Badania naukowe : Granty

Projekty trwające

Rozwój interaktywnego dowodzenia twierdzeń w systemie Mizar

Projekty zakończone

Metody symetrii dla równań różniczkowych oraz ich dyskretyzacji

Nowe rodziny funkcji specjalnych wielu zmiennych oraz ich własności

Bezpośrednim celem projektu jest stworzenie polsko–czeskiego zespołu badawczego, co przyniesie wymierne korzyści dla obu stron uczestniczących w projekcie. Utworzony w ten sposób zespół będzie zajmował się badaniem nowych rodzin funkcji specjalnych, związanych z nimi wielomianów ortogonalnych oraz ich własnościami. Badania skupią się na otwartych problemach w tej dziedzinie, a mianowicie funkcjach generujących i ortogonalności (czyli prostopadłości) stowarzyszonych z nimi rodzin wielomianów ortogonalnych, regułach transformacji rodzin funkcji specjalnych i rodzin wielomianów między sobą, porównanie efektywności przybliżeń za pomocą funkcji specjalnych, redukcji tych rodzin i odpowiadających im wielomianów.

Każdy z osiągniętych rezultatów będzie rozważany pod kątem zastosowań w przetwarzaniu danych cyfrowych, w szczególności do analizy obrazu (zdjęć) w aparatach fotograficznych i telefonach komórkowych. W ostatnich czasach, kiedy cyfryzacja przenika do niemal wszystkich dziedzin ludzkiej działalności, potrzeba przetwarzania danych cyfrowych jest zagadnieniem niezmiernie aktualnym. Badanie funkcji trygonometrycznych, wykładniczych oraz ich uogólnień, które umożliwiają zbudowanie dyskretnej (skokowej) analizy fourierowskiej, dostarcza nowych narzędzi matematycznych pozwalających na szybsze i dokładniejsze przetwarzanie obrazu.

Struktury C*-algebr zadanych przez relacje, spektralne i ergodyczne własności operatorów generujących układy dynamiczne

Celem projektu jest rozwinięcie nowych metod badania, konstrukcji i opisu struktury C*-algebr zadanych przez szeroko rozumiane relacje (w tym relacje posiadające naturę dynamiczną, kombinatoryczna lub stochastyczną) oraz na tej bazie rozbudowanie teorii spektralnej szerokiej klasy operatorów, a w szczególności operatorów funkcjonalnych i ważonych operatorów kompozycji.

W całym swym zakresie projekt dotyczy badań o charakterze podstawowym: ma wnieść istotny wkład w ogólną teorię C*-algebr, w szczególności w teorię C*-algebr uniwersalnych, oraz we współczesną teorię spektralną operatorów funkcjonalnych.

Projekt jest związany z problemem opracowania matematycznego modelu skomplikowanych procesów fizycznych, w tym procesów kwantowych, zawierających składniki dynamiczne oraz interakcje ze środowiskiem zewnętrznym. Przykładem są tu procesy ruchu i transformacji cząstek. Cząsteczkami tymi mogą być neutrony, molekuły, osobniki populacji biologicznej (np. osobniki zarażone w modelach epidemiologicznych), składniki reakcji łańcuchowej etc.. W modelu matematycznym odpowiadającym powyższym procesom należy wziąć pod uwagę dwa czynniki: prawa ruchu (deterministyczne lub stochastyczne), oraz wpływ środowiska zewnętrznego. Badane w projekcie obiekty dają możliwość uwzględnienia obu tych czynników, a asymptotyczne i ergodyczne własności rozważanych układów opisane są przez własności spektralne odpowiadających im operatorów. Opis takich własności, będący jednym z celów projektu, stanowi zasadniczy problem jakościowego opisu danego procesu i jest ściśle związany z zagadnieniami technologicznymi.

Analiza konstrukcji i struktur związanych z badaniem układów C*-dynamicznych

Projekt jest związany z problemem opracowania matematycznego modelu skomplikowanych procesów fizycznych, w tym procesów kwantowych, zawierających składniki dynamiczne oraz interakcje ze środowiskiem zewnętrznym. W modelu matematycznym odpowiadającym takim procesom należy wziąć pod uwagę dwa czynniki: prawa ruchu (deterministyczne lub stochastyczne), oraz wpływ środowiska zewnętrznego. Oznacza to, że ruch powinien być opisany przez odpowiedni układ dynamiczny lub proces stochastyczny, a oddziaływania między cząsteczkami i zewnętrznym ośrodkiem dane są przez pewien potencjał.

Oprócz aspektu aplikacyjnego obiekty, których badanie jest celem projektu grają podstawową rolę w nieprzemiennej analizie harmonicznej, fizyce matematycznej, a mianowicie w fizyce kwantowej. W przypadku hilbertowskim algebry operatorowe (C*-algebry) generowane przez operatory, których własności badamy, nazywane są algebrami związanymi z układami dynamicznymi, algebrami kowariancji lub produktami krzyżowymi i stanowią jedną z najważniejszych klas C*-algebr zadanych przez relacje. Wśród klasycznych obiektów tego typu najbardziej znane są algebry Cuntza, czy też algebry Cuntza-Kriegera, które obok konotacji dynamicznych z topologicznymi łańcuchami Markowa, posiadają naturalną interpretację w języku teorii grafów i obecnie ugólnienia algebr Cuntza-Kriegera nazywa się zazwyczaj C*-algebrami związanymi z grafami.

Przestrzeń Banacha Lie-Poissona, systemy całkowalne i kwantyzacja

Algebry operatorowe generowane przez układy dynamiczne: spektralne, asymptotyczne i entropijne charakterystyki

Niekomutatywne struktury Kahlera