Badania naukowe

Główne aktualne kierunki badań naukowych prowadzonych w Instytucie Matematyki grupują się w kilka tematów, których realizacja trwa już od kilku lat. W ostatnich latach tematyka ta wzbogaciła się o badania w zakresie analizy funkcjonalnej i metod grupowych w teorii równań różniczkowych.

Badania Zakładu Algebry koncentrują się wokół własności niezmienników grup, pierścieni łącznych oraz algebr niełącznych, głównie algebr Liego i ich uogólnień. Zakres tematyki jest szeroki i obejmuje następujące zagadnienia: rozszerzenia pierścieni, radykały, łańcuchy Kurosza, pierścienie osiągalne, struktura grup jedności algebr grupowych i problem izomorfizmu dla modularnych algebr grupowych, działania algebr Liego na pierścieniach łącznych, łączne i niełączne algebry z gradacją, kratowe wymiary pierścieni i modułów, automorfizmy grup skończonych, kratowe własności grup, struktura pierścieni łańcuchowych i pierścieni z rozdzielną kratą ideałów, analiza nieprzemienna.

Badania Zakładu Analizy związane są z aspektami współczesnej analizy, które koncentrują się wokół teorii operatorów nielokalnych i singularnych oraz równań generowanych przez nie. Zakres tematyki jest szeroki i obejmuje następujące zagadnienia: struktury algebr operatorowych generowanych przez rachunek symboliczny operatorów pseudoróżniczkowych nielokalnych i problemy brzegowe, reprezentacje algebr operatorowych generowanych przez automorfizmy i endomorfizmy, teoria ergodyczna i entropijna operatorów nielokalnych, metody topologiczne i dynamiczne obliczania charakterystyk spektralnych, teoria perturbacji operatorów nielokalnych, teoria równań nielokalnych w przestrzeniach funkcyjnych, operatory różniczkowe z δ-potencjałem oraz problemy mnożenia dystrybucji, rozszerzenia operatorów symetrycznych do samosprzężonych. Metody i rezultaty teorii równań z operatorami nielokalnymi i singularnymi mogą mieć zastosowanie w analizie stochastycznej, teorii układów dynamicznych, teorii operatorów pseudoróżniczkowych i operatorów splotu ze współczynnikami oscylacyjnymi oraz działającymi w obszarze skomplikowanych teorii równań z małym parametrem i rezonansami, termodynamice, fizyce stochastycznej oraz w teorii punktowych wzajemnych oddziaływań cząsteczek.

Wiodącą tematyką Zakładu Fizyki Matemetycznej są geometryczne i algebraiczne metody w kwantyzacji układów fizycznych. Aktualnie badana jest klasa C* - algebr (prof. A. Odzijewicz). W Zakładzie Fizyki Matematycznej prowadzone są dodatkowo inne tematy badawcze:

W Zakładzie Matematyki Stosowanej rozwijane są badania nad związkami pomiędzy teorią informacji a teorią gier kwantowych. Idee teorii informacji rozpatrywane są w szerokim zakresie modeli klasycznych i kwantowych. Prowadzone analizy dotyczą gier transakcyjnych, gdzie dobrze określona funkcja użyteczności umożliwia wyznaczanie najskuteczniejszych strategii w skrajnych warunkach deficytu informacji. Specyficzne funkcje użyteczności (zysk, natężenie zysku) bazują na metrykach określanych na przestrzeniach rzutowych, których symetrie są naturalne m.in. dla modeli rynkowych i opisu układów kwantowych. Proponowane konstrukcje mają fundamentalne znaczenie tak w teorii informacji jak i przy opisie rynków kapitałowych. Pozwalają rozpoznawać przydatność miar informacji dla zrozumienia procesów obliczeń kwantowych (komputery kwantowe, kryptografia kwantowa, modelowana formalizmem kwantowym sztuczna inteligencja).

Główne badania Zakładu Podstaw Geometrii koncentrują się wokół geometrii rzutowej, jej uogólnień, i geometrii indukowanych przez kwadryki w przestrzeniach rzutowych. Rozpatrywanym przestrzeniom można nadawać strukturę częściowej przestrzeni prostych (przestrzenie pęków - przestrzenie Grassmanna, kwadryki wyższych rzędów, produkty Segre'a), bądź strukturę przestrzeni Benza (przestrzeni okręgów).

Zasadniczym nurtem rozważań są zagadnienia charakteryzacji i klasyfikacji, zarówno ważniejszych klas wprowadzanych przestrzeni, jak i standardowych konstruktów pochodnych (podprzestrzenie, automorfizmy, konfiguracje charakterystyczne itp.). W nurcie tym mieszczą się też zagadnienia charakteryzacji zanurzeń - reprezentacji przestrzeni jako "rozmaitości" zanurzonych. Jednym z wątków tych badań jest próba znalezienia naturalnych uogólnień klasycznych pojęć (np. równoległość, rzutowość) i wskazanie ich podstawowych własności. Inne nurty badań, to uogólnienia geometrii hiperbolicznej (geometria quasi hiperboliczna) i geometria ortogonalna oraz kombinatoryczne metody konstrukcji częściowych przestrzeni prostych.

Badania prowadzone w Zakładzie Równań Różnicowych i Procesów Dyskretnych wplatają się ściśle w główny nurt światowych badań dotyczących jakościowej teorii równań różnicowych. Zakres tematyki jest szeroki. Obejmuje zagadnienia dotyczące asymptotyki rozwiązań i ich klasyfikacji dla różnych typów równań różnicowych. W szczególności prowadzone badania dotyczą równania różnicowego Volterry, dyskretnego równania Sturm-Liouville'a i równania Emden?Fowlera. Ponadto prowadzone są prace dotyczące ustalenia warunków faktoryzacji liniowych operatorów różniczkowych i różnicowych na operatory niższych rzędów tego samego typu. Badane równania różnicowe stanowią modele matematyczne zachodzących procesów dyskretnych. Są one stosowane do opisu matematycznego procesów dyskretnych, miedzy innymi, w naukach przyrodniczych, technicznych, ekonomicznych i społecznych.

Badania naukowe, prowadzone w Zakładzie Równań Różniczkowych, poświęcone są teorii równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych, mianowicie teorio-grupowej oraz asymptotycznej analizie równań różniczkowych. Zakres tematyki obejmuje następujące zagadnienia: klasyczna i warunkowa symetria równań różniczkowych, symetria Liego-Backlunda i całkowalnośc nieliniowych równań Fizyki Matematycznej, analiza spektralna i asymptotyczna operatorów różniczkowych, teoria rozpraszania równania Schroedingera, układy hiperboliczne równań różniczkowych cząstkowych oraz problem istnienia i jednoznaczności rozwiązań równań funkcjonalno-różniczkowych.