1bp,fill=white!60]{\footnotesize Bernsteina}}  
\end{picture}  \pause %  
(\begin{picture}(27,20)(0,0)
\put(-3,-8){\includegraphics[scale=0.09]{house.png}} 
\end{picture} poczyta\'c). \pause
\begin{block}{}
\textbf{Wn.}
Dwie przestrzenie Hilberta $H$ i $K$ s\k{a} izometrycznie izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy $\dim(H)=\dim(K)$.
\end{block}
}


\end{document}


W nier\'wno\'sci Bessela napisali\'smy sum\k{e} szeregu po dowolnym zbiorze indeks\'w $I$. Jest to szereg liczb nieujemnych, wi\k{e}c mo\.ze by\'c traktowany jako supremum po sumach sko\'nczonych. Og\'lnie  zbie\.zno\'s\'c  szereg\'w po zbiorach niekoniecznie przeliczalnych definiujemy jak nast\k{e}puje.




W przestrzeni Hilberta opr\'cz zbie\.zno\'sci %mo\.zemy zaprz\k{a}c do definicji bazy 
mamy poj\k{e}cie ortogonalno\'sci. Prowadzi to do kolejnej (trzeciej) definicji bazy, w kt\'rej zak\l{}adamy, \.ze wszystkie wektory s\k{a} parami do siebie  prostopad\l{}e - tzw. \emph{baza ortogonalna}. Dodatkowo mo\.zemy wektory bazy unormowa\'c, tak aby ka\.zdy z nich mia\l{} d\l{}ugo\'s\'c $1$.  Wtedy m\'wimy  o \emph{bazie ortonormalnej}. Jak poka\.zemy poni\.zej  bazy ortonormalne istniej\k{a} w ka\.zdej przestrzeni Hilberta i s\k{a} kluczowym narz\k{e}dziem w analize takich przestrzeni.

\begin{defn}
 
\end{defn}
\begin{rem}
Je\'sli zbi\'r indeks\'w $I$ jest przeliczalny, to mo\.zna go ponumerowa\'c liczbami naturalnymi i w powy\.zszej definicji mo\.zna 
zast\k{a}pi\'c 
rodzin\k{e}  $\{e_i\}_{i\in I}$ przez ci\k{a}g $\{e_i\}_{i=1}^{\infty}$, gdy $I$ jest niesko\'nczony, albo $\{e_i\}_{i=1}^n$, gdy $I$ jest zbiorem sko\'nczony.
\end{rem}
W  sko\'nczenie wymiarowych przestrzeniach Hilberta baz\k{e} ortogonaln\k{a}, odpowiednio ortonormaln\k{a}, mo\.zna zdefiniowa\'c jako baz\k{e} algebraiczn\k{a}, kt\'ra ma dodatkowo w\l{}asno\'s\'c, \.ze wektory j\k{a} tworz\k{a}ce s\k{a} ortogonalne,  odpowiednio ortonormalne. Takie bazy \l{}atwo skonstruowa\'c:
\begin{ex}
% B\k{e}dziemy wtedy m\'wi\'c, \.ze $\{e_i\}_{i=1}^n$ jest baz\k{a} ortonormaln\k{a} przestrzeni $M$.
\end{ex}
Ortogonalizacja Grama-Schmidta
wraz z poni\.zszym stwierdzeniem daj\k{a} prosty przepis na to jak obliczy\'c rzut ortgonalny wektora na podprzestrze\'n sko\'nczenie wymiarow\k{a}.  
\begin{prop}\label{prop:rzut_na_finite_dimensional}

%\begin{defn}\label{defn:abslout_convergence}
%Niech $X$ przestrze\'n unormowana i niech $\{x_i\}_{i\in I}$ uk\l{}ad wektor\'w. Powiemy, \.ze szereg 
%$\sum_{i\in I}x_i$ jest \emph{(bezwgl\k{e}dnie) zbie\.zny} i jego suma wynosi $x\in X$, je\.zeli dla dowolnego $\varepsilon >0$
%istnieje zbi\'r sko\'nczony $K\subseteq I$ taki, \.ze dla dowolnego zbioru sko\'nczonego $J\subseteq I$ zawieraj\k{a}cego $K$ mamy
%$
%\|\sum_{i\in J} x_i -x\|<\varepsilon.
%$\footnote{Innymi s\l{}owy szereg $\sum_{i\in I}x_i$ jest zbie\.zny je\.zeli sie\'c sum cz\k{e}\'sciowych $\{\sum_{i\in J}x_i\}_{J\subseteq I \atop \text{sko\'nczony}}$ (indeksowana sko\'nczonymi podzbiorami $I$ skierowanymi przez relacj\k{e} inkluzji) jest zbie\.zna i wtedy  granica  tej sieci jest sum\k{a} szeregu} Piszemy wtedy $x=\sum_{i\in I}x_i$.
%\end{defn}
\begin{defn}\label{defn:abslout_convergence}
Niech $\{x_i\}_{i\in I}$ b\k{e}dzie rodzin\k{a}  wektor\'w w przestrzeni unormowanej $X$. Powiemy, \.ze szereg 
$\sum_{i\in I}x_i$ jest \emph{(bezwgl\k{e}dnie) zbie\.zny} i jego suma wynosi $x\in X$, je\.zeli dla dowolnego $\varepsilon >0$
istnieje  $K\Subset I$ taki, \.ze  $K\Subset J\Subset I$ implikuje $
\|\sum_{i\in J} x_i -x\|<\varepsilon.
$\footnote{Innymi s\l{}owy szereg $\sum_{i\in I}x_i$ jest zbie\.zny je\.zeli sie\'c sum cz\k{e}\'sciowych $\{\sum_{i\in J}x_i\}_{J\Subset I}$ (indeksowana sko\'nczonymi podzbiorami $I$ skierowanymi przez relacj\k{e} inkluzji) jest zbie\.zna i wtedy  granica  tej sieci jest sum\k{a} szeregu.} Piszemy wtedy $x=\sum_{i\in I}x_i$.
\end{defn}
\begin{lem}\label{lem:unconditionally_convergent}
Je\.zeli szereg $\sum_{i\in I}x_i$ jest zbie\.zny w przestrzeni unormowanej $X$, to dla ka\.zdego $\varepsilon >0$ istnieje  $K\Subset I$ taki, \.ze dla ka\.zdego  $J\Subset I$ roz\l{}\k{a}cznego z $K$ mamy $
\|\sum_{i\in J} x_i\|<\varepsilon.
$ Implikacja odwrotna zachodzi, gdy $X$ jest przestrzeni\k{a} zupe\l{}n\k{a}. 

Co wi\k{e}cej, je\.zeli $\sum_{i\in I}x_i$ zbie\.zny, to poza zbiorem przeliczalnym  wektory $\{x_i\}_{i\in I}$ si\k{e} zeruj\k{a},
to znaczy istnieje zbi\'r przeliczalny $N\subseteq I$ taki, \.ze $i\not\in N \implies x_i=0$ i wtedy  
$\sum_{i\in I}x=\sum_{n\in N}x_n$.
\end{lem}
\begin{proof}
Za\l{}\'\.zmy, \.ze szereg $\sum_{i\in I}x_i$ jest zbie\.zny.
Niech $\varepsilon >0$ i niech  $K\Subset I$ taki, \.ze  $K\Subset J\Subset I$ implikuje
$\|\sum_{i\in J} x_i -x\|<\varepsilon/2$.
We\'zmy teraz dowolny $J\Subset I$ taki, \.ze $J\cap K=\emptyset$. Wtedy 
$$
\Big\|\sum_{i\in J} x_i\Big\|=\Big\|\sum_{i\in K\cup J} x_i -\sum_{i\in K} x_i \Big\|\leq \Big\|\sum_{i\in K\cup J} x_i -x\Big\| + \Big\|x- \sum_{i\in K} x_i \Big\|
< \varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon.
$$
Co dowodzi \.z\k{a}danej implikacji. 

 Za\l{}\'\.zmy teraz, \.ze dla ka\.zdego 
$\varepsilon >0$ istnieje $K\Subset I$ taki, \.ze 
$\|\sum_{i\in J} x_i\|<\varepsilon$ dla ka\.zdego  dla ka\.zdego  $J\Subset I$ roz\l{}\k{a}cznego z $K$. 
Dla ka\.zdego $n\in \N$ wybierzmy $K_n\Subset I$ taki, \.ze $\|\sum_{i\in J\setminus K_n} x_i\|<1/n$ dla $J\Subset I$.
Przechodz\k{a}c ewentualnie do zbior\'w $K_n':=K_1\cup ... \cup K_n$, mo\.zemy za\l{}o\.zy\'c, ci\k{a}g $\{K_n\}_{n=1}^\infty$ 
jest wst\k{e}puj\k{a}cy, tzn. $K_1\subseteq K_2\subseteq K_3 \subseteq ...$.  
Zauwa\.zmy, \.ze zbi\'r $N:=\bigcup_{n\in \N} K_n$ jest przeliczalny oraz 
je\'sli  $i\not\in N$ to $\|x_i\|<1/n$ dla ka\.zdego $n\in \N$, tzn. $x_i=0$. 
Dowodzi to drugiej cz\k{e}\'sci tezy. 
Ponadto ci\k{a}g sum cz\k{e}\'sciowych $S_{n}:=\sum_{i\in  K_n} x_i$ jest ci\k{a}giem Cauchy, gdy\.z dla $m>n$ mamy
$
\|S_m -S_n\|=\|\sum_{i\in  K_m \setminus K_n} x_i\|\leq 1/n.
$
Zatem je\'sli przestrze\'n $X$ jest zupe\l{}na, to 
istnieje granica $x:=\lim_{n\to \infty} S_n=\lim_{n\to \infty} \sum_{i\in  K_n} x_i\in X$. 
Szereg $\sum_{i\in I}x_i$ jest zbie\.zny do $x$, bo dla ka\.zdego
$n\in \N$ oraz  $J\Subset I$ zawieraj\k{a}cego $K_n$
mamy 
$$
\Big\|\sum_{i\in J} x_i - x\Big\|=\lim_{m\to \infty}\Big\|\sum_{i\in J} x_i - \sum_{i\in  K_m} x_i\Big\|
\leq \Big\|\sum_{i\in J\setminus K_n} x_i\Big\|+ \lim_{m\to \infty}\Big\|\sum_{i\in  K_m\setminus K_n} x_i\Big\|< 2/n.
$$
\end{proof}
Baz\k{e} algebraiczn\k{a} definiuje si\k{e} jako maksymalny uk\l{}ad wektor\'w liniowo niezale\.znych. Baz\k{e} ortonormaln\k{a} 
zdefiniujemy analogicznie, jako maksymalny uk\l{}ad ortonormalny:
\end{proof}
\begin{thm}\label{thm:equivalence_orthonormal_basis}

\end{proof}
\begin{rem}
Czasem przez to\.zsamo\'s\'c Parsevala rozumie si\k{e} nieco bardziej og\'ln\k{a} formu\l{}\k{e}:
$
\langle x, y\rangle=\sum_{i\in I} \langle x, e_i\rangle \overline{\langle y, e_i \rangle}$, gdzie  $x,y\in H$
i $\{e_i\}_{i\in I}$ baza ortonormalna  w przestrzeni Hilberta $H$ (\home udowodni\'c ten wz\'r).
\end{rem}
\begin{cor}\label{cor:Fourier_expansion}

\end{cor}

Nazwa szeregi Fouriera  i wsp\'\l{}czynniki Fouriera wzi\k{e}\l{}a si\k{e} od wzor\'w wyprowadzonych w 1807 roku przez Josepha Fouriera, kt\'re s\k{a} szczeg\'lnym przypadkiem wzor\'w, kt\'re om\'wili\'smy powy\.zej.  Fourier rozwa\.za\l{} baz\k{e} ortonormaln\k{a} zadan\k{a} przez funkcje trygonometryczne: 
\begin{ex}[Baza funkcji trygonometrycznych]
W przestrzeni Hilberta  $H=L^2([-\pi,\pi])$ mamy baz\k{e} ortonormaln\k{a} $\{e_n\}_{n\in \Z}$, gdzie $e_0:=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ oraz
$$
e_n(t):=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos (n t), \qquad\qquad e_{-n}(t):=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin (n t) \qquad \text{ dla }n>0.
$$ 
Rzeczywi\'scie, korzystaj\k{a}ce ze wzor\'w trygonometrycznych, dla $n,m \in \Z$,
$$
\cos( nt) \cos (m t)=\frac{\cos[(n-m)t] + \cos[(n+m)t]}{2}, 
$$
$$
\sin(nt) \sin (m t)=\frac{\cos[(n-m)t] -\cos[(n+m)t]}{2},
$$ 
oraz st\k{a}d, \.ze $\int_{-\pi}^\pi \cos (nt)\, dt
=\begin{cases}
0, & n\neq 0
\\
2\pi & n=0
\end{cases}$  i $\int_{-\pi}^\pi \cos( nt)\sin (m t)=0$ (bo ca\l{}ka z funkcji nieparzystej)
\l{}atwo sprawdzi\'c, \.ze $\{e_n\}_{n\in \Z}$ uk\l{}ad ortonormalny (\home przeliczy\'c). Nieco trudniej jest wykaza\'c, \.ze uk\l{}ad ten jest maksymalny,
tzn. \.ze je\.zeli  $\int_{-\pi}^\pi f(t)\cos (nt) dt=\int_{-\pi}^\pi f(t)\sin (nt) dt=0$, dla ka\.zdego $n\geq 0$, to funkcja  $f$ jest r\'wna zero prawie wsz\k{e}dzie.
Ale mo\.zna w to uwierzy\'c je\'sli si\k{e} zda sobie spraw\k{e}, \.ze funkcje $\cos (n t)$, $\sin (nt)$   maj\k{a} okres $\frac{2\pi}{n}$, kt\'ry zbiega do zera.
Szereg z Wniosku \ref{cor:Fourier_expansion} prowadzi do \emph{klasycznego rozwini\k{e}cia w szereg Fourier'a}. Mianowicie,
dla dowolnej funkcji $f\in L^2([-\pi,\pi])$ mamy 
\begin{equation}\label{eq:Fourier_expansion}
f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nt) + b_n \sin(nt),
\end{equation}
przy czym r\'wno\'s\'c nale\.zy rozumie\'c tu w sensie zbie\.zno\'sci w $ L^2([-\pi,\pi])$, a wsp\'\l{}czynniki Fouriera dane s\k{a} wzorami
$$
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\cos (nt) dt,\quad \text{ dla }n\geq 0 \qquad \text{i}\qquad b_n:=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\sin (nt) dt,\quad \text{ dla }n> 0.
$$
Rzeczywi\'scie 
%\begin{align*}
$f=\sum_{n\in \Z} \langle f, e_n \rangle e_n= \langle f, e_0 \rangle e_0 + \sum_{n=1}^\infty\langle f, e_n \rangle e_n 
+ \langle f, e_{-n} \rangle e_{-n}
%\\ &
=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\, dt + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\cos (nt) dt  \cos (nt) + \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\sin (nt) dt\sin (nt).
$ %\end{align*}
\end{ex}
Posta\'c bazy w poprzednim przyk\l{}adzie ma swoje \'zr\'d\l{}a w zastosowaniach. Na przyk\l{}ad w akustyce, czy w teorii przetwarzania sygna\l{}\'w, 
funkcje $\cos(nt)$ i $\sin(nt)$ odpowiadaj\k{a} $n$-tym sk\l{}adowym harmonicznym, a wz\'r \eqref{eq:Fourier_expansion}  interpretuje si\k{e} jako 
rozbicie d\'zwi\k{e}ku opisanego funkcj\k{a} $f$ na sk\l{}adowe harmoniczne. Jednak\.ze %, jak wida\'c na powy\.zszym przyk\l{}adzie, 
tak dobrane funkcje bazowe  s\k{a}  bardzo niepor\k{e}czne 
w rachunkach. Fourier wymy\'sli\l{} spos\'b jak patrze\'c na to zagadnienie w inny spos\'b, tak aby baza by\l{}a bardziej naturalna. Prowadzi to 
do poj\k{e}cia  transformaty Fouriera, kt\'ra jest niczym innym jak specjalnym rodzajem operatora unitarnego - izomorfizmu przestrzeni Hilberta. Poka\.zemy, \.ze ka\.zd\k{a} przestrze\'n Hilberta z wyr\'\.znion\k{a} baz\k{a} ortonormaln\k{a} mo\.zna uto\.zsami\'c
z nast\k{e}puj\k{a}c\k{a} przestrzeni\k{a} i jej standardow\k{a}  baz\k{a} ``zero-jedynkow\k{a}''.
\begin{ex}[Standardowa baza w $\ell^2(I)$]
Niech $I$ dowolny zbi\'r. Rozwa\.zmy przestrze\'n Hilberta $\ell^2(I):=\{x:I\to \F: \sum_{i\in I}|x(i)|^2 <\infty\}$. Zbie\.zno\'s\'c szeregu mo\.zna tu traktowa\'c 
w sensie Definicji \ref{defn:abslout_convergence}. R\'wnowa\.znie $\ell^2(I)$ jest przestrzeni\k{a} $L^2(I, 2^I, \mu)$ gdzie $\mu$-miara licz\k{a}ca  
 Iloczyn skalarany w $\ell^2(I)$ jest dany wzorem $\langle x , y \rangle =\sum_{i\in I}^\infty x(i)\overline{y(i)}$ i standardow\k{e} baz\k{e} ortonormaln\k{a}  stanowi\k{a} wektory $\{e_i\}_{i\in I}$, gdzie 
$
e_i(j)=\delta_{i,j}
$, dla $j\in I$. W szczeg\'lno\'sci, je\'sli $I=\N$, to  $\ell^2(\N)=\ell^2$ oraz
$
e_n=(\underbrace{0,...,0}_{n-1},1,0,...)$, dla  $n\in\N$. 
\end{ex}
\begin{defn} 
 \emph{Operatorem unitarnym}  nazywamy odwracaln\k{a} izometri\k{e} liniow\k{a} $U:H\to K$ mi\k{e}dzy przestrzeniami unitarnymi $H$ i $K$. 
Je\'sli taki operator istnieje, to m\'wimy, \.ze 
 $H$ i $K$ s\k{a} \emph{izomorficzne} i piszemy $H\cong K$.
\end{defn}
Poj\k{e}cie operatora unitarnego zdefiniowane powy\.zej jest naturalnym izomorfizmem w kategorii przestrzeni unitarnych (pozwala  uto\.zsamia\'c odpowiednie przestrzenie unitarne wraz z ca\l{}\k{a} ich struktur\k{a}),
poniewa\.z ka\.zda liniowa izometria automatycznie zachowuje iloczyn skalarny:
\begin{lem}\label{lem:unitary_operator}
Niech $H$ i $K$ przestrzenie unitarne. Odwzorowanie liniowe $U:H\to K$ jest izometri\k{a} wtedy i tylko wtedy, gdy 
zachowuje iloczyn skalarny, to znaczy $\langle Ux, Uy\rangle =\langle x, y\rangle$ dla $x,y \in H$.
\end{lem}
\begin{proof}
Je\'sli $U$ zachowuje iloczyn skalarny, to $U$ jest izometri\k{a}, bo $\|Ux\|=\sqrt{\langle Ux, Ux\rangle}=\sqrt{\langle x, x\rangle}=\|x\|$
 dla $x\in H$.
On odwr\'t, je\'sli $U$ jest izometri\k{a}, to na mocy wzor\'w polaryzacyjnych \eqref{eq:polaryzacyjne}, $U$ zachowuje iloczyn skalarny. 
Rzeczywi\'scie, na przyk\l{}ad
w przypadku zespolonym, mamy
$$
\langle Ux,Uy\rangle=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k\|Ux+i^kUy\|^2=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k\|U(x+i^ky)\|^2=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}i^k\|x+i^ky\|^2=\langle x,y\rangle,
$$
dla dowolnych $x,y\in H$.
\end{proof}

\begin{prop}
Przestrze\'n Hilberta jest o\'srodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy $H$ posiada przeliczaln\k{a} baz\k{e} ortonormaln\k{a}.
\end{prop}
\begin{proof}''$\Leftarrow$'' Je\'sli $\{e_i\}_{i\in I}$ jest przeliczaln\k{a}  baz\k{a} ortonormaln\k{a} $H$, to bior\k{a}c dowolny przeliczalny zbi\'r g\k{e}sty  $A\subseteq \F$ (np. $A=\Q$ je\'sli $\F=\R$ lub $A=\Q+i\Q$ je\'sli $\F=\C$) i k\l{}ad\k{a}c 
$$
C:=\{\lambda_1 e_{i_1} +... \lambda_n e_{in}: \lambda_i \in A, \{i_1,...,i_n\}\subseteq I\}
$$
otrzymujemy przeliczalny zbi\'r g\k{e}sty w $H$.

``$\Rightarrow$'' Za\l{}\'\.zmy, \.ze $C\subseteq H$ jest przeliczalnym zbiorem g\k{e}stym. Niech $\{e_i\}_{i\in I}$ b\k{e}dzie baz\k{a} ortonormaln\k{a} $H$.
Zauwa\.zmy, \.ze dla $i\neq j$ mamy $\|e_i - e_j\|=\sqrt{\|e_i\|^2+\|e_j\|^2}=\sqrt{2}$, czyli kule otwarte o \'srodkach w $e_i$ i $e_j$ oraz promieniu $\sqrt{2}/2$ s\k{a} roz\l{}\k{a}czne:  
$K(e_i, \sqrt{2}/2)\cap K(e_j, \sqrt{2}/2)=\emptyset$. 
Z g\k{e}sto\'sci zbioru  $C$ wynika, \.ze ka\.zda kula otwarta $K(e_i, \sqrt{2}/2)$ zawiera pewien element  $C$, 
nazwijmy go $c_i$. Z poprzedniej uwagi wynika, \.ze $c_i\neq c_j$ dla $i\neq j$. Innymi s\l{}owy, skonstruowali\'smy injekcj\k{e} 
$I\ni i \longmapsto c_i \in C$ ze zbioru indeks\'w $I$ w przeliczalny zbi\'r $C$. St\k{a}d $I$ musi by\'c r\'wnie\.z przeliczalny.
\end{proof}
\begin{cor}
Ka\.zda niesko\'nczenie wymiarowa, o\'srodkowa przestrze\'n Hilberta jest izomorficzna z $\ell^2$.
Ka\.zda przestrze\'n Hilberta wymiaru $n<\infty$ jest izomorficzna z $\F^n$, gdzie $\langle x , y \rangle =\sum_{k=1}^nx(k)\overline{y(k)}$.
\end{cor}
Poj\k{e}cie wymiaru dla przestrzeni sko\'nczenie wymiarowych mo\.zna uog\'lni\'c na dowolne (niesko\'nczenie wymiarowe) przestrzenie Hilberta jak nast\k{e}puje.
\begin{defn}





	

