\documentclass[windows,final]{imuwbth}

\author{�ukasz St�pkowski}
\title{Og�lne twierdzenie Radona-Nikodyma  i jego
zastosowania}
\supervisor{dr. hab. Bartosza Kwa�niewskiego}

\created{2020.11.14}
%\modified{today}

\usepackage{mat}
\usepackage[shortlabels]{enumitem}
\usepackage{bbold}
\newcommand{\FF}{\mathcal F}
\newcommand{\F}{\mathbb F}
\newcommand{\B}{\mathcal B}
\newcommand{\A}{\mathcal A}
\newcommand{\GG}{\mathcal G}
\DeclareMathOperator{\ess}{ess}
\begin{document}
\frontmatter
\maketitle
\tableofcontents 
\mainmatter

\chapter*{Wst�p}
Twierdzenie charakteryzuj�ce kiedy jedna miara posiada g�sto�� wzgl�dem drugiej miary, znane obecnie jako \emph{Twierdzenie Radona-Nikodyma}, zosta�o po raz pierwszy sformu�owane w przestrzeniach $\R^n$, w 1913 roku przez  Johanna Radona, po czym zosta�o uog�lnione na przypadek abstrakcyjnych miar w 1930 roku przez Ottona Nikodyma. Specjalista w dziedzinie teorii miary David Fremlin \cite{fremlin} uwa�a, �e twierdzenie  to znajduje si� w�r�d sze�ciu najwa�niejszych wynik�w teorii miary. 
W trakcie studi�w licencjackich i magisterskich poznajemy najbardziej znan� wersj� Twierdzenia Radona-Nikodyma dla miar sko�czonych i $\sigma$-sko�czonych. Najcz�ciej wykorzystujemy je podczas  studiowania  rachunku prawdopodobie�stwa i przedmiot�w z nim zwi�zanych.

Niniejsza praca  ma  trzy g�owne cele:
\begin{enumerate}[1)]
\item 
 przegl�d rezultat�w otrzymanych przez matematyk�w podczas prac nad uog�lnieniem Twierdzenia Radona-Nikodyma,

\item  pr�ba znalezienia najog�lniejszej wersji Twierdzenia Radona-Nikodyma (dla miar niekoniecznie $\sigma$-sko�czonych),

\item zastosowanie otrzymanych wynik�w do operator�w w przestrzeniach $L_p$.
\end{enumerate}
 Ostatecznie w pracy mo�na znale�� dziewi�� r�nych wersji Twierdzenia Ra\-do\-na-Nikodyma, poczynaj�c od klasycznego przypadu dla miar sko�czonych, gdzie przedstawimy trzy jako�ciowo r�ne dowody pokazuj�ce silne zwi�zki Twierdzenia Radona-Nikodyma z r�nymi zagadnieniami z zakresu teorii miary i ca�ki, rachunku prawdopodobie�stwa i analizy funkcjonalnej. 
Wyka�emy mniej znan� wersj�, kiedy jedynie miara dominuj�ca jest $\sigma$-sko�czona i wychodz�c ca�kowicie poza �wiat miar $\sigma$-sko�czoych  om�wimy  twierdzenia Segala \cite{segal}, Lewin�w \cite{lewin} i  Og�lne Twierdzenie z quasi-funkcj� (Twierdzenie \ref{thm:quasi_function_RN}). Ostatnie z wymienionych twierdze� jest najog�lniejszym,
 poniewa� zak�ada tylko absolutn� ci�g�o�� dw�ch dowolnych miar. Jednak�e wtedy poj�cie pochodnej Radona-Nikodyma (g�sto�ci) trzeba rozumie� nie jako funkcj�, lecz jako \emph{quasi-funkcj�}.  
Quasi-funkcja jest pewn� rodzin� funkcji mierzalnych i mo�na j� uto�sami� z funkcj� mierzaln� wtedy i tylko wtedy, gdy z dok�adno�ci� do zbior�w miary zero supremum elementow quasi-funkcji jest mierzalne.
Ma to zawsze miejsce, gdy rozpatrywane miary s� \emph{lokalizowalne}. Poj�cie lokalizowalno�ci zosta�o rozpropagowane przez Segala  \cite{segal}, kt�rego  wynik cz�sto
mylnie interpretuje si� jako r�wnowa�no�� lokalizowalno�ci miary z istnieniem pochodnej Radona-Nikodyma wzgl�dem ka�dej miary absolutnie ci�g�ej. 
Problem polega jednak na tym, �e Segal w \cite{segal} przez miar� rozumia� jej obci�cie do rodziny zbior�w o mierze sko�czonej. 
W j�zyku og�lnych miar okre�lonych na $\sigma$-algebrach sprowadza si� to do za�o�enia, �e rozpatrywane miary s� wsp�lnie semi-sko�czone 
(por. Definicja \ref{defn:wspolnie_semi_skonczone} i Twierdzenie \ref{thm:Twierdzenie Radona-Nikodyma-Segala}).
Og�lnie lokalizowalno�� nie jest warunkiem koniecznym na istnienie pochodnej Radona-Nikodyma. Jak wykazali�my,
wystarczy za�o�y� istnienie suprem�w mierzalnych oraz warunek \emph{wzgl�dnej semi-sko�czono�ci}, kt�ry jest s�abszy ni�  wsp�lna semi-sko�czono��
(patrz Twierdzenie \ref{thm:Stepkowski}).

Warunek wzgl�dnej semi-sko�czono�ci (Definicja \ref{defn:semi-finite_relative}), jest uog�lnieniem dobrze 
ukonstytuowanego poj�cia semi-sko�czono�ci i jest bardzo bliski warunkowi, kt�ry w pracy Lewin�w \cite{lewin} zosta� nazwany \emph{kompatybilno�ci�}. 
Kompatybilno�� jest warunkiem koniecznym istnienia pochodnej Radona-Nikodyma. Je�li miara dominowana jest sko�czona, to kompatybilno�� jest r�wnowa�na wzgl�dnej semi-sko�czono�ci oraz istnieniu pochodnej Radona-Nikodyma. Wynika to z pracy \cite{lewin}, kt�rej g��wny wynik uog�lnili�my na przypadek, gdy dominowana miara jest $\sigma$-sko�czona
 (Twierdzenie \ref{thm:RN-Lewin_general}).

Jako zastosowanie powy�szych wynik�w do operator�w w przestrzeniach $L_p$ otrzymali�my m.in.:
\begin{enumerate}[a)]
\item 
 Og�ln� charakteryzacj� kiedy warunkowa warto�� oczekiwana dla ustalonej funkcji istnieje  oraz og�lny warunek, przy kt�rym
warunkow� warto�� oczekiwan�  definiuje rzut na przestrzeni $L_1$ (Twierdzenia \ref{thm:WWO_existance}, \ref{thm:WWO_existance_reducible}).
Jest to wa�ne na przyk�ad dlatego, �e otwiera to drog� do uog�lnienia klasycznych charakateryzacji rzut�w na przestrzeniach $L_p$ dla miar sko�czonych i $\sigma$-sko�czonych, otrzymanych przez Douglasa
\cite{douglas} i Ando \cite{ando};
\item 
Uog�lnili�my klasyczne Twierdzenie  Ridge'a \cite{Ridge} charakteryzuj�ce kiedy operator kompozycji jest ograniczony na przestrzeniach $L_p$ (Twierdzenie \ref{thm:Uog�lnione Twierdzenie Ridge'a}).
Twierdzenie Ridga jest fundamentalnym faktem w teorii operator�w kompozycji. Nasze uog�lnienie sugeruje, �e ca�� teorii� takich operator�w mo�na sformu�owa� na przestrzeniach $L_p$ z dowoln� miar� (za�o�nie $\sigma$-sko�czono�ci jest zb�dne o ile poj�cie pochodnej Radona-Nikodyma zast�pi si� przez quasi-pochodn� Radona-Nikodyma);


\item Scharakteryzowali�my izometryczne wa�one operatory kompozycji (Twierdzenie \ref{thm:isometric_copmosition_operator}). Ten wynik jest wst�pem do uog�lnienia 
Twierdzenia Banacha-Lampertiego charakteryzuj�cego izometrie na przestrzeniach $L_p$. Najog�lniejsza znana dot�d wersja tego wa�nego wyniku zachodzi dla miar lokalizowalnych, patrz \cite{lamperti}, 
\cite{gardella}.
\end{enumerate}








Struktura pracy przedstawia si� nast�puj�co:

W pierwszym rozdziale zawarlismy podstawowe informacje takie jak definicje przestrzeni z miar�, oraz konstrukcj� ca�ki. 
Wi�kszo�� drugiego rozdzia�u po�wi�cona jest  trzem r�nym dowodom Twierdzenia Radona-Nikodyma dla miar sko�czonych, gdzie ka�dy z nich jest spojrzeniem na to twierdzenie z perspektywy innej dziedziny matematyki  (czyli teorii miary, analizy funkcjonalnej i rachunek prawdopodobie�stwa). Dalej omawiamy Twierdzenie Radona-Nikodyma dla miar $\sigma$-sko�czonych, a w szczeg�lno�ci wersj�, gdzie jedynym za�o�eniem, opr�cz absolutnej ci�g�o�ci, jest  $\sigma$-sko�czono�� miary dominuj�cej. Trzeci rozdzia� zaczyna si� Og�lnym Twierdzeniem Radona-Nikodyma, a nasepnie przedstawiamy poj�cia semi-sko�czono�ci i lokalizowalno�ci miar. Ostatnie dwa podrozdzia�y pokazuj� wyniki otrzymane przez Segala i Lewin�w, oraz ich uog�lnienia. 
Czwarty rozdzia� zawiera zastosowania otrzymanych wynik�w do operator�w w przestrzeniach $L_p$.   


 
\chapter{Preliminaria}
\section{Miara i ca�ka}
W ca�ej pracy  $\Omega$ b�dzie oznacza� pewien zbi�r, a $\Sigma$ b�dzie  $\sigma$-algebra podzbior�w $\Omega$. To znaczy $\Sigma$ jest niepust� rodzin� podzbior�w zbioru $\Omega$, dla kt�rej   $A\in\Sigma$ implikuje $\Omega\setminus A=:A' \in\Sigma$, oraz   $\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in \Sigma$ dla ka�dego ci�gu $\{{A_n}\}_{n=1}^\infty \subseteq \Sigma$. Par� $(\Omega,\Sigma)$ nazywamy \emph{przestrzeni� mierzaln�}. \emph{Miar�} nazywamy funkcj� $\mu:\Sigma\to[0,+\infty]$ tak�, �e 
\begin{align*}
\mu(\emptyset) &=0, \\
\mu(\bigsqcup_{n=1}^\infty A_n)&=\sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)
\end{align*}
 dla ka�dej rodziny parami roz��cznych zbior�w $\{A_n\}_{n=1}^\infty\subseteq \Sigma$ (pisz�c ,,kwadratow� sum�'' $\bigsqcup$ mamy zawsze na my�li, �e sumowane zbiory s� parami roz��czne).  \emph{Przestrzeni� z miar�} nazywamy tr�jk� $(\Omega,\Sigma,\mu)$.

Je�eli mamy  dwie przestrzenie mierzalne $(\Omega,\Sigma)$ i $(M,\Psi)$  to funkcj� $f:\Omega\to M$ nazwiemy \emph{mierzaln�}, gdy dla ka�dego $E\in M$ zachodzi $f^{-1}(E)\in\Sigma$. 
Innymi s�owy, funkcja jest mierzalna, je�eli przeciwobraz dowolnego zbioru mierzalnego jest mierzalny.
 Rozpatruj�c funkcje mierzalne $f:\Omega\to\R$ o warto�ciach rzeczywistych  standardowo za  przestrze� mierzaln� na przeciwdziedzinie przyjmujemy $(\R,\B(\R))$, czyli  $\R$  wraz $\sigma$-algebr� zbior�w borelowskich, tj. najmniejsz� $\sigma$-algebr� zawieraj�c� wszystkie zbiory otwarte. W niniejszej pracy b�dziemy r�wnie� rozpatrywa�  funkcje mierzalne $f:\Omega\to\R\cup \{+\infty\}$ przyjmuj�ce warto�� $\infty$. Standardow� $\sigma$-algebr� na $\R\cup \{+\infty\}$ jest najmniejsza $\sigma$-algebra zawieraj�c� wszystkie zbiory otwarte w $\R$.


Teraz przypomnimy konstrukcj� ca�ki. Ustalmy przestrze� z miar� $(\Omega,\Sigma,\mu)$. Ca�k�  z funkcji charakterystycznej $f=\mathbb{1}_E$ zbioru mierzalnego  $E\in \Sigma$ definiujemy jako
$$ 
\int_\Omega f\,\mathrm d \mu :=\mu(E).
$$
Kolejnym krokiem jest ca�ka z nieujemnej \emph{funkcji prostej}, czyli funkcji postaci $f=\sum_{i=1}^n a_i\cdot\mathbb{1}_{A_i}$, gdzie $a_i>0$ i $\{A_i\}_{i=1}^n \subseteq \Sigma$ s� parami roz��czne. Poprzedni wz�r i liniowo�� ca�ki determinuje nast�puj�cy wz�r
$$
\int_\Omega f \,\mathrm{d}\mu :=\sum_{i=1}^n a_i\cdot\mu(A_i).
$$
Przyjmujemy tu standardowe konwencje, �e $a_i \cdot (+\infty)=+\infty$, $+\infty +\infty=+\infty$ oraz 
$a_i \mu(A_i)=0$ je�li $\mu(A_i)=0$ (nawet je�li $a_i=+\infty$).
Ca�k� z dowolnej nieujemnej funkcji mierzalnej $f:\Omega \to [0,+\infty]$ definiujemy jako
\begin{equation}\label{eq:def_integral}
\int_\Omega f\,\mathrm{d}\mu:= \sup\left\{  \int_\Omega s\,\mathrm d \mu :0\leq s\leq f, \,\, s \text{ jest funkcj� prost�} \right\}.
\end{equation}
 Ostatecznie, dowoln� funkcj� mierzaln� $f$ mo�emy zapisa� jako r�nica dw�ch nieujemnych funkcji mierzalnych. To znaczy 
\begin{eqnarray*}
f=f^+-f^-, \text{ gdzie }f^+:=\max\{f,0\}, f^-:=|\min\{f,0\}|
.
\end{eqnarray*}
Pozwala, to zdefiniowa� ca�k� z dowolnej funkcji mierzalnej wzorem 
$$
\int_\Omega f \,\mathrm{d}\mu := \int_\Omega f^+ \,\mathrm{d}\mu  -\int_\Omega f^- \,\mathrm{d}\mu,
$$
o ile poprawej stronie nie wyst�puje symbol nieoznaczony $(+\infty) - (+\infty)$. Og�lnie powiemy, �e funkcja mierzalna $f$ jest \emph{ca�kowalna} je�eli obie ca�ki $\int_\Omega f^+ \,\mathrm{d}\mu$ i $\int_\Omega f^- \,\mathrm{d}\mu$ s� sko�czone. Jest to r�wnowa�ne za�o�eniu, �e  $\int_\Omega |f|\,\mathrm{d}\mu<\infty$. 
W dowodach r�nych w�asno�ci ca�ki cz�sto  pokazujemy, �e dana w�asno�� zachodzi dla funkcji  prostej, nieujemnej funkcji mierzalnej, a na ko�cu dla dowolnej funkcji mierzalnej. Taki spos�b dowodzenia nazywamy \emph{metod� stopniowej komplikacji}. 


Ca�k� z funkcji $f$ na podbiorze mierzalnym $A\in \Sigma$ definiujemy jako ca�k� z funkcji $f \cdot \mathbb{1}_A$. Dok�adniej m�wimy, �e $f$ jest ca�kowalna na $A$ je�eli  funkcja $f \cdot \mathbb{1}_A$
jest ca�kowalna i piszemy wtedy $\int_A f\,\mathrm{d}\mu:= \int_\Omega f\cdot \mathbb{1}_A\,\mathrm{d}\mu$.

Jednym z najwa�niejszych twierdze� teorii ca�ki jest  \emph{Twierdzenie Leviego o zbie�no�ci monotonicznej}, kt�re m�wi, �e dla niemalej�cego   ci�gu nieujemnych funkcji mierzalnych, ca�ka z jego granicy jest granic� ca�ek.  Przy czym za�o�enie o monotoniczno�ci implikuje, �e poj�cie granicy jest tu r�wnowa�ne poj�ciu supremum.
\begin{thm}[Leviego zbie�no�ci monotonicznej]\label{thm:lebesgue_monotone}
Niech $\{f_n\}_{n\in\N}$ b�dzie ci�giem funkcji mierzalnych na $\Omega$. Je�eli 
 $0\leq f_1(\omega)\leq f_2(\omega)\leq \ldots \leq \infty$ dla ka�dego $\omega\in \Omega$,
to funkcja $\sup_{n\in \N} f_n:\Omega\to [0,+\infty]$ jest mierzalna oraz 
$$
\sup\limits_{n\in\N}\int_\Omega f_n\mathrm{d}\mu=\int_\Omega \sup_{n\in \N} f_n\mathrm{d}\mu  .$$
\end{thm}
\begin{proof}
Dow�d twierdzenia  mo�na znale�� na przyk�ad w \cite[1.26]{rudin_real}.
\end{proof}
\begin{rem}\label{rem:positive_integral}
Dla ka�dej nieujemnej funkcji mierzalnej $f:\Omega\to [0,+\infty]$ istnieje ci�g funkcji prostych $\{f_n\}_{n\in\N}$ taki, �e $0\leq f_1\leq f_2\leq \ldots \leq f$
oraz $f=\sup_{n\in \N} f_n=\lim_{n\to \infty} f_n$. Zatem w �wietle Twierdzenia \ref{thm:lebesgue_monotone} definicj� \eqref{eq:def_integral} mo�naby zast�pi� wzorem
$$
\int_\Omega f\,\mathrm{d}\mu= \lim_{n\to \infty}\int_\Omega f_n\mathrm{d}\mu.
$$
\end{rem}
\section{Przestrzenie Banacha i operatory ograniczone}
Na przestrzeni wektorowej $X$ nad cia�em $\mathbb{F}=\R,\C$ mo�emy okre�li� \emph{norm�}, czyli funkcj� $\|\cdot\|:X\to [0,\infty)$ 
tak�, �e $\|x\|=0\iff x=0$, $\|\lambda x\|=|\lambda|\cdot\|x\|$ oraz $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$, gdzie $x,y\in X$ i $\lambda \in\mathbb{F}$. Przestrze� wektorow� wyposa�on� w norm� nazywamy \emph{przestrzeni� unormowan�}. Je�eli przestrze� unormowana jest zupe�na, czyli ka�dy ci�g Cauchy jest zbie�ny, to tak� przestrze�  nazwiemy \emph{przestrzeni� Banacha}.

Klasycznymi przyk�adami przestrzeni Banacha s� \emph{przestrzenie funkcji ca�kowalnych w p-tej pot�dze}. Niech $(\Omega,\Sigma,\mu)$ b�dzie ustalon� przestrzeni� z miar� oraz niech $p\in [1,+\infty)$. M�wimy, �e 
funkcja $f:\Omega\to\mathbb{F}$ jest \emph{ca�kowalna w $p$-tej pot�dz�}, gdy 
$$
\left ( \int_\Omega |f|^p\,\mathrm d \mu\right )^\frac{1}{p}=:\|f\|_p
$$
jest warto�ci� sko�czon�. Zbi�r funkcji ca�kowalnych w $p$-tej pot�dze wraz z dzia�animi okre�lonymi punktowo i funkcj� $\|\cdot\|_p$ jest przestrzeni� unormowan�, a nawet przestrzeni� Banacha, o ile uto�samimy ze sob� funkcje r�wne sobie $\mu$-prawie wsz�dzie, patrz np. \cite{Musielak}, \cite{rudin_real}. Rzeczone przestrzenie Banacha oznaczamy  $L_p(\mu)$. Przypomnijmy, �e dwie funkcje $f,g:\Omega\to \R\cup \{+\infty\}$ s� sobie r�wne $\mu$-prawie wszedzie je�eli s� sobie r�wne poza zbiorem miary zero, czyli
$$
\mu(\{\omega\in \Omega: f(\omega)\neq g(\omega)\})=0.
$$
Jest to relacja r�wnowa�no�ci i gdy m�wimy o  $L_p(\mu)$, to tak naprawd� mamy ma my�li przestrze� ilorazow�  wzgl�dem relacji r�wno�ci $\mu$-prawie wsz�dzie, a jej elementami  s� klasy abstrakcji. Jednak dla uproszczenia j�zyka i notacji b�dziemy m�wi� o przestrzeni funkcji ca�kowalnych w p-tej pot�dze $L_p(\mu)$ i  elementy b�dziemy nazywa� funkcjami.
Nier�wno�� tr�jk�ta w przestrzeniach $L_p(\mu)$ nazywana jest nier�wno�ci� Minkowskiego. Kojeln�  nier�wno�ci� dla tych przestrzeni jest \emph{Nier�wno�� H\"{o}ldera}.
\begin{thm}[Nier�wno�� H\"{o}ldera]\label{thm:holder}
Je�eli $p$ i $q$ s� wyk�adnikami sprz�onymi (tzn. $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, $1\leq p< \infty$) i $f\in L_p(\mu)$, $g\in L_q(\mu)$, to $fg\in L_1(\mu)$ oraz 
$$
\|fg\|_1\leq \|f\|_p \cdot \|g\|_q.
$$
\end{thm}
\begin{proof}
Patrz \cite[3.8]{rudin_real}.
\end{proof}


Wa�n� podklas� przestrzeni Banacha s� przestrzenie Hilberta. Mianowicie, \emph{przestrze� Hilberta} to przestrze� Banacha $H$ wyposa�ona w \emph{iloczyn skalarny}, czyli funkcj� $\langle\cdot ,\cdot\rangle :H\times H\to\mathbb{F}$, kt�ra jest  dodatnio okre�lona, liniowa w pierwszym argumencie i antysymetryczna:    
$$\langle x,x\rangle\geq 0\quad \text{i}\quad  \langle x,x\rangle>0 \quad\text{dla    } x\neq 0,$$
$$
\langle \alpha x + \beta y, z\rangle =\alpha \langle x,z\rangle +\beta \langle y,z\rangle,
$$
 $$\langle x,y\rangle = \overline{\langle y,x\rangle},
$$
gdzie $x,y,z\in H$ i $\alpha,\beta\in\mathbb{F}$. Co wi�cej, zak�admy tu, �e norma w tej przestrzeni jest zadana przez iloczyn skalarny, to znaczy 
$$
\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}
$$ 
dla dowolnego $x\in H$. Dla dowolnego iloczynu skalarnego powy�szy wz�r zadaje norm� oraz zachodzi kluczowa \emph{nier�wno�� Schwartza}:
$$
|\langle x,y\rangle|\leq \|x\| \cdot \|y\|.
$$
Podstawowymi przyk�adami przestrzeni Hilberta s� przestrze� funkcji ca�kowalnych w kwadracie $L_2(\mu)$ z iloczynem skalarnym zadanym poprzez 
$$
\langle x,y\rangle =\int_\Omega x \overline{y}\,\mathrm d \mu
$$
dla $x,y\in L_2(\mu)$. De facto (niezeorwa) przestrze� $L_p(\mu)$ jest przestrzeni� Hilberta wtedy i tylko wtedy, gdy $p=2$. 
Nier�wno�� Schwartza dla przestrzeni $L_2(\mu)$ jest szczeg�lnym przypadkiem nier�wno�ci H\"{o}ldera.




Przez \emph{operator liniowy} mi�dzy dwiemami  ustalonymi przestrzeniami unormowananymi $X,Y$ nad cia�em $\F$  rozumiemy odwzorowanie liniowe $T:X\to Y$, tzn. funkcj� tak�, �e
$$
T(\alpha x+\beta y)=\alpha T(x)+\beta T(y)
$$
dla ka�dego $x,y\in X$ i $\alpha,\beta\in\mathbb{F}$. M�wimy, �e operator liniowy $T$ jest \emph{ograniczony}  je�eli istnieje sta�a $C\geq 0$, dla kt�rej $\|Tx\|\leq C\|x\|$ dla dowolnego $x\in X$. 
Najmniejsz� z takich sta�ych nazywamy \emph{norm� operatora}, tzn. 
$$
\|T\|:=\inf\{C\geq 0:\|Tx\|\leq C\|x\|\text{ dla ka�dego } x\in X\}.
$$
R�wnowa�nie, norma operatora $T$ wyra�a si� wzorem $\|T\|=\sup_{\|x\|=1} \|Tx\|$.
Operator liniowy jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest odwzorowaniem ci�g�ym.
Operatory liniowe przyjmuj�ce warto�ci w ciele skalar�w, tzn. gdy $Y=\F$, nazywamy \emph{funkcjona�ami}.

%\begin{lem}\label{lem:integrals_and_series}
%Niech $(\Omega,\Sigma,\mu)$ b�dzie przestrzeni� z miar� i niech $f_n:\Omega\to\overline{\mathbb{R}},n\geq 1$ b�dzie niemalej�cym ci�giem nieujemnych funkcji mierzalnych. Je�eli $|\int\limits_\Omega f_1\mathrm{d}\mu|<\infty$ to $$\int\limits_\Omega \sum\limits_{n=1}^\infty f_n\mathrm{d}\mu = \sum\limits_{n=1}^\infty \int\limits_\Omega f_n\mathrm{d}\mu. $$
%\end{lem}
%\begin{proof}
%Niech $g_n:=\sum\limits_{k=1}^n f_k$. Na mocy twierdzenia o zbie�no�ci monotonicznej otrzymujemy 
%\begin{align*}
%\int\limits_\Omega\left (\sum\limits_{n=1}^\infty f_n\right )\mathrm{d}\mu &=\int\limits_\Omega\lim\limits_{n\to\infty}g_n\mathrm{d}\mu = \lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_\Omega g_n\mathrm{d}\mu \\
%&=\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_\Omega \sum\limits_{k=1}^n f_k\mathrm{d}\mu= \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n\int\limits_\Omega f_k\mathrm{d}\mu\\
%&=\sum\limits_{k=1}^\infty\int\limits_\Omega f_k\mathrm{d}\mu.
%\end{align*}
%\end{proof}


\chapter{Twierdzenie  Radona-Nikodyma dla miar  sigma sko�czonych}

W tym rozdziale om�wimy podstawow� wersj� Twierdzenia Radona-Nikodyma dla miar sko�czonych. 
Przedstawimy trzy niezale�ne i ca�kowicie r�ne w swojej istocie dowody tego twierdzenia -  dow�d klasyczny wykorzystuj�cy Twierdzenie Hahna o rozk�adzie miary znakowej, dow�d Von Neumanna 
opieraj�cy si� na Twierdzeniu Riesza o reprezentacji funkcjona��w w przestrzeniach Hilberta, oraz dow�d  Samuelsa bazuj�cy na poj�ciu warunkowej warto�ci oczekiwanej.

Na koniec poka�emy jak Twierdzenia Radona-Nikodyma dla miar sko�czonych uog�lnia si� na przypadek, gdy miara dominowana jest dowolna, a miara dominuj�ca jest $\sigma$-sko�czona.
\section{Wprowadzenie}
  Na przestrzeni mierzalnej $(\Omega,\Sigma)$ mo�na rozpatrywa� wiele r�nych miar.
Twierdzenie Radona-Nikodyma charakteryzuje pary miar $\nu$, $\mu$, kt�re s� ze sob� zwi�zane relacj�, kt�r� symbolicznie mo�na zapisa�
$d\nu= f_0d\mu$, gdzie $f_0$ jest pewn�  funkcj� mierzaln�, a formalnie zdefiniujemy j� nast�puj�co.
\begin{dfn}
Niech  $\nu$ i $\mu$ b�d� dowolnymi miarami na przestrzeni mierzalnej $(\Omega,\Sigma)$.
Powiemy, �e miara $\nu$ ma \emph{g�sto��}, czy te� \emph{pochodn� Radona-Nikodyma wzgl�dem miary} $\mu$ je�li istnieje funkcja mierzalna 
$f_0:\Omega\to [0,+\infty]$ taka, �e 
\begin{equation}\label{eq:RN-relation}
\nu (A)=\int\limits_A f_0\,  d\mu ,\quad\text{ dla ka�dego }A\in\Sigma.
\end{equation}
%spe�niaj�ca r�wnowa�ne warunki w Stwierdzeniu \ref{prop:Radon_Nikodym_interchange_of_measure}. 
Piszemy wtedy $\frac{d\nu}{d\mu}:=f_0$
i funkcj� t� nazywamy \emph{pochodn� Radona-Nikodyma} miary $\nu$ wzgl�dem $\mu$.
\end{dfn}
\begin{prop}\label{prop:Radon_Nikodym_interchange_of_measure}
Dla dowolnych dw�ch miar  $\nu$, $\mu$  na przestrzeni mierzalnej $(\Omega,\Sigma)$ i 
dowolnej funkcji mierzalnej 
$f_0:\Omega\to [0,+\infty]$ nast�puj�ce warunki s� r�wnowa�ne
\begin{enumerate}[1)]
\item $f_0=\frac{d\nu}{d\mu}$, tzn. $\nu(A)=\int_{A} f_0 \, d\mu$ dla ka�dego $A\in \Sigma$,

\item ka�da funkcja mierzalna $f:\Omega\to \R$ jest $\nu$-ca�kowalna wtedy i tylko wtedy, gdy $f\cdot f_0$ jest $\mu$-ca�kowalna i je�li to zachodzi, to
$$
\int_{\Omega} f \, d\nu = \int_{\Omega} f \cdot f_0\, d\mu.
$$ 
\end{enumerate}
W szczeg�lno�ci, 
je�li powy�sze r�wnowa�ne warunki zachodz�, to odwzorowanie $L_1(\nu) \ni f \mapsto f\cdot f_0 \in L_1(\mu)$
jest izometri� liniow�. 
\end{prop}
\begin{proof} Dow�d implikacji $2)\Longrightarrow 1)$ jest �atwy; stosuj�c 2) do funkcji $f=\mathbb{1}_{A}$ mamy 
\begin{align*}
\nu(A)=\int_A \mathrm d \nu = \int_\Omega \mathbb{1}_A \mathrm d \nu =\int_\Omega f \mathrm d \nu = \int_\Omega f\cdot f_0\mathrm d \mu = \int_\Omega \mathbb{1}_A\cdot f_0 \mathrm d \mu 
=\int_A f_0\mathrm d \mu.
\end{align*}
Implikacj�  $1)\Longrightarrow 2)$
przeciwn� dowiedziemy metod� stopniowej komplikacji. Za��my 1) i niech  $f:\Omega\to \R$ b�dzie funkcj� mierzaln�.
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
%\item Niech $f=\mathbb{1}_A$, gdzie $A\in\Sigma $. Wtedy
%\begin{align*}
%\int_\Omega f \mathrm d \nu = \int_\Omega \mathbb{1}_A \mathrm d \nu = \nu(A) = \int_A f_0 \mathrm d \mu
% =\int_\Omega \mathbb{1}_A\cdot f_0 \mathrm d \mu =\int_\Omega f\cdot f_0 \mathrm d \mu.
%\end{align*} 
\item Niech $f=\sum_{i=1}^n a_i\cdot\mathbb{1}_{A_i}$, gdzie $A=\bigsqcup_{i=1}^n A_i$, $A_i\in\Sigma$, $a_i>0$, dla $i=1,2,\ldots,n$.
Korzystaj�c z 1) i liniowo�ci ca�ki mamy
\begin{align*}
\int_\Omega f \mathrm d \nu =&  \sum_{i=1}^n a_i \nu(A_i) =  \sum_{i=1}^n a_i \int_A f_0 \mathrm d \mu = \sum_{i=1}^n a_i \int_\Omega \mathbb{1}_{A_i}\cdot f_0 \mathrm d \mu \\
=& \int_\Omega \sum_{i=1}^n a_i\cdot\mathbb{1}_{A_i}\cdot f_0\mathrm d \mu = \int_\Omega f\cdot f_0\mathrm d \mu.
\end{align*}
\item Je�li $f\leq 0$, to w �wietle Uwagi \ref{rem:positive_integral} mamy $f=\lim_{n\to\infty} f_n$, gdzie $f_n=\sum_{i=1}^n a_i\cdot\mathbb{1}_{A_i}$ jest funkcj� prost� jak w przypadku (i), 
oraz  ci�g $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ jest monotonicznie niemalej�cy. Jako �e $f_0\geq 0$, to ci�g $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ jest r�wnie� niemalej�cy i $f f_0=\lim_{n\to\infty} f_n f_0$.
Zatem stosuj�c dwukrotnie twierdzenie o zbie�no�ci monotonicznej (Twierdzenie \ref{thm:lebesgue_monotone}) oraz (i) mamy  
\begin{align*}
\int_\Omega f\mathrm d \nu =&  \lim_{n\to\infty} \int_\Omega f_n \mathrm d \nu = \lim_{n\to\infty} \int_\Omega f_n\cdot f_0 \mathrm d \mu = \\
=&\int_\Omega \lim_{n\to\infty} f_n\cdot f_0 \mathrm d \mu = \int_\Omega f\cdot f_0 \mathrm d \mu.
\end{align*}
\item Je�li $f$ jest dowolna, to $f=f^+-f^-$ i wtedy korzystaj�c dwukrotnie z (ii) mamy 
\begin{align*}
\int_\Omega f\mathrm d \nu &=  \int_\Omega f^+\mathrm d \nu - \int_\Omega f^-\mathrm d \nu =\int_\Omega f^+ f_0 \mathrm d \mu - \int_\Omega f^- f_0\mathrm d \mu
\\
 &=\int_\Omega f^+ f_0  -  f^- f_0\mathrm d \mu=\int_\Omega f\cdot f_0 \mathrm d \mu.
\end{align*}

\end{enumerate}
Teraz poka�emy, �e je�li te warunki zachodz�, to odwzorowanie  $L_1(\nu) \ni f \mapsto f\cdot f_0 \in L_1(\mu)$ jest liniow� izometri�. Z warunku $2)$ widzimy, �e to odwzorowanie jest poprawnie okre�lone.  Liniowo�� tego odwzorowania jest oczywista. Przypomnijmy sobie, �e $f_0$ jest funkcj� nieujemn�. Zatem
$$
\|f\cdot f_0 \|_1 =\int_\Omega |f\cdot f_0|\mathrm d \mu = \int_\Omega |f|\cdot f_0\mathrm d \mu = \int_\Omega |f|\mathrm d \nu = \|f\|_1,
$$
czyli to odwzorowanie  zachowuje norm�.
\end{proof}

%\begin{rem}
%\end{rem}
Ca�ka dowolnej funkcji po zbiorze o mierze zero zawsze wynosi zero. Zatem   warunkiem koniecznym istnienia pochodnej Radona-Nikodyma miary $\nu$ wzgl�dem
miary $\nu$ jest
absolutna ci�g�o��:
\begin{dfn}
Powiemy, �e miara $\nu$ jest \emph{absolutnie ci�g�a} wzgl�dem miary $\mu$, co zapisujemy $\nu\ll\mu$, je�eli dla ka�dego $A\in \Sigma$
$$
\mu(A)=0\, \, \Longrightarrow  \nu(A)=0,
$$
tzn. miara $\nu$ ma niemniej zbior�w miary zero, ni� miara $\mu$. 
\end{dfn} 
\begin{cor} Je�eli   pochodn� Radona-Nikodyma $\frac{d\nu}{d\mu}$ istnieje, to $\nu\ll\mu$.
 
\end{cor}
\begin{exm}\label{exm:Saks_kind_of_example}
 Niech $\mu$ b�dzie  miar� Lebesgue'a, a $\nu$ miar� licz�c� na przestrzeni mierzalnej $(\R,\B(\R))$. 
Jasne jest, �e $\nu\not\ll\mu$, bo jedyny zbi�r $\nu$-miary zero, to zbi�r pusty; natomiast $\mu$ ma wiele zbior�w miary zero (np. ka�dy zbi�r przeliczalny albo zbi�r Cantora). Zatem nie istnieje pochodna Radona-Nikodyma $\nu$ wzgl�dem $\mu$.
\end{exm}
Przez Twierdzenie Radona-Nikodyma zazwyczaj rozumie si� ka�de twierdzenie, kt�re pokazuje, �e absolutna ci�g�o�� jest nie tylko warunkiem koniecznym, ale te� 
dostatecznym na istnienie pochodnej Radona-Nikodyma. Podstawowa wersja takiego twierdzenia, znana ka�demu absolwentowi studi�w matematycznych, sformu�owana jest dla miar sko�czonych:
\begin{thm}[Radona-Nikodyma dla miary sko�czonej]\label{thm:finite_measures_RN}
Niech  $\mu$, $\nu$ b�d� miarami sko�czonymi na przestrzeni mierzalnej $(\Omega,\Sigma)$. Je�eli $\nu\ll\mu$ to istnieje  mierzalna funkcja $f_0:\Omega\to [0,+\infty)$  taka, �e  
\begin{equation*}
\nu (A)=\int\limits_A f_0 \, d\mu ,\quad\text{ dla }A\in\Sigma.
\end{equation*}
Ponadto, funkcja $f_0$ jest $\mu$-ca�kowalna i jest wyznacznona jednoznacznie $\mu$-prawie wsz�dzie.
\end{thm}
Twierdzenie \ref{thm:finite_measures_RN} m�wi tyle, �e w przypadku absolutnie ci�g�ych miar sko�czonych pochodna Radona-Nikodyma zawsze istnieje, przyjmuje warto�ci sko�czone,  jest ca�kowalna, i jest wyznaczona jednoznacznie jako element $L_1(\mu)$, czyli $\mu$-prawie wsz�dzie. Zanim przejdziemy do dowodu Twierdzenia \ref{thm:finite_measures_RN} zauwa�my, �e na og� dla ,,patologicznych'' miar niesko�czonych absolutna ci�g�o�� nie jest r�wnowa�na istnieniu pochodnej Radona-Nikodyma. Pochodna Radona-Nikodyma  mo�e nie istnie�, a nawet gdy istnieje, to mo�e nie by� wyznaczona jednoznacznie.

\begin{exm}[Przyk�ad Saksa]\label{exm:saks_example}
Zamie�my rolami miary z Przyk�adu \ref{exm:Saks_kind_of_example}. To znaczy niech 
 $\mu$ b�dzie miar� licz�c�, a $\nu$  miar� Lebesgue'a na  $(\R,\B(\R))$. Miara licz�ca
jest absolutnie ci�g�a wzgl�dem ka�dej miary. Zatem  $\nu\ll\mu$. Jednak pochodna
Radona-Nikodyma $\nu$ wzgl�dem $\mu$ nie istnieje. Rzeczywi�cie, je�eli za�o�ymy istnienie pochodnej Radona-Nikodyma $\frac{d\nu}{d\mu}$  to dla dowolnego $\{x\}$, gdzie $x\in\R$,
 otrzymamy $0=\nu(\{x\})=\int_{\{x\}} \frac{d\nu}{d\mu} \, \mathrm d \mu$. Zatem $\frac{d\nu}{d\mu}=0$, poniewa� $\mu(\{x\})=1$. Ale w konsekwencji otrzymujemy, �e dla dowolnego $A\in\Sigma$ zachodzi $\nu(A)=\int_A 0 \mathrm d \mu = 0$, co jest sprzeczno�ci�, poniewa� $\nu$ jest miar� Lebesgue'a. 

\end{exm} 


\begin{exm}
Niech $\mu$ b�dzie  trywialn� miar� niesko�czon� na dowolnej przestrzeni mierzalnej $(\Omega,\Sigma)$; trywialn� w tym sensie, �e
$\mu(A)=\infty$ dla ka�dego niepustego $A\in \Sigma$. Wtedy dowolna niezerowa funkcja jest pochodn� Radona-Nikodyma $\mu$ wzgl�dem $\nu:=\mu$.
Rzeczywi�cie, ca�ka z dowolnej mierzalnej, niezerowej funkcji po zbiorze o mierze niesko�czonej jest r�wna $\infty$. Zatem otrzymujemy $\infty=\infty$, czyli r�wno�� zachodzi w trywialny spos�b. 
\end{exm} 

\section{Trzy dowody dla miar sko�czonych}
W tym podrozdziale przedstawimy trzy r�ne dowody Twierdzenia \ref{thm:finite_measures_RN}. 
W szczeg�lno�ci zak�adamy tu, �e $\nu$ i $\mu$ s� miarami sko�czonymi na $(\Omega,\Sigma)$ oraz $\nu\ll\mu$.
Najpierw poka�emy jednoznaczno�� pochodnej Radona-Nikodyma. 

Niech $f_0,\tilde{f_0}$ b�d� funkcjami spe�niaj�cymi warunek \eqref{eq:RN-relation}. Zauwa�my, �e  $\{\omega\in\Omega: f_0(\omega) \neq \tilde{f_0}(\omega)\}=H_+\sqcup H_-$, gdzie 
$$
H_+=\{\omega\in\Omega: f_0(\omega) > \tilde{f_0}(\omega)\}\text{  oraz  }H_-=\{\omega\in\Omega: f_0(\omega) < \tilde{f_0}(\omega)\}.
$$ 
Stosuj�c \eqref{eq:RN-relation} mamy
$$
\int_{H_{\pm}} f_0 d\mu=\nu(H_{\pm})= \int_{H_{\pm}} \tilde{f_0} d\mu.
$$
St�d $
\int_{H_{\pm}}(\tilde{f_0}-f_0)d\mu=0$.  Ale $\tilde{f_0}-f_0 > 0$ na $H_+$ i ca�ka za funkcji nieujemnej wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy ta funkcja jest r�wna zero $\mu$-prawie wsz�dzie.  St�d $\mu(H_+)=0$. Analogicznie $\mu(H_-)=0$. Zatem  $f_0$ i $\tilde{f_0}$ r�ni� si� tylko na zbiorze o $\mu$-mierze zero.

Wspomaniane wy�ej trzy r�ne dowody b�d� dotyczy�y istnienia pochodnej Radona-Nikodyma.
 
\subsection{Dow�d klasyczny} 

Dow�d ten wykorzystuje poj�cie miary znakowej (tzn. miary kt�ra mo�e przyjmowa� warto�ci ujemne) i  Twierdzenie Hahna. To twierdzenie m�wi, �e dla ka�dej  miary znakowej istnieje podzia�  przestrzeni na dwa roz��czne zbiory taki, �e  na jednym z tych zbior�w miara przyjmuje warto�ci nieujemne, a na drugim niedodatnie.  Dla naszych potrzeb wystarczy rozpatrze� sko�czone miary znakowe:
\begin{dfn}
Niech $(\Omega,\Sigma)$ b�dzie przestrzeni� mierzaln�.  \emph{Miar� znakow�} na $(\Omega,\Sigma)$ nazwiemy funkcj� $\mu:\Sigma\to\mathbb{R}$, kt�ra jest  $\sigma$-addytywna, tzn. $$\mu(\bigsqcup\limits_{n=1}^\infty E_n)=\sum\limits_{n=1}^\infty \mu(E_n) $$
dla parami roz��cznych $E_n\in\Sigma$.
\end{dfn}

\begin{thm}[Hahna o rozk�adzie]\label{thm:Hahn}
Je�eli $\mu$ jest miar� znakow� na $\Sigma$ $\sigma$-algebrze podzbior�w przestrzeni $\Omega$, to istnieje rozk�ad $\Omega=A\cup B $, $A\cap B=\emptyset$ taki, �e dla ka�dego $E\in\Sigma$ zachodzi 
$$
\mu(A\cap E)\geq 0 \text{     i     } \mu(B\cap E)\leq 0.
$$
\end{thm}
\begin{proof}
Dow�d twierdzenia mo�na znale�� w \cite[6.14]{rudin_real}.
\end{proof}

 Dow�d istnienia pochodnej Radona-Nikodyma zacznjijmy od oznaczenia przez $F$ zbi�r wszystkich funkcji mierzalnych  $f:\Omega\to [0,+\infty)$ takich, �e dla dowolnego $E\in\Sigma$ zachodzi
$$
\int_E f\mathrm{d}\mu \leq \nu(E). 
$$ 
Zauwa�my, �e $F$ jest niepusty, poniewa� $f= 0$ nale�y do $F$. We�my w takim razie $f_1,f_2\in F$ i po��my $$E_1:=\{\omega\in \Omega:f_1(\omega)>f_2(\omega)\}\,\, \mathrm{i}\,\, E_2:=\{\omega\in \Omega:f_1(\omega)\leq f_2(\omega) \}.$$ Zatem dla dowolnego $E\in\Sigma$ zachodzi $$\int_E\max\{f_1,f_2\}\mathrm{d}\mu=\int_{E_1} f_1\mathrm{d}\mu+\int_{E_2}f_2\mathrm{d}\mu \leq \nu(E_1)+\nu(E_2)=\nu(E), $$
czyli $\max\{f_1,f_2\}\in F$.

We�my ci�g $\{f_n\}_{n=1}^\infty\subset F$ taki, �e $\lim_{n\to\infty}\int_\Omega f_n\mathrm{d}\mu=\sup_{f\in F}\int_\Omega f\mathrm{d}\mu$. Wtedy $$g_n:=\max\{ f_1,f_2,\ldots,f_n\}$$ jest nieujemnym ci�giem niemalej�cym zbiegaj�cym do $\sup_{f\in F}\int_\Omega f\mathrm{d}\mu$. Oznaczmy $g(\omega):=\lim\limits_{n\to\infty} g_n(\omega)$. Z Twierdzenia Leviego o zbie�no�ci monotonicznej otrzymujemy, �e dla dowolnego $E\in\Sigma$ zachodzi
$$\int_E g\mathrm{d}\mu=\lim_{n\to\infty}\int\limits_E g_n\mathrm{d}\mu \leq \nu(E), $$
poniewa� $g_n\in F$. Zatem $g\in F$ i $\sup_{f\in F}\int_\Omega f\mathrm{d}\mu=\int_\Omega g\mathrm{d}\mu$, czyli $g$ jest elementem maksymalnym zbioru $F$.

Skoro $g\in F$ to 
\begin{equation}\label{v0}
\nu_0(E):=\nu(E)-\int_E g\mathrm{d}\mu ,
\end{equation}
definiuje miar� na $\Sigma$. Pokazuj�c, �e $\nu_0 = 0$ otrzymamy tez�. Za��my nie wprost, �e $\nu_0\neq 0$. Wtedy istnieje $\varepsilon>0$ takie, �e $\nu_0(\Omega)>\varepsilon\mu(\Omega)$. W takim razie $\nu_0-\varepsilon\mu$ jest miar� znakow�. Korzystaj�c z Twierdzenia Hahna  mamy rozk�ad $\Omega=A\cup B$ i z \eqref{v0} otrzymujemy
\begin{align*}
\nu(E)&=\nu_0(E)+\int_E g\mathrm{d}\mu \geq \nu_0(E\cap A)+\int_E g\mathrm{d}\mu \geq \\
 &\geq \varepsilon\mu(E\cap A) +\int_E g\mathrm{d}\mu=\int_E\varepsilon\mathbb{1}_A+\int_E g\mathrm{d}\mu =\\
&=\int_E(g+\mathbb{1}_A)\mathrm{d}\mu, 
\end{align*}
co mo�emy zapisa� jako 
\begin{equation}\label{vg1}
\int_E(g+\mathbb{1})\mathrm{d}\mu\leq \nu(E).
\end{equation}
Zauwa�my, �e $\mu(A)>0$, bo je�eli $\mu(A)=0$ to z absolutnej ci�g�o�ci $\nu(A)=0$. Z definicji $\nu_0$ mamy $\nu_0(A)\leq \nu(A)$, wi�c $\nu_0(A)=0$. Wtedy 
$$(\nu_0-\varepsilon\mu)(\Omega)=(\nu_0-\varepsilon\mu)(A)+(\nu_0-\varepsilon\mu)(B)=(\nu_0-\varepsilon\mu)(B)\leq 0,$$
czyli $\nu_0(\Omega)\leq \varepsilon\mu(\Omega)$ co daje nam sprzeczno�� z $\nu_0(\Omega)>\varepsilon\mu(\Omega)$. Zatem ostatecznie mamy $\mu(A)>0$. Wiedz�c to i korzystaj�c z \eqref{vg1} otrzymujemy, �e 
$$ \int\limits_\Omega(g+\mathbb{1}_A)\leq \nu(\Omega)<\infty,$$
czyli $(g+\mathbb{1}_A)\in F$ i zachodzi
$$\sup_{f\in F}\int_\Omega f\mathrm{d}\mu=\int_\Omega g\mathrm{d}\mu <\int_\Omega (g+\mathbb{1}_A)\mathrm{d}\mu, $$
co jest sprzeczne z faktem, �e $g$ jest elementem maksymalnym $F$. Zatem za�o�enie $\nu_0\neq 0$ jest fa�szywe i $\nu_0=0$, czyli dla dowolnego $E\in\Sigma$ zachodzi 
$$\nu(E)=\int_E g\mathrm{d}\mu .
$$
Skoro $g$ jest $\mu$-ca�kowalna, to  $\mu$-miara zbioru $\{ \omega\in \Omega:g(\omega)=\infty\}$ jest r�wna zero i mo�emy zdefiniowa� funkcj� $f:\Omega\to\mathbb{R}$ nast�puj�co
$$f(\omega)=
\begin{cases}
g(\omega) & \quad \text{dla } g(\omega)<\infty \\
0 &\quad \text{dla } g(\omega)=\infty.
\end{cases}
$$

\subsection{Dow�d Johna  Von Neumanna}

Drugi dow�d pochodzi od Johna Von Neumanna. 
Idea tego dowodu opiera si� Twierdzeniu Riesz-Fr\'{e}cheta (zwanym te� Twierdzeniem Riesza o reprezentacji funkcjona�u), kt�re m�wi, �e dowolny ograniczony funkcjona� liniowy na przestrzeni Hilberta da si� przedstawi� w postaci iloczynu skalarnego z pewnym elementem tej przestrzeni:
\begin{thm}[Riesz-Fr\'{e}chet]\label{ref:Riesz_thm}
Niech $H$ b�dzi� przestrzeni� Hilberta oraz $T:H\to\mathbb{F}$. Odzwzorowanie $T$ jest ograniczonym funkcjona�em liniowym wtedy i tylko wtedy gdy istnieje dok�adnie jeden $y\in H$ taki, �e 
$$
T(x)=\langle x, y\rangle$$ dla ka�dego $x\in H$. Ponadto, wtedy $\|T\|=\|y\|$.
\end{thm}
\begin{proof}
Dow�d tego twierdzenia mozna znale�� w \cite[3.4]{conway_func}.
\end{proof}


Zastosujemy to twierdzenie do pewnego funkcjona�u na przestrzeni Hilberta $H=L_2(\varphi)$ zwi�zanej z miar� 
$\varphi:\mu+\nu$. Mianowicie, rozwa�my funkcjona� dany wzorem 
$$
T(f):=\int_\Omega f\mathrm{d}\nu \quad \text{dla } f\in L_2(\varphi).
$$
Korzystaj�c z nier�wno�ci Schwartza, patrz te� Twierdzenie \ref{thm:holder},
dla ka�dego $f\in L_2(\varphi)$ mamy
\begin{align*}
\left |\int_\Omega f\mathrm{d}\nu\right |&\leq \int_\Omega \left|f\right|\mathrm{d}\nu=\int_\Omega |f|\cdot \mathbb{1}_\Omega\mathrm{d}\nu\leq \left (\int_\Omega|f|^2\mathrm{d}\nu\right )^{1/2}\cdot\left (\int_\Omega \mathbb{1}_\Omega^2\mathrm{d}\nu\right )^{1/2}\leq \\
&\leq  \left (\nu (\Omega) \right )^{1/2}\cdot \left ( \int_\Omega |f|^2\mathrm{d}\varphi\right )^{1/2}.
\end{align*}
Zatem $T$ jest ograniczonym funkcjona�em liniowym (i $f$ jest $\nu$-ca�kowalna). Teraz z Twierdzenia \ref{ref:Riesz_thm} wynika, �e istnieje  $g\in L_2(\varphi)$ takie, �e 
\begin{equation}\label{eq:g1}
\int_\Omega f\mathrm{d}\nu =\int_\Omega fg\mathrm{d}\varphi.
\end{equation}
To r�wnanie mo�emy zapisa� inaczej
\begin{equation}\label{eq:g2}
\int_\Omega f(1-g)\mathrm{d}\nu =\int_\Omega fg\mathrm{d}\mu.
\end{equation}
Zbadamy teraz jak zachowuje si�  funkcja $g$. Po��my 
\begin{gather*}
N:=\{\omega\in \Omega:g(\omega)<0\}, \\
 B:=\{\omega\in \Omega:g(\omega)>1\}.
\end{gather*}
Dla $f=\mathbb{1}_N$ z \eqref{eq:g1} mamy $\int_\Omega \mathbb{1}_N\mathrm{d}\nu =\int_\Omega\mathbb{1}_Ng\mathrm{d}\varphi$, czyli  
$$ \int_N \mathrm{d}\nu=\int_N g\mathrm{d}\varphi. $$

Lewa strona r�wnania jest nieujemna, poniewa� $\nu$ jest miar�, a prawa strona jest niedodatnia, poniewa� $g$ przyjmuje warto�ci ujemne na $N$. Ta sytuacja mo�e mie� miejsce tylko wtedy, gdy obie strony s� r�wn� zero, czyli $\nu(N)=0$ i $\mu(N)=0$.
Dla $f=\mathbb{1}_B$ z \eqref{eq:g2} mamy $\int_\Omega\mathbb{1}_B(1-g)\mathrm{d}\nu = \int_\Omega\mathbb{1}_B g\mathrm{d}\mu $, czyli $$\int_B(1-g)\mathrm{d}\nu =\int_B g\mathrm{d}\mu. $$

Na zbiorze $B$ funkcja $g$ przyjmuje warto�ci wi�ksze ni� 1, wi�c lewa strona r�wnania jest niedodatnia, a prawa jest nieujemna. Ta sytuacja mo�e mie� miejsce tylko wtedy, gdy obie strony s� r�wne zero. Z prawej strony mamy ca�k� po zbiorze $B$ z funkcji $g$ (przyjmuj�cej warto�ci wi�ksze od 1 na $B$), kt�ra jest r�wna zero, wi�c $\mu(B)=0$. Z absolutnej ci�g�o�ci $\nu$ wzgl�dem $\mu$ mamy $\nu(B)=0$.  Z powy�szych rozwa�a� wynika, �e  zbiory $N$ i $B$ s� miary zero wzgl�dem miary $\varphi$. Zatem mo�emy za�o�y�, �e funkcja $g$ przyjmuje   	na nich warto�ci  $0$ i $1$ odpowiednio.

Teraz rozpatrzmy  zbiory 
\begin{align*}
G:=&\{\omega\in \Omega:0\leq g(\omega)<1\}, \\
S:=&\{\omega\in \Omega:g(\omega)=1\},
\end{align*}
kt�re tworz� rozbicie $\Omega$. Niech $f=\mathbb{1}_S$ i podstawiaj�c to do \eqref{eq:g2} otrzymujemy
\begin{align*}
\int_\Omega\mathbb{1}_S(1-g)\mathrm{d}\nu =\int_\Omega\mathbb{1}_S g\mathrm{d}\mu \iff \int_S(1-1)\mathrm{d}\nu=\int_S\mathrm{d}\mu \iff 0=\mu(S),
\end{align*}
co w po��czeniu z absolutn� ci�g�o�ci� tych miar daje nam, �e 
$\nu(S)=0$. W konsekwencji oznacza to, �e zbi�r $G$ jest zbiorem pe�nej miary, tzn. $\mu(G)=\mu(\Omega)$.
Oznaczaj�c $$G_n:=\{\omega\in \Omega:0\leq \omega <1-\frac{1}{n}\} $$
mo�emy napisa�, �e $G=\bigcup_{n=1}^\infty G_n $. Dla ustalonego $n\in\mathbb{N}$ i $E\in\Sigma$ niech $$f_n:=\frac{\mathbb{1}_{G_n\cap E}}{1-g}. $$Jest to funkcja nieujemna i ograniczona z g�ry przez $n$ (mianownik jest wi�kszy od $\frac{1}{n}$). Ciag $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ jest niemalej�cym ci�giem funkcji mierzalnych i 
$$
\lim\limits_{n\to\infty}f_n(\omega)=\lim_{n\to\infty}\frac{\mathbb{1}_{G_n\cap E}(\omega)}{1-g(\omega)}=\frac{\mathbb{1}_{G\cap E}(\omega)}{1-g(\omega)}=:f(\omega).  
$$ 
Na mocy Twierdzenia Lebesgue'a o zbie�no�ci monotonicznej $f$ jest mierzalna, ca�ka z $ f_n$ zbiega do ca�ki z $f$  i na mocy \eqref{eq:g2} mamy 
\begin{align*}
\int_\Omega\frac{\mathbb{1}_{G\cap E}}{1-g}(1-g)\mathrm{d}\nu &=\int_\Omega \frac{\mathbb{1}_{G\cap E}}{1-g}g\mathrm{d}\mu \iff \\
\nu(G\cap E)&=\int_{G\cap E}\frac{g}{1-g}\mathrm{d}\mu\iff \\
\nu(G)&=\int_E \frac{g}{1-g}\mathrm{d}\mu.
\end{align*}
Ostatecznie otrzymujemy, �e funkcja $\frac{g}{1-g}$ jest t� szukan� funkcj� spe�niaj�c� tez�.


\subsection{Dow�d Samuelsa}
Trzeci dow�d autorstwa S. M. Samuelsa pochodzi z artyku�u \cite{samuels} opublikowanego w 1978 roku. Artyku� ten mia� pokaza�, �e Twierdzenie Radona-Nikodyma jest fundamentem wsp�czesnej teorii prawdopodobie�stwa. W tym celu autor wykorzystuje przeliczaln�  warunkow� warto�� oczekiwan�, kt�ra pozwala udowodni� Twierdzenie Radona-Nikodyma. Jest to bardzo zaskakuj�cy wynik, poniewa� zazwyczaj pokazuje si�, �e z tego Twierdzenia wynika istnienie warunkowej warto�ci oczekiwanej, a tu mamy sytuacj� odwrotn�.

Niech $X:\Omega\to\R$ b�dzie ca�kowaln� zmienn� losow� (tzn. ca�kowaln� funkcj� mierzaln�)  na przestrzeni probabilistycznej $(\Omega,\FF,P)$ 
(tzn. $(\Omega,\FF,P)$ jest przestrzeni� z mi�r� i $P(\Omega)=1$). Niech $Y:\Omega\to\R$ b�dzie dyskretn� zmienn� losow�, czyli  $Y(\Omega)=\{y_1,y_2,\ldots\}$ jest zbiorem przeliczalnym. Za��my, �e dla 
$$
A_i:=Y^{-1}(y_i)\in\FF \quad i=1,2,\ldots
$$ 
mamy $P(A_i)>0$ i $\bigsqcup_{i=1}^\infty A_i=\Omega$.

Mo�emy zdefiniowa� r�wnie� \emph{prawdopodobie�stwo warunkowe} w nast�puj�cy spos�b: prawdopodobie�stwem zdarzenia $A$ pod warunkiem $B$ nazwiemy liczb�
$$ 
P(A|B):=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},
$$ 
gdzie $A,B\in\Omega$ oraz $P(B)>0$.

\begin{dfn}\label{dfn:wwo}
\emph{Warunkow� warto�ci� oczekiwan� (WWO) zmiennej losowej $X$ pod warunkiem $Y=y_i$} nazywamy liczb� 
$$
E(X|Y=y_i)=\int_\Omega X\mathrm d P(\cdot|Y=y_i)= \frac{1}{P(A_i)}\int_{A_i} X \mathrm d P.
$$
\emph{WWO zmiennej X pod warunkiem Y} nazywamy zmienn� losow� 
$$
E(X|Y(\omega)):= E(X|Y=y_i) \quad\text{gdy}\quad Y(\omega)=y_i
$$
tzn. $E(X|Y):=\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{P(A_i)}\int_{A_i} X \mathrm d P \cdot \mathbb{1}_{A_i}$.
\end{dfn}

\begin{rem}\label{cor:wwo}
Warunkowa warto�� oczekiwana $E(X|Y)$ zale�y tylko od $X$ i od rozbicia $\{A_i\}_{i=1}^\infty$, kt�re mo�emy odtworzy� z $\sigma$-algebry $\sigma(\{A_i\}_{i=1}^\infty)=\sigma(Y)=:\mathcal G$ generowanej przez to rozbicie. Zatem mo�emy pisa� 
$$
E(X|Y)=:E(X|\mathcal G).
$$
Ponadto, warunkowa warto�� $E(X|\mathcal G)$ jest wyznaczona $P$-prawie wsz�dzie przez warunki:
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item $E(X|\mathcal G)$ jest $\mathcal G$-mierzalna,
\item dla dowolnego $A\in\mathcal G$ zachodzi $\int_A E(X|\mathcal G)\mathrm d P=\int_A X \, d\mu$, poniewa� 
\begin{align*}
&\int_A \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{P(A_i)}\int_{A_i} X\mathrm d P\cdot \mathbb{1}_{A_i} \mathrm d P =  \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{P(A_i)}\int_{A_i} X \mathrm d P \cdot \mathbb{1}_{A_i\cap A} \\
&=\sum_{i:A_i\subseteq A} \int_{A_i} X \mathrm d P = \int_A X\mathrm d P.
\end{align*} 
\end{enumerate}
Dla dowolnej $\sigma$-podalgebry $\mathcal G \subseteq \FF$, niekoniecznie generowanej przez przeliczalne rozbicie, powy�sze warunki s�u�� za definicj� WWO, patrz Definicja \ref{def:general_WWO} poni�ej.
Co wi�cej korzystaj�c z Twierdzenia \ref{thm:finite_measures_RN} mogliby�my teraz pokaza�, �e tak zdefiniowana WWO zawsze istnieje zawsze, patrz Twierdzenie \ref{thm:WWO_existance} poni�ej. My jednak w tym podrozdziale poka�emy na odwr�t, �e przeliczalna WWO pozwala udowodni� Twierdzenie \ref{thm:finite_measures_RN}.
\end{rem}


Chcemy pokaza�, �e je�eli mamy dwie miary sko�czone $\nu,\mu$ na przestrzeni mierzalnej $(\Omega,\Sigma)$ i $\nu\ll\mu$ to istnieje nieujemna, mierzalna funkcja $f_0$ taka, �e dla dowolonego $A\in\Sigma$ zachodzi $\nu(A)=\int_A f_0\mathrm d \mu$. Zauwa�my, �e skoro $\nu\ll\mu$ to dla dowolnego $t\in\R$ funkcja $\nu - t\mu$ jest miar� znakow�. Zastosujmy do niej Twierdzenie \ref{thm:Hahn}, czyli otrzymujemy zbi�r $A_t\in\Sigma$ taki, �e dla $G\in\Sigma$
\begin{equation}\label{eq:sgn_m_H}
\begin{aligned}
G\subseteq A_t&\implies \mu(G)\geq t\nu(G)\\
G\subseteq A_t'&\implies \mu(G)\leq t\nu(G).
\end{aligned}
\end{equation}
B�dziemy rozpatrywa� tylko $t=\frac{k}{2^n}$, dla $k,n=0,1,2,\ldots$, �eby mie� przeliczalny zbi�r wska�nik�w. Za��my, �e $A_0:=\Omega$. Dla $r>s$ korzystaj�c z  \eqref{eq:sgn_m_H} mamy 
$$
\frac{\nu(A_r\setminus A_s)}{s}\leq \mu(A_r\setminus A_s)\leq \frac{\nu(A_r\setminus A_s)}{r}
$$
i otrzymujemy $\mu(A_r\setminus A_s)=\nu(A_r\setminus A_s)=0$. W rezultacie mo�emy za�o�y�, �e rodzina $\{A_t\}_t$ jest nierosn�ca, tzn. $r>s\implies A_r\subseteq A_s$. Dodatkowo bior�c $G:=\cap_t A_t$ mamy $\mu(G)\geq t\nu(G)$ dla dowolnego $t\in\R$, ale $\nu$ jest miar� sko�czon�, wi�c $\mu(\cap_t A_t)=0$.

Teraz dla ka�dego $n\in\mathbb N$ po��my 
$$
\mathcal{G}_n:=\{G_{nk}:=A_\frac{k}{2^n}\setminus A_\frac{k+1}{2^n}:k=0,1,2,\ldots  \}.
$$
Zauwa�my, �e jest to przeliczalne rozbicie $\Omega$ i ro�wa�my nast�puj�ce przeliczalne WWO 
$$
E(\nu|\mathcal{G}_n):=\sum_k \frac{\nu(G_{nk})}{\mu(G_{nk})}\cdot \mathbb{1}_{G_{nk}}.
$$
Por�wnuj�c to z Definicj� \ref{dfn:wwo} mo�emy zauwa�y�, �e $\mu$ odpowiada $P$, a $\nu(A)$ odpowiada $\int_A X\mathrm d P$. Korzystaj�c z \eqref{eq:sgn_m_H} otrzymujemy, �e 
\begin{itemize}
\item $A\subseteq A_{\frac{k}{2^n}}\implies \nu(A)\geq \frac{k}{2^n}\mu(A)$,
\item $A\subseteq A_{\frac{k+1}{2^n}}'\implies \nu(A)\leq \frac{k+1}{2^n}\mu(A)$,
\item $A\subseteq G_{nk}=A_\frac{k}{2^n}\setminus A_\frac{k+1}{2^n}\implies \frac{k}{2^n}\mu(A)\leq \nu(A) \leq    \frac{k+1}{2^n}\mu(A)$,
\end{itemize}
czyli dla ka�dego $A\in\Sigma$ mamy 
\begin{equation}
\frac{k}{2^n}\mu(A)\leq \frac{\nu(G_{nk}\cap A)}{\mu(G_{nk}\cap A)} \leq    \frac{k+1}{2^n}\mu(A).
\end{equation}
Zatem na $G_{nk}$ zachodzi
$$
\frac{k}{2^n}\leq E(\nu |\mathcal{G}_n)\leq\frac{k+1}{2^n}.
$$ 
Jako, �e podzia�y $\{G\mathcal{G}_n\}_{n=1}^\infty$ s� coraz drobniejsze, to $E(\nu|\mathcal{G}_n)$ zbiega do funkcji mierzalnej $E(\nu|\mu)=:f_0$.
Teraz musimy tylko poka�a�, �e 
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item dla dowolnego $A\in\Sigma	\quad \int_A E(\nu|\mathcal{G}_n)\mathrm d \mu\to\int_A f_0 \mathrm d \mu $,
\item dla dowolnego $A\in\Sigma\quad  \int_A E(\nu|\mathcal{G}_n)\mathrm d \mu\to \nu(A)$.
\end{enumerate}
We�my 
\begin{align*}
&\left |\int_A E(\nu|\mathcal{G}_n)\mathrm d \mu-\int_A f_0\mathrm d \mu\right | \leq \int_A \left |E(\nu|\mathcal{G}_n)\right | \mathrm d \mu  \\ 
&= \sum_k \int_{A\cap G_{nk}}|E(\nu|\mathcal{G}_n)-f_0|\mathrm d \mu  
\leq \frac{1}{2^n}\mu(A)\xrightarrow[n\to\infty]{} 0,
\end{align*}
czyli otrzymali�my $1)$. Teraz poka�emy, �e
\begin{eqnarray*}
\left | \int_A E(\nu|\mathcal{G}_n)\mathrm d \mu-\nu(A)\right | = \left |\sum_k \int_{A\cap G_{nk}}E(\nu|\mathcal{G}_n)\mathrm d \mu-\nu(A\cap G_{nk}) \right | =\\ 
 \left |\sum_k \frac{\nu(G_{nk})}{\mu(G_{nk})}\mu(G_{nk})- \frac{\nu(A\cap G_{nk})}{\mu(A\cap G_{nk})}\mu(A\cap G_{nk})\right |\\
\leq \sum_k \left |\frac{\nu(G_{nk})}{\mu(G_{nk})}-\frac{\nu(A\cap G_{nk})}{\mu(A\cap G_{nk})}\right |\cdot \mu(A\cap G_{nk})\\
\leq \sum_k \frac{1}{2^n}\mu(A\cap G_{nk})=\frac{1}{2^n}\mu(A)\xrightarrow[n\to\infty]{}0,
\end{eqnarray*}
czyli zachodzi $2)$.  Ostatecznie otrzymali�my, �e ci�g funkcji mierzalnych $E(\nu|\mathcal{G}_n)$ zbiega do dw�ch warto�ci, czyli one musz� by� sobie r�wne, tzn. dla dowolnego $A\in\Sigma$ zachodzi
$$
\nu(A)=\int_A f_0\mathrm d \mu.
$$

\section{Twierdzenie Radona-Nikodym dla miar $\sigma$-sko�czonych}
Wiemy ju�, �e twierdzenie Radona-Nikodyma zachodzi dla miar sko�czonych. Teraz udowodnimy, �e twierdzenie to zachodzi r�wnie� w przypadku, gdy miara dominuj�ca jest 
 $\sigma$-sko�czona, a miara dominowana mo�e by� dowolna. 
Zaczniemy od prostszego i powszechnie znanego wariantu Twierdzenia Radona-Nikodyma dla przypadku, gdy obie miary s� $\sigma$-sko�czone. 

Jedyna r�nica mi�dzy tez� poni�szego twierdzenia i tez� Twierdzenia \ref{thm:finite_measures_RN} (dla miar sko�czonych)
jest taka, �e pochodna Radona-Nikodyma $\frac{d\nu}{d\mu}:\Omega\to\R^+=[0,\infty)$ nie musi by� funkcj� ca�kowaln�.
Oczywistym jest, �e funkcja ta b�dzie ca�kowalna wtedy i tylko wtedy, gdy miara $\nu$ jest sko�czona.

\begin{thm}[Radona-Nikodyma dla miar $\sigma$-sko�czonych]\label{thm:R-N_sigma_finite}
Niech $(\Omega,\Sigma)$ b�dzie przestrzeni� mierzaln�, i niech $\mu,\nu$ b�d� $\sigma$-sko�czonymi miarami. 
Je�eli $\nu\ll\mu$ to istnieje $\Sigma$-mierzalna funkcja $f_0:\Omega\to\R^+=[0,\infty)$ taka, �e 
$$
\nu(A)=\int\limits_Af_0\,\mathrm{d}\mu,\quad\text{ dla }A\in\Sigma.
$$
Funkcja $f_0$ jest wyznaczona $\mu$-prawie wsz�dzie.
\end{thm}
\begin{proof}
Z $\sigma$-sko�czono�ci miar wynika, �e istniej� dwa  mierzalne rozk�ady przeliczalne $\Omega=\bigsqcup\limits_{n=1}^\infty\Omega_n^1=\bigsqcup\limits_{n=1}^\infty\Omega_n^2$, 
 dla kt�rych $\mu(\Omega_n^1)<\infty,\nu(\Omega_n^2)<\infty$, $n\in \N$. Wtedy 
$\{\Omega_n^1\cap\Omega_m^2\}_{n,m\geq 1}$ jest przeliczalnym rozbiciem $\Omega$ na zbiory dla kt�rych obie miary $\mu$ i $\nu$ s� sko�czone. 
Zatem istnieje rozbicie  $\{\Omega_n\}_{n=1}^\infty\subseteq \Sigma$ przestrzeni $\Omega$ takie, �e  $\nu(\Omega_n), \mu(\Omega_n)<\infty$
 dla $n\in \N$. 
Dla ka�dego $n\in \N$ rodzina $\{B\cap\Omega_n:B\in\Sigma\}$ jest $\sigma$-algebr� na $\Omega_n$, na kt�rej  miary $\mu,\nu$ s� sko�czone.
Zatem z Twierdzenia Radona-Nikodyma dla miar sko�czonych (Twierdzenie \ref{thm:finite_measures_RN})
 istniej� funkcje $f_n:\Omega_n\to\R^+$ wyznaczone $\mu$-prawie wsz�dzie, dla kt�rych 
$$
\nu(A)=\int\limits_Af_n\mathrm{d}\mu,\quad A\in\Sigma, A\subseteq \Omega_n.
$$ 
Teraz zdefiniujemy $f_0(\omega):=f_n(\omega)$, gdy $\omega\in\Omega_n,n\geq 1$. 
Funkcja ta jest dobrze okre�lona i $\Sigma$-mierzalna. Mo�na j� opisa� wzorem $f_0=\sum_{n=1}^\infty  f_n\cdot \mathbb{1}_{\Omega_n}$.
 Korzystaj�c z Twierdzenia \ref{thm:lebesgue_monotone} i z definicji funkcji $f_0$ dla dowolnego $A\in\Sigma$ otrzymujemy
\begin{align*}
\nu(A) &=\nu(\bigsqcup\limits_{n=1}^\infty A\cap\Omega_n)= \sum\limits_{n=1}^\infty\nu(A\cap\Omega_n)\\
 &=\sum\limits_{n=1}^\infty\int\limits_{A\cap\Omega_n}f_n\mathrm{d}\mu= \sum\limits_{n=1}^\infty\int\limits_Af_n\mathbb{1}_{\Omega_n}\mathrm{d}\mu \\
 &= \int\limits_A\left (\sum\limits_{n=1}^\infty f_n\mathbb{1}_{\Omega_n}\right )\mathrm{d}\mu=\int\limits_A f_0\mathrm{d}\mu.
\end{align*}
Je�eli $f_0'$ jest inn� funkcj� mierzaln� spe�niaj� tez� twierdzenia, to dla ka�dego
$n\in \N$, funkcje $f_0'$ i $f_0$ s� sobie r�wne $\mu$-prawie wsz�dzie na $\Omega_n$.
Jako �e zbior�w $\Omega_n$ jest przeliczalna ilo�� to $f_0'$ i $f_0$ s� sobie r�wne $\mu$-prawie wsz�dzie na ca�ej przestrzeni $\Omega$:
$$
\mu(\{\omega\in \Omega: f_0'(\omega)\neq f_0(\omega)\})=\sum_{n=1}^\infty\mu(\{\omega\in \Omega_n: f_0'(\omega)\neq f_0(\omega)\})=0.
$$
\end{proof}

Teraz przejdziemy do og�lniejszego Twierdzenia Radona-Nikodyma, w kt�rym miara $\nu$ mo�e by� dowolna. 
Ta wersja  nie jest ju� tak dobrze znana. W ksi��ce Halmosa  jest wymieniona jako �wiczenie, patrz \cite[VI.31(7)]{halmos1}.
Poni�szy dow�d oparty jest o rozumowanie przedstawione w ksi��ce Rao \cite[5.4.1]{rao} (gdzie jest rozpatrywany przypadek, gdy
 $\mu$ jest miar� sko�czon�).
Nowym elementem w przypadku, gdy $\nu$ jest dowoln� miar�, jest to �e musimy dopu�ci� 
pochodn� Radona-Nikodyma 
$\frac{d\nu}{d\mu}:\Omega\to\R^+=[0,\infty]$ przyjmuj�c� warto�� $\infty$. 

\begin{thm}[Radona-Nikodyma dla dowolnej miary absolutnie ci�g�ej wzgl�dem miary $\sigma$-sko�czonej]
\label{thm:R-N_sigma_finite_general}
Niech $\mu,\nu$ b�d� miarami na przestrzeni mierzalnej $(\Omega,\Sigma)$, gdzie $\nu$ jest dowolna, a $\mu$  $\sigma$-sko�czona. 
Je�eli $\nu\ll\mu$ to istnieje $\Sigma$-mierzalna funkcja $f_0:\Omega\to\overline{\R}^+$ taka, �e 
$$
\nu(A)=\int\limits_A f_0 \, \mathrm{d}\mu,\quad\text{ dla }A\in\Sigma.
$$
Funkcja $f_0$ jest wyznaczona jednoznacznie $\mu$-prawie wsz�dzie. Ponadto funkcja $f_0$ jest $\mu$-prawie wsz�dzie sko�czona
na zbiorach, na kt�rych miara $\nu$ jest  $\sigma$-sko�czona.
\end{thm}
\begin{proof}
 
Za��my najpierw, �e $\mu$ jest sko�czona, tzn. $\mu(\Omega)<\infty$. 
Niech 
$$
\Sigma_\nu:=\{A\in \Sigma: A\subseteq \bigcup_{n=1}^\infty A_{n},\,\, A_n \in \Sigma, \nu(A_n)<\infty\}
$$ 
b�dzie rodzin� zbior�w o $\nu$-mierze  $\sigma$-sko�czonej. Jasne jest, �e $\Sigma_\nu$ jest $\sigma$-pier�cieniem.
Zauwa�my, �e supremum $\alpha:=\sup_{A\in \Sigma_\nu}\mu(A)$ jest sko�czone, bo $\alpha\leq \mu(\Omega)< \infty$,
i realizuje si� dla pewnego $A_0\in \Sigma_\nu$. Rzeczywi�cie, dla dowolnego ci�gu $\{A_n\}_{n=1}^\infty\subseteq \Sigma_\nu$ takiego, �e $\lim_{n\to \infty} \mu(A_n)=\alpha$ mamy $A_0:=\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in \Sigma_\nu$
oraz $\mu(A_0)=\alpha$. Twierdzimy, �e na dope�nieniu $A_0'$ zbioru $A$ miara $\nu$ jest trywialna, tzn. przyjmuje tylko warto�ci $0$ lub $\infty$.

Rzeczywi�cie, za��my nie wprost, �e istnieje $B\in \Sigma$ taki, �e $B\subseteq A_0'$ oraz $0<\nu(B)<\infty$.
Wtedy $B\in \Sigma_\nu$, z definicji $\Sigma_\nu$, a zatem $B\cup A_0\in \Sigma_\nu$. Ponadto, skoro $\nu\ll\mu$, to $\mu(B)>0$. 
Prowadzi  do sprzeczno�ci
\begin{equation}\label{eq:contradiction}
\alpha< \mu(A_0) +\mu(B)=\mu(A_0\sqcup B)\leq \alpha.
\end{equation}
Zatem dla ka�dego $B\in \Sigma$ zawartego w $A_0'$ mamy $\nu(B)\in \{0,\infty\}$. 
Ponadto, je�li $\nu(B)=0$, to  $\mu(B)=0$. Rzeczywi�cie, gdyby $\nu(B)=0$ i   $\mu(B)>0$,
to $B\in \Sigma_\nu$, sk�d $A_0\cup B\in \Sigma_\nu$, co prowadzi do sprzeczno�ci \eqref{eq:contradiction}.
Reasumuj�c, miara $\nu$ na $A_0'$ jest  trywialna i jest r�wnowa�na mierze $\mu$, tzn. dla $B\in \Sigma$ zawartego w $A_0'$ mamy
$$
\nu(B) =0 \,\, \Longleftrightarrow\,\, \mu(B)=0.
$$ 
Miara $\nu$ obci�ta do przestrzeni mierzalnej $\left (A_0,\Sigma(A_0)\right )$, gdzie $\Sigma(A_0):=\{A\in \Sigma: A\subseteq A_0\}$, 
jest $\sigma$-sko�czona. Oczywi�cie miara $\mu$ obci�ta do $\Sigma(A_0)$ pozostaje  sko�czona.
Zatem na mocy Twierdzenia \ref{thm:R-N_sigma_finite} istnieje funkcja mierzalna $f_0:A_0\to \R^+$, wyznaczona jednoznacznie 
$\mu$-prawie wsz�dzie, taka �e 
$$
\nu(A)=\int\limits_A f_0 \, \mathrm{d}\mu,\quad\text{ dla }A\in\Sigma(A_0).
$$
Przed�u�my $f_0$ na $\Omega$ k�ad�c $f_0|_{A_0'}\equiv \infty$. Wtedy dla $B\in \Sigma$ zawartego w $A_0'$ mamy
$$
\int_B f_0 \, \text{d}\mu =\begin{cases}
0, & \mu(B)=0\\
\infty, & \mu(B)>0
\end{cases} 
=\begin{cases}
0, & \nu(B)=0\\
\infty, & \nu(B)=\infty
\end{cases}
=
\nu(B).
$$
St�d dla dowolnego $B\in \Sigma$ mamy
$$
\int_{B} f_0\, d\mu =  \int_{B\cap A_0} f_0\, d\mu +  \int_{B\cap A_0'} f_0\, d\mu=\nu(B\cap A_0)+ \nu(B\cap A_0')=\nu(B).
$$
Zatem pozostaje jedynie pokaza�, �e $f_0$ jest wyznaczone jednoznacznie $\mu$-prawie wsz�dzie na zbiorze $A_0'$, tzn. �e je�eli $f_0':A_0'\to [0,+\infty]$
jest funkcj� mierzaln� tak�, �e
$
\nu(B)=\int_B f_0' \, d\mu$ dla ka�dego $B\in \Sigma$, $B\subseteq A_0'$, to $f_0' = +\infty$ $\mu$-prawie wsz�dzie. 
Za��my nie wprost, �e istnieje mierzalny zbi�r $B\subseteq A_0'$ taki, �e $\mu(B)>0$ oraz $f_0' <\infty$ na $B$. 
Po��my, $B_n:=\{\omega\in B:   f_0'(\omega)\leq n\}$. Wtedy $\{B_n\}_{n=1}^\infty \subseteq A_0'$ oraz $B_n\nearrow B$, sk�d $\lim_{n\to \infty} \mu(B_n)=\mu(B)>0$.
Zatem dla dostecznie du�ych $n$ mamy $\mu(B_n)>0$, co implikuje, �e $\nu(B_n)=\infty$. To prowadzi do nast�puj�cej sprzeczno�ci
$$
\infty=\nu(B_n)=\int_B f_0' \, d\mu\leq n \mu(B_n) <\infty.
$$
To ko�czy dow�d w przypadku, gdy miara $\mu$ jest sko�czona.

Je�li $\mu$ jest $\sigma$-sko�czona i   $\{\Omega_n\}_{n=1}^\infty\subseteq \Sigma$ jest rozbiciem przestrzeni $\Omega$ na zbiory o $\mu$-mierze sko�czonej,
to mo�emy zastosowa� udowodnion� ju� tez� twierdzenia do miar sko�czonych $\nu$ i $\mu$ obci�tych do zbioru $\Omega_n$ (por�wnaj dow�d Twierdzenia \ref{thm:R-N_sigma_finite}). 
W ten spos�b  otrzymujemy funkcje $f_n:\Omega_n\to\overline{\R}^+$ wyznaczone $\mu$-prawie wsz�dzie, dla kt�rych 
$$
\nu(A)=\int\limits_Af_n\mathrm{d}\mu,\quad A\in\Sigma, A\subseteq \Omega_n,
$$
oraz $f_n$ jest  $\mu$-prawie wsz�dzie sko�czona
na zbiorach, na kt�rych miara $\nu$ jest  $\sigma$-sko�czona.
K�ad�c $f_0=\sum_{n=1}^\infty  f_n\cdot \mathbb{1}_{\Omega_n}$ otrzymujemy poprawnie  okre�lon� funkcj� $\Sigma$-mierzaln�,
kt�ra jest $\mu$-prawie wsz�dzie sko�czona
na zbiorach, na kt�rych miara $\nu$ jest  $\sigma$-sko�czona.
Ponadto dla  dowolnego $A\in\Sigma$ mamy 
 %Korzystaj�c z Lematu \ref{lem:integrals_and_series} i z definicji funkcji $f_0$  otrzymujemy
\begin{align*}
\nu(A) &= \sum\limits_{n=1}^\infty\nu(A\cap\Omega_n)
 =\sum\limits_{n=1}^\infty\int\limits_{A\cap\Omega_n}f_n\mathrm{d}\mu
= \int\limits_A\left (\sum\limits_{n=1}^\infty f_n\mathbb{1}_{\Omega_n}\right )\mathrm{d}\mu=\int\limits_A f_0\mathrm{d}\mu.
\end{align*}
W szczeg�lno�ci, z powy�szych rozwa�a� wynika, �e funkcja $f_0$ jest wyznaczona $\mu$-jednoznacznie (por�wnaj dow�d Twierdzenia \ref{thm:R-N_sigma_finite}).  
\end{proof}




\chapter{Og�lne Twierdzenie Radona-Nikodyma i miary lokalizowalne}

\section{Quasi-pochodna Radona-Nikodyma}
\begin{dfn}
\emph{Quasi-funkcj�} na przestrzeni z miar� $(\Omega,\Sigma,\mu)$ nazywamy rodzin� funkcji $\{f_A\}_{A\in\Sigma_\mu}$ indeksowan�
 przez $\sigma$-pier�cie� zbiorow o mierze $\sigma$-sko�czonej $\Sigma_\mu:=\{A\in \Sigma: A=\bigcup_{n=1}^\infty A_{n},\,\, \mu(A_n)<\infty\}$  tak�, �e dla ka�dych $A, B\in \Sigma_\mu$
\begin{enumerate}[(1)]
\item $f_A$ jest  funkcj� mierzaln� znikaj�c� $\mu$-prawie wsz�dzie poza zbiorem $A$,
\item funkcje $f_A$ i $f_B$ r�wnaj� si� sobie $\mu$-prawie wsz�dzie na $A\cap B$.

\end{enumerate} 
Powiemy, �e quasi-funkcja $\{f_A\}_{A\in\Sigma_\mu}$ jest nieujemna, je�eli $f_A\geq 0$ $\mu$-prawie wsz�dzie, dla dowolnego $A\in \Sigma_\mu$
\end{dfn}
\begin{rem}
Quasi-funkcje mo�naby  zdefiniowa� jako rodziny  $\{f_A\}_{A\in\FF_\mu}$ indeksowane wzgl�dem $\sigma$-pier�cieniem zbior�w o mierze sko�czonej $\FF_\mu:=\{A\in \Sigma: \mu(A)<\infty\}$.
Jednak�e ka�d� tak� rodzin� spe�ani�j�c� warunki (1) i (2) w powy�szej definicji  mo�na rozszerzy� do quasi-funkcji  $\{f_A\}_{A\in\Sigma_\mu}$.
% indeksowanej
%przez  $\sigma$-pier�cie� zbiorow o mierze $\sigma$-sko�czonej $\FF:=\{A\in \Sigma: A=\bigcup_{n=1}^\infty A_{n},\,\, A_n \in \Sigma_0\}$  takiej, �e funkcje $g_A$ dalej b�d� spe�nia�y warunki (1), (2).
Mianowicie, dla ka�dego zbioru $A\in \Sigma_\mu$ o mierze niesko�czonej, mo�na ustali� ci�g $\{A_{n}\}_{n=1}^\infty\subseteq \FF_\mu$ taki, �e $A=\bigcup_{n=1}^\infty A_{n}$ i po�o�y� 
$f_A(\omega)=f_{A_n}(\omega)$, je�li $\omega \in A_{n}\setminus \bigcap_{k=1}^{n-1}A_k$ oraz $f_A=0$ poza $A$.
\end{rem}


\begin{thm}[Og�lne Twierdzenie Radona-Nikodyma]\label{thm:quasi_function_RN}
Dla dowolnych miar $\nu,\mu$ na tej samej przestrzeni mierzalnej $(\Omega,\Sigma)$, je�li $\nu\ll\mu$, to istnieje quasi-funkcja $\{f_A\}_{A\in\Sigma_\mu}$ taka, �e 
\begin{equation}\label{eq:R-N_quasi_function}
\nu(A)=\int_{A} f_A\,d\mu, \qquad A\in \Sigma_\mu.
\end{equation}
Quasi-funkcja $\{f_A\}_{A\in\Sigma_\mu}$ jest nieujemna i wyznaczona jednoznacznie $\mu$-prawie wsz�dzie, tzn.  dla innej takiej quasi-funkcji, $\{g_A\}_{A\in\Sigma_\mu}$ mamy $g_A=f_A$ $\mu$-prawie wsz�dzie, dla ka�dego $A\in \Sigma_\mu$. 
\end{thm}
\begin{proof} Dla ka�dego $A\in \Sigma_\mu$ mo�emy zastosowa� Twierdzenie \ref{thm:R-N_sigma_finite_general} do miar $\nu$ i $\mu$ obci�tych do $\sigma$-algebry $\Sigma(A):=\{A\cap B: B\in \Sigma\}$
na $A$. Wtedy istnieje nieujemna $\Sigma(A)$-mierzalna funkcja $f_A$ taka, �e $\nu(C)=\int_{C} f_A\,d\mu$ dla ka�dego mierzalnego $C\subseteq  A$. Ponadto funkcja $f_A$ z tymi w�asno�ciami
jest wyznaczona jednozancznie $\mu$-prawie wsz�dzie na $A$.  K�ad�c $f_A=0$ poza $A$ otrzymujemy nieujemn� funkcj� $\Sigma$-mierzaln� na $\Omega$  spe�niaj�c� $\nu(A)=\int_{A} f_A\,d\mu$. 
Zatem tak skonstruowana  rodzina $\{f_A\}_{A\in\Sigma_\mu}$ spe�nia warunek (1) definicji. Ponadto, je�li $A, B\in \Sigma_\mu$, to dla wolnego mierzalnego $C\subseteq A\cap B$ mamy
$$
\nu(C)=\int_C f_A \,d\mu=\int_C f_B \,d\mu=\int_C f_{A\cap B} \,d\mu.
$$
Zatem ze wcze�niej wspomnianej jednoznaczno�ci funkcji $f_A$, otrzymujemy, �e $f_A$ i $f_B$ r�wnaj� si� $\mu$-prawie wsz�dzie  na $A\cap B$ funkcji $f_{A\cap B}$.
St�d  $\{f_A\}_{A\in\Sigma_\mu}$ jest ��dan� quasi-funkcj�.
\end{proof}
\begin{dfn}
%Niech  $\nu$ i $\mu$ b�d� dowolnymi miarami na przestrzeni mierzalnej $(\Omega,\Sigma)$ oraz $\nu\ll\mu$. 
Quasi-funkcj� $\{f_A\}_{A\in\Sigma_\mu}$ z Twierdzenia \ref{thm:quasi_function_RN} b�dziemy oznacza� $\frac{d\nu}{d\mu}$ i nazywa�  \emph{quasi-pochodn� Radona-Nikodyma} miary $\nu$ wzgl�dem $\mu$.
\end{dfn}

W �wietle pow�szych rozwa�a� naturalnym staj� si� dwa pytania. Po pierwsze kiedy quasi-funkcj� $\{f_A\}_{A\in\Sigma_\mu}$ da si� \emph{sklei� do funkcji mierzalnej}. To znaczy, 
\begin{quote}
	(1) Kiedy istnieje funkcja mierzalna $f:\Omega\to \overline{\R}^+$ taka, �e dla ka�dego $A\in \Sigma_\mu$ funkcje $f$ i $f_A$ r�wnaj� si� sobie $\mu$-prawie wsz�dzie na $A$?
\end{quote}
Po drugie, je�li taka funkcja $f$ ju� istnieje, to kiedy wz�r \eqref{eq:R-N_quasi_function} da si� rozci�gn�� na wszystkie  zbiory  z $\Sigma$ (niekoniecznie o $\mu$-mierze $\sigma$-sko�czonej). 
To znaczy
\begin{quote}
	(2) Kiedy funkcja $f$ opisana w (1) jest pochodn� Radona-Nikodyma miary $\nu$ wzgl�dem $\mu$?
\end{quote}
W trywialny spos�b taka funkcja $f$ istnieje i jest pochodn� Radona-Nikodyma, je�li $\mu$ jest miar� $\sigma$-sko�czona, bo wtedy $\Omega\in \Sigma_\mu$ i mo�na wzi�� $f=f_{\Omega}$. 
W og�lnym przypadku Segal \cite{segal} i Zaneen  \cite{zaanen} odpowiedzieli na te pytania odpowiednio:  lokalizowalno�� oraz semi-sko�czono��.  
Poni�ej dog��bnie om�wimy te poj�cia.

\section{Miary semisko�czone}
\begin{dfn}\label{defn:semi-finite_relative}
Niech $\mu$ i $\nu$ b�d� miarami na przestrzeni mierzalnej $(\Omega,\Sigma)$. Powiemy, �e miara $\nu$ jest \emph{$\mu$-semi-sko�czona} (lub \emph{semi-sko�czona wzgl�dem $\mu$}), je�eli dla ka�dego $A\in\Sigma$ o niezerowej $\nu$-mierze istnieje mierzalny podzbi�r   $B\subseteq A$ o niezerowej $\nu$-mierze oraz $\mu$-mierze sko�czonej, tzn.
$$
0<\nu(A) \,\, \Longrightarrow \,\, 0<\nu(B)\text{  oraz }\mu(B)<\infty \text{ dla pewnego }B\subseteq A.
$$ 
Powiemy, �e miara $\mu$ jest \emph{semi-sko�czona} je�eli jest $\mu$-semi-sko�czona, tzn.
$$
0<\mu(A) \,\, \Longrightarrow \,\, 0<\mu(B)<\infty \text{ dla pewnego }B\subseteq A.
$$ 
\end{dfn}
\begin{exm} Je�li $\mu$ jest $\sigma$-sko�czona, to  ka�da miara $\nu$ (okre�lona na tej samej przestrzeni co $\mu$) jest $\mu$-semi-sko�czona.
Rzeczywi�cie, je�eli $0<\nu(A)$, to zapisuj�c $A=\bigcup_{n=1}^\infty A_n$, gdzie $\mu(A_n)<\infty$, $n\in \N$,  i korzystaj�c z ci�g�o�ci miary mamy 
$\nu(A)=\lim_{N\to\infty} \nu(\bigcup_{n=1}^N A_n)$. Zatem dla dostatecznie du�ego $N$ 
$$
\nu\left(\bigcup_{n=1}^N A_n\right) >0 \quad\text{ oraz } \quad  \mu\left(\bigcup_{n=1}^N A_n\right)\leq \sum_{n=1}^N \mu(A_n) <\infty,
$$
czyli warunek z definicji zachodzi dla $B=\bigcup_{n=1}^N A_n$.
W szczeg�lno�ci ka�da miara $\sigma$-sko�czona jest semi-sko�czona.
\end{exm}
\begin{exm}
Miara licz�ca $\mu$ jest zawsze semi-sko�czona, ale nie jest $\sigma$-sko�czona je�li jest okre�lona na przestrzeni nieprzeliczalnej. 
Co wi�cej na og� nie ka�da miara jest $\mu$-semi-sko�czona. 
Rzeczywi�cie, rozwa�my miary z Przyk�adu \ref{exm:saks_example} (Przyk�ad Saksa).  To znaczy niech $\mu$ i $\nu$  b�d� okre�lona na
 $(\R,\B(\R))$ i niech  $\nu$ b�dzie  miar� Lebesgue'a. Wtedy warunek $\mu(B)<\infty$ dla miary licz�cej oznacza, �e zbi�r $B$ jest sko�czony, 
co dla miary Lebesgue'a implikuje, �e $\nu(B)=0$. Zatem $\nu$ nie jest $\mu$-semi-sko�czona.   
\end{exm}


\begin{prop}\label{prop:measures_from_hereditary_rings}
Niech $(\Omega,\Sigma)$ przestrze� mierzalna, $\FF\subseteq \Sigma$ rodzina zamkni�ta na podzbiory i sko�czone sumy, tzn.
$
B\subseteq A\in\FF  \Longrightarrow B\in \FF$  oraz $A, B\in\FF \Longrightarrow A\cup B \in \FF. 
$ 
Je�li $\nu:\FF\to [0,\infty]$ jest $\sigma$-addytywn� funkcj� zbioru tak�, �e $\nu(\emptyset)=0$, to  wz�r 
$$
\overline{\nu}(A)=\sup\{ \nu(B):B\subseteq A,\,  B\in\FF \}
$$
definiuje miar� na $(\Omega,\Sigma)$ b�d�c� przed�u�eniem $\nu$. Miara ta jest semi-sko�czona je�li funkcja $\nu$ przyjmuje warto�ci sko�czone.
\end{prop}
\begin{proof}
Jasne jest, �e $\overline{\nu}(\emptyset)=0$. Niech $\{A_{n}\}_{n=1}^\infty \subseteq \Sigma$ b�dzie ci�giem zbior�w prami roz��cznych. 
Niech  $B\subseteq \bigsqcup_{n=1}^\infty A_{n}$ oraz  $B\in \FF$. K�ad�c $B_n:=A_n \cap B \subseteq A_n$ otrzymujemy ci�g $\{B_n\}_{n=1}^\infty$  parami roz��cznych zbior�w z $\FF$ (bo $\FF$ jest zamkni�ta na podzbiory i $B\in \FF$). Zatem 
korzystaj�c z $\sigma$-addytywno�ci $\nu$ mamy 
$
\nu(B)=\nu(\bigsqcup_{n=1}^\infty B_{n})=\sum_{n=1}^\infty \nu(B_n)\leq  \sum_{n=1}^\infty \overline{\nu}(A_n).
$
St�d 
$$
\overline{\nu}(\bigsqcup_{n=1}^\infty A_{n})\leq  \sum_{n=1}^\infty \overline{\nu}(A_n).
$$ 
Zauwa�my, �e dla sum sko�czonych w tej nier�wno�ci mamy r�wno��. 
Rzeczywi�cie, je�li $B_n\subseteq A_n$ oraz $B_n\in\FF$, dla $n=1,...,N$, to $B:=\bigsqcup_{n=1}^N B_n\in \FF$ (bo $\FF$ jest zamkni�ta na sko�czone sumy).
Skoro $\nu$ jest addytywna i $B\subseteq \bigcup_{n=1}^N A_n$, to
$
\sum_{n=1}^N \nu(B_n)=\nu(\bigsqcup_{n=1}^N B_n)=\nu(B)\leq  \overline{\nu}(\bigcup_{n=1}^N A_n).
$
St�d 
$$
\sum_{n=1}^N \overline{\nu}(A_n) \leq \overline{\nu}(\bigsqcup_{n=1}^N A_{n}).
$$ W �wietle poprzedniej nier�wno�ci (kt�r� dowiedli�my dla ci�g�w niesko�czonych, ale kt�ra zachodzi tym bardziej dla ci�g�w sko�czonych) mamy wi�c $\sum_{n=1}^N \overline{\nu}(A_n) =\overline{\nu}(\bigsqcup_{n=1}^N A_{n})$. Korzystaj�c dodatkowo z monotoniczno�ci $\overline{\nu}$ (kt�ra wynika wprost z definicji $\overline{\nu}$) otrzymujemy
$$
\sum_{n=1}^N \overline{\nu}(A_n) =\overline{\nu}(\bigsqcup_{n=1}^N A_{n})\leq  \overline{\nu}(\bigsqcup_{n=1}^\infty A_{n}).
$$
Przechodz�c z $N$ do granicy dostajemy $\sum_{n=1}^\infty \overline{\nu}(A_n)\leq  \overline{\nu}(\bigsqcup_{n=1}^\infty A_{n})$.
Ko�czy to dow�d $\sigma$-addytywno�ci $ \overline{\nu}$.

Je�li $A\in \FF$ to $ \overline{\nu}(A)=\nu(A)$, gdzie nier�wno�� $ \overline{\nu}(A)\leq \nu(A)$ wynika z monotoniczno�ci $\nu$, a nier�wno�� przeciwna wynika wprost z definicji $\overline{\nu}$.
Zatem $ \overline{\nu}|_{\FF}=\nu$. Jasne jest, �e $\overline{\nu}$ jest semi-sko�czona, je�li $\nu:\FF\to [0,\infty)$ przyjmuje wy��cznie warto�ci sko�czone
\end{proof}
\begin{cor}\label{cor:mu-semi-finite}
Niech $\mu$ i $\nu$ b�d� miarami na przestrzeni mierzalnej $(\Omega,\Sigma)$. Wtedy wz�r  
$$
\overline{\nu}(A)=\sup\{ \nu(B):B\subseteq A,\,  \mu(B)<\infty \}
$$
definiuje miar� na $(\Omega,\Sigma)$, kt�ra jest $\mu$-semi-sko�czona. Ponadto, 
$\nu=\overline{\nu}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\nu$ jest $\mu$-semi-sko�czona.
Og�lnie $\overline{\nu}\leq \nu$ a r�wno�� zawsze zachodzi na zbiorach o $\mu$-mierze $\sigma$-sko�czonej.
\end{cor}
\begin{proof}
Ze  Stwierdzenia \ref{prop:measures_from_hereditary_rings} zastosowanego do pier�cienia $\FF_\mu:=\{ B\in \Sigma: \mu(B)<\infty\}$ zbior�w o $\mu$-mierze
sko�czonej, otrzymujemy, �e $\overline{\nu}$ jest miar�. Pozosta�a tre�� tezy �atwo wynika z definicji $\overline{\nu}$.
\end{proof}









\section{Suprema mierzalne dowolnych rodzin zbior�w i funkcji}

\begin{dfn}\label{dfn:measure_supremum}
Niech $(\Omega,\Sigma,\mu )$ b�dzie przestrzeni� z miar�. Powiemy, �e rodzina $\A\subseteq \Sigma$ ma \emph{mierzalne supremum}, je�eli istnieje 
$A_0\in \Sigma$ takie, �e 
\begin{enumerate}[(1)]
		\item\label{enu:essential_sup1} $\mu(A\setminus A_0)=0$ dla ka�dego $A\in\A$,
		\item\label{enu:essential_sup2} dla ka�dego $B\in \Sigma$ spe�niaj�cego \ref{enu:essential_sup1} tzn. takiego, �e $\mu(A\setminus B)=0$ dla ka�dego $A\in\A$,  zachodzi $\mu(A_0\setminus B)=0$.
	\end{enumerate}
	B�dziemy wtedy pisa� $\sup \A:=A_0$ lub $\mu\text{-}\sup\A= A_0$.
\end{dfn}
\begin{rem} Je�eli $B_0\in \Sigma$ inny zbi�r spe�aniaj�cy warunki  \ref{enu:essential_sup1},  \ref{enu:essential_sup2} powy�szej definicji, to 
$$
\mu(A_0\cap B_0)=\mu(A_0\setminus  B_0) + \mu(B_0\setminus  A_0)=0.
$$
Czyli supremum mierzalne $A_0$, o ile istnieje, jest wyznaczone jednoznacznie z dok�adno�ci� do zbior�w miary zero. 

\end{rem}

\begin{exm}\label{exm:power_set}
Je�li wszystkie podzbiory $\Omega$ s� mierzalne, tzn. $\Sigma=2^\Omega$, to ka�da rodzina $\A\subseteq \Sigma$ ma mierzalne supremum 
oraz  
$$
\sup \A:=\bigcup_{A\in \A} A.
$$
Je�eli dodatkowo $\mu$ nie posiada niepustych zbior�w miary zero  (na przyk�ad, gdy $\mu$ jest miar� licz�c�),  to supremum mierzalne jest
wyznacznone jednoznacznie, czyli jest to�same z sum�. 
\end{exm}
\begin{exm}\label{exm:count_fam} Ka�da rodzina przeliczalna $\A=\{A_n\}_{n=1}^\infty\subseteq \Sigma$ posiada supremum mierzalne oraz $\sup \A:=\bigcup_{n=1}^\infty A_n$.
\end{exm}
\begin{exm}
Niech $(\Omega,\Sigma, \mu)$ b�dzie przestrzeni� z miar� licz�c� okre�lon� na $\sigma$-algebrze zbior�w (ko)-przeliczalnych, tzn. 
$$\Sigma:=\{A\subseteq \Omega: A \text{ przeliczalny lub } \Omega\setminus A\text{ przeliczalny}\}.
$$
Miara licz�ca nie posiada niepustych zbior�w miary zero, wi�c o ile supremum mierzalne istnieje, to musi by� to�same z 
$\bigcup_{A\in\A} A$, patrz Przyk�ad \ref{exm:power_set}. %Z Przyk�adu \ref{exm:count_fam} wiemy, �e ka�da przeliczalna rodzina $\A$ b�dzie mia�a supremum mierzalne. 
Zatem rodzina $\A$ b�dzie mia�� supremum mierzalne wtedy i tylko wtedy gdy $\bigcup_{A\in\A}A\in\Sigma$, czyli gdy suma $\bigcup_{A\in\A}A$ jest zbiorem przeliczalnym lub koprzeliczalnym.


%\textbf{Kiedy rodzina $\A\subseteq \Sigma$ ma supremum mierzalne?}
\end{exm}
Nast�pny lemat warto por�wna� ze Stwierdzeniem \ref{prop:measures_from_hereditary_rings}, gdzie rodziny zbior�w zamkni�tych na podzbiory i sko�czone sumy pe�ni� wa�n� rol� w konstrukcji miar.
\begin{lem}\label{lem:essential_suprema_for_rings} 
Niech $(\Omega,\Sigma,\mu)$ przestrze� z miar�. Dla dowolnej rodziny $\A\subseteq \Sigma$, 
$$
\overline{\A}:=\{\bigcup_{k=1}^n A_k: \Sigma \ni A_k\subseteq B_{k}\in \A, k=1,....,n\in \N\}
$$ 
jest najmniejsz� rodzin� zbior�w mierzalnych zawieraj�c� $\A$ i zamkni�t� na podzbiory i sko�czone sumy. 
Ponadto 
$$
\sup \A= \sup \overline{\A}
$$
o ile, kt�re� mierzalne supremum istnieje.
\end{lem}
\begin{proof}
Pierwsza cz�� tezy jest oczywista. Za��my, �e $\sup \A\in \Sigma$ istnieje. Wtedy dla ka�dego $\bigcup_{k=1}^n A_k\in\overline{\A}$ mamy
$$
\mu(\bigcup_{k=1}^n A_k \setminus \sup \A)\leq \sum_{k=1}^n \mu(A_k\setminus \sup \A )=0
$$
Poza tym je�li zbi�r $B$ ma r�wnie� powy�sz� w�asno��, to tym bardziej $\mu(A\setminus B)=0$ dla $A\in \A$, sk�d 
$\mu(\sup \A\setminus B)=0$ (poniewa� $\sup \A$ jest supremum mierzalnym rodziny $\A$). Zatem $\sup \overline{\A}$ istnieje i $\sup \A= \sup \overline{\A}$. 
Dow�d przy za�o�eniu, �e $\sup \overline{\A}$ istnieje przebiega analogicznie.
\end{proof}
\begin{dfn} Powiemy, �e  rodzina 
$\{f_\alpha\}_{\alpha\in I}$ funkcji mierzalnych $f_\alpha:\Omega\to\overline{\R}$ na przestrzeni z miar� $(\Omega,\Sigma, \mu)$ posiada \emph{supremum mierzalne}
je�eli istnieje funkcja mierzalna $g:\Omega\to\overline{\R}$ taka, �e dla $\alpha\in I$ zachodzi $g\geq f_\alpha$  $\mu$-prawie wsz�dzie oraz  je�eli $\tilde g$ jest drug� tak� funkcj�,
 to $\tilde g \geq g$  $\mu$-prawie wsz�dzie.

Funkcja $g$ z powy�szymi w�asno�ciami (o ile istnieje) jest wyznaczona jednocznanie $\mu$-prawie wsz�dzie,
b�dziemy nazywa� j� \emph{supremum mierzalnym} rodziny  $\{f_\alpha\}_{\alpha\in I}$ i b�dziemy je oznacza�  $\sup_{\alpha\in I} f_\alpha$  lub $\mu\text{-}\sup_{\alpha\in I} f_\alpha$.
\end{dfn}
\begin{thm}\label{thm:supremum_family}
Dla dowolnej przestrzeni z miar�  $(\Omega,\Sigma,\mu)$ nast�puj�ce warunki s� r�wnowa�ne:
\begin{enumerate}[(1)]
\item\label{enu:supremum_family1} ka�da rodzina zbior�w $\A\subseteq \Sigma$ posiada supremum mierzalne $\sup\A\in \Sigma$
\item\label{enu:supremum_family2} ka�da rodzina $\{f_\alpha\}_{\alpha\in I}$ funkcji mierzalnych posiada supremum mierzalne $\sup_{\alpha\in I} f_\alpha$.
\end{enumerate}

\end{thm}


\begin{proof}

\ref{enu:supremum_family2}$\Longrightarrow$\ref{enu:supremum_family1}. 
Niech $\A\subseteq \Sigma$ b�dzie dowoln� rodzin�. We�my rodzin�  $\{ \mathbb{1}_A\}_{A\in\A}$ funkcji mierzalnych (bo funkcja charakterystyczna zbioru mierzalnego jest funkcj� mierzaln�). Zatem istnieje mierzalna funkcja $\sup_{A\in\A} \mathbb{1}_A=:f_\A$ b�d�ca supremum mierzalnym tej rodziny funkcji. W takim razie na zbiorach miary niezerowej $f_\A$ mo�e przyjmowa� tylko warto�ci $0$ lub $1$. 
Zbi�r $S:=\{\omega\in\Omega:f_\A (\omega)=1\}$ jest mierzalny, bo funkcja $f_\A$ mierzalna, oraz dla dowolnego $A\in\A$ zachodzi
$$
f_\A  \mathbb{1}_A =  \mathbb{1}_A 
$$
$\mu$-prawie wsz�dzie. W konsekwencji  $\mu(A\setminus S)=0$. Za�o�my, �e $B\in\Sigma$ jest innym zbiorem takim, �e dla dowolnego $A\in\A$ zachodzi $\mu(A\setminus B)=0$.
Wtedy  $\mathbb{1}_B\geq \mathbb{1}_A$ $\mu$-prawie wsz�dzie. Ale funkcja $f_\A$ jest supremum mierzalnym rodziny funkcji $\{\mathbb{1}_A\}_{A\in\A}$, wi�c musi zachodzi� $\mathbb{1}_B\geq f_\A$ $\mu$-prawie wsz�dzie, co implikuje, �e $\mu(S\setminus B)=0$. Ostatecznie zbi�r $S$ jest supremum mierzalnym dowolnej rodziny $\A\subseteq \Sigma$.




\ref{enu:supremum_family1}$\Longrightarrow$\ref{enu:supremum_family2}. 
Niech $A_{\alpha,r}:=\{\omega\in\Omega: f_\alpha(\omega)\geq r\}$, gdzie $\alpha\in I$ i $r\in\Q$. 
Z \ref{enu:supremum_family1}, dla ka�dego $r\in \Q$  istnieje supremum istotne $B_r\in\Sigma$ rodziny $\{A_{\alpha,r}\}_{\alpha\in I}$. 
Zauwa�my, �e dla $r<s$ zachodzi $\mu(B_{s}\setminus B_{r})=0$ (czyli ,,$B_{s}\subseteq B_{r}$ $\mu$-prawie wsz�dzie'').
 Je�eli $C_r:=\bigcup_{\Q\ni s>r} B_s$, to $C_r\in\Sigma$ oraz  dla $r<s$ zachodzi $C_{s}\supseteq C_{r}$ (bez ,,$\mu$-prawie wsz�dzie'').
 Zdefiniujmy $g_r(w):=r$, gdy $\omega\in C_r$, oraz $g_r(w):=-\infty$ w przeciwnym przypadku. 
Wtedy funkcja
$$
g(\omega):=\sup\{g_r(\omega):r\in\mathbb Q\}
$$
 jest mierzalna jako supremum przeliczalnej ilo�ci funkcji mierzalnych. 
Musimy pokaza�, �e $g\geq f_\alpha$ prawie wsz�dzie  dla dowolnego $\alpha\in I$. 
Czyli dla ustalonego $\alpha\in I$ potrzebujemy pokaza�, �e zbi�r $G:=\{\omega\in\Omega:g(\omega)<f_{\alpha}(\omega)\}$ ma miar� zero.
 Je�li $g(\omega)<f_\alpha(\omega)$, to istnieje $r,s\in\mathbb Q$ takie, �e $g(\omega)<r<s<f_\alpha(\omega)$.
 W tej sytuacji $\omega \in A_{\alpha,s}$ i $\omega\notin C_r$,  co oznacza, �e $\omega\in\bigcup_{\substack{
r,s\in\mathbb Q \\
r<s}} A_{\alpha,s}\setminus C_r$. Dla $r<s$ mamy $C_r\supseteq B_{s}$. St�d 
$$
G\subseteq\bigcup_{\substack{
r,s\in\mathbb Q \\
r<s}} A_{\alpha,s}\setminus C_r\subseteq \bigcup_{
s\in\mathbb Q
} A_{\alpha,s}\setminus B_{s}.
$$ 
Skoro $B_{s}$ jest supremum istotnym $\{A_{\alpha,s}\}_{\alpha\in I}$, to $\mu( A_{\alpha,s}\setminus B_{s})=0$.  Zatem  $\mu(G)=0$, bo
 $G$ zawiera si� w przeliczalnej sumie zbior�w $A_{\alpha,s}\setminus B_{s}$ o mierze zero. 
St�d $g\geq f_\alpha$ $\mu$-prawie wsz�dzie dla dowolnego $\alpha\in I$. 

Niech $\tilde g$ mierzalna funkcja $g$  taka, �e dla $\alpha\in I$ zachodzi $\tilde g\geq f_\alpha$  prawie wsz�dzie.
 Potrzebujemy pokaza�, �e zbi�r
$H:=\{\omega\in\Omega:g(\omega)>\tilde g (\omega)\}$ ma miar� zero. Z definicji $g$ otrzymujemy, �e  $g(\omega)>\tilde g (\omega)$
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje  $r\in \Q$ takie, �e  $\omega\in C_r$ oraz $r>\tilde g (\omega)$. St�d i z definicji $C_r$
$$
H=\bigcup_{r\in \Q} C_r\cap \{\omega: r>\tilde g (\omega)\}=\bigcup_{r\in \Q}\bigcup_{\Q\ni s>r} B_s \cap \{\omega: r>\tilde g (\omega)\}.
$$
Przypomnijmy, �e $B_s$ jest supremum istotnym rodziny $\{A_{\alpha,s}\}_{\alpha\in I}$.   Z definicji $A_{s,\alpha}$ i st�d, �e $\tilde g\geq f_\alpha$  $\mu$-prawie wsz�dzie
mamy $\mu(A_{s,\alpha} \cap \{\omega: r>\tilde g (\omega)\})=0$. Czyli $B_s\setminus \{\omega: r>\tilde g (\omega)\}$ te� jest supremum istotnym rodziny $\{A_{\alpha,s}\}_{f\in F}$.
To jest mo�liwe jedynie, gdy $\mu(B_s \cap \{\omega: r>\tilde g (\omega)\})=0$. 
Zatem $H$ jest zbiorem miary zero jako przeliczalna suma takich zbior�w. 
\end{proof}


\begin{cor}\label{cor:localizable_quasi_function}
Ka�da nieujemna quasi-funkcja mierzalna na przestrzeni z miar� $(\Omega,\Sigma,\mu)$ posiadaj�cej suprema mierzalne pochodzi od funkcji mierzalnej, a mianowicie od supremum mierzalnego element�w quasi-funkcji.
\end{cor}
\begin{proof}
Jesli $\{f_A\}_{A\in\Sigma_\mu}$ quasi-funkcja jak w tezie, to bior� za $f$ supremum istotne, kt�rego istnienie postuluje Twierdzenie  \ref{thm:supremum_family} jest �adan� funkcj�. 
To znaczy dla ka�dego $A\in\Sigma_\mu$ mamy $f_A = f$ $\mu$-prawie wsz�dzie na $A$, co wynika z definicji supremum istotnego i st�d, �e dla ka�dego $B\in \Sigma_\mu$ mamy
$f_B\leq f_A$ $\mu$-prawie wsz�dzie na $A$. 
\end{proof}

Przypomnijmy, i� \emph{sieci�} nazywamy dowoln� rodzin� element�w indeksowanych zbiorem skierowanym $I$, czyli wyposa�onym w cz�ciowy porz�dek $\leq$ taki, �e dla 
ka�dej pary element�w $\alpha,\beta\in I$ istnieje element je dominuj�cy, czyli $\gamma\in I$ takie, �e $\alpha, \beta\leq \gamma$.  Poj�cie sieci uog�lnia poj�cie ci�gu; w szczeg�lno�ci zbi�r liczb naturalnych ze standardowym porz�dkiem jest zbiorem skierowanym. Dlatego te� poni�sze Twierdzenie uog�lnia (w przypadku miar lokalizowalnych) fundamentalne dla teorii ca�ki Twierdzenie Leviego o zbie�no�ci monotonicznej.

\begin{thm}[Twierdzenie o zbie�no�ci monotonicznej dla sieci]\label{thm:net_integral}
Niech $(\Omega,\Sigma,\mu)$ b�dzie przestrzeni� z miar�  i niech  $\{f_\alpha\}_{\alpha\in I}$ b�dzie sieci� nieujemnych funkcji mierzalnych $f_\alpha:\Omega\to\overline{\R}^+$, kt�ra jest monotoniczna w tym sensie, �e dla ka�dych $\alpha$, $\beta\in I$
$$
\alpha  \leq \beta \,\, \Longrightarrow \,\, f_\alpha \leq f_\beta \quad  \text{$\mu$-prawie wsz�dzie}.
$$ 
Je�li mierzalne supremum $\sup_\alpha f_\alpha$ istnieje, to
$$
\int_\Omega \sup_\alpha f_\alpha\, \mathrm d \mu = \sup_\alpha\int_\Omega f_\alpha \, \mathrm d \mu,
$$
gdzie $\sup_\alpha f_\alpha$ jest supremum mierzalnym rodziny $\{f_\alpha\}_{\alpha\in I}$.
\end{thm}
\begin{proof}
%Na mocy Stwierdzenia \ref{prop:supremum_family} dla funkcji mierzalnych $\{f_\alpha\}_{\alpha\in I}$ istnieje supremum istotne, tzn. istnieje mierzalna funkcja $f$ taka, �e dla dowolnego $\alpha\in I$ zachodzi $f\geq f_\alpha $ prawie wsz�dzie. 
Niech $M:=\sup_\alpha \int_\Omega f_\alpha\,  \mathrm d \mu$ i $f:=\sup_{\alpha\in I} f_\alpha$. Z definicji $f$, dla ka�dego $\alpha\in I$ mamy $f_\alpha \leq f$  prawie wsz�dzie, 
sk�d $\int_\Omega f_\alpha\, \mathrm d \mu\leq \int_\Omega f\, \mathrm d \mu$ i w konsekwencji 
$$
M\leq \int_\Omega f\, \mathrm d \mu.
$$
 Zatem jesli $M=\infty$, to r�wno�� jest spe�niona w trywialny spos�b. Za��zmy wi�c, �e $M<\infty$. 
We�my ci�g $\{\alpha_n\}_{n\in\N}\subseteq I$ taki, �e 
$
\lim_{n\to\infty} \int\limits_\Omega f_{\alpha_n} \mathrm{d} \mu = \sup_\alpha \int\limits_\Omega f_\alpha \, \mathrm d \mu = M .
$
Korzystaj�c z monotoniczno�ci  sieci $\{f_{\alpha}\}_{\alpha\in I}$ oraz monotoniczno�ci ca�ki 
mo�emy  za�o�y�, �e ci�g funkcji $\{f_{\alpha_n}\}_{n\in \N}$ jest monotoniczny. Zatem z klasycznego Twierdzenia Leviego o zbie�no�ci monotonicznej
otrzymujemy
\begin{equation}\label{eq:sup_f}
\int\limits_\Omega \lim_{n\to\infty} f_{\alpha_n}\, \mathrm{d} \mu= \lim_{n\to\infty} \int\limits_\Omega f_{\alpha_n}\, \mathrm{d} \mu= M .
\end{equation}
Czyli dow�d b�dzie zako�czony je�eli poka�emy, �e $\lim_{n\to\infty} f_{\alpha_n}= f $ prawie wsz�dzie. 
Nier�wno�� $\lim_{n\to\infty} f_{\alpha_n} \leq f$ prawie wsz�dzie jest jasna, bo dla ka�dego $n\in\N$ mamy $f_{\alpha_n}\leq f$ prawie wsz�dzie.
 �eby wykaza� nier�wno�� przeciwn� wystarczy pokaza�, �e dla dowolnego $\alpha\in I$ zachodzi $f_\alpha\leq \lim_{n\to\infty} f_{\alpha_n}$ prawie wsz�dzie. Za��my nie wprost, �e istnieje takie $\alpha_0\in I$ takie, �e zbi�r $A:=\{\omega\in\Omega: \lim_{n\to\infty} f_{\alpha_n}<f_{\alpha_0}   \}$ ma niezerow� miar�. Wtedy
 $$
\varepsilon:=\int_A (f_{\alpha_0}- \lim_{n\to\infty} f_{\alpha_n}) \, d\mu >0.
$$
Ponadto, skoro $\int_A f_{\alpha_0} \mathrm d \mu , \int_A \lim_{n\to\infty} f_{\alpha_n}\leq M<\infty$, to 
$$
\varepsilon=\int_A f_{\alpha_0} \mathrm d \mu - \int_A \lim_{n\to\infty} f_{\alpha_n}.
$$
Niech  $N\in\N$ takie, �e $\int_\Omega f_{\alpha_N} \mathrm d \mu >M-\varepsilon$ i niech $\beta\in I$ takie, �e  $\alpha_N,\alpha_0\leq \beta$. Wtedy
\begin{align*}
M-\varepsilon <& \int_\Omega f_{\alpha_N} \mathrm d \mu = \int_A f_{\alpha_N} \mathrm d \mu + \int_{\Omega\setminus A} f_{\alpha_N} \mathrm d \mu 
\\
\leq & \int_A \lim_{n\to \infty} f_{\alpha_n} \mathrm d \mu + \int_{\Omega\setminus A} f_{\alpha_N} \mathrm d \mu 
\\
 <& \int_A f_{\alpha_0} \mathrm d \mu + \int_{\Omega\setminus A} f_{\alpha_N} \mathrm d \mu - \varepsilon \\
 \leq& \int_A f_\beta \mathrm d \mu + \int_{\Omega\setminus A} f_\beta \mathrm d \mu - \varepsilon \\
=& \int_\Omega f_\beta \mathrm d \mu - \varepsilon \leq M-\varepsilon,
\end{align*}
co prawdzi do sprzeczno�ci $M-\varepsilon < M-\varepsilon$. Zatem $\lim_{n\to\infty} f_{\alpha_n}= f $ prawie wsz�dzie,  co w po��czeniu z \eqref{eq:sup_f} daje tez�.
\end{proof}


\section{Miary lokalizowalne}

%\begin{dfn}
%Niech $(\Omega,\Sigma,\mu )$ b�dzie przestrzeni� z miar� semi-sko�czon�. Powiemy, �e miara $\mu$ jest
%\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
%\item \emph{lokalizowalna}, je�eli dla ka�dej (niekoniecznie przeliczalnej) rodziny $\mathcal{A}\subset\Sigma$ istnieje zbi�r $B\in\Sigma$ nazywany \emph{supremum} taki, �e
%	\begin{enumerate}
%		\item $\mu(A\setminus B)=0$ dla ka�dego $A\in\mathcal{A}$,
%		\item je�eli $\tilde{B}$ spe�nia $(a)$ to $\mu(B\setminus\tilde{B})=0$.
%	\end{enumerate}
%\item \emph{�ci�le lokalizowalna}, je�eli istnieje (niekoniecznie przeliczalna) rodzina $\{A_j\}_{j\in I}$ zbior�w $0<\mu(A_j)<\infty$ taka, �e
%	\begin{enumerate}
%		\item $\Omega\setminus \bigcup\limits_{j\in I}A_j \subset N$, gdzie $N$ jest zbiorem miary zero,
%		\item je�eli $B\in\Sigma$, $\mu(B)<\infty$ to rodzina indeks�w $\{j\in I:\mu(A_j\cap B)>0\}$ jest co najwy�ej przeliczalna.
%	\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%\end{dfn}
\begin{dfn}\label{dfn:strict_local}
Niech $(\Omega,\Sigma,\mu)$ b�dzie przestrzeni� z miar�. Powiemy, �e miara $\mu$ jest \emph{�ci�le lokalizowalna} lub \emph{rozk�adalna} je�eli $\Omega = \bigsqcup_{i\in I}\Omega_i$ dla pewnej rodziny $\{\Omega_i\}_{i\in I}\subseteq \Sigma$ takiej, �e 
\begin{enumerate}[label=\arabic*)]
\item \label{item:strict_local1} dla ka�dego $i\in I$ $$\mu(\Omega_i)<\infty, $$
\item \label{item:strict_local2} dla dowolnego $A\in\Sigma$ $$ \mu(A)=\sum_{i\in I}\mu(A\cap \Omega_i),$$
\item \label{item:strict_local3} $\Sigma=\{A\subseteq \Omega : \,\, A\cap\Omega_i\in\Sigma  \text{ dla ka�dego } i\in I  \}.$

\end{enumerate}
\end{dfn}
Bior�c za $I:=\mathbb{N}$ mo�emy zauwa�y�, �e warunki $1), 2)$ s� spe�nione automatycznie. Zatem miara $\sigma$-sko�czona jest �ci�le lokalizowalna (bo  $\Omega =\bigsqcup\limits_{i=1}^\infty \Omega_i$).


Nast�puj�ce stwierdzenie poka�e nam, czemu miar� z poprzedniej definicji mo�emy nazywa� \emph{rozk�adaln�}.
\begin{prop}
Miara $\mu$ jest rozk�adalna wtedy i tylko wtedy gdy miara $\mu$ jest sum� prost� miar sko�czonych.
\end{prop}
\begin{proof}
Za�o�my, �e miara $\mu$ jest rozk�adalna i niech $\{\Omega_i\}_{i\in I}\subseteq \Sigma$ b�dzie rodzin� spe�aniaj�c� warunki 
opisane w  Definicji \ref{dfn:strict_local}.  Dla ka�dego $i\in I$ rodzina  $\Sigma_{i}:=\{A\in \Sigma: A\subseteq \Omega_i\}$
jest $\sigma$-algber� podzbior�w $\Omega_i$ oraz   $\mu_i:=\mu|_{\Sigma_{i}}$ jest sko�czon� miar� na $\Sigma_i$. 
W ten spos�b otrzymujemy rodzin� $\{(\Omega_{i},\Sigma_{i},\mu_i)\}_{i\in I}$ przestrzeni z miarami sko�czononymi takimi, �e 
\begin{equation}\label{eq:direct_sum_of_measures}
\Omega=\bigsqcup_{i\in I} \Omega_i, \quad \Sigma=\{\bigsqcup_{i\in I} A_i : \,\, A_i\in \Sigma_i, i\in I  \}, \quad \mu(A)=\sum_{i\in I}\mu_i(A\cap\Omega_i),
\end{equation}
 $A\in \Sigma$. Czyli przestrze� $(\Omega,\Sigma,\mu)$ jest sum� prost� przestrzeni $\{(\Omega_{i},\Sigma_{i},\mu_i)\}_{i\in I}$. 

Na odwr�t, je�eli mamy rodzin�  $\{(\Omega_i,\Sigma_i,\mu_i)\}_{i\in I}$ przestrzeni z miarami sko�czonymi, to ich suma prosta, czyli przestrze� z miar� 
$(\Omega,\Sigma,\mu)$ spe�niaj�ca \ref{eq:direct_sum_of_measures}, jest w oczywisty spos�b miar� �ci�le lokalizowaln�.  
\end{proof}

\begin{rem}\label{cor:decomposable_semifinite}
Zauwa�my r�wnie�, �e dowolna miara $\mu$ �ci�le lokalizowalna jest semi-sko�czona, poniewa� je�eli $0<\mu(A)$ dla pewnego $A\in\Sigma$, to $A\cap \Omega_i\in \Sigma$. Ale $\mu(\Omega_i)<\infty$, wi�c tym bardziej $\mu(A\cap\Omega_i)<\infty$ i w konsekwencji $\mu$ jest semi-sko�czona.
\end{rem}
Poj�cie miary �ci�le lokalizowalnej pozwala nam uog�lni� Twierdzenie \ref{thm:R-N_sigma_finite_general} w zasadzie z tym samym dowodem 
(warunki w  definicji miary �ci�le lokalizowalnej s� dok�adnie takie, �eby dow�d Twierdzenia \ref{thm:R-N_sigma_finite_general} pracowa�).
\begin{thm}[Radona-Nikodyma dla dowolnej miary absolutnie ci�g�ej wzgl�dem miary �ci�le lokalizowalnej]
\label{thm:R-N_decomposable_general}
Niech $\mu,\nu$ b�d� miarami na przestrzeni mierzalnej $(\Omega,\Sigma)$, gdzie $\nu$ jest dowolna, a $\mu$  jest �ci�le lokalizowalna. 
Je�eli $\nu\ll\mu$ to istnieje pochodna Radona-Nikodyma $\frac{d\nu}{d\mu}:\Omega\to\overline{\R}^+$. 

Ponadto, pochodna $\frac{d\nu}{d\mu}$ jest wyznaczona jednoznacznie $\mu$-prawie wsz�dzie i jest $\mu$-prawie wsz�dzie sko�czona
na zbiorach, na kt�rych miara $\nu$ jest  $\sigma$-sko�czona.
\end{thm}

\begin{proof}
Niech $\{\Omega_i\}_{i\in I}\subseteq \Sigma$ b�dzie rodzin� spe�aniaj�c� warunki 
opisane w  Definicji \ref{dfn:strict_local}. Na mocy Twierdzenia \ref{thm:R-N_sigma_finite_general},
 zastosowanego do miar sko�czonych $\nu$ i $\mu$ obci�tych do zbioru $\Omega_i$,
 otrzymujemy funkcje $f_i:\Omega_n\to\overline{\R}^+$ wyznaczone $\mu$-prawie wsz�dzie, dla kt�rych 
$$
\nu(A)=\int\limits_A f_i\, \mathrm{d}\mu,\quad A\in\Sigma,\,\, A\subseteq \Omega_i,\,\, i\in I,
$$
oraz $f_i$ przyjmuje warto�ci sko�czone
na zbiorach, na kt�rych miara $\nu$ jest  $\sigma$-sko�czona.
K�ad�c $f_0=\sum_{i\in I}^\infty  f_i\cdot \mathbb{1}_{\Omega_i}$ otrzymujemy poprawnie  okre�lon� funkcj� $\Sigma$-mierzaln�,
gdy� na mocy warunku \ref{item:strict_local3} w Definicji \ref{dfn:strict_local} dla ka�dego mierzalnego $A\subseteq \R^+$ dostajemy
$$
f_0^{-1}(A)=\bigsqcup_{i\in I} f^{-1}_{i}(A)\cap \Omega_i \in \Sigma.
$$
Funkcja $f_0$ jest $\mu$-prawie wsz�dzie sko�czona
na zbiorach, na kt�rych miara $\nu$ jest  $\sigma$-sko�czona (bo ka�de  z obci�c� $f_i=f_0|_{\Omega_i}$ ma t� w�asno��).
Rozwa�my sie� sum cz�ciowych $\sum_{i\in F} f_i\cdot \mathbb{1}_{\Omega_i}=f_0|_{\bigsqcup_{i\in F}\Omega_i}$ poindeksowanych sko�czonymi podzbiorami
$F\subseteq I$ skierowanych za pomoc� relacji inkluzji. Jasne jest, �e $f_0$ jest mierzalnym supremum $\sup_F \sum_{i\in F} f_i\cdot \mathbb{1}_{\Omega_i}$ tej sieci i �e sie� ta jest monotoniczna. Zatem mo�emy zastosowa� Twierdzenie \ref{thm:net_integral} do funkcji obi�tych do dowolnego $A\in\Sigma$. Wtedy 
stosuj�c r�wnie� warunek \ref{item:strict_local2} z Definicji \ref{dfn:strict_local}, mamy 
 %Korzystaj�c z Lematu \ref{lem:integrals_and_series} i z definicji funkcji $f_0$  otrzymujemy
\begin{align*}
\nu(A) &= \sum\limits_{i\in I}\nu(A\cap\Omega_i)
 =\sum\limits_{i\in I}\int\limits_{A\cap\Omega_i}f_i\mathrm{d}\mu= \sup_F \sum\limits_{i\in F} \int\limits_{A\cap\Omega_i}f_i\mathrm{d}\mu
\\
&=\sup_F  \int\limits_{A} \sum\limits_{i\in F} f_i\cdot \mathbb{1}_{\Omega_i}\, \mathrm{d}\mu
=  \int\limits_{A} \sup_F \sum\limits_{i\in F} f_i\cdot \mathbb{1}_{\Omega_i}\, \mathrm{d}\mu  
=\int\limits_A\left (\sum\limits_{i\in I} f_i\mathbb{1}_{\Omega_i}\right )\mathrm{d}\mu
\\
&=\int\limits_A f_0\,\mathrm{d}\mu.
\end{align*}
Zatem $f_0$ jest szukan� pochodn� Radona-Nikodyma. Funkcja ta jest wyznaczona $\mu$-jednoznacznie na ka�dym ze zbior�w $\Omega_i$, a wi�c i na ca�ej przestrzeni $\Omega$ (znowu na mocy warunku \ref{item:strict_local2} w Definicji \ref{dfn:strict_local}).
\end{proof}


\begin{dfn}
Powiemy, �e miara $\mu$ jest \emph{lokalizowalna}, je�eli $\mu$ jest semi-sko�czona i dla dowolnej rodziny $\A\subseteq \Sigma$ istnieje supremum mierzalne  $\sup \A=:A_0\in\Sigma$ (patrz Definicja \ref{dfn:measure_supremum}). 
\end{dfn}


\begin{lem}\label{lem:localizable_suprema_from_finite}
Semi-sko�czona miara  $\mu$ jest lokalizowalna (ka�da rodzina podzbior�w mierzalnych posiada mierzalne supremum istotne) wtedy i tylko wtedy, gdy 
ka�da rodzina rodzina zbior�w o mierze sko�czonej posiada mierzalne supremum.
\end{lem}
\begin{proof} Niech $\FF_\mu:=\{B\in\Sigma:\mu(B)<\infty\}$ rodzina zbior�w o mierze sko�czonej. Za��my, �e ka�da rodzina zbior�w z $\FF_\mu$ posiada mierzalne supremum istotne.
Niech $\A\subseteq \Sigma$ dowolna rodzina i niech 
$$
\A_0:=\{B\in \FF_\mu: B\subseteq A \text{ dla pewnego }A\in \A\}
$$
Na mocy za�o�enia $\sup \A_0$ istnieje. Poka�emy, �e $\sup \A_0=\sup \A$.

Niech $A\in \A$. Gdyby $\mu(A\setminus \sup \A_0)>0$, to z semi-sko�czono�ci $\mu$, istnia�by $B\in \FF_\mu$ taki, �e 
$B\subseteq A\setminus \sup \A_0$ oraz $0<\mu(B)<\infty$. Ale wtedy $B\in \A_0$ i $\mu(B\setminus  \sup \A_0)=\mu(B)>0$, co 
jest sprzeczne z definicj�  $\sup \A_0$. Zatem $\mu(A\setminus \sup \A_0)=0$.
Co wi�cej, je�li jaki� inny zbi�r $A_0$ ma t� w�asno��, �e $\mu(A\setminus A_0)=0$ dla ka�dego $A\in \A$, to tym bardziej 
$\mu(B\setminus A_0)=0$ dla ka�dego $B\in \A_0$, sk�d 
$\mu(\sup \A_0\setminus A_0)=0$. Czyli $\sup \A_0=\sup \A$.
\end{proof}

\begin{thm}
Miara �ci�le lokalizowalna jest lokalizowalna.
\end{thm}

\begin{proof}
Niech $(\Omega,\Sigma,\mu)$ b�dzie przestrzeni� z miar� �ci�le lokalizowaln�, niech  $\A\subseteq\Sigma$ dowoln� rodzin� zbior�w mierzalnych i  niech $\{\Omega_i\}_{i\in I}$ b�dzie rodzin� opisan� w definicji miary �ci�le lokalizowalnej ( Definicja \ref{dfn:strict_local}). Oznaczmy poprzez $\FF$ rodzin� mierzalnych zbior�w $E\subseteq\Omega$ takich, �e $\mu(F\cap A)=0$ dla ka�dego $A\in\A$. Zauwa�my, �e zbi�r pusty nale�y do $\FF$ i je�eli $\{F_n\}_{n\in\N}$ jest ci�giem w $\FF$ to $\bigcup_{n\in\N} F_n\in\FF$. Dla ka�dego $i\in I$ zdefiniujmy $\gamma_i:=\sup\{\mu(F\cap\Omega_i):F\in\FF \}$ i we�my ci�g $\{F_{in}\}_{n\in\N}\subseteq \FF$ realizuj�cy to supremum, tzn $\lim_{n\to\infty} \mu(F_{in}\cap \Omega_i)=\gamma_i$.  Zauwa�my, �e $F_i:=\bigcup_{n\in\N} F_{in}\in\FF$ i  skoro $\Sigma=\{A\subseteq\Omega:A\cap \Omega_i \text{ dla ka�dego }i\in I\} $ to 
$$
 F:=\bigcup_{i\in I} F_i\cap\Omega_i\subseteq \Omega. 
$$
 Po��my $S:=\Omega\setminus F$ i musimy teraz pokaza�, �e ten zbi�r jest mierzalnym supremum rodziny $\A$. Jako, �e $\{\Omega_i\}_{i\in I}$ s� roz��czne to dla ka�dego $i\in I$ zachodzi $F\cap \Omega_i=F_i\cap\Omega_i$. Zatem $F\in\Sigma$ i $S\in\Sigma$.  Dla dowolnego $A\in\A$ zachodzi 
$$
\mu(A\setminus S) = \mu(A\setminus(\Omega\setminus F))=\mu(A\cap F)=\sum_{i\in I} \mu(A\cap F\cap \Omega_i)=\sum_{i\in I} \mu(A\cap F_i\cap \Omega_i)=0,
$$
poniewa� $F_i\in\FF$ i w szczeg�lno�ci $F\in\FF$. Za��my teraz, �e $P\in\Sigma$ jest drugim zbiorem takim, �e $\mu(A\setminus P)=0$ dla ka�dego $A\in \A$. Wtedy $D:=\Omega\setminus P\in\FF$ (bo $\mu(A\cap D)=\mu(A\setminus P)=0$) i   st�d $F\cup D\in\FF$. W zwi�zku z tym  dla ka�dego $i\in I$ mamy 
$$ 
\mu((F\cup D)\cap \Omega_i)\leq \sup_{E\in\FF} \mu(E\cap \Omega_i) = \mu(F_i\cap \Omega_i)=\mu(F\cap\Omega_i),
$$
czyli $\mu((F\cup D)\cap\Omega_i)=\mu(F\cap\Omega_i)$. Mo�emy teraz wzi��
$$
\mu(F\cap\Omega_i)+\mu(D\setminus F\cap\Omega_i)=\mu((F\cup D)\cap\Omega_i)=\mu(F\cap\Omega_i),
$$
i skoro $\mu(\Omega_i)<\infty $, to  po zredukowaniu da nam $\mu(D\setminus F\cap \Omega_i)=0$. Teraz ��cz�c to  z definicj� �cis�ej lokalizowalno�ci  $\mu(D\setminus F)=\sum_{i\in I}\mu(D\setminus F\cap \Omega_i)=0$. St�d 
$$
\mu(S\setminus P)=\mu(S\cap(\Omega\setminus P))=\mu(S\cap D)=\mu((\Omega\setminus F)\cap D)=\mu(D\setminus F)=0,
$$
czyli faktycznie istnieje $S$ b�d�ce mierzalnym supremum  rodziny  $\A$. Zatem z dowolno�ci $\A\subseteq\Sigma$ i z Uwagi \ref{cor:decomposable_semifinite} otrzymujemy, �e miara $\mu$ jest lokalizowalna.

\end{proof}







\section{Twierdzenie Segala i jego uog�lnienie}




 Niech $\nu,\mu$ miary  na przestrzeni mierzalnej $(\Omega,\Sigma)$.
Przypomnijmy, patrz Wniosek \ref{cor:mu-semi-finite},  �e $\nu$ jest  \emph{$\mu$-semi-sko�czona}, je�eli  dla  dowolnego $B\in\Sigma$ zachodzi
\begin{align*}
\nu(A)&=\sup\{ \nu(B):B\subseteq A, \mu(B)< \infty \}.
\end{align*}
Czyli gdy $\mu$ i $\nu$ s� zdeterminowane przez swoje warto�ci na pier�cieniu 
$\FF_\mu:=\{B\in\Sigma:\mu(B)<\infty\}$ zbior�w o $\mu$-miary sko�czonej.
 W tej  definicji zamiast pier�cienia $\FF_\mu$  mo�na wzi�� $\sigma$-pier�cie� $
\Sigma_{\mu}=\{\bigcup_{n=1}^\infty A_n: \mu(A_n)<\infty , n\in \N\}$ zbior�w  o $\mu$-mierze $\sigma$-sko�czonej. Otrzymane warunki by�yby 
r�wnowa�ne, gdy� dla kazdej miary $\nu$ i zbioru $A\in \Sigma$  mamy
\begin{align*}
\sup\{ \nu(B):B\subseteq A,\mu(B)< \infty \}=\sup\{ \nu(B):B\subseteq A,B\in\Sigma_{\mu} \}.
\end{align*}
Nier�wno�� $\leq$ jest oczywista. Natomiast nier�wno�� przeciwna wynika st�d, �e
dla dowolnego $B\in\Sigma_{\mu}$ mamy $B=\bigcup_{n=1}^\infty A_n$ oraz $\nu(B)=\lim_{N\to\infty} \nu(\bigcup_{n=1}^N A_n)$ gdzie $\mu(\bigcup_{n=1}^N A_n)<\infty$. 
W szczeg�lno�ci $\sup\{ \nu(C):C\subseteq B,\mu(C)< \infty \}$.


Segal rozpatrywa� nieco mocniejszy warunek (gdy� dla niego miary z definicji by�y okre�lone na tym samym pier�cieniu zbior�w o mierze sko�czonej), kt�ry mo�na wys�owi� jak nast�puje.
\begin{dfn}[Segal]\label{defn:wspolnie_semi_skonczone}
 Powiemy, �e $\nu,\mu$ miary  na przestrzeni mierzalnej $(\Omega,\Sigma)$ 
s�  \emph{wsp�lnie semi-sko�czone}, je�eli  dla pier�cienia 
$$\FF_{\mu,\nu}:=\{A\in \Sigma: \mu(A)<\infty, \,\, \nu(A)<\infty\}$$zbior�w dla kt�rych obie miary s� sko�czone, oraz  dowolnego $A\in\Sigma$ zachodzi
\begin{align*}
\nu(A)&=\sup\{ \nu(B):B\subseteq A, B\in \FF_{\mu,\nu} \},
\\
\mu(A)&=\sup\{ \mu(B):B\subseteq A, B\in \FF_{\mu,\nu}\}.
\end{align*}
\end{dfn}
%\begin{lem}
%Miary $\nu,\mu$ s�  wsp�lnie semi-sko�czone wtedy i tylko wtedy, gdy $\nu$ jest $\mu$-semi-sko�czona oraz 
%a $\mu$ jest $\nu$-semi-sko�czona.
%\end{lem}
%\begin{proof} \end{proof}
Jasne jest, �e je�eli miary $\nu,\mu$ s�  wsp�lnie semi-sko�czone to $\nu$ jest $\mu$-semi-sko�czona oraz 
 $\mu$ jest $\nu$-semi-sko�czona. Czy zachodzi implikacje przeciwna?
\begin{exm}
Rozwa�my na przestrzeni mierzalnej $(\Omega, 2^\Omega)$ miar� licz�c� $\mu$ i miar� trywialn� $\nu$ tak�, �e $\nu(A)=\infty$ dla $A\neq \emptyset$.
Wtedy $\FF_\mu$ sk�ada si� ze zbior�w sko�czonych, matomiast $\FF_{\mu,\nu}=\{\emptyset\}$. W szczeg�lno�ci 
$\nu$ jest $\mu$-semi-sko�czone, ale $\nu$ i $\mu$ nie s� wsp�lnie semi-sko�czone (bo $\mu$ nie jest $\nu$-semi-sko�czona). Zauwa�my, �e $\nu\ll \mu$.
\end{exm}
Powy�szy przyk�ad pokazuje, �e  wsp�lna semi-sko�czono�� jest istotnie silniejszym za�o�eniem ni� $\mu$-semi-sko�czono��. 
W szczeg�lno�ci nast�puj�ce Twierdzenie jest silniejsze ni� Twierdzenie Segala, bo zachodzi przy s�abszych za�o�eniach:
\begin{thm}[Uog�lnione Twierdzenie Radona-Nikodyma-Segala]\label{thm:Stepkowski}
Dla dowolnej przestrzeni z miar� $(\Omega, \Sigma, \mu)$, w kt�rej ka�da rodzina posiada supremum mierzalne, oraz dla dowolnej
 miary $\nu$ na $(\Omega, \Sigma)$ absolutnie ci�g�ej i  $\mu$-semi-sko�czonej  istnieje pochodna Radon-Nikodyma  $\frac{d\nu}{d\mu}:\Omega\to\overline{\R}^+$.

Je�li dodatkowo  $\mu$ jest semi-sko�czona (czyli lokalizowalna), to pochodna Radona-Nikodyma $\frac{d\nu}{d\mu}$ jest wyznaczona jednoznacznie $\mu$-prawie wsz�dzie.
\end{thm}
\begin{proof}
Niech $\FF:=\{A\in \Sigma: \mu(A)<\infty\}$.   
Na mocy Wniosku \ref{cor:localizable_quasi_function}
quasi-funkcja $\{f_A\}_{A\in\FF}$ z Twierdzenia \ref{thm:quasi_function_RN} pochodzi od funkcji mierzalnej $f_0:\Omega\to\overline{\R}^+$.
Dok�adniej $\nu(B)=\int_{\Omega}f_B\, d\mu =\int_{B} f_0\, d\mu$ dla $B\in \FF$ oraz $f_0=\sup_{B\in \FF} f_B$. %$\mu$-prawe wsz�dzie 
Zauwa�my, �e dla dowolnego $A\in \Sigma$ mamy 
$$
f_0 \mathbb{1}_A=\sup_{B\in \FF} (f_B \mathbb{1}_A)= \sup_{B\in \FF, B\subseteq A} f_B. 
$$
Ponadto rodzina $\{f_B\}_{ B\in \FF, B\subseteq A}$ jest monotoniczn� sieci� funkcji mierzalnych. 
Zatem z Twierdzenia \ref{thm:net_integral} (o zbie�no�ci monotonicznej) wynika, �e
$$
\int_A f_0\mathrm d \mu=\int_\Omega f_0 \mathbb{1}_A\mathrm d \mu = \sup_{B\in \FF, B\subseteq A} \int_\Omega f_B \, d\mu.
$$
Skoro $\nu$ jest $\mu$-semi-sko�czone oraz $\Sigma_0\subseteq \FF$, to 
\begin{align*}
\nu(A)=&\sup_{B\in \FF, B\subseteq A} \nu(B)=\sup_{B\in \FF, B\subseteq A} \int_{\Omega} f_B\, \mathrm d \mu = \int_A f_0\mathrm d \mu. 
\end{align*}
Zatem $f_0=\frac{d\nu}{d\mu}$ jest szukan� pochodn� Radona-Nikodyma.


�eby wykaza� jednoznaczno��, niech $\tilde f_0$ b�dzie inn� pochodn� Radona-Nikodyma $\nu$ wzgl�dem $\mu$. 
Z jednoznaczno�ci quasi-funkcji $\{f_A\}_{A\in\FF}$ mamy $\tilde{f}_0\cdot \mathbb{1}_A =f_A=f_0 \cdot \mathbb{1}_A $ $\mu$-prawie wsz�dzie dla ka�dego $A\in\FF$.
Zatem ka�dy zbi�r  $A\subseteq \{\omega : f_0 \neq \tilde{f}_0\}$ o $\mu$-mierze sko�czonej musi mie� miar� zerow�. 
St�d i na mocy semi-sko�czono�ci $\mu$ mamy
$$
\mu( \{\omega : f_0 \neq \tilde{f}_0\})=\sup\{ \mu(A): A\subseteq \{\omega : f_0 \neq \tilde{f}_0\}, A\in \FF\}=0.
$$
Zatem $f_0 = \tilde{f}_0$ $\mu$-prawie wsz�dzie.
\end{proof}

Ograniczaj�c si� do miar semi-sko�czonych powy�sze twierdzenie pozwala ulepszy� Twierdzenie Segala w nast�puj�cy spos�b.


\begin{thm}[Twierdzenie Radona-Nikodyma-Segala]\label{thm:Twierdzenie Radona-Nikodyma-Segala}
Dla semi-sko�czonej miary $\mu$ na przestrzeni mierzalnej $(\Omega, \Sigma)$ nast�puj�ce warunki s� r�wnowa�ne:
\begin{enumerate}[1)]
\item\label{enu:Segal1} $\mu$ jest miar� lokalizowaln�,

\item\label{enu:Segal2} dla dowolnej  miary $\nu$ na $(\Omega, \Sigma)$ absolutnie ci�g�ej i  $\mu$-semi-sko�czonej  istnieje pochodna Radon-Nikodyma  $\frac{d\nu}{d\mu}:\Omega\to\overline{\R}^+$.

\item\label{enu:Segal3} dla dowolnej  miary $\nu$ na $(\Omega, \Sigma)$ absolutnie ci�g�ej i wsp�lnie semi-sko�czonej z $\mu$ istnieje pochodna Radon-Nikodyma  $\frac{d\nu}{d\mu}:\Omega\to\overline{\R}^+$.
\end{enumerate}
Ponadto pochodna Radona-Nikodyma w \ref{enu:Segal2} i \ref{enu:Segal3} jest wyznaczona jednoznacznie $\mu$-prawie wsz�dzie.

%Niech $\mu$ i $\nu$ b�d� miarami wsp�lnie semi-sko�czonymi na przestrzeni mierzalnej $(\Omega, \Sigma)$. Je�eli $\nu\ll\mu$ i $\mu$ jest miar� lokalizowaln� to istnieje
% pochodna Radona-Nikodyma $\frac{d\nu}{d\mu}:\Omega\to\overline{\R}^+$ i jest ona wyznaczona jednoznacznie $\mu$-prawie wsz�dzie.
\end{thm}
\begin{proof} Implikacja \ref{enu:Segal1}$\Rightarrow$\ref{enu:Segal2} wynika z Twierdzenia \ref{thm:Stepkowski}, a implikacja 
\ref{enu:Segal2}$\Rightarrow$\ref{enu:Segal3} jest oczywista.
 

\ref{enu:Segal3}$\Rightarrow$\ref{enu:Segal1}. Na mocy Lematu \ref{lem:localizable_suprema_from_finite} wystarczy pokaza�, �e 
 dowolna rodzina zbior�w $\A\subseteq \FF_\mu:=\{A\in \Sigma:\mu(A)<\infty\}$ posiada mierzalne supremum istotne w $\Sigma$. W �wietle Lematu \ref{lem:essential_suprema_for_rings} 
mo�emy za�o�y�, �e rodzina $\A$ jest zamkni�ta na sko�czone sumy i podzbiory.
Wtedy korzystaj�c ze Stwierdzenia  \ref{prop:measures_from_hereditary_rings} widzimy, �e wz�r 
$$
\nu(A):=\sup\{ \mu(B):B\subseteq A,\,  B\in\A \}
$$
definiuje miar� na $(\Omega,\Sigma)$. Z konstrukcji widzimy, �e $\nu\leq \mu$ oraz $\A\subseteq \FF_{\mu,\nu}=\FF_{\mu}\subseteq \FF_{\nu}$. 
St�d $\mu$ i $\nu$ s�   wsp�lnie semi-sko�czone. 
Zatem na mocy za�o�enia istnieje pochodna  Radona-Nikodyma $f_0=\frac{d\nu}{d\mu}$. 
Poka�emy, �e zbi�r
$$
A_0:=\{\omega: f(\omega) >0 \}
$$
jest mierzalnym supremum $\A$. Rzeczywi�cie, niech $B\in\A$.
Gdyby $\mu(B\setminus A_0)>0$, to st�d, �e $B\setminus A_0\in \A$ i definicji $\nu$ mieliby�my
$\nu(B\setminus A_0)>0$, co prowadzi do sprzeczno�ci
$$
0<\nu(B\setminus A_0)=\int_{B\setminus A_0} f_0 \,d\mu =\int_{B\setminus A_0} 0 \,d\mu=0.
$$
Zatem $\mu(B\setminus A_0)=0$ dla ka�dego $A\in \A$. Ponadto je�li $B_0\in \Sigma$ jest innym zbiorem 
o tej w�asno�ci, to musimy mie� $\mu(A_0\setminus B_0)=0$, bo dla ka�dego $B\subseteq A_0\setminus B_0$, $B\in \A$ mamy
$\mu(B)=\mu(B\setminus B_0)=0$, sk�d 
$$
\int_{A_0\setminus B_0} f_0 \,d\mu=\nu(A_0\setminus B_0)= \sup\{ \mu(B):B\subseteq  A_0\setminus B_0,\,  B\in\A \}=0.
$$
Ale skoro $f_0>0$ na $A_0\setminus B_0$ to jest to mo�liwe jedynie, gdy $\mu(A_0\setminus B_0)=0$.
Zatem  
$
A_0=\sup \A.
$
\end{proof}
\section{Twierdzenie Lewin�w}
W tym podrozdziale om�wimy  wersj� Twierdzenia Radona-Nikodyma z pracy Lewin�w \cite{lewin}, kt�rzy zauwa�yli, �e w przypadku, gdy miara dominowana $\nu$ jest sko�czona, to 
pochodna Radona-Nikodyma istenieje wtedy i tylko wtedy, gdy spe�niony jest nast�puj�cy warunek, kt�ry jest bardzo bliski naszej definicji semi-sko�czono�ci jednej miary wzgl�dem drugiej,
patrz Definicja \ref{defn:semi-finite_relative}.


\begin{dfn}[\cite{lewin}]\label{defn:compatible_measures}
Niech $\mu$ i $\nu$ b�d� miarami na przestrzeni mierzalnej $(\Omega,\Sigma)$. Powiemy, �e  $\nu$ jest \emph{kompatybilna} z $\mu$, je�eli dla ka�dego $A\in\Sigma$ 
$$
0<\nu(A)<\infty \,\, \Longrightarrow \,\, 0<\nu(B)\text{  oraz }\mu(B)<\infty \text{ dla pewnego }B\subseteq A.
$$ 
\end{dfn}
\begin{cor}\label{rem:compatible_vs_semifinite}
 Jedyna r�nica mi�dzy  $\mu$-semi-sko�czono�ci�, a kompatybilno�ci� z $\mu$,  jest to �e w tym pierwszym przypadku w poprzedniku implikacji zak�adamy 
jedynie, �e $0<\nu(A)$ (dopuszczamy przypadek, gdy $\nu(A)=\infty$). Zatem 
$$
\nu  \text{ jest $\mu$-semi-sko�czona } \Longrightarrow \nu \text{ jest kompatybilna z }\mu.
$$
Oczywi�cie oba poj�cia s� rownowa�ne, je�li miara $\nu$ jest sko�czona, a nawet og�lniej je�li miara $\nu$ jest semi-sko�czona. 
Rzeczywi�cie, je�li $\nu$ jest semi-sko�czona oraz kompatybilna z $\mu$, to dla dowolnego $A\in \Sigma$ mamy
\begin{align*}
0<\nu(A) \,\, &\Longrightarrow 0<\nu(B)<\infty  \text{ dla pewnego } B\subseteq A 
\\
 &\Longrightarrow 0<\nu(C)\text{  oraz }\mu(C)<\infty \text{ dla pewnego }C\subseteq B\subseteq A.
\end{align*}
Zatem $\nu$ jest $\mu$-semi-sko�czona.
\end{cor}
Kompatybilno�� miar jest o tyle wa�na, �e jest warunkiem koniecznym na to, aby zachodzi�o Twierdzenie Radona-Nikodyma.
\begin{prop}\label{prop:Radon_nikodym_implies_compatible}
Je�li istnieje pochodna Radona-Nikodyma miary $\nu$ wzgl�dem $\mu$, to $\nu$ jest kompatybilna z $\mu$.
\end{prop}
\begin{proof}
Je�li $0<\nu(A)<\infty$, czyli $0<\int_{A} \frac{d\nu}{d\mu} d\mu<\infty $, to istnieje nieujemna mierzalna funkcja prosta  $f=\sum_{i=0}^n a_i \mathbb{1}_{A_i}\leq  \mathbb{1}_A\frac{d\nu}{d\mu} d\mu$ 
taka, �e 
$$0<\int_{\Omega} f d\mu=\sum_{i=0}^n a_i \mu(A_i)< \infty.
$$
Przy czym, mo�emy tu za�o�y�, �e zbiory $A_i\subseteq A$ s� parami roz��czne oraz $a_i >0$. Wtedy dla $B:=\bigsqcup_{i=1}^n A_i$  mamy $B\subseteq A$, 
$
0<\mu(B)< \infty$ oraz 
$$
\nu(B)=\int_{B} \frac{d\nu}{d\mu} d\mu \geq \int_{B} f d\mu= \sum_{i=0}^n a_i \mu(A_i)>0.
$$ 
Zatem $\nu$ jest kompatybilna z $\mu$.
\end{proof}
Najwa�niejszy wynik \cite[Twierdzenie 2.2]{lewin} z pracy Lewin�w \cite{lewin},  kt�rego dow�d jest bardzo prosty,  m�wi, �e je�li miara $\nu$ jest sko�czona, to kompatybilno�� z $\mu$
jest nie tylko warunkiem koniecznym, ale i dostatecznym na istnienie pochodnej Radona-Nikodyma:
\begin{thm}[Twierdzenie Lewin�w]\label{thm:Lewins_thm}
Je�li $\nu$ jest sko�czon� miar� absolutnie ci�g�� wzgl�dem $\mu$ oraz kompatybiln� z $\mu$, to istnieje pochodna Radona-Nikodyma i jest wyznaczona jednoznacznie $\mu$-prawie wsz�dzie. 
\end{thm}  
\begin{proof} Oznaczmy przez $\Sigma_{\mu}:=\{A\in \Sigma: A=\bigcup_{n=1}^\infty A_{n},\,\, \mu(A_n)<\infty\}$ rodzin� zbior�w o  $\mu$-mierze $\sigma$-sko�czonej. 
Po��my
$$ 
\alpha:=\sup\{\nu(A):  A\in \Sigma_{\mu}\}.
$$
Wybierzmy ci�g $\{A_n\}_{n=1}\subseteq \Sigma_{\mu}$ taki, �e $\nu(A_n) \to \alpha$. K�ad�c $A:=\bigcup_{n=1}^\infty A_n$ otrzymujemy zbi�r $A\in \Sigma_\mu$ taki, �e
$\nu(A)=\alpha$. Kompatybilno�� $\nu$ z $\mu$ implikuje, �e $\nu(\Omega\setminus A)=0$. Rzeczywi�cie, w przeciwnym razie istnia�by zbi�r $B\subseteq \Omega\setminus A$ taki, �e 
$\nu(B)>0$ oraz $\mu(B)<\infty$, czyli $A\cup B\in \Sigma_{\mu}$ oraz $\nu(A\cup B)>\nu(A)=\alpha$, co jest sprzeczne z definicj� $\alpha$.

Na zbiorze $A$ miara $\mu$ jest $\sigma$-sko�czona, zatem stosuj�c Twierdzenie Radona-Nikodyma dla miar $\sigma$-sko�czonych (Twierdzenie \ref{thm:R-N_sigma_finite_general})
do miar $\nu$, $\mu$ obci�tych do zbioru $A$ otrzymujemy, �e istnieje dok�adnie jedna (z dok�adno�ci� do r�wno�ci $\mu$-prawie wsz�dzie) funkcja mierzalna $f_0:A\to [0,\infty)$ taka, �e 
$\nu(B)=\int_{B} f_0 \, d\mu$ dla  ka�dego mierzalngo $B\subseteq A$. P��my, $f_0\equiv 0$ na $\Omega\setminus A$. Wtedy $f_0:\Omega\to [0,\infty)$ jest funkcj� mierzaln� oraz dla dowolnego $B\in \Sigma$ mamy
$$
\nu(B)=\nu(B\cap A)= \int_{A\cap B} f_0\, d\mu =\int_{B} f_0\, d\mu.
$$
Zatem $f_0$ jest pochodn� Radona-Nikodyma $\nu$ wzgl�dem $\mu$. Ponadto zauwa�my, �e ka�da pochodna Radona-Nikodyma $\nu$ wzgl�dem $\mu$ musi by� r�wna zero $\mu$-prawie wsz�dzie 
na zbiorze $\Omega\setminus A$, bo 
$\nu(\Omega\setminus A)=0$. Zatem pochodna $\frac{d\mu}{d\nu}$ jest wyznaczona jednocznanie $\mu$-prawie wsz�dzie. 
\end{proof}
Mo�na pokaza�, �e powy�sze twierdzenie nie zachodzi je�eli za�o�enie o sko�czono�ci $\nu$ zast�pimy semi-sko�czono�ci�, a nawet �cis�� lokalizowalno�ci�. W przyk�adzie \cite[Przyk�ad 2]{lewin}
 miara $\nu$ jest  �ci�le lokalizowalna, $\nu\ll\mu$, $\nu$ jest kompatybilne z $\mu$, ale pochodna  Radona-Nikodyma $\frac{d\nu}{d\mu}$ nie istnieje.
 W �wietle Wniosku \ref{rem:compatible_vs_semifinite}
oraz Twierdzenia \ref{thm:Stepkowski} miara $\mu$ w tym przyk�adzie nie jest lokalizowalna.

Teraz przeformu�ujemy i og�lnimy Twierdzenie Lewin�w na przypadek, gdy miara $\nu$ jest $\sigma$-sko�czona.  
Dodamy tu dla porownania nasz warunek $\mu$-semi-sko�czono�ci.
\begin{thm}[Uog�lnione Twierdzenie Radona-Nikodyma-Lewin�w]\label{thm:RN-Lewin_general}
 Niech $\nu$ i $\mu$ b�d� miarami na przestrzeni mierzalnej $(\Omega, \Sigma)$ i niech $\nu$ b�dzie $\sigma$-sko�czona.
Nast�puj�ce warunki s� r�wnowa�ne:
\begin{enumerate}[1)]
\item\label{enu:Lewin1} istnieje pochodna Radona-Nikodyma $\nu$ wzgl�dem $\mu$,

\item\label{enu:Lewin2} $\nu\ll\mu$ oraz $\nu$ jest kompatybilna z $\mu$, czyli dla ka�dego $A\in\Sigma$ 
$$
0<\nu(A)<\infty \,\, \Longrightarrow \,\, 0<\nu(B)\text{  oraz }0<\mu(B)<\infty \text{ dla pewnego }B\subseteq A.
$$ 

\item\label{enu:Lewin3} $\nu\ll\mu$ oraz $\nu$ jest $\mu$-semi-sko�czona, czyli dla ka�dego $A\in\Sigma$ 
$$
0<\nu(A) \,\, \Longrightarrow \,\, 0<\nu(B)\text{  oraz }0<\mu(B)<\infty \text{ dla pewnego }B\subseteq A.
$$ 
\end{enumerate}
Ponadto je�li powy�sze r�wnowa�ne warunki zachodz�, to pochodna Radona-Nikodyma jest wyznaczona jednoznacznie $\mu$-prawie wsz�dzie.
\end{thm}
\begin{proof} Implikacja  \ref{enu:Lewin1}$\Rightarrow$\ref{enu:Lewin2} wynika ze Stwierdzenia \ref{prop:Radon_nikodym_implies_compatible}.
Warunki  \ref{enu:Lewin2} i \ref{enu:Lewin3} s� r�wnowa�ne na mocy za�o�enia, �e $\nu$ jest miar� $\sigma$-sko�czon�, patrz Wniosek \ref{rem:compatible_vs_semifinite}.
Wystarczy zatem pokaza� implikacj� \ref{enu:Lewin3}$\Rightarrow$\ref{enu:Lewin1}.

Za��my zatem \ref{enu:Lewin3}. Jako �e $\nu$ jest $\sigma$-sko�czona, to istnieje przeliczalne rozbicie $\{\Omega_{i}\}_{i=1}^\infty$ przestrzeni $\Omega$ 
na zbiory $\nu$-mierze sko�czonej. Stosuj�c Twierdzenie Lewin�w do miar $\nu$ i $\mu$ obci�tych do zbioru $\Omega_i$ otrzymujemy 
funkcj� mierzaln� $f_i:\Omega_i\to [0,\infty)$ tak�, �e $\nu(A)=\int_{A} f_i \, d\mu$ dla ka�dego mierzalnego $A\subseteq \Omega_i$.
Po��my 
$f(x)=f_i(x)$ je�li $x\in \Omega_i$. Wtedy $f:\Omega\to [0,\infty)$ jest funkcj� mierzaln� i dla dowolnego $A\in \Sigma$ mamy
$A=\bigsqcup_{i=1}^\infty A\cap \Omega_i$, sk�d
$$
\nu(A)=\sum_{i=1}^\infty \nu(A\cap \Omega_i)=\sum_{i=1}^\infty \int_{A\cap \Omega_i} f \, d\mu= \int_{A} f \, d\mu.
$$ 
Zatem $f$ jest pochodn� Radona-Nikodyma miary $\nu$ wzgl�dem $\mu$. Jednoznaczno�� funkcji $f_i$ wynika z Twierdzenia Lewin�w i st�d dostajemy
jednoznaczno�� pochodnej Radona-Nikodyma $f$.
\end{proof}

\chapter{Zastosowania do operator�w w  przestrzeniach Lp}



\section{Warunkowe warto�ci oczekiwane}

Warunkowe warto�ci oczekiwane definiuje si� zazwyczaj dla ca�kowalnych zmiennych losowych na przestrzeni probabilistycznej $(\Omega,\FF, \mu)$. 
Czyli dla element�w $f\in L_1(\mu)$ rzeczywistej przestrzeni $L_1(\mu)$, gdzie $\mu(\Omega)=1$ jest miar� unormowan�, a w szczeg�lno�ci sko�czon�.
Og�lnie  warto�� oczekiwan� (w skr�cie WWO)  wzgl�dem  $\sigma$-podalgebry $\mathcal{G}\subseteq \FF$ definiuje si� aksjomatycznie. Nast�pnie wykazuje si�, 
�e WWO zawsze istnieje i jest wyznaczone jednoznacznie jako element $L_1(\mu)$, patrz np. \cite{biling}. 
Korzystaj�c z Twierdzenie Radona-Nikodyma-Lewin�w  scharakteryzujemy teraz kiedy warunkowa warto�� oczekiwana istnieje dla dowolnych miar.

\begin{dfn}\label{def:general_WWO}
Dla dowolnej przestrzeni z miar� $(\Omega,\FF, \mu)$ oraz dowolnej $\sigma$-algebry $\mathcal{G}\subseteq \FF$\emph{ warunkow� warto�� oczekiwan�} $f$ wzgl�dem $\mathcal{G}$ definiuje si� aksjomatycznie jako 
funkcj�  $E(f)\in L_1(\mu)$ spe�niaj�c� nast�puj�ce warunki: 
\begin{enumerate}
\item[(1)] $E(f)$ jest $\mathcal{G}$-mierzalna,
\item[(2)] Dla ka�dego zbioru $A\in \FF$  mamy $
\int_A E(f) \, d\mu =\int_A f \, d\mu.
$
\end{enumerate}
\end{dfn}
\begin{rem}
Powy�sza definicja jest uog�lnieniem Definicji \ref{dfn:wwo}, por�wnaj Wniosek \ref{cor:wwo}.
\end{rem}

\begin{thm}\label{thm:WWO_existance} Dla dowolnej przestrzeni z miar�  $(\Omega,\FF, \mu)$, dowolnej $\sigma$-algebry $\GG\subseteq \FF$
oraz dowolnej nieujemenej funkcji ca�kowalnej $f\in L_1(\mu)$ rozwa�my miar� 
$$
\nu(A) = \int_{A}f \, d\mu, \qquad A\in \GG,
$$
na $\sigma$-algebrze $\GG$. 
Nast�puj�ce warunki s� r�wnowa�ne
\begin{enumerate}[1)]
\item \label{item:WWO_existance1}  warunkowa warto�� oczekiwana $E(f)$ wzgl�dem $\GG$ istnieje,
\item \label{item:WWO_existance2} miara $
\nu$  jest $\mu|_{\GG}$-semi-sko�czona, 
\item \label{item:WWO_existance3} miara $
\nu$  jest kompatybilna z $\mu|_{\GG}$, 
\item \label{item:WWO_existance4} istnieje pochodna Radona-Nikodyma $\frac{d\nu}{d\mu|_{\GG}}$.
\end{enumerate}
Je�li powy�sze r�wnowa�ne warunki zachodz�, to   $E(f)\stackrel{\mu}{=}\frac{d\nu}{d\mu|_{\GG}}$, w szczeg�lno�ci
funkcja ta jest wyzna\-czona jednoznacznie prawie wsz�dzie. 
\end{thm}
\begin{proof} \ref{item:WWO_existance1}$\Rightarrow$\ref{item:WWO_existance2}. 
 Skoro $E(f)$ jest $\GG$-mierzalna i $\mu|_{\GG}$-prawie wsz�dzie nieujemna, to
istnieje $\GG$-mierzalna funkcja prosta $0\leq s \leq f$ taka, �e $0<\int_{A}s \, d\mu <\infty$.
 Rozpisuj�c $s$ jako kombinacj� liniow� funkcji charakterystycznych zbior�w z $\GG$
wnioskujemy, �e  
istnieje
$B\in \GG$ takie, �e $B\subseteq A$,    $\mu(B)<\infty$ oraz $\nu(B)=\int_{B}f \, d\mu =\int_{B}E(f) \, d\mu \geq \int_{B}s \, d\mu>0$. Zatem $
\nu$  jest $\mu|_{\GG}$-semi-sko�czona. 


\ref{item:WWO_existance2}$\Rightarrow$\ref{item:WWO_existance3}. Ta implikacja jest oczywista.

\ref{item:WWO_existance3}$\Rightarrow$\ref{item:WWO_existance4}. Jasne jest �e $\nu\ll \mu|_{\GG}$ oraz $\nu$ jest sko�czona (bo $f$ jest ca�kowalna).
Zatem pochodna  Radona-Nikodyma $\frac{d\nu}{d\mu|_{\GG}}$ istnieje i jest wyznaczona jednoznacznie na mocy Twierdzenia Lewin�w (Twierdzenie \ref{thm:Lewins_thm}).


\ref{item:WWO_existance4}$\Rightarrow$\ref{item:WWO_existance1}. K�ad�c $E(f):=\frac{d\nu}{d\mu|_{\GG}}$ otrzymujemy funkcj� $\GG$ mierzaln� oraz dla dowolnego $A\in \GG$ mamy
$$
\int_A E(f)\, d\mu = \int_A \frac{d\nu}{d\mu|_{\GG}} \, d\mu = \int_A \frac{d\nu}{d\mu|_{\GG}} \, d\mu|_{\GG} = \int_A d\nu =\nu(A).
$$
Zatem $E(f)$ jest WWO wzgl�dem $\GG$.


Aby wykaza� jednoznaczno�� warunkowej warto�ci oczekiwanej za��my, �e  $\tilde{E}(f)$ jest jakim� wariantem warunkowej warto�ci oczekiwanej.
Wtedy zbi�r $A:=\{t\in \Omega:E(f)(t)< \tilde{E}(f) \}$ nale�y do $\GG$, bo obie funkcje $E(f)(t)$, $\tilde{E}(f)$, s� $\GG$-mierzalne. 
Zatem 
$$
\int_{A}E(f) d\mu=\int_{A} f d\mu=\int_{A}\tilde{E}(f)d\mu.
$$
St�d $
\int_{A}(\tilde{E}(f)-E(f))d\mu=0$.  Ale $\tilde{E}(f)-E(f) > 0$ na $A$.   St�d $\mu(A)=0$, czyli $E(f)(t) \geq \tilde{E}(f)$ $\mu$-prawie wsz�dzie.
Analogicznie, amieniaj�c $E(f)$ i $\tilde{E}(f)$ rolami, mo�na pokaza�, �e $E(f)(t) \leq \tilde{E}(f)$ $\mu$-prawie wsz�dzie. 
Zatem $E(f)(t) = \tilde{E}(f)$ $\mu$-prawie wsz�dzie. 
\end{proof}
Warunkowa warto�� oczekiwana nie zawsze istnieje:
\begin{exm} 
Niech $\mu$ b�dzie  miar� Lebesgue'a na  $(\R,\B(\R))$ i niech  $\GG=\{\emptyset, \R\}$. Zauwa�my, �e $L_1(\mu|_{\GG})=\{0\}$ jest przestrzeni� zerow�, 
bo funkcje $\GG$-mierzalne s� sta�e i jedyn� $\mu$-ca�kowaln� funkcj� sta�� jest funkcja zerowa. 
Zatem je�li $f\in L_1(\mu)$ posiada warunkow� warto�� oczekiwan�, to $E(f)=0$ i st�d $\int_{\R} f \,d\mu=\int_{\R} E(f) \,d\mu=0$.  
Zatem ka�da ca�kowalna nieujemna funkcja $f\in L_1(\mu)$, kt�ra nie jest r�wna zero $\mu$-prawie wsz�dzie nie posiada warunkowej  warto�ci oczekiwanej.   
\end{exm}
Stosuj�c Twierdzenie Radona-Nikodyma dla miar �ci�le lokalizowalnych (Twierdzenie \ref{thm:R-N_decomposable_general})
otrzymujemy nast�puj�cy u�yteczny warunek dostateczny na isteninie warunkowej warto�ci oczekiwanej dla ka�dej funkcji ca�kowalnej.
\begin{thm}\label{thm:WWO_existance_reducible} Niech $(\Omega,\FF, \mu)$ b�dzie dowoln� przestrzeni� z miar�   i niech  $\GG\subseteq \FF$ b�dzie $\sigma$-algebr�
tak�, �e $\mu|_{\GG}$ jest �ci�le lokalizowalna. Wtedy dla ka�dej funkcji 
$f\in L_1(\mu)$ warunkowa warto�� oczekiwana $E(f)$ wzgl�dem $\GG$ istnieje, i jest wyznaczona jednoznacznie $\mu$-prawie wsz�dzie. 

Ponadto warunkowa warto�� oczekiwana $E : L_1(\mu) \rightarrow L_{1}(\mu|_{\GG})\subseteq L_{1}(\mu)$ jest liniowym rzutem na podprzestrze�  ca�kowalnych funkcji $\GG$-mierzalnych oraz
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]

\item\label{enu:properties_of_WWO1} operator $E$ jest dodatni, czyli $f \geq 0$ $\implies$ $E(f) \geq 0$.
\item\label{enu:properties_of_WWO1.5} operator $E$ jest monotoniczny, czyli $f \leq g$ $\implies$ $E(f) \leq E(g)$,
\item \label{enu:properties_of_WWO1.7}   $|E(f)| \leq E(|f|)$ dla dowolnej funkcji $f\in L_1(\mu)$.

\item\label{enu:properties_of_WWO2} $E$ jest kontrakcj�, a dok�adniej $\|E\|=1$. % 
\item\label{enu:properties_of_WWO3} $E$ jest wierny, czyli $f \geq 0$ i $E(f) = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $f=0$.

\end{enumerate}
\end{thm}
\begin{proof}
Za��my najpierw, �e $f\geq 0$ jest nieujemna. Wtedy wz�r $
\nu(A) = \int_{A}f \, d\mu$, $A\in \GG$, definiuje miar� 
na $\sigma$-algebrze $\GG$. Na mocy Twierdzenia  \ref{thm:R-N_decomposable_general} istnieje pochodna Radona-Nikodyma $\frac{d\nu}{d\mu|_{\GG}}$.
Zatem w �wietle Twierdzenia \ref{thm:WWO_existance}, $E(f):=\frac{d\nu}{d\mu|_{\GG}}$ jest WWO $f$ wzgl�dem $\GG$, oraz WWO $E(f)$ jest
wyznaczone jednoznacznie z dok�adno�ci� do zbior�w miary zero.
Je�li $f$ jest dowolna, to $f=f^+-f^-$, gdzie $f^\pm$, $f^-\geq 0$ s� nieujemne i ,,�yj� na roz��cznych zbiorach'', tzn. $f^+\cdot f^-=0$. 
Z poprzedniego kroku wiemy, �e $E(f^+)$ i $E(f^-)$ istniej�. 
K�ad�c $E(f):=E(f^+)-E(f^-)$  otrzymujemy funkcj� $\GG$-mierzaln� i dowolnego $A\in \GG$ mamy
$$
\int_{A}E(f) \, d\mu = \int_{A}E(f^+) \, d\mu - \int_{A}E(f^-) \, d\mu=\int_{A}f^+ \, d\mu - \int_{A}f^- \, d\mu=\int_{A}f \, d\mu.
$$
Czyli $E(f)$ jest WWO $f$ wzgl�dem $\GG$. Jednoznaczno�� $E(f)$ mo�na wykaza� identycznie jak w dowodzie Twierdzenia \ref{thm:WWO_existance}.
W szczeg�lno�ci otrzymujemy st�d dodatnio�� $E$, czyli warunek \ref{enu:properties_of_WWO1}. 

Liniowo�� operatora $E : L_1(\mu) \rightarrow L_{1}(\mu|_{\GG})\subseteq L_{1}(\mu)$ wynika natychmiast z liniowo�ci ca�ki. Mianowicie, 
niech $f, g \in  L_{1}(\mu)$ i $\alpha, \beta \in \R$. Wtedy  $\alpha E(f) +\beta E(g)$ jest funkcj� $\GG$-mierzaln�  jako kombinacja
liniowa funkcji $\GG$-mierzalnych.  Ponadto, dla dowolnego $A\in \GG$ mamy
\begin{align*}
\int_{A}\alpha E(f) +\beta E(g)\, d\mu&=\alpha \int_{A} E(f)\, d\mu +\beta \int_{A} E(g)\, d\mu
\\
&=\alpha \int_{A}f\, d\mu +\beta \int_{A}g\, d\mu
\\
&=\int_{A}\alpha  f +\beta g\, d\mu.
\end{align*}
Zatem $\alpha E(f) +\beta E(g)$ jest WWO dla $\alpha  g +\beta f$.
Czyli  $\alpha E(f) +\beta E(g)=E(\alpha  f +\beta g)$. To dowodzi liniowo�ci $E$. 

Je�li $f\in L_1(\mu|_{\GG})$, to $f$ jest $\GG$-mierzalna i wtedy $E(f)=f$. 
Zatem $E$ jest identyczno�ci� na swoim obrazie $L_1(\mu|_{\GG})$, czyli jest rzutem na $L_1(\mu|_{\GG})$.

\ref{enu:properties_of_WWO1}.  Je�li $f \geq 0$, to dla ka�dego $A\in \GG$ ca�ka $\int_{A} E(f)\, d\mu= \int_{A} f\, d\mu\geq 0$ jest nieujemna, i
 skoro $E(f)$ jest $\GG$-mierzalna, to  $E(f)$ jest nieujemna $\mu$-prawie wsz�dzie.  Czyli $E(f)\geq 0$ w $L_1(\mu)$. 

\ref{enu:properties_of_WWO1.5}. Je�li $f \leq g$, to $ g-f\geq 0$, a st�d $E(g-f)\geq 0$, na mocy  \ref{enu:properties_of_WWO1}.
Zatem $E(f) \leq E(g)$,  bo $E$ jest operatorem liniowym. 


\ref{enu:properties_of_WWO1.7}.
Z monotoniczno�ci $E$ oraz relacji
$-|f| \leq f \leq |f|$ otrzymujemy $-E(|f|) \leq E(f) \leq E(|f|)$, co oznacza, �e 
$|E(f)|\leq E(|f|)$.
 
\ref{enu:properties_of_WWO2}.   
Korzystaj�c nier�wno�ci $|E(f)|\leq E(|f|)$, monotoniczno�ci ca�ki oraz st�d, �e $\Omega \in \GG$  mamy
\begin{align*}
\| E (f) \|_{1}=\int_{\Omega}\left|E(f )\right|\, d\mu \leq \int_{\Omega}E(|f|)\, d\mu =\int_{\Omega}|f| d\mu=\|f\|_{1}.
\end{align*}
Zatem $E$ jest kontrakcj�, czyli $\|E\|\leq 1$. Jako, �e $E$ jest niezerowym rzutem, to $\|E\|\geq 1$. Czyli ostatecznie $\|E\|=1$.

\ref{enu:properties_of_WWO3}.  Skoro $E$ jest operatorem liniowym, to $E(0)=0$. Je�li $f \geq 0$ i $E(f)=0$, to z dodatnio�ci $E$
 mamy $0 \leq E(0) \leq E(f)=0$, st�d $f = 0$.
\end{proof}

\section{Operatory kompozycji}
Niech $(\Omega,\Sigma, \mu)$ b�dzie przestrzeni� z miar� i niech $\F=\R,\C$ b�dzie cia�em liczb rzeczywistych lub zespolonych. 
Niech $\varphi:\Omega \to \Omega$ b�dzie odwzorowaniem mierzalnym. Wtedy wz�r 
$$
\mu\circ \varphi^{-1}(A):=\mu(\varphi^{-1}(A)), \qquad A\in \Sigma,
$$
definiuje miar� $\mu\circ \varphi^{-1}:\Sigma\to [0,\infty]$, kt�r� nazywamy \emph{popchni�ciem} miary $\mu$ za pomoc� $\varphi$.  
\begin{lem}[Zamiana zmiennych I]\label{lem:change_of_variables1}
Funkcja $f:\Omega\to \F$ jest $\mu\circ \varphi^{-1}$-ca�kowalna  wtedy i tylko wtedy $f\circ \varphi$ jest $\mu$-ca�kowalna, oraz wtedy
$$
\int f \, d\mu \circ \varphi^{-1}=  \int f\circ \varphi  \, d\mu.
$$
\end{lem}
\begin{proof}
Wykorzystamy metod� stopniowej komplikacji.
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item\label{enu:zamiana1i} Niech $f=\mathbb{1}_A$ dla $A\in\Sigma$. Zauwa�my, �e 
\begin{eqnarray*}
\int_\Omega f\circ \varphi \,\mathrm d \mu=\int_\Omega \mathbb{1}_A\circ\varphi\,\mathrm d \mu = \int_\Omega\mathbb{1}_{\varphi^{-1}(A)}\,\mathrm d \mu =\int_{\varphi^{-1}(A)}\,\mathrm d \mu  \\
=\mu\circ\varphi^{-1}(A)=\int_\Omega \mathbb{1}_A\,\mathrm d \mu\circ\varphi^{-1}=\int_\Omega f\,\mathrm d\mu\circ\varphi^{-1}.
\end{eqnarray*}
Zatem o ile pierwsza lub ostatnia ca�ka jest sko�czona, to mamy tez�.
\item\label{enu:zamiana1ii} Niech $f=\sum_{i=1}^n a_i\cdot\mathbb{1}_{A_i}$,  b�dzie funkcj� prost�. Wtedy na mocy \ref{enu:zamiana1i} mamy
\begin{eqnarray*}
\int_\Omega f\circ\varphi\,\mathrm d\mu = \int_\Omega \left (\sum_{i=1}^n a_i\cdot\mathbb{1}_{A_i}\right )\circ\varphi \,\mathrm d \mu = \sum_{i=1}^n a_i\int_\Omega \mathbb{1}_{A_i}\circ\varphi \,\mathrm d\mu \\
= \sum_{i=1}^n a_i\int_\Omega \mathbb{1}_{A_i}\,\mathrm d\mu\circ\varphi^{-1} =\int_\Omega \left (\sum_{i=1}^n a_i\cdot\mathbb{1}_{A_i}\right )\,\mathrm d \mu\circ\varphi^{-1}=\int_\Omega f \,\mathrm d \mu\circ\varphi^{-1},
\end{eqnarray*}
oraz analogicznie jak w \ref{enu:zamiana1i} otrzymujemy tez�.
\item\label{enu:zamiana1iii} Niech $f=\lim_{n\to\infty} f_n$, gdzie $f_n$ jest  funkcj� prost�. Korzystaj�c z \ref{enu:zamiana1ii} i Twierdzenia \ref{thm:lebesgue_monotone} (Lebesgue'a o zbie�no�ci monotonicznej) otrzymujemy 
\begin{eqnarray*}
\int_\Omega f\circ\varphi\,\mathrm d\mu = \int_\Omega \lim_{n\to\infty} f_n\circ\varphi \,\mathrm d \mu = \lim_{n\to\infty}\int_\Omega f_n\circ \varphi\mathrm d \mu   \\
=\lim_{n\to\infty} \int_\Omega f_n\,\mathrm d \mu\circ\varphi^{-1}=\int_\Omega \lim_{n\to\infty} f_n\,\mathrm d\mu\circ\varphi^{-1}=\int_\Omega f \,\mathrm d \mu\circ\varphi^{-1},
\end{eqnarray*}
oraz analogicznie jak w \ref{enu:zamiana1i} otrzymujemy tez�.
\end{enumerate}
\end{proof}


Funkcje mierzalne o warto�ciach w $\F$, tworz� przestrze� liniow� nad $\F$. 
\emph{Operatorem kompozycji} dany wzorem
$$
(T_{\varphi}f)(x):=f(\varphi(x)),
$$
gdzie $f:\Omega \to \F$  jest funkcj� mierzaln�,  jest odwzorowaniem liniowym na przestrzeni funkcji mierzalnych.
W przypadku, gdy miara $\mu$ jest $\sigma$-sko�czona, warunki na to, kiedy operator kompozycji jest operatorem 
ograniczonym na przestrzeniach $L_p(\mu)$ s� dobrze znane, patrz  \cite{Ridge}.
Nast�puj�ce Twierdzenie uog�lnia je na przypadek dowolnych miar. Jak zawsze 
$$
\FF_{\mu}=\{A\in \Sigma: \mu(A)<\infty\}
$$
oznacza pier�cie� zbior�w o $\mu$-mierze sko�czonej.
\begin{thm}[Uog�lnione Twierdzenie Ridge'a \cite{Ridge}]\label{thm:Uog�lnione Twierdzenie Ridge'a}
Dla dowolnej miary $\mu$ i dowolnego $p\in [1,\infty)$ operator kompozycji $T_\varphi$ jest poprawnie okre�lonym operatorem ograniczonym
$T_\varphi: L_p(\mu)\to L_p(\mu)$ $\Longleftrightarrow$ $\mu\circ\varphi^{-1} \ll \mu$ i quasi-pochodna Radona-Nikodyma
$\frac{d\mu\circ \varphi^{-1}}{d\mu}=\{f_A\}_{A\in \FF_{\mu}}$ jest istotnie ograniczona w sensie, �e 
$$
\left\|\frac{d\mu\circ \varphi^{-1}}{d\mu}\right\|_{\infty}:=\sup_{A\in \FF_{\mu}} \ess\sup f_A <\infty.
$$
Ponadto, wtedy $\|T_\varphi\|=\left\|\frac{d\mu\circ \varphi^{-1}}{d\mu}\right\|_{\infty}^{\frac{1}{p}}$.
\end{thm}
\begin{proof}
,,$\Longrightarrow$''. Je�li $\mu(A)=0$, to $\mathbb{1}_A=0$ w $L_p(\mu)$. A zatem je�li $T_\varphi$ poprawnie okre�lony operator liniowy, to $T_\varphi \mathbb{1}_A=0$.  Ale 
$$
T_\varphi \mathbb{1}_A =\mathbb{1}_A\circ \varphi = \mathbb{1}_{\varphi^{-1}(A)}.
$$
Zatem $\mathbb{1}_{\varphi^{-1}(A)}=0$ w $L_p(\mu)$, czyli $\mu(\varphi^{-1}(A))=0$. St�d $\mu\circ\varphi^{-1} \ll \mu$.
Ponadto, dla $A\in \FF_{\mu}$ mamy $\|\mathbb{1}_{A}\|_{p}^p=\mu(A)$ oraz dla ka�dego mierzalnego $B\subseteq A$ 
$$
\int_B f_A\, d\mu = \mu(\varphi^{-1}(B))= \|\mathbb{1}_{\varphi^{-1}(B)}\|_{p}^p=\|T_\varphi \mathbb{1}_B \|_{p}^p\leq  \|T_\varphi\|^p \|\mathbb{1}_B \|_{p}^p= \|T_\varphi\|^p \mu(B).
$$
St�d $\left\|f_A\right\|_{\infty}=\ess\sup f_A \leq \|T_\varphi\|^p$. Zatem $\left\|\frac{d\mu\circ \varphi^{-1}}{d\mu}\right\|_{\infty} \leq \|T_\varphi\|^p$.


,,$\Longleftarrow$''. Niech $f\in L_p(\mu)$ b�dzie  funkcj� charakterystyczn�  $f=\sum_{k=1}^n a_{k} \mathbb{1}_{A_k}$, gdzie $\{A_{k}\}_{k=1}^n$ s� parami roz��czne. Z ca�kowalno�ci $f$ wynika, �e  $A_k\in \FF_\mu$, dla
$k=1,...,n$.  Zatem korzystaj�c z Lematu \ref{lem:change_of_variables1} i naszych  za�o�e� mamy
\begin{align*}
\|T_\varphi f\|_p^p&=\int_\Omega \sum_{k=1}^n  |a_k|^p  \cdot  \mathbb{1}_{A_k} \circ \varphi \, d\mu =\sum_{k=1}^n |a_k|^p  \int_\Omega \mathbb{1}_{A_k}  \, d(\mu\circ \varphi^{-1}) 
\\
&=\sum_{k=1}^n |a_k|^p  (\mu\circ \varphi^{-1})(A_k)
=\sum_{k=1}^n |a_k|^p  \int_{A_k} f_{A_k}\, d\mu
\\
&\leq \sum_{k=1}^n |a_k|^p \mu(A_k) \cdot \left\|\frac{d\mu\circ \varphi^{-1}}{d\mu}\right\|_{\infty}   =\|f\|_{p}^p \cdot \left\|\frac{d\mu\circ \varphi^{-1}}{d\mu}\right\|_{\infty}.
\end{align*}
Czyli  $T_\varphi$ jest poprawnie okre�lonym operatorem ograniczonym na przestrzeni funkcji charakterystycznych $M\subseteq L_{p}(\mu)$ oraz na tej przestrzeni jego norma nie przekracza
$\left\|\frac{d\mu\circ \varphi^{-1}}{d\mu}\right\|_{\infty}^{\frac{1}{p}}$.  Jako �e $M$ jest g�st� podprzestrzeni�  $L_{p}(\mu)$, to operator $T_\varphi:M\to M$
przed�u�a si� jednoznacznie do operatora ograniczonego $T_\varphi: L_p(\mu)\to L_p(\mu)$   oraz    $ \|T_\varphi f\|_p\leq \left\|\frac{d\mu\circ \varphi^{-1}}{d\mu}\right\|_{\infty}^{\frac{1}{p}}$.
\end{proof}
\begin{rem}
Je�li miara $\mu$ jest lokalizowalna, to  quasi-pochodna Radona-Nikodyma  $\{f_A\}_{A\in \FF_{\mu}}$ w powy�szym twierdzeniu pochodzi od funkcji 
$\frac{d\mu\circ \varphi^{-1}}{d\mu}$ oraz supremum istotne funkcji  $\frac{d\mu\circ \varphi^{-1}}{d\mu}$ i quasi-funkcji $\{f_A\}_{A\in \FF_{\mu}}$  pokrywaj� si�. 
\end{rem}

\emph{Odwozorowanie $\varphi$ zachowuje miar�} $\mu$ je�eli $\mu\circ \varphi^{-1}=\mu$, tzn. dla ka�dego $A\in \Sigma$ mamy $\mu(\varphi^{-1}(A))=\mu(A)$.
Jest to dobrze ustalone  poj�cie w teorii miar $\sigma$-sko�czonych. Dla og�lniejszych miar  mo�na je sformu�owa� jak nast�puje:
\begin{dfn}
Powiemy, �e \emph{$\varphi$ quasi-zachowuje miar�} $\mu$ je�eli $\mu\circ \varphi^{-1}|_{\FF_\mu}=\mu|_{\FF_\mu}$, tzn. dla ka�dego $A\in \Sigma$ takiego, �e $\mu(A)<\infty$ mamy $\mu(\varphi^{-1}(A))=\mu(A)$.
\end{dfn}
\begin{rem} 
Oczywi�cie, je�li $\varphi$ zachowuje miar�, to tym bardziej quasi-zachowuje miar�. Dla miar $\sigma$-sko�czonych poj�cia te s� sobie r�wnowa�ne. 
Rzeczywi�cie, je�li  $\varphi$  quasi zachowuje miar� $\mu$ oraz istnieje przeliczalne rozbicie $\{A_n\}_{n=1}^\infty\subseteq \Sigma$ przestrzeni $\Omega$ na zbiory o mierze sko�czonej, to  dla ka�dego $A\in \Sigma$ mamy
$$
\mu(A)=\sum_{n=0}^\infty  \mu(A\cap A_n)= \sum_{n=0}^\infty  \mu(\varphi^{-1}(A\cap A_n))=   \mu(\bigsqcup_{n=0}^\infty \varphi^{-1}(A\cap A_n)) =\mu(\varphi^{-1}(A)).
$$ 
\end{rem}
\begin{exm}
Rozwa�my  miar� trywialn�, tzn. niech $\mu(A)=\infty$ je�li $A\not=\emptyset$. Wtedy odwzorowanie $\varphi:\Omega\to \Omega$ zachowuje miar� $\mu$ wtedy i tylko wtedy, gdy  $\varphi$ jest surjekcj�. 
Natomiast ka�de odwozorowanie $\varphi$ w trywialny spos�b quasi-zachowuje miar� $\mu$.
\end{exm}

\begin{prop} 
Operator kompozycji 
$T_\varphi: L_p(\mu)\to L_p(\mu)$  jest poprawnie okre�lon� izometri� $\Longleftrightarrow$ $\varphi$ quasi-zachowuje miar� $\mu$.
\end{prop}
\begin{proof}
Z jednej strony, je�eli $T_\varphi$ jest izometri�, to  zachodzi $\|T_\varphi f\|_p=\|f\|_p$ dla $f\in L_p(\mu)$. Je�eli  $A\in\FF_\mu$,  to   $\mathbb{1}_A\in L_p(\mu)$ i wtedy
$$
\mu(\varphi^{-1}(A))=\|\mathbb{1}_{\varphi^{-1}(A)}\|_p^p=\|\mathbb{1}_A\circ\varphi\|_p^p=\|T_\varphi \mathbb{1}_A\|_p^p=\|\mathbb{1}_A\|_p^p=\mu(A).
$$
Czyli $\varphi$ quasi-zachowuje miare $\mu$.

Z drugiej strony dla ka�dej nieujemnej ca�kowalnej funkcji prostej $f$ mamy $f=\sum_{i=1}^n a_i\mathbb{1}_{A_i}$, gdzie $\{A_i\}_{i=1}^n\subseteq \FF_\mu$ s� parami roz��czne oraz $a_i>0$, $i=1,...,n$. 
Zatem je�li $\varphi$ quasi-zachowuje miar�, to
\begin{align*}
\|T_\varphi f\|_p^p&=\|\left (\sum_{i=1}^n a_i\mathbb{1}_{A_i}\right )\circ \varphi\|_p^p= \|\sum_{i=1}^n a_i\mathbb{1}_{\varphi ^{-1}(A_i)} \|_p^p = \sum_{i=1}^n a_i^p \mu(\varphi ^{-1}(A_i))^p
\\
&=\sum_{i=1}^n a_i^p \mu(A_i)^p=\|\sum_{i=1}^n a_i\mathbb{1}_{A_i} \|_p^p= \|f\|_p^p.
\end{align*}
Czyli  $ T_\varphi$ jest poprawnie okre�lon� izometri� na przestrzeni funkcji prostych  $S(\mu)\subseteq L_{p}(\mu)$.  Jako �e $S(\mu)$ jest g�st� podprzestrzeni�  $L_{p}(\mu)$, to operator $T_\varphi:S(\mu)\to S(\mu)$
przed�u�a si� jednoznacznie do operatora  izometrycznego $T_\varphi: L_p(\mu)\to L_p(\mu)$.
\end{proof}


\begin{rem} 
Zauwa�my, �e $\varphi$ quasi-zachowuje miar� $\mu$ wtedy i tylko wtedy, gdy 
$\mu\circ\varphi^{-1} \ll \mu$ oraz quasi-pochodna Radona-Nikodyma $\frac{d\mu\circ \varphi^{-1}}{d\mu}$ 
pochodzi od funkcji stale r�wnej $1$.
\end{rem}


\section{Izometryczne wa�one operatory przesuni�cia}

Niech $(\Omega,\Sigma, \mu)$ b�dzie przestrzeni� z miar� i niech  
$\varphi:\Omega \to \Omega$ b�dzie odwzorowaniem mierzalnym.
\begin{dfn}
Powiemy, �e $\varphi$ jest \emph{$\mu$-prawie surjekcj�} je�li  dla dowolnego zbioru mierzalnego $A\subseteq \Omega\setminus \varphi(\Omega)$ mamy 
$\mu(A)=0$, czyli nie ma zbior�w o niezerowej mierze poza obrazem $\varphi(\Omega)$.
\end{dfn}

 Zauwa�my, �e rodzina
$$
\varphi^{-1}(\Sigma):=\{\varphi^{-1}(A):A\in \Sigma\}
$$
jest $\sigma$-podalgebr� $\sigma$-algebry $\Sigma$. Dla ka�dej $\Sigma$-mierzalnej funkcji $f:\Omega\to \F$
funkcja   $f\circ \varphi:\Omega\to \F$ jest $\varphi^{-1}(\Sigma)$-mierzalna.

\begin{lem} Wz�r 
$$
(\mu\circ \varphi) (\varphi^{-1}(A)):=\mu(A)
$$
definiuje miar� $\mu\circ \varphi:\varphi^{-1}(\Sigma)\to [0,\infty]$
wtedy i tylko wtedy, gdy $\varphi$ jest $\mu$-prawie surjekcj�.
\end{lem}
\begin{proof}
Je�li $\mu\circ \varphi$ poprawnie okre�lona, to $\varphi^{-1}(A)=\varphi^{-1}(B)$ implikuje $\mu(A)=\mu(B)$ dla ka�dych $A,B \in \Sigma$. 
W szczeg�lno�ci, je�li $A\subseteq \Omega\setminus \varphi(\Omega)$, to $\varphi^{-1}(A)=\emptyset =\varphi^{-1}(\emptyset)$, czyli $\mu(A)=\mu(\emptyset)=0$.
Zatem $\varphi$ jest $\mu$-prawie surjekcj�.

Za��my teraz, �e $\varphi$ jest $\mu$-prawie surjekcj�. Dla dowolnych $A,B \in \Sigma$ takich, �e $\varphi^{-1}(A)=\varphi^{-1}(B)$
mamy $A\cap \varphi(\Omega)=
B\cap \varphi(\Omega)$, sk�d $A\setminus B, B\setminus A\subseteq \Omega \setminus \varphi(\Omega)$. 
Zatem $\mu(A\triangle B)=\mu(A\setminus B)+\mu(B\setminus A)=0$ i w konsekwencji
$\mu(A)=\mu(B)$. Czyli funkcja $\mu\circ \varphi$ poprawnie okre�lona. Ponadto, $\mu\circ \varphi(\emptyset)=\mu(\varphi^{-1}(\emptyset))=\mu(\emptyset)=0$ 
oraz je�li zbiory $\{\varphi^{-1}(A_{n})\}_{n=1}^\infty \subseteq \varphi^{-1}(\Sigma)$, s� parami roz��czne, to zbiory $\{A_{n}\}_{n=1}^\infty \subseteq \Sigma$
s� parami roz��czne z dok�adno�ci� do zbior�w miary zero, tzn. dla $m\neq n$ mamy
\begin{align*}
\mu(A_n\cap A_{m})&=(\mu\circ \varphi) (\varphi^{-1}(A_n\cap A_{m}))= (\mu\circ \varphi) (\varphi^{-1}(A_n) \cap \varphi^{-1}(A_{m}))
\\
&=(\mu\circ \varphi) (\emptyset)=0.
\end{align*}
St�d 
$$
(\mu\circ \varphi) (\bigsqcup_{n=1}^\infty \varphi^{-1}(A_n))=(\mu\circ \varphi) (\varphi^{-1}(\bigcup_{n=1}^\infty A_n))=\mu(\bigcup_{n=1}^\infty A_n)
=\sum_{n=1}^\infty \mu(A_n).
$$
Czyli $(\mu\circ \varphi)$ jest miar�.
\end{proof}
\begin{rem}
Miar� $\mu\circ \varphi $, kt�ra istnieje, gdy $\varphi$ jest $\mu$-prawie surjekcj�, nazywamy \emph{cofni�ciem miary} $\mu$ za pomoc� 
$\varphi$.
\end{rem}
\begin{lem}[Zamiana zmiennych II]
Za��my, �e $\varphi$ jest $\mu$-prawie surjekcj�.
Funkcja $f:\Omega\to \F$ jest $\mu$-ca�kowalna  wtedy i tylko wtedy $f\circ \varphi$ jest $\mu\circ \varphi$-ca�kowalna, oraz wtedy
$$
\int f \, d\mu =  \int f\circ \varphi  \, d(\mu\circ \varphi).
$$
\end{lem}

\begin{proof}
Wykorzystamy metod� stopniowej komplikacji.

(i). Niech $f=\mathbb{1}_A$ dla $A\in\Sigma$. Zauwa�my, �e 
\begin{eqnarray*}
\int_\Omega f\circ \varphi \,\mathrm d (\mu\circ\varphi) =\int_\Omega \mathbb{1}_A\circ\varphi\,\mathrm d (\mu\circ\varphi) = \int_\Omega\mathbb{1}_{\varphi^{-1}(A)}\,\mathrm d (\mu\circ\varphi) \\
=\mu\circ\varphi\left (\varphi^{-1}(A)\right ) =\mu(A)=\int_\Omega \mathbb{1}_A\,\mathrm d \mu=\int_\Omega f \,\mathrm d \mu.
\end{eqnarray*}
Zatem o ile pierwsza lub ostatnia ca�ka jest sko�czona, to mamy tez�.

(ii). Niech $f=\sum_{i=1}^n a_i\cdot\mathbb{1}_{A_i}$,  b�dzie funkcj� prost�. Wtedy na mocy (i) mamy
\begin{eqnarray*}
\int_\Omega f\circ\varphi\,\mathrm d(\mu\circ\varphi ) = \int_\Omega \left (\sum_{i=1}^n a_i\cdot\mathbb{1}_{A_i}\right )\circ\varphi \,\mathrm d (\mu\circ\varphi) = \sum_{i=1}^n a_i\int_\Omega \mathbb{1}_{A_i}\circ\varphi \,\mathrm d(\mu\circ\varphi) \\
= \sum_{i=1}^n a_i\int_\Omega \mathbb{1}_{A_i}\,\mathrm d\mu =\int_\Omega \left (\sum_{i=1}^n a_i\cdot\mathbb{1}_{A_i}\right )\,\mathrm d \mu =\int_\Omega f \,\mathrm d \mu,
\end{eqnarray*}
oraz analogicznie jak w(i) otrzymujemy tez�.

(iii).  Niech $f=\lim_{n\to\infty} f_n$, gdzie $f_n$ jest  funkcj� prost�. Korzystaj�c z (ii) i Twierdzenia \ref{thm:lebesgue_monotone} (Lebesgue'a o zbie�no�ci monotonicznej) otrzymujemy 
\begin{eqnarray*}
\int_\Omega f\circ\varphi\,\mathrm d(\mu\circ\varphi) = \int_\Omega \lim_{n\to\infty} f_n\circ\varphi \,\mathrm d (\mu \circ\varphi) = \lim_{n\to\infty}\int_\Omega f_n\circ \varphi\mathrm d( \mu\circ\varphi)   \\
=\lim_{n\to\infty} \int_\Omega f_n\,\mathrm d \mu=\int_\Omega \lim_{n\to\infty} f_n\,\mathrm d\mu=\int_\Omega f \,\mathrm d \mu,
\end{eqnarray*}
oraz analogicznie jak w (i) otrzymujemy tez�.
\end{proof}




\begin{thm}\label{thm:isometric_copmosition_operator}
Dla dowolnej miary  $\mu$, dowolnego $p\in [1,\infty)$ i funkcji mierzalnych  $\varphi:\Omega\to \Omega$ oraz $\varrho:\Omega\to \F$, gdzie $\mu(A)=\infty$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\mu(\varphi^{-1}(A))=\infty$, wa�ony operator kompozycji 
$$
[\varrho T_\varphi (f)](x):=\varrho(x)f(\varphi(x)),
$$ 
jest poprawnie okre�lon� izometri� 
$\varrho T_\varphi: L_p(\mu)\to L_p(\mu)$ $\Longleftrightarrow$ $\varphi$ jest $\mu$-prawie surjekcj�
$\mu\circ\varphi \ll \mu|_{\varphi^{-1}(\Sigma)} $ oraz quasi-pochodna Radona-Nikodyma $\frac{d\mu\circ \varphi}{d\mu|_{\varphi^{-1}(\Sigma)} }$ jest zwi�zana z $\varrho$ zale�no�ci�
$$
E(|\varrho|^p \cdot \mathbb{1}_B |\varphi^{-1}(\Sigma)) =\frac{d\mu\circ \varphi}{d\mu|_{\varphi^{-1}(\Sigma)} } \cdot \mathbb{1}_B, \qquad B\in \FF_{\mu|_{\varphi^{-1}(\Sigma)}}.
$$
\end{thm}
\begin{proof} Nasze za�o�enie na $\varphi$ oznacza, �e  $\FF_{\mu|_{\varphi^{-1}(\Sigma)}}=\{\varphi^{-1}(A): A\in \FF_{\mu}\}$.

,,$\Longrightarrow$''. Je�li  $A\in \FF_\mu$, to $\mathbb{1}_A\in L_p(\mu)$ i st�d, �e $\varrho T_\varphi$ jest izometri�, to
$$
\mu(A)=\|\mathbb{1}_A\|_{p}^p=\|\varrho T_\varphi \mathbb{1}_A\|_p^p= \int_{\varphi^{-1}(A)} |\varrho|^p   \, d\mu.
$$ 
Dla dowolnego mierzalnego $A\subseteq \Omega\setminus \varphi(\Omega)$ mamy $\mu(A)=0$. 
Rzeczywi�cie, $\varphi^{-1}(A)=\emptyset$ implikuje, �e $A\in \FF_\mu$ (bo $\mu(\varphi(A))=0<\infty$) i wtedy powy�sza r�wno�� implikuje, �e $\mu(A)=0$.
Czyli $\varphi$ jest $\mu$-prawie surjekcj�.
 Co wi�cej, skoro dla $A\in \FF_\mu$ mamy
$$
 \int_{\varphi^{-1}(A)} |\varrho|^p   \, d\mu
=\mu(A)=(\mu\circ \varphi)(\varphi^{-1}(A)),
$$
to $\mu\circ \varphi\preceq \mu|_{\varphi^{-1}(\Sigma) }$ oraz $E(|\varrho|^p \cdot \mathbb{1}_B |\varphi^{-1}(\Sigma)) =\frac{d\mu\circ \varphi}{d\mu|_{\varphi^{-1}(\Sigma)} } \cdot \mathbb{1}_B$, dla $B=\varphi^{-1}(A)\in \FF_{\mu|_{\varphi^{-1}(\Sigma)}}$. 


,,$\Longleftarrow$''. Niech $f\in L_p(\mu)$ b�dzie  funkcj� prost�  $f=\sum_{k=1}^n a_{k} \mathbb{1}_{A_k}$, gdzie $\{A_{k}\}_{k=1}^n$ s� parami roz��czne. Z ca�kowalno�ci $f$ wynika, �e  $A_k\in \FF_\mu$, dla
$k=1,...,n$.  Zatem 
\begin{align*}
\|\varrho T_\varphi f\|_p^p&=\int_\Omega \sum_{k=1}^n  |a_k|^p  |\varrho|^p \cdot  \mathbb{1}_{A_k} \circ \varphi \, d\mu =\sum_{k=1}^n |a_k|^p  \int_{\varphi^{-1}(A_k)}  |\varrho|^p\, d\mu 
\\
&=\sum_{k=1}^n |a_k|^p  \int_{\varphi^{-1}(A_k)}  \frac{d\mu\circ \varphi}{d\mu|_{\varphi^{-1}(\Sigma)} } \, d\mu 
 =\sum_{k=1}^n |a_k|^p  \mu(A_k)
= \|f\|_{p}^p.
\end{align*}
Czyli  $\varrho T_\varphi$ jest poprawnie okre�lona izometri� na przestrzeni funkcji prostych  $S(\mu)\subseteq L_{p}(\mu)$.  Jako �e $S(\mu)$ jest g�st� podprzestrzeni�  $L_{p}(\mu)$, to operator $T_\varphi:S(\mu)\to L_p(\mu)$
przed�u�a si� jednoznacznie do operatora  izometrycznego $T_\varphi: L_p(\mu)\to L_p(\mu)$.
\end{proof} 
\begin{thebibliography}{99}
 \bibitem%[And66]
	{ando}
Ando T., Contractive projections in $L_{p}$ spaces, Pacific J. Math. 17 (1966) 391.

\bibitem%[Bil87]
{biling}
Billingsley P., Prawdopodobie�stwo i miara, Pa�stwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987.

\bibitem%[Con97]
{conway_func}
Conway J.B., A Course in Functional Analysis, Springer, 1997.


\bibitem%[Dou65]
{douglas}
Douglas R. G., Contractive projections on an $L_{1}$ space, Pacific J. Math.15 (1965) 443.

\bibitem%[Frem]
{fremlin}
Fremlin D.H., Measure theory Volume 2, Torres Fremlin, 2010.

%\bibitem%[GT18]
%{gardella_thiel}
% E. Gardella, H. Thiel, 
%\emph{Isomorphisms of Algebras of Convolution Operators}, preprint arXiv:1809.01585

\bibitem%[Gar19]
{gardella}
 E. Gardella, \emph{A modern look at algebras of operators on $L_p$-spaces},  To appear in Expo. Math. preprint, arxiv.org/abs/1909.12096

\bibitem%[Hal74]
{halmos1}
Halmos P.R., Measure Theory, Springer, 1974.


\bibitem%[Lam58]
{lamperti}
Lamperti J.,  \emph{On the isometries of certain function-spaces.}
 Pacific J. Math. Volume 8, Number 3 (1958), 459-466.




\bibitem%[JSz10]
{sztencel}
Jakubowski J., Sztencel R., Wst�p do teorii prawdopodobie�stwa, Script, 2010.


\bibitem%[Lam58]
{lamperti}
Lamperti J.,  \emph{On the isometries of certain function-spaces.}
 Pacific J. Math. Volume 8, Number 3 (1958), 459-466.


\bibitem{lewin} 
Lewin J., Lewin M., \emph{A reformulation of the Radon-Nikodym Theorem}
Proc.  Amer. Math. Soc.  \textbf{47}, No. 2 (1975), 393-400.


%\bibitem%[LT96]
%{lindenstrauss}
%Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces I, II, Springer, 1996

\bibitem{Musielak} 
 Musielak J., Wst�p do analizy funkcjonalnej, PWN, 1976


%\bibitem%[Phi13]
%{phillips}
%  Phillips N. C., \emph{Crossed products of $L_p$ operator algebras and the $K$-theory of Cuntz algebras on $L_p$ spaces}, preprint, arxiv.org/abs/1309.6406



 \bibitem%[Rao04]
{rao}
Rao M. M., Measure Theory and Integration, CRC Press, 2004.


\bibitem%[Rid73]
{Ridge} Ridge W. C., 
\emph{Spectrum of a composition operator}, Proc. Amer. Math. Soc. \textbf{37} (1973), 121--127.


\bibitem%[Rud12]
{rudin_funk}
Rudin W., Analiza funkcjonalna, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2012.

\bibitem%[Rud86]
{rudin_real}
Rudin W., Analiza rzeczywista i zespolona, Wydawnictwo Naukowe PWN, 1986.


\bibitem%[Sam98]
{samuels}
Samuels S. M., The Radon-Nikodym Theorem as a Theorem in Probability, The American Mathematical Monthly, Vol. 85, No. 3 (Mar., 1978), pp. 155-165.


\bibitem%[Rud12]
{segal}
 Segal I. E., \emph{Equivalences of measure spaces}, Amer. J. Math. \textbf{73} (1951),
275-313.


\bibitem%[Tra70]
{traczyk}
Traczyk T., Wst�p do teorii algebr Boole'a, Pa�stwowe Wydawnictwo Naukowe, 1970.


\bibitem%[Tra70]
{zaanen}
 Zaanen  A. C., \emph{The Radon-Nikodym theorem. I, II}, Nederl. Akad. Wetensch.
Proc. Ser. A 64 = Indag. Math. \textbf{23} (1961), 157-187.






\end{thebibliography}

\end{document}
